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7/24/2019 1 ANTIDERIVADA

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UNIVERSIDAD DEL ATLNTICOFACULTAD DE INGENIERIA

PROGRAMA DE INGENIERIA MECANICAAsignatura: Clcul II !""#$%&

Mg' Er(in Maur) Mancilla'UNIDAD N' #: INTEGRAL INDEFINIDA

#'# Intr*ucci+n'

La integracin tiene dos interpretaciones distintas: la primera como procedimiento inverso de la

diferenciacin, esto es, si una funcin se deriva y luego se integra la funcin obtenida, el

resultado es la funcin original, siempre y cuando se especifique en alguna forma la constante de

integracin; de otra manera el resultado puede diferir de la funcin original en una constante.

La segunda interpretacin, como mtodo para determinar el rea bajo una lnea. n efecto, el

clculo integral fue desarrollado primordialmente con el propsito de evaluar reas,

suponindolas divididas en un n!mero infinito de partes infinitesimalmente peque"as, cuya suma

da el rea requerida. l signo integral proviene de la forma de una # alargada, que se emple

originalmente para indicar tal suma.

#'" Anti*,ri-a*a'

n el $lculo %iferencial se estudiaron problemas enunciados en la forma: dada una funcin g,

determinar la derivada g. &'ora se considera el problema inverso, es decir, dada una derivada

g, determinar la funcin g. (na manera equivalente de enunciar el problema inverso es:

Dada una funcin f, encontrar una funcin F, tal que F = f

)or ejemplo: sif*x+ -x. n este caso se debe 'allar una funcinFtal queF*x+ f*x+.

#e sabe que al derivar una potencia de x se reduce en uno el e/ponente, por lo tanto, para obtener

F'ay que aumentar en uno el e/ponente dado. &s,F*x+ ax0para alg!n n!mero a.%erivando

se obtiene F*x+ 0axy para que sea igual af*x+, a debe ser igual a . ntonces, la funcinF

definida porF*x+ x0tiene la propiedad de queF = f

DEFINICIN:

jemplo: 1alle la antiderivada de x.

(na funcinF es una antiderivada de otrafuncinfsiF f


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$omo la derivada dexes x, entonces 2*x+ xes la antiderivada de x. #in embargo, no es la

!nica antiderivada de x, ya que:

d

dx(x2+3 )=2x y d

dx(x24 )=2x

3anto x24 0 comox5 6 tambin son antiderivadas de x. %e 'ec'o, como la derivada de una

constante es cero, x24 C es tambin antiderivada de xpara cualquier constante C. &s que x

tiene un n!mero infinito de &ntiderivadas. Lo ms importante es que todaslas antiderivadas de

xdeben ser funciones de la forma, x24 C, debido al siguiente 'ec'o:

#'$ Int,graci+n in*,.ini*a'

n el ejemplo anterior comox24 Cdescribe todas las antiderivadas de x, podemos referirnos a

ella como la antiderivada ms general de x, denotada por 2xdx , que se lee integral

indefinida de xcon respecto ax7. &s, escribimos:

2xdx=x2+C

l smbolo smbolo de integracin, xes el integrandoy Ces la constante de integracin.La dxes parte de la notacin integral e indica la varibale implicada. &qu, xes la varibale de

integracin.

n forma ms general, la integral indefinida de cualquier funcin con respecto axse escribe:

f(x ) dx y denota la antiderivda ms general def. $omo todas las antiderivadas defdifierenslo en una constante, siFes caulquier antiderivada def, entonces:

f(x ) dx=f(x )+C ,dondeC esuna cosntante .

Integrar fsignifica encontrar f(x ) dx . n resumen:

%os antiderivadas cualesquiera de una

funcin difieren slo en una constante


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#'/ Pr0i,*a*,s *, la int,gral'

1. dx=x+C

2. kf(x)dx=k f(x )dx , k una constante

3.xn dx=xn+1

n+1+C , n 1

4.[ f(x ) g (x )]dx= f(x)dx g(x)dx

jemplo 0: 'allar la integral de las siguientes funciones definidas por las frmulas:

a .x10 dx

#olucin:

x10dx= x10+1

10+1+C=

x11

11

+C

b .5x4 dx

#olucin:

5x4 dx=5x4 dx=5(x4+1

4+1 )+C=5(x5

5)+C=x5+C

c .(4x2+6x3)dx

#olucin:

f(x ) dx=F(x )+c si y slo si F' (x )=f(x )


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x3

dx=4 (x2+1

2+1 )+C1+6( x3+1

3+1 )+C2=4(x3

3)+C1+6 (x4

4)+C2=43 x3+ 32 x4+C1+C2=43 x3+32 x4+C,conC6x

3dx=4x2dx+6

(4x2+6x3)dx=4x2 dx+

89$$#

1alle la antiderivada.

1.

3x

4dx 2.

2x

7dx 3.

1

x3dx 4.

3

x5dx 5.

2

3

zdz

ncuentre las integrales indefinidas de las funciones definidas por las frmulas:

1.5dx 2.x8 dx3.2x25 dx 4.5x7 dx5.z3

3dz

6.

2

x10dx7.

1

y11/3 dy8.

(8

+u ) du9.

(y5

5

y ) dy10.

(3

t

2

4

t+5

) dt

11.2x3

dx12. 14

8

x2dx 13.(x

3

33

x3 )dx14.2z57 dz

15.x (x+3 ) dx 16. (z+2 )2dz 17.(x4+1 )2

x3

dx


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PARA RECRDAR!

1.1

xn=xn

2.mx

n=xn /m

a b a b