GraficaciónIA7200-T
Transformaciones Geométricas
Graficación 2
Transformaciones Geométricas• Producto Matricial• Transformaciones
Lineales• Rotaciones• Escalamiento• Acizallamiento• Translaciones
• Coordenadas Homogéneas• Transformaciones Inversas• Rotaciones Arbitrarias• Cambio de Coordenadas• Rotaciones 3D
Graficación 3
Producto Matricial
Graficación 4
Transformaciones LinealesUna transformación T es un mapeo
Una transformación es lineal si para todos v y w (vectores) y λ (real)
Si T es lineal:
Graficación 5
Transformaciones LinealesEn el espacio x-y, asociemos un punto P al
vector V, tal que:
T es un mapeo de puntos a puntos:
Para todo punto P en x-y, donde:
€
′ v = O ′ P
Graficación 6
Transformaciones LinealesLas TLs pueden ser escritas como un producto
de matrices. Por ejemplo
Se puede escribir como el producto
Graficación 7
Transformaciones LinealesEjemplo:
Los renglones de T
son las imágenes de
(1,0) y (0,1)
Graficación 8
Rotación
Graficación 9
Escalamiento
Graficación 10
Acizallamiento
Graficación 11
Translaciones
¿Cuál es la matriz T para translaciones?
T no es lineal (i.e. T(0) = (a,b)≠0)
(a,b) se llama vector de desplazamiento
(shift vector)
Graficación 12
Coordenadas Homogéneas
Para combinar todas las transfomaciones vistas hasta aquí, añadimos una dimensión mas, W.
La dimensión extra hace que P=(x,y) tenga toda una familia de representaciones coordenadas (wx, wy, w) w≠0.
Por ejemplo, (3,6,1), (0.3,0.6,0.1), (6,12,2), (12,24,4), etc.
Cuando un punto se mapea al plano W=1, se dice que está homogeneizado.
Conversión:
(x,y) (x,y,1)
(wx,wy,w) (wx/w, wy/w)
Graficación 13
Coordenadas Homogéneas
Graficación 14
Coordenadas Homogéneas
T en coordenadas homogéneas
Translación
Rotación
Graficación 15
Ejercicios• Dibuje un rectángulo unitario en un espacio R2
• Genere una matriz T1 para una rotación de 15°
• Genere una matriz T2 para un escalamiento de 1.5 en x y 2 en y
• Genere una matriz T3 para un acizallamiento de 0.5 en la horizontal
• Combínelas, para formar una sola matriz T de transformación que además desplace el rectángulo por (1, 0.5)
• Aplique la matriz resultante al rectángulo
Graficación 16
Ejercicios
Ver Programa de Mathematica
Graficación 17
Transformaciones Inversas• Si R mapea de P a P’, la inversa mapea de P’ a P.
• Ej. Rotación Inversa
• Se debe cumplir que
Graficación 18
Transformaciones Inversas• Sin embargo, no todas las transformaciones son
reversibles
• Ej. Una transformación que mapea de cualquier punto al eje x no lo es.
• La matriz no tiene inversa
• Para que una matriz tenga inversa, su determinante debe ser diferente de cero
Graficación 19
Transformaciones Inversas• La matriz de transformación del mapeo
Graficación 20
Rotación en Torno a Cualquier Punto
• No es lineal
• Puede ser descrita como un producto matricial (coordenadas homogéneas)
• La rotación en el punto C(Xc, Yc) en un ángulo φ se puede hacer en tres pasos:
• Translación al origen
• Rotación en el origen
• Translación de regreso
Graficación 21
Rotación en Torno a Cualquier Punto
Graficación 22
Rotación en Torno a Cualquier Punto
Graficación 23
Rotación 3D en Torno a los Ejes
Graficación 24
Rotación 3D en Torno a un Eje Arbitrario
1. Rotación en z -θ
2. Rotación en y -φ
3. Rotación en z α
4. Rotación en y φ
5. Rotación en z θ
Graficación 25
Rotación 3D en Torno a un Eje Arbitrario
Graficación 26
Rotación 3D en Torno a un Eje Arbitrario
Si el punto de inicio no es el origen, sino un punto arbitrario A(a1,a2,a3)
① Translación de A a O
② La rotación R, descrita anteriormente
③ Translación inversa de O a A
Graficación 27
Rotación 3D en Torno a un Eje Arbitrario
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