Funciones Polinomiales de grado superior
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La grfica muestra el desarrollo de un huracn conforme se aproxima a la costa de un pas, en la zona del Caribe, situada en el origen. La funcin = 4 53 + 32 + 9 + 162, modela los cambios de velocidad de los vientos conforme avanza el huracn, desde su inicio detectado en el mar a 600 km del territorio.
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La funcin polinomial = 4 43 + 52 4 + 4, modela la cantidad F(x) de rboles (decenas de miles) no consumidos an por un incendio forestal al comienzo de la semana x.
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Vamos a estudiar:
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Nuestro objetivo es:
Notacin de las Funciones Polinomiales
= +
++ + +
Donde:
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Si es una funcin polinomial y es un cero real de , entonces los siguientes enunciados son equivalentes:
1. = es un cero de la funcin .2. = es una solucin de la ecuacin polinomial () = 0.3. ( ) es un factor de la funcin polinomial ().4. (, 0) es una interseccin en el eje X de la grfica de .
CEROS REALES DE FUNCIONES POLINOMIALES
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PRUEBA DEL COEFICIENTE PRINCIPAL
1. Cuando n es impar
Cuando
Cuando
Cuando
Cuando
a) Si >
b) Si <
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PRUEBA DEL COEFICIENTE PRINCIPAL
2. Cuando n es par
Cuando
Cuando
Cuando
Cuando
a) Si >
b) Si <
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http://www.youtube.com/watch?v=U1JHC5JCws4
http://www.youtube.com/watch?v=1iB3hqjc8qQ
DIVISIN SINTTICA
Teoremas asociados a las
funciones polinomiales Mis
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Teorema fundamental del lgebra
Si () es un polinomio de grado 1, tiene cuando menos un cero complejo, es decir que = 0 tiene cuando menos una raz.
Teorema de las n races
Si () es un polinomio de grado 1, entonces = 0tiene exactamente n races, siempre y cuando la multiplicidad k de una raz se cuente k veces.
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Teorema del factor
Un polinomio tiene un factor si y slo si = 0.
Teorema del residuo
Si un polinomio se divide entre , entonces el residuo es =
Regla de los signos de Descartes
Supongamos que
= + 1
1 ++ 22 + 1 + 0:
El nmero de ceros reales positivos de () es:
Igual al nmero de cambios de signo de (), o menor, en un entero par, que ese nmero.
El nmero de ceros reales negativos de () es:
Igual al nmero de cambio de signo de () o menor, en un entero par, que ese nmero.
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Describe todas las posibilidades de la cantidad de races para:() = 5 4 33 + 32 4 + 4
1. () = + 5 4 33 + 32 4 + 4
2. = 5 4 3 3 + 3 2 4 + 4
() = 5 4 + 33 + 32 + 4 + 4
Cantidad de ceros positivos
Cantidad de ceros negativos
Cantidad de ceros complejos
Cantidad total de ceros
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4
2
0
1
1
1
5
5
5
0
2
4
Teorema de las races racionales
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Sea = + 1
1 ++ 22 + 1 + 0
0 0 un polinomio de grado n con coeficientes enteros; si
es una raz racional de f() = 0, y
en trminos ms simples, entonces p es
factor de 0 y q es factor de
Para graficar:
a) Extremos
b) Interseccin en el eje Y
c) Ceros Positivos y negativos (Descartes)
d) Posibles Races Racionales y las races de la funcin
e) Coordenadas de los puntos mximos y mnimos entre los ceros de la funcin
f) Su grfica
= 3+2 11. Extremos
2. Interseccin en Y0. 1
3. Ceros = 3+ 2 1
= 3+ 2+ 1
Ceros + Ceros - Ceros Total
1 2 0 3
1 0 2 3
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4. Races
a) enteras: 1
b) fraccin: no tiene
= 1 2 + 2 + 1
= 1 + 1 2
Races: 1 y -1 (doble)
5. = 32+ 2 132+ 2 1 = 0
1 =1
3 2 = 1
1
3,
32
27
= 3+2 1
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