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59
GUÍA 2 - CIENCIAS
Es una expresión matemática que sólo se verifica o satisface paralos puntos de la recta.
De acuerdo a la forma de la ecuación se tiene la ecuación punto-pendiente y la ecuación general.
Ecuación Punto Pendiente
a, b y c:Ec. General: ax + by + c = 0 constantes
Recta que pasa por el origen de coordenadas
Sea la ecuación: Y = - X
Rectas Paralelas:
Pendientes iguales
2m1m
Rectas Perpendiculares:
Si: L1 L2
12mx1m
(m1 m2): Son Pendientes
ÁNGULO FORMADO POR DOS RECTAS
1 1 1 1
1 1 1
2 2 2 2
2 2 2
L : A x +B y +C = 0
de pendiente m = -A /BSean:
L : A x+B y+C = 0
de pendiente m = -A /B
2 1
1 2
m mtag =
1+m m
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
1
1 1 1
2 2
A x +B y+Cd(p ;L) =
A +B
DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS
1 11 2
2 2
C -Cd (L ;L ) =
A +B
Casos particulares:
Si: m = 0
resulta y = b = constante
será una recta paralela al eje x.
Un caso similar se presenta si: x = a = constante
Su representación será una recta paralela al eje Y.
1 2
1L
21
1L
2L
(m )1(m )2
(0,b)
(a,0)0
bmx y:L
º
L
x
y
y = a
a
x
y
y = b
bx
y
b
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61
GUÍA 2 - CIENCIAS
18. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento AB, si A(7;9) yB(-5;7). A) x + y = 0 B) x - y = 0C) y + x – 7 = 0 D) 4y + 3x – 7 = 0E) 4y + 3x + 7 = 0
19. Hallar el área del triángulo determinado por las rectas deecuaciones y = x, y = 6, y = 2x.
A) 26 B) 210 C) 220
D) 29 E) 218
20. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento AB, si A(0;0) yB(-6;-8) A) x - y + 8 = 0 B) 3x + 2y - 8 = 0C) 3x - 4y - 25 = 0 D) 3x + 4y + 25 = 0E) x + y = 0
21. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (0;8) y esperpendicular a la recta: y + 3x – 8 = 0 A) 3y + x + 24 = 0 B) x + y = 0C) x - y = 0 D) 3y - x - 24 = 0E) 3x – 3y + 1 = 0
22. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2;-1) y esparalela a la recta: 2x - 5 = 0
A)2
x =5
B) x = -2 C) x = 2
D) x = -4 E) x = 4
23. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-1;3) yque es perpendicular a la recta: y + 3x – 8 = 0 A) x – 3y + 8 = 0 B) x – 3y – 8 = 0C) 3x – 4y + 15 = 0 D) x – 3y + 15 = 0E) 3x – 3y + 7 = 0
24. Hallar “k” del gráfico.
A)
6.5B) 8C) 15D) 7.5E) 4
25. Hallar “k” para que las rectas
y + 3 - 2k x + 8 = 0 k + 1 y - x - 5 = 0 sean
perpendiculares
A) 2 B) -2 C)1
3 D)
2
3 E) 4
NIVEL III
1. Halle la diferencia de1 2
m m : si:
1L : 2x 4y 12 0
2L : 3x y 5 0
A) 2 B) 2,5 C) 3 D) 3,5 E) 4
2. De la figura, halle: “K”
A) 6a
B) 7aC) 8aD) 9aE) 10a
3. Determine la pendiente la recta, cuya ecuación es: y mx 5 ,
para que pase por el punto de intersección de las rectas:
y = -3x - 5 ; y = 4x + 2
A)1
7 B)
1-
7 C) 7 D) -7 E) 1
4. Determine la ecuación de la recta cuya pendiente es -4 y quepasa por el punto de intersección de las rectas
2x + y - 8 = 0 ; 3x - 2y + 9 = 0
A) 4x+y-10=0 B)4x+y-2=0 C) 4x+y+10=0D)4x-y+2=0 E) 2x+y – 8=0
5. Una recta que pasa por el origen y por la intersección de las
rectas 1L y 2
L . Halle la ecuación.
1L : 3x + 2y - 14 = 0 2L : x - 3y - 1= 0
A) 4y-x=0 B) x-4y=0 C) 4y+x=0D) x+4y=0 E) x+y=0
6.
Si la ecuación lineal de la recta L es: 5x+3y –4=0 y el punto(2;k) pertenece a dicha recta. Hallar: K
A) 0 B) -1 C) -2 D) -3 E) -4
7. Halle “n” de modo que la recta L :12nx - 9y +129 = 0 corta al
segmento AB en el punto “P” tal que:7 AP 2PB ;además
A(2;3) B 11; 6
A) 1 B)1
-2
C)1
2 D) -2 E) 2
8. Halle la ecuación de la recta mediatriz del segmento AB; si:
A -1;3 B 4;8
A) x+y+7=0 B) x-y-7=0 C) x+y-7=0D) x-y+7=0 E) x+y=0
9. Calcule la ecuación de la recta que pasa por el baricentro deltriángulo ABC, y el origen de coordenadas.
Si: A (3; 1), B (5; 7), C (7; 2)
A) 2x-5y=0 B) 2x+5y=0 C) 5x-2y=0D) 5x-2y=0 E) 3x-5y=1
10. Si 1L : 2y - kx - 3 = 0 y 2
L : k +1 y - 4x + 2 = 0 . Son las
ecuaciones de dos rectas perpendiculares y si “1 2
m " y "m " son
sus pendientes, halle el valor de 1 2m + m .
A)8
3 B)
15
4 C)
35
6 D)
24
5 E)
48
7
X
Y
(-10;k)
37º
(3a;0)0
(k;7a)
y
x
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GUÍA 2 - CIENCIAS62
DEFINICIÓNEs el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están auna misma distancia de otro punto fijo del mismo plano denominadocentro.
Ecuación ordinaria de la circunferenciaSea P(x; y ) un punto del plano X-Y cuya distancia constante a otropunto fijo C(h, k ) es R, luego, la ecuación de la circunferencia es:
C = (x – h )2 + (y – h )
2 = R
2, así:
En la figura:Centro: C (h; k )radio: RPunto genérico: P(x; y )Entonces por distancia entre dos puntos:
Ecuación ordinaria de la circunferencia
Ecuación general de la circunferencia
La ecuación ordinaria de la circunferencia de los puntos P(x; y) de
centro C(h; k ) y cuyo radio R está dado: C: (x – h)2 + (y – k)
2 = R
2.
Desarrollando y ordenando:
C = x2 + y
2 – 2hx – 2ky + h
2 + k
2 – R = 0
Haciendo: –2h = A, –2k = B y
h2 + k
2 – R
2 = C
Luego:
Ecuación general de la circunferencia
PROBLEMAS APLICATIVOS 2
NIVEL I
01. La ecuación de una circunferencia es:2 2
x - 2 + y + 6 = 49 . Hallar su centro y el radio.
A) (3;6); r = 7 B) (2;6); r = 49
C) (2;-6); r = 7 D) (2;-6); r = 7
E) (-2;6); r = 49
02. La ecuación de una circunferencia es:
2 2x + y - 4x - 8y + 11 = 0 . Hallar su centro y el radio
A) (-2;4); r = 3 B) (2;4); r = 3
C) (0;0); r = 3 D) (0;4); r = 3 E) (2;4); r = 6
03. Hallar “m” si el punto (2;3) pertenece a la circunferencia.2 2x + y + 2x + my + 25 = 0
A) 12 B) 14 C) -14 D) -12 E) 16
04.
Hallar el área sombreada.
A)2100 -
B)240 -
C) 240
D)280 -
E) 280
05. Para que la ecuación 2 2x + y + Dx + Ey + F = 0 , represente a
un punto, ¿qué se debe cumplir? A) D + E – F < 0 B) D + E – F > 0
C) 2 2D + E - 4F > 0 D) 2 2D + E - 4F < 0
E) 2 2D + E - 4F = 0
06. Hallar la distancia del punto (4;-3) al centro de la
circunferencia: 2 2x + y = 3
A) 3 B) 5 C) 2 D) 10 E) 5
07. Hallar el centro de la circunferencia de ecuación. ,
2 2x + y = y
A) 0;1 B)1
0;2
C)1 1
;2 2
D)1
0;-2
E) (1 ; 1)
08. Hallar la ecuación de una circunferencia de diámetro AB siendo A(-5;7) y B(-2;3).
A)2 2x + y + 10x - 31 = 0
B)2 2x + y - 31 = 0
C)2 2x + y - 7x - 10y - 31 = 0
D)2 2x + y + 7x - 10y + 31 = 0
E) 2 2x + y + 10y + 31 = 0
09. Se tiene la circunferencia:2 2x + y - 7x - 10y - 31 = 0 . Hallar el perímetro del cuadrado
circunscrito a dicha circunferencia.
A) 15 B) 30 C) 60 D) 20 E) 40
R
R
c( ; )h k
P( ; ) x y
X
Y C : circunferencia
22 2: – – R x h y kC
2 2 A B C 0 x y x yC
X
Y 2 2(x 10) (y 8) 4
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GUÍA 2 - CIENCIAS
10. Hallar la ecuación de una circunferencia de radio 5 que seencuentra en el tercer cuadrante y además es tangente a losdos semiejes.
A) 2 2x + y + x + y + 25 = 0
B) 2 2x + y + 10x + 10y + 25 = 0
C) 2 2x + y = 25
D) 2 2x + y - 10x - 10y - 25 = 0
E) 2 2x + y - x - y + 25 = 0
11. Hallar la distancia del centro de la circunferencia
22x + y - 2 = 16 a la recta 3x + 4y – 18 = 0
A) 4 B) 5 C) 2 D) 6 E) 3
NIVEL II
12. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos(2;0) y (10;0) además tiene por centro el punto (6;3).
A) 2 2x + y - 12x - 6y + 40 = 0
B) 2 2x + y - 12x - 6y + 20 = 0
C) 2 2x + y - x - y + 40 = 0
D) 2 2x + y - x - y + 20 = 0
E) 2 2x + y = 20
13. Hallar los interceptos de la circunferencia2 2x + y + 6x - 2y + 5 = 0 ; con el eje X.
A) (5;0) y (1;0) B) (2;0) y (-2;0)C) (4;0) y (-2;0) D) (-4;0) y (-1;0)E) (-5;0) y (-1;0)
14. Hallar el área del triángulo sombreado.
A)240
B)250
C)220
D)230
E)210
15. Cuántos puntos de coordenadas enteras hay en la
circunferencia2 2x + y = 5
A) 2 B) 5 C) 4 D) Infinitos E) Ninguno
16. Las circunferencias
2 21
2 22
C = x + a + y - b = 15
C = x + y - 8x + 6y + 20 = 0
Son concéntricas. Hallar a + b A) 7 B) 10 C) – 7 D) -10 E) 8
17. Qué punto de la circunferencia 2 2x + 5 + y - 8 = 16 está
más cerca al eje Y. A) (-1;5) B) (-1;8) C) (-5;8)D) (1;8) E) (1;-5)
18.
Hallar la distancia mínima del punto (5;8) a la circunferencia2 2x + y - 4x - 8y + 11 = 0
A) 3 B) 1 C) 2 D) 6 E) 5
19. Hallar el área del trapecio.
A)250
B)2108
C)240
D) 254
E)248
20. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (2;8), siendoademás tangente al eje de coordenadas.
A) 2 2x + y - 4x - y - 64 = 0
B) 2 2x + y = 64
C) 2 2x + y - 4x - 16y + 64 = 0
D) 2 2x + y = 100
E) 2 2x + y - x - y - 64 = 0
21.
Hallar la longitud de la circunferencia, que tiene por ecuación2 2x + y - 8x - 10y + 25 = 0
A) 16 B) 6 C) 4 D) 8 E) 10
22. Hallar el centro de la circunferencia 2 2x + y + 8y + 1 = 0
A) (0;2) B) (0;-2) C) (0;-4) D) (0;4) E) (0;-1)
23. Qué punto de la circunferencia:2 2
x - 15 + y - 18 = 100 está más cerca al eje X.
A) (8;15) B) (15;10) C) (15;8)D) (0;10) E) (15;18)
24. Hallar las coordenadas de los puntos de corte que se tiene al
graficar: 2 2x + y = 10 3x - y = 0 A) (1;-3) y (-1:-3) B) (0;3) y (-1;3)C) (-1;3) y (1;3) D) (1;3) y (0;-3)E) (0;8) y (-3;0)
25. Hallar la ecuación de la circunferencia mostrada.
A) 2 2x + y - 4x - 4y = 0
B) 2 2x + y - x - y + 4 = 0
C) 2 2x + y - 4x - 4y + 4 = 0
D) 2 2x + y + x + y + 4 = 0
E) 2 2x + y = 4
NIVEL III
01. Hallar la distancia del centro de la circunferencia al origen de
coordenadas, sabiendo que su ecuación es:
2 2x y 8x 6y 0
A. 3 B. 5 C. 4 D. 1 E. 6
02. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (3;5) y que sea
tangente a la recta y – 1 = 0
A. 2 2(x 3) (y 5) 16 B. 2 2(x 3) (y 5) 16
C. 2 2(x 3) (y 5) 16 D. 2 2(x 3) (y 5) 4
E. N.A.
X
Y 2 2x y 16x 20y 139 0
2 2x y 100
y 6
X
y
X
Y
4x 3y 24 0
8/11/2019 004 - GEOMETRIA ANALITICA
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GUÍA 2 - CIENCIAS64
03. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen decoordenadas y su centro está en las rectas:
1L : 3x 2y 24 0 y 2L : 2x 7y 9 0 .
A. 2 2(x 6) (y 3) 45 B. 2 2(x 6) (y 3) 45
C. 2 2(x 6) (y 3) 45 D. 2 2(x 3) (y 6) 45
E. 2 2(x 3) (y 3) 45
04. Se tiene la circunferencia: 2 2x y 4x 6y 12 0 y el
punto (3;3). Hallar la ecuación de la tangente a la circunferenciatrazada por dicho punto.
A. x+y-1=0 B. x+2y-1=0C. x-2=0 D. x=3 E. x=-3
05. Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia:2 2x y 4x 6y 12 0 en el punto P (-5;7).
A. 3x-4y+43=0 B. 3x+4y+43=0C. 3x+4y-43=0 D. 3x+y-43=0 E. X+y+4=0
06.
Una circunferencia longitud 12 tiene su centro en el tercer
cuadrante y es tangente a los ejes coordenados. Hallar laecuación de dicha circunferencia.
A. 2 2(x 3) (y 3) 36 B. 2 2(x 6) (y 6) 36
C. 2 2(x 6) (y 6) 36 D. 2 2(x 6) (y 3) 36
E. 2 2(x 3) (y 6) 36
07. Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente al eje “X”en S(4;0) y pasa por T(7;1).
A. 2 2(x 3) (y 1) 38 B. 2 2(x 3) (y 1) 38
C. 2 2(x 3) (y 1) 38 D. 2 2(x 3) (y 3) 38
E. 2 2(x 1) (y 1) 38
08. Hallar la longitud de la tangente trazada desde el punto P(6;4) a
la circunferencia: 2 2x y 4x 6y 19 0 .
A. 7 B. 8 C. 9 D. 1 E. 4
09. La ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(1;2),B(4;6) y cuyo centro está sobre el eje X, es:
A. 2 212x 6x y 14 0
B. 2 26x 12y 12x 56 0
C. 2 236x 2x y 0
D. 2 236x 36y 564x 384 0
E. 2 236x 12y 564x 420 0
10. La ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (2; 3) y(4; 1) y que tiene su centro en la recta 3x-4y=0 es:
A.2 2
x 4 y 3 4 B.2 2
x 4 y 3 4
C. 2 2x y 4x 4 0 D.2 2
x 4 y 3 4
E.
2 2
x 4 y 1
11. La distancia mínima del punto (3; 9), a la circunferencia:
2 2x y 26x 30y 313 0 es:
A. 17 B. 595 C. 26 D. 9 E. 667
12. Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la
circunferencia, 2 2x y 6x 10y 2 0 ; cuyo radio es
un tercio del radio de esta circunferencia.
A. 2 2x y 4 B.2 2
x 3 y 5 9
C.2 2
x 3 y 5 9 D.2 2
x 3 y 5 4
E. 2 2
x 3 y 5 4
13. Hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia
2 2x y 2x 2y 23 0 . En el punto P=(2;5).
A. 3x - 4y = 26 B. 4x – 3y = 26C. 3x + 4y = 26 D. 4x + 3y = 26
E. 6x + 2y = 13
14. Los puntos extremos de una cuerda de una circunferencia son: A= (2 ; 7) y B = (4 ; 1). La ecuación de esta circunferencia quetiene su centro en el eje Y es:
A. 2 2x y 6y 11 0 B. 2 2x y 6y 29 0
C. 2 2x y 6y 29 0 D. 2 2x y 6y 11 0
E. 2 2x y 6y 11 0
15. La ecuación 2 216x 16y 8x 64y 177 0 representa:
A. Un conjunto vacíoB. Un puntoC. Una circunferencia de centro (-1/4 ; 2)
D. Una circunferencia de radio 7
E. Una circunferencia de centro (1/4 ; -2) y radio 7.