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UNIVERSIDAD DEL ZULIA
FACULTAD EXPERIMENTAL DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
Enfoque Unidimensional de las Ternas
Pitagóricas
Jesús Varela
XXVII Jornadas Nacionales de Matemáticas
Barquisimeto, 28 al 31 de Julio de 2014
Enfoque Unidimensional de las Ternas Pitagóricas y
Algunas Aplicaciones
Resumen
Las ternas pitagóricas, es un tema abordado por primera
vez por el matemático griego Pitagora, al considerar
soluciones en enteros para la ecuación X2+y2=z2, aquí
tratamos familias de soluciones desde una perspectiva
monoparamétricas, es decir, familias de soluciones en
enteros que dependen de un solo parámetro, una
respuesta biparamétrica a este problema, se encuentra
publicado en el libro del Matemático Angel Oneto:
“Números, Anillos y Cuerpos”
Justificación A una terna de números naturales (a,b,c) que satisface la
ecuación a2+b2=c2, la llaman una terna pitagórica. Si además se
cumple que (a,b,c)=1, decimos que la terna pitagórica es primitiva
Para Ilustrar presentemos dos ejemplos de ternas pitagóricas:
(3,4,5) y (6,8,10), ambas satisfacen la relación pitagórica, la
diferencia entre ambas ternas: es que la segunda se obtiene de
la primera, al multiplicar por 2 todos los términos de la primera
terna, además, los términos de la primera son coprimos dos a
dos, así la primera es una terna pitagórica primitiva y la segunda
no lo es.
En los anales remotos del Hombre, se dice que en la Mesopotamia antigua,
entre 1900 y 1600 a. C., según la tablilla cuneiforme Plimpton 322, la forma
para hallar ternas pitagóricas, se regia por la formula: para p>q, a= p2-q2 ;
b=2pq y c= p2+q2, satisfaciéndose la igualdad a2+b2=c2. Un milenio después,
en el siglo VI a. C., Pitágoras propuso la formula a=2n+1, b=2n2+2n y
c=2n2+2n+1. En esta misma época Platón, propuso la formula a=2n, b=n2-1 y
c=n2+1, ambas propuestas satisfacen la igualdad a2+b2=c2. Como puede
notarse inmediatamente tanto la propuesta de Pitágoras y de Platón, aportan
métodos mono-paramétricos que agrupan familias numerables de ternas
pitagóricas. Posteriormente, en el siglo III, el matemático griego Diofanto,
aborda de nuevo el problema al considerar soluciones en enteros para la
ecuación X2+y2=z2, además, su formula propuesta rescata la mesopotámica.
Por todos es conocido el método biparamétrico de hallar
ternas pitagóricas primitivas, que se encuentra publicado en
el libro del Matemático Angel Oneto: “Números, Anillos y
Cuerpos” :
Teorema: La terna de números Naturales
(x,y,z) es pitagórica primitiva, si, y solo si,
existen números naturales u y v coprimos
y de distinta paridad, con u>v, tales que:
x=2uv; y= u2-v2; z= u2+v2
● Prueba:
● () Si (x,y,z) es una terna pitagórica primitiva, entonces x, y, z son coprimos dos a dos, pues cualquier factor de dos de ellos, por X2+y2=z2, debe ser un factor del tercero. En particular uno solo de ellos debe ser par, y los otros dos impares. Además z no debe ser par, porque de ser z=2a, x=2b+1 y y=2c+1, al reemplazar en X2+y2=z2, se llega a que 4 | 2, lo que es un absurdo. Luego el par debe ser x o y, por simetría podemos suponer que X=2a y por lo tanto:
z+y=2b y z-y=2c
Como y y z son impares y coprimos debe ser que b y c son
enteros y coprimos, y tomando en consideración el teorema
fundamental de la aritmética se tiene que b y c son
cuadrados, y por lo tanto existen enteros u y v tales u2=b y
v2=c, cumpliéndose con X= 2uv, y= u2-v2 y z=u2+v2 , con u y v
coprimos
● Prueba:
● () Por reemplazo directo se comprueba que
X2+y2=z2. Si p es un factor común de 2uv,
u2-v2 y u2+v2 , como p | 2uv, se tendrá que
p | 2, p | u o p | v, pero p no divide a 2, porque
p | u2-v2, que es impar, ya que u y v son de
distinta paridad. Además, de p | u, como
p | u2-v2,, se deduce que p | v, contradiciendo
que u y v son coprimos. Análogamente, si p | v
, se seguiría que p | u. por tanto x, y, z no tiene
factores primos comunes y (x,y,z) es una terna
pitagórica primitiva
Podemos construir la tabla siguiente:
U V X=2UV Y=U2-V2 Z=U2+V2
2 1 4 3 5
3 2 12 5 13
4 1 8 15 17
4 3 24 7 25
5 2 20 21 29
5 4 40 9 41
● Usando el tablero de ajedrez visualice 42+32 =52, motivando una
metodología para hallar ternas pitagórica primitivas a partir de los
números impares , siguiendo la regla:
X=s=2n-1 Y Z X2 Y2 Z2
1 0 1 1 0 1
3 4 5 9 16 25
5 12 13 25 144 169
7 24 25 49 576 625
9 40 41 81 1600 1681
11 60 61 121 3600 3721
13 84 85 169 7056 7225
15 112 113 225 12544 12769
17 144 145 289 20736 21025
19 180 181 361 32400 32761
2
1s Z;
2
1sY s;X
22
Proposición 1:
Existen infinitas ternas pitagóricas primitivas en N3
Prueba:
Sean Xn=2n-1, Yn=((Xn)2-1)/2 y Zn=((Xn)
2+1)/2
, vemos que se satisface (Xn)2+(Yn)
2=(Zn)2.
Además, Xn, Yn, Zn son coprimos dos a dos,
luego la terna (Xn,Yn,Zn) es Pitagórica
primitiva, y tenemos tantas como números
impares hay en N, por lo tanto hay infinitas
ternas pitagóricas en N3
Proposición 2:
Si (X,Y,Y+K) es una terna pitagorica primitiva,
entonces K divide a X2.
Prueba:
En efecto, si X2+y2=(Y+K)2, de donde
X2=K(2Y+K), luego K divide a X2
Proposición 3:
Si (X,Y,Y+K) es una terna pitagórica primitiva, y K
es primo, entonces K divide a X.
Prueba:
En efecto, si X2+y2=(Y+K)2, de donde
X2=K(2Y+K), luego K divide a X2, luego K divide a
X, por ser K primo.
Proposición 4:
Si (X,Y,Y+K) es una terna pitagórica primitiva,
entonces K es un cuadrado o es de la forma 2v2.
Prueba:
En efecto, si (X,Y,Y+K) es una terna pitagórica,
tenemos X2+y2=(Y+K)2, de donde X2=K(2Y+K),
luego K divide a X2, , por ser K coprimo con Y, en
virtud de ser (X,Y,Y+K) una terna primitiva y
considerando el teorema fundamental de la
aritmética, tenemos que K=v2, donde v divide a X
si K es impar, o si K es par debe ser K=2S y así
debe ser 2v2 .
Proposición 5:
Si p es primo impar, existe una familia infinita
de ternas pitagóricas de la forma:
Xn=pn, y
Prueba:
Vemos que se satisface (Xn)2+(Yn)
2=(Zn)2. Además,
Xn, Yn, Zn son coprimos dos a dos, luego la terna
(Xn,Yn,Zn) es Pitagórica primitiva, y tenemos tantas
como números hay en N.
2
1pY
2n
n
2
1pZ
2n
n
Contraejemplo: no existe una terna pitagórica
primitiva de la forma (6,x,y).
Prueba; En efecto, de existir tal terna, debe
suceder que 36=(y+x)(y-x), pero tanto x, como
y, son impares, luego las posibilidades se
reduce a que y+x=18 y y-x=2, lo que indica
que y=10, y esto es contradictorio. Por lo tanto
no existe tal terna.
222
1
ir1
zxs que talz),x,(s, forma la de spitagorica ternas
2
1)12)...(1(2 eexactamentexisten entonces impares,
primosson p números los donde , p...ps Si :6n Proposició r1
r
2
1)12)...(1(2
:es z)x,(s, forma la de spitagorica ternasde número el asiy
,2
1)12)...(1(2 fórmula lapor odeterminad está soluciones
de número el queconcluir podemos orio,contradict es sd caso
el que hecho ely naturales,son y x z porque ,d
sd que cuenta
en tomando, d
sx-zy d xzpor formados ecuaciones de
sistema losresolver que tenemos,s de ddivisor un doconsideran
x)-x)(z(zs donde de impar, zy par con x ,zxs
decir, es , primitiva pitagórica ternauna es z)x,(s,y impares,
primosson p números los donde , p...ps Si :Prueba
1
1
2
2
2
2222
ir1r1
r
r
222
1-r
ir1
zxs que talz),x,(s, forma la de mitiva
-pri spitagorica ternas2 eexactamentexisten entonces impares,
primosson p números los donde , p...ps Si :7n Proposició r1
d
s2
d
sd que doconsideran ,2
h
r es resolver a sistemas
de número el luego r,y 1 entreh variando,h
r es pedidacondición
lacon primos divisoresh poseen que divisores de número el así ,s
en tieneque exponente mismo al elevadosestar deben d de primos
factores los entonces 1,)d
sMCD(d,suceder debe que cuenta
en tomando, d
sx-zy d xzpor formados ecuaciones de
sistema losresolver que tenemos,s de ddivisor un doconsideran
x)-x)(z(zs donde de impar, zy par con x ,zxs
decir, es , primitiva pitagórica ternauna es z)x,(s,y impares,
primosson p números los donde , p...ps Si :Prueba
2r
r
0h
2
2
2
2
2222
ir1r1
22
2ser debe
primitivas spitagorica ternasde totalnúero el queser debe
1-rr
.zxs :satisfaga que z)x,(s, vas
-primiti spitagorica ternasexiste no entonces impares, primos
son p números los donde , p...p2s Si :8n Proposició
222
ir1r1
z)x,(s, tiva
-primi pitagórica ternauna existe no tantolopor impar, zser de
hecho el iendocontradicc par, es z decir, es b,az donde de
b),2(a2z luego aritmética la de lfundamenta emasegún teor
impares, by acon 2b,x-zy 2axz que doConsideran
x).-x)(z(zs donde de impares, zy con x ,zxs
decir, es primitiva, pitagórica ternauna es z)x,(s,y impares,
primosson p números los donde , p...p2s Si
:Prueba
2222
ir1r1
anterior la a analoga :Prueba
2 es z)x,(s, forma la de mitivas
-pri spitagorica ternasde número el entonces impares, primosson
p números losy 2 donde , p...p2s Si :9n Proposició
r
ir1r1
222
1
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r1
zxs que talz),x,(s, forma
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1)12)...(1(2 mente
-exactaexisten entonces impares, primosson p números
losy 2 donde , p...p2s Si :10n Proposició r1
r
2
1)12)...(1(2 es
z)x,(s, forma la de primitivas spitagorica ternasde número el asiy
,2
1)12)...(1(2 fórmula lapor odeterminad
está soluciones de número el queconcluir debemos orio,contradict es
p...pd caso el que hecho dely naturales,son y x z porque ,d2
sd
con cumpla que , tengamosd divisores como , d2
sx-zy d2 xz
:forma la de ecuaciones de sistema antosresolver t que tenemos,2
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-divi cada a doConsideran x).-x)(z(zs donde de impares, zy con x
,zxs decir, es primitiva, pitagórica ternauna es z)x,(s,y impares,
primosson p números losy 2 donde , p...p2s Si :Prueba
1
1
r1
2
1-
21-
2
2
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ir1
r1
r1
r
r
Aplicaciones
Proposición #1:
Existen infinitos ceros en Z3, para el polinomio p(x,y,z)= X2+y2-z2
Proposición #2
El conjunto de puntos con coordenadas racionales en la circunferencia
unitaria, no es denso en ella
Proposición #3:
Los únicos puntos, de la circunferencia unitaria, con coordenadas
racionales están determinados por la sucesión: de ternas pitagóricas
ordenadas por el orden lexicográfico
Aplicaciones
1. Construcción de triángulos rectángulos de
lados enteros
2. Construcción de paralelepípedos de aristas
enteras
3. Hallar familias de pares (x,y) de norma entera
4. Hallar familias de números complejos de
módulo entero.
Referencias Bibliografica
1. GENTILE, E.: Aritmética elemental O.E.A., Washington, D.C. (1985)
2. LANG, S. : Algebra. Aguilar, Madrid (1971)
3. ONETO Á., Números, Anillos, y Cuerpos, Ediluz, Maracaibo (2001)
4. Varela J. “Lógica, Conjuntos y Aritméticas en los Enteros”, Trabajo de
Ascenso, Maracaibo (2000)
5. Vinogradov I. Fundamentos de la Teoría de los números, Editorial MIR,
Moscu, (1977)