XIX. El modelo de intercambio y producción de Walras

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XIX. EL MODELO DE INTERCAMBIO Y PRODUCCIÓN DE WALRAS1 Este capítulo constituye un resumen de la importante contribución de Walras a la microeconomía moderna. Constituye un punto culminante de la evolución teórica de nuestra disciplina. Por tal motivo, les sugiero seguir su lectura acompañada de material complementario. Me parece oportuno comentarles que, en el siglo pasado hubo grandes aportes que permiten una mejor apreciación de su trabajo principal, los Éléments d’Économie Politique Pure. Esta obra merece ser leída en el original, pero, claro, está en francés. Hay una edición electrónica de esta obra bajo el título Léon Walras, Théorie Mathématique de la Richesse Sociale, 1883, hecha por Gallica. Entre las extensiones del siglo pasado está la teoría del equilibrio general de K. Arrow y G. Debreu a la que nos referiremos en el próximo capítulo, y un breve y preciso documento de Oscar Lange, Price Flexibility and Employment (Bloomington, Indiana: The Principia Press, 1944). Mi exposición se basará en gran medida en el aporte del economista Michio Morishima (1977) Walras' economics: a pure theory of capital and money, a quien volveremos a encontrar cuando hablemos sobre la teoría económica de Karl Marx. 1. Léon Walras : elementos biográficos En 1874 apareció la obra capital del economista Léon Walras, Éléments d'Économie Politique Pure. Esta obra introdujo muchos de los conceptos hoy utilizados en la teoría del equilibrio económico. Posteriormente, Karl Gustav Cassel (1918) y Abraham Wald (1936) ampliaron y corrigieron su tratamiento. Hacia 1950 hubo un resurgimento de interés en su teoría, cuando se desarrollaron los primeros esquemas con tecnologías lineales y problemas de existencia. Con Arrow, Debreu y Koopmans el modelo (denominado desde entonces de Walras-Cassel) fue integrado con la tradición paretiana y se transformó en el modelo neo-walrasiano. Walras era hijo del economista francés Auguste Walras. Auguste era un maestro de escuela y no ejercía como economista profesional, aunque su pensamiento económico tuvo un profundo efecto sobre el de su hijo. Pensaba que el valor de los bienes quedaba determinado comparando su escasez con las necesidades humanas. Walras también heredó de su padre sus intereses por las reformas sociales. Como los socialistas Fabianos, Walras deseaba nacionalizar la tierra, creyendo que de esa manera aumentaría su valor y que las rentas derivadas de la misma serían suficientes para mantener al país sin introducir impuestos. Otra influencia importante fue la de Augustin Cournot, compañero de estudios. A través de Cournot Walras cayó bajo la influencia del racionalismo francés y comenzó a utilizar matemáticas en economía. Cournot había creado relaciones funcionales en las cuales las “cantidades están vinculadas con los precios de demanda y con los costos.” También había sugerido la existencia de curvas de demanda decrecientes. Aunque Walras llegó a ser considerado como uno de los tres líderes de la revolución marginalista, no estaba familiarizado con las otras dos grandes figuras del marginalismo, William Stanley Jevons y Carl Menger, y de hecho desarrolló sus teorías de forma independiente. En 1874 y 1877 publicó sus “Elementos de Economía Pura”, una obra que lo encaramó como el padre de la teoría 1 V. Ladislaus von Bortkiewicz, (1890), "Léon Walras, Éléments d'économie politique pure, 2e edition", Revue d'économie politique, Vol. 4, No. 1 (January-February); The History of Economic Thought Website; Morishima, Michio (1977) Walras' economics: a pure theory of capital and money. Cambridge University Press; Joseph A. Schumpeter, History of Economic Analysis, New York, Oxford Univ. Press, 7th ed., 1968; Wikipedia: “Léon Walras”; Lange, O., Price Flexibility and Employment (Bloomington, Indiana: The Principia Press, 1944); J. Henderon and R.E. Quandt, Microeconomic Theory, A Mathematical Approach, © 1958, 1971 by McGraw-Hill, Inc.; K. Lancaster, Economía matemática, Bosch, 1972.

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del equilibrio económico general. El problema que Walras se propuso resolver había sido presentado por Cournot, en el cual podía demostrarse cómo se comportaban los mercados en forma individual, pero se ignoraba cómo los bienes podían interactuar unos con otros afectando a la oferta y la demanda. Walras creó un sistema de ecuaciones simultáneas intentando resolver el problema de Cournot, pero reconoció que aunque el sistema fuera el correcto, el número de incógnitas y la carencia de información lo hacía insoluble. Cuando pasó a ser profesor de la Universidad de Lausanne, en Suiza, Walras fundó, bajo la dirección de su discípulo italiano, el economista y sociólogo Vilfredo Pareto, la que luego sería conocida como la escuela de economía de Lausanne. Por mucho tiempo las publicaciones de Walras sólo estuvieron disponibles en francés, lo que implicó que sólo una pequeña parte de la profesión estuviera famiarizada con sus trabajos. A partir de los años 1950, la situación cambió gracias a la obra de William Jaffé, traductor de las principales obras de Walras, y editor de su Correspondencia completa (1964). Entre las obras principales de Léon Walras cabe mencionar: Francis Saveur, 1858; "De la propriété intellectuelle", 1859, Journal des économistes; L'économie politique et la justice; Examen critique et réfutation des doctrines économiques de M. P.J. Proudhon précédés d'une introduction à l'étude de la question sociale, 1860; "Paradoxes économiques I", 1860, Journal des économistes; "Théorie critique de l'impôt", 1861; De l'impôt dans le Canton de Vaud, 1861; Les associations populaires de consommation, de production et de crédit, 1865; "La bourse et le crédit", 1867, Paris Guide; Recherche de l'idéal social, 1868; "Principe d'une théorie mathématique de l'échange", 1874, Journal des économistes; Éléments d'économie politique pure, ou théorie de la richesse sociale (Elements of Pure Economics, or the theory of social wealth, transl. W. Jaffé), 1874. (1899, 4th ed.; 1926, rev ed., 1954, Engl. transl.); "Correspondance entre M. Jevons, professeur a Manchester, et M. Walras, professeur à Lausanne", 1874, Journal des économistes; "Un nuovo ramo della matematica. Dell' applicazione delle matematiche all' economia politica", 1876, Giornale degli economisti; Théorie mathématique de la richesse sociale, 1883; "Notice autobiographique de Léon Walras", 1893; Études d'économie sociale; Théorie de la répartition de la richesse sociale, 1896; Études d'économie politique appliquée; Théorie de la production de la richesse sociale, 1898; "Théorie du crédit", 1898, Revue d'économie politique; "Sur les équations de la circulation", 1899, Giornale degli economisti; "Cournot et l'Économique Mathématique", 1905, Gazette de Lausanne; "La Paix par la Justice Sociale et le Libre Échange", 1907, Questions Pratiques de Legislation Ouvrière; L'état et le chemin de fer; "Leone Walras, Autobiografia", 1908, Giornale degli Economisti; "Un initiateur en économie politique, A.A. Walras", 1908, La Revue du Mois; "Économique et méchanique", 1909, Bulletin de la Societe Vaudoise de Sciences Naturelles; Correspondence of Léon Walras and related papers (ed. by William Jaffé, 3 vols.), 1965. Walras elaboró sus Elementos a través de etapas progresivas en cuanto a complejidad y generalidad. Sus ocho partes pueden ser resumidas de la siguiente manera: (1) Walras define el alcance de la economía, de la teoría subjetiva del valor y del método matemático; (2) Discute el intercambio puro de dos bienes cuyas demandas y ofertas han sido derivadas mediante la maximización de la utilidad; aquí se introduce al “subastador” y al proceso de tanteo (tâtonnement) para la estabilidad. (3) Introduce el intercambio en mercados múltiples; hace el recuento de “ecuaciones y de incógnitas” a fin de hallar la existencia de situaciones de equilibrio; y considera al tanteo multi-mercado con un subastador; (4) Incorpora a la producción (en las primeras ediciones, con coeficientes fijos; y en ediciones posteriores, con tecnologías flexibles que le permiten hablar de la teoría de la productividad

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marginal) con un empresariado que no persigue beneficios; demuestra cómo la demanda de factores se deriva como una demanda indirecta por los bienes; (5) Introduce su teoría del capital, que incluye la capitalización de las ganancias futuras y presenta una teoría del ahorro y del crédito; (6) Introduce su teoría de la demanda de dinero como “encaisse desirée”; contempla al dinero como brindando servicios futuros y, por ende, como “deseado” en un problema de elección general; (7) Considera a un mercado continuo y a una economía en crecimiento; (8) Efectúa reflexiones sobre la competencia imperfecta y el monopolio. Después de las repercusiones de los Éléments, Walras trató de mantener correspondencia con virtualmente todo los economistas importantes de su época, desde Estados Unidos hasta Rusia, en un esfuerzo por popularizar su nueva teoría. Halló simpatizantes y seguidores entre varios jóvenes italianos con buena formación (p.ej. Barone y Pareto) y norteamericanos (p.ej. Moore y Fisher). Pero en su mayor parte fue ignorado o despreciado por los economistas y matemáticos contemporáneos. En 1893, la cátedra de Walras fue continuada por su joven discípulo, Vilfredo Pareto. Entre ambos formaron el núcleo de la que llegó a conocerse como Escuela de Lausanne. Aunque estaban de acuerdo en las principales cuestiones teóricas, los detalles del programa de investigación subsiguiente serían dictados más por los intereses de Pareto que por las preocupaciones de Walras. Walras había escrito sus Éléments de 1874 como parte de un proyecto más amplio, que resultó inconcluso porque en los 1890s sus capacidades mentales habían comenzado a ceder y resultaba dudoso que pudiera completar su gran obra de la forma en que lo había intentado originariamente. Walras compiló de apuro dos volúmenes, los Études d'économie sociale (1896) y los Études d'économie politique appliquée: Théorie de la production de la richesse sociale (1898) que consideró complementarios, indivisibles y pilares de su teoría económica general en forma conjunta con los Éléments. Para su infortunio, la mayoría de los economistas consideró a los dos últimos volúmenes como rellenos “livianos” o, lo que era peor aún, como una simple plataforma de política socialista. Hoy en día, como entonces, sólo los Éléments son considerados como la “verdadera” contribución de Walras. Aunque algunos economistas continúan creyendo que, al no ser tenidos en cuenta sus dos otros volúmenes, la teoría moderna del Equilibrio General neo-walrasiana no adhirió – sea en términos generales o en detalle – a la visión original de Walras. Los economistas modernos también han descartado el intento de Walras, en una edición posterior (1896) de sus Éléments, de ser acreditado como el descubridor de la teoría de la productividad marginal de la distribución, dándole prioridad a Wicksteed. Es ampliamente reconocido que Walras supo de este teorema por medio de Enrico Barone (aunque, por extraña coincidencia, Walras había recibido el teorema escrito en una hoja de papel de un matemático de Lausanne, Hermann Amstein, en 1877, ¡pero no había comprendido suficientemente el tratamiento matemático como para saber qué hacer!). Walras pasó los últimos años de su vida en una soledad plena de frustraciones, amargura por la desatención hacia su obra, discapacitado por la senilidad y la enfermedad mental. Falleció en 1910. 2. Intercambio

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Walras apreció que, antes de pasar a considerar el funcionamiento de una economía capitalista, era de vital importancia clarificar el problema del numerario (numéraire). Sea una economía en la que todos los individuos son precio-aceptantes. Designamos como p=(p1,...,pn) al vector de precios. Cada individuo está provisto de ciertas cantidades de los n bienes, x1

0,...,xn0 antes de

realizar transacciones, que desea convertir en cantidades x1, ...,xn a fin de maximizar su función de utilidad2: [1] u=u(x1, ..., xn). La restricción presupuestaria es la siguiente: [2] ∑pi xi =∑pi xi

0. Adicionalmente, las cantidades que le deben quedar luego del intercambio deben ser no negativas: [3] xi≥0 (i=1, ..., n). Este problema [1]-[3] puede ser resuelto mediante las condiciones de KKT con las cuales obtenemos las condiciones de primer orden para un máximo condicionado: [4] ui≤λpi (i=1, ...., n), en las cuales ui denota a la derivada parcial de u con respecto a xi y λ al multiplicador de Lagrange3. Si [4] rige como desigualdad estricta ‘<’ para algún i, luego el correspondiente xi debe ser nulo en el máximo; en cualquier otro caso, xi≥0. Aunque Walras no incluyó en ninguna parte de su libro las desigualdades [3], escribió lo siguiente: “Dados dos bienes en un mercado, cada poseedor alcanza su máxima satisfacción, o utilidad máxima efectiva, cuando el cociente de sus “raretés” [e.d. utilidades marginales] es igual al de sus precios... Naturalmente, es posible que una parte del intercambio encuentre interesante ofrecer toda la dotación de uno de los dos bienes de que dispone al comenzar el trueque [e.d. quedarse con xi=0 del bien i con xi

0>0] o no demandar nada del otro bien [e.d. demandar xi=0 para i con xi

0=0].” Para este último caso concluyó: “La cantidad demandada de uno de los dos bienes por un tenedor del otro bien resulta cero, cuando el precio del bien demandado es igual o mayor que el cociente entre la intensidad de su deseo máximo por él y la intensidad del último deseo que puede ser satisfecho con la cantidad poseída del bien ofrecido [e.d. el cociente de utilidades marginales].” En cuanto al bien restante, expresó que “el tenedor de uno de ambos bienes ofrecerá todo lo que tiene de ese bien cuando el precio del bien demandado a cambio sea igual o menor que el cociente de intensidades del último deseo que puede ser satisfecho por el bien demandado con relación a la intensidad de la necesidad máxima satisfecha por el bien que es ofrecido.” De estas citas cabe deducir que Walras estaba al tanto de las verdaderas condiciones de equilibrio del consumidor [4]. Y nada cambia al agregar varios bienes dentro del análisis. Como se vio en el Capítulo II, posteriormente hubo un análisis riguroso de los bienes libres por economistas germanófonos como Zeuthen, Neisser, von Stackelberg, etc. Pero en Walras el concepto de escasez por oposición al de bienes libres resulta fundamental en su teoría del valor.

2 Supondremos que u posee curvas de indiferencia convexas al origen por doquier. 3 Para el tratamiento matemático se seguirá el moderno enfoque de M. Morishima, sobre la base de que enriquece el tratamiento del propio Walras.

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Walras no aceptó ni la teoría del valor-trabajo británica ni la teoría francesa de la utilidad, porque ninguna de ellas consideraba en forma apropiada a la escasez. En contra de la primera escribió que “si el trabajo tiene valor y es comerciable, lo es porque es útil y limitado en cantidad, es decir escaso. El valor deriva por consiguiente de la escasez. Otras cosas que no sean trabajo, mientras sean escasas, tienen valor y son comerciables como si fueran trabajo”. En contra de la teoría de la utilidad dijo: “La utilidad ... de por sí no crea valor. Además de ser útil, una cosa debe ser escasa, es decir no debe existir en cantidad ilimitada...El aire que respiramos, el viento que hace ondear los sembradíos en la tierra, el sol que nos proporciona luz y calor y alimenta nuestras cosechas, el agua y el vapor de agua, éstas y otras fuerzas de la naturaleza no sólo son útiles, sino indispensables. Y sin embargo no tienen valor. ¿Por qué? Porque se encuentran en cantidades ilimitadas y todos podemos hacer uso de ellas en la cantidad que deseemos cuando están presentes, sin postergar nada o realizar a cambio ningún sacrificio.” En realidad, el objetivo de Walras en su teoría del intercambio era verificar el punto de vista de que todas las cosas valiosas y comerciables son útiles y al mismo tiempo están disponibles en cantidades limitadas, y recíprocamente. Para ello, prestó especial atención a la cantidad de un bien demandado por un individuo a un precio cero. A esta cantidad la llamó la “utilidad extensiva” de ese bien y la supuso finita. La utilidad extensiva total de un bien i es la suma de las utilidades extensivas individuales. Es la cantidad total de i que los individuos querrán retener suando su precio es nulo. En otros términos, es la suma de los xi sobre todos los individuos en pi=0. Como cada xi depende no solamente de pi sino también de los precios restantes, la cantidad total Xi es una función de todos los precios, de modo que la utilidad total extensiva, e.d. Xi calculada en pi=0, puede tener fluctuaciones si cambian los precios de los otros bienes. Interpretado en terminología moderna, esto puede plantearse en los términos siguientes: Sean p1

0, ...,pn0 los valores de

equilibrio general de los precios, y Xi(p10, ...,pi-1

0,0,pi+10,...pn

0) la demanda total particular de utilidad extensiva del bien i obtenida cuando los restantes mercados se encuentran en equilibrio. Entonces el precio de equilibrio del bien i será nulo, e.d. pi

0=0, si la ‘utilidad total extensiva’ es menor que la cantidad poseída, e.d. Xi(p1

0, ...,pi-10,0,pi+1

0,...pn0)<Xi

0 donde Xi0 representa la cantidad total

poseída del bien i entre todos los consumidores, e.d. la suma de xi0. Ésta es la regla que hoy es

llamada de los bienes libres. Para un individuo escribimos di=xi-xi

0 si su xi es mayor que si xi0, sj=xj

0-xj si su xj0 es mayor que su

xj. El individuo comprará la cantidad di del bien i de otras personas y venderá la cantidad sj del bien j a los demás. En el mercado la demanda total de i es la suma de las di sobre todos los individuos y la oferta total la suma de las si. Las denotamos como Di(p1, ..., pn) y Si(p1, ...,pn). La suma de la ecuación presupuestaria [2] para todos los individuos puede entonces escribirse como: [5] ∑piDi(p1, ...,pn) = ∑piSi(p1, ..., pn), ecuación que habitualmente es denominada la ley de Walras. Por consiguiente, un equilibrio general se define como un estado de la economía sin demanda excedente positiva en ningún mercado, es decir, [6] Di(p1, ..., pn)≤Si(p1, ..., pn) ∀i. Como los precios son no-negativos, de [5] y [6] en forma conjunta se desprende que [7] Di(p1, ..., pn)<Si(p1, ..., pn) ⇒ pi=0, porque en caso contrario se tendría

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∑piDi(p1, ...,pn) < ∑piSi(p1, ..., pn) si hubiera un exceso de oferta en algunos mercados, lo que entraría en contradicción con la ley de Walras [5]. Por definición resulta claro que el exceso de demanda, Di-Si, es idéntico a Xi-Xi

0. Por lo tanto, la ley de Walras y las condiciones de equilibrio pueden ser escritas de manera alternativa como: [5’] ∑piXi(p1, ..., pn) = ∑piXi

0 y [6’] Xi(p1 , ..., pn) ≤Xi

0 ∀i. Si en una situación de equilibrio existe algún bien en exceso de oferta, regirá [7]. Lo que implica que para los precios de equilibrio que satisfagan [6’], se tendrá la regla [7’] Xi(p1, ...,pn)<Xi

0 ⇒ pi=0. Por consiguiente, los precios de equilibrio deben satisfacer la regla de los bienes libres. ¿Existe algún sistema de precios que satisfaga las condiciones [6] o [6’]? Walras abordó en forma rigurosa este problema discutiendo el intercambio entre dos bienes A y B. Tomando a cualquiera de ellos, por ejemplo a B, como bien numerario, supuso que las funciones de demanda Da, Db y las de oferta Sa, Sb son continuas en el precio relativo de A con respecto a B. Por consiguiente, como veremos en el capítulo siguiente, las funciones de exceso de demanda satisfacen todas las condiciones necesarias para aplicar el teorema de punto fijo de Brouwer y hallar una solución de [8] Da(pa, 1)≤Sa(pa, 1) y Db(pb, 1) ≤Sb(pa, 1) donde pb ha sido fijado igual a 1 porque B fue tomado como numerario. Luego, como veremos en el capítulo XX y siguiendo la obra de Arrow y Debreu entre otros, debe existir al menos una solución de [8]4. A continuación, Walras encaró la tarea de hallar una solución de [6] (o de [6’]) en el caso general de más de dos bienes. Al abordar esta tarea, utilizó un enfoque particular. Si hay n bienes, tenemos ½n(n-1) pares de bienes que pueden ser intercambiados entre sí5. Debe hallarse un equilibrio para cada par de la misma forma en que Walras lo halló para la economía con dos bienes. Para ello, recurrió a la teoría del arbitraje desarrollada por Cournot, dejando de lado su teoría del subastador. En esta teoría, que veremos en el punto 3, los precios de los bienes, en términos de un numerario, son propuestos y ajustados por el subastador. Por otra parte, en el 4 A pesar de esta conclusión general, Walras afirmó que no habría solución de [8] en el caso siguiente particular: “A cualquier precio de A en términos de B por debajo de Ap, ... con un gran número de demandantes de A que ofrecen B a cambio de A, pero cuando ninguno demanda A a cambio de B.” En tal caso, no habría ni demandantes ni oferentes de A ni de B al precio pa=Ap, por lo cual las desigualdades [8] serían satisfechas como 0=0 a ese precio. Esta solución fue considerada por Arrow, Debreu y otros como un equilibrio pero como no se registra intercambio en tal estado, Walras concluyó que no se trataba de un equilibrio de intercambio. 5 Para llegar a este número realicen el siguiente cálculo: consideren una matriz cuadrada de n2 componentes, de la que hay que excluir a las componentes de la diagonal principal (n), quedando una cantidad igual a n2-n=n(n-1). Pero sólo tienen sentido los precios relativos, de los cuales hay ½n(n-1).

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modelo de arbitraje no hay subastador; la negociación es conducida directamente entre dos individuos, y el precio entre ambos bienes, por ejemplo el precio de i en términos de j, es una relación de intercambio expost entre i y j. Se trata de dos modelos basados en conceptos diferentes de los precios, y no resulta claro si ambos dan lugar al mismo equilibrio general. Walras desarrolló un programa bastante completo de investigación. Para resolver el modelo con subastador, que explica cómo los precios de equilibrio son determinados empíricamente en un mercado con subastadores mediante el mecanismo de la libre competencia, propuso una teoría económica; para resolver el problema de arbitraje, propuso un método analítico de acuerdo con el cual cada una de las ½n(n-1) ecuaciones de intercambio bilateral es resuelta matemáticamente, especificando la forma algebraica o analítica de las funciones de oferta y demanda, y ajustando las soluciones de equilibrio parcial así obtenidas hasta satisfacer las condiciones para un arbitraje completo. Aunque no fue completo, tuvo más éxito con el primer problema que con el segundo. 3. El tâtonnement Si se supone la existencia de un equilibrio competitivo en el intercambio (que demostraremos en el capítulo siguiente) el paso siguiente consiste en apreciar cómo este equilibrio es alcanzado en el mundo real, o, en palabras de Walras, “de qué modo el problema del intercambio entre los bienes ... es resuelto empíricamente en el mercado por medio del mecanismo competitivo” (Éléments). A fin de plantear el problema asumiremos como Walras que cada mercado está perfectamente organizado, una abstracción que suelen hacer los científicos como cuando se trata de hallar las leyes de movimiento que funcionan en un mundo idealizado sin fricciones. El objetivo de Walras era clarificar el proceso de comercio competitivo. Se trataba de un tema nuevo para él, cuando las teorías del monopolio y del monopsonio ya habían sido desarrolladas por Cournot, con quien había comenzado a estudiar economía. Otorgó una mínima incidencia a los elementos monopólicos, y justificó limitarse al análisis del comercio competitivo de la forma siguiente: “Los mercados mejor organizados desde el punto de vista competitivo son aquellos en que las compras y las ventas son realizadas mediante subastas, mediante la participación de corredores de Bolsa, agentes comerciales o voceros que actúan como agentes que centralizan las transacciones de tal manera que los términos de todo intercambio son anunciados abiertamente y se concede una oportunidad a todo vendedor de bajar sus precios y a todo comprador de elevar sus cotizaciones. De esta forma se opera en la Bolsa de valores, en los mercados comerciales, los mercados de cereales, los mercados de peces, etc. Además de éstos, hay otros mercados como los de las frutas, las verduras y las aves de corral, donde la competencia, aunque no esté tan bien organizada, funciona bastante bien y de manera satisfactoria. Las calles de la ciudad con sus depósitos y tiendas de todo tipo – peluqueros, carniceros, almaceneros, sastres, zapateros, etc. – son mercados donde la competencia, aunque esté organizada de manera escasa, sin embargo funciona en forma bastante adecuada. Sin duda alguna, también la competencia es la fuerza primaria que determina el valor de las consultas al médico y al abogado, o de lo que gana un músico o un cantor en un recital, etc.” Más aún, “lo comprado y lo vendido en [la bolsa de valores de un gran centro de inversiones como París o Londres] son títulos de propiedad sobre formas importantes de la riqueza social, como acciones del estado o de los municipios en los ferrocarriles, canales, plantas metalúrgicas, etc.” Por consiguiente, los bienes más importantes tienen sus propios mercados organizados, y los otros, aunque no estén tan bien organizados como para hallar en forma precisa el equilibrio competitivo, se encuentran bajo la presión de la competencia, de modo que los precios no se pueden apartar demasiado de sus valores de equlibrio. Por lo tanto, la idealización walrasiana puede servir como una primera aproximación a la realidad. Como dijo Walras, “¿qué científico elegiría deliberadamente un tiempo nublado para hacer observaciones astronómicas en lugar de beneficiarse con una noche estrellada?”

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¿Cómo funciona la competencia en un mercado bien organizado? Por lo menos hay dos tipos de comercialización competitiva. Según el más usado, todos los intercambios son provisorios y no efectivos en tanto haya un exceso de oferta o de demanda en el mercado. Las cantidades de los bienes en manos de los individuos no se alteran durante el proceso de tanteo, hasta que el conjunto de precios de equilibrio no haya sido finalmente descubierto. Designamos con xi

0=(x1i0,

..., xni0) a la dotación inicial del individuo i. A los precios p=(p1, ...,pn) su poder adquisitivo es M=

∑jpjxji0. Si es un tomador de precios, las cantidades que desea adquirir xi=(x1i, ...,xni) están

determinadas mediante la maximización de su función de utilidad ui(xi) sujeto a la restricción presupuestaria: [9] ∑j pjxji=∑j pjxji

0. Si los xji así determinados exceden (o son menores que) la cantidad xji

0 que tiene, entonces demandará (u ofrecerá) el bien j en cantidad xji-xji

0 (o xji0-xji) en el mercado. Empero, Las

demandas u ofertas de los individuos no serán efectivas hasta que la demanda total de cada bien sea igual a su oferta total, o en otro términos que se verifique para todos los bienes j=1, ...,n la siguiente ecuación: [10] ∑i xji = ∑i xji

0. Por consiguiente, mientras haya un exceso de demanda de al menos un bien, no habrá comercio; los individuos permanecerán en el mercado con la misma cantidad de los bienes que tenían al principio del tâtonnement. Sólo cuando se establezcan finalmente los precios de equilibrio, de modo que [10] se cumpla para todo j, serán realizadas las transacciones y los individuos se irán a su casa con las cantidades de los bienes deseadas, xi. El segundo método de tâtonnement presupone que entre cualquier par de comerciantes puede llegarse a un acuerdo durante el proceso de tâtonnement, aunque la ecuación [10] no se cumpla para algunos bienes. Todos estos contratos son efectivos, por lo cual las cantidades de los diversos bienes que están en poder de los individuos fluctúan de vez en cuando. Sin embargo, los contratos de compra-venta firmados durante el proceso de tâtonnement no son llevados a cabo a los precios respectivos cotizados en el mercado al momento de suscribirse los contratos, sino a los precios de equilibrio establecidos cuando todos los excesos de demanda son eliminados en el mercado. Cuando cambien los precios durante un tâtonnement, cambiarán las cantidades que el individuo desea vender o comprar; pero siempre podrá anular un acuerdo suscripto a un precio diferente, canjeando o revendiendo la cantidad necesaria con otro participante. Designemos con xi

*=(x1i*, ..., xni

*) las cantidades que tiene el individuo i en cierto momento t* del tâtonnement. En ese momento los precios son p=(p1, ..., pn). El individuo i comenzó el tâtonnement con xi

0, de modo que hasta ese momento ha comprado del bien j la cantidad (xji*-xji

0), si xji

*>xji0, o vendido la cantidad (xji

0-xji*), si xji

*<xji0 hasta el instante t*. Si los precios actuales p son

de equilibrio, deberá pagar el monto neto ∑j pj(xji*-xji

0), igual al gasto en compras menos el monto adquirido por las ventas. Por otra parte, tiene stocks en especie, x1i

*, ..., xni* que, evaluados a esos

precios significan un importe igual a ∑j pjxji*. Por consiguiente, su poder total de compras en t* es:

[11] ∑j pjxji

* - ∑j pj(xji*-xji

0) en base al cual el individuo decide su nuevo plan de ventas. Es decir, en t* calculará la cantidad de los bienes xi=(x1i, ..., xni) que querrá tener, de modo de maximizar su función de utilidad ui(xi) sujeto a la condición de que el valor total de xi a los precios p sea igual a su poder de compras

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[11]. Obviamente [11] es igual a ∑j pjxji0 de modo que la ecuación de presupuesto en t* es idéntica

a [9], que es la restricción presupuestaria que existe bajo el primer tipo de comercio competitivo. Luego, si utiliza el segundo método, un individuo tomador de precios responderá a los precios dados como lo hace bajo el primer método (por lo cual, no habrá diferencia entre ambos métodos en su demanda u oferta), aunque en el curso de las transacciones del tâtonnement algunos intercambios tengan lugar en el segundo método, pero no en el primero. Podemos escribir luego a la demanda excedente total del bien j en el mercado, cualquiera sea el método utilizado, como Ej(p1, ..., pn) = ∑i xji(p1, ..., pn) - ∑i xji

u, que resulta ser una función dependiente sólo de los precios. Ahora vamos a representar mediante p(t)=[p1(t),p2(t), ...,pn(t)] a los precios “gritados” por un agente de precios en el mercado en el momento t durante una sesión de comercio competitivo, y mediante Ej(t) a la demanda excedente del bien j que corresponde a estos precios, Ej[p(t)]. Se supone que, si la demanda de j es superior (o inferior) a su oferta en t, el agente elevará (bajará) su precio en proporción al exceso de demanda positivo (o negativo). El factor de proporcionalidad, que sería llamado por Lange el “grado de flexibilidad del precio”, podría ser diferente según de qué bien se trate, pero en el análisis siguiente haremos el supuestos simplificador que se trata del mismo parámetro para todos los bienes. También supondremos que el grado de flexibilidad es proporcional al nivel de precios, de tal forma que si una unidad de exceso de demanda genera un aumento de v centavos al precio $1, el precio aumentará en v pesos al precio de $100. Por lo tanto, el grado de flexibilidad de precios viene dado por v∑k pk(t), donde v es una constante positiva para todos los bienes. En tal caso, la ecuación de ajuste de precios del bien j puede ser escrita como: [12] pj(t+1)-pj(t) = v[∑k pk(t)] Ej(t) (j=1, ..., n). Pero en esta fórmula no hay consideración alguna de que la negatividad del precio pj(t+1) no tiene ningún sentido; en realidad, tal podría ser el caso si Ej(t) adopta un valor negativo para un valor suficientemente pequeño de pj(t), ya que entonces se tendría un valor negativo de pj(t+1). Para evitarlo, supondremos que [12] sólo es válida en tanto dé lugar a un precio no-negativo en t+1; en caso contrario, probablemente el agente gritaría un precio cero en lugar de sumir al mercado en un innecesario estado de confusión resultante de gritar el precio según la fórmula anterior. Esto lo expresamos diciendo que el agente utilizará la siguiente fórmula revisada de tâtonnement: [13] pj(t+1) = max {pj(t) + v[∑k pk(t)] Ej(t), 0} (j=1, ..., n). Hasta ahora no hemos hablado de la normalización de los precios; pero los precios son relaciones de cambio entre los bienes; si hay arbitraje perfecto, son relaciones de cambio con relación al numéraire. ¿Qué bien podría desempeñar el rol de numerario? Bueno, no puede ser un bien libre: sería imposible y carente de sentido evaluar a los bienes con relación a un bien libre. ¿Qué tipo de bien no es libre? Esto lo podemos responder una vez que hayamos desplegado todo el proceso de tanteo. Pero necesitamos un numerario de arranque. Para evitar lo que parece una paradoja, armaremos un bien compuesto hecho con una unidad de cada bien existente y lo consideraremos como nuestra mercancía patrón o numerario. Ahora podemos estar tranquilos de que, definitivamente, no se tratará de un bien libre, porque siempre habrá al menos algunas componentes de esta mercancía compuesta que no serán libres (si todas las componentes fueran libres, no existirían bienes escasos en toda la economía, y desaparecería el problema económico.)

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El valor de una unidad de la mercancía compuesta es igual a la suma de los precios de todos los bienes: ∑k pk(t). Una unidad del bien j se intercambia con pj(t)/ ∑k pk(t) unidades de la mercancía compuesta porque son equivalentes. Esta relación de intercambio la denotaremos como qj(t): [14] qj(t) = pj(t)/ ∑k pk(t) y proporciona el precio del bien j en el momento t, con relación al numéraire escogido, y [15] qj(t+1) = pj(t+1)/ ∑k pk(t+1) será el precio correspondiente en t+1. Dividiendo numerador y denominador del segundo miembro de [15] por ∑k pk(t), sustituyendo [13] en [15] y teniendo en cuenta [14]: max [qj(t) + v Ej(t), 0] [16] qk(t+1) = ─────────────── (j=1, ..., n) ∑k max [qk(t)+vEk(t), 0] Las funciones de exceso de demanda Ej(t) (j=1, ...,n) son las sumas de las funciones de exceso de demanda de los individuos para todos aquellos que maximizan ui(xi) sujeto a la restricción presupuestaria [9]. Resulta obvio que el punto de máximo no será afectado aunque reemplacemos [9] por la restricción de presupuesto normalizada [9’] ∑j qjxji=∑j qjxji

0. Por consiguiente las funciones de exceso de demanda son funciones de los precios relativos, a saber [17] Ej(t) = Ej[q1(t), ...,qn(t)]. Es evidente que las ecuaciones de ajuste de precios [16] que transforman q(t) en q(t+1) satisfacen dos condiciones: 1º) la condición de normalización de precios, según la cual la suma de los qj(t+1) es idénticamente igual a uno, y 2º) la condición de no-negatividad, según la cual los precios no caerán por debajo de cero aunque exista un enorme exceso de oferta. También se tiene, por definición de función de exceso de demanda, a partir de [9’]: [18] ∑j qj Ej(q) ≡ 0, que vale de forma idéntica para todos los posibles qs y es referida como la ‘ley de Walras’. Si q(t)≠q(t+1) habrá un cambio de los precios entre t y t+1. Un punto tal que q(t)=q(t+1) se dice ser un punto fijo o un sistema de precios estacionario. El matemático Brouwer ha establecido un resultado que desarrollaremos en el capítulo siguiente, y que ha sido interpretado de la siguiente manera por los economistas: existe al menos un punto fijo, siempre que las funciones de exceso de demanda sean continuas. Llamemos q a ese punto fijo, luego por [16]: [19] qj= max [qj +vEj(q), 0]/c (j=1,..., n),

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534

en donde c= ∑k max[qk+vEk(q), 0]. Como c>06se desprende de [19] que si qj>0, entonces qj +vEj(q) >0, y por lo tanto Ej(q)=(c-1)qj/v. Por [19], Ej(q)≤0 si qj=0. Luego se obtiene =(c-1)qj/v si qj>0,

Ej(q) { ≤ 0 si qj=0. Es evidente que estas funciones de exceso de demanda no satisfacen la ley de Walras a menos que c=1. Por consiguiente, =0 si qj>0,

Ej(q) { ≤ 0 si qj=0. En otras palabras, en el punto fijo en el cual los precios dejan de cambiar, (1º) no existe ni demanda excedente ni oferta excedente de ningún bien escaso (con precio positivo), y (2º) puede haber exceso de oferta para un bien libre (con precio cero), pero no existe posibilidad de exceso de demanda. Por consiguiente el punto fijo del proceso de tâtonnement proporciona un sistema de precios de equilibrio que constituye el sistema de precios al que las cantidades demandadas son iguales a las ofrecidas, con excepción de los bienes libres. Queda así establecida la existencia de un equilibrio de intercambio. 4. Estabilidad del equilibrio Para discutir la estabilidad de los precios de equilibrio Walras no se basó en las ecuaciones [16]. Para su análisis, excluyó en primer término a los bienes libres, con lo cual ni siquiera tuvo necesidad de construir un bien compuesto, ya que podría haber tomado a cualquiera de los bienes restantes. Walras recurrió al trabajo de Cournot, que había dictado clases de mecánica en Lyon, de modo que le resultó sencillo discutir el problema de estabilidad desde el punto de vista dinámico apropiado. Por ejemplo, escribió: “Un equilibrio [estable] es exactamente similar al de un cuerpo suspendido cuyo centro de gravedad yace directamente por debajo del punto de suspensión, de modo que si este centro de gravedad fuera desplazado de la línea vertical debajo de su punto de suspensión, retornaría automáticamente a su posición original a través de la fuerza gravitatoria. Este equilibrio, sería, por consiguiente, estable.” También: “[El equilibrio de un cuerpo inestable sería] similar al de un cuerpo suspendido cuyo centro de gravedad yace directamente por debajo del punto de suspensión, de modo que si en algún momento este centro de gravedad abandonara la línea vertical arriba de su punto de suspensión, no retornaría automáticamente sino mantendría su movimiento alejándose cada vez más, hasta que, por medio de la fuerza gravitatoria, alcanzara una posición vertical por debajo del punto de suspensión. Este equilibrio es inestable.” Luego, gracias a Cournot, los economistas pudimos discutir desde el vamos la estabilidad del equilibrio económico como un problema dinámico, acerca de si un desplazamiento forzado fuera de la posición de equilibrio daría lugar a un movimiento que permitiera restaurar dicho equilibrio eventualmente. Walras discutió la estabilidad del equilibrio en el contexto de una economía con varios bienes. A pesar de ello, todavía se atribuye a Hicks el primer intento de generalizar a cualquier número de 6 Si c fuera negativo, se tendría qk+vEk(q)≤0 para todo k. Como qk≥0, se tiene que ∑kqk

2+v∑kqkEk(q)≤0. Por la ley de Walras, el segundo término del 1º miembro es igual a 0, mientras que el primero debe ser positivo porque qk≥0 y ∑k qk=1. Luego se tiene una contradicción, 0<0.

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mercados las condiciones de estabilidad para un único mercado (les sugiero leer General Equilibrium Models and Stability Analysis Of John Hicks, del website History Of Economic Theory and Thought) Por ejemplo, Lange escribió: “Walras formuló [la condición de estabilidad] de una manera que limitaba su aplicabilidad al análisis de equilibrio parcial. En un enfoque de equilibrio general las condiciones de estabilidad deben tener en cuenta las repercusiones del cambio de un bien sobre los precios de otros bienes así como la dependencia del exceso de demanda (o exceso de oferta) de un bien con respecto a los precios de los demás bienes del sistema. Ésta fue la tarea que desarrolló el profesor Hicks.” Sin embargo, hay una diferencia entre los análisis de estabilidad de Walras y de Hicks, que está vinculada con la segunda característica del análisis de estabilidad de Walras, a saber, que Walras se preocupó aparentemente del comportamiento dinámico de los precios, mientras que Hicks no derivó sus condiciones de estabilidad en forma explícita de un modelo dinámico. Supongan que p1(t), ...,pn-1(t) no son precios de equilibrio, de manera que: [20] E1[p1(t),...,pn-1(t), 1]≠0. Luego p1(t) se trasladará a p1(t+1), de manera de establecer el equilibrio parcial en el mercado del bien 1; es decir, [21] E1[p1(t+1), p2(t),...,pn-1(t), 1]=0. Walras también presenta una diferencia con Hicks al tratar las repercusiones del cambio del precio del bien 1 sobre los precios de los bienes restantes. A diferencia de Hicks, ordenó a los distintos mercados de determinada manera y procedió suponiendo que las repercusiones tenían lugar de la siguiente forma: en primer término, el cambio del precio del bien 1 causa un desbalance en el mercado del bien 2, de tal forma que su precio se ve alterado hasta p2(t+1), cuando se igualan las cantidades demandadas y ofrecidas en ese mercado y los restantes precios permanecen en p3(t), ..., pn-1(t); es decir, E2[p1(t+1),p2(t+1),p3(t), ...,pn-1, 1]=0. Posteriormente es ajustado el precio del bien 3 de forma similar: E3[p1(t+1),p2(t+1),p3(t+1),p4(t), ...,pn-1(t), 1]=0, y así sucesivamente. Luego de todos estos ajustes, se tiene [22] E1[p1(t+1),p2(t+1), ...,pn-1(t+1), 1]≠ 0 ya que ha sido violada la ecuación [21] porque los precios p2(t),p3(t),..., pn-1(t) se modificaron y ahora son, respectivamente, p2(t+1),p3(r+1), ...,pn-1(t+1). Pero la desigualdad [22] en t+1 está más próxima al equilibrio que la desigualdad [20] si se satisface la condición siguiente: [23] ‌ E1[p1(t+1),..., pn-1(t+1), 1] ‌ < ‌ E1[p1(t), ..., pn-1(t), 1] ‌ . Walras afirmó lo siguiente: “ Esta [condición] será más probable que se cumpla si recordamos que el cambio desde [p1(t) hasta p1(t+1)], que redujo la desigualdad [20] a una igualdad, ejerció una influencia directa que invariablemente fue en dirección hacia la igualdad para la demanda [del bien 1]; mientras que los cambios [subsiguientes – Jaffé] desde [p2(t) hasta p2(t+1), p3(t) hasta p3(t+1)], ..., que desplazaron a la desigualdad anterior más lejos aún de la igualdad, ejercieron influencias

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indirectas, algunas hacia la igualdad y otras en dirección opuesta, al menos en lo que a la demanda del [bien 1] se refiere, de manera que hasta cierto punto se anulan entre sí. Luego, el nuevo sistema de precios [p1(t+1), ...,pn-1(t+1)] está más próximo al equilibrio que el antiguo sistema de precios [p1(t), ...,pn-1(t)] y sólo es necesario continuar con este proceso siguiendo estos lineamientos para que el sistema se acerque más y más al equilibrio.” Supongan ahora que, si se verifica exceso de demanda de un bien positivo (o negativo), un equilibrio parcial de este mercado puede restablecerse aumentando (o disminuyendo) su precio. Luego, p1(t+1)>o<p1(t) si E1[p1(t), ..., pn´1(t), 1] >o<0. Por otra parte, [23] implica que E1[p1(t+1), ..., pn-1(t+1),1]-E1[p1(t), ..., pn´1(t),1]< o > 0 si E1[p1(y+1), ..., pn-1(t+1),1]> o < 0. Por lo tanto, la condición de estabilidad de Walras implica E1[p1(t+1), ...,pn-1(t+1), 1] – E1[p1(t),...,pn-1(t), 1] [24] ───────────────────────────── <0 p1(t+1) – p1(t) Es decir, requiere que un cambio del precio del bien 1 induzca un cambio de su exceso de demanda en dirección opuesta luego de que los restantes precios han sido ajustados. Así formalizada, la condición de estabilidad de Walras es muy similar a la que obtuvo Hicks7. Es interesante observar que en su condición de estabilidad [23] Walras tomó al valor absoluto de la función de exceso de demanda E1(t) como una función de Lyapunov, aunque su método era rudimentario. En tal sentido estaba más próximo a los economistas de la posguerra como Arrow, Hurwicz y otros que al mismo Hicks, que no planteó en forma explícita el movimiento dinámico de los precios, o Samuelson, que en lugar del método de Lyapunov resolvió las ecuaciones dinámicas de ajuste de los precios a fin de examinar si éstos convergirían eventualmente a sus valores de equilibrio correspondientes. Volvamos a la ecuación [16] que representa al sistema original de tâtonnement. Al iniciarse el proceso, t=0, los precios iniciales gritados por los agentes son q(0). Las únicas restricciones son: (i) no pueden ser negativos; (ii) su suma es igual a 1. Fuera de ello, son arbitrarios. La fórmula [16] determina entonces q(1) en base a q(0), q(2) en base a q(1); etc. Cada término de la sucesión infinita {q(t)}, t=1,2,... generado de esta forma satisface estos dos requerimientos. Lo cual significa que cada q(t) está acotado, y por el teorema de Bolzano-Weierstrass (ver pág. 69-70) la sucesión {q(t)} tiene un punto límite, digamos q0. Ahora consideren una segunda sucesión {q(t)} que arranca en q0: q1=f(q0); q2=f(q1);... donde f(q)=[f1(q), f2(q), ..., fn(q)] y fj(q) es el 2º miembro de [16]. Morishima demuestra que si f genera precios q(ti), q(ti+1), q(ti+2),... que convergen de modo uniforme a q0, q1, q2,... entonces [25] q1=f(q0), q2=f(q1), ..., q0=f(qr-1), sucesión en la que qt≠q0, t=1,2, ..., r-1. Si r=1 tendríamos q0=f(q0) y por lo tanto q0 sería un conjunto de precios de equilibrio con una trayectoria de tanteo q(t) convergente a q0. Si r>1 la trayectoria convergiría a un ciclo límite q0q1...qr-1q0 que nunca se acercaría al conjunto de precios de equilibrio.

7 Hicks, J. R. (1946), Value and Capital, Clarendon Press. Versión en español: “Valor y Capital”. 3ª Ed. en español. Fondo de Cultura económica (1968).

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Por lo tanto la condición necesaria y suficiente de estabilidad es que r sea igual a 1. Para entender más intuitivamente esta condición, extenderemos el concepto de punto fijo a órdenes de dimensión más elevada. Sea un ciclo de longitud r definido por [25]; por sustitución: q0=f<f{...f[f(q0)]…}>. Denotando como Fr a la transformación f realizada r veces, hallamos que q0 es un punto fijo de Fr, que será llamado un punto fijo de orden r. En forma semejante, q1,q2,...,qr-1 son puntos fijos del mismo orden. Es decir, qi=Fr(qi), i=0,1,2, ..., r-1. Además, es cierto que hay además otro punto fijo de orden r, llamémoslo de orden 1, q*, que satisface q*=f(q*). Se puede ver que, efectivamente, q* es también un punto fijo de todos los órdenes más elevados: q*=f<f{...f[f(q*)]…}>. Haremos ahora la distinción entre q* y los puntos qi que son los puntos de partida de trayectorias que regresan por primera vez desde su partida luego de r períodos, llamados puntos fijos propios de orden r; se trata de los puntos estacionarios del sistema cuando r períodos elementales han sido consolidados en un único período comprehensivo. Ahora podemos apreciar que la condición de estabilidad r=1 de [16] si no existen puntos estacionarios de orden superior; la trayectoria debe aproximarse a algún punto de equilibrio que sea un punto fijo de orden 1. Luego, si el punto fijo de orden 1 es único y el único de cualquier orden, no existirá ningún ciclo y el equilibrio correspondiente al punto fijo será globalmente estable. Por consiguiente la unicidad del punto fijo de cualquier orden es una condición suficiente para la estabilidad. Pero la unicidad del punto fijo de orden 1 no implica necesariamente estabilidad. Esto lo podemos ver mediante un ejemplo con funciones de exceso de demanda que satisfagan el axioma débil de la preferencia revelada (ver capítulo IV, pág. 112). Aunque este axioma sea natural y plausible para las funciones de exceso de demanda de un individuo, es muy restrictivo para las funciones de exceso de demanda del mercado, y el ejemplo resulta interesante porque ilustra que el equilibrio único – que es consecuencia del axioma – no es necesariamente estable. Las trayectorias no se aproximarán al equilibrio con un r>1, si parten de un punto inicial arbitrario, aunque lo harán (con r=1) si comienzan en un punto inicial particular. Que una trayectoria converja a un ciclo o a un equilibrio, o a cuál ciclo o equilibrio converja, dependerá completamente de la posición inicial de arranque. El siguiente es un ejemplo de lo afirmado. Consideren una economía con dos bienes que tienen funciones de exceso de demanda iguales a: [26] E1= (-p1+5/3 p2) / ∑j pj , E2= - (p1/p2) (-p1+5/3 p2) / ∑j pj . Estas funciones satisfacen la ley de Walras: p1E1 +p2E2=0. Normalizando los precios de manera de tener p1+p2=1, se obtiene [26’] E1=5/3 –8/3 p1, E2= (-p1/(1-p1)) (5/3 – 8/3p1), con lo cual los precios de equilibrio son: [27] p1*=5/8, p2*=3/8 a los cuales E1*=0 y E2*=0.

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A continuación veremos que el axioma débil de la preferencia revelada se cumple entre p*=(p1*,p2*) y cualquier otro sistema normalizado de precios p=(p1,p2). Como p1E1*+p2E2*=0, las cantidades demandadas y ofrecidas son factibles en el sentido de que satisfacen la restricción presupuestaria. Sin embargo las demandas excedentes E1(p), E2(p) son elegidas a los precios p, por lo cual [E1(p),E2(p)] sería prefirido a [E1*, E2*]. El axioma débil requiere que E1(p) y E2(p) no sean factibles en p*; en caso contrario se hubiera elegido [E1(p),E2(p)]. La no-factibilidad requerida implica que [28] p1*E1(p)+p2*E2(p)>0. Sustituyendo [26’] y [27] en el primer miembro de esta expresión, se tiene (5 – 8p1)2 p1*E1(p) + p2*E2(p) = ──────── 24 (1 – p1) expresión definida positiva para todo 0<p1<1. Lo cual demuestra que la desigualdad [28] del axioma débil debe cumplirse. El axioma débil implica unicidad del conjunto de precios de equilibrio, porque si así no fuera existiría otro conjunto de precios p** al cual E1**=0 y E2**=0, en cuyo caso la desigualdad [28] no sería válida entre p* y p** (aquí excluímos las soluciones de esquina y situaciones en que las curvas de indiferencia tienen angulosidades). Sin embargo, esto no implica la unicidad de puntos fijos de orden mayor; por ejemplo, las funciones de demanda excedente [26’] tienen puntos fijos de orden 2. Aplicando la fórmula [16] a [26]: p(t+1)= (¾,¼), p(t+2)=(¼,¾), p(t+3)= (¾,¼) poniendo p(t) igual a (¼,¾). Luego, tanto (¼,¾) como (¾,¼) son puntos fijos de orden 2. Ahora podemos calcular el sendero de tâtonnement usando la ecuación de ajuste 1 p1(t+1)= ───────────────────────── p1(t) 1+max[0.6 - ─────── [1 – 1.6p1(t)], 0] [1 – p1(t)]2

ecuación obtenida a partir de [16] bajo el supuesto v=1 y sustituyendo la ecuación [26’]. Las dos trayectorias calculadas arrancan en la posición inicial p1=0.62 (muy próxima al punto de equilibrio p1*=5/8) y otra desde p1=0.24 (muy próxima al punto fijo de orden 2, p1=¼). Los resultados están mostrados en las dos figuras siguientes, (a) y (b).

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0

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Figura (a) Figura (b) Es interesante observar que, pese al cumplimiento del axioma débil de la preferencia revelada, tanto el punto de equilibrio como el ciclo de equilibrio de orden 2 son inestables. Las figuras demuestran a las claras que las trayectorias calculadas divergen de ambos y se aproximan a un mismo ciclo límite de orden 8. De la figura (a) surge que la trayectoria que arranca en p1=0.62 está muy próxima al ciclo en t=29, mientras que en la figura (b) el sendero a partir de 0.24 diverge gradualmente del ciclo de equilibrio de orden 2 (con amplitud [¼,¾]) hacia el ciclo de orden 8. Estas conclusiones sobre la inestabilidad son válidas para cualquier punto inicial excepto p1=0. Es curioso que el equilibrio resulte estable sólo para p1=0, que es la posición inicial más remota posible. En tal caso, tendremos p1(1)=5/8 para un p1(0)=0, y desde entonces será p1(t)=5/8. Ésta no deja de ser una conclusión decepcionante: la fórmula del tâtonnement [16] no permite hallar necesariamente a todo conjunto de precios de equilibrio, aunque sí en algunos casos. Empero, todavía se puede creer que en el mundo real el método del tâtonnement de hallar los precios de equilibrio funcionará de modo más eficaz y poderoso que cualquier teoría matemática del ajuste de los precios. El subastador siempre aprende de la experiencia y nunca reacciona de la misma forma en que lo hizo en circunstancias similares previas. No es un robot que aplica rígidamente la fórmula [16] manteniendo constante el grado de flexibilidad de los precios v en todas las circunstancias; con seguridad ajustará este valor de v cuando halle que, con ese valor, [16] da lugar a oscilaciones no amortiguadas de los precios. Será, en otros términos, más cuidadoso en el proceso de ajuste de precios. Hasta ahora hemos tratado el caso de un sistema con el intervalo de tiempo requerido para una ronda de tanteo igual a 1 y un coeficiente de ajuste de los precios igual a v. Podemos ahora generalizar el enfoque suponiendo que una ronda de tanteo requiere h unidades de tiempo y los ajustes de los precios en ese intervalo son proporcionales a la longitud del intervalo, de modo que el coeficiente de ajuste sería vh. Podemos entonces escribir la ecuación [16] como: max{qj(t)+vhEj[q(t)], 0} [29] qj(t+h)= ───────────────── (j=1, ..., n) ∑k max{qk(t)+vhEk[q(t)], 0} Definiendo como es habitual la derivada con respecto a t qj’(t)=limh→0[qj(t+h) – qj(t)] /h, el proceso modificado se transforma en un sistema de ecuaciones diferenciales: [16’] qj’ = Fj(q) – qj [∑k Fk(q)] (j=1, ..., n)

donde

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1 vEj(q) si qj>0,

[30] Fj(q)=limh→0 max [vEj(q), - ─── qj] = { h max[vEj(q), 0] si qj=0. (Mediante la notación qj’ será representará la derivada dqj/dt). Este sistema de ecuaciones diferenciales será estable siempre que las funciones de exceso de demanda cumplan con el axioma débil de la preferencia revelada. Esta es una notable diferencia del sistema de ecuaciones diferenciales y del sistema de ecuaciones en diferencias finitas. La demostración de esta propiedad es estándar y no será repetida aquí (si están interesados, pueden consultar J. Henderson and R.E. Quandt, Microeconomic Theory, ch. 5, o la obra de Morishima, pág. 44). En otras palabras, si se verifica el axioma débil, el ajuste continuo de los precios hace posible excluir cualquier posibilidad de ciclo límite, lo que no es posible cuando usamos el ajuste discreto de las ecuaciones en diferencias [16]. Si aproximamos a las ecuaciones en diferencias mediante ecuaciones diferenciales [29], tomando un h suficientemente pequeño, concluímos que el axioma débil de la preferencia revelada es una condición suficiente de estabilidad, en un mercado bien organizado en sentido de que el subastador puede realizar los ajustes de precios con suficiente frecuencia. En tal caso, la estabilidad dependerá de la capacidad del subastador así como de las formas de las funciones de exceso de demanda. En una economía real, gracias a la capacidad y al sentido común del subastador, los comerciantes llegan en forma habitual a un acuerdo sobre los precios de equilibrio al término de una sesión de tâtonnement, a menos que se presenten circunstancias catastróficas en el mercado. 5. La ley de Walras y la producción Una vez analizado el problema del intercambio, ignorando que en realidad los bienes son producidos mediante factores de producción como el trabajo, la tierra y los bienes de capital, Walras pasó a considerar el tema más complejo de formación de un equilibrio general en una economía donde la producción es simultánea con el intercambio. En esta economía, no solamente serán variables los precios de los bienes (o productos) a ser intercambiados, sino además los precios de los factores usados en su producción; y tanto productos como insumos deben ser determinados. Y aún así el sistema no es lo suficientemente general, porque la producción o reproducción de los bienes de capital será totalmente ignorada y nos concentraremos sólo en la producción de los bienes de consumo8. Por consiguiente, en la economía sólo hay dos grupos de bienes y servicios: los bienes y los factores productivos. Hay industrias o empresas, cada una de las cuales produce un único bien mediante bienes y factores, y estos últimos no son producidos. Hay consumidores que compran las mercancías usando el ingreso de los factores de los que son propietarios. Pero no hay bancos, ni gobierno, ni comercio internacional. Los factores dinámicos de largo plazo, como los períodos de producción y las expectativas, así como la inversión, son todos ignorados. Supongan que hay n bienes y m factores. Usaremos la siguiente notación: xi y ci para la producción y el consumo del bien i, rk para la oferta del factor k (i=1,...,n; k=1,...,m); pi será el precio del bien i y vk el precio del factor k; p y v serán los vectores (p1, ...,pn) y (v1, ...,vm). Cada ci

8 Walras discutió la reproducción de los bienes de capital en forma separada, en su “Teoría de la Formación del Crédito y del Capital”, que forma parte de su teoría del crecimiento económico y que no consideraremos en este curso, concentrándonos ahora sólo sobre la teoría de la producción walrasiana. En la teoría que desarrollaremos desaparece la diferencia entre factores producibles y no-producibles, de modo que en esa economía abstracta no es necesario clasificar a los individuos como trabajadores, terratenientes o capitalistas. Todos aparecen como propietarios de algunos factores de producción.

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es una función continua de los precios de los bienes y servicios, p y v, y será escrita ci=ci(p,v). En forma similar, rk=rk(p,v). Estas funciones son derivadas mediante la maximización de la utilidad de los individuos, y por consiguiente son homogéneas de grado cero en los precios p y v y satisfacen la identidad presupuestaria (derivada de las ecuaciones de presupuesto de los individuos) [31] ∑i pici(p,v,) ≡ ∑k vkrk(p,v). A continuación indicamos la cantidad del bien i necesaria para producir una unidad del bien j mediante aij y la cantidad del factor k empleado por unidad de producción del bien j mediante bkj. La demanda industrial del bien i asciende a ∑j aijxj y el empleo del factor k a ∑j bkjxj, luego las condiciones de equilibrio general con producción son: (i) las condiciones de demanda-oferta de los bienes, [32] ∑j aij xj +ci(p,v)≤xi (i=1, …,n), (ii) las condiciones de demanda-oferta de los factores, [33] ∑j bkj xj ≤ rk(p,v) (j=1, ..., m), y (iii) las condiciones de precio-costo de los bienes, [34] pj ≤ ∑i aijpi + ∑k bkjvk (j=1, ..., n). Como vimos en el capítulo XVIII de programación lineal, en las inecuaciones [32] y [33] rige el teorema de holgura complementaria, como veremos más adelante nuevamente, ya que si se verifica la desigualdad estricta para algún bien i o algún factor k, entonces el correspondiente precio pi o vk será nulo; es decir que si hay producción excesiva de determinado bien, o un factor no es plenamente utilizado serán bienes libres (la regla de los bienes libres), en tanto que si las inecuaciones [34] rigen como desigualdades estrictas para alguna industria j, su producción correspondiente xj será cero; es decir que las industrias no rentables serán cerradas (la regla de rentabilidad). Ahora podemos discutir la validez de la ley de Walras, extendiéndola al caso de producción. Si definimos a las funciones de demanda excedente de bienes y factores como: Ei(p,v,x)= ∑j aij xj + cj(p,v) - xi (i=1,...,n), Fk(p,v,x)= ∑jbkj xj – rk(p,v) (k=1,…,m), en las cuales x=(x1,...,xn) es el valor total de las demandas excedentes (o demanda excedente agregada), que viene dado por [35] ∑i piEi(p,v,x) + ∑k vkFk(p,v,x)≡[ ∑ipici(p,v) - ∑kvkrk(p,v)] – [∑ipixi-∑i∑jaijpixj -∑k∑jbkjvkxj]. En esta identidad el primer par de corchetes es cero por la ecuación presupuestaria [31]. ¿Qué podemos decir del segundo corchete? Si como de costumbre hacemos el análisis en el largo plazo, los costos de producción ya incorporarán un beneficio “normal” de las actividades productivas, en cuyo caso también será nulo al haber sido eliminados los beneficios extraordinarios. Pero también podemos tener una ley de Walras válida9 si se supone que los

9 Ésta es una modificación introducida explícitamente por Morishima, y refleja un punto de vista que ya tenía Gustav Cassel.

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beneficios excedentes agregados son distribuídos entre los individuos, por ejemplo en proporción a su tenencia de los bienes de capital de la economía. Los beneficios excedentes pueden ser positivos o negativos (en cuyo caso habrá un desahorro de los individuos). Luego obtendrán un ingreso extraordinario (positivo o negativo) adicional al beneficio normal incluído en ∑k vkrk. Su consumo de bienes y oferta de factores ahora también dependen no solamente de los precios y de las dotaciones iniciales de los individuos, sino también del beneficio agregado excedente, que a su vez depende de los precios p y v y de los niveles de producción de las industrias x, de modo que podemos escribir ci=ci(p,v,x) rk=rk(p,v,x). Sean ahora las matrices A=[aij] (n por n) y B=[bkj] (m por n) y los vectores c(p,v,x)=[ci(p,v,x)] y r(p,v,x)=[rk(p,v,x)], que satisfacen la ecuación de presupuesto [36] p’c(p,v,x)= v’r(p,v,x) + [p’(I-A) –v’B]x, donde todos los vectores son vectores columna salvo que estén seguidos del signo (‘). El segundo término del segundo miembro corresponde al beneficio extraordinario agregado. Las condiciones de equilibrio son ahora: [37] Ax +c(p,v,x) ≤ x (demanda-oferta de bienes), [38] Bx ≤ r(p,v,x) (demanda-oferta de factores), [39] p’ ≤ p’A+v’B (precio-costo de los bienes). Definimos a las funciones de demanda excedente como E(p,v,x) = Ax+c(p,v,x)-x F(p,v,x) = Bx –r(p,v,x). Por [36], estas funciones de demanda excedente satisfacen la ley de Walras [40] p’E(p,v,x) + v’F(p,v,x) ≡ 0. Hay diversas estrategias para demostrar que el sistema [37]-[40] posee soluciones no-negativas de (p,v,x). Según una de ellas, reducimos el sistema de producción de equilibrio a un sistema de intercambio de equilibrio y luego le aplicamos la convención del tâtonnement para hallar un equilibrio del intercambio. Según otra, que fue la que siguió Walras, se aplica una nueva fórmula de tâtonnement para hallar un equilibrio general con producción. Seguiremos la estrategia de comenzar con la primera estrategia para ver después cómo funcionaría la segunda. 5.1 La primera estrategia: solución mediante el método de Leontief En primer lugar, reducimos el sistema a un sistema de intercambio de los factores de producción. Si bien esto implica adelantarnos al tratamiento que daremos al modelo del profesor Leontief más adelante, supondremos que la matriz de coeficientes de insumos A es productiva10 y no nula. Definiendo

10 Decimos que la matriz de coeficientes de insumo es productiva si es factible obtener niveles de producción mayores que los insumos correspondientes requeridos, o sea A es tal que existe un vector de producción, digamos x0>0, tal que x0>Ax0. La productividad implica hAx0≥Ax0 para un h comprendido entre 0

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[41] p’ = v’B(I-A)-1 (solución de precios de Leontief), hallamos que el beneficio agregado excedente al nivel del equilibrio se mantiene en equilibrio (es decir, en cero). Ningún individuo recibe un ingreso adicional positivo o negativo. Entonces el consumo de bienes y la oferta de factores resultan independientes de la producción x. Luego, si los precios de bienes y factores siempre se ajustan de la manera indicada, es posible escribir: [42] c(p,v,x)=c(v) r(p,v,x)=r(v). A continuación obtenemos la solución de la producción en términos del vector de consumo, como en el modelo de Leontief: [43] x=(I-A)-1c(v). Re-escribimos las funciones de demanda excedente de más arriba sustituyendo las expresiones [42] y [43]: [44] F(v)=Bx –r(p,v,x) = B(I-A)-1c(v) – r(v). Esta ecuación representa a las demandas excedentes factoriales que habrá en el mercado cuando p y x se ajustan de forma instantánea para que se cumplan [41] y [43]. También podemos re-escribir [40], teniendo en cuenta [11]-[14], como [45] v’B(I-A)-1c(v) –v’r(v) ≡v’F(v)≡0, que indica que la ley de Walras será válida en los mercados de los factores. Es evidente que [37] valdrá como una igualdad en [43]. Asimismo, [39] valdrá como igualdad en [41]. La condición de equilibrio restante [38] requiere que [46] F(v)≤0. Luego el problema ha sido reducido a uno de hallar un equilibrio general de intercambio en el mercado de factores, es decir hallar precios factoriales que satisfagan las condiciones de equilibrio [46]. Ahora se puede ubicar un equilibrio general mediante el método de tâtonnement ya discutido. Como no sabemos qué factores pueden ser libres como para ser adoptados como numerario, construímos una mercancía compuesta que tiene una unidad de cada factor productivo. Llamemos vk(t) al precio del factor k en términos del numerario en la ronda t-ésima del tanteo. Los precios deben estar normalizados, de manera que [47] ∑k vk(t) = 1, para todo t. Como hemos visto, los precios en la ronda t+1 serían determinados con arreglo a la siguiente fórmula:

y 1. Como A es no-negativa, se tiene que htx0≥A2x0. Repitiendo este proceso obtenemos htx0≥Atx0≥0 para todo t. Como 0<h<1, se tiene que limt→∞Atx0=0; como x0>0, At debe ser convergente. Luego, (I-A)-1= I+A+A2+... Al ser A no-negativa, cada término del segundo miembro es no-negativo; de lo cual (I-A)-1≥0.

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max{vk(t)+uFk[v(t)],0} [48] vk(t+1) = ─────────────── (k=1,2, ..., m) ∑jmax{{vj(t)+uFj[v(t)],0} donde u es una constante positiva que representa el grado de flexibilidad de los precios. Estas ecuaciones [48] transforman v(t) en v(t+1). Si v(t)≠v(t+1), los precios están cambiando en el momento t, en tanto que un punto en el cual v(t)=v(t+1) constituye un punto fijo. Por el teorema de punto de fijo de Brouwer, existirá un punto fijo siempre que las Fk[v(t)] (k=1, ...,m) sean funciones continuas. Si el punto fijo es globalmente estable, el proceso de tâtonnement puede arrancar desde cualquier punto inicial v(0). La fórmula [48] dará los precios subsiguientes que convergirán finalmente al punto de equilibrio11. 5.2 Objeciones

• En una economía descentralizada como la capitalista, no resulta del todo realista suponer que los precios de los bienes se ajustan instantáneamente a los precios factoriales como lo supone [41]. Cada firma o industria sólo conoce sus propios coeficientes productivos, y por falta de información ninguna es capaz de calcular el precio exacto de su producción con arreglo a la fórmula [41]. • Tampoco hay muchas industrias que conozcan qué valor de su producción es consistente con el consumo que enfrentan, tal como presupone la fórmula [43]. • Parecería por lo tanto que las bases que hacen que el primer método de tanteo sea operativo no están disponibles en una economía como la corriente. Más aún, el método de reducir el modelo de producción a un modelo de intercambio de factores, al sacar del medio a los productos, no es aplicable cuando hay técnicas alternativas de producción para cada industria entre las cuales hay que elegir. En este caso más general, la matriz de coeficientes de insumos A deja de ser una matriz cuadrada, lo que hace inconcebible el cálculo de una inversa (I-A)-1 que resulta indispensable para eliminar variables según el primer método.

5.3 La segunda estrategia: solución de Walras En una economía con n industrias que producen n bienes con m factores, la industria i puede elegir entre ki procesos indicados mediante 1i, 2i, ...,ki. Sus coeficientes de insumos materiales y de insumos factoriales pueden ser representados mediante matrices:

a11(i) … a1k(i) b11(i) … b1k(i)

a21(i) … a2k(i) b21(i) … b2k(i)

Ai = ……… Bi = ………. an1(i) … ank(i) bm1(i) … bmk(i)

respectivamente. Para toda la economía se tiene una matriz de insumos materiales A y la matriz de coeficientes factoriales B, que son arreglos numéricos de las matrices de coeficientes

11 Ésta es una situación “afortunada”, ya que si el punto de equilibrio no fuera globalmente estable, la trayectoria v(t) podría eventualmente converger hacia un ciclo límite. Los precios factoriales oscilarían incesantemente y nunca se alcanzaría el punto de equilibrio usando el tanteo, aunque se asegure su existencia.

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industriales (A1,A2, ...,An) y (B1,B2, ....,Bn), respectivamente. La matriz de producción, I (la matriz identidad), en el caso de ausencia de sustitución está representada mediante

1 1 ... 1 0 0 0 0 ... 0 0 0 ... 0 1 ... 1 0 ... .

J = ............ 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1

donde el número de unidades de la fila i-ésima es igual al número de técnicas alternativas disponibles en la industria, igual a ki. Naturalmente, el vector de producción es de dimensión k1+k2 +...+kn y es expresado como x’=(x1(1), x2(1), …,xk(1),x1(2), …, xk(2), …,x1(n), ...,xk(n)), donde la componente xs(i) representa la cantidad del bien i producido por el método s(i)-ésimo de producción. El vector x es un vector columna, ya que lo hemos escrito traspuesto. Las condiciones de equilibrio de Walras pasan a ser las siguientes: [49] Ax+c(p,v,x) ≤ Jx, [50] Bx ≤ r(p,v,x), [51] p’J ≤ p’A+v’B. Este sistema es resuelto mediante tâtonnement, muy similar al de la economía de intercambio. Pero Walras nos advierte que puede haber algunas complicaciones con el tâtonnement en la producción, que no aparecen en la economía de intercambio. Primero, en la teoría del intercambio hemos supuesto que los comerciantes pueden contratar y recontratar entre sí sin incurrir en un costo significativo. Pero con la producción no es posible suponer que ésta sea reversible; obviamente, pocas veces es posible revertir un proceso productivo y recuperar los factores utilizados (esto es particularmente cierto del factor trabajo, que es irreversible). Segundo, producir requiere un lapso de tiempo, que varía según el producto. Walras resolvió la primera dificultad suponiendo que durante el proceso de tanteo no tiene lugar la producción y que los empresarios utilizan ‘tickets’ para indicar productos o insumos que desearían producir o emplear a los precios existentes en el mercado. El número de tickets aumentará o disminuirá cuando cambien las circunstancias, y la demanda por cada tipo de ticket será igual a su oferta cuando el tanteo alcance un equilibrio. Los empresarios pueden disminuir el número de tickets de cualquier tipo sin dificultad, simplemente al no realizar el proceso de producción correspondiente. La producción es llevada a cabo cuando se llega a un equilibrio. Walras saltó por encima de la segunda dificultad, ignorando simplemente el elemento tiempo. Cuando analicemos algunas limitaciones del modelo de Walras (v. punto 7) trataremos esta dificultad.

Walras introdujo las siguientes reglas de ajuste: (1) El precio pi de un bien es aumentado (o disminuído) en caso de demanda excedente positiva (o negativa); (2) El precio vk de un factor es aumentado (o disminuído) en caso de demanda excedente positiva (o negativa); (3) La producción del bien i es aumentada (o disminuída) en caso de que su precio sea mayor (o menor) que su costo de producción. Expresadas en forma matemática:

max[ pi(t)+uEi(t),0] [52] pi(t+1) = ──────────── (i=1, …, n) M(t) max[ vk(t)+uFk(t),0] [53] vk(t+1) = ──────────── (k=1, …, m) M(t)

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[54] xs(i)(t+1) =min [xs(i)*, max(0, xs(i)(t)+wGs(i)(t))] (si=1i ,…,ki), (I=1,…,n), donde: Ei(t) es la demanda excedente del bien i (es decir, la diferencia entre ambos miembros de la desigualdad i-ésima de [49]; Fk(t) es la demanda excedente del factor k (es decir, la diferencia entre ambos miembros de la desigualdad [50]; Gs(i)(t) es el beneficio excedente del s-ésimo proceso de la industria i (o sea, la diferencia entre ambos miembros de la si-ésima desigualdad de [51]. Todos estos valores son calculados en la t-ésima ronda del tanteo cuando son conocidos p(t), v(t) y x(t). Los coeficientes u y w son positivos y representan la flexibilidad de precios y de la producción, respectivamente. M(t) es la suma de los numeradores de [52] y [53], es decir [55] M(t) = max[ pi(t)+uEi(t),0] + max[ vk(t)+uFk(t),0]. En el lado derecho de las ecuaciones [52] y [53], la operación max impide que los precios puedan adoptar valores negativos, y M(t) simplemente es una normalización de los precios tal que ∑i pi(t+1) + ∑k vk(t+1) = 1. En las ecuaciones de ajuste de la producción [24], xs(i)* es un nivel de actividad del proceso lo bastante elevado como para resultar no factible, sin necesidad de tener en cuenta a otros procesos productivos, porque da lugar a escasez de por lo menos uno de los factores de producción. La operación de max en [54] impide que xs(i)(t+1) sea negativo, mientras que la operación min de [54] impide que exceda a xs(i)*. En otros términos, la fórmula establece que la producción mediante el proceso si aumenta o disminuye en proporción al beneficio excedente dentro del rango [0,xs(i)*]. Suponiendo que las funciones de demanda c(p,v,x) y las funciones de oferta factorial r(p,vv,x) son continuas, el sistema [52]-[54] transforma [p(t),v(t),x(t)] en [p(t+1),v(t+1),x(t+1)] de manera continua. Sea S el conjunto de todas las combinaciones posibles de p,v,x tales que p≥0, v≥0, ∑ipi+∑kvk=1 y 0≤x≤x*, donde x* es el vector de componentes xs(i)*. Luego el sistema [52]-[54] es una transformación del simplex S en sí mismo. Se satisfacen así los requisitos del teorema de punto fijo, de manera que obtenemos un punto fijo (p*,v*,x*) en el cual los valores de p,v y x calculados son iguales a los mismos p*,v*,x* calculados previamente. Lo anterior demuestra que, en el punto fijo, la demanda no será superior a la oferta de cada bien y cada factor, y que el precio no excederá al costo (medio y marginal) de cada proceso. Lo cual significa que el punto fijo satisface las inecuaciones [49]-[51]. En ese punto, además son válidas las reglas de los bienes libres y de rentabilidad. Por consiguiente, en una situación de equilibrio, (1º) todos los factores estarán plenamente empleados, con excepción de los factores libres; (2º) las industrias sólo adoptarán aquellos métodos de producción que sean rentables; y (3º) los bienes serán distribuídos entre los individuos, sin despilfarro, excepto que sean bienes libres. De esta manera, Walras concluía que en una economía competitiva estaban asegurados el pleno empleo de los factores, la producción eficiente de las industrias y la distribución sin despilfarro de los productos. 6. El juicio de algunos economistas contemporáneos

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El economista británico Edgeworth12 fue uno de los primeros en evaluar la tarea desarrollada por Walras. En su revisión crítica, expresó que “el Prof. Walras es uno de los primeros que concibe al empresario como si comprara factores de producción (uso de la tierra, trabajo, y capital) y vendiera los productos terminados en cuatro mercados, que de esa manera terminan siendo interdependientes. Sus críticas a la escuela inglesa a tal título a menudo son valiosas. De los fondos empresariales, que no están predeterminados en el sentido que algunos lo han imaginado, para realizar cierto tipo de gasto, dice muy bien que Il serait aussi impossible de distinguer ce fonds de roulement du travail du fonds de roulement de la rente foncière, ou du fonds de roulement du profit, que de distinguer dans un bassin à trois robinets l'eau destinée à s'écouler par un robinet de celle destinée a s'écouler par les deux autres. Pero seguramente llega demasiado lejos en su abstracción al insistir sobre la idea de que el empresario debería ser contemplado como sin ganancias ni pérdidas. Tal vez su punto de vista en éste y otros temas habría sido más exacto si hubiera considerado qué rol desempeña la “desutilidad” del trabajo – para usar la frase de Jevons – como factor del equilibrio económico, en lugar de concentrarse en la “utilidad final”... En este caso y en otros, su argumento probablemente queda oscurecido, y tal vez le falte atracción, al usar símbolos excesivos en los requerimientos modestos del razonamiento matemático económico. Una ciencia que se cultiva de esta manera rinde un follaje algebraico exhuberante. Debe notarse que la claridad del estilo literario del prof. Walras no se refleja en sus composiciones matemáticas. Como algebrista no respetó la máxima “Il ne faut pas épuiser les choses” [no hay que exagerar en las cosas]. Justificamos nuestra crítica si nos referimos a los capítulos de las “lecciones”, donde se trata de analizar lo que se llama el “tâtonnement” del mercado. El escritor nos dio tres cursos sobre este análisis. Expresó en unas treinta y cinco páginas algo que hubiera podido ser presentado de modo adecuado en algunos pocos párrafos. Porque, después de todo, no se trata de una idea demasiado buena. Lo que el autor pretende demostrar es la trayectoria que tomará el regateo en el mercado – “sendero, que si existe, conducirá al sistema al equilibrio.” Ahora bien, como puntualiza Jevons, las ecuaciones de intercambio son de naturaleza estática y no dinámica. Sólo definen una posición de equilibrio, pero no proporcionan información sobre qué trayectoria se seguirá hasta alcanzar ese punto. El profesor elaboró un capítulo, pero no el capítulo de convergencia al equilibrio. Éste no es el único tópico en el que la laboriosidad de la investigación está desproporcionada con su importancia.” No todos los juicios fueron tan poco comprensivos de la importancia capital de la obra de Walras. Veamos brevemente algunos de los comentarios formulados por Ladislaus von Bortkiewicz (un economista nacido en Rusia, enrolado en la corriente clásica ricardiana). Fue uno de los amigos de Walras y su fama moderna radica en la solución dada al problema marxista de la transformación – como veremos más adelante. Comienza diciendo: “El problema abordado por el Sr Léon Walras en sus Éléments d’économie politique pure, cuya segunda edición acaba de aparecer, es con seguridad un problema muy vasto y complejo que podría ser enunciado de la siguiente manera: “Dados algunos individuos, miembros de una sociedad económica sometida al régimen competitivo, que poseen determinadas cantidades de capitales territoriales, personales y muebles, con necesidades determinadas de

Ladislaus von Bortkiewicz, 1868-1931. 12 Francis Ysidro Edgeworth (1889) "The Mathematical Theory of Political Economy: Review of Léon Walras, Éléments d'économie politique pure", Nature, Vol. 40, No. 1036.

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servicios y de productos y ciertas inclinaciones al ahorro, determinar las cantidades respectivas de los diversos productos y de los diversos capitales muebles que serán fabricados, así como los precios corrientes de los servicios, productos y nuevos capitales.” Soy de los que consideran que en términos generales, el Sr Walras ha resuelto este gran problema, por una parte gracias a una buena elección de definiciones y conceptos económicos: oferta y demanda efectivas, utilidad, servicios consumibles y productores, productos, empresario, mercados de servicios y de productos, etc., y por otra parte a una feliz partición matemática del problema, consistente en buscar en forma sucesiva, para luego superponerlos, el equilibrio del intercambio, el equilibrio de la producción y el equilibrio de la capitalización13. Y lejos de haber sido perturbado en mis convicciones, me he sentido más seguro de ellas como consecuencia de algunas voces críticas a la doctrina del Sr Walras surgidas de un grupo de economistas que, en Inglaterra, también aplican el método matemático para elaborar economía política pura.[...]” Continúa: “La verdadera razón por la que el Sr Edgeworth y muchos otros rechazan obstinadamente una teoría del valor de cambio en la cual no desempeñan rol alguno los gastos de producción parece radicar en un hecho que es de experiencia común, a saber que en un mercado de competencia libre, los productos son intercambiados según sus costos relativos. Como este fenómeno se produce siempre, ¿no sería natural reconocer que en este principio radica la ley fundamental del valor, la verdadera determinación de los precios? [...] Por mi parte, creo que una buena teoría de la economía política debe tener en cuenta la igualdad de los precios de venta y los precios de costo, porque en caso contrario sería incompleta; además, el sistema del Sr Walras la satisface perfectamente. En verdad, en este sistema, dicha igualdad no pertenece a la teoría del intercambio, que considera a las cantidades de productos como datos del problema. Pero figura en la teoría de la producción, a la cual corresponde considerar a las cantidades de los productos como incógnitas y demostrar que se satisfacen dada la igualdad de los precios de venta y los precios de costo. [...] Resulta sorprendente leer en el artículo del Sr Edgeworth que el Sr Walras parece haberse olvidado del costo de producción desde el punto de vista de los sacrificios y de los esfuerzos que importa. ¡Los “sacrificios y esfuerzos” no son más que otra expresión de los que el Sr Walras denomina los “servicios de los capitales personales”! Aparentemente, el Sr Edgeworth no distingue en forma clara entre el mercado de productos y el mercado de servicios, o en otros términos, el equilibrio del intercambio del equilibrio de la producción. No es un mérito menor que el Sr Walras haya insistido sobre esta importante distinción.” 7. El juicio del siglo XX En el siglo XX los economistas comenzaron a construir sobre la obra dejada por Walras, aproximadamente en los años veinte. Joseph A. Schumpeter dedicó los últimos meses de su vida a escribir sobre la Teoría Walrasiana del Equilibrio General. Indicó: “Walras analizó las condiciones que determinan los valores de equilibrio de todas las variables económicas, a saber: precios de productos y factores y cantidades de estos productos que serían comprados, en equilibrio perfecto y bajo competencia pura, por todas las familias y las firmas. Como la 13 Walras ha sido celebrado por sus estudios sobre la utilidad marginal en el intercambio y la teoría del equilibrio con producción, pero siguiendo a Morishima “éstos no son más que hors d’oeuvre necesarios para introducir los manjares principales: la teoría de la formación de capital y del crédito y la teoría de la circulación y del dinero...” Morishima estima que, a diferencia de las opiniones vulgares, “su teoría del crecimiento y monetaria son más estimables que su teoría del intercambio y de la producción [aunque sea necesario introducir algunas correcciones]. Pero constituyen una obra sólida y seria; se trata sin duda de obras maestras”. Dado el alcance de nuestro programa, nos limitaremos exclusivamente a los puntos expuestos, dejando el tratamiento de las teorías del crecimiento y monetaria de Walras para los cursos correspondientes.

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determinación de estas cantidades implica también la de los ingresos de grupos y sociales, esta teoría también incluye lo que es llamado Análisis del Ingreso y las condiciones a considerar, aunque sean de naturaleza microanalítica (ya que se refieren fundamentalmente a cantidades compradas y vendidas por hogaress individuales y empresas), también incluyen aspectos macroanalíticos, como por ejemplo el empleo total de la sociedad[...]. La teoría de los precios de Walras, primariamente, se refiere a precios de los servicios de productos y factores. Lo cual es equivalente para los productos y factores que son sólo utilizados una vez. Para los segundos, el problema de determinar sus precios es un problema diferenciado resuelto en el segundo piso, como veremos[...]. Segundo, me he referido a precios que serían pagados ‘en equilibrio perfecto y bajo competencia pura’. Esta forma de expresarse no es walrasiana: Walras, como J.B.Clark, concebía que estos precios estarían, normalmente, al nivel real en torno del cual los precios oscilan en la vida cotidiana... Tercero, Walras agrupó a sus servicios productivos en servicios de la tierra, del trabajo, y del ‘capital propiamente dicho’14 pero esta distinción no implica aceptación de la vieja tríada de factores: en realidad Walras admitió un número indefinido de medios de producción y de servicios.[...]” Continúa: “Walras fue cuidadoso –mucho más que otros escritores – en construir teóricamente, e identificar prácticamente, los diversos “mercados” en los cuales opera su mecanismo económico y cuya interacción constituye su órgano analítico. Simplificando en la medida de lo posible, tenemos dos mercados fundamentales, los de los productos y los de los servicios productivos, y además el mercado que determina los precios de estos capitales, y por consiguiente el flujo de nuevo ingreso y el mercado de medios de pago. El lector quizá esté sorprendido por mi énfasis en una cuestión aparentemente trivial. Pero asociar a cada porción del argumento con un mercado identificable, aún a un elevado nivel de abstracción, constituye una característica fundamental del procedimiento de Walras que arranca en cada uno de estos cuatro casos con una solución de un problema de equilibrio y sólo después investiga de qué manera esta solución teórica opera ‘prácticamente’ en el mercado correspondiente.” Schumpeter visualizó que el problema de existencia era “sinónimo de la pregunta acerca de si las ecuaciones involucradas son capaces de ser resueltas en forma simultánea... De todas las objeciones injustas y carentes de sentido levantadas contra Walras, acaso la más injusta es que creyó que la cuestión de existencia podía ser resuelta contando el número de “ecuaciones” y de “incógnitas”, hallando que eran de igual número. Hemos visto que se garantizó la existencia de un requisito adicional - la independencia de las ecuaciones. Pero a medida que analizamos su argumento además descubrimos que, aunque su equipamiento matemático no era suficiente, su genio vio y captó todos o casi todos los otros problemas relevantes y en la práctica llegó a resultados correctos. Aunque no haya respondido a todas las preguntas de modo satisfactorio, hay un mérito inmortal en el sólo hecho de haberlas planteado. Aunque su trabajo no sea la culminación de este tipo de análisis, fue con certeza su fundamento. Vio la posibilidad de que el sistema de ecuaciones no admitiera solución alguna. También vio y demostró que, en caso de existir, la solución puede no ser única. Todo lo que reclamó era que normalmente existen soluciones y que, si los bienes en el mercado son numerosos, existirá en general solución única...

14 Dice Schumpeter: “Como es sabido, Walras definió a los capitaux, en sentido amplio, como todos los bienes que pueden ser utilizados más de una vez, y en un sentido más estrecho, como bienes durables producidos (capitaux proprement dits). Llamó revenus a sus servicios, ya fueran consumidos por su propietario (p.ej. como ocio en el caso de ‘trabajo personal’: este ocio aún es travail) o utilizados productivamente.”

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Uno de los grandes méritos de Walras es haber distinguido entre los problemas de existencia y de estabilidad, ofreciendo un argumento sobre la primera mediante un elaborado argumento sobre la segunda. [...] Mostró que la gente en el mercado, aunque evidentemente no está resolviendo ecuaciones, hace mediante un método diferente lo mismo que hace un teórico que resuelve ecuaciones; dicho de otra manera, que el ‘método empírico’ usado en los mercados perfectamente competitivos y el ‘método teórico’ o ‘científico’ del observador tienden a producir la misma configuración de equilibrio. Al plantear el problema de tal manera se pone en primer plano la cuestión de estabilidad, es decir, la pregunta acerca de cómo el mecanismo de los mercados competitivos conduce al sistema hacia el equilibrio y lo mantiene allí.” Schumpeter desarrolla a continuación una exposición de la teoría walrasiana de la producción, que reproduce a grandes líneas el esbozo anterior. Concluye: “Aunque en el análisis final el sistema de Walras no sea nada más que un enorme programa de investigación, debido a su calidad intelectual es la base de prácticamente todos los mejores trabajos de nuestra época.” Vamos a concluir este capítulo con una revisión de algunos puntos débiles de la teoría walrasiana. En primer lugar, producir un bien requiere tiempo entre el momento en que se aplican los insumos de factores productivos y el producto final. Pero Walras dejó de lado este hecho, diciendo: “La producción ... requiere un determinado lapso de tiempo. Nosotros resolveremos ... esta dificultad ignorando pura y simplemente el elemento temporal.” Para ello postuló que, en el caso de los productos finales, la producción era instantánea. Ésta es una simplificación drástica. Al suponer que la producción es instantánea son ignorados varios problemas económicos importantes. No solamente el período de producción es diferente de cero sino que cambia según los bienes que deben ser producidos15. Lo que es más, el período de producción de un producto no está fijo sino que es variable, según el método de producción elegido entre los que están disponibles; por consiguiente, debería ser una variable más dentro del sistema de equilibrio económico general, en lugar de ser tratado como un parámetro puramente tecnológico. El reemplazo general de buques hechos en Gran Bretaña por otros hechos en Japón podría no ser consecuencia de que los últimos sean superiores, sino de que exista una diferencia sustancial del período de producción entre la industria constructora de barcos japonesa y la británica. Si esto fuera así, de qué manera podría alentarse a la industria británica a elegir un período de producción más breve? La economía de Walras no puede responder a esta pregunta. En segundo término, los bienes de capital son bienes durables que son utilizados en la producción por varios años, estando sujetos a depreciación a lo largo de su vida útil. Usualmente hay dos formas de tratar a los bienes de capital durables: el método neoclásico y el que podría ser denominado como método de von Neumann. Walras adoptó el primero, que puede resumirse así: una unidad de un viejo bien de capital se convierte en determinada etapa de utilización en unidades de un nuevo bien de capital del mismo tipo, ambos equivalentes en términos de productividad. Si cada bien de capital k se “evapora” a una tasa fija μk en términos de eficiencia (de tal forma que su productividad decae “radioactivamente”16) el stock existente del bien Xk en unidades de eficiencia, caerá hasta el nivel (1-μk)Xk después de transcurrido un período, y deberá hacerse una inversión de reemplazo de monto μkXk a fin de mantener intacto el stock de capital. Luego el enfoque neoclásico supone que los viejos bienes de capital son perfectamente “maleables” con los nuevos bienes de capita; no toma en cuenta la estructura del capital por edad. Walras escribió: “Esto es lo que llamamos la depreciación (amortización) del capital. La cantidad

15 Marx (Das Kapital, Vol. II) observó que este período es muy diferente entre una cantidad definida de hilado de algodón y una locomotora, por ejemplo. 16 Matemáticamente, esto significa que el stock Xk registra una variación dXk/dt= -μkXk.

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que restamos a tal efecto, o sea la carga por depreciación, será variable según el bien de capital considerado. Pero una vez que esta carga ha sido impuesta [y gastada en el reemplazo de bienes de capital], todos los bienes de capital serán rigurosamente idénticos con respecto al empeoramiento debido al uso, ya que, de alguna manera, se han transformado en permanentes.” Con evaporación radioactiva de la eficiencia de los bienes de capital, la tasa de depreciación μk es igual a la recíproca de la vida media del bien de capital k, Tk. Walras asumió que las tasas de depreciación eran parámetros de su sistema exógenamente determinados por la tecnología, lo que significa que no hizo lugar al hecho de que las firmas utilizan bienes de capital por períodos más largos o más cortos, según las circunstancias. Por ejemplo, un alza inesperada de la demanda de un bien de consumo, cæteris paribus, tiende a prolongar la vida útil de un bien de capital necesario para producirlo en virtud de que, por una escasez temporaria de ese bien de capital, la empresa continuará usando los viejos bienes de capital del mismo tipo que, de no ser así hubieran sido dejados de lado. En forma similar, un aumento de la tasa de interés tiende a acortar el período de utilización de un bien de capital, porque el viejo equipo de capital productivo deja de ser rentable, ya que disminuye el flujo de ingreso neto. Por consiguiente la duración real económica de un bien de capital no es necesariamente igual a su duración física, y puede alterarse por eventos exógenos como la innovación tecnológica, el cambio de gustos de los consumidores, un aumento de la oferta monetaria, etc. Empero, Walras eliminó todas estas fluctuaciones inducidas de la duración de los bienes de capital, mediante el supuesto neoclásico de que las tasas de depreciación quedan determinadas por afuera del sistema. Es evidente que los nuevos y viejos bienes de capital son sustitutos próximos, pero no sustitutos perfectos, porque, aparte de las mejoras tecnológicas incorporadas en los nuevos bienes de capital, tienen diferencias en cuanto a su eficiencia, ya que los últimos se desgastaron por el uso. Otro factor importante es que la tasa de deterioro de la productividad de los bienes de capital no se mueve a tasa constante, como se supone en la fórmula neoclásica. Un proceso de producción que utiliza un bien de capital k deja, al término del período de producción, el producto resultante y el mismo bien de capital k un año más viejo. Al último lo podemos considerar como un producto conjunto del proceso; desde este punto de vista, elegir entre bienes de capital nuevo y antiguo es una elección entre procesos que utilizan bienes de capital viejos y nuevo, respectivamente, y que producen una pluralidad de productos en forma conjunta. ¿Cuándo se vuelve obsoleto un bien de capital? La obsolescencia se produce en aquel momento en que el proceso de producción que utiliza el bien de capital de determinada edad se torna no-rentable. El problema de calcular la vida económica de los bienes durables de capital se reduce, por consiguiente, a una parte del problema general de elección de técnicas. Esta nueva formulación de la depreciación ha sido denominada la fórmula de depreciación de von Neumann17. Consiste en distinguir a los bienes de capital de edades diferentes entre sí como si fueran bienes de distintos tipos. De esta manera se amplía enormemente la lista de bienes posibles, ustedes dirán. Pero ésta es la única solución efectiva para el tratamiento del bien capital.

17 V. p.ej. Michio Morishima, Marx’s Economics (1973).