X-PRE-II Bim.
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Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PRE
Profesor: Daniel Torres 2011
1
23
4
b
a
ba
1234
Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PRE
Productos Notables I…………………………………………2
Productos Notables II …………………………………………5
División Algebraica I …………………………………………7
División Algebraica II …………………………………………15
División Algebraica III ………………………………………21
Teoremadel Resto…………….………………………………28
Factorización…………….……………………………………3 4
M .C .M yM .C .D…………….………………………………… 40
Radicación…………….…………………………………………44
Racionalización…………….…………………………………49
Observa la figura y halla el área total:Es un cuadrado de lado (a + b), pero luego hacemos 2 cortes imaginarios tal que se forman figuras geométricas, 2 cuadrados (lados = a y lados = b), y 2 rectángulos tenemos:
Área total = (a + b)2 ..... ()Ahora sumemos partes:Cuadrado : a2
Cuadrado : b2
Rectángulo : ab
Profesor: Daniel Torres 2011
Para el Señor: _________________
Por haber ocupado el 1er puesto en dibujar el cuadrado más grande.Ganando con una diferencia entre las áreas de: ____________________
Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PRERectángulo : ab
a2 + ab + ab + b2 a2 + 2ab + b2 que también es el área total; entonces igualando: (a + b)2
a2 + 2ab + b2
Lo que no sabían los niños era que OMED tenía un diploma para el ganador.
Profesor: Daniel Torres 2011
Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PRE
Ayuda a OMED a calcular la diferencia de áreas.
¡VAMOS TÚ PUEDES!
Área del cuadrado de Trilcito: 82 = 64
Área del cuadrado de Jorgito: 72 = 49
Restando: 82 – 72 = 64 – 49 = 15
Entonces: GANADOR: TRILCITO
pero imagínate que tú no sepas cuánto es 82 y 72 y los estés restando. ¿Qué haces?
OMED: Yo te digo; usa ...
a2 – b2 = (a + b) (a - b)
compruébalo: 82 – 72 = (8 + 7)(8 - 7) = 15
Ya ves; y solo sumaste, restaste y multiplicaste.
¡QUE FÁCIL!
Resolver usando los productos notables:
1) (8 + 2)2 =
2) (a + b)2 =
3) (3 + 5)2 =
4) (x + 3y)2 =
5) (2a + 3y)2 =
6) (5 - 3)2 =
7) (5a – 3b)2 =
8) 92 - 32 =
9) 72 - 22 =
10) 62 - 132=
Diga Ud. si es verdadero ó falso:
11) 52 – 32 = 17(V) (F)
12)82 – 22 = 60 (V) (F)
13)42 – 12 = 15 (V) (F)
14)32 – 32 = 1 (V) (F)
15)252 – 242 = 49 (V) (F)
Profesor: Daniel Torres 2011
Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PRE
Resolver usando los productos notables:
1) (3 + 2)2 =
2) (1 + 7)2 =
3) (x - y)2 =
4) (5 + 8)2 =
5) (x2 + 2y)2 =
6) (x – 2y)2 =
7) (2y - 1)2 =
8) (13 - 3)2 =
9) (x - 2)2 =
10)
(a+b)2−(a−b)2
4 ab = E, ¿cuánto vale E?
a) 2a b) 3b c) abd) 1 e) 4ab
11)
(a+b)2+(a−b )2
4( a2+b2 ) = E, ¿cuánto vale E?
a) 2 b) 1/2 c) a2 + b2
d) a – b e) a + b
12) Demostrar que : (a + b)2 – (a - b)2 = 4ab
13) Demostrar que : (a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 +
b2)
14) (x – 3y)2 = x2 – 6xy + 3y2 (V) (F)
15) (2y + 3)2 = 4y2 + 12y + 9 (V) (F)
Estaba una vez Trilcito caminando por la calle y encuentra 2 amiguitos que debatían quien hacía
más rápido un problema: uno le decía al otro yo te voy a ganar; no, yo te ganó.
El problema era: (x + 3) (x - 2) = ??
Los 2 empataron: ambos resolvieron el problema en 10 minutos. Pero Trilcito dijo : yo lo hago en 10
segundos. 10 segundo después...
Listo muchachos acabe. Pero Trilcito como lo hiciste, fácil: primero pones la x2, segundo sumas las
segundas componentes y lo multiplicas por x; o sea (3 - 2)x, tercero para acabar pones la
multiplicación de estos dos componentes; o sea (3) (-2); y listo.
Lo que Trilcito hizo fue: (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab
(px + a) (px + b) = p2x2 + (a + b)px + ab
Se le conoce: multiplicación de binomios con término común.
Profesor: Daniel Torres 2011
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I. Resolver usando el producto notable :
1. (a + b) (a + c)
2. (x + 2) (x + 4)
3. (y - 1) (y - 2)
4. (x + 2) (x + y)
5. (x - 5) (x + 2)
6. (2y + 3) (2y - 1)
7. (y3 - c) (y3 + d)
8. (2x2 + 1) (2x2 + 2)9. (6y + a) (6y - b)
10. (3x2 - 2) (3x2 - 1)
II. Indicar si es verdadero ó falso :
11. (x - 2) (x + 3) = x2 – x – 6 (V) (F)
12. (y + 1) (y - 2) = y2 – y + 2 (V) (F)
13. (2y + 3) (2y - 1) = 4y2 + 4y – 3 (V) (F)
14. (3x3 - 1) (3x3 + 2) = 9x6 + 3x3 – 2 (V) (F)
15. (2y2 + a) (2y2 - b) = 4y4 + 2y2(a - b) + ab
(V) (F)
I. Desarrollar los siguientes problemas :
1. (x + 3) (x - 3) =
2. (x + 4) (x - 8) =
3. (3x2 – 2) (3x2 + 2) =
4. (x - 2) (x + 3) =
5. (yx - 2) (yx + 4) =
II. Diga Ud. si es verdadero o falso :
6. (x - y) (x + y) = x2 + y2 (V) (F)
7. (2x - 3) (2x + 4) = 4x2 + x + 12 (V) (F)
8. (yx - 1) (yx + 3) = y2x2 + 2yx – 3 (V) (F)
9. (3x2 + y) (3x2 - y) = 9x4 – y2 (V) (F)
10. (√ 5y - 2) (√ 5 y + 5) = 5y + 3√ 5y – 10 (V) (F)
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D d
r q
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Es una operación que consiste en hallar una expresión denominada cociente dada otras dos denominadas dividendo y divisor.
En el esquema: Donde:D : Dividendod : Divisorq : Cocienter : Resto o Residuo
Siempre se cumple:
D = dq + r
Llamada identidad fundamental de la división.
Ejemplo:
25 7 Dividendo = 25 59 9 D = 59
21 3 Divisor = 7 54 6 d = 9
4 Cociente = 3 5 q = 6
Resto = 4 r = 5
Según la identidad fundamental de la división: Luego: 59 = 9 . 6 + 5
25 = 7 . 3 + 4
AHORA TU! 17 3 D = 31 5 D =
d = d =
q = q =
r = r =
Luego ¿qué se cumple? Luego:
17 = 31 =
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A la Identidad Fundamental de la división también se
le conoce como Algoritmo de
Euclides quien fue un matemático griego que vivió hace más
de ¡2 mil años!
Con números¡Es fácil!Pero con
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RecordemosLEY DE SIGNOS(+)(+)
=(+)( – )(+)
=(– )
( – )( – )
=(+)(+)( – )
=(– )
Ejemplos:246=4 −28
4=−7 20
2=10 −27
9=−3
−35−7
=5 16−2
=−8 −64−8
=8 49−7
=−7
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Ten presente:La división de
signos iguales da (+).
La división de
En la Región de
Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PRE
1. DIVISIÓN ENTRE MONOMIOS: Para dividir monomios: la parte constante se divide de acuerdo a la Ley de Signos y la parte variable según la Ley de Exponentes.
Ejemplos:
35 x8
5x3=7 x8−3=7 x5 −48 x7
8 x4=−6x7−4=−6 x3
−24 x10
−6 x7=4 x10−7=4 x3 36 x12
−4 x8=−9 x12−8=−9x 4
63 x5 y8
9 x2 y3=7 x5−2 y8−3=7 x3 y5 −60 x8 y10
12 x4 y7=−5x8−4 y10−7=−5 x4 y3
−56 x10 y12
−8 x7 y5=7x10−7 y12−5=7 x3 y7 55 x13 y3
−5 x5 y2=−11 x13−5 y3−2=−11 x8 y1=−11 x8 y
2. DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO :
Para este caso debemos utilizar la propiedad distributiva:Profesor: Daniel Torres 2011
En la Región de
Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PREa+b+c
m= am+ bm+ cm
Ejemplos:
2+8+42
=22+ 82+ 42
3+9+123
=33+ 93+123
12−246
=126−246
15−25+355
=155−255+355
4 x5+8x 4+12 x10
2 x3= 4 x
5
2x3+ 8 x
4
2x3+12x
10
2x3=2 x2+4 x+6 x7
35 x8−14 x10+49 x13
7 x5=35 x
8
7 x5−14 x
10
7 x5+49 x
13
7 x5=5 x3−2 x5+7 x8
27 x12−36 x5−54 x7−9x8
9 x3=27 x
12
9x3−36 x
5
9 x3−54 x
7
9 x3−9 x
8
9 x3=3 x9−4 x2−6 x4−x5
24 x8−8 x5
−2x4=24 x
8
−2x4− 8 x5
−2x4=−12 x4−(−4 x )=−12 x4+4 x
24 x8 y7+16 x10 y13
8 x3 y=24 x
8 y7
8 x3 y+16x
10 y13
8 x3 y=3 x5 y6+2x7 y12
AHORA TU!
27+93
= + =
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Sabías
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16+4+84
= + + =
12+6−246
= + – =
14 x12+21x10−28 x15
7 x8= + – =
18 x9−27 x10−54 x11
9x9=
−20 x15 y10+30x3 y7−40 x8 y7
10 x4 y3=
−35 x5 y10 z20−56 x7 y7 z14
−7 x2 y4 z10=
64 x8 y8+32 x9 y9
−8 x4 y5=
1) Al dividir: 12x3y entre 4xy
Se obtiene: mxnHallar:
n√m+1
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EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PREa) 2 b) 1 c) 3
d) 4 e) 5
2) Luego de dividir: -36x3y2z4 entre 3x2yz3
Se obtiene: mxnypzq
Calcular:
mn+ p+q
a) 12 b) -4 c) 3
d) -2 e) 1
3) Si:
12 xn y3
mx4 y p=4 xy 2
Calcular: m + n – p
a) 6 b) 7 c) 9
d) 3 e) 1
4) Luego de dividir: 16x3 + 8x2 entre 2x
Calcular la suma de coeficientes del cociente.
a) 4 b) 8 c) 2
d) 12 e) 24
5) Calcular el cociente en:
32 x8 y5+16 x7 y12
8 x4 y2
Dar por respuesta GR(x) + GR(y) de este
cociente.
a) 12 b) 7 c) 3
d) 14 e) 6
6) Si de:
15 x8 y7−12x10 y5
3x3 y3 se obtiene un
cociente. Calcular el grado.
a) 7 b) 5 c) 4
d) 3 e) 2
7) Simplificar:
M=15 x3 y5
5 xy 4−20 x
7 y2
10 x5 y
a) x2y b) 3x2y c) -2x2y
d) –x2y e) xy2
8) Reducir:
8 x6 y9
4 x2 y7+ 6 x8 y7
−3 x4 y5−12x
4 y3
3 x3 y+32x
8 y12
8 x7 y10
a) x4y2 b) 0 c) xy2
d) 2x3y2 e) 1
9) Simplificar:
M=
25 x5 y7
5 x3 y3−12 x
n y10
6 x5 y6
28 x4 y3
7 x3 y+−x5 y8
x 4 y6
a) 1 b) 3x2y4 c)
3xy2
d) xy2 e) xy
10) Reducir:
G=20 x5+15x7
5x3+24 x
7+16 x9
−8x5
a) x2 + y4 b) x2 + x4 c) x2
d) x4 e) 0
11) Simplificar:
32 x5 y3−64 x7 y9
8 x3 y2+72x
10 y10−36 x8 y4
9 x6 y3
a) x2y + x4y7 b) 0 c) 4x2y
d) x4y7 e) –x2y
12) Reducir:
M=
16 x7+32 x9+8 x4
4 x3
20 x11+40 x13+10x8
5 x7
a) x4 + x6 + x b) 1 c) 3x4
d) 4x4 e) 8x6
13) Reducir:
M=27 x5 y6
9 x2 y4
Si: x3y2 = 3
Profesor: Daniel Torres 2011
Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PREa) 3 b) 1 c) 27
d) 9 e) 15
14) Hallar el valor de:
N=36x5
9 x3+28 x
7
7 x3+64 x
8
16 x5
Si: x2 + x4 + x3 = 1
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
15) Calcular el valor de:
L=50 x5+55 x7
5 x3
Si: x2 = 2 y x4 = 4
a) 50 b) 44 c) 14
d) 64 e) 94
TAREA DOMICILIARIA
1) Luego de dividir: 20x5y3 entre 5x2y
Se obtiene: mxnyp
Calcular:
m+ pn
a) 3 b) 1 c) 2
d) 4 e) 6
2) En la división de: 48x7y10z12 entre 12x3y5z8
Se obtiene: axbyczd
Hallar:
(b+d )ca
a) 5 b) 10 c) 16
d) 4 e) 8
3) Si:
ax8 yc
9 xb y5=9x5 y 4
Calcular:
a−cb
a) 24 b) 72 c) 26
d) 14 e) 28
4) En la división:
24 x5+36x7
4 x2 calcular la suma
de coeficientes del cociente.
a) 6 b) 9 c) 3
d) 15 e) 8
5) En la división:
49 x16 y13−42 x15 y21
7 x14 y9
Luego de obtener el cociente.
Calcular: GR(x) – GR(y)
a) 2 b) -10 c) 10
d) 12 e) 14
6) Al dividir:
64 x13 y10+48 x9 y14
8 x8 y3 se obtiene un
polinomio homogéneo. Calcular el grado de
homogeneidad.
a) 5 b) 7 c) 2
d) 8 e) 12
7) Simplificar:
M=42x5 y8
6 x2 y+72 x
10 y12
12 x7 y5
a) 13x3y7 b) 7x3y7 c)
6x3y7
d) 1 e) 0
8) Simplificar:
−14 x15 y20
7 x10 y17+28x
25 y18
14 x20 y15
a) 3x5y3 b) 0 c) -2x5y3
d) 1 e) 2
9) Reducir:
G=
75 x15 y17
5 x8 y13
39 x25 y37
13 x18 y33
a) 3 b) 1 c) 2
d) 15 e) 5
Profesor: Daniel Torres 2011
Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PRE
10) Simplificar:
N=−35 x14+42 x10
7 x7+40x
19−48 x15
8x12
a) 1 b) 0 c) 2
d) x7 + x3 e) x7 – x3
11) Reducir:
M=45x12 y4−54 x10 y7
9 x10 y 4−36 x
8 y7−96 x6 y10
12x6 y7
a) 5x2 – 6y3 b) 2x2 + 2y3 c) -3x2 + 8y3
d) 1 e) 0
12) Reducir:
N=
35 x7−63 x10
7 x 4
40x15−72 x18
8 x12
a) 1 b) 5x3 – 9x6 c) 2
d) x3 e) x6
13) Simplificar:
J=28x19 y27 z20
7 x12 y24 y11
Si: x7y3z9 = 2
a) 2 b) 4 c) 8
d) 16 e) 1
14) Hallar el valor de:
R=39x42 y37 z27
3 x25 y14 z19
Si: x17y23z8 = 4
a) 52 b) 4 c) 1
d) 13 e) 2
15) Calcular el valor de:
P=28 x9−24 x10+32 x5
4 x3
Si: 7x6 + 8x2 = 6x7
a) x3 b) 2 c) x2
d) 1 e) 0
comparemosEjemplo:
39 8 (D) Dividendo = 25
32 4 (d) Divisor = 7
7 (q) Cociente = 3
(r) Resto = 4
Luego se cumple:39 = 3 . 4 + 7
D = d q r
Ejemplo:De la división de polinomios:
x2 + 5x + 7 x + 2 D(x) = x2 + 5x + 7
x + 3 d(x) = x + 21 q(x) = x + 3
r(x) = 1
Profesor: Daniel Torres 2011
Observa que:39 > 8 y 7 < 8
Luego siempre se cumple que:
D d y r < dCompruébalo con
Al igual que con los números naturales, con los polinomios debe cumplirse:
D d y r < dGrado
del Grado
del
Grado del
Grado del
<
Sabías que
Coeficientes del Dividendo
Con signo cambiado + +
Coeficientes delCociente
Coeficientes del Resto
observa
3 3 8 11
-2Con signo cambiado
Número de espacios igual al Grado del Divisor
3 3 8 11
-2
1=
Dividimos:3 3 8 11
-2
1
Sumamos:
6
+
3 3 8 11
-2
1x
Multiplicamos:
-2=
Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PREPuedes comprobar mediante multiplicación que:
x2 + 5x + 7 = (x + 2)(x + 3) + 1
1. DIVISIÓN DE POLINOMIOS MÉTODO DE HORNERPara poder aplicar este método los polinomios dividendo y divisor deben ser completos y ordenados
descendentemente y si faltase algún término se completará con ceros.
Ejemplo:
Dividir: 8x + 3x2 + 11 entre 2 + x
Ordenemos los polinomios dividendo y divisor
D(x) = 3x2 + 8x + 11 d(x) = 3x + 2
Luego: Coeficientes del Dividendo: 3, 8, 11Coeficientes del Divisor: 3, 2
Ubicamos estos coeficientes en el siguiente esquema:
De esta manera:
Y procedemos del siguiente modo:
Profesor: Daniel Torres 2011
En el ejemplo anterior ¿cómo
se halló el cociente y el
resto?
Horner invento
su método
Las operaciones que se realizan se repiten primero se
divide luego se multiplica después
sumamos para nuevamente dividir
3 3 8 11
-2
1
Sumamos:
2
+
-2 -4
7
3 3 8 11
-2
1x
Multiplicamos:
-2=
-4
2
3 3 8 11
-2
1
Dividimos:
=
2
3 3 8 11
-2
1 2
-4
7
-2
Coef. delCociente
Coef. delResto
2 4 4 -3
-1signo cambiado
2 espacios porque el grado del divisor es 2.
1
3
2 4 4 -3
-1
1
3
2x
2 4 4 -3
-1
1
3
2
-2 6
+
2
2 4 4 -3
-1
1
3
2x
x
-2 6
Multiplicamos:
2 4 4 -3
-1
1
3
2
-2 6
1
-1 3==
x
x
Sumamos:
2 4 4 -3
-1
1
3
2
-2 6
+
1
-1 3
+
2 4
2 4 4 -3
-1
1
3
2
-2 6
1=
2 4 4 -3
-1
1
3
2
-2 6
+
1
-1 3
+
2 4
+
x
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Recuerda:Luego el esquema resulta:
q(x) = 1 . x + 2 = x + 2R(x) = 7
Dividir: 4x3 + 4x2 + 1 – 3x entre x + 2x2 - 3
Ordenemos:
D(x) = 4x3 + 4x2 – 3x + 1 Ubicamos los coeficientes
d(x) = 2x2 + x – 3 en el esquema:
Procedemos:
Resumiendo:
Q(x) = 2x + 1R(x) = 2x + 4
Profesor: Daniel Torres 2011
Luego la línea punteada solo se
suma.Además el
cociente y resto que se obtienen
Dividim Multiplicam Sumam
Si el resto de una división no es nulo (R(x) 0) entonces la
división se
Dividim
1 14 -3 -3
3
4
-4
1
3
+
0
0
+
0 0
+
x
5
-4
1
+
0
3 -4
¡Ahora tu!
5 10 11 1
4
3
+
2
7
+
x
3 6 -8 0
8
2
+
-2
+
x
3 15 -3 0
0
5
-2
0 -10
0 2
x
Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PRE
Dividir:
x4−3 x+5 x2−3 x3+4x2−3 x+4
Q(x) = 1 . x2 + 0x + 1 ; R(x) 0
Q(x) = x2 + 1
Dividir:
10 x2+11 x+15 x−2
Q(x) =R(x) =
Dividir:
6 x2−8 x3 x+2
=6 x2−8 x+03x+2
Q(x) =R(x) =
Dividir:
15 x3+5−3x2
3 x2+2=15 x
3−3x2+0 x+53x2+0 x+2
Q(x) =R(x) =
Dividir:
8 x3−6 x2+5 x−12x2+1−x
Q(x) =R(x) =
Profesor: Daniel Torres 2011
Si el resto de una división es nulo (R(x) 0)
entonces la
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PREI. Hallar el cociente en las siguientes
divisiones:
1)
x2+8 x+18x+3
a) x + 5 b) x + 1 c) xd) x – 2 e) x + 3
2)
x2+5 x−7x−2
a) x – 1 b) x + 3 c) x + 7d) x – 7 e) x - 3
3)
x3+3 x2+5 x+7x+1
a) x2 + 2x – 3 b) x2 - 2x – 3 c) x2 + 2x + 3d) x2 - 2x – 8 e) -x2 + 2x + 3
II. Hallar el residuo en las siguientes divisiones:
4)
6 x2+x+43x−1
a) -1 b) 5 c) 3d) 6 e) 2
5)
10 x3−33 x+9 x2−225 x+2
a) 8 b) 1 c) -2d) 4 e) -8
6)
27 x3+9−12 x3x2+2x
a) 1 b) 2 c) 3d) -8 e) 9
7)
16 x4+7 x−25 x2+7−5 x2+4 x3
a) 7x b) 3 c) 7x + 7d) 7 e) 2x - 1
8)
44 x2+21x 4+3 x+143 x2+5
a) 5 b) 2x + 4 c) 3x - 1 d) x – 1 e) 2x – 2
9)
16 x5−2x−32 x2+13+18 x3
2 x3+3 x−4
a) 4x2 + 3 b) 1 c) 3x - 1d) 7x + 1 e) 7x
10)
35 x5+15 x3+7+16x2
5 x3+2
a) 3x – 1 b) 2x2 + 1 c) 4d) x2 + 3 e) 3x2 - 8
11) Indicar el término independiente del resto en la siguiente división:
6 x3−x2+2x+6−2x+3 x2−1
a) 1 b) 3 c) 4d) 7 e) 2
12) Indicar si la siguiente división es exacta o inexacta.
3x3+2x2+9 x+6x2+3
Si es inexacta indicar el resto.
a) Es exacta b) 1 c) 2xd) 3 e) 4x - 2
13) En la siguiente división:x5−2 x3+4 x2−5
x3+4Calcular la suma de coeficientes del cociente.
a) -1 b) 2 c) 0d) 3 e) 1
14) Dada la siguiente división exacta:2x4+x3−x−2 x2
2x+1Hallar el mayor coeficiente del cociente.
a) 3 b) 2 c) -1d) 1 e) -2
15) Hallar “b” si la siguiente división: x2+8 x+b
x+3es exacta:
a) 13 b) 12 c) 14d) 15 e) 2
TAREA DOMICILIARIA
I. En las siguientes divisiones hallar el cociente:
1)
x2+7 x+10x+4
a) x – 2 b) x + 3 c) x + 4d) x + 1 e) x
2)
x2−12 x+42x−5
a) 4x + 1 b) 2 c) x + 7d) x + 5 e) x – 7
Profesor: Daniel Torres 2011
Variable del Divisor Despejada
Coeficientes del Dividendo
El Coeficiente Principal del Divisor Resto
Siempre un Espacio
+
Coeficientes del Cociente
Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PRE
3)
x3+3 x2+3 x+2x+2
a) 2 b) 1 c) 0d) 3 e) 5
II. Hallar el residuo en las siguientes divisiones:
4)
9 x2−3 x+33 x−2
a) 3 b) 5 c) -3d) -5 e) 1
5)
8 x3−x+10 x2−34 x+3
a) 3 b) 7 c) 0d) 1 e) -1
6)
20 x3+11 x+27 x2
3 x+5 x2
a) 5x b) 4 c) 2xd) –x e) 0
7)
20 x4−12 x2+7−15x+25 x3
4 x2+5 x
a) 0 b) 1 c) 2xd) x + 1 e) 7
8)
9+x−26 x2+15 x4
−2+5 x2
a) x + 1 b) 0 c) x - 1d) x e) 2x + 1
9)
16 x5+27 x2−4 x3−72x3+3
a) 2x2 – 1 b) x2 – 2 c) 3x2 + 1d) 3x2 – 1 e) 0
10)
−14 x5+35 x2+x+2 x3−85−2 x3
a) x – 1 b) x + 2 c) x - 3d) x – 4 e) 0
11) En la siguiente división:
6 x3−x2+2x+6x+3 x2+1
Indicar el término independiente del resto.
a) 0 b) 7 c) 1d) 2 e) -1
12) Indicar si la siguiente división:
x4+x2−6x2+3
Es exacta o inexacta. Si es inexacta indicar el residuo.
a) Es exacta b) 5 c) 2d) -1 e) 1
13) En la siguiente división:
x5−2 x4+x+5x4+1
Indicar la suma de coeficientes del cociente.
a) -1 b) 0 c) 2d) 1 e) 3
14) En la siguiente división:
6 x4−3 x+2x3+62x3−1
Señalar el mayor coeficiente del cociente.
a) 1 b) 3 c) 2d) -1 e) -3
15) Hallar “b” en la siguiente división exacta:
x2+7 x+bx+3
a) 15 b) 3 c) 7d) 12 e) -7
1. MÉTODO DE RUFFINIEs un caso particular del Método de
Horner. Se emplea para dividir un polinomio entre otro de primer grado.
Ejemplos:De polinomios de primer grado:2x – 4 ; 7x + 5 ; x – 4 ; 3x + 5 ;
x + 1
2. ESQUEMA
Profesor: Daniel Torres 2011
12 5 3
4
1x
12
12 5 3
4
1x
12 5 3
4
1x
12
3
x
12 5 3
4
1x
12
3
8
2
5
3 2
4
Coef. del Cociente
Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PREEjemplos:
Dividir:
12 x2+5 x+34 x−1
Paso 1 : Igualamos el divisor a cero.
4x – 1 = 0
Paso 2 : Despejamos la variable.
4x – 1 = 0
x=14
Paso 3 : Planteamos el esquema:
Luego:
Q(x) = 3x + 2
R(x) = 5
Profesor: Daniel Torres 2011
Observa que en este
ejemplo el divisor es:
Multiplicamo
En este ejemplo el
divisor es 2x + 1
Multiplicamos:
4 2 0
2
1x
2 7
4
-2
4 2 0
2
1x
2 7
4
4 2 0
2
1x
2 7
Multiplicamos:
4 2 0
2
1x
2 7
4
-2
0
0
x
Sumamos:
4 2 0
2
1x
2 7
4
-2
0
+Sumamos:
4 2 0
2
1x
2 7
4
-2
0
0
+
2
Sabías que4 2 0
2
1x
2 7
4
-2 0 -1
0 2 6
-3
-3
2 0 1 3 2
+ + + +
x
Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PRE
Dividir:
4 x4+2 x3+7 x+2x2
2 x+1=4 x
4+2x3+2x2+7x+02x+1
Paso 1 : Igualamos el divisor a cero.
2x + 1 = 0
Paso 2 : Despejamos la variable.
2x + 1 = 0
x=−12
Paso 3 : Planteamos el esquema:
Abreviando:
Profesor: Daniel Torres 2011
En 1799 Ruffini publicó el Libro “Teoría General de las Funciones” en el cual aparecen la regla que lleva su nombre. Con prioridad se han
encontrado documentos
8 -12 -14-1
8
16 8
4 7
14
0
x – 2 = 0
x = 2
1
8 4 7
+ +
10 -3 72x – 1 = 02x= 1
2
2
1x
Resto
Coef. del Cociente
Sabías que
21 5 83x – 1 = 03x= 1
3
3
1x
10 3 45x – 1 = 05x= 1
5
5
1x
-5
1
5
Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PRE
Dividir:
8 x3−12 x2−x−14x−2 Aquí divisor es:
x – 2 = 1 . x – 2
Coef. Principal = 1
Q(x) = 8x2 + 4x + 7
R(x) 0
Ahora tu
Dividir:
10 x2−3 x+72 x−1 Q(x) =
R(x) =
Dividir:
21 x2+5 x+83 x−1 Q(x) =
R(x) =
Dividir:
10 x3+3 x2+4 x−55 x−1 Q(x) =
R(x) =
Profesor: Daniel Torres 2011
En 1799 Ruffini publicó el Libro “Teoría General de las Funciones” en el cual aparecen la regla que lleva su nombre. Con prioridad se han
encontrado documentos
Desde 1814 Ruffini fue rector de la Universidad de
Módena (Itlaia), a la vez que trata a sus pacientes de una Epidemia de Tifus,
10 -13 -52x – 3 = 02x= 3
2
2
3x
7
-2
15
7 11 -6
x + 2 = 0x = -2
2
Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PRE
Dividir:
10 x3−13 x2−5 x+72 x−3 Q(x) =
R(x) =
Dividir:
7 x2+11 x−6x+2 Q(x) =
R(x) =
I. Efectuar las divisiones por el método de Ruffini e indicar por respuesta el cociente.
1)
2x2−x+62x+1
a) x + 1 b) x – 1 c) x - 2d) x + 3 e) 2x + 1
2)
3x2−7 x−53 x−1
a) x – 2 b) x + 3 c) 2x - 1d) 2x + 1 e) x + 7
3)
10 x2+11 x−15x−2
a) 2x – 3 b) 3x – 2 c) 3x + 2d) 2x + 3 e) 2x + 5
4)
4 x2−9 x−9x−3
a) 4x – 3 b) 4x + 3 c) 3x + 4d) 3x – 4 e) -4x + 4
5)
7 x2+19x−6x+3
a) -7x – 2 b) 2x + 7 c) -7x + 2d) 2x – 7 e) 7x – 2
II. Efectuar las divisiones por el método de Ruffini
6)
x3−x2+x−5x−1
Indicar la suma de coeficientes del cociente.
a) 0 b) 4 c) -2d) 3 e) 2
7)
2x4+3 x+2x3−5x+1
Dar por respuesta el mayor coeficiente del cociente.
a) 2 b) 3 c) 1d) -2 e) 4
8)
15 x5−10 x+12−6 x 4
5 x−2Indicar el término independiente del cociente.
a) 5 b) -2 c) -4d) -3 e) 1
9)
12 x5+24 x+8 x4+182+3 x
Señalar el menor coeficiente del cociente.
a) 8 b) 4 c) 3d) -4 e) -1
10) En la siguiente división:x2+3 x+b
x+2Se obtiene por resto: 3Hallar: b
Profesor: Daniel Torres 2011
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PRE
a) 7 b) -5 c) 3d) 5 e) -3
11) En la división:
6 x2−4 x+9 x−m3x−2 el resto es
-4Hallar: m
a) 0 b) 3 c) -10d) 1 e) -1
12) La siguiente división:
14 x2−29 x+b7x+3 es exacta.
Hallar: “b”
a) 7 b) -35 c) -15d) 14 e) -7
13) La siguiente división:
6 x4−2 x3+b+15 x3 x−1 es
exacta.Hallar: “b”
a) -5 b) 5 c) 3d) -3 e) -4
14) La siguiente división:
10 x3−2x2+bx+25 x−1 tiene
residuo 3. Hallar la suma de coeficientes del cociente.
a) 3 b) 2 c) 1d) 0 e) 4
15) La siguiente división:
3x 4+bx 3−4 x+11x−1 tiene
resto 7. Hallar: “b”
a) 2 b) -3 c) -5d) 7 e) -7
TAREA DOMICILIARIA
I. Efectuar las siguientes divisiones por el Método de Ruffini e indicar por respuesta el cociente:
1)
2x2+x+12 x−1
a) 4x b) 3x – 1 c) 2x + 1d) x – 1 e) x + 1
2)
5x2−9 x+15 x+1
a) x – 2 b) x + 1 c) x - 3d) x + 4 e) 3x + 2
3)
15 x2−17 x+33 x−4
a) x + 3 b) 3x – 5 c) 5x + 1d) x – 5 e) 5x - 1
4)
5x2−25 x+ x+3x−5
a) 3x – 5 b) x + 5 c) x - 5d) 5x + 1 e) 5x – 1
5)
4 x2+11 x−1x+2
a) 4x + 3 b) 4x – 3 c) 3x - 4d) 3x + 4 e) -3x - 4
II. Efectuar las siguientes divisiones por el Método Ruffini:
6)
x3−x2+5 x+5x−1
Dar la suma de coeficientes del cociente.
a) 0 b) -1 c) 7d) 6 e) 5
7)
3x 4+3 x3−2x+5x+1
Dar por respuesta el mayor coeficiente del cociente.
a) -2 b) 3 c) -4d) 5 e) 1
8)
8 x5+12x−6 x4−84 x−3
Indicar el término independiente del cociente.
a) 3 b) 4 c) -5d) -7 e) 8
9)
15 x5−5 x+6 x4−72+5x
Indicar el menor coeficiente del cociente.
a) 3 b) -1 c) -2d) 4 e) -7
10) Hallar “b” en la siguiente división: x2+7 x+bx+5
Si el resto que se obtiene es 4.
a) 15 b) 1 c) 7d) 10 e) 14
11) Hallar “b” en la siguiente división:20 x2−8x−15 x+b4 x−3
Si el resto es 7.
Profesor: Daniel Torres 2011
Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PRE
a) 14 b) 13 c) 15d) 10 e) 11
12) La siguiente división:
15 x2+4 x+b3 x+2 es exacta
Hallar: “b”
a) -2 b) -7 c) -6d) -5 e) -4
13) La siguiente división:
10 x4−8 x−5 x3+b2x−1 es exacta.
Hallar: “b”
a) -4 b) -5 c) -2d) -6 e) -7
14) La siguiente división:
12 x3+bx−3 x2+124 x−1 tiene residuo 7.
Hallar la suma de coeficientes del cociente.
a) 8 b) 5 c) 4d) -3 e) -2
15) La siguiente división:
5x 4+bx 3+2 x+7x−1 tiene resto 9.
Hallar: “b”
a) 4 b) -3 c) 8d) -2 e) -5
Páginas web de consulta: http://asesor-mat-fis.blogspot.com/ http://es.scribd.com/asesor_mat_fis8834 http://www.sectormatematica.cl/ http://www.matebrunca.com/ http://www.20enmate.com/
Profesor: Daniel Torres 2011
Recuerda
Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PRETeorema que permite hallar el resto en una división sin efectuarla. Es decir, en forma directa.
Para aplicar este teorema es necesario que el polinomio divisor sea de primer grado.
ProcedimientoEjemplo: Hallar el resto en la siguiente división:
2x2+x+4x−1
Paso 1 : El divisor se iguala a cero:x – 1 = 0
Paso 2 : Se despeja la variable:x – 1 = 0 x = 1
Paso 3 : El valor de la variable despejada se reemplaza en el dividendo:
Como: D(x) = 2x2 + x + 4
Resto = D(1) = 2(1)2 + (1) + 4
Resto = 2 . 1 + 1 + 4Resto = R(x) = 7
Ejemplo: Hallar el resto en la siguiente división:
3x2+8 x+7x+1
Paso 1 : El divisor se iguala a cero:x + 1 = 0
Paso 2 : Se despeja la variable:x + 1 = 0 x = -1
Paso 3 : Reemplazamos en el dividendo:
Como: D(x) = 3x2 + 8x + 7
Resto = D(-1) = 3(-1)2 + 8(-1) + 7
R(x) = D(-1) = 3 . 1 – 8 + 7Resto = R(x) = 2
Ejemplo: Hallar el resto en la siguiente división:
2x3−4 x2+3 x+4x−2
Paso 1 : x - 2 = 0
Paso 2 : x - 2 = 0 x = 2
Paso 3 : R(x) = D(2) = 2(2)3 – 4(2)2 + 3(2) + 4
R(x) = 2 . 8 – 4 . 4 + 6 + 4Resto = R(x) = 10
Profesor: Daniel Torres 2011
Puedes comprobar
dividiendo por el Método de Horner o de Ruffini cada
uno de los
Para aplicar el Teorema del Resto no es
necesario que el polinomio
Curiosidades
¡Ahora tu!
Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PREEjemplo: Halla el residuo en:
13 x+6 x2−52 x−1
Paso 1 : 2x - 1 = 0
Paso 2 : 2x - 1 = 0 x =
12
Paso 3 : R(x) = D(
12 ) = 13(
12 ) + 6(
12 )2 - 5
R(x) =
132+6 ( 1
4)−5
R(x) =
132+ 64−5
R(x) = 8 – 5 = 3
Ejemplo: Halla el residuo en:
3x2+ x+73 x−2
Paso 1 : 3x - 2 = 0
Paso 2 : x=23
Paso 3 : R(x) = 3( 23)2+ 23+7
R(x) = 3( 49)+23+7
R(x) =
43+ 23+7
R(x) = 9
Profesor: Daniel Torres 2011
Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PRE
I. Utilizando el Teorema del Resto, en cada una de las divisiones hallar el residuo:
1)
x2+x+5x−1
a) 5 b) -1 c) 7d) 4 e) 5
Profesor: Daniel Torres 2011
El Libro III del “Discurso del
Método”; Descartes propuso el Teorema del Resto y es por
esta razón que
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PRE
2)
x2−x+1x−2
a) -4 b) -1 c) 5d) 2 e) 3
3)
2x3+3x−2x2+2x−1
a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 9
4)
x2+3 x+11x+1
a) 9 b) 8 c) -1d) 11 e) 3
5)
x2−2 x−4x+2
a) 4 b) 5 c) 6d) -5 e) -6
6)
3x 4+3 x3+x+8x+1
a) -1 b) -3 c) 7d) 1 e) 3
7)
2x2+x2x−1
a) 1 b) 2 c) 3d) -1 e) 0
8)
3x2+2x3 x−1
a) 0 b) -1 c) 3d) 4 e) 1
16) Hallar “b” en la siguiente división:
2x2−x+bx−1
Si el resto que se obtiene es 7.
a) 5 b) 7 c) 6d) 4 e) 1
17) La siguiente división:
3x2+bx−3x−2 tiene resto 5
Hallar: “b”
a) -2 b) -1 c) -4d) -5 e) -7
18) Hallar el valor de “b” en la siguiente división:
bx3+2x2+4+ xx+1
Si el resto es 3.
a) 1 b) 2 c) 3d) -1 e) 4
19) Hallar el valor de “b” si el resto de la
siguiente división:
x2+23x−b es 27.
a) 4 b) 2 c) 5d) 3 e) 1
20) Hallar el resto en la siguiente división:
4 x5−8 x4+3 x+1x−2
a) 3 b) 2 c) 7d) 0 e) 1
21) Calcular el resto de:
( x−1 )2004+(2x−1 )2003+x−1x−1
a) 1 b) 2 c) 0d) 2003 e) -1
22) Calcular el resto de:
x4+x2
x2−1
a) 0 b) 2 c) 1d) 3 e) 4
TAREA DOMICILIARIA
I. Utilizando el Teorema del Resto, en cada una de las siguientes divisiones hallar el residuo respectivo:
1)
x2+2x+2x−1
a) 4 b) 5 c) 3d) -1 e) 2
Profesor: Daniel Torres 2011
Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PRE
2)
x2+3 x−2x−2
a) -2 b) 8 c) -8d) 2 e) 0
3)
5x3−2 x−5 x2+2x−1
a) 3 b) 4 c) -1d) 0 e) 1
4)
x2+6 x+8x+1
a) 3 b) 5 c) -2d) 0 e) -1
5)
x2+x−1x−3
a) 2 b) 4 c) 5d) 3 e) -8
6)
8 x4+8x3+2x+2x+1
a) -4 b) 4 c) 0d) 1 e) -1
7)
2x2−3 x2x−1
a) -1 b) 2 c) 0d) -2 e) 1
8)
3x2+5x3 x−1
a) 2 b) -2 c) 0d) 3 e) -3
9) Hallar “b” en la siguiente división:
2x2−3 x+bx−2 si el resto es 3.
a) -3 b) 4 c) 0d) 2 e) 1
10) La siguiente división:
2x2+bx+4x−3 tiene resto
7.Hallar: “b”
a) 8 b) -2 c) 0
d) -5 e) 4
11) Hallar el valor de “b” en la siguiente división:
bx3−3 x+3x2+2x+1 si el resto es 5.
a) 0 b) 4 c) 3d) -1 e) -7
12) Hallar el valor de “b” si el resto de:
x2+15x−b
es 40.
a) 3 b) 4 c) 2d) 1 e) 5
13) Indicar el resto en la siguiente división:
2x7−4 x6+2 x+3x−2
a) -1 b) 7 c) 0d) 2 e) 5
14) Calcular el resto de:
(3 x−5 )2004+( x−1)2003−2x−2
a) 1 b) 4 c) 8d) -1 e) 0
Páginas web de consulta: http://asesor-mat-fis.blogspot.com/ http://es.scribd.com/asesor_mat_fis8834 http://www.sectormatematica.cl/ http://www.matebrunca.com/ http://www.20enmate.com/
Profesor: Daniel Torres 2011
FACTORIZACIÓN
Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PRE
Es transformar un polinomio en el producto indicado de factores primos.
En la multiplicación algebraica se tiene.
(x + 3) (x2 – 3x + 9) x3 + 27
El problema que nos planteamos ahora es, dado el polinomio producto debemos hallar los factores que lo originan. Si conseguimos los factores habremos factorizado el polinomio.
Así:
x3 + 27 (x + 3)(x2 – 3x + 9)
Factor PrimoEs aquel polinomio que no admite
descomposición.Ejemplo:
x : 1 ; x
x + 1 : 1 ; x + 1
x – 2 : 1 ; x – 2
x + y : 1 ; x + y
x2 + 1 : 1 ; x2 + 1
Factor CompuestoEs aquel que resulta de la combinación de los
factores primos.x + 3x + 4(x + 3) (x + 4)
1
CONTEO DE FACTORES PRIMOS
Profesor: Daniel Torres 2011
Factor Produc
Por Regla Práctica, todo factor primo
tiene 2 factores o divisores la unidad y el
(x + 3)(x
Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PREEl número de factores primos de un
polinomio (factorizado) se obtiene contando los factores primos que se encuentran como base de una potencia y que contienen a la variable.
Ejemplo:
P(x) = 4(x - 2)2 (x + 3)2 (x + y)5
Tiene 3 factores primos.
Q(x) = 3x(x - 3)2 (x2 + 2)2 (x2 + y2)
Tiene 4 factores primos:2 lineales: x; x – 3
2 cuadráticos: x2 + 2; x2 + y2
F(x, y) = 5x3y2(x - 4)3(x2 – x + 1)5 (y - 3)4
Tiene 5 factores primos:4 lineales: x; y; (x - 4); (y - 3)
1 cuadrático: x2 – x + 1
CRITERIOS PARA FACTORIZARExisten diversos criterios para factorizar
polinomios entre ellos tenemos:
1. FACTOR COMÚN Y AGRUPACIÓNSe aplica en polinomios donde todos sus
términos tienen una o más variables y/o constantes comunes. En caso de no haber algún factor común, se agrupara convenientemente tratando de que aparezca algún factor común.
Ejemplo: Factorizar:
5x10y5 – 10x7y8 – 25x11y9
= 5x7y5(x3 – 2y3 – 5x4y4)
Factorizar:
(a + b + c)m2 + (a + b + c)n2 + (a + b
+ c)p2
= (a + b + c)(m2 + n2 + p2)
Factorizar:(2x – 3y + z)a + (3y – 2x - z)bCambiando de signo a los términos del segundo paréntesis:
(2x – 3y + z)a – (2x – 3y + z)bEncontramos factor común.
(2x – 3y + z) (a - b)
Factorizar:
a2x2 + b2y2 + a2y2 + b2x2
Agrupando en forma conveniente.
a2(x2 + y2) + b2(x2 + y2)
Sacando el factor común:
(x2 + y2) (a2 + b2)
Factorizar:ax + by + cz + bx + cy + az + cx + ay
+ bz
Agrupando de 3 en 3.x(a + b + c) + y(b + c + a) + z(c + a +
b)Sacando el factor común:
(a + b + c) (x + y + z)
2. CRITERIO DE LAS IDENTIDADESConsiste en aplicar los productos
notables en forma inversa.
a) Trinomio Cuadrado Perfecto
(x ± y)2 x2 ± 2xy + y2
Factorizar:
x2 + 6xy + 9y2 = (x + 3y)2
x 3y 2(x) (3y) = 6xy
Factorizar:
4x2n – 12x4y4 + 9y2n = (2x4 – 3yn)2
2xn 3yn
2(2xn) (3yn) = 12x4yn
b) Diferencia de Cuadrados
(x + y) (x - y) = x2 – y2
Profesor: Daniel Torres 2011
x y
2(x)(y) =
Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PRE Factorizar: x4 - 1
Solución:
Dando la forma de diferencia de
cuadrados.
(x2)2 – 12 = (x2 + 1)(x2 - 1)
Podemos seguir descomponiendo.
x4 – 1 = (x2 + 1)(x + 1)(x - 4)
Factorizar: (ax – 3b)2 – (bx – 3a)2
Por diferencia de cuadrados.
(ax – 3b + bx – 3a) (ax – 3b – bx + 3a)
Agrupando en forma conveniente.
(x(a + b) – 3(a + b)) (x(a - b) + 3(a - b))
Tomamos el factor común.
(a + b)(x - 3) . (a - b)(x + 3)
c) Suma y Diferencia de Cubos
(x + y)(x2 – xy + y2) = x3 + y3
(x - y)(x2 + xy + y2) = x3 - y3
Factorizar: 64a6 – b6
Por diferencia de cuadrados.
(8a3 + b3) (8a3 – b3)
Ahora factorizamos por suma y diferencia de cubos.
(2a + b)(4a2 – 2ab + b2)(2a - b)(4a2 + 2ab + b2)
3. CRITERIO DEL ASPA SIMPLESe aplica para factorizar polinomios de la forma:
P(x) = Ax2n + Bx4 + C ó
P(x, y) = Ax2m + Bxmyn + Cy2n
{m; n} ℕ
Ejemplo: Factorizar:
P(x) = x2 + 8x + 15
x 5 5x
x 3 3x
8x
Luego:
Se toman los factores en forma horizontal.
P(x) = (x + 5)(x + 3)
Factorizar:
P(x) = 10x2 - 13x – 3
Descomponiendo los extremos.
10x2 - 13x – 3
5x 1 2x
2x -3 -15x
-13x
Luego:
P(x) = (5x + 1) (2x - 3)
Profesor: Daniel Torres 2011
Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PRE
1) Factorizar:
F(x; y) = x2y2 + x2y + xy2 + xy
El número de factores primos es:
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
2) Factorizar:
F(x; y) = x3y2 + x2y + x2y3 + xy2
El factor primo de 2do grado es:
a) xy + 1 b) xy + y2 c) x2 + y2
d) x2 – y2 e) x2 + xy
3) Factorizar:
F(x; y) = x4y – x2y3 – x3y2 + xy4
El número de factores primos binomios es:
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
4) Factorizar e indicar un factor primo:
Q(x, y) = x3 + 2x2y + 4xy2 + 8y3
a) x + y b) x – y c) x + 2y
d) x – 2y e) x2 + y2
5) Factorizar:
P(a; b; c) = a2 – abc – ac – ab + b2c + bc
Indicar el número de factores primos.
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
6) Factorizar:
P(a; b; c) = ab2 + ac2 + bc2 + a2b + a2c + b2c + 3abc
Indicando un factor primo.
a) a2 + b2 + c2 b) a – b – c c) a + b + c
d) a3 + b3 + c3 e) a + b
7) Factorizar:
F(x) = (x2 + 2)2 – (2x - 1)2
El factor que más se repite es:
a) x + 1 b) x – 1 c) x + 2
d) x – 2 e) x - 3
8) Factorizar:
F(x; y) = (x2 – y2)2 – (y2 – z2)2
Un factor primo es:
a) x + y b) x – y c) x + z
d) x2 + y e) y - z
9) Factorizar:
F(x) = (x + 1)4 – (x - 1)4
La suma de coeficientes del factor primo cuadrático es:
a) 1 b) 2 c) 3d) -2 e) -1
10) Factorizar:
F(x) = x3 + x2 – 9x - 9Indicando un factor primo.
a) x – 1 b) x – 2 c) x - 3d) x + 5 e) x + 7
11) Factorizar:
P(x, y) = x2 – y2 + 6y - 9Indicando el factor primo de mayor suma de coeficientes.
a) x + y – 3 b) x – y + 3 c) x + y + 2d) x + 2y – 1 e) 3x + y + 2
12) Factorizar:
(a3 + b3 + c3)3 – a3 – b3 – c3
Indicando el número de factores primos.
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
13) Factorizar:
F(x) = (x + 1)4 – 5(x + 1)2 + 4E indicar el término independiente de un factor primo.
a) 1 b) 2 c) 4d) -2 e) -3
14) Factorizar:
Q(x) = (x2 + 5)2 + 13x(x2 + 5) + 42x2
Profesor: Daniel Torres 2011
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PREIndique la suma de coeficientes de un factor primo.
a) 5 b) 6 c) 2d) 4 e) Hay 2 respuestas
15) Factorizar:
G = x6 – 6x4 + 2x3 + 5x2 – 6x + 1E indicar el coeficiente del término lineal de un factor primo.
a) -1 b) -2 c) 1d) 2 e) 3
TAREA DOMICILIARIA
1) Factorizar:
P(x; y) x5y4 + x5y2 + x3y4 + x3y2
e indicar un factor primo.
a) x + y b) x2 + y2 c) x + 1
d) xy + 1 e) y2 + 1
2) Indicar un factor primo al factorizar la suma de los factores primos de:
P(a; x) abx2 + aby2 + xya2 + xyb2
a) a + y b) b + x c) x + yd) a – b e) b – x
3) Factorizar:F(x) (x - 3)(x - 2)(x - 1) + (x - 1)(x - 2) – (x - 1)e indicar la suma de sus factores primos.
a) 2x – 4 b) 3x – 5 c) 3x - 6d) 2x – 3 e) 3x - 4
4) Señale un factor primo de:
M(a; b) = a2 – 4 + 2ab + b2
a) a + 2 b) b – 2 c) a + b - 4d) a + b + 2 e) a – b
5) Factorizar:
P(x; y) = y2 – x2 + 6x - 9
e indicar el factor primo de mayor suma de coeficientes.
a) x + y – 3 b) x – y + 3 c) y + x + 3d) x + y – 3 e) 3 – x + y
6) Factorizar:
P(x) = x2 + 2(a + b)x + a2 + 2ab + b2
Indicando la suma de coeficientes de un factor primo.
a) 3 b) a + b + 1 c) 2d) a + b e) 1
7) Factorizar:
P(x) = x2 – (ac - b)x - abc
e indicar un factor primo.
a) x – ac b) x + b c) x + ad) x – b e) x - a
8) Factorizar:
F(x; y) = 12x2 + 6y2 + 17xy
e indicar el valor numérico de uno de sus factores primos para x = 3; y = 2.
a) 13 b) 16 c) 20d) 18 e) A D
9) Factorizar:
P(x) = 9x2 – 18x + 8
Q(x) = 12x2 + x - 6
e indicar la suma de sus factores primos no comunes.
a) 6x – 4 b) 7x + 1 c) 13x - 5d) 7x – 1 e) 6x + 1
10) Indicar un factor primo en:
F(a; b) = (a + b + 2)2 + 11a + 11b + 40
a) a + b + 5 b) a + b + 8 c) a + b + 9
Profesor: Daniel Torres 2011
MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PREd) a + b – 7 e) a + b + 4
11) Indicar un factor primo de:
G(x) = x3 + 4x2 – 19x + 14
a) x + 1 b) x – 2 c) x - 7d) x – 4 e) x + 14
12) Factorizar:
P(x) = a2x – ax2 – 2a2y + 2axy + x3 – 2x2y
Indicando un término del factor primo cuadrático.
a) -2y b) x c) xy
d) –ax e) y2
13) ¿Cuántos factores primos resultan en?
P(x; y) = x9y – x3y7
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
14) Indicar el número de factores primos en:
P(x) = (3x2 – 4x)2 – 19(3x2 – 4x) + 60
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 8
15) Si un factor primo de:
H(x) = x4 – 13x2 + 36
Toma la forma (ax + b), donde: a + b = -2Hallar el valor de a – b
a) 2 b) 1 c) 4d) -2 e) 0
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
(M.C.D.)El máximo común divisor de dos o más
expresiones algebraicas es otra expresión
algebraica entera de mayor coeficiente numérico
y mayor grado que divide exactamente a cada
una de ellas.
Ejemplo: Divisores de 24
1 , 2 , 3 , 6 , 8 , 12 , 24
Divisores de 30
1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 10 , 15 , 30
M.C.D. (24, 30) = 6
Para calcular el M.C.D. se factorizan estas
expresiones y el M.C.D. estará formado por los
factores comunes con su menor exponente.
Ejemplo:
A = (x + 3)3(x - 2)2(x + 4)5
B = (x – 5)2(x + 3)2(x + 4)6
M.C.D.(A; B) = (x + 3)2 (x + 4)5
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
(M.C.M.)Profesor: Daniel Torres 2011
Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PREEl mínimo común múltiplo de dos o más
expresiones algebraicas es otra expresión
algebraica entera de menor coeficiente numérico
y de menor grado que es divisible exactamente
entre cada una de las expresiones dadas.
Ejemplo:
Múltiplos de 5
5 , 10 , 15 , 20 , 25 , 30 , 35 , 40
………
Múltiplos de 6
6 , 12 , 18 , 24 , 30 , 36 , 42 ………
M.C.M. (5, 6) = 30
Para calcular el M.C.M. se factorizan estas
expresiones y el M.C.M. se formará con los factores
comunes y no comunes con su mayor exponente.
A = (x - 2)4 (x + 3)2 (x + 5)3
B = (x - 2)3 (x + 3)4
M.C.M. (A; B) = (x - 2)4 (x + 3)4 (x + 5)3
Propiedades
1. Si dos o más expresiones son primas entre si
su M.C.D. es la unidad y su M.C.M. el producto
de ellas.
Ejemplo:
A = 14 : 2 . 7
B = 15 : 3 . 5
M.C.M. (A, B) = 2 x 7 x 3 x 5
= A x B
M.C.M. (A; B) = A x B
A = 1, 2, 7, 14
B = 1, 3, 5, 15
M.C.D. (A; B) = 1
2. Dadas dos expresiones algebraicas A y B, su
M.C.D. por su M.C.M. es igual al producto
de A x B.
Ejemplo:
A = 2 : 2
B = 4 : 22
M.C.D.(A, B) = 2
M.C.M.(A, B) = 22
M.C.D.(A, B) x M.C.M.(A, B) = 2.4
M.C.D.(A, B) x M.C.M.(A, B) = A x B
1) Indicar el M.C.D. de:A = (x + 3)4 (x + 5)6
B = (x + 5)2 (x + 3)8
a) (x + 3)2 d) (x + 3)(x + 5)b) (x + 5)2 e) (x + 5)6(x + 3)8
Profesor: Daniel Torres 2011
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PREc) (x + 3)4(x + 5)2
2) Indicar el M.C.M. de:A = x3y4z6
B = x5y2z4
a) xyz b) x3y2z4 c) x5y4z6
d) x4y2z e) N.A.
3) Hallar el M.C.D de:A = x2 – y2
B = x2 – 2xy + y2
a) x2 b) y2 c) x + yd) x – y e) xy
4) Hallar el M.C.M. en:A = x2 – y2
B = x2 + 2xy + y2
a) x2 + y2 b) x2 – y2 c) (x - y)2
d) (x + y)2 e) (x - y)(x + y)2
5) Si el M.C.D. de:
A = 6xm+1yn-2
B = 4xm+3yn-4
Es: px4y2
Calcular: m . n . p
a) 12 b) 36 c) 24d) 18 e) 46
6) Si el M.C.M. de:
A = 6xm-5yn+3
B = 4xm-1yn+1
Es: px4y4
Calcular: m . n . p
a) 60 b) 36 c) 24d) 18 e) 72
7) Siendo:
A(x) = x2 + 3x – 10
B(x) = x4 – 25x2
C(x) = x3 + 4x2 – 5xHallar el M.C.D. (A, B, C)
a) x – 2 b) x – 1 c) x + 5d) x e) x(x - 2)
8) Encontrar el M.C.D de los polinomios:I. x4 – 5x2 + 4II. x3 + x2 – 4x - 4III. x3 – 2x2 – x + 2
a) x2 – x – 1 d) x2 + x + 2b) x2 + x - 1 e) x - 1c) x2 – x - 2
9) Si el M.C.D. de los polinomios:
P(x) = x3 – 6x2 + 11x – mQ(x) = x3 + 2x2 – x – n es (x – 1)Calcular: “m + n”
a) -8 b) 8 c) 4d) 6 e) 2
10) El cociente de los polinomios es “2x” y el producto de su M.C.M. por su M.C.D. es 2x3(x+y)2, entonces uno de los polinomios es:
a) x2 + xy b) xy + y2 c) (x + y)2
d) (x + y) e) 2x + 2y
11) Se tiene “n” polinomios cuyo M. C. D. es x2 + 2x – 3 si uno de los polinomios es P(x) = 2x4 + 3x3 – 2x2 + Ax + B entonces A + B es:
a) No se puede b) 33 c) -3d) 12 e) -6
12) El producto del M.C.M. por el M.C.D. de dos polinomios es x4 + 7x3 + 12x2, si uno de los polinomios es x3 + 3x2
entonces el otro polinomio será:
a) x + 2 b) x + 4 c) x2
+ 4xd) x2 + 3x e) N.A.
13) Sabiendo que P(x) y Q(x) son polinomios con coeficientes principales unitarios de tercer grado y cuyo M.C.D. es (x2 – n2) además con los datos:
R(0) = 2n3, Q(0) = 0; Q(3) = 120Calcular el valor de:
E=M .C .M .M .C .D .
a) x2 – 7x + 6 b) x2 + 14x c) x2 – 7xd) x2 + 7x e) x2 + 28x
14) El M.C.D. y el M.C.M. de dos polinomios son: (x2 + 3x + 2) y (x4 + 11x3 + 41x2 + 61x + 30) respectivamente. Si uno de los polinomios es x3 + 6x2 + 11x + 6. Hallar la suma de coeficientes del otro polinomio.
a) 8 b) 6 c) 12d) 24 e) 36
15) Hallar el M.C.D. de:A = 2x3 – 5x2 + 4x – 4B = 2x3 – 3x2 + 3x – 2 a) x – 2 d) (x - 1) (2x2 – x + 2)b) 2x2 – x + 2 e) x - 1
Profesor: Daniel Torres 2011
Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PREc) (x - 1) (x - 2)
TAREA DOMICILIARIA
1) Hallar el M.C.D. de los polinomios:P(x; y; z) 6xy4zQ(x; y; z) 3x2y2
R(x; y; z) 15x3y3z5
a) 3xy b) 3x2y c) 30x3y4z5
d) 3xy2 e) 3xyz
2) Si el M.C.D. de los monomios:F(x; y; z) 12x5y5z2
G(x; y; z) 16x3y6z3
H(x; y; z) 20x4y7 es:kxmynzp, según ello calcular k + m + n + p
a) 13 b) 18 c) 21d) 10 e) 12
3) Hallar el M.C.M. de los monomios:P(x; y; z) 4x2y6z3
Q(x; y; z) 2x4y3zR(x; y; z) 6x3y4z2
a) 12x4y6z b) 12x4y6z3 c) 6x4y2z3
d) 2x2y3z e) 2x2y2z
4) Si el M.C.M. de los monomios:A(x; y; z) 8x4y2z3
B(x; y; z) 10x2y5
C(x; y; z) 15x3y3z2 es:
pxaybzc, según ello calcular:
pa+b+c
a) 10 b) 9 c) 8d) 7 e) 6
5) Hallar el M.C.M. de los monomios:A(x) x4 + x2 + 1B(x) x6 – 1C(x) x3 + 2x2 + 2x + 1E indicar su grado absoluto.
a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7
6) Hallar el M.C.D. de los polinomios:P(a; b) a4 + a2b2 + b4
Q(a; b) a6 – b6
R(a; b) a4 – a3b + ab3 – b4
E indicar la suma de sus coeficientes:
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
7) Hallar el M.C.M. de los polinomios:P(x) x3 – 6x2 + 5x + 12Q(x) x4 – 9x2
R(x) x3 – 4x2 + x + 6E indicar la suma de sus coeficientes.
a) 48 b) 36 c) -36d) -48 e) 0
8) Se tienen dos polinomios P(x) y Q(x) de cuarto y tercer grado respectivamente. Si al hallar su M.C.M. resulta de quinto grado, entonces su M.C.D. es de ……………………. Grado.
a) Primero b) Segundo c) Tercerd) Quinto e) No se sabe
9) Hallar el M.C.M. de los monomios:P(x; y; z) 4x2y6z3
Q(x; y; z) 2x4y3zR(x; y; z) 6x3y4z2
a) 12x4y6z b) 12x4y6z3 c) 6x4y2z3
d) 2x2y3z e) 2x2y2z
10) Si el M.C.M. de los monomios:A(x; y; z) 8x4y2z3
B(x; y; z) 10x2y5
C(x; y; z) 15x3y3z2 es:
pxaybzc, según ello calcular:
pa+b+c
a) 10 b) 9 c) 8d) 7 e) 6
11) Hallar el M.C.M. de los monomios:A(x) x4 + x2 + 1B(x) x6 – 1C(x) x3 + 2x2 + 2x + 1E indicar su grado absoluto.
a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7
12) Hallar el M.C.D. de los polinomios:P(a; b) a4 + a2b2 + b4
Q(a; b) a6 – b6
R(a; b) a4 – a3b + ab3 – b4
E indicar la suma de sus coeficientes:
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
13) Hallar el M.C.M. de los polinomios:P(x) x3 – 6x2 + 5x + 12Q(x) x4 – 9x2
R(x) x3 – 4x2 + x + 6E indicar la suma de sus coeficientes.
Profesor: Daniel Torres 2011
RADICACIÓN
signo radicalíndice
raíz enésimaSub-radical
Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PRE
a) 48 b) 36 c) -36d) -48 e) 0
14) Se tienen dos polinomios P(x) y Q(x) de cuarto y tercer grado respectivamente. Si al
hallar su M.C.M. resulta de quinto grado, entonces su M.C.D. es de ……………………. Grado.
a) Primero b) Segundo c) Tercerd) Quinto e) No se sabe
Llamaremos radical simple a la expresión n√a ,
cumpliéndose que:
n√a=b ⇒ bn=a
Las cantidades a y b serán positivas siempre que n sea un número par.
Elementos
n√a=b
RADICALES SEMEJANTES
Estos tienen la misma expresión sub-radical y el mismo índice.
Ejemplo:
2√5 x ; 3√5 x ; −5√5 x son semejantes.
RADICALES HOMOGÉNEOS
Estos se caracterizan por tener el mismo índice.
Ejemplo:
√5 ; 2√b ; √b son homogéneos, de índice 2.
3√4 ; 2 3√b ; 3√a son homogéneos, de índice 3.
HOMOGENIZACIÓN DE
RADICALESEs la operación que consiste en
transformar radicales con diferente índice, en radicales con igual índice. Para tal fin se aplican los teoremas de exponentes y radicales, asimismo se recomienda tener en cuenta las siguientes reglas.
1. Se halla el MCM de los índices de los radicales, que será el índice común.
2. Se divide el MCM encontrado entre el índice original de cada radical y cada cociente se multiplica por el exponente también original de la cantidad subradical.
Ejemplo:
Dados: 3√x ;
4√ z3 ;5√w2 ; expresarlos
como homogéneos:En primer lugar se debe reconocer que el MCM de 3; 4 y 5 es 60. Luego trataremos que
Profesor: Daniel Torres 2011
Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PREtodos los índices de radical tengan el mismo valor 60:
3√x=60√ x20 (60÷3=20 )4√ z3=60√z455√w2=60√w24
SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES
Simplificar un radical es transformarlo en otro equivalente utilizando los teoremas ya mencionados.
Ejemplo:
3√16a7 =
3√23 . 2a6 . a=
3√23 . a6 . 3√2a= 2a2 3√2a
INTRODUCCIÓN DE
EXPRESIONES
BAJO EL SIGNO RADICAL
Se eleva la expresión que está afuera del radical, a una potencia igual al índice del radical.Ejemplo:
2 x √ yz = √(2 x )2 yz = √4 x2 yz
x2 3√ y
x2 =
3√( x2 )3 . yx2 =
3√x4 y
REDUCCIÓN DE RADICALES
SEMEJANTES
Los radicales semejantes, se reducen como si fueran términos semejantes.
Ejemplo:
5√3−2√3+7√3=(5−2+7 )√3=10√3 3√2+4 √2−5 √2=(3+4−5 )√2=2√2
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
DE RADICALES
Para efectuar estas operaciones los radicales deben ser homogéneos o en caso contrario, reducirlos a homogéneos.
m√a . m√b=m√ab
m√am√b
=m√ ab
TRANSFORMACIÓN DE
RADICALES
DOBLES A RADICALES
SIMPLES
RADICALES DE LA FORMA:RADICALES DE LA FORMA: √A±√B
Los radicales de la forma √A±√B donde A y B son números racionales positivos, se pueden
transformar a la forma √ x±√ y . Así toda la transformación consiste en hallar x e y en función de A y B, para lo cual se plantean las siguientes ecuaciones:
√A+√B=√ x + √ y………. (1)
√A−√B=√x − √ y………. (2)Sumando miembro por miembro (1) y (2) y
elevando al cuadrado después, podemos encontrar que:
√A+√B+√A−√B=2√x
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Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PRE
⇒ 2A+2√ A2−B=4 x ⇒ x= A+√A2−B2
Procediendo de una manera análoga, al restar (1) y (2) y elevar al cuadrado después, se obtiene:
√A+√B−√A−√B=2√ y
⇒ 2A−2√ A2−B=4 y ⇒ y= A−√A2−B2
Nota.- Cuando la cantidad subradical A2 – B; es un cuadrado perfecto, dará una raíz exacta que
llamaremos C, de forma que √A2−B=C , con lo cual las expresiones para x e y en (1) y (2) quedarían de esta manera:
√A±B=√ A+C2
±√ A−C2
Ejemplo:
Para: √5+√24 , tenemos:
Reconociendo términos: A = 5 B = 24
Calculando C, tenemos:
C=√52−24 ⇒ C=1Finalmente se plantea:
√5+√24=√ 5+12 +√ 5−12∴ √5+√24=√3+√2
RADICALES DE LA FORMA:RADICALES DE LA FORMA: √A±2√B
Cuando un radical doble es de la forma √A±2√B , se pueden determinar dos números x e y que cumplan con las siguientes relaciones:
x + y = A ; x . y = B
Así se verificará que:
√( x+ y )+2√ xy=√ x+√ yó
√( x+ y )−2√xy=√x−√ yEjemplo:
Para: √11−2√30 , tenemos:De acuerdo con el criterio expuesto se debe buscar dos números que multiplicados sean igual a 30 y sumandos reproduzcan 11. Veamos:
√11−2√30=√(6+5 )−2√6⋅5
Finalmente la expresión transformada queda así:
√11−2√30=√6−√5
1) Reducir:
K=√98+√2−√50+√48−√32
a) √2 b) 2√2 c) √3d) √2+√3 e) 4 √2
2) El equivalente de:
N=√6−2√5−√11+2√30+1Es:
a) √6 b) √5 c) −√6d) −√5 e) 1
3) Mostrar el equivalente de:
3√m√m−√m3+n6 . 3√m√m+√m3+n6Sabiendo que: 2 001 < m < n < 2 002
a) n b) 3√n c) -m
d) n2 e) –n2
4) Si: 1 999 < m < n < 2 001
Reducir:
E=√n2+2mn+m2−√m2−2mn+n2
a) 2n b) -2n c) 2m
d) -2m e) m + n
5) Efectuar:
N=√3−√8+√11−√72
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6 5
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PREa) 1/2 b) -2 c) 2
d) 1 e) 14
6) Efectuar:
A=√2+2√4+2√3
a) √2 b) √3 c) √3+1d) √3+2 e) 1
7) Si: x > 1, reducir:
Q=√ x+√x2−12
+ √ x−√ x2−12
a) √ x+12 b) √ x2−1 c)
√ x−1d) √ x2+1 e) √ x
8) Hallar: B – 8A en:
√12−2√35+√8+2√15=√A+√Ba) 84 b) 4 c) 94d) 49 e) 47
9) Mostrar el equivalente de:
P=√1+√−2+2√12+√108
a) √2 b) √ 32 +√ 12 c) √3−√2
d) √3+√2 e) √ 52 +110) Un radical simple de:
√ 1x +√2−x2
Considerando: x2 < 2, es:
a) √2 b) √ x c) √ x2
d) √ 2x e) √ x−22
11) Descomponer a radicales simples:
T=√2+√3
a)
√32+ √22 b) √ 32 +√ 12 c) √2+1
d) √2−1 e)
√23+ √32
12) Descomponer en radicales simples:4√7+√48
a)
√32+ √22 b)
√83+ √62 c)
√62+ √65
d)
√62+ √22 e)
√23
+ √32
13) Si:
52<x<3
el equivalente de:
√2x−2√6 x−9+√2 x−1−2√4 x−6Es:
a) 2√2x−3−√3−√2 e) √3−√2b) 2√2x−3 d) 2−√3c) √3+√2
14) Si:
√a+4√b+2=√a−2+√2b{a; b} ℕ / a > b. Mostrar un radical simple
de:
√a+b+2√a+6b
a) √7 b) √5 c) √3d) √2 e) “a” o “d”
15) Proporcionar el valor de:
α . θγ si el
radical doble: √αx+θy+√( γθ+γ )xy
puede descomponerse en radicales
simples:
a) 1 b) 1/2 c) 1/4
d) 1/3 e) 1/6
TAREA DOMICILIARIA
1) Reducir:
L=√75−√27+√12−√48+√3
a) −√3 b) √3 c) 2√3d) 5√2 e) √3+2√2
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Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PRE
2) Mostrar el equivalente de:
E=√7+2√12+√7−2√12a) 1 b) 2 c) 4d) 6 e) 8
3) Si: n ℕ / n 2 001, proporcionar el
equivalente de: n√√3+√2 . 2 n√5−2√6
a) 2 b) 1 c) 3d) 4 e) 8
4) Mostrar el equivalente de:
√a2−2ab+b2−3√a3+3ab2−3ab2b−b3
Sabiendo que: 2 001 < a < b < 2 003
a) 0 b) b c) ad) 2a + 2b e) 2b – 2a
5) La expresión mostrada: √3−√3−√4−2√3Equivale a:
a) √3+1 b) √3+1 c) √3−2d) √3−1 e) √3+4
6) Efectuar: √4−√12+√7−√48
a) 0 b) 2√2 c) √2d) 1 e) -1
7) Sabiendo que: x2 = x + 1; x > 0
Reducir: √ x+√x−√ x−1
2
a) √2 b) √2x c)
√22
x
d) (√2+1) x e) 1
8) Hallar: a y b en la siguiente igualdad:
√3+√8+√12+8√2=3(√a+√b )a) a = 2; b = 1 d) a = 1; b = 5b) a = 3; b = 6 e) a = 0; b = 1c) a = 1; b = 2
9) Reducir:
E=√9+5√3−√3(√3+2)+√4+2√3
a) 2+√3 b) 1−√3 c) √3d) √2−√3 e) 1
10) Simplificar:
√2x+1−2√ x2−2x+1Si: x > 1
a) √2 b) √3 c) 4d) 1 e) 2
11) Hallar: B – A en:
√15−2√54+√8+2√12=√ A+√B
a) 18 b) 37 c) 83d) 61 e) 17
12) Hallar el valor de:
E=√2+2√2+. .. ..+2√2+2√2+2√4+2√3a) √3+1 b) √3−1 c) √3−2d) √3+2 e) √2−2
13) Al extraer la raíz cuadrada de:
x−1+√ x2−2x−3Se obtienen 2 radicales simples cuadráticas. Calcular el valor numérico de uno de ellos para x = 7.
a) √2 b) √3 c) √4d) √5 e) “a” o “c”
14)4√17+12√2 ; es equivalente a:
a) √2+√3 b) 3−√2 c) √3−√2d) 2√2−1 e) √2+1
15) Si se cumple:
√5 x−2+2√6 x2−7 x−3=√ax+b+√cx−aDe modo que: {a; b; c} ℕCalcular: “a + b + c”
a) 4 b) 5 c) 6
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RACIONALIZACIÓN
Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PREd) 7 e) 8
Es la operación mediante la cual, se transforma una expresión cuyo denominador es irracional, en otra equivalente, pero con denominador racional. Para esto se multiplican ambos términos de la fracción por una expresión llamada factor racionalizante.
FACTOR RACIONALIZANTE
(F.R) Es la expresión irracional, que multiplicada
por el denominador irracional, lo convierte en una expresión racional.
DENOMINADORES
MONOMIOS
Si el denominador es de la forma m√bn , el
factor racionalizante es m√bm−n
. En estos casos el factor racionalizante es conocido también como el conjugado del denominador. Veamos el siguiente ejemplo:
am√bn
= am√bn
.m√bm−n
m√bm−n=a
m√bm−n
b
RACIONALIZACIÓN DE
DENOMINADORES BINOMIOS Cuando una fracción presenta un
denominador binomio, el factor racionalizante es en general un polinomio cuya forma dependerá del binomio original.
DENOMINADOR BINOMIO DE LADENOMINADOR BINOMIO DE LA
FORMA :FORMA : √a±√b
Denominador : √a+√b F.R.:
√a−√b
Denominador : √a−√b F.R.:
√a+√b
Basta multiplicar los dos términos por la cantidad conjugada del denominador.
Ejemplo:
a√b+√c
= a√b+√c
. √b−√c√b−√c
=a(√b−√c )
b−c
a√b−√c
= a√b−√c
. √b+√c√b+√c
=a (√b+√c )
b−c
DENOMINADOR BINOMIO DE LADENOMINADOR BINOMIO DE LA
FORMA:FORMA: 3√a ± 3√b
Cuando los denominadores son binomios cuyas raíces resultan ser de índice tres, los factores racionalizantes se obtienen así:
Denominador :3√a + 3√b F.R.:
3√a2−3√ab+3√b2
Denominador :3√a − 3√b F.R.:
3√a2+3√ab+3√b2
Ejemplo:
23√4+3√5
= 2
(3√4+3√5 ).(3√16−3√20+ 3√25)(3√16−3√20+ 3√25)
=2(3√16−3√20+3√25)
3√43+3√53=2(3√16−3√20+3√25 )
9
Profesor: Daniel Torres 2011
Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PREDENOMINADOR BINOMIO DE LADENOMINADOR BINOMIO DE LA
FORMA:FORMA: n√a±n√b
En general, para denominadores cuyos radicales
son de orden mayor que 3, se utilizarán criterios
de cocientes notables.
Denominador :n√x+n√ y
F.R.: n√xn−1−n√xn−2⋅y+. . .. ..+ n√ yn−1 ; n impar
Denominador :n√x+n√ y
F.R.: n√xn−1−n√xn−2⋅y+. . .. ..−n√ yn−1 ; n par
Denominador :n√x−n√ y
F.R.: n√xn−1+n√xn−2⋅y+. .. .. .+n√ yn−1 ; n
Ejemplo:
15√a−5√b
=5√a4+ 5√a3 b+5√a2b2+ 5√ab3+
5√b4a−b
1) Al racionalizar
3
√3 se obtiene una
expresión de la forma:
√ab . Calcular: “a
+ b”.
a) 2 b) 6 c) 3d) 4 e) 5
2) Al racionalizar
73√6 obtenemos una
expresión de la forma:
73√k2k
proporcionar el valor de “k”.
a) 2 b) 4 c) 5d) 6 e) 7
3) Racionalizar e indicar el denominador:
E= 47√648
a) 1 b) 3 c) 2d) 6 e) 10
4) Racionalizar:
4
√3+√2a) 4 (√3+√2) d) 1
b) 4 (√3−√2 ) e) √3−√2c) 2(√3+√2)
5) Reducir:
N= 72√2−1
−2√2+2
a) 3 b) 6 c) 9d) 12 e) 15
6) Reducir:
M= 1
√5+√3+ 1
√3−1− 2
√5−1
a) 0 b) √5 c) 2√5d) √3 e) √3+√2
7) Efectuar:
4
√8+4 √3+ 3
√7−2√10− 1
√11−2√30
a) 1 b) √5 c) 2
d) 0 e) √3
8) Indicar el denominador racional de:
12
√2+√3+√5
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EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PREa) 11 b) 23º c) 5d) 3 e) 6
9) Indicar el denominador racional de:
65−√6+√10−√15
a) 6 b) 1 c) 2d) 3 e) 9
10) Racionalizar:
M3√16−√8+ 3√4
Dar su denominador:
a) 2 b) 3 c) 4d) 6 e) 5
11) Racionalizar:
M3√9−3√4
Dar su denominador:
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 7
12) Si la expresión:
√10 [ √√10+3+√√10−3√√10+1−√√10−1 ]Es equivalente a:
α √θ+θ √ α2
/ α ∧ θ ∈ N
Calcular el valor de “ . ”
a) 8 b) 6 c) 20d) 12 e) 16
13) Simplificar:
R= √1+x√1+x−√1−x
−√1−x2
2 x
a) 1 + x b)
1+ x2 x
c)
2x4+ x
d) 1 e) 0
14) Indicar el denominador racional de:
A=2001
1+5√8−5√4
a) 240 b) 243 c) 245d) 244 e) 246
15) Proporcionar el denominador racional de:3√2001 . 3√2003 (3√2001+3√2003 )
3√2001+ 3√2003−3√4004
a) 1 b) 2002 c) 2003d) 200 e) 3
TAREA DOMICILIARIA
1) Simplificar:3√6 √24√72
a) 12√18 b)
6√9 c)
12√ 23d)
12√ 29 e)
6√ 232) Efectuar:
a) xy d) 0
b) x2y2 e) 1
c) 8√xy+7√xy
3) Efectuar:
E= 113 √2−√7
− 12√2−√7
a) 2√2 b) 5√2 c) −3√2d) √2 e) 0
4) Dividir 1 entre:
√27−√18+√32−√12
a) √3+√2 b) √5 c) √2+1d) √3−√2 e) No es posible
5) Efectuar:
E=√(a√ ab +2√ab+b√ ba )√aba) a b) ab c) a - b
d) a + b e)
ab
6) Dar el denominador racionalizado de:
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Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PRE1
√√5+√2−4√5
a) 2 b) 4 c) 1d) 7 e) 3
7) Simplificar:
E= 4√3 [ √3−1
√3− 1
√3− 1√3 ]
−1
a) √3 b) √3−1 c) √3+1d) 2√3 e) 3+√3
8) Racionalizar y simplificar:12
√2+√3+√5
a) 2√3+3√2−√30b) 3√2+2√3+√30c) 2√3−3√2+√30d) 2√2+√30−3e) 3√3+2√2−√30
9) Racionalizar:
F= 87+√15+√21+√35
Indicar el denominador:
a) 1 b) 2 c) 4d) 6 e) 8
10) Racionalizar:
M3√9−3√6+3√4
Dar su denominador:
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) N.A.
11) Racionalizar:
M3√9−3√5
Dar su denominador:
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) N.A.
12) Indicar el denominador racionalizado de:
x
√3−6√2
a) 25 b) 27 c) 29d) 7 e) 14
13) Si después de racionalizar y simplificar:
x√ x− y √ y+ y√ x−x √ y√x2 y−√xy 2
Reemplazo “x” por “y” se obtiene:
a) -1 b) 1 c) 2d) 1/2 e) -2
14) Calcular el verdadero valor de:
E= x−2
√x−2+√ x−4√ xPara x = 2
a) 0 b) 1 c) 2√2
d) 24√2 e)
8√2
15) Efectuar:
E= √4−√15+√2−√3√13−√120+√5−√24
a) 1/2 b) 1 c) 3/2d) 2 e) 5/2
Profesor: Daniel Torres 2011
Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PRE
¡Fin del Bimestre!
Profesor: Daniel Torres 2011