Trabajo Práctico n°1: Cuadrante Astronómico

Resumen

En este Trabajo Práctico se propone determinar la latitud del lugar del observador. Para ello se construye y se emplea un cuadrante astronómico con el cual se mide la altura de una estrella que se encuentra en el meridiano del lugar (o cerca de él) en el horario de medición. Luego, se deducen una serie de fórmulas que vinculan los conceptos de latitud, declinación y altura. A partir de ellas se calcula la latitud empleando las mediciones de altura realizadas y la declinación del astro elegido. Se obtuvo como resultado un valor que dista del valor registrado de la latitud para el sitio de observación pero que considerando la incerteza absoluta de las mediciones coincide con el mismo.

Introducción

El objetivo de este Trabajo Práctico es determinar la latitud del lugar de observación a partir de una serie de mediciones de la altura de un astro elegido cuando culmina superiormente. Además se propone construir un cuadrante astronómico que se utilizará para realizar las mediciones correspondientes. También se plantea como objetivo la deducción de una serie de fórmulas que relacionan la altura medida, la declinación conocida del astro y la latitud que se debe calcular. De este modo se pretende establecer un análisis de la relación entre los conceptos de altura, declinación, latitud y meridiano del lugar.

Procedimiento experimental

MaterialesPlantilla impresa del apéndice ACartón, cartulina dura o similar50 cm de hilo negro delgadoTuercaPajitaCinta adhesiva y pegamento

Para llevar a cabo el experimento es necesario construir un instrumento astronómico llamado cuadrante como el de la Figura I. Se recorta un pedazo de cartón con la forma del mismo y se pega una plantilla con la misma medida del mismo. Luego en el ángulo del

cuadrante se realiza un pequeño agujero, se pasa un hilo delgado y se anuda del lado donde no se encuentra impreso el cuadrante de manera tal que no pueda volver a pasar hacia el otro lado pero que tenga movilidad. Luego se ata del otro extremo del hilo la tuerca que funciona como peso. La función de ambos elementos es ubicar espacialmente la vertical del lugar, ya que resulta de la prolongación de la “línea de la plomada”, es decir, un peso sostenido por un hilo y sólo sometido a la gravedad terrestre. De esta forma, el hilo marca el ángulo de la altura que se pretende medir. Por último se agrega un sorbete a través del cual se mira el punto de interés.

Figura I: Cuadrante astronómico empleado para la medición

Una vez construido el cuadrante astronómico se procedió con las mediciones en el observatorio del Colegio. En un primer lugar, el ayudante indicó la dirección cardinal Norte-Sur aproximada. Luego, se eligen dos estrellas de declinación conocida para medir sus respectivas alturas con el cuadrante astronómico. Estas estrellas deben situarse cerca de esta dirección Norte-Sur en el horario elegido para realizar las mediciones y se deben poder ver con facilidad.

La primera estrella elegida fue Júpiter, ubicada en dirección cardinal Norte y la segunda Ácrux, ubicada en dirección cardinal Sur. Las condiciones climáticas no fueron completamente favorables en el día de medición debido a que se encontraba parcialmente nublado. En tanto, las estrellas fueron elegidas en un primer lugar porque eran unas de las pocas que podían verse. Júpiter además estaba próxima al punto de culminación en el horario de medición y era muy brillante. Por otro lado, si bien la estrella Ácrux no era tan brillante como Júpiter (debido a la diferencia de tamaño que hay entre las estrellas), fue escogida por encontrarse en la dirección cardinal Sur ya que de esta forma se podrá realizar un análisis a partir de ambas direcciones cardinales.

Se procede luego con las mediciones de las alturas de ambas estrellas. Se realizaron 20 mediciones para cada una con el objetivo de tener una cantidad razonable de resultados y así poder calcular algebraicamente la latitud del lugar con un valor lo más cercano al aceptado. Se tomó registro de la hora de inicio y fin de ambos sets de mediciones. El procedimiento a realizar es el siguiente: mientras el primer observador localiza la estrella en el centro de visión del sorbete, el segundo registra la altura que indica el hilo con la tuerca.

2

Se procura que el hilo roce el cuadrante y que la mano del observador no obstaculice su movimiento. Finalmente, se volcaron las 40 mediciones en una tabla, en la cual también se incluyó la declinación de la estrella (extraída del programa informático Stellarium). Para calcular la latitud del lugar de observación se dedujo una serie de fórmulas que vinculan los conceptos de latitud, declinación y altura. Esta deducción se encuentra en el apartado Resultados y análisis. Luego se obtuvo el promedio de las 40 latitudes obtenidas y se determinó la incerteza absoluta restando el valor de la latitud promedio a cada latitud calculada y tomando como valor de la incerteza al resto de mayor valor.

Finalmente, se intercambiaron las latitudes promedio de todos los grupos que llevaron a cabo las mediciones. Con estos datos se confeccionó un histograma1 con el programa informático Excel con el fin de realizar un análisis más exhaustivo del método utilizado para obtener la latitud del lugar.

Resultados y análisis

Para llevar a cabo los cálculos correspondientes a la obtención de la latitud del lugar a partir de la declinación y la altura de la culminación superior de los astros, es necesario deducir una serie de fórmulas que relacionan estos tres conceptos. Para ello se confeccionaron seis gráficos que representan las diferentes posiciones en las que puede encontrarse una estrella en su culminación superior, tanto para el hemisferio Norte como para el hemisferio Sur. Con respecto a la culminación inferior de una estrella, se deducen las fórmulas correspondientes en el Anexo adjunto con el fin de ampliar nuestro análisis.

En los gráficos los ángulos se muestran positivos, pero a la hora de deducir las fórmulas hay que tener en cuenta que el signo de estos ángulos variarán según el caso. La declinación es positiva desde el ecuador celeste (0°) hasta el polo norte celeste (+90°) y negativa desde el ecuador celeste (0°) hasta el polo sur celeste (-90°). La latitud de todo lugar ubicado en el hemisferio norte es positiva y la de todo lugar en el hemisferio sur es negativa. Es por esto que la declinación y la latitud, se escriben con barras de módulo. En el caso de la altura, para los fines de este trabajo tomará valores positivos, ya que resulta imposible medir la altura de estrellas que se encuentren por debajo de la línea del horizonte.

Las fórmulas deducidas para el hemisferio sur son las siguientes:

1. Para una estrella posicionada entre el horizonte y el ecuador celeste.

La fórmula que vincula la altura, la declinación y la latitud es la siguiente: h + |δ| + |φ| = 90°

Siendo la latitud negativa por encontrarse el observador en el hemisferio sur y la declinación positiva:

1 Un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras, donde la superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados. En este caso se representó la frecuencia de los valores de la latitud promedio en grados de los diferentes grupos de observadores.

3

h + δ - φ = 90°φ = h + δ - 90°

Agregar pie de foto en Word: Gráfico I: Estrella ubicada entre el horizonte y el ecuador celeste para un observador en el hemisferio sur.

2. Para una estrella posicionada entre el ecuador celeste y el cenit.

La fórmula que vincula la altura, la declinación y la latitud es la siguiente: h - |δ|+|φ| =90°

Siendo la latitud negativa por encontrarse el observador en el hemisferio sur y la declinación negativa:h - (-δ) - φ = 90°φ = h + δ - 90°

Agregar pie de foto en Word: Gráfico II: Estrella ubicada entre el ecuador celeste y el cenit para un observador en el hemisferio sur.

3. Para una estrella posicionada entre el cenit y el polo sur celeste.

La fórmula que vincula la altura, la declinación y la latitud es la siguiente: h - |φ| + |δ|= 90°

Siendo la latitud negativa por encontrarse el observador en el hemisferio sur y la declinación negativa:h - (-φ) - δ = 90°φ = 90° + δ - h

Agregar pie de foto en Word: Gráfico III: Estrella ubicada entre el cenit y el polo sur celeste para un observador en el hemisferio sur.

Las fórmulas deducidas para el hemisferio norte son las siguientes:

4. Para una estrella posicionada entre el horizonte y el ecuador celeste.

La fórmula que vincula la latitud, la declinación y la declinación es la siguiente: h + |δ| + |φ| = 90°

4

Siendo la latitud positiva por encontrarse el observador en el hemisferio norte y la declinación negativa:h - δ + φ = 90°φ= 90°+ δ - h

Agregar pie de foto en Word: Gráfico IV: Estrella ubicada entre el horizonte y el ecuador celeste para un observador en el hemisferio norte.

5. Para una estrella posicionada entre el ecuador celeste y el cenit.

La fórmula que vincula la latitud, la altura y la declinación es la siguiente: h + |φ| - |δ|= 90°

Siendo la latitud positiva por encontrarse el observador en el hemisferio norte y la declinación positiva: h + φ - δ= 90°φ= 90°+ δ - hAgregar pie de foto en Word: Gráfico V: Estrella ubicada entre el ecuador celeste y el cenit para un observador en el hemisferio norte.

6. Para una estrella posicionada entre el cenit y el polo norte celeste.

La fórmula que vincula la latitud, la altura y la declinación es la siguiente: h + |δ| -|φ|=90°

Siendo la latitud positiva por encontrarse el observador en el hemisferio norte y la declinación positiva:h + δ - φ = 90°φ = h + δ - 90°

Agregar pie de foto en Word: Gráfico VI: Estrella ubicada entre el ecuador celeste y el cenit para un observador en el hemisferio norte.

Se observa que en los casos 1, 2, y 6 se deduce la misma fórmula mientras que en los casos 3, 4 y 5 se deduce otra fórmula coincidente. Se visualiza de forma más ilustrativa de la siguiente forma:

5

φ = h + δ - 90° φ = 90° + δ - h

Gráfico I) Gráfico III)

Gráfico II) Gráfico IV)

Gráfico VI) Gráfico V)

6

Observando los seis gráficos, podemos darnos cuenta que en los Gráficos I, II y VI el astro observado se encuentra orientado al Norte del observador mientras que en los Gráficos III, IV y V el se encuentra ubicado al Sur del observador. En tanto, la fórmula φ = h + δ - 90° es válida para estrellas ubicadas al Norte del observador mientras que la fórmula φ = 90° + δ - h es válida para estrellas ubicadas al Sur del observador. Es importante destacar que, debido a ésto, no reviste importancia el hemisferio en el cual se encuentra el observador, sino la orientación cardinal de la estrella a observar. Además considerando que a partir de estas fórmulas puede calcularse la latitud, el signo de la misma determina el hemisferio en el que se realizan las mediciones de la altura de los diferentes astros.

A continuación se determinó cuáles de estas fórmulas son las que se utilizan para cada astro elegido. El Gráfico I representa la posición de Júpiter (entre el horizonte y el ecuador, con una declinación positiva para un observador en el hemisferio sur), por lo que se utilizará para calcular su latitud promedio la fórmula φ = h + δ - 90° mientras que el Gráfico III representa la posición de Ácrux (entre el cenit y el polo sur celeste, con una declinación negativa para un observador en el hemisferio sur), de modo que en este caso se emplea la fórmula φ = 90° + δ - h.

El valor promedio de la latitud entre todas las mediciones es de -31° 59’ y su incerteza absoluta es de 4°1’. Siendo la latitud de Buenos Aires apróximadamente -34° según el programa informático Stellarium, se puede afirmar que, considerando la incerteza absoluta, se encuentra dentro del valor promedio de la latitud obtenido experimentalmente. Para analizar de una manera más profunda el valor calculado se procede de la siguiente manera.

En primer lugar, se calcula la latitud promedio con las mediciones correspondientes a la altura de Ácrux: -32°11’ con una incerteza absoluta de 2°11’. En el momento de la medición (20:35 hs apróximadamente), el ayudante nos informó que Ácrux estaba a unos 15° del meridiano del lugar. Sin embargo, la latitud obtenida no dista tanto de la aceptada. Esto se debe a que si se compara el valor de la altura de una estrella en su culminación superior y en un meridiano cercano al meridiano del lugar (como el meridiano en el que se encontraba Ácrux cuando se realizaron las mediciones) la diferencia no resulta significativa. Esto puede explicarse desde un enfoque matemático. Si se considera la altura de la estrella en función del tiempo como una función, la altura de la estrella en su culminación superior representa un máximo. Esto quiere decir que la variación de la altura para valores cercanos a ese máximo tiende a 0, por definición de máximo de una función (su derivada2 primera es cero). Esta variación de la altura representa en nuestras mediciones la incerteza absoluta. Por lo tanto, con una incerteza absoluta que tiende a 0, el valor obtenido de la latitud del lugar no dista de manera significativa del valor de latitud aceptado. No está de más aclarar que esta diferencia de 15° significa una mayor variación de altura en otros meridianos de la esfera celeste debido a que no representa un máximo la altura del astro en los mismos y su derivada es entonces mayor a cero.

A partir de lo anterior, se establece que las fórmulas utilizadas pueden efectivamente aplicarse a las mediciones de altura de nuestras estrellas. Esto se debe a que, si bien las

2 A grandes rasgos la derivada de una función mide la rapidez con la que cambia el valor de una función matemática (en este caso la altura).

7

fórmulas deducidas son válidas sólo en el momento de culminación de una estrella, es decir, cuando está ubicada en el meridiano del lugar, nosotros localizamos las estrellas a partir de una dirección Norte-Sur aproximada, en tanto aproximada significa que se encuentra cercana al meridiano del lugar.

En segundo lugar, si se realiza un promedio de las latitudes obtenidas con las 20 mediciones de la altura de Júpiter cuando culmina superiormente, se obtiene el siguiente valor: -34°29’ con una incerteza de 2°29’. Si hubiésemos utilizado solo las mediciones de Júpiter para determinar el valor de la latitud, la latitud promedio obtenida se encontraría más cercana a la aceptada. Esto se debe a que Júpiter se encontraba más cerca del meridiano del lugar que Ácrux, por lo que la incerteza absoluta es aún menor y el valor obtenido es más próximo al aceptado.

Luego a partir del intercambio de datos entre los distintos grupos que realizaron la experiencia se construyó el histograma que sigue.

Se observa que hay una mayor frecuencia para los valores que oscilan entre los 33,50 °y los 36,00°, es decir, valores cercanos a la latitud aceptada, mientras que hay una menor frecuencia para los valores más alejados de esa latitud. En una primera aproximación la distribución obtenida resulta razonable debido a que no se obtuvieron valores de latitud completamente dispares sino que se puede distinguir una serie de valores centrales que coinciden con el valor de la latitud aceptada (alrededor de -34°). Consideramos que todos los grupos trabajaron de igual manera, con respecto a la forma de medir las alturas y de determinar el valor de la latitud ya que se siguió un procedimiento específico y determinado por el docente a cargo. Las diferencias entre los distintos valores obtenidos por cada grupo pueden deberse a la posición de las estrellas con respecto al meridiano del lugar consideradas en cada caso. Es posible que algunos grupos hayan elegido estrellas que aún no se encontraban en su momento de culminación. Otro motivo puede ser una imprecisión a

8

la hora de calcular la latitud, producto de errores experimentales particulares como una mala determinación del meridiano del lugar.

Conclusiones

A modo de conclusión se puede afirmar que se cumplió con el objetivo principal del Trabajo Práctico. A partir de una serie de mediciones de altura de dos astros elegidos, del conocimiento de la declinación de los mismos y de una deducción de fórmulas que vinculan los conceptos de declinación, altura y la latitud, se obtuvo el valor de la latitud del lugar de observación, contemplando la incerteza absoluta de tales mediciones. Se comprueba experimentalmente a partir de las mediciones de altura de Júpiter que cuanto más cercano se encuentre el astro al meridiano del lugar el valor obtenido de la latitud dista de menor manera del aceptado. Sin embargo, también se determina a partir de las mediciones de altura de Ácrux que si el astro no se encuentra en su momento de culminación, la diferencia entre el valor de la latitud aceptado y el calculado no varía significativamente. Por lo tanto, es válido determinar una dirección Norte-Sur aproximada para localizar al astro en el momento de medición.

Por otro lado, se deducen dos fórmulas que vinculan declinación, latitud y altura de una estrella que se encuentra próxima a su momento de culminación. Se aplica una u otra de acuerdo a la orientación Norte o Sur de la misma y no influye de ninguna manera el hemisferio en el cual se encuentra el observador en cuestión. Asimismo se puede determinar el hemisferio del lugar de observación ya que se obtiene en los cálculos el valor de la latitud y su signo. Si la latitud obtenida es positiva el lugar de observación es en el hemisferio norte y en el caso contrario en el hemisferio sur.

Anexo

Con el fin de ampliar nuestro análisis decidimos deducir las fórmulas que permiten calcular la latitud de un astro a partir de la medición de la altura de su culminación inferior. Se considera una estrella circumpolar para que la altura de su culminación inferior pueda medirse (como se mencionó anteriormente, es imposible medir alturas por debajo del horizonte). Se consideran dos casos: uno para un observador localizado en el hemisferio sur y otro para un observador localizado en el hemisferio norte.

1. Para una estrella posicionada entre el horizonte y el polo sur celeste.

La fórmula que vincula la altura, la declinación y la latitud es la siguiente: |δ|+|φ| -h =90°

Siendo la latitud negativa por encontrarse el observador en el hemisferio sur y la declinación negativa:-δ - φ - h = 90°φ = -δ - h - 90°

9

Agregar pie de foto en Word: Gráfico VII3: Estrella ubicada entre el horizonte y el polo sur celeste.

2. Para una estrella posicionada entre el horizonte y el polo norte celeste.

3 Aquí se marca el ángulo de la latitud de manera distinta a los anteriores gráficos ya que se considera al mismo como la altura del polo visible sobre el horizonte.

10

La fórmula que vincula la altura, la declinación y la latitud es la misma que el caso anterior: |δ|+|φ| -h =90°

Siendo la latitud positiva por encontrarse el observador en el hemisferio sur y la declinación positiva:δ + φ - h = 90°φ = -δ + h + 90°

11

Agregar pie de foto en Word: Gráfico VIII: Estrella ubicada entre el horizonte y el polo norte celeste.

Se concluye que las fórmulas que vinculan la altura, la latitud y la declinación de un astro en su culminación inferior y superior son cuatro considerando todas las posiciones que puede adoptar el mismo. En el caso de las culminaciones superiores no importa el hemisferio en el

12

cual se encuentra el observador sino la dirección cardinal en la cual se orientan las estrellas. Sin embargo, en el caso de las culminaciones inferiores sí importa el hemisferio en el que se encuentra el observador debido a que las fórmulas obtenidas varían según el caso.

13