Volumen: método de la sección transversal. S : el sólido. X Y [a, b] : intervalo en el eje X...
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Volumen:
método de la sección transversal
S : el sólido.
X
Y
[a, b] : intervalo en el eje X determinado por las secciones transversales del sólido.
ba
S
A(x) : área de la sección transversal en la posición x.
x
A(x)
b
a
A(x)dxV(S)Volumen del sólido S:
Volumen: método de la sección transversal
Ejercicio 1: La figura muestra un sólido con base circular de radio 1. Las secciones transversales paralelas, perpendiculares a la base, son triángulos equiláteros. Encuentre el volumen del sólido.
Volumen: método de la sección transversal
Volumen: método de la sección transversal
Solución: La base circular se muestra a la izquierda, en donde se indicado con rojo la base AB de la sección transversal ABC de la figura anterior a una distancia x del origen:
y
x
Y
X01-1
A
B
1 22 yxComo el círculo tiene por ecuación , tenemos que:
111 x ,xy 2
A B
C
60º 60ºyy
y3
Sección transversal ABC a una distancia x del origen, de la figura anterior.
Volumen: método de la sección transversal
Luego, el área de la sección transversal ABC es:
)x-(3y32y2
hb2
A(x) 2111
y el volumen del sólido, es:
334
)x3
(x32)dxx(32A(x)dx2V(S) 32
1
0
1
0
1
0
11
en donde se utilizó la simetría del sólido.
Ejercicio 2: De un cilindro circular de radio 4 se corta una cuña por medio de dos planos. Un plano es perpendicular al eje del cilindro. El otro plano corta al primero en un ángulo de 30° a lo largo de un diámetro del cilindro. Halle el volumen de la cuña.
Volumen: método de la sección transversal
Volumen: método de la sección transversal
Solución: La base circular se muestra a la izquierda, en donde se indicado con rojo la base AB de la sección transversal ABC de la figura anterior a una distancia x del origen:
y
x
Y
X04-4
A
B
16 22 yxComo el círculo tiene por ecuación , tenemos que:
4416 x ,xy 2
Sección transversal ABC a una distancia x del origen, de la figura anterior.
A B
C
y30º
ytan30°
Volumen: método de la sección transversal
Luego, el área de la sección transversal ABC es:
32)x-(
ytan30y2
hb2
A(x)21611
y el volumen del sólido, es:
33128
)x3
6x(3
)dxx(3
A(x)dx2V(S) 32
4
0
4
0
4
0
11
116
1
en donde se utilizó la simetría del sólido.