Vigas No Prismáticas - Vigas Armadas y Vigas Circulares
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I. ESFUERZOS CORTANTES EN VIGAS DE SECCIÓNTRANSVERSAL CIRCULAR
El esfuerzo cortante τ en una viga de sección transversal circular debe actuar
tangencialmente al borde. La superficie exterior de la viga está libre de esfuerzo, de
modo que el esfuerzo cortante que actúa sobre la sección transversal no tiene uncomponente en la dirección radial.
Los esfuerzos cortantes se determinan con facilidad en el eje neutro mediante
algunas ipótesis razonables sobre la distribución de los esfuerzos. !uponemos que
los esfuerzos actúan en paralelo al eje y " que tienen intensidad constante a trav#s
del anco de la viga $del punto p al punto q en la %ig. &'. (omo estas ipótesis son
las mismas podemos utilizar la fórmula del cortante en el cálculo de los esfuerzos en
el eje neutro.
Existen dos casos)
1. Primer Caso:*ara usarlas en la fórmula del cortante, necesitamos las siguientes propiedades deuna sección transversal circular de radio r )
+
+r I
π
=,
-
,
+
-
,-r r r
y AQ =
==
π
π
r b -= $&'
La expresión para se basa en las fórmulas para un semic/rculo. !ustituimos
esas expresiones en la fórmula del cortante " obtenemos
( )
( )( ) A
V
r
V
r r
r V
Ib
VQ
máx ,
+
,
+
-+
,-
-+
,
====π π
τ
$-'
en donde A 0 π r 2 es el área de la sección transversal.
Fig 1
2. Seg!"o Caso:!i una viga tiene una sección transversal circular ueca como se muestra en la
figura -, podemos suponer que los esfuerzos cortantes en el eje neutro son
paralelos al eje y " que están uniformemente distribuidos a trav#s de la sección.
*or lo tanto, podemos volver a usar la fórmula del cortante para encontrar los
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esfuerzos máximos. Las propiedades requeridas de la sección circular ueca
son
( )+
&
+
-
+r r I −=
π
,
-
,
+
-
,- r r r y AQ =
==
π
π
( )&-
- r r b −= $'
en donde r 1 " r 2 son los radios interno " externo de la sección transversal1 por
lo tanto, el esfuerzo máximo es
(( )-
&
-
-
-
&&-
-
-
,
+
r r A
r r r r V
Ib
VQmáx
+
++==τ $+'
en donde
( -
&
-
- r r A −= π
es el área de la sección transversal. 2ótese que si r 1 0 3, la Ec. $+' se reduce a
la Ec. $-' para una viga circular sólida.
Fig. 2
4unque la teor/a anterior para esfuerzos cortantes en vigas de sección
transversal circular es aproximada, da resultados que sólo difieren en, un
peque5o porcentaje de los obtenidos mediante la teor/a exacta de la elasticidad.
II. VIGAS AR#ADASLas vigas armadas se fabrican con dos o más piezas de material unidas entre s/ para
formar una sola viga. 6ales vigas se constru"en en una gran variedad de formas para
satisfacer requisitos arquitectónicos o estructurales especiales " proporcionar
secciones transversales ma"ores que las comúnmente disponibles. 4 continuación se
citan algunos ejemplos.
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Fig. $
Las vigas armadas deben dise5arse de manera que la viga se comporte como un solo
miembro. En consecuencia los cálculos de dise5o comprenden dos fases. En la
primera, la viga se dise5a como si estuviera eca de una sola pieza, tomando en
cuenta los esfuerzos de flexión " cortantes. En la segunda, se dise5an las conexiones
entre las partes $clavos, pernos, soldadura, pegamento' para garantizar que la viga se
comporte realmente como una sola unidad. En particular, las conexiones deben tener
la suficiente fuerza para transmitir las fuerzas cortantes orizontales que actúanentre las partes de la viga. *ara obtener estas fuerzas utilizamos el concepto de flujo
de cortante.
F%&o Cor'a!'e
El flujo de cortante f , es la fuerza cortante orizontal por unidad de distancia a lo
largo del eje longitudinal de la viga.
4 partir del equilibrio orizontal del subelemento determinamos la fuerza F 3 que
actúa sobre su superficie interior)
Secciones transversales de vigas armadas
típicas:
a' 7iga en caja de madera1 elaborad con dos
tablones que sirven de patines " con dos
almas de madera contracapada.
b' 7iga laminada pegada, eca de tablas
pegadas o encoladas entres s/ para formar una
viga ma"or que la que podr/a cortarse de un
árbol como una pieza, "
c' 6rabe armada con placas de acero del tipo
que suele utilizarse en puentes " grandes
edificios.
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∫ = ydA F I dM
,
(omo la fuerza F 3 actúa a lo largo de la distancia dx, la fuerza cortante por distancia
unitaria es igual a F 3 dividida entre dx, entonces)
( )∫ == ydA f I dxdM
dx
F &,
8eemplazando dM 9dx con la fuerza cortante V " denotando la integral con Q, se
obtiene)
I
VQ f =
Esta ecuación da el flujo de cortante que actúa sobre el plano orizontal pp1.
!i los esfuerzos cortantes sobre el plano pp1 están uniformemente distribuidos, el
flujo cortante f es igual a ϒ b.El subelemento puede ser cualquier bloque prismático de material entre secciones
transversales mn " m&n&, no tiene que obtenerse de un sólo corte orizontal a trav#s
de la viga.
4demás la fuerza F 3 puede estar distribuida en cualquier parte sobre los lados del
subelemento, no sólo de su superficie inferior.
( reas sa"as a% )a%)%ar e% #ome!'o Es' * 'i)o +
Vista lateral del elemento ,a-
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Vista lateral del subelemento ,b-
Vista lateral del subelemento ,c-
Figura aEs un trabe a base de placas soldadas de acero. Los cordones de soldadura deben
trasmitir las fuerzas cortantes orizontales que actúa entre los patines " el alma. En
el pat/n superior la fuerza cortante orizontal es el flujo de cortante a lo largo de la
superficie $este flujo de cortante puede calcularse tomando Q como el momento
estático del área transversal'.
:espu#s de calcular el flujo de cortante resulta fácil determinar la cantidad de
soldadura necesaria para resistir la fuerza cortante.
Figura b
Es una viga de pat/n anco que se refuerza remacando una sección en canal a cada
pat/n. Los remaces tienen que trasmitir la fuerza cortante orizontal. Esta fuerza se
calcula a partir de la fórmula de flujo de cortante usando Q como el momentoestático
Figura c
Es una viga en caja de madera con dos patines " dos almas conectadas por clavos o
tornillos. El momento estático Q se calcula para el pat/n superior. En este caso la
acción combinada de los clavos en ambos lados de la viga resiste el flujo de cortante
f .
III.IV.
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VIGAS NO PRIS#(TICAS
!on vigas que no tienen la misma sección transversal en toda su longitud, suelen usarse
para reducir el peso " mejorar la apariencia. 6ales vigas se encuentran en automóviles,
aviones, maquinaria, puentes, edificios, erramientas " mucas otras aplicaciones. La
fórmula de la flexión da valores razonablemente precisos para los esfuerzos de flexión
en vigas no prismáticas cuando los cambios en las dimensiones transversales son
graduales, como en los ejemplos de la fig. ;<-
Fig /2$
(onsideremos aora cómo var/an los esfuerzos de flexión al movernos a lo largo del eje
de la viga. En una viga prismática, el módulo de sección S es constante, de modo que
los esfuerzos var/an en proporción directa al momento flexionante M $porque 0 M!S '1
pero, en una viga no prismática, el módulo de sección tambi#n var/a a lo largo del eje.
En consecuencia, no podemos suponer que los esfuerzos máximos ocurran en la sección
transversal con el momento flexionante máximo1 a veces se presentan en otra parte,como se ilustra en el siguiente ejemplo.
"#empl$% de &iga% n$ pri%mática%'
a' Lámpara de alumbrado público1
b' *uente con trabes " estribos
ausados1
c' *untal de la rueda de un peque5o
avión, "
d ' =anija de una llave.
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Ejemplo
>na viga ausada en voladizo A( de sección transversal circular sólida soporta una
carga ) en el extremo libre. El diámetro d ( en el extremo ma"or es el doble del diámetro
d A en el extremo menor)
-= A
(
d
d
:eterminar el esfuerzo de flexión ( en el soporte fijo " el esfuerzo máximo de flexión máx.
Solución
!i el ángulo de ausamiento de la viga es peque5o, los esfuerzos de flexión obtenidos
con la fórmula de la flexión apenas diferirán de los valores exactos. (omo gu/a respecto
a la exactitud, notamos que si el ángulo entre la l/nea A( " el eje longitudinal de la viga
es de aproximadamente -3?, el error en el cálculo de los esfuerzos normales con lafórmula de la flexión es de cerca de &3@. :esde luego, al disminuir el ángulo de
ausamiento, el error se reduce.
M*dul$ de %ecci*n. El módulo de sección en cualquier sección transversal de la viga
puede expresarse como una función de la distancia x medida a lo largo del eje de la
viga. *uesto que el módulo de sección depende del diámetro, primero debemos expresar
el diámetro en t#rminos de x como sigue)
( ) +
xd d d d A ( A x
−+= $;<3'
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En donde d x es el diámetro a la distancia x desde el extremo libre1 por lo tanto, el
módulo de sección a la distancia x desde el extremo es
( ),,
,-,-
−+==
+
xd d d
d S A ( A
x x
π π
$;<&'
"%fuer,$% de flexi*n. :ado que el momento flexionante es igual a )x, el esfuerzo normal
máximo en cualquier sección transversal está dado por la ecuación
( ) ( )[ ],&
,-
+ xd d d
)x
S
M
A ( A x
x
−+==π
σ $;<-'
*or inspección de la viga advertimos que el esfuerzo A & es de tensión en la parte
superior de la viga " de compresión en la parte inferior.
2ótese que las Ecs $;<3', $;<&' " $;<-' son válidas para cualquier valor de d A " d (,
siempre que el ángulo de ausamiento sea peque5o. En el siguiente análisis,
consideraremos el caso en que d ( 0 -d A.
"%fuer,$ máxim$ en el %$p$rte fi#$ cuand$ d ( - -d A. El esfuerzo máximo en la sección
de momento flexionante máximo $extremo ( de la viga' puede encontrarse con la Ec.
$;<-' sustitu"endo x - + " d ( - -d A1 el resultado es
,
+
A
(d
)+
π
σ = $a'
"%fuer,$ máxim$ en la &iga cuand$ d ( - -d A. El esfuerzo máximo en una seccióntransversal a una distancia x desde el extremo $Ec ;<-' para el caso en que d ( - -d A, es
( ) ,,&
&
,-
+ xd
)x
A +=π
σ $b'
*ara determinar la posición de la sección transversal con el esfuerzo de flexión máximo
en la viga, necesitamos encontrar el valor de x que ace a 1 un máximo. !i derivamos
d 1 !dx e igualamos a cero, podemos despejar el valor de x que ace a 1 un máximo1 el
resultado es
- + x =
El esfuerzo máximo correspondiente que se obtiene al sustituir x - +!2 en la Ec. b', es
,, B+&.+
-B
&-C
A A
máxd
)+
d
)+
π π
σ == $c'
En este ejemplo el esfuerzo máximo ocurre en el punto medio de la viga " es &D@
ma"or que el esfuerzo en el extremo empotrado.
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.$ta) si se reduce el ausamiento de la viga, la sección transversal de esfuerzo normal
máximo se mueve del punto medio acia el soporte fijo. *ara ángulos mu" peque5os de
ausamiento, el esfuerzo máximo se presenta en el extremo (.