Vigas, Columnas, Trabajo Virtual. Resist en CIA i

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INDICE INTRODUCCION.1 DEFORMACION DE VIGAS, METODOS DE DOBLE INTEGRACION y Ecuacin diferencial de la elstica..2 y Ecuacin de la elstica2 y Deflexin mxima...4 y Mtodo de los tramos..4 y Mtodo de Macaulay...5 y Pendiente mxima...6 DEFORMACIONES EN VIGAS METODO DE TRABAJO VIRTUAL. y Principio de Bernoulli.7 y Teorema de Betti.8 y Ley de Maxwell...9 y Integral de Mohr10 y Trabajo virtual en elementos.10 y Imgenes cinemtica 11 y Deformaciones en prticos isostticos..13 VIGAS HIPERESTATICAS y Definir hiperesttica..14 y Mtodos de trabajo virtual... 15 y Disear diagramas 17 COLUMNAS y Anlisis de Euler...21 y Tipos de extremos.24 y Ecuacin de la secante..25 y Calculo de pandeo26 y Pandeo mximo... 27 y Carga critica 27 y Columnas excntricas...28 y Diseo de columnas concntricas y excntricas de acero29 CONCLUSION...32 BIBLIOGRAFIA33

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INTRODUCCIN Es casi imposible desarrollar correctamente un proyecto de estructura sin un profundo dominio de la mecnica y de la resistencia de los materiales. La importancia de estas materias se manifiesta claramente en el estudio de sus conceptos fundamentales y de teoras de mayor complejidad. En el presente trabajo se pretende explicar con toda claridad posible, la teora de algunos de estos conceptos. Es de sealar la exposicin que se har del mtodo de la doble integracin, que tanto simplifica el clculo de las deformaciones en las vigas. Otra caracterstica importante se refiere al anlisis de los estados de tensin y deformacin, con nfasis sobre la aplicacin de la integral de Mohr a las deformaciones. Estos temas, as como los restantes de esta investigacin, se exponen de manera sencilla en el aspecto terico recalcando los conceptos ms importantes. Las distintas teoras se desarrollaran con el siguiente planteamiento: la relacin entre tensiones y deformaciones, aplicacin de las condiciones de equilibrio esttico y verificacin de las condiciones del contorno.

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DEFORMACION DE VIGAS, METODOS DE DOBLE INTEGRACION 1.1 ECUACIN DIFERENCIAL DE LA ELSTICA La ecuacin de giro y ordenada de la elstica se obtiene por la integracin sucesiva de la ecuacin de la elstica; Primera integracin:

; (Ecuacin de giro de la elstica) Segunda integracin:

2. ECUACION DE LA ELASTICA. La curva elstica de una viga se puede expresar en forma matemtica como . Para obtener esta ecuacin primero se debe presentar la curvatura (1/V) en funcin de vyx. Los libros de clculo muestran que esta relacin es;

2

Se sustituye en la ecuacin

Esta es una ecuacin diferencial no lineal de segundo orden. Su solucin, llamada elstica, define la forma exacta de la curva, suponiendo naturalmente que la deflexin de la viga solo se debe a la flexin. Para la mayor parte de los problemas la rigidez flexionante ser constante a lo largo de la viga. Suponiendo que ese es el caso los resultados anteriores pueden reordenar en el siguiente conjunto de ecuaciones;

; Pendiente de un punto con respecto al eje x

; Corte de una seccin con respecto al eje x

; Momento de una seccin con respecto al eje x Para resolver cualquiera de estas ecuaciones se requieren integraciones sucesivas para obtener la deflexin de de la curva elstica.

; Ecuacin de la ordenada de la elstica.

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EI = Constante de la viga c1 y c2 = Constantes de integracin de cuyos valores estn en funcin de los apoyos de la viga. 2.1 DEFLEXION MXIMA Cuando una viga simplemente apoyada o una viga con voladizo parcial soporta una carga asimtrica, la deflexin mxima no ocurre generalmente en el centro de la luz. Para calcular dicha deflexin mxima debe localizarse el punto K de la viga, donde la tangente es horizontal, y calcular all la deflexin. El anlisis debe empezar con la determinacin de una tangente de referencia en uno de los apoyos. Dado que la pendiente en el punto K es cero, debe tenerse;

Recordando el primer teorema de rea-momento, se concluye que el punto K puede determinarse mediante el diagrama (M/EI) un rea igual . La

deflexin mxima ymx es igual a la desviacin tangencial tA/K de A con respecto a K. ymx puede obtenerse calculando el primer momento con respecto al eje vertical a travs de A del rea entre A y K. 3. METODO DE TRAMOS Otro mtodo usado para la construccin de diagramas de momentos son las funciones discontinuas, que sirve para construir una funcin continua a tramos. En el caso de que un elemento estuviera sometido a varias fuerzas, cargas y momentos la cantidad de cortes que seran necesarios vuelve al procedimiento tedioso y repetitivo. Si se observa con cuidado, la ecuacin de momento aumenta un trmino4

por cada corte que se realiza debido a la nueva fuerza, carga distribuida o momento que se agrega. El uso de las funciones discontinuas consiste en agregar funciones que se "activen" cuando se llega a cierta posicin (donde antes se colocaba el corte). Estas funciones se definen como sigue:

4. METODO DE MACAULAY

En este mtodo una nica ecuacin similar a la que esta en el comienzo, para toda la viga continua y los trminos entre corchetes se ignoran si son negativos, esta ecuacin tiene una interpretacin fsica y se expresa mediante diagramas de cuerpo libre de la viga completa; se hace un diagrama de cuerpo libre para la longitud completa de la viga donde se ha elegido un valor de x suficientemente grande para comprender todas las cargas y reacciones en el extremo derecho de la viga. Para mantener el equilibrio se han introducido un esfuerzo cortante F y un momento flector Mx, precisamente dado por la anterior ecuacin. Se integra la anterior ecuacin;

+Esta ecuacin debe cumplir las siguientes condiciones;5

x+

Sustituyendo la primera de estas condiciones, y recordando que los trminos entre corchetes se hacen ceros cuando son negativos, se vera que Anlogamente la segunda condicin da: .

Y la tercera condicin da:

. 4.1 PENDIENTE MXIMA En matemticas y ciencias aplicadas se denomina pendiente mxima a la mayor inclinacin de un elemento ideal, natural o constructivo respecto de la horizontal. La pendiente de una recta en un sistema de representacin triangular (cartesiano), suele ser representado por la letra m, y es definido como el cambio o diferencia en el eje Y dividido por el respectivo cambio en el eje X, entre 2 puntos de la recta. En la siguiente ecuacin se describe:

En el clculo de pendiente para vigas con cargas triangulares se utiliza la misma ecuacin de pendiente limitadas entre dos puntos, por la distancia (x) y por la carga (y), es una ecuacin la cual depende de la ubicacin de la pendiente si es ascendente o descendente, y viene dada por las siguientes ecuaciones;6

Pendientes ascendentes:

Pendientes descendentes:

Luego de la obtencin de la pendiente se puede obtener la ecuacin del corte V(x), mediante la integracin de la ecuacin resultante de la pendiente. Mediante la integracin del corte V(x) puede obtenerse ecuacin del momento M(x). DEFORMACIONES EN VIGAS. METODO DE TRABAJO VIRTUAL 1. PRINCIPIO DE BERNOULLI El principio del trabajo virtual fue desarrollado por Jean Bernoulli en 1717 y como otros mtodos de anlisis de energa, se basa en la conservacin de la energa. Cuando un cuerpo esta fijo y se le impide movimiento es necesario que las cargas satisfagan las condiciones de equilibrio y que los desplazamientos satisfagan las condiciones de compatibilidad. Para este caso la conservacin de la energa establece que;

Si solo se considera la conservacin de la energa virtual, el trabajo virtual externo ser igual al trabajo virtual interno efectuado sobre todos los elementos de un cuerpo. En consecuencia la ecuacin de Bernoulli pata trabajos virtuales esta dada por:

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1 = Carga virtual unitaria externa. U =Carga virtual que acta sobre el elemento. =Desplazamiento externo causado por las cargas reales. dL =Desplazamiento interno del elemento en direccin de u, causado por las cargas reales. 1.2 TEOREMA DE BETTI El teorema del ingeniero italiano Betti se present en 1872 y es una versin ms generalizada de lo que es el teorema de Maxwell de las deflexiones recprocas presentado en 1864. Si es el conjunto de desplazamientos correspondientes a la carga P y es

el correspondiente a las cargas P se cumplir:

Supongamos que sobre un cuerpo acta un sistema de fuerzas P que produce deformaciones y una energa de deformacin U igual a un trabajo Te, y dicho sistema de cargas P esta formado por la suma de dos estados de carga que llamaremos P y P .

Cualquiera sea el orden en que se aplican las fuerzas. P; producen Te = U y veamos de aplicar las cargas P de dos formas distintas:8

a) Primero P y luego P

b) Primero P

y luego P

Como los dos estados finales son iguales, tambin lo sern los Trabajos finales y de igualar las expresiones de a) y b) obtendremos:

El trabajo de un estado de cargas en equilibrio P a lo largo de los desplazamientos producidos por otro estado de cargas en equilibrio P es igual al trabajo de las cargas P a lo largo de los desplazamientos producidos por P . 1.3 LEY DE MAXWELL Este Teorema tratado aqu como un caso particular del Teorema de Betti fue enunciado con anterioridad a este ultimo. Betti solo generalizo las conclusiones a que haba llegado Maxwell. Supongamos que en una viga tenemos dos estados de carga y deformaciones, con la salvedad que ambos estados de cargas son unitarios.

Aplicando el teorema de Betti;9

Y siendo ambas cargas unitarias:

12 = 21 El valor del corrimiento de un punto 1 segn una cierta direccin P1 debido a una fuerza unitaria aplicada en 2 segn una direccin P2, es igual al valor del corrimiento en 2 segn la direccin P2, provocado por una fuerza unitaria aplicada en 1 segn una direccin P1. 2. INTEGRAL DE MOHR El desplazamiento en cualquier punto de una barra se puede calcular como:

Donde M1, N1, V1 y T1 representan los esfuerzos en la barra generados por una carga unitaria aplicada en el punto y en la direccin del desplazamiento que se quiere calcular. MTODO DE VERESCHAGUIN. Es la sucesin de la integral Mohr obtenida de la multiplicacin de 2 funciones f y g donde f es una funcin lineal se puede calcular como:

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2.1 TRABAJO VIRTUAL EN ELEMENTOS. Se define como Trabajo Virtual en Elementos, a un campo de desplazamientos, del cual puedan definirse unvocamente todas las deformaciones generalizadas (virtuales en este caso) pero en un caso especifico y relevantes en el problema en estudio. a) En el caso de estructuras de barras articuladas, el campo de desplazamientos se reduce a los desplazamientos de los nodos, ya que con ellos alcanza para definir el desplazamiento de cualquier punto de una barra (por interpolacin lineal de los desplazamientos extremos) y la deformacin (virtual) asociada a cada barra. b) En el caso de estructuras de vigas, resulta necesario definir los desplazamientos de los ejes de las vigas en cada punto de la estructura. Adems para poder calcular las deformaciones generalizadas (deformaciones axiales, curvaturas de flexin y ngulos de torsin) resulta necesario derivar los desplazamientos, por lo cual estos deben ser continuos y derivables. Ms an, para el clculo de curvaturas se requerir que las derivadas primeras de los desplazamientos transversales (giros) sean continuas y derivables. 3. IMGENES CINEMATICAS. La cinemtica para resistencia de materiales es una especificacin matemtica de los desplazamientos de un slido deformable que permite calcular las deformaciones en funcin de un conjunto de parmetros incgnita. El concepto se usa especialmente en el clculo de elementos lineales (vigas) y elementos bidimensionales, donde gracias a la hiptesis cinemtica se pueden obtener relaciones funcionales ms simples. As pues, gracias a la hiptesis cinemtica se pueden relacionar los desplazamientos en cualquier punto del slido deformable de11

un dominio tridimensional con los desplazamientos especificados sobre un conjunto unidimensional o bidimensional. CINEMTICA EN ELEMENTOS LINEALES La resistencia de materiales propone para elementos lineales o prismas mecnicos, como las vigas y pilares, en las que el desplazamiento de cualquier punto se puede calcular a partir de desplazamientos y giros especificados sobre el eje baricntrico. Eso significa que por ejemplo para calcular una viga en lugar de especificar los desplazamientos de cualquier punto en funcin de tres coordenadas, podemos expresarlos como funcin de una sola coordenada sobre el eje baricntrico, lo cual conduce a sistemas de ecuaciones diferenciales relativamente simples. Existen diversos tipos de hiptesis cinemticas segn el tipo de solicitacin de la viga o elemento unidimensional:y

Hiptesis de Navier-Bernouilli, que se usa para elementos lineales alargados sometidos a flexin cuando las deformaciones por cortante resultan pequeas. Hiptesis de Timoshenko, que se usa para los elementos lineales sometidos a flexin en un caso totalmente general ya que no se desprecia la deformacin por cortante. Hiptesis de Saint-Venant para la extensin, usada en piezas con esfuerzo normal para zonas de la viga alejadas de la zona de aplicacin de las cargas. Hiptesis de Saint-Venant para la torsin, se usa para piezas prismticas sometidas a torsin y en piezas con rigidez torsional grande. Hiptesis de Coulomb, se usa para piezas prismticas sometidas a torsin y en piezas con rigidez torsional grande y seccin circular o tubular. Esta hiptesis constituye una especializacin del caso anterior.

y

y

y

y

HIPTESIS CINEMTICA EN ELEMENTOS SUPERFICIALES

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Para placas y lminas sometidas a flexin se usan dos hiptesis, que se pueden poner en correspondencia con las hiptesis de vigas.y y

Hiptesis de Love-Kirchhoff. Hiptesis de Reissner-Mindlin.

3.1 DEFORMACIONES EN PORTICOS ISOSTATICIOS Con un razonamiento similar al que se utilizo para los teoremas de Mohr, para las deformaciones en prticos isostticos evaluaremos las ecuaciones de Navier Bresse para la resolucin de problemas en los prticos isostticos. Se ha considerado el prtico de la figura, con el sistema de referencia indicado, en el que se han presentado dos secciones cualesquiera A y B Partiendo de la ecuacin diferencial de la elstica al integral a lo largo del prtico entre las dos secciones A y B, obtendramos la siguiente ecuacin:

Donde ds es el elemento diferencial del prtico, que a diferencia de la viga, ahora puede tener componentes en X y Y Al integrar la ecuacin anterior entre las secciones A y B, cuando la rigidez Elz se mantenga constante a lo largo del tramo comprendido entre ambas secciones, se puede sacar fuera de la integral obteniendo una nueva ecuacin que permite calcular el ngulo girado por las secciones de un prtico trabajando a flexin simple asi obtendramos la siguiente ecuacin:

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Para calcular los desplazamientos verticales en prticos, se puede aplicar directamente la ecuacin del segundo teorema de Mohr descrita anteriormente; sin embargo para calcular los desplazamientos horizontales que puede experimentar cualquier tramo vertical de un prtico sometido a flexin hay que tener en cuenta los cambios de signos respecto a las que aparecen al calcular los desplazamientos verticales. Cuando se trata de desplazamientos horizontales, el giro positivo de la seccin A da lugar a un desplazamiento horizontal negativo en la seccin B, y anlogamente una curvatura positiva entre las secciones A y B; por lo tanto habr que cambiar los signos de ambos trminos para calcular los desplazamientos horizontales obteniendo la siguiente expresin:

VIGAS HIPERESTATICAS. 1. DEFINIR HIPERESTATICA. Se conoce como estructura hiperesttica, a aquella estructura que en esttica se encuentra en equilibrio, destacando que las ecuaciones que expone la esttica no son suficientes para saber las fuerzas externas y reacciones que posee. La hiperestaticidad se encuentra en varias formas, como las siguientes: Una estructura es internamente hiperesttica, esto se da si las ecuaciones no son suficientes para determinar sus esfuerzos. Una estructura es externamente hiperesttica, esto se da si las ecuaciones no son suficientes para determinar las fuerzas de reaccin que hay desde la estructura al14

suelo. Una estructura es completamente hiperesttica, esto requiere que la estructura sea interna y externamente hiperesttica. 2. METODOS DE TRABAJO VIRTUAL. El principio tratado de diversas formas en la bibliografa es una herramienta poderossima para la esttica y los corrimientos de los cuerpos rgidos o deformables a tal punto las condiciones de equilibrio o de la esttica pueden ser demostradas si se acepta este principio, o por el contrario, a partir de las condiciones de equilibrio el Principio de los Trabajos Virtuales puede ser demostrado. Con otras palabras podemos decir que si un cuerpo est en equilibrio cumplir con el P.T.V. o por el contrario si el cuerpo cumple con este Principio necesariamente est en equilibrio. En la Mecnica Racional se enuncia como: En una partcula en equilibrio bajo un sistema de fuerzas, el trabajo de dichas fuerzas a lo largo de un desplazamiento virtual es nulo Explicitemos que definimos como desplazamiento virtual a un

desplazamiento ideal, arbitrario, pequeo y compatible con los vnculos donde es: y Ideal: real, arbitrario o debido a cualquier causa. y Pequeo: pequeo, pero no necesariamente infinitsimo de manera tal que las ecuaciones no pierdan su linealidad por dicha causa. y Compatible con los vnculos. Los desplazamientos deben cumplir con las condiciones de vinculacin interna o externa de las partculas o el cuerpo.

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Es importante explicitar que el sistema de fuerzas en equilibrio que realiza los trabajos es independiente de los desplazamientos virtuales o de las causas que los producen. Tratemos de pensar en un slido elstico como si fuera una barra sometida a una fuerza externa de traccin de valor P que est formada por partculas elsticas de longitud ds como la AA BB . En una seccin genrica ii las tensiones que produce la carga P nos dar un esfuerzo normal n = que equilibra a P o uno igual y contrario que equivale a P. *. El Demos ahora a la barra un desplazamiento virtual (independiente de la carga P y de los desplazamientos que produce dicha carga) que designaremos como sufriendo las tensiones ds= ds*. En cuanto a los trabajos virtuales que se producen tendremos; Virtual Externo: Te* = P * mientras que en cada partcula AA BB de longitud ds se producir un elemento AA BB , elstico, que imaginamos formado por resortes que estn que nos dan N, sufrirn un alargamiento interno virtual *

Trabajo Virtual Interno:

Y en toda la barra:

Estando el cuerpo formado por todas las partculas y siendo la suma de todos los trabajos nulos:16

Esta ltima expresin no dice que los Trabajos Virtuales Externos e Internos deben ser iguales y de signo contrario y su aplicacin es vlida an en el campo plstico. Aqu tambin algunos autores cambian el signo del Ti* al considerar las solicitaciones equivalentes N y expresan el principio como que el Trabajo Virtual externo es igual al Trabajo Virtual Interno. 3. DISEO DE DIAGRAMA. El clculo de un prtico de vigas continuas constituye un problema comn en el calculista de estructuras, a fines de obtener el armado final de las mismas. La secuencia de clculo a continuacin parece difcil, pero no lo es, slo hay que cuidar el orden y los signos. Si las cargas y luces difieren bastante podemos emplear el Mtodo de Cross, que nos proporciona slo los Momentos definitivos de apoyo. Es ms laborioso pero de buena exactitud. Y despus pasamos a calcular todos los dems valores. METODO DE CROSS La figura muestra un ejemplo con los casos de cargas ms usuales en la prctica con todos los valores hasta la obtencin de los Momentos Definitivos de Apoyos. Las filas de la figura muestran: 1) rigideces de las vigas. 2) los coeficientes de distribucin17

3) los momentos isostticos de apoyo (ver figura anterior) 4) los procesos de aproximaciones sucesivas 5) los Momentos Definitivos de Apoyo

Metodologa del Clculo 1) Se calculan las rigideces suponiendo las secciones constantes de las vigas. r = 1/L, salvo las vigas extremas r= 0.75/L Tramo 1 Tramo 2 Tramo 3 Tramo 4 r=0 r = 1/6 = 0.17 r = 1/7 = 0.14 r= 0.75/ 5 = 0.15

2) Se calculan los coeficientes de distribucin para cada viga segn rigideces (%). Ej: Tramo 3 C3 = 0.14/ (0.14 + 0.15) = 0.4918

Tramo 4

C4= 0.15/ (0.14 + 0.15) = 0.51

3) Se determinan los momentos de empotramiento perfecto de las vigas (se colocan con signo alternado): Tramo 1 : Tramo 2: 6.15 tm carga concentrada : MAp = P x b / L = 4 x 5/ 7 = 4.08 tm MBp = P x a /L = 4 x 2/ 7 = 1.63 tm MAq + MAp = 10.23 tm MBq+ MBp = 7.78 tm MB= q x L2/ 2 = 3 x 4 / 2 = 6.00tm MA=MB= q x L2/12 = 3 x (6)2 / 12 = 9.00 tm MAq=MBq = q x L2 / 12 = 1.5 x (7)2 / 12 =

Tramo 3 carga repartida :

Tramo 4: MA = q x L2 / 8 = 3 x (5)2/ 8 = 9.35 tm

4) Se equilibran los nudos con momentos de igual valor y signo contrario segn los coeficientes de rigidez. Ej: Tramo 2/3: Luego: +9.0 -10.23 = -1.23 ----> 0.54 x (+1.23) = +0.66 ------> 0.46 x (+1.23) = +0.57 -1.23 + 0.66 + 0.57 = 0 (equilibrado)

Se repite para el resto de los apoyos. 5) Se transmiten los momentos al nudo opuesto con la mitad de su valor y el mismo signo. 6) Se repiten los pasos 4) y 5) sucesivamente 7) Equilibrio final de los nudos cuando los valores son ya muy pequeos. 8) Obtencin de los Momentos Definitivos de Apoyo:

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la suma de los valores de las columnas a izquierda y derecha de las verticales deben ser iguales en valor pero con signo contrario. Obtencin de Reacciones Definitivas. Obtenidos los momentos definitivos de apoyo pasamos a calcular los momentos mximos de tramo, para obtener la armadura final de las vigas a la flexin. Las filas de la figura muestran los siguientes valores:

Momentos mximos de tramo Viga 2 (6m) : La posicin del momento mximo (corte nulo) desde el apoyo A es: Xa= RA/ q ---> 8.31tn/ (3tn/m) = 2.77m Mmx= 8.31tn x 2.77m - 3tn/m x 2.77m x 2.77m x 0.5 - 6tn.m Mmx= 5.5 tn.m Viga 3 (7m) : Si la carga puntual est a la izquierda del centro de la luz de la viga, calculamos la posicin de X desde el apoyo derecho (Xb) y viceversa. Xb= RB/ q ---> 6.17/ 1.5 = 4.11m20

Mmx= 6.17tn x 4.11m - 1.5tn/m x 4.11m x 4.11m x 0.5 - 8.46tnm Mmx= 4.2 tnm Viga 4 (5m) : Xa= RA/ q ----> 9.19tn/ 3(tn/m) = 3.06m Mmx= 9.19tn x 3.06m - 3tn/m x 3.06m x 3.06m x 0.5 - 8.46tnm Mmx= 5.6 tnm En la unin viga 4-columna (apoyo derecho) en general el momento negativo vale: M=q (L)2/ 20 M = (3tn/m x 5m x 5m )/ 20 = -3.75 tnm La figura muestra los diagramas de Corte y Momentos Flectores calculados;

COLUMNAS

1. ANALISIS DE EULER Las columnas se definen como miembros que transmiten cargas axiales de compresin. Las columnas, por lo comn fallan por pandeo, esta es una forma de21

inestabilidad. El modelo conceptual es el de un miembro perfectamente recto y cargado en el centro sin cargas laterales ni momentos flectores. El anlisis original de Euler se basa en un problema matemtico que consiste en encontrar la carga axial critica a la cual la columna permanecer en equilibrio esttico en la posicin desplazada, la solucin del problema tambin determina la forma de la curva de deflexin o pandeo. La ecuacin de pandeo resultante del estudio del matemtico suizo Leonhard Euler sobre una columna larga, esbelta y con extremos articulados se define as: Y sus trminos se definen as:

= Carga axial crtica o mxima sobre la columna justo antes de que se comience a pandear. = Modulo de elasticidad del material. = Momento de inercia mnimo del rea transversal de la columna. = Longitud no soportada de la columna, cuyos extremos no estn articulados. La forma pandeada respectiva se define con la ecuacin:

En este caso C1 representa la deflexin mxima que esta en el punto medio de la columna. De igual manera al tomar esta ecuacin la cual es fundamental en la teora del pandeo deben observarse los siguientes aspectos:

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y La carga fundamental de Euler corresponde a una columna articulada T en cada extremo, con los extremos restringidos lateralmente de modo que su movimiento relativo ocurre a lo largo del eje de la carga. y La flexin ocurre con respecto al eje principal para el que el momento de inercia es un mnimo; la articulacin esta colocada en forma correspondiente al eje neutro. y El esfuerzo normal P/A permanece en rango elstico. y La seccin transversal no vara en forma o tamao sobre la longitud de la columna. y Los desplazamientos axiales no intervienen en la solucin. y Se omiten desplazamientos laterales debido a las fuerzas cortantes. y Se define al pandeo como una Fuerza-Desplazamiento. Si se desea obtener una ecuacin para fines de diseo puede obtenerse una forma mas til expresando , donde A es el rea transversal y

es el radio de giro de esa area transversal, entonces:

Donde: Esfuerzo critico o esfuerzo elstico. = Modulo de elasticidad del material. = Longitud no soportada de la columna, cuyos extremos estn articulados.23

Radio de giro mnimo de la columna. El anlisis de Euler se aplica en el estudio de columnas largas. 1.2 TIPOS DE EXTREMOS Los extremos tienen un factor de fijacin que se denomina con la letra K y esta nos mide el grado de limitacin contra la rotacin de cada extremo. a) Extremos articulados: es un caso bsico de pandeo de columna, donde el valor de K=1 y se aplica a columnas con dos extremos de pasador. Un tipo ideal de extremo de pasador es el que permite el giro de la columna en cualquier direccin con respecto al eje del pasador. b) Extremos empotrados: la figura pandeada se arquea hacia afuera a la mitad pero exhibe dos puntos de inflexin donde se invierte la direccin de la curvatura cerca de los extremos, en este tipo de extremo el valor de K=0.5, el cual indica que la columna acta como si fuera solo la mitad de larga de lo que realmente es. c) Extremo empotrado y extremo libre: el extremo de la columna puede girar y tambin trasladarse. Pero como puede moverse en cualquier direccin, este es el peor caso de fijacin de los extremos de una columna. El nico modo prctico de usar una columna con un extremo libre es tener el extremo opuesto fijo. Una columna como esa en ocasiones se conoce como el caso del astabandera, porque el extremo fijo se comporta como un astabandera insertada profundamente en un orificio de ajuste apretado mientras el otro extremo libre puede moverse en cualquier direccin; en estos tipos de extremos el valor terico de K=2, mientras que para casos prcticos K=2.1.

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d) Extremo articulado y extremo empotrado: en este caso la curva de deflexin se aproxima al extremo fijo con una pendiente 0, mientras que el extremo dice pasador gira libremente, el valor terico de K=0.7 y en casos prcticos K=0.8. 1.3 ECUACION DE LA SECANTE. El esfuerzo mximo en la columna puede determinarse al tener en cuenta que se debe tanto a la carga axial como al momento. El momento mximo esta en el punto medio de la columna, debido a la simetra de la carga en el punto medio se halla la deflexin mxima y el esfuerzo mximo. En consecuencia, cuando

donde:

Punto de mxima deflexin.

Cuando una columna resiste una carga excntrica se utiliza la formula de la secante para obtener el esfuerzo mximo que esta puede resistir antes de pandearse.

Donde:

Esfuerzo mximo que soporta la columna. e=Excentricidad de la carga con respecto al centroide de la seccin transversal de la columna.25

c=Distancia del eje neutro a la fibra de la ultima seccin. 2.1 CALCULO DE PANDEO. Un perfil W 8 x 31 de acero A-36 se usa como una columna con extremos articulados. Determine la mxima carga axial que puede resistir sin que comience a pandearse y sin que haya fluencia en el acero. Solucin: Datos adicionales: Inercia de columna A=9,13 pulg, Ix=110 El pandeo viene dado con respecto al eje y , Iy=37.1

Como la columna esta totalmente cargada, el esfuerzo de compresin promedio de la columna es:

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El esfuerzo es mayor que el esfuerzo de fluencia (36 klb/pulg), la carga P se determina con la formula de compresin simple:

Como conclusin. En la prctica se introducira un factor de seguridad en esta carga. 2.2 PANDEO MAXIMO. Es el punto de mayor perturbacin repentina del estado original del equilibrio, produciendo la falla por inestabilidad. Es el resultado de la bifurcacin del equilibrio, que ocasiona en una estructura o un miembro aislado el cambio sbito de una configuracin estable a otra inestable, bajo la accin de una carga crtica. 2.3 CARGA CRTICA. La carga critica es la carga axial mxima que puede soportar una columna cuando esta a punto de pandearse. Esta carga representa un caso de equilibrio neutro; toda carga adicional har que la columna se pandee y en consecuencia se flexione lateralmente. Si tenemos:

; existe un equilibrio estable.

; hay un equilibrio inestable.27

k= esbeltez o rigidez de la columna.

El valor intermedio de P, definido con el requisito crtica. En este caso:

, es la carga

; equilibrio indiferente. El punto de transicin en el que la carga es igual al valor crtico P = Pcr se llama punto de bifurcacin. En ese punto, el mecanismo estar en equilibrio para cualquier valor pequeo de , medido a la izquierda o a la derecha vertical.

2.4 COLUMNAS EXCNTRICAS. Cuando se disea una columna cargada en forma excntrica es preferible ver como interactan las cargas de flexin y axial, para poder alcanzar un balance entre estos dos efectos. Para hacerlo se tendrn en cuenta las contribuciones separada al rea total de las columnas aportadas por la fuerza axial y por el momento. Si el esfuerzo admisible para la carga axial es que la columna soporte la carga P es: , entonces el rea requerida para

De igual manera, si el esfuerzo admisible es determina con la formula de flexin, es decir:

entonces, como I =

Ar, el rea que requiere la columna para soportar el momento de excentricidad se

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El rea total A es necesaria para que la columna resista la carga axial y tambin el momento es;

Donde la ecuacin principal para el clculo y diseo ser;

En estas ecuaciones:

Esfuerzo axial causado por la fuerza P. Esfuerzo de flexin causada por una carga excntrica, o un momento aplicado M; ( se calcula , donde I es el momento de inercia del rea transversal.

Esfuerzo axial admisible, para este fin se debe usar siempre la relacin

de esbeltez mayor para la columna. ( cdigo. 2.5 DISEO DE COLUMNAS CONCENTRICAS Y EXCENTRICAS DE ACERO. CONCENTRICAS Esfuerzo de flexin admisible, definido por las especificaciones de

29

Las columnas de acero estructural se disean hoy con base en las formulas propuestas por el Consejo de Investigacin de Estabilidad Estructural. En esas formulas se han aplicado factores de seguridad, y se adoptan especificaciones para la construccin de edificios por el Instituto Americano de Construccin en Acero. Estas especificaciones indican dos formulas para disear columnas y cada una de ellas determina el esfuerzo mximo permisible en la columna, para determinado intervalo de relaciones de esbeltez. Para columnas largas se propone la formula de

Euler es decir

Para aplicar esta formula se requiere un factor de seguridad que para el diseo;

, asi

Esta relacin se puede aplicar para un relacin de esbeltez acotada por 200 y (KL/r)c. se obtiene un valor especfico de (KL/r)c requiriendo que solo se use la formula de Euler para el comportamiento elstico del material. Se ha determinado mediante experimentos, que pueden existir esfuerzos residuales de compresin en los perfiles de acero conformados por laminacin, que pueden llegar a ser hasta la mitad del esfuerzo de fluencia. En consecuencia si el esfuerzo segn la formula de Euler es mayor que sigue el valor de (KL/r)c. , no se aplica la ecuacin. As se puede determinar como

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Las columnas con relaciones de esbeltez menores que (KL/r)c se disean con base a una formula emprica, de curva parablica que tiene la forma;

Como hay incertidumbre al usar esta formula para columnas mas largas, se divide entre un factor de seguridad que se define as;

EXCENTRICAS El diseo de una columna sometida tanto a carga axial como a carga excntrica se lleva a cabo revisando una o mas secciones tentativas, las cuales pueden determinarse mediante la aplicacin de una carga axial equivalente aproximada. Dicha carga axial equivalente es igual a la suma de las cargas axiales, ms el producto de los momentos flexionantes causados por las cargas excntricas multiplicados por los factores de flexin adecuados. El diseo de una columna con combinacin de carga axial y flexin no es un procedimiento simple. La seleccin de una seccin tentativa mediante este mtodo es siempre conservadora y lo es ms an segn aumenta el cociente entre la carga excntrica y la carga axial, as como la relacin de esbeltez.

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La ecuacin para el clculo y diseo ser;

CONCLUSIN El estudio y comprensin de cada uno de estos mtodos ha reflejado al paso de los aos un gran avance en la Ingeniera Estructural, ya que antes de realizar cualquier obra, plantear algn proyecto es necesario que conozcamos los clculos ir al rea fsico-mecnica por ejemplo; la carga critica a la cual ser sometida una columna, el punto de deflexin mximo que puede alcanzar una viga o las deformaciones de un prtico isosttico, la aplicacin de los teoremas de Maxwell y Betti. Un estudiante de Ingeniera debe tener conocimiento de estos mtodos fundamentales ya que como futuros gerentes de obras, proyectos ser el responsable de poner en practica todos estos factores aprendidos para mantener primeramente la seguridad humana en cualquier tipo de edificacin, innovacin de nuevas estructuras que deben ser estudiadas y comprendidas cumpliendo siempre con las leyes de la esttica si se le requiere o de la dinmica si es necesario tomando en cuenta siempre el primer factor (seguridad humana).

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BIBLIOGRAFA Mott, Robert L. Resistencia de materiales aplicada. 3era edicin. Pearson Prentice Hall. y estructurales de acero. y Singer, Ferdinand L. Resistencia de materiales. 1era edicin. Harper & Row publishers inc. y Hibbeler, Russell Charles. Mecnica de materiales. 6ta edicin. Pearson Prentice Hall. Fratelli, Mara Graciela. Proyectos

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