Viga Postensada de 37m

71.2.2.3.2. DISEÑO DE LAS VIGAS POSTENSADA L=37 m.

Propiedades de la sección neta (viga)

n 13:= Numero de Puntos

i 0 n 1−..:= Rango de 0 a n-1x

i

0.28−0.28−0.10−0.10−0.325−0.325−0.325

0.325

0.10

0.10

0.28

0.28

0.28−0

:= yi

0

0.145

0.33

1.685

1.73

1.85

1.85

1.73

1.685

0.33

0.145

0

0

0

:=

1− 0 10

0.5

1

1.5

yi

xi

h 1.85:= m bt 0.65:= m

A

0

n 2−

i

yi 1+

yi

−( )x

i 1+x

i+

2⋅

∑

=

−:= A 0.51963= m2

xbar1

A−

0

n 2−

i

yi 1+

yi

−

8x

i 1+x

i+( )2

xi 1+

xi

−( )23

+

⋅

∑

=

⋅:= xbar 0=

ybar1

A0

n 2−

i

xi 1+

xi

−

8y

i 1+y

i+( )2

yi 1+

yi

−( )23

+

⋅

∑

=

⋅:= ybar 0.899= m

Ix

0

n 2−

i

xi 1+

xi

−( )y

i 1+y

i+

24⋅

yi 1+

yi

+( )2 yi 1+

yi

−( )2+

⋅

∑

=

:=Ix 0.627= m

4

Ixbar Ix A ybar2

⋅−:= Ixbar 0.207= m4

wb

Ixbar

ybar:= wb 0.231= m

3

wt

Ixbar

h ybar−:= wt 0.218= m

3

Resumen de Propiedades viga Simple:

A 0.5196= m2

Area de Sección Neta vigayt h ybar−:=

yt 0.951= m Distancia c.d.g. de la seccion neta a la fibra superioryb ybar:=

yb 0.899= m Distancia c.d.g. de la seccion neta a la fibra inferiorI Ixbar:=

I 0.2072= m4

Momento de Inercia de seccion neta

wt 0.21782= m3

Modulo resistente seccion neta superior

wb 0.2306= m3

Modulo resistente seccion neta inferior

Rendimiento de la seccion

rI

A:= r 0.632= radio de giro

ρ 0.5> vale para secciones esbeltasρ

r2

yt

yb:=

rendimiento es: ρ 0.4< secciones pesadas

ρ 0.466=

Por tanto el rendimiento de la seccion es optima

PROPIEDADES DE LA SECCION COMPUESTA

El ancho efectivo del patín (be) será el menor de:

L 36.40:= m t 0.18:= m Siendo L la longitud de la viga t el espesor de la losa y S la

separación entre vigas, todo en metros.S 2.4:= m

beL

4:= be 9.1= m

N

L

4

12 t⋅ bt+

S

:= N

9.1

2.81

2.4

= mbe 12 t⋅ bt+:= be 2.81= m

be S:= be 2.4= m

entonces be min N( ):= be 2.40= m

Resistencia a la rotura de la losa:fcL 21:= MPa

Resistencia a la rotura de la viga:fcv 35:= MPa

Factor de Corrección de resistencia:

ηfcL

fcv:= η 0.775=

Area Efectiva de la losa:

AL η be⋅ t⋅:= AL 0.3346= m2

La Inercia de la losa homogenizada será:

IL η be⋅t3

12⋅:= IL 0.0009= m

4

Tomando como referencia la linea superior de la losa se optiene los datos de la sección compuesta.

Brazo = distancia de linea superior de losa al eje neutro del Item

t 0.18:= m espesor de losaItem Brazo

Losa yLt

2:= m yL 0.09= m

Viga yv yt t+:= m yv 1.131= m

ΣA AL A+:= ΣAy AL yL⋅ A yv⋅+:=

ΣA 0.854= m2

ΣAy 0.618= m3

ΣIo IL I+:= ΣAy2 AL yL2

⋅ A yv2

⋅+:=

ΣIo 0.208= m4

ΣAy2 0.668= m4

YtΣAy

ΣA:= Yt 0.723= m Distancia c.d.g. de la seccion compuestas a la fibra superior

Yb h t+ Yt−:= Yb 1.307= m Distancia c.d.g.de la seccion compuesta a la fibra inferior

El momento de inercia de la sección compuesta según Steiner esta dado por:

It ΣIo ΣAy2+ Yt2ΣA⋅−:= It 0.42888= m

4

Módulo Resistente de la sección compuesta:

WbIt

Yb:= Wb 0.3283= m

3Modulo resistente seccion compuesta superior

WtIt

Yt:= Wt 0.5928= m

3Modulo resistente seccion compuesta inferior

Excentricidad aproximada:

e yb 0.1 h⋅−:= e 0.714= m

Resumen de Propiedades Seccion Compuesta:

ΣA 0.854= m2

Area de la seccion compuesta.Yt 0.723= m Distancia c.d.g. de la seccion compuestas a la fibra superior

Yb 1.307= m Distancia c.d.g.de la seccion compuesta a la fibra inferior

It 0.42888= m4

Momento de Inercia de seccion compuesta

Wb 0.3283= m3

Modulo resistente seccion compuesta superior

Wt 0.5928= m3

Modulo resistente seccion compuesta inferior

e 0.714= m Excentricidad aproximada:

Cálculo del preesfuerzo

Resumen de solicitaciones

Mpp 2076.55:= kN m⋅ Momento Peso propio

Mlh 1790.65:= kN m⋅ Momento Losa humeda + capa de rodadura

Md 148.30:= KN m⋅ Momento de Diafragmas .

Mvi 2203.72:= KN m⋅ Momento Carga viva+Impacto

Msup 712.73:= KN m⋅ Momento Postes, barandado, acera y bordillos

Cálculo de tensiones para cada caso

a) Tensiones por cargas permanentes (pesos propios)

Las tensiones correspondientes a los momentos: Mpp, Mlh y Md, se calculan tomando los módulos

resistentes de la sección prefabricada.

M1 Mpp Mlh+ Md+:= M1 4015.5= KN m⋅

fibra superior:

ft1M1

wt

:=N

mm2ft1 18.435= (+)

fibra inferior:

fb1M1

wb

:=fb1 17.413=

N

mm2

(-)

b) Tensiones debidas a las cargas vivas y complementos

En este caso la sección resistente pasa a ser la compuesta por la viga y la losa, por lo tanto debe

tomarse en cuenta los módulos resistentes de esta sección.

M2 Mvi Msup+:= M2 2916.45= N mm⋅

fibra superior:

ft2M2

Wt

:=ft2 4.92=

N

mm2(+)

fibra inferior:

fb2M2

Wb

:=fb2 8.885=

N

mm2(-)

c) Tensiones por pretensión

La fuerza de pretensión inicial necesaria será calculada para una tensión nula en la fibra inferior

tomando en cuenta todas las cargas actuantes.

fbPo

A

Po e⋅

wb

+ fb1− fb2−= siendo fb 0:=

Po A wb⋅fb fb1+ fb2+

wb e A⋅+⋅:=

Por lo tanto:

Po 5239.633= kN

Características de los cables de preesfuerzo

Cables de siete alambres

Diámetro nominal 12.7 m

Area nominal del cable Au 98.7:= mm2

Peso por 1000 pies 2333.26 N

Resistencia a la rotura fs1 1860:= Mpa

Resistencia a la Fluencia fsy 0.9 fs1⋅:= fsy 1674=N

mm2

Esfuerzo de diseño:

1o Posibilidad fs 0.6fs1:= fs 1116=N

mm2

2o Posibilidad fs 0.8 fsy⋅:= fs 1339.2=N

mm2

Usar: fs 1116:=N

mm2

2.3.9.5 Número de cables necesarios

AnecPo 1000⋅

fs:= Anec 4695.012= mm

2

NcablesAnec

Au:= Ncables 47.569= Usar: Ncables 48:=

Areal Ncables Au⋅:= Areal 4737.6= m2

Número y disposición de vainas

Según sistema Freyssinet, las características y dimensiones de los ductos para cables o torones de1/2 plg de 7 alambres, de 8 a 12 torones Φext = 65 mm

Según el reglamento el diámetro interior de las vainas será por lo menos de 1/4 plg mayor que el

diámetro del cable, aspecto que se cumple con:

4 vainas de 2 7/8 plg = 73 mm para alojar 48 cables Φ1/2 plg. grado 270 ksi, 12 en la vaina 1, 12

en las vainas 2, 3 y 4 contando de abajo hacia arriba.

Momento estático

Posición de las vainas en el centro de la viga:

El recubrimiento mínimo de las vainas no puede ser menor de 5 centímetros por lo que podemos

mejorar la excentricidad para un mejor funcionamiento de preesfuerzo.

con: Areal 4737.6= mm2

e 0.714= m

A1 12 Au⋅:= A1 1184.4= mm2

A2 12 Au⋅:= A2 1184.4= mm2

A3 12 Au⋅:= A3 1184.4= mm2

A4 12 Au⋅:= A4 1184.4= mm2

Areal e⋅ A1 yb 312.5−( )⋅ A2 yb 237.5−( )⋅+ A3 yb 162.5−( )⋅+ A4 yb 87.5−( )⋅+=

yb 898.611= mm

eA1 yb 312.5−( )⋅ A2 yb 237.5−( )⋅+ A3 yb 162.5−( )⋅+ A4 yb 87.5−( )⋅+

Areal:=

e 698.61= mm

Posición de las vainas en el apoyo:

La separación mínima entre conos de anclaje debe ser de 30 m. para un buen trabajo del gato

ΣMo 0=

:=

d 300:=

A1 y⋅ A2 d y−( )⋅ A3 2d y−( )⋅+ A4 3 d⋅ y−( )⋅+=

y dA2 2 A3⋅+ 3 A4⋅+

A1 A2+ A3+ A4+⋅:= y 450= m

La fuerza de pretensión inicial necesaria será entonces:

Po A wb⋅fb fb1+ fb2+

wb e A⋅+⋅:=

Po 5308.43= kN

Tensión efectiva de los cables

PcPo

Ncables:= Pc 110.592= kN

TvPc 1000⋅

Au:= Tv 1120.489=

N

mm2

< fs Ok!

Determinación de pérdidas de preesfuerzo

Pérdidas por fricción de los cables

Las pérdidas de fricción en los miembros postensados aparecen por el cambio de angular en los

cables plegados y por la excentricidad de los ductos. Las pérdidas por frición se basarán en los

coefientes experimentales K y µ, para el cálculo de las pérdidas por fricción se tiene:

To Tv ek L⋅ μ α⋅+

⋅=

Para cables de alambre y ducto en contacto directo con el hormigón se tiene los siguientes valores:

k 0.004922:=

μ 0.25:=

k = Coeficiente de fricción en tramos rectos o coeficiente de curvatura secundaria por metro de

longitud.

µ = Coeficiente de fricción por curvatura.

To = Tensión del cable en el extremo del gato

Tv = Tensión del cable en un punto cualquiera x

L = Longitud del cable desde el gato hasta el punto x

α = Variación total angular de la trayectoria del cable en radianes, desde el extremo del gato

hasta un punto x.

Ecuación de la parábola:

X2

L2 Y

e1+

⋅=donde: e 0.699= m

Derivando la ecuación se tiene:

2XdXL2

dY⋅

4e=

dY

dX8e

X

L2

⋅= tan α( )=

Para X=L/2

tan α( ) 4e

L⋅= α atan 4

e

L⋅

:= α 0.077= rad

Tesado un lado

kL

2⋅ μ α⋅+ 0.109= To Tv 1 k

L

2⋅+ μ α⋅+

⋅:= To 1242.326=

FR To Tv−:= FR 121.837=N

mm2

%FRFR 100⋅

Tv:= %FR 10.874= %

Pérdidas por hundimiento en los anclajes

Los hundimientos (h), en los clásicos anclajes Freyssinet para cables 12/5 y 12/7 son de 4 a 6 mm

respectivamente.

En general:

a) Los cables largos se tesan de dos lados y no existe pérdida th a medio cable.

b) Los cables cortos se tesan de un lado y existe un valor de th a medio cable.

Es 191590:=N

mm2

X

Es 6⋅L 1000⋅

2⋅

FR:= X 13104= mm menor a

L 1000⋅

218200= mm

th2 Es⋅ 6⋅

X2 FR⋅−:= th 68.227−=

%thth 100⋅

Tv:= %th 6.089−=

Acortamiento elástico del Concreto (ES)

ES 0.5Es

Eci

⋅ fcir⋅=

Ppi 0.63fs1

1000⋅ Areal⋅:= Ppi 5551.52= kN

fcpi

Ppi

A

Ppi e2

⋅

I+:= fcpi 23758.448= kN/m2

fgMpp e⋅

I:= fg 7000.485= kN/m2

fcir fcpi fg−:= fcir 16757.963= kN/m2

Es 191590:=N

mm2

fc 24.5:= N/mm2

Ec 24001.5

0.043⋅ fcv:= Ec 29910.202= N/mm2

ES 0.5Es

Ec⋅ fcir⋅:= ES 53.672= N/mm2

%ESES

Tv100⋅:= %ES 4.79= %

Contracción del Concreto (SH)

SH 0.8 117.18 1.033 RH⋅−( )⋅= N/mm2

RH 60:= % La humedad relativa media anual de Morochata

SH 0.8 117.18 1.033 RH⋅−( )⋅:= SH 44.16= N/mm2

%SHSH

Tv100⋅:= %SH 3.941= %

Fluencia del Concreto (CRc)

Para miembros pretensados y postensados

CRc 12 fcir⋅ 7 fcds⋅−=

fcds Mlhe

I⋅ Md

e

I⋅+:= fcds 6536.606= kN/m2

CRc 12 fcir⋅ 7 fcds⋅−:= CRc 155.339= N/mm2

%CRcCRc

Tv100⋅:= %CRc 13.86= %

Relajación de los cables (CRs)

CRs 137.9 0.3 FR⋅− 0.4 ES⋅− 0.2 SH CRc+( )⋅−:=

CRs 39.98= N/mm2

%CRsCRs

Tv100⋅:= %CRs 3.568= %

Pérdidas totales

Según la norma AASTHO(art. 9.16.2.2) una estimación total de pérdidas de 227.36 N/mm2

puede usarse, este valor no toma en cuenta la pérdida por fricción.

En nuestro caso:

Σ SH ES+ CRc+ CRs+:= Σ 293.15= N/m m2

muy cercano al recomendado y por lo tanto usamos el valor calculado.

∆fs SH ES+ CRc+ CRs+ FR+ th+:= ∆fs 346.76= N/mm2

%∆fs %SH %ES+ %CRc+ %CRs+ %FR+ %th+:= %∆fs 30.95= %

%∆fs∆fs

Tv100⋅:= %∆fs 30.95= %

Preesfuerzo Final

Pf Tv 1%∆fs

100+

⋅:= Pf 1467.25=N

mm2

= 0.78 fs1<0.8fs1 Ok!

%∆fsm %SH %ES+ %CRc+ %CRs+:=

Pfmi Tv 0.8Σ+:= Pfmi 1355.01=N

mm2

Para miembros postensados segun AASHTO (art. 9.15.1) una tensión a 0.8 fs1 es permitido para

compensar las pérdidas por hundimiento de anclajes y fricción, este esfuerzo es conocido como el

esfuerzo máximo temporal; pero el esfuerzo de servicio no debe exceder de 0.7 fs1 después de

todas las pérdidas.

Las pérdidas por acortamiento elástico tomará lugar gradualmente, si aun quedan tendones por

tesar, por lo que se deduce el factor de 0.5 usado en la fórmula para el cálculo de esta pérdida.

Pn Pf%FR Pf⋅ %ES Pf⋅+ %th+

100−:= Pn 1237.5=

N

mm2 = 0.69 fs1<0.7fs1 Ok!

VERIFICACION DE TENSIONES DEL CONCRETO

P = Fuerza de presfuezo inicial antes de que se produzcan las pérdidas:

PPf

1000Ncables⋅ Au⋅:=

P 6951.247= kN

P1 = Fuerza de preesfuerzo después de las perdidas por fricción, anclaje y acortamiento elástico:

P1Pn

1000Ncables⋅ Au⋅:=

P1 5862.722= kN

P2 = Fuerza de presfuezo final después de todas las pérdidas:

P2 Po:=

P2 5308.43= kN

Verificación para t=0

fc 35:= Mpa

fci 0.8 fc⋅:= fci 28= Mpa

(-)máxima tracción permisible: 0.79 fci⋅ 4.18=

N

mm2

(+)Máxima compresión permisible: 0.55 fci⋅ 15.4=

N

mm2

Fibra superior:

fctP

AP

e

wt

⋅−Mpp

wt

+:= fct 0.616= fct 0.79 fci< CorrectoN

mm2

Fibra Inferior:

fcbP

AP

e

wb

⋅+Mpp

wb

−:= fcb 25.431=N

mm2

fcb 0.55fci> Incorrecto

Debido al sobretensión que se produce en la fibra inferior (compresión) se opta por preesforzar en

dos etapas. El primer preesfuerzo aplicado a la viga se lo realizará en las vainas 1 y 2; este preesfuerzo

debe ser capaz de resistir el peso propio de la viga;losa y diafragmas dejando un segundo preesfuerzo

para resistir las demas cargas.

P3 = Fuerza de preesfuerzo en la 1o etapa.

P3Pf

100024⋅ Au⋅:=

P3 3475.623= kN

La excentricidad de las dos vainas es:

e1 1349:= mm

e2 1049:= mm

e0

e1 e2+

2:= e0 1199= mm

1o PREESFUERZO

Verificación para t = 0

fibra superior:

fctP3

AP3

e0

wt

⋅−Mpp

wt

+:= fct 2.91−=N

mm2(+) fct 0.79 fci< Correcto

Fibra Inferior:

fcbP3

AP3

e0

wb

⋅+Mpp

wb

−:= fcb 15.755=N

mm2(+) fcb < 0.55fci 15.4= Correcto

2o PREESFUERZO

Verificación para t = Intermedio

En esta etapa se considera la pérdia de fricción y acortamiento elástico (no existe pérdida por

hundimiento de anclaje a medio tramo) en las vainas 1 y 2 y se añade el preesfuerzo en la vaina 3

y 4 . Para esto calculamos la nueva fuerza P4

P4 Pn 24⋅ Au⋅ Pf 24⋅ Au⋅+:= P4 6406984.52= N

fibra superior:

fctP4

AP4

e

wt

⋅−M1

wt

+:= fct 10.216=N

mm2(+) Correcto

Fibra Inferior:

fcbP4

AP4

e

wb

⋅+M1

wb

−:= fcb 14.327=N

mm2(+) fcb 0.55fci< Correcto

Verificación para t = oo

máxima tracción permisible: 1.6 fc⋅ 9.466=kN

m2

(-)

Máxima compresión permisible: 0.45 fc⋅ 15.75=kN

m2

(+)

M3 M1 Mpp−:= M3 1938950000= N mm⋅

M2 2916450000= N mm⋅

Mpp 2076550000= N mm⋅

fibra superior:

fctP2

AP2

e

wt

⋅−Mpp

wt

+M3

Wt

+M2

Wt

+:= fct 10.914=N

mm2(+) fct 0.45fc< Correcto

Fibra Inferior:

fcbP2

AP2

e

wb

⋅+Mpp

wb

−M3

Wb

−M2

Wb

−:= fcb 2.501=N

mm2(+) fcb 1.6 fc⋅> Correcto

Verificación de la losa

fctlosa η fct⋅:= η 0.775= fctlosa 8.454= <0.45fclosa = 10.98N

mm2

Ok!

Pérdidas por Fricción y Elongación de los torones en cada vaina

Vaina 1

Pérdida por fricción:

X2

L2 Y

e1+

⋅=

donde: e1 1349= m


2XdXL2

dY⋅

4e=

dY

dX8e

X

L2

⋅= tan α( )=

Para X=L/2

tan α( ) 4e

L⋅= α atan 4

e1

1000

L⋅

:= α 0.147= rad

Tesado por un lado

kL

2⋅ μ α⋅+ 0.126= To Tv 1 k

L

2⋅+ μ α⋅+

⋅:= To 1262.089=

FR1 To Tv−:= FR1 141.599=N

mm2

%FR1FR1 100⋅

Tv:= %FR1 12.637= %

X

Es 6⋅L 1000⋅

2⋅

FR1:= X 12155.335= mm menor a

L 1000⋅

218200= mm

th12 Es⋅ 6⋅

X2 FR1⋅−:= th1 94.057−=

%th1th1 100⋅

Tv:= %th1 8.394−=

Tensión para el gato de la vaina 1 es:

T1 Tv FR1+:= T1 1262.089= N/mm2 = 0.79 fs1

Alargamiento:

L1 18 e1

2⋅

3 L2

⋅+

L⋅:= L1 36.533=

∆L1

L1 1000⋅ T1⋅

Es:= ∆L1 240.66= mm

Vaina 2


X2

L2 Y

e1+

⋅=

donde: e2 1049= m


2XdXL2

dY⋅

4e=

dY

dX8e

X

L2

⋅= tan α( )=

Para X=L/2

tan α( ) 4e

L⋅= α atan 4

e2

1000

L⋅

:= α 0.115= rad

Tesado por un lado

kL

2⋅ μ α⋅+ 0.118= To Tv 1 k

L

2⋅+ μ α⋅+

⋅:= To 1253.012=

FR2 To Tv−:= FR2 132.523=N

mm2

%FR2FR2 100⋅

Tv:= %FR2 11.827= %

X

Es 6⋅L 1000⋅

2⋅

FR2:= X 12564.7= mm menor a

L 100⋅

21820= m

th22 Es⋅ 6⋅

X2 FR2⋅−:= th2 82.067−=

%th2th2 100⋅

Tv:= %th2 7.324−=


T2 Tv FR2+:= T2 1253.012= N/mm2 = 0.79fs1

Alargamiento:

L2 18 e2

2⋅

3 L2

⋅+

L⋅:= L2 36.481=

∆L2

L 1000⋅ T2⋅

Es:= ∆L2 238.059= mm

Vaina 3


X2

L2 Y

e1+

⋅=

donde: e3 749:= mm


2XdXL2

dY⋅

4e=

dY

dX8e

X

L2

⋅= tan α( )=

Para X=L/2

tan α( ) 4e

L⋅= α atan 4

e3

1000

L⋅

:= α 0.082= rad

Tesado por ambos lados

kL

2⋅ μ α⋅+ 0.11= To Tv 1 k

L

2⋅+ μ α⋅+

⋅:= To 1243.868=

FR3 To Tv−:= FR3 123.378=kN

m2

%FR3FR3 100⋅

Tv:= %FR3 11.011= %

X

Es 0.6⋅L 100⋅

2⋅

FR3:= X 1302.202= mm menor a

L 1000⋅2

18200= mm

th32 Es⋅ 6⋅

X2 FR3⋅−:= th3 1518.776=

%th3th3 100⋅

Tv:= %th3 135.546=


T3 Tv FR3+:= T3 1243.868= N/mm2 = 0.79fs1

Alargamiento:

L3 18 e3

2⋅

3 L2

⋅+

L⋅:= L3 36.441=

∆L3

L3 1000⋅ T3⋅

Es:= ∆L3 236.588= mm

Vaina 4


X2

L2 Y

e1+

⋅=

donde: e4 449:= mm


2XdXL2

dY⋅

4e=

dY

dX8e

X

L2

⋅= tan α( )=

Para X=L/2

tan α( ) 4e

L⋅= α atan 4

e4

1000

L⋅

:= α 0.049= rad

Tesado por ambos lados

kL

2⋅ μ α⋅+ 0.102= To Tv 1 k

L

2⋅+ μ α⋅+

⋅:= To 1234.673=

FR4 To Tv−:= FR4 114.184=kN

m2

%FR4FR4 100⋅

Tv:= %FR4 10.191= %

X

Es 0.6⋅L 100⋅2

⋅

FR4:= X 1353.614= mm menor a

L 1000⋅

218200= mm

th42 Es⋅ 6⋅

X2 FR4⋅−:= th4 1470.107=

%th4th4 100⋅

Tv:= %th4 131.202=


T4 Tv FR4+:= T4 1234.673= N/mm2 = 0.79fs1

Alargamiento:

L4 18 e4

2⋅

3 L2

⋅+

L⋅:= L4 36.415=

∆L4

L4 1000⋅ T4⋅

Es:= ∆L4 234.67= mm

Verificación de los momentos

Momento Último Actuante

MD Mpp Mlh+ Md+ Msup+:= MD 4728.23= kN m⋅

ML Mvi:= ML 2203.72= kN m⋅

Mua 1.3 MD 1.67 ML⋅+( ):= Mua 10931= kN m⋅

Según norma AASHTO (art. 9.17.4), se tiene:

b be η⋅ 1000⋅:= b 1859.032= mm

d yt e+ t+:= d 1830= mm

ρAreal

b d⋅:= ρ 0.00139=

fsy 1674=N

mm2

fsu1 fsy 1 0.5 ρ⋅fsy

fc⋅−

⋅:= fsu1 1618.25=N

mm2

Momento Último Resistente

t1 1.4 d⋅ ρ⋅fsy

fc⋅:= t1 170.642= mm t 180= mm t1 t<

Según norma AASHTO (art. 9.17.2):

Mur Arealfsy

1000⋅ d⋅ 1 0.6 ρ⋅

fsu1

fc⋅−

⋅:= Mur 13952579= N m⋅

Mur Mua> Ok!

Máximo porcentaje de acero de preesfuerzo

La norma AASHTO en su artículo 19.8.1 señala que los miembros de hormigón pretensado se

diseñarán de manera que el acero entre en fluencia mientras se acerca su capacidad última, el índice

la armadura será tal que:

ρfsu1

fc⋅ 0.3< ρ

fsu1

fc⋅ 0.064= 0.057 0.3<

Por tanto la falla se producirá en el acero en primera instancia

Análisis de fuerza cortante en las vigas

La fuerza cortante será analizado en dos tramos, para los cuartos exteriores y el centro

Por carga muerta:

peso propio: qpp 12.89:= postes, barandado,

aceras, bordillos:

qsup 4.30:=kN

mkN

m

losa+rodadura: qlh 10.46:=kN

m

qg qpp qlh+ qsup+:= qg 27.65=kN

m

Cortante producido por la carga uniforme será:

para L Qg1

qg L⋅

2:= Qg1 503.23= kN

Cortante producida por los diafragmas será:

Qg2 8.02:= kN

Cortante total será:

Qg Qg1 Qg2+:= Qg 511.25= kN

a h/2 la fuerza cortante será: Vg1 Qg qg 0.029⋅ L⋅−:= Vg1 482.063= kN

a L/4 la fuerza cortante será: Vg2 Qg qgL

4⋅−:= Vg2 259.635= kN

a L/2 la fuerza cortante será: Vg3 0:=

Por Carga viva:

La fuerza cortante máximo calculado en programa es:

Para camión tipo HS20-44

para h/2 qv1 143.55:= kN

para L/4 qv2 107.60:= kN

para L/2 qv3 67.55:= kN

cortante producido por la sobrecarga en las aceras

qsobrecarga 2.90 0.60⋅2

2⋅:= qsobrecarga 1.74=

kN

m

para h/2 Qs1 qsobrecarga 0.471⋅ L⋅:= Qs1 29.831= kN

para L/4 Qs2

qsobrecarga L⋅

4:= Qs2 15.834= kN

para L/2 Qs3 0=

por tanto la fuerza cortante debido a la carga viva será:

para h/2 Vv1 qv1 Qs1+:= Vv1 173.381= kN

para L/4 Vv2 qv2 Qs2+:= Vv2 123.434= kN

para L/2 Vv3 qv3:= Vv3 67.55= kN

Por impacto:

para h/2 VI1 0.3 Vv1⋅:= VI1 52.014= kN

para L/4 VI2 0.3 Vv2⋅:= VI2 37.03= kN

para L/2 VI3 0.3 Vv3⋅:= VI3 20.265= kN

Cortante Último

para h/2 Vmax1 1.3 Vg1 1.67 Vv1 VI1+( )⋅+ ⋅:= Vmax1 1116.015= kN

para L/4 Vmax2 1.3 Vg2 1.67 Vv2 VI2+( )⋅+ ⋅:= Vmax2 685.893= kN

Vmax3 1.3 Vg3 1.67 Vv3 VI3+( )⋅+ ⋅:= Vmax3 190.646= kNpara L/2

Cortante Debido al Preesfuerzo

La componente transversal del preefuerzo en los cables, ocasionan esfuerzos cortantes favorables

que contrarestan las ocasionadas por las cargas exteriores.

La ecuación de la parábola es:

X2

L2 Y

e1+

⋅=

donde: e 698.611= mm


2XdXL2

dY⋅

4e=

dY

dX8e

X

L2

⋅= tan α( )=

Para X=h/2

tan α( ) 3.769e

L⋅= α atan 3.769

e

1000

L⋅

:= α 0.072= rad

para h/2 VD1P2

1000sin α( )⋅:= VD1 382.995= kN

Para X=L/4

tan α( ) 2e

L⋅= α atan 2

e

1000

L⋅

:= α 0.038= rad

para L/4 VD2P2

1000sin α( )⋅:= VD2 203.615= kN

para L/2 VD3 P2 0⋅:= VD3 0= kN

Cortante Absorbido por el Concreto

con: j7

8:= b 180:= mm d yt e+:= d 1650= mm fc 35=

N

mm2

Vc 0.06 b⋅fc

1000⋅ j⋅ d⋅:= Vc 545.737= kN

admVc17.64

1000b⋅ j⋅ d⋅:= admVc 4584.195= kN

Vc admVc<

Cortante Último Actuante

para h/2 Vu1 Vmax1 VD1−:= Vu1 733.02= kN

para L/4 Vu2 Vmax2 VD2−:= Vu2 482.278= kN

para L/2 Vu3 Vmax3 VD3−:= Vu3 190.646= kN

Armadura Resistente al Corte

Los miembros sujetos a cortante pueden ser diseñados con:

Vu ϕ Vc Vs+( )≤

ϕ 0.85:=

donde:

Vu = es la fuerza cortante factorada en la sección de análisis

Vc = es la fuerza cortante nominal absorvida por el hormigón

Vs = es la fuerza cortante nominal resistida por el acero de refuerzo (estribos)

VsAv fy⋅ j⋅ d⋅

S=

Av = area del acero de refuerzo

S = separación entre aceros de refuerzo.

Para los cuartos exteriores de la viga:

con: fy 420:=N

mm2para las barras de acero

VsVu1

ϕVc−:= Vs 316.639= kN

Av 157:= mm2

dos ramasasumiendo Φ10y una separación S 100:= mm

tenemos:

VsiAv fy⋅ j⋅ d⋅

S 1000⋅:= Vsi 952.009= kN > Vs 316.639= kN

USAR eΦ10c/10

S 150:=Para los cuartos interiores de la viga:

VsVu2

ϕVc−:= Vs 21.648= kN Vsii

Av fy⋅ j⋅ d⋅

S 1000⋅:=

Vsii 634.673= kN > Vs 21.648= kN

Según ACI (11.5.5.3) AASHTO (9.20.3.3) el área mínima de refuerzo por cortante para elementos

presforzados y no preesforzados se deberá calcular por medio de:

Avmin 0.35b S⋅

fy⋅:= Avmin 22.5= mm

2

ACI (115.5.4) Para elementos preesforzados que tengan una fuerza de preesfuerzo efectiva no

menor del 40 % de la resistencia a la tensión del acero de refuerzo por flexión, el área del acero de

refuerzo por cortante no debe ser menor que el menor valor de Avmin dado por la ecuación anterior

y la siguiente:

Aps = área del acero preesforzado en la zona de tensión, m2

fpu = resistencia especificada a la tensión de los cables de preesfuerzo, kN/m2

Aps Ncables Au⋅:= Aps 4737.6= m2

fpu fs1:= fpu 1860=kN

m2

AvminAps fpu⋅ S⋅

80 fy⋅ d⋅

d

b⋅:= Avmin 72.185= m

2

USAR eΦ10C/25 estribos U

Para la mitad del tramo:

VsVu3

ϕVc−:= Vs 321.448−= kN

por lo tanto disponer de armadura mínima.

USAR eΦ10C/25 estribos U

Conectores de Corte

En la construcción mixta, el esfuerzo cortante ν entre las porciones precoladas y coladas en el lugarse calcula basándose en la teoría elástica ordinaria, a través de la fórmula:

νV Q⋅

Ib=

donde:

V = esfuerzo cortante total aplicado después de que ha sido colada la porción en el lugar;

Q = momento estático del área de la sección transversal de la porción colada en el lugar con relación

al eje centroidal de la sección compuesta;

I = momento de inercia de la sección compuesta; y

b = ancho del área de contacto entre las porciones precoladas y coladas en el lugar.

Para los cuartos exteriores

V Vu1:= V 733.02= kN

b 63.5:= m

I It:= I 0.429= m4

Q η 250⋅ 19⋅ 48.67719

2+

⋅:= Q 214052.625= m3

νV Q⋅

I b⋅:= ν 5761432.703=

kN

m2

Se utilizarán los siguientes valores para la resistencia a la ruptura por adherencia en las superficies de

contacto:

Cuando se llenan los requisitos mínimos de amarre del acero de (*) 75 lb/plg2 (5.27 kN/m2)

Cuando se llenan los requisitos mínimos de amarre del acero de (*) y la superficie de contacto se

hace rugosa artificialmente, 150 lb/plg2 (10.5 kN/m2)

Cuando los amarres de acero en exceso de llos requisitos de (*) se proporcionan y la superficie de

contacto del elemento precolado se hace rugosa artificialmente, 225 lb/plg2 (1.548 N/mm2).

(*) Todo el refuerzo del alma se extenderá dentro de cubiertas coladas en el lugar. El espaciamiento

de los amarres verticales no será mayor a cuatro veces el espesor mínimo de cualquiera de los

elementos compuestos y, en ningún caso, mayor a 24 plg (60.96 m). El área total de los amarres

verticales no será menor que el área de dos varillas del numero 3 (10 mm) espaciadas a 12 plg

(30.48).

Por tanto para la tercera condición la resistencia llega a ser ampliamente favorable por lo que solo se

deberá extender los estribos U calculados anteriromente.

USAR eΦ10c/25 continuamos con la separación de estribos anteriormente calculados

Para los cuartos interiores

V Vu2:= V 482.278= kN

b 200:= mm

I It 1000000000000⋅:= I 428876618427.896= mm4

Q η be⋅ t⋅ Ybt

2+

⋅:= Q 467319068.2= mm3

νV 1000⋅ Q⋅

I b⋅:= ν 2.628=

N

mm2

Por tanto para la tercera condición la resistencia llega a ser ampliamente favorable por lo que solo se

deberá extender los estribos U calculados anteriromente.

USAR eΦ10c/25

Trayectoria de los cables

La ecuación general es:

Y2

L2

Ya 2 Yb⋅− Yc+( )⋅ X2

⋅1

L3− Ya⋅ 4 Yb⋅+ Yc−( )⋅ X⋅+ Ya+=

A continuación se presenta las coordenas correspondientes a las vainas, ques son redondeadas a los

dos decimales.

Progresiva

cada 1.0 m. Vaina 1 Vaina 2 Vaina 3 Vaina 4

m. cm cm cm cm

0.00 0.15 134.90 104.90 74.90

0.85 1.00 125.30 97.56 69.59

1.85 2.00 115.05 89.36 63.67

2.85 3.00 105.20 81.65 58.10

3.85 4.00 95.97 74.42 52.87

4.85 5.00 87.35 67.67 47.99

5.85 6.00 79.35 61.41 43.47

6.85 7.00 71.96 55.62 39.29

7.85 8.00 65.19 50.32 35.45

8.85 9.00 59.03 45.50 31.97

9.85 10.00 53.49 41.16 28.83

10.85 11.00 48.56 37.31 26.05

11.85 12.00 44.26 33.93 23.61

12.85 13.00 40.56 31.04 21.52

13.85 14.00 37.48 28.63 19.78

14.85 15.00 35.02 26.70 18.38

15.85 16.00 33.17 25.26 17.34

16.85 17.00 31.94 24.29 16.64

17.85 18.00 31.33 23.81 16.29

18.35 18.50 31.25 23.75 16.25

18.85 19.00 31.33 23.81 16.29

19.85 20.00 31.94 24.29 16.64

20.85 21.00 33.17 25.26 17.34

21.85 22.00 35.02 26.70 18.38

22.85 23.00 37.48 28.63 19.78

23.85 24.00 40.56 31.04 21.52

24.85 25.00 44.26 33.93 23.61

25.85 26.00 48.56 37.31 26.05

26.85 27.00 53.49 41.16 28.83

27.85 28.00 59.03 45.50 31.97

28.85 29.00 65.19 50.32 35.45

29.85 30.00 71.96 55.62 39.29

30.85 31.00 79.35 61.41 43.47

31.85 32.00 87.35 67.67 47.99

32.85 33.00 95.97 74.42 52.87

33.85 34.00 105.20 81.65 58.10

34.85 35.00 115.05 89.36 63.67

35.85 36.00 125.52 97.56 69.59

36.70 36.85 134.90 104.90 74.90

Ordenada (cm.)

Determinación de Flechas

El cálculo de las deflexiones debidas a las cargas externas es similar al de las vigas no

preesforzadas. Mientras el concreto no se agriete, la viga puede tratarse como un cuerpo

homogeneo y se le aplica la teoría elástica usual para el cálculo de deflexiones.

Deflexión Admisible

L 36400= mm δL

1000:= δ 36.4= mm

Se pueden considerar dos etapas principales de deformación, en las que se considera la

deformación originada por las cargas actuantes en el proceso de tesado de los cables y la que se

produce posterior a las pérdidas de preesfuezo y cargas adicionales.

Primera Etapa

Deflexión Inicial

Tomese el concreto como un cuerpo libre y sustituyase los cables 1 y 2 con fuerzas que actuan sobre

el concreto.La carga uniforme que actúa a lo largo de la viga será:

w8 F⋅ e⋅

L2

=

Los cables 1 y 2 tendrán una excentricidad e0

e0 1199= mm

F Pn 24⋅ Au⋅:= F 2931361.19= N

w8 F⋅ e0⋅

L2

:= w 21.22=N

mm

Mediante la fórmula de deflexión:

δ5 w⋅ L

4⋅

384 Ec⋅ I⋅=

donde:

Ec = módulo de elasticidad del concretoI = momento de inercia de a sección

Ec 29910.202=N

mm2

I 428876618428= mm4

por tanto la deflexión originada por la fuerza de preesfuerzo será:

δp15 w⋅ L

4⋅

384 Ec⋅ I⋅:= δp1 37.82= mm hacia arriba

Además, habrá dos cargas excentricas actuando en los extremos de la viga y cada una produciendo

Además, habrá dos cargas excentricas actuando en los extremos de la viga y cada una produciendo

un momento M:

MF

2403⋅

F

20⋅+:= M 590669279.15= N mm⋅

Los momento en los extremos producen una deflexión que vale:

δmM L

2⋅

8 Ec⋅ I⋅:= δm 7.626= mm hacia abajo

El peso propio de la viga es:

qpp 12.89=N

mm

El peso propio de la viga produce una flecha igual a:

δg

5 qpp⋅ L4

⋅

384 Ec⋅ I⋅:= δg 22.969= mm hacia abajo

Por tanto la deflexión total inicial será:

δini1 δp1 δm− δg−:= δini1 7= mm hacia arriba

Segunda Etapa

Deformación Inicial

Tomese el concreto como un cuerpo libre y sustituyase los cables 1, 2 y 3 con fuerzas que actuan

sobre el concreto.

F Pn Ncables⋅ Au⋅:= F 5862722.37= N

w8 F⋅ e⋅

L2

:= w 24.73=N

mm

La deflexión originada por la fuerza de preesfuerzo será:

δp25 w⋅ L

4⋅

384 Ec⋅ I⋅:= δp2 44.1= mm hacia arriba

deflexión originada por preesfuerzo, peso propio y se elimina el momento en los extremos.

δini2 δp2 δg−:= δini2 21.1= mm hacia arriba

Deformación secundaria

Tomando el preesfuerzo efectivo se calcula:

w8 P2⋅ e⋅

L2

:= w 22.39=N

mm

δpe5 w⋅ L

4⋅

384 Ec⋅ I⋅:= δpe 39.9= mm hacia arriba

deflexión originada por peso de la losa+capa de rodadura:

w 17.08:=kN

m

δlh5 w⋅ L

4⋅

384 Ec⋅ I⋅:= δlh 30.44= mm hacia abajo

deflexión originada por peso de los diafragmas

Pd 8.02:= kN

δd23 Pd⋅ L

3⋅

648 Ec⋅ I⋅:= δd 1.07= mm hacia abajo

deflexión originada por peso del bordillo, acera poste y baranda:

wsup 14.76:=kN

m

δsup5 wsup⋅ L

4⋅

384 Ec⋅ I⋅:= δsup 26.3= mm hacia abajo

deflexión originada por peso de los diafragmas

δsec2 δpe δlh− δd− δsup−:= δsec2 18−= mm hacia arriba

Deformación final

δfinal δsec2:= δfinal 18−= mm hacia arriba

Bloques finales de anclaje

La zona de anclaje es geométricamente definido como el volúmen de concreto através del cual la

fuerza de pretensión concentrada en el aparato de anclaje propaga tranversalmente a una distribución

de esfuerzo lineal através de toda la sección transversal.

Los bloques extremos tendrán el área suficiente para permitir el espaciamiento del acero de

preesfuerzo. Preferiblemente, serán tan anchos como el patín mas angosto de la viga. Tendrán una

longitud de por lo menos igual a las tres cuartas partes del peralte de la viga y en ningún caso 24 plg

(60.96m).

En los miembros postensados se colocará una malla espaciada cercanamente, tanto las barras

verticales como horizontales, cerca de la cara del prisma (bloque) extremo para resistir el

reventamiento y se colocará un refuerzo espaciado cercanamente, tanto vertical como

horizontalmente, a través de la longitud del prisma.

Para la mayoría de los casos se ha demostrado suficiente suministrar acero para una tensión

transversal total de 0.03F (Y Guyon). Para el postensado, este acero se coloca tan cerca del

extremo como sea posible. Se pueden utilizar mallas de alambre o varillas de acero.

Para soportar la tensión en la zona de desgarramiento se pueden usar estribos o acero en espiral.

Para el refuerzo local bajo el anclaje se adoptan espirales de 9.53 mm (3/8plg) con un paso de 38.1

mm (11/2plg)

La determinación de las tensiones cerca a los anclajes es un problema dificil pra el cual un método

aproximado de cálculo como el de Morsch puede ser utilizado.

TP

2tan α( )⋅=

P

2

d

4

d1

4−

d

2

⋅=

TP

4

d d1−

d

⋅=P

41

d1

d−

⋅=

siendo:

d1/d = Factor de concentración de carga. (0.53)

P = Fuerza total de preesfuerzo por cable.

d1 = ancho del cono de anclaje (16 m)

d = ancho de distribución (30 m)con: P2 5308429.96= N

PP2

3:= P 1769476.65= N

TP

41 0.53−( )⋅:= T 207913.51= N

fy 420=kN

mm2

AsT

fy:= As 495.03= mm

2

USAR 5 ESTRIBOS EN U Φ10 mm

El area requerida de acero de refuerzo en la parilla será:

As0.03 P2⋅

fy:= As 379.174= cm

2

USAR Φ12c/10 Horizontal y Verticalmente

DATOS PARA LA FICHA DE TESADO

Se usara el sistema freyssinet con tendones 10φ1/2" - 270k

Carga minima de rotura 1836.2 kN/tendon

Area del tendon At 987:= mm2

fs1 1860=kN

m2Tension minima de rotura:

Tension de trabajo admisible: fsu 1884.5=kN

m2

Tension temporal maxima: 0.76 fs1⋅ 1413.6=

Fuerza final de tesado: P2 5308429.96= N

Tension de trabajo en CL:P2

Ncables Au⋅1120.489=

N

mm2

OEFICIENTES ADOPTADOS

k 0.004922:=

μ 0.25:=

Gato freyssinet (USA) TIPO L : Area de piston: Ap 34900:= mm2

Coeficiente de fricción: C 1.07:=

Es 191590=

Hundimiento del cono: hc 6:= mm

Colocacion de marcas a 20 cm del anclaje con presion inicial de 50

Presion de cuña en anclaje activo 6500 Psi

Humedad Relativa Ambiente de 57°

FICHA DE TESADO

DESCRIPCION TENDON 1 TENDON 2 TENDON 3 TENDON 3

Tension Inicial T1 1262.089= T2 1253.012= T3 1243.868= T4 1234.673=

Tension Final req Pf 1120.489= Pf 1120.489= Pf 1120.489= Pf 1120.489=

T1 1262.089= T2 1253.012= T3 1243.868= T4 1234.673=Tension gato

kN

m2

Presión Manometro Pm1 38191.384= Pm2 37916.726= Pm3 37640.001= Pm4 37361.782=

N

mm2

Elongación total ∆L1 241= mm ∆L2 238= mm ∆L3 236.59= mm ∆L4 234.67= mm

Viga Postensada de 37m

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