Vida Media de Plutonio
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Un reactor autorregenerador convierte el uranio 238 relativamente estable en el isótopo plutonio 239. Después de 15 años se determina que se desintegró 0,043 % de la cantidad inicial A0 de plutonio. Calcule la vida media de este isótopo si la rapidez de desintegración es proporcional a la cantidad presente. Si A ( t)es la cantidad de plutonio presente en el tiempo t. Entonces, la ecuación diferencial que describe el fenómeno es dA dt =kA,A ( 0 )= A 0 ∫ dN N =¿ ∫ kdt ¿ ln| A| =kt +C A =Ce kt Aplicando la cantidad inicial A 0 =Ce kt Donde C=A 0 La solución para este problema es A ( t) =A 0 e kt Si 0,043 % de los átomos de A 0 se han desintegrado, entonces aún quedan 99,957 % de la sustancia. Para hallar k, sabemos que A ( 15)=0,99957 A 0 ⇔ 0,99957 A 0 =A 0 e 15 k 0,99957=e 15k ln ( 0,99957 ) =15 k Entonces,
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Aplicacion de Ecuaciones diferenciales
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Un reactor autorregenerador convierte el uranio 238 relativamente estable en el isótopo plutonio 239. Después de 15 años se determina que se desintegró 0,043 % de la cantidad inicial A0 de plutonio. Calcule la vida media de este isótopo si la rapidez de desintegración es proporcional a la cantidad presente.
Si A( t)es la cantidad de plutonio presente en el tiempo t. Entonces, la ecuación diferencial que describe el fenómeno es
dAdt
=kA , A (0 )=A0
∫ dNN =¿∫ kdt ¿
ln|A|=kt+C
A=Cekt
Aplicando la cantidad inicial
A0=Cekt
Donde C=A0
La solución para este problema es
A (t )=A0 ekt
Si 0,043 % de los átomos de A0 se han desintegrado, entonces aún quedan 99,957 % de la sustancia. Para hallar k, sabemos que
A (15 )=0,99957 A0⇔0,99957 A0=A0 e15 k
0,99957=e15 k
ln (0,99957 )=15k
Entonces,
k= 115ln (0,99957 )=−0,00002867
Para calcular la vida media,
A ( t )=12A0
⇔12A0
=A0 e−0,00002867 t
12=e−0,00002867 t
ln (12 )=−0,00002867 t
Donde t será igual a
t=ln (2 )
0,00002867=24180años .
