VIBRACIÓN FORZADA DE SISTEMAS DE 1GL

Vibración forzadaVibración: es el movimiento de vaivén que ejercen las partículas de un cuerpo debido a una excitación. 

Vibración forzada:Es la oscilación en presencia de una fuerza externaconstante (es decir, cuyo valor no depende del movimiento) queactúa permanentemente (no sólo en el instante inicial)

Es la vibración resultante de someter un sistema a una fuerza externa.Por ejemplo, la vibración del cigüeñal de un motor durante su funcionamiento. Durante el funcionamiento del motor, el cigüeñal está sometido a unos esfuerzos que le transmite la biela y que generan vibraciones sobre él.

Puede ser amortiguado o no amortiguado

Un sistema de 1 grado de libertad (gdl) :

El numero de grados de libertad(GDL) se un sistema es el numero de parámetros independientes que se necesitan para definir unívocamente su posición en el espacio en cualquier instante en este caso desarrollaremos es sistema de 1 GDL o sea cuando el movimiento es en una sola direccion

Es el mínimo numero de coordenadas requeridas e independientes para determinar completamente la posición de todas las pates de un sistema en un instante

Vibración forzada de 1 grado de libertad

no amortiguadaLas vibraciones no amortiguadas pueden continuar por tiempo indefinido ya que durante el análisis se pueden los efectos de fricción

Se considera que la vibración forzada no amortiguada es uno de los mas importantes tipos de movimiento vibratorio ya que sus principios pueden utilizarse para describir el movimiento de muchas máquinas y estructuras

Para hallar la solución general de estén tipo de vibración tenemos primero que buscar una solución complementaria “xc” y una solución particular ”xp” la solución general será la suma de estas dos soluciones

Para hallar estas soluciones debemos partir de la siguiente ecuación diferencial de segundo grado no homogénea

F0 sen ω0t – kx =

Donde:

M: masa indeformable

K: es un resorte ideal (sin masa) de rigidez k (N/m)que representa el hecho de que el sistema eselástico.

X: Elongación (alargamiento o deformación)

F: Fuerza aplicada a la masa de amplitud F0 y frecuencia forzada W0

De la ecuación anterior se puede obtener:

Para hallar la solución complementaria igualamos sen ω0t a cero y obtenemos que

Xc = C sen(ωn + φ)

Donde

ωn : es la frecuencia natural

Para hallar la ecuación particular tenemos la ecuación

xp = X sen ω0t

Donde

X : es una constante

Al Calcular la segunda derivada con respecto al tiempo y reemplazamos en +x = sen ω0t obtenemos:

-X sen ω0t + ( X sen ω0t ) = sen ω0t

Al desarrollar la ecuación tenemos

X = =

Por lo tanto la ecuación particular será

Xp = sen ω0t

Entonces la solución general es la suma de las dos soluciones antes halladas

X = Xc + Xp

x = C sen(ωn + φ) + sen ω0t

Vibración forzada de 1 grado de libertadamortiguada

Es cuando la vibración de un sistema es disipada El amortiguamiento es un sinónimo de la perdida de energía de sistemas vibratorios. Este hecho puede aparecer como parte del comportamiento interno de un material, de rozamiento, o bien un elemento físico llamado amortiguador

El caso mas general de movimiento vibratorio de un solo grado de libertad ocurre cuando el sistema esta amortiguado y se somete a movimiento forzado periódicoAl existir fuerzas de fricción internas y externas en los cuerpos el movimiento de todos los cuerpos vibratorios es amortiguado

Al conectar un amortiguador ¨c¨ al bloque y el resorte como se muestra en la figura La ecuación que describe este movimiento será la siguiente:

+c+kx=F0 sen ω0t

Donde:

M: masa indeformable

C: es un amortiguador viscoso ideal (sin masa) decoeficiente de amortiguamiento c (Ns/m) querepresenta la disipación de energía que presentatodo fenómeno vibratorio, que es la responsablede que, en general, la vibración vayadisminuyendo a lo largo del tiempo.

K: es un resorte ideal (sin masa) de rigidez k (N/m)que representa el hecho de que el sistema eselástico.

X: Elongación (alargamiento o deformación)

F: Fuerza aplicada a la masa de amplitud F0 y frecuencia forzada W0

Como la ecuación +c+kx = F0 sen ω0t es una ecuación no homogénea la solución general será igual a la suma de la solución complementaria “xc” y la solución particular “xp” como todos los sistemas se someten a fricción esta solución se amortiguara y solo quedara la solución particular que describe la vibración del estado continuo del sitema La solución complementaria se obtiene al igualar a cero la ecuación F0 sen

ω0t Si F0 sen

si

ω0t = 0

Entonces

+c+kx = 0Como la función forzadora es armónica, el movimiento de estado continuo también será armónico. Por lo tanto, la solución particular será de la formaXp = X´ sen(ωn + φ)

Para poder calcular las constantes X´ y φ debemos calcular la primera y segunda derivada y sustituirlas en la ecuación

+c+kx = F0 sen ω0t

luego de simplificar la ecuación nos queda que :

-X´ sen(ω0t - φ´) + X´c cos(ω0t + φ´) + X´k cos(ω0t - φ´) = F0 sen ω0t

Como esta ecuación es valida todo el tiempo, los coeficientes constantes se obtienen con ω0t - φ´ = 0 y ω0t – φ = entonces la ecuación puede ser representada por :

X´c= F0 sen φ´

y

- X´ + X´k = F0 cos φ´

Al elevar estas ecuaciones al cuadrado y sumar los resultados podemos hallar la amplitud

X´ =