Hidraulica de Rios, Socavacion en Rios, Puentes y Carreteras
Verduzco Rios Carlos 2009
159
1 UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO DIVISIÓN DE CIENCIAS FORESTALES USO DE CALC DE OPENOFFICE EN EL ANÁLISIS DE DISEÑOS EXPERIMENTALES TESIS PROFESIONAL QUE COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL TÍTULO DE: LICENCIADO EN ESTADÍSTICA P R E S E N T A: CARLOS VERDUZCO RÍOS Chapingo, Texcoco, Estado de México, Noviembre de 2009
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UNIVERSIDAD AUTNOMA CHAPINGO
DIVISIN DE CIENCIAS FORESTALES
USO DE CALC DE OPENOFFICE EN EL ANLISIS DE DISEOS EXPERIMENTALES
TESIS PROFESIONAL
QUE COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL TTULO DE:
LICENCIADO EN ESTADSTICA
P R E S E N T A:
CARLOS VERDUZCO ROS
Chapingo, Texcoco, Estado de Mxico, Noviembre de 2009
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Esta tesis fue realizada por Carlos Verduzco Ros, bajo la direccin del Dr. Jos Artemio Cadena Meneses. Fue revisada y aprobada por el siguiente Comit Revisor y Jurado Examinador, para obtener el ttulo de Licenciado en Estadstica.
PRESIDENTE
______________________________________
Nombre y firma
SECRETARIO
______________________________________
Nombre y firma
VOCAL
______________________________________
Nombre y firma
SUPLENTE
______________________________________
Nombre y firma
SUPLENTE
______________________________________
Nombre y firma
Chapingo, Texcoco, Edo. de Mxico, Noviembre de 2009
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3
DEDICATORIA
A MIS PADRES... Lorenzo y Mara Concepcin Quienes con su apoyo, cario, consejos y confianza me han otorgado las habilidades y capacidades que me permitirn, el da de maana, enfrentar la vida con xito. Eternamente agradecido, pues de ustedes recib lo ms valioso: El Don de la Vida y la mejor herencia: Mi Carrera Profesional. A MIS HERMANOS (AS) Y FAMILIARES... Gracias por el apoyo, consejos y confianza para seguir adelante en mi persona y mis estudios; y no teniendo otra forma de agradecerles, ms que esforzndome por alcanzar el xito, quiero que sientan que el objetivo logrado tambin es suyo.
AGRADECIMIENTOS A mi alma mater la Universidad Autnoma Chapingo por brindarme la oportunidad de lograr una profesin con valores y tica. Al Jurado calificador: Dr. Jos Artemio Cadena Meneses, M.C. Alejandro Corona Ambiz, M.C. ngel Leyva Ovalle, Dr. Hugo Ramrez Maldonado y Lic. MArgarito Soriano Montero , por dedicar un poco de su valioso tiempo en excelentes observaciones y comentarios durante el desarrollo del trabajo. A todos mis amigos (as) de Chapingo, gracias por esos momentos que pasamos juntos.
Sinceramente
Carlos Verduzco Ros
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4
CONTENIDO
NDICE DE CUADROS.vii
RESUMEN...ix
SUMMARY....x
1. INTRODUCCIN ................................................................................................ 1
2. JUSTIFICACIN ............................................................................................... 14
3. OBJETIVOS ...................................................................................................... 15
3.1. OBJETIVO GENERAL ................................................................................ 15 3.2. OBJETIVOS PARTICULARES .................................................................... 15
4. ANTECEDENTES ............................................................................................. 15
5. PRUEBAS DE HIPTESIS Y CONCEPTOS BSICOS DE DISEOS
EXPERIMENTALES ........................................................................................ 17
5.1. PRUEBAS DE HIPTESIS ................................................................................. 18 5.1.1. Definiciones bsicas ............................................................................. 18 5.1.2. Error Tipo I Y Tipo II ............................................................................. 19 5.1.3. Estadstica de prueba y valores tabulados ........................................... 21 5.1.4. Distribuciones de probabilidad continuas ............................................. 22
5.1.4.1. Distribucin t de Student. ............................................................... 22 5.1.4.2. Distribucin F de Snedecor ........................................................... 23
5.2. CONCEPTOS BSICOS DE DISEOS EXPERIMENTALES ....................................... 24 5.2.1. Definiciones .......................................................................................... 24 5.2.2. Modelo lineal ........................................................................................ 25
5.2.2.1. Conceptos bsicos. ....................................................................... 25 5.2.2.2. Error experimental ......................................................................... 26 5.2.2.3. Modelo lineal general ..................................................................... 27
5.2.3. Supuestos bsicos de los diseos experimentales .............................. 27 5.2.4. Hiptesis a probar ................................................................................ 28 5.2.5. Anlisis de varianza ............................................................................. 28
6. DISEO COMPLETAMENTE AL AZAR (DCA) ................................................. 34
6.1. CARACTERSTICAS ......................................................................................... 34 6.2. VENTAJAS ..................................................................................................... 35 6.3. DESVENTAJAS ............................................................................................... 36 6.4. MODELO LINEAL ............................................................................................ 36 6.5. HIPTESIS A PROBAR ..................................................................................... 36 6.6. ANLISIS DE VARIANZA ................................................................................... 37
-
5
6.7. REGLA DE DECISIN ....................................................................................... 37
7. DISEO COMPLETAMENTE AL AZAR CON SUBMUESTREO ...................... 42
7.1. MODELO LINEAL PARA SUBMUESTREO ............................................................. 42 7.2. HIPTESIS A PROBAR ..................................................................................... 43 7.3. ANLISIS DE VARIANZA CON SUBMUESTREO. NMERO IGUAL DE SUBMUESTRAS. . 43 7.4. REGLA DE DECISIN ....................................................................................... 45
8. DISEO EN BLOQUES COMPLETOS AL AZAR (DBCA) ................................ 50
8.1. CARACTERSTICAS ......................................................................................... 50 8.2. VENTAJAS ..................................................................................................... 50 8.3. DESVENTAJAS ............................................................................................... 51 8.4. MODELO LINEAL ............................................................................................ 51 8.5. HIPTESIS A PROBAR ..................................................................................... 51 8.6. ANLISIS DE VARIANZA ................................................................................... 52 8.7. REGLA DE DECISIN ....................................................................................... 53
9. COMPARACIONES MLTIPLES DE MEDIAS DE TRATAMIENTOS .............. 56
9.1. HIPTESIS A PROBAR ..................................................................................... 57 9.2. DIFERENCIA MNIMA SIGNIFICATIVA (DMS) ...................................................... 58
9.2.1. Ventajas ............................................................................................... 59 9.2.2. Desventajas ......................................................................................... 59 9.2.3. Regla de decisin ................................................................................. 60
9.3. PRUEBA DE TUKEY ........................................................................................ 66 9.3.1. Regla de decisin ................................................................................. 67
9.4. PRUEBA DE DUNCAN ...................................................................................... 73 9.4.1. Regla de decisin ................................................................................. 75
9.5. PRUEBA DE SCHEFF ..................................................................................... 80 9.5.1 Regla de decisin .................................................................................. 81
9.6. PRUEBA DE STUDENT-NEWMAN-KEULS (S-N-K) .............................................. 87 9.6.1. Regla de decisin ................................................................................. 88
10. DISEO EN CUADRO LATINO ...................................................................... 94
10.1. CARACTERSTICAS ....................................................................................... 94 10.2. MODELO LINEAL .......................................................................................... 95 10.3. CONSTRUCCIN DE UN CUADRO LATINO BSICO ............................................. 95 10.4. HIPTESIS A PROBAR ................................................................................... 96 10.5. ANLISIS DE VARIANZA ................................................................................. 96 10.6. REGLA DE DECISIN ..................................................................................... 98
11. DISEO FACTORIAL.................................................................................... 102
11.1. CARACTERSTICAS ..................................................................................... 102 11.2. NOMENCLATURA ........................................................................................ 103 11.3. TIPOS DE DISEOS FACTORIALES ................................................................ 103 11.4. MODELO LINEAL ........................................................................................ 104
-
6
11.5. ANLISIS DE VARIANZA ............................................................................... 108 11.6. DISEO FACTORIAL 2K ................................................................................ 109 11.7. DISEO FACTORIAL 3K ................................................................................ 120 11.8. DISEO FACTORIAL 3K X 2L .......................................................................... 132
12. DISEO EN PARCELAS DIVIDIDAS ............................................................ 142
12.1. CARACTERSTICAS ..................................................................................... 142 12.2. MODELO LINEAL ........................................................................................ 143 12.3. HIPTESIS A PROBAR ................................................................................. 144 12.4. ANLISIS DE VARIANZA ............................................................................. 1454 12.5. REGLA DE DECISIN ................................................................................... 147
13. CONCLUSIONES .......................................................................................... 151
14. BIBLIOGRAFA ............................................................................................. 152
15. APNDICE .................................................................................................... 153
-
7
NDICE DE CUADROS Cuadro 1. Cronologa de las versiones de OpenOffice ......................................... 14
Cuadro 2. Anlisis de varianza para el modelo ieYi . H0: = 0
vs Ha: 0.31
Cuadro 3. Anlisis de varianza para el modelo ieYi . H0: = 0
vs Ha: 0. 32 Cuadro 4. Estructura del anlisis de varianza para el diseo completamente al
azar. ..................................................................................................... 36
Cuadro 5. Datos (en lb/pulgada2) del experimento a la tensin. ........................... 37
Cuadro 6. Diseos experimentales ms comunes y comparacin mltiple de
medias .................................................................................................. 38
Cuadro 7. Diseo completamente al azar. ............................................................ 39
Cuadro 8. Anlisis de varianza para el diseo completamente al azar. ................ 40
Cuadro 9. Estructura del anlisis de varianza para un diseo completamente al
azar con submuestreo. Nmero igual de submuestras. ....................... 43
Cuadro 10. Crecimiento en una semana de tallos de plantas de menta cultivadas
en una solucin nutritiva. ...................................................................... 45
Cuadro 11. Diseo completamente al azar con submuestreo. .............................. 47
Cuadro 12. Anlisis de varianza para el diseo completamente al azar con
submuestreo. ..................................................................................................... 48
Cuadro 13. Estructura del anlisis de varianza para el diseo en bloques
completos al azar. .............................................................................. 51
Cuadro 14. Produccin de tomate en toneladas por hectrea con la aplicacin
de insecticidas .................................................................................... 53
Cuadro 15. Diseo en bloques completos al azar. ................................................ 54
Cuadro 16. Anlisis de varianza para el diseo en bloques completos al azar. .... 55
Cuadro 17. Pruebas de comparaciones mltiples de medias ............................... 61
Cuadro 18. Prueba de la Diferencia Mnima Significativa. .................................... 62
Cuadro 19. Prueba de la Diferencia Mnima Significativa con las medias de
tratamientos ordenados ...................................................................... 63
Cuadro 20. Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores
de las DMS ......................................................................................... 64
-
8
Cuadro 21. Prueba de Tukey. ............................................................................... 69
Cuadro 22. Prueba de Tukey con las medias de tratamientos ordenados ............ 70
Cuadro 23. Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores
de k ................................................................................................... 70
Cuadro 24. Prueba de Duncan .............................................................................. 76
Cuadro 25. Prueba de Duncan con las medias de tratamientos ordenados ......... 77
Cuadro 26. Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores
de Ck ................................................................................................... 78
Cuadro 27. Prueba de Scheff .............................................................................. 83
Cuadro 28. Prueba de Scheff con las medias de tratamientos ordenados .......... 84
Cuadro 29. Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores
de K ................................................................................................... 84
Cuadro 30. Prueba de Student-Newman-Keuls (S-N-K) ....................................... 90
Cuadro 31. Prueba de Student-Newman-Keuls (S-N-K) con las medias de
tratamientos ordenados ...................................................................... 91
Cuadro 32. Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores
de (S-N-K)K ........................................................................................ 91
Cuadro 33. Cuadro latino bsico ........................................................................... 94
Cuadro 34. Estructura del anlisis de varianza para un diseo en cuadro latino .. 96
Cuadro 35. Cuadro Latino aleatorizado (en base a las hileras). ............................ 98
Cuadro 36. Concentracin bacteriana (n de clulas / ml (segn la escala
de Mc Farland 1 x 109)). ..................................................................... 98
Cuadro 37. Diseo en cuadro latino .................................................................... 100
Cuadro 38. Anlisis de varianza para el diseo en cuadro latino. ....................... 101
Cuadro 39. Notaciones para el diseo factorial 22. ............................................. 109
Cuadro 40. Mtodo de Yates para el anlisis de experimentos factoriales 22. .... 109
Cuadro 41. Experimento factorial 23. Rendimientos de Caa en Toneladas
por Hectrea. .................................................................................... 111
Cuadro 42. Estructura del anlisis de varianza para el diseo factorial 23
en bloques completos al azar. .......................................................... 114
Cuadro 43. Tipos de diseos factoriales ms comunes ...................................... 116
-
9
Cuadro 44. Diseo factorial 2k en bloques completos al azar. ............................ 117
Cuadro 45. Anlisis de varianza para el diseo factorial 23 en bloques
completos al azar. ............................................................................ 118
Cuadro 46. Datos de la prdida de jarabe (las unidades son centmetros
cbicos-70) ....................................................................................... 122
Cuadro 47. Estructura del anlisis de varianza para el diseo factorial 33
completamente al azar. ................................................................................... 125
Cuadro 48. Diseo factorial 3k completamente al azar. ....................................... 129
Cuadro 49. Anlisis de varianza para el diseo factorial 33 completamente
al azar. .............................................................................................. 130
Cuadro 50. Nmero de gotas por centmetro cuadrado presentes en el
papel kromekotes. ............................................................................ 132
Cuadro 51. Estructura del anlisis de varianza para el diseo factorial
3 x 22 en bloques completos al azar. ................................................ 135
Cuadro 52. Diseo factorial 3k x 2l en bloques completos al azar ....................... 139
Cuadro 53. Anlisis de varianza para el diseo factorial 3 x 22 en bloques
completos al azar. ............................................................................ 141
Cuadro 54. Estructura del anlisis de varianza para el diseo en parcelas
divididas. .......................................................................................... 144
Cuadro 55. Produccin de caa en toneladas por hectrea. .............................. 147
Cuadro 56. Diseo en parcelas divididas. ........................................................... 148
Cuadro 57. Anlisis de varianza para el diseo en parcelas divididas. ............... 150
-
10
USO DE CALC DE OPENOFFICE EN EL ANLISIS DE DISEOS EXPERIMENTALES
RESUMEN
Actualmente existen en el mercado muchos paquetes de software que permiten
desarrollar un conjunto de aplicaciones para oficina, actividades dentro de la
informtica, siendo Microsoft Office el ms conocido y el que tiene la mayora del
mercado general en el entorno. Sin embargo, otro paquete que est teniendo gran
importancia en el mercado, y competencia del anterior, es el paquete de software
OpenOffice, que es un software libre muy similar a Office.
Este trabajo se realiz con Calc de OpenOffice, que es una herramienta para trabajar
con hojas de clculo, en la cual se resolvieron ejemplos de diseos experimentales y
comparaciones mltiples de medias de tratamientos ms comunes tomados de algunos
libros clsicos de diseos experimentales. Primero se hizo una revisin de pruebas de
hiptesis y conceptos bsicos de diseos experimentales que son muy tiles en el
desarrollo de este trabajo. Despus se desarrollaron los siguientes tipos de diseos
experimentales y comparaciones mltiples de medias de uso ms comn: diseo
completamente al azar balanceado y desbalanceado, diseo completamente al azar con
submuestreo, diseo en bloques completos al azar, comparaciones mltiples de medias
de tratamientos, diseo en cuadro latino, algunos diseos factoriales y el diseo en
parcelas divididas.
Los ejemplos fueron resueltos en forma detallada en Calc de OpenOffice en el archivo
nombrado DISEOS EXPERIMENTALES el cual es parte de este trabajo. Calc de
OpenOffice es muy fcil de usar y de gran similitud con Excel de Microsoft y se puede
trabajar con esta herramienta sin gran dificultad.
Palabras clave: Software, tratamiento, prueba de hiptesis, comparacin de medias.
-
11
SUMMARY
At the moment they exist in the market many software packages that allow developing a
group of applications for office, activities inside the computer science, being Microsoft
Office the good known one and the one that has most of the general market in our
environment. However, another package that is having great importance in the market,
and competition of the previous one, is the software package OpenOffice that is free and
very similar software to Microsoft Office.
This work was carried out with OpenOffice Calc, that is a tool to work with calculation
leaves, in which were solved examples of experimental designs and multiple
comparisons of stockings of treatments more common taken of some classic books of
experimental designs. First it was made a check of hypothesis tests and basic concepts
of experimental designs that will be very useful in the development of this work. Then
the following types of experimental designs and multiple comparisons of stockings were
developed to be of more common use: design totally at random balanced and
desbalanceado, design totally at random with subsampling, design in complete blocks at
random, multiple comparisons of stockings of treatments, design in latin square, factorial
designs and design in divided parcels.
The examples were solved in form detailed in OpenOffice Calc in the file
"EXPERIMENTAL DESIGNS" which is part of this work. Calc of OpenOffice is very
easy of using and of great similarity with Microsoft Excel and one can work with this
tool without great difficulty.
Key words: Software, treatment, hypothesis test, comparison of stockings.
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12
1. INTRODUCCIN
OpenOffice es un software de acceso libre y cdigo abierto; es decir, que se puede
descargar directamente en Internet de forma gratuita en la siguiente direccin:
http://es.openoffice.org/. Otra caracterstica muy importante de este software es el
hecho de ser multiplataforma, puede ser instalado y ejecutado en diversas plataformas
como Linux (en todas sus distribuciones), Mac OS-X (en versin ingls), Free-BSD,
Solaris y Microsoft Windows desde la versin 95.
El paquete contiene las siguientes herramientas:
OpenOffice.org Writer - Herramienta dedicada a la edicin de texto tambin llamado
procesador de textos.
OpenOffice.org Calc - Herramienta para trabajar con hojas de clculo.
OpenOffice.org Impress - Herramienta destinada a crear presentaciones y diapositivas.
OpenOffice.org Draw - Herramienta destinada a crear diagramas, dibujos y grficos.
OpenOffice.org Math - Herramienta para la representacin de frmulas matemticas.
En este trabajo se usaron las herramientas para trabajar con hojas de clculo, Calc de
OpenOffice, las cuales fueron tiles en el anlisis de los diseos experimentales ms
comunes.
OpenOffice Calc es una aplicacin de hojas de clculo que se puede usar para calcular,
analizar y gestionar datos. Una hoja de clculo es una tabla donde cada celda puede
contener alguno de los siguientes tipos de datos: texto, valores numricos, frmulas o
referencias a otros archivos.
-
13
Tambin se pueden importar y modificar hojas de clculo de Microsoft Excel.
OpenOffice Calc incorpora funciones estadsticas y financieras, que se pueden utilizar
para crear frmulas que realicen clculos complejos. En este caso, los clculos son
enfocados a resolver problemas de diseos experimentales.
En la investigacin cientfica, es comn que se formulen hiptesis para luego verificarlas
o rechazarlas directamente, por sus consecuencias. Tal proceso requiere de la
coleccin de observaciones, a travs de un patrn bien definido, el cual constituye el
diseo de un experimento.
Se pueden distinguir dos tipos de experimentos en la investigacin cientfica: los
experimentos absolutos y los comparativos. El primer tipo de experimentos considera la
determinacin de un valor especfico. Los experimentos comparativos, permiten la
comparacin de dos o ms tratamientos, al medir su efecto sobre una determinada
caracterstica de la poblacin. En este trabajo, slo se trataran diseos comparativos
sobre la igualdad de sus tratamientos.
De acuerdo con Cramer (1960), la estadstica tiene tres funciones fundamentales en el
mtodo cientfico: descripcin, anlisis y prediccin. Por descripcin se entiende, el
proceso de reducir una masa de observaciones procedentes de un fenmeno aleatorio,
a un conjunto tan pequeo de valores, como sea posible. El anlisis de la informacin,
se refiere a ciertas funciones de las observaciones, denominadas estadsticos, que
permiten describir en forma compacta a una poblacin, si se cuenta exclusivamente con
informacin a partir de una muestra. Se incluyen tambin en el anlisis, el
establecimiento de criterios de prueba de las hiptesis planteadas por el investigador.
La tercera funcin de la estadstica en el mtodo cientfico, es la prediccin, la cual es
propiamente, el objetivo principal de la aplicacin del mtodo cientfico al estudio de un
fenmeno.
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14
El diseo estadstico de experimentos se refiere al proceso para planear el experimento
de tal forma que se recaben los datos adecuados que puedan analizarse con mtodos
estadsticos para obtener conclusiones vlidas y objetivas.
Los tres principios bsicos del diseo experimental son la aleatorizacin, la realizacin
de rplicas y la formacin de bloques. Por aleatorizacin se entiende que tanto la
asignacin del material experimental como el orden en que se realizarn las corridas o
ensayos individuales del experimento se determinan al azar. La realizacin de rplicas o
repeticin del experimento bsico, permite al experimentador obtener una estimacin
del error experimental y obtener una estimacin precisa sobre el efecto de un factor en
el experimento. La formacin de bloques es una tcnica de diseo que se utiliza para
mejorar la precisin de las comparaciones que se hacen entre los factores de inters.
2. JUSTIFICACIN
El hecho de trabajar con Calc de OpenOffice, es para dar a conocer este software libre
y presentarlo como una opcin para el anlisis de diseos experimentales, ya que a
diferencia de otros paquetes gratuitos, ste es ms fcil de usar, y cualquier usuario
podra hacer uso de l porque no se necesita tener conocimientos sobre lenguajes de
programacin; adems, Calc de OpenOffice es equivalente a Excel de Microsoft Office,
pero a diferencia de ste, OpenOffice es un paquete de cmputo libre, el cual est
disponible en Internet de forma gratuita en la direccin mencionada en la Introduccin, y
se puede hacer uso de este paquete con la intencin de hacer frente al dominio en el
mercado de Microsoft Office y como universidad pblica no depender tanto de este
ltimo, proporcionando una alternativa abierta, sin costo y de alta calidad para el
anlisis de diseos experimentales.
Por lo tanto, es una buena opcin hacer uso de esta herramienta para trabajar con
hojas de clculo y mediante funciones o frmulas realizar clculos y analizar datos de
los diseos experimentales; y que a la vez, este trabajo sirva como apoyo en los cursos
de diseos experimentales que se imparten en las diferentes carreras de la Universidad
-
15
Autnoma Chapingo. Para un mejor uso de estas hojas de clculo, los usuarios deben
tener conocimientos bsicos de estadstica y diseo de experimentos.
3. OBJETIVOS
3.1. OBJETIVO GENERAL
Mostrar el uso de Calc de OpenOffice en el anlisis estadstico de los diseos
experimentales ms comunes.
3.2. OBJETIVOS PARTICULARES
Mostrar que Calc de OpenOffice es una alternativa para resolver problemas
estadsticos y hacer uso de l en lugar de paquetes equivalentes que no sean
libres.
Dar a conocer la forma de usar esta herramienta para trabajar con hojas de
clculo para hacer uso de ella y no depender tanto de un software que no sea
libre.
4. ANTECEDENTES
OpenOffice es una suite ofimtica de software libre y cdigo abierto, desarrollado en un
principio por la compaa alemana StarDivision. El cdigo fue adquirido en 1999 por
Sun Microsystems. En agosto de 1999 la versin 5.2 de StarOffice se hizo disponible de
forma gratuita. El cdigo fuente de la aplicacin est disponible bajo la licencia LGPL-
Lesser General Public License" (Licencia Pblica General Menor)-, la cual puede
aplicar a sus programas tambin. El Cuadro 1 muestra una cronologa de las versiones
de OpenOffice
Cuadro 1. Cronologa de las versiones de OpenOffice
Versin Descripcin Fecha de lanzamiento
Build 638c El primer lanzamiento importante Octubre de 2001
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16
1.0 1 de mayo de 2002
1.0.3.1 ltimo lanzamiento de la lnea 1.0.x 18 de abril de 2003
1.1 2 de septiembre de 2003
1.1.3 4 de octubre de 2004
1.1.5 ltimo lanzamiento de la lnea 1.1.x 14 de septiembre de 2005
1.1.5secpatch Parches de seguridad (macros) 4 de julio de 2006
2.0 Lanzamiento importante 20 de octubre de 2005
2.0.1 21 de diciembre de 2005
2.0.2 8 de marzo de 2006
2.0.3 29 de junio de 2006
2.0.4 13 de octubre de 2006
2.1 12 de diciembre de 2006
2.2 28 de marzo de 2007
2.2.1 12 de junio de 2007
2.3 17 de septiembre de 2007
2.3.1 Actualizacin de estabilidad y seguridad 4 de diciembre de 2007
2.4 27 de marzo de 2008
2.4.1 Junio de 2008
3.0.0 Compatibilidad Office 2007 13 de octubre de 2008
3.0.1 Corrector gramatical 27 de enero de 2009
3.1 Varios 7 de mayo de 2009
3.1.1 Varios 31 de agosto de 2009
Con respecto a los diseos experimentales, el trabajo pionero de Fisher en los aos
1920 y principios de la dcada de 1930, quien estuvo a cargo de la estadstica y del
anlisis de datos de la Estacin Agrcola Experimental Rothamsted, en Inglaterra.
Mostr cmo los mtodos estadsticos y en particular el diseo de experimentos podan
ayudar a resolver problemas sobre las complejas relaciones que pueden existir entre
varias variables. l fue quien desarroll y us por primera vez el anlisis de varianza
como herramienta fundamental para el anlisis estadstico en un diseo experimental.
Las primeras aplicaciones de los mtodos del diseo experimental tienen lugar
principalmente, en la agricultura, la ciencia forestal y la biologa, y como resultado, gran
-
17
parte de la terminologa que hoy se emplea proviene de estos antecedentes. Las
aplicaciones industriales del diseo experimental comienzan en la dcada de 1930, en
la industria textil Britnica. Despus de la Segunda Guerra Mundial, los mtodos de
diseo experimental se introducen en las industrias qumicas y de transformacin de
Europa y E.U.
Hoy da su aplicacin se ha generalizado al mundo industrial, agrcola, forestal,
biolgico, de las ciencias de la salud, etc.
5. PRUEBAS DE HIPTESIS Y CONCEPTOS BSICOS DE DISEOS EXPERIMENTALES
Este trabajo se realiz haciendo uso de Calc de OpenOffice para resolver ejemplos de
los diseos experimentales ms comunes. Por tanto, primero se comenz con una
descripcin general sobre pruebas de hiptesis y de los diseos experimentales.
En los captulos siguientes se contino con el desarrollo detallado de cada tipo de
diseo experimental, y se resolvi un ejemplo en Calc de OpenOffice. Los ejemplos
fueron tomados de libros clsicos de diseos experimentales. Los tipos de diseos
experimentales que se abordaron fueron: diseo completamente al azar balaceado y
desbalanceado, diseo completamente al azar con submuestreo, diseo en bloques
completos al azar, comparaciones mltiples de medias de tratamientos, diseo en
cuadro latino, algunos diseos factoriales y el diseo en parcelas divididas.
Durante el anlisis de los diferentes diseos experimentales, los ejemplos que se
presentan fueron resueltos con Calc de OpenOffice, lo cual es el objetivo de este
trabajo. Por tanto, tambin se proporciona una forma muy detallada de cmo manejar
estas hojas de clculo, para que el lector sea capaz de poder hacer uso de las mismas
y que a la vez le sirva como un manual de Calc de OpenOffice para resolver problemas
de los diseos experimentales ms comunes.
-
18
Debido a que la mayora de los mtodos estadsticos que se exponen en los captulos
siguientes de diseos experimentales, se caracterizan por el contraste de juegos de
hiptesis en la solucin de problemas especficos, se muestra una breve exposicin de
las pruebas de hiptesis estadsticas, de las distribuciones de probabilidad asociadas
con estas pruebas de hiptesis y de algunos conceptos bsicos de diseos
experimentales, que fueron necesarios para el desarrollo de este trabajo, tomados de
libros de diseos experimentales de los siguientes autores: Castillo (2003), Cochran y
Cox (1980), Fisher (1960), Infante y G. (1990), Martnez (1983), Montgomery (2007),
Scheff (1959), y Steel y Torrie (1988).
5.1. Pruebas de hiptesis
Se hace uso de las pruebas de hiptesis estadsticas para probar la adecuacin de un
modelo especfico, la igualdad de los resultados de distintos tratamientos en un diseo
experimental, el cumplimiento de los supuestos bsicos del modelo o diseo
experimental elegido, entre otras situaciones comunes. En los captulos siguientes se
usaron las pruebas de hiptesis estadsticas para mostrar la igualdad de los resultados
de distintos tratamientos, en un diseo experimental.
5.1.1. Definiciones bsicas
Hiptesis: Aseveracin que se hace acerca de un fenmeno.
Prueba de hiptesis: Mtodo estadstico que se emplea para determinar si una
hiptesis es verdadera o falsa.
A continuacin se definen los elementos esenciales que deben conformar una prueba
de hiptesis.
Hiptesis a probar: Consiste en dos planteamientos que se contraponen: la hiptesis
nula y la hiptesis alternativa. La hiptesis nula es aquella que el investigador est
-
19
dispuesto a sostener como cierta; se representa como H0. La hiptesis alternativa es
aquella que se contrapone a la hiptesis nula; se representa por Ha.
Estadstica de prueba: Es una frmula estadstica que, con base en los datos
experimentales, permite obtener un dato (valor calculado) que es comparado contra un
valor de tabla (valor tabulado) de la distribucin de probabilidad con la que se relaciona
la estadstica de prueba.
Regla de decisin: Determina la forma en que se deben relacionar el valor calculado y
el valor tabulado de la distribucin de probabilidad de donde provienen los datos
experimentales para rechazar o no la hiptesis nula (H0).
Conclusin: Habiendo rechazado o no la hiptesis nula (H0) se deben establecer las
conclusiones pertinentes con base en el estudio o experimento que se realiza.
Note que en las definiciones anteriores se utiliza la idea de no rechazar en lugar de la
idea de aceptar. Lo anterior se debe al hecho de que las pruebas de hiptesis se
realizan suponiendo un componente aleatorio en los datos experimentales y por lo tanto
no se tiene la entera seguridad de la certeza o seguridad de la H0, por lo que es ms
correcto emplear el no rechazo que la total aceptacin.
Una prueba de hiptesis permitir el rechazar o no rechazar la hiptesis nula (H0). Si se
rechaza a H0 implica que sta es falsa y no se rechaza a Ha. Si no se rechaza a H0
implica que sta es verdadera y se rechaza a Ha. El enunciado de la hiptesis que no es
rechazada servir de base para dar las conclusiones finales de la prueba de hiptesis.
5.1.2. Error Tipo I Y Tipo II
Cualquier estadstica de prueba est asociada a una distribucin de probabilidad
especfica, por lo que una prueba de hiptesis est sujeta a errores atribuibles al azar.
-
20
Comnmente se llegan a presentar dos tipos de errores en las pruebas de hiptesis:
Error tipo I y Error Tipo II.
Los errores anteriores se definen de la siguiente forma:
Error Tipo I = Rechazar H0 cuando es cierta.
Error Tipo II = No rechazar H0 cuando es falsa.
Cuando H0 es verdadera y no se rechaza se est tomando la decisin correcta. Cuando
H0 es verdadera y se rechaza se est cometiendo un Error Tipo I. Cuando H0 es falsa y
se rechaza se est tomando la decisin correcta. Cuando H0 es falsa y no se rechaza
se est cometiendo un Error Tipo II.
Se desean pruebas de hiptesis en las cuales las probabilidades asociadas a ambos
tipos de errores sean mnimas. Bajo un enfoque probabilstico los errores mencionados
se expresan como:
P[Error Tipo I] = P[Rechazar H0 cuando es cierta]
= (nivel de significancia de la prueba de hiptesis)
P[Error Tipo II] = P[No rechazar H0 cuando es falsa] = .
En trminos prcticos, el nivel de de significancia () se define como el mximo valor de
la probabilidad de Error Tipo I que el experimentador est dispuesto a aceptar al
ejecutar una prueba de hiptesis. Bajo esta definicin es deseable que tome valores
lo ms pequeos posible. Los valores del se expresan en decimales y los ms
comunes en una prueba de hiptesis son 0.1, 0.05, 0.025 y 0.01.
La confiabilidad es un trmino de uso comn en las pruebas de hiptesis y puede ser
definida como la probabilidad de que no ocurra un Error Tipo I. Sus valores se expresan
en porcentaje.
-
21
Bajo la definicin anterior se puede relacionar al y a la confiabilidad mediante la
frmula:
P[Error Tipo I] + P[No Error Tipo I] = 1
+ confiabilidad = 1.
Una confiabilidad del 90% implica un = 0.1; una confiabilidad del 95% implica un =
0.05; una confiabilidad del 97.5% implica un = 0.025 y una confiabilidad del 99%
implica un = 0.01.
5.1.3. Estadstica de prueba y valores tabulados
Las pruebas de hiptesis se sustentan en supuestos acerca de la distribucin de
probabilidad de donde provienen los datos experimentales. En algunas pruebas de
hiptesis se supone de inicio que los datos experimentales tienen una distribucin
Normal [X~N (, 2)], una distribucin Poisson [X~P ()], etc.
En una prueba de hiptesis, al utilizar la estadstica de prueba, es necesario realizar
operaciones de suma, resta, divisin, multiplicacin o potenciacin sobre los datos
experimentales. Al ejecutar tales operaciones se realiza un proceso anlogo al de una
conversin, por ejemplo, de unidades fsicas, es decir, el valor final que se obtiene no
presenta la distribucin de probabilidad que tienen los datos experimentales sino una
distribucin de probabilidad diferente. Los mecanismos mediante los cuales es posible
transformar una distribucin de probabilidad en base a operaciones matemticas y
lgicas son dados por el rea de conocimiento denominada lgebra de Variables
Aleatorias.
En gran cantidad de las pruebas de hiptesis de uso generalizado se tienen estadsticas
de prueba que generan valores pertenecientes a distribuciones de probabilidad
continuas (t de Student, F de Snedecor, etc). El problema principal consiste en que la
mayora de las funciones de probabilidad continuas, al intentar integrarlas, no admiten
-
22
una solucin analtica, por lo que se hace uso de tablas de probabilidades especficas
con el fin de poder ejecutar la prueba de hiptesis.
5.1.4. Distribuciones de probabilidad continuas
5.1.4.1. Distribucin t de Student.
En algunas pruebas de hiptesis, que se expondrn en los captulos siguientes, se
supone que los datos experimentales, o los errores que se generan, tienen una
distribucin Normal con media y varianza 2 [X~N (, 2)]. Bajo este supuesto, las
estadsticas de prueba correspondientes generan valores que tienen una distribucin de
probabilidad t de Student.
La distribucin t de Student es parecida a la distribucin Normal Estndar debido a que
tambin es simtrica y tiene una media igual a cero. La principal diferencia se da por el
hecho de que la distribucin t de Student tiene mayor rea de probabilidad en las colas
que la distribucin Normal Estndar. La funcin de probabilidad correspondiente no
admite una solucin analtica, por lo que existe una tabla especfica para el clculo de
probabilidades (Tabla I del Apndice).
En las pruebas de hiptesis se utiliza el cuantil t de Student como el valor tabulado
contra el que se compara el valor calculado, y se representa por t(v), donde es el
nivel de significancia de la prueba de hiptesis y v son los grados de libertad de la
distribucin t de Student.
Cuantil t de Student: Valor de la distribucin t de Student con v grados de libertad tal
que la probabilidad de un valor mayor es igual a .
-
23
Grados de libertad: Variables independientes con las que se calcula la estadstica de
prueba menos el nmero de parmetros que van a ser contrastados en una prueba de
hiptesis.
Si se quiere encontrar el cuantil t0.05(7) entonces se debe localizar, en la Tabla I del
Apndice, el valor 7 en la columna marcada como v y desplazarse hacia la derecha
hasta la columna de que presente el valor 0.05, el dato ubicado en dicha columna es
el cuantil buscado, en este caso t0.05(7) = 1.9.
5.1.4.2. Distribucin F de Snedecor
En algunas pruebas de hiptesis, que se expondrn en los captulos siguientes, se
supone que los datos experimentales o los errores que se generan tienen una
distribucin Normal con media y varianza 2 [X~N (, 2)]. Bajo este supuesto, las
estadsticas de prueba correspondientes generan valores que tienen una distribucin de
probabilidad F de Snedecor.
La distribucin F de Snedecor presenta formas variadas, por lo general asimtricas, que
dependen de los grados de libertad asociados. Esta distribucin de probabilidad tiene la
caracterstica de estar asociada con dos tipos de grados de libertad conocidos como
grados de libertad del numerador y del denominador. La funcin de probabilidad
correspondiente no admite una solucin analtica por lo que existe una tabla especfica
para el clculo de probabilidades (Tabla II del Apndice).
En pruebas de hiptesis se utiliza el cuantil F como el valor tabulado contra el que se
comparar el valor calculado, y se representa por F(v1, v2), donde es el nivel de
significancia de la prueba de hiptesis, v1 son los grados de libertad del numerador y v2
son los grados de libertad del denominador de la distribucin F de Snedecor.
Si se quiere encontrar el cuantil F0.05(8,10) entonces se debe localizar, en la Tabla II del
Apndice, el valor 8 en la columna marcada como grados de libertad v1, y a partir de
-
24
ese valor avanzar hacia abajo hasta la fila de los grados de libertad v2 que tiene el valor
10; en este sitio se localizan cuatro valores correspondientes a los cuantiles de la
distribucin F de Snedecor a un de 0.1, 0.05, 0.025 y 0.01, respectivamente, entonces
se elige el cuantil al deseado; en este caso F0.05(8,10) = 3.07.
5.2. Conceptos bsicos de diseos experimentales
5.2.1. Definiciones
Experimento: Procedimiento que permite obtener una observacin de algn fenmeno
de inters.
Tratamiento: Sustancia, individuo, elemento u objeto cuya accin o efectividad se
desea evaluar y comparar.
Unidad Experimental: rea fsica mnima sobre la cual se aplica un solo tratamiento.
Variable respuesta: Dato o medida que se cuantifica en cada unidad experimental y
cuyos valores permiten evaluar la accin o efectividad de los tratamientos y hacer
comparaciones entre estos.
Diseo experimental: Conjunto ordenado de normas, procedimientos y clculos que
orientan acerca de la forma en que deben disponerse las unidades experimentales en el
campo o laboratorio, la forma en que deben colocarse los tratamientos en las unidades
experimentales, la manera en que deban recopilarse y analizarse los datos
experimentales, para as obtener informacin relevante y con un alto grado de
confiabilidad basado en los datos arrojados por la variable respuesta.
Existe un gran nmero de diseos experimentales para solucionar problemas
especficos, en esta tesis slo se abordaron por considerarse de uso ms comn los
-
25
siguientes diseos experimentales y comparaciones mltiples de medias de
tratamientos:
Diseo completamente al azar balanceado y desbalanceado.
Diseo completamente al azar con submuestreo.
Diseo en bloques completos al azar.
Comparaciones de mltiples de medias de tratamientos.
o Diferencia Mnima Significativa (DMS).
o Prueba de Tukey.
o Prueba de Duncan.
o Prueba de Scheff.
o Prueba de Student-Newman-Keuls (S-N-W).
Diseo en cuadro latino.
Diseos factoriales.
Diseo en parcelas divididas.
Repeticiones: Nmero de unidades experimentales en las cuales se aplica un mismo
tratamiento. Si un tratamiento especfico se aplica en siete unidades experimentales se
dice que est repetido siete veces o que hay siete repeticiones del tratamiento.
Testigo: Consiste, por lo general, en una unidad experimental en la cual ninguno de los
tratamientos utilizados en el experimento es probado, y cuyo valor obtenido para la
variable respuesta permitir medir la accin o efectividad de los tratamientos.
5.2.2. Modelo lineal
5.2.2.1. Conceptos bsicos.
Modelo lineal: Es un modelo matemtico en donde la relacin principal entre los
trminos que lo componen se da bsicamente mediante sumas y restas.
-
26
Modelo no lineal: Es un modelo matemtico en donde la relacin principal entre los
trminos que lo componen se da bsicamente mediante multiplicaciones, divisiones y
potencias.
Los modelos matemticos empleados para representar algunos mtodos estadsticos
(como en los diseos experimentales) son modelos estadsticos de tipo lineal, ya que la
relacin principal entre los trminos que lo componen se da mediante sumas y restas.
5.2.2.2. Error experimental
Para unidades experimentales que han recibido el mismo tratamiento, constituye las
diferencias que se presentan entre cada uno de los valores obtenidos en la variable
respuesta y la media del tratamiento. Estas diferencias son de naturaleza aleatoria y se
desconocen las causas que las originan. Es un error estadstico, lo que significa que es
un producto de una variacin incontrolable y generalmente inevitable.
Normalmente, slo una pequea parte del error experimental puede ser atribuido a
errores en la medicin. Efectos importantes pueden quedar ocultos total o parcialmente
por el error experimental y a la inversa, a causa del error experimental el investigador
puede equivocarse y creer en la influencia de efectos que no existen.
En el modelo lineal, el error experimental es representado mediante el trmino de error
aleatorio, ya que ambos trminos, en el desarrollo de los siguientes temas, sern
equivalentes.
Es importante hacer notar que todos los valores que se obtengan para una variable
respuesta sern determinados en parte por el trmino de error aleatorio; no es posible
que los datos experimentales se sustraigan del efecto del trmino de error aleatorio
(error experimental). La importancia principal de este trmino se da cuando se supone
un valor tal que determina en mayor medida la magnitud de la variable respuesta, ya
que as no ser posible detectar diferencias entre tratamientos. Se espera que el valor
-
27
del trmino de error deba ser muy semejante para cada uno de los datos de la variable
respuesta en el experimento, por lo que se supone que los errores experimentales
tienen una distribucin Normal con media cero y varianza 2, y son independientes
entre s, es decir, eij~NI (0, 2).
5.2.2.3. Modelo lineal general
El modelo lineal general para los diseos experimentales puede ser escrito como:
aleatorio.error del Trmino
al.experiment diseo elen considerar a Efectos
general medio Efecto
respueta. variablela deValor Y
donde
ij
ij
ij
e
eY
i
iij
Los subndices para la variable respuesta (Y) y el trmino del error aleatorio ( e )
dependern del nmero de efectos a considerar en el diseo experimental () y del
nmero de repeticiones.
5.2.3. Supuestos bsicos de los diseos experimentales
Tomando como base lo expuesto en la seccin 5.2.2 es posible determinar los
supuestos bsicos de los diseos experimentales en general:
Existe homogeneidad de varianza entre tratamientos (todos los tratamientos
tienen igual varianza).
Los errores tienen distribucin Normal con media cero y varianza 2, y son
independientes entre s (no estn correlacionados), es decir, eij~NI (0, 2).
-
28
5.2.4. Hiptesis a probar
Bajo los supuestos mencionados es posible realizar pruebas de hiptesis acerca de los
efectos de los trminos del modelo lineal en un diseo experimental especfico. Con
excepcin del efecto medio general (), los dems trminos en un modelo lineal
especfico reciben la denominacin de fuentes de variacin. En los diseos
experimentales se prueban diferentes pares de hiptesis, dependiendo del nmero de
fuentes de variacin a analizar. La hiptesis nula (H0) siempre postula la igualdad entre
los diferentes niveles de una fuente de variacin, mientras que la hiptesis alternativa
(Ha) siempre postula que al menos uno de los niveles de la fuente de variacin produce
un efecto diferente. Es importante mencionar que, en cualquier diseo experimental,
para el trmino de error aleatorio no se realizan pruebas de hiptesis, sino que se
constituye en un elemento bsico para probar las hiptesis de las fuentes de variacin
restantes.
5.2.5. Anlisis de varianza
En un diseo experimental la tcnica estadstica que se emplea para contrastar las
hiptesis derivadas del modelo lineal es el anlisis de varianza. Para un experimento
especfico el anlisis de varianza determina, con un alto grado de confiabilidad, si la
diferencia entre los valores que toma la variable respuesta se debe realmente al efecto
de alguna de las fuentes de variacin involucradas o a efectos aleatorios (determinados
por el azar). El anlisis de varianza es el estadstico de prueba para el contraste de
hiptesis acerca de las fuentes de variacin en un diseo experimental.
A manera de ejemplo se muestra el mtodo y la lgica del anlisis de varianza en el
siguiente modelo lineal generalizado:
-
29
aleatorio.error del Trmino
general medio Efecto
respueta. variablela deValor Y
donde
i
i
i
e
eYi
El anlisis de la varianza descansa fundamentalmente en el estudio de la variabilidad
de las observaciones. En este modelo es claro que:
t1,2,...,i ; i iYe
Es decir, un error es la diferencia entre una observacin y el valor verdadero del
parmetro. Ahora se parte de ese error en dos componentes mediante la igualdad
trivial:
)()( YYYY ii
La igualdad anterior, a pesar de su sencillez, es de extraordinaria importancia en
nuestro desarrollo. Una forma de interpretarla es diciendo que un error est compuesto
por la desviacin de una observacin con respecto a la media muestral, sumada con la
distancia entre la media muestral y la media poblacional. Adems de la igualdad
anterior se sigue que:
22 )]()[()( YYYY ii
Puesto que la igualdad anterior es cierta para todas y cada una de las observaciones Y i
(i=1,2,,t), podemos escribir:
t
i
i
t
i
i YYYY1
2
1
2 )]()[()(
y mediante la aplicacin de reglas ya conocidas obtenemos la siguiente igualdad:
t
i
t
i
ii
t
i
t
i
i
t
i
i
t
i
i
YYYYtYY
YYYYYYY
1 1
22
1 11
22
1
2
)()(2)()(
)()(2)()()(
0)( que ya )()( 11
22t
i
i
t
i
i YYYtYY
Por tanto, se ha llegado al siguiente resultado:
-
30
t
i
i
t
i
i YtYYY1
22
1
2 )()()(
en donde se nota que la particin del error ie en dos componentes ha llevado a una
expresin similar que involucra sumas de cuadrados de las desviaciones originalmente
desarrolladas. Por esta razn las tres componentes de la ecuacin a la que se lleg se
les llama Sumas de Cuadrados. Bajo la suposicin de que: Y1,,Yt es una muestra
aleatoria de ) ,(2N , dichas sumas de cuadrados tienen distribuciones probabilsticas
muy sencillas de derivar, y pueden usarse para generar un procedimiento para probar
hiptesis sobre . Con objeto de derivar las distribuciones de las sumas de cuadrados
dividimos todos los trminos de la ecuacin anterior por 2, obteniendo:
t
i
it
i
i YtYYY
12
2
2
2
12
2)()()(
De la ecuacin anterior es fcil obtener las distribuciones correspondientes. En efecto,
puesto que cada Yi ~N(, 2), es claro que:
2
iY ~N(0, 1) de donde 2
2)( iY ~2
)1(
Adems, puesto que las Yi son independientes, y usando la propiedad aditiva de la
distribucin Ji- cuadrada, se obtiene:
2
)(
12
2
~)(
t
t
i
iY
El segundo resultado se obtiene de nuestras suposiciones, la distribucin de la media
muestral es ) ,(2 tN y, por lo tanto, la media estandarizada tiene distribucin Normal
estndar. Esto es: )(Yt
~N(0, 1)
Y por lo tanto: 2)1(2
2
~)(Yt
A la distribucin de la suma de cuadrados restante con la notacin usual identificamos a
la varianza muestral por S2, tenemos que:2
2
12
2)1()( StYYt
i
i y sabemos que su
distribucin es 2 )1(t . Es decir, que:
-
31
2
)1(
12
2
~)(
t
t
i
i YY
C B A
)()(
)(
2
)1(
2
)1(
2
)(
2
2
12
2
12
2
tt
t
i
it
i
i YtYYY
Una vez obtenidas las distribuciones de A, B y C, se explica cmo pueden usarse para
probar hiptesis sobre . En primer lugar, la particin de la variabilidad que se ha hecho
slo permite probar hiptesis de dos colas sobre . Es decir, que en lo sucesivo nos
referiremos al juego de hiptesis: H0: = 0 en oposicin a Ha: 0, donde 0 es el
valor supuesto del parmetro desconocido. Que no sea posible probar hiptesis de una
cola con esta tcnica es una consecuencia de haber tomado los cuadrados de las
desviaciones. Para derivar una estadstica para probar hiptesis sobre es natural
recurrir a la componente C en la ecuacin anterior, puesto que la variable aleatoria C
involucra no slo a Y y a , sino adems a la distancia Y . Sin embargo,
22)(Yt no es una estadstica, dado que tanto como 2 son parmetros
desconocidos. En cuanto a el problema est resuelto, ya que debe tomar el valor
de 0 para fijar el nivel de significancia. Para que la estadstica no dependa de 2
usaremos la componente B. Dado que B y C son ambas variables aleatorias Ji-
cuadradas, tenemos que: 112
2
1
22
22
~)(
)1()(
)1()(tt
i
i
FS
Yt
tYY
Yt. De aqu se deduce que,
si la hiptesis nula = 0 es cierta, la estadstica: 1
12
2
0 ~)(
tFS
YtF y podemos usar
F0 para probar el juego de hiptesis propuesto. La regla de decisin que nos garantiza
una prueba con nivel de significancia es: Rechazar H0 si 1
10 tFF
-
32
Una vez que se ha dado un avance de lo que vendr despus, retrocedemos un poco
para reunir los resultados obtenidos en esta seccin. Todo el procedimiento para probar
H0: = 0 en oposicin a Ha: 0 mediante la distribucin de F se resume usualmente
en una tabla conocida como cuadro de anlisis de varianza.
En el cuadro de anlisis de varianza (Cuadro 2), los tres componentes de la ecuacin
anterior de las distribuciones de A, B y C aparecen sin el divisor 2. Esto es porque la
estadstica F0, al ser la razn de dos de ellas, no depende de 2. Adems, puesto que la
hiptesis nula es H0: = 0, el valor de es sustituido por 0. Como se mencion antes,
los numeradores de los trminos de la ecuacin anterior de las distribuciones de A, B y
C se llaman Sumas de Cuadrados. As, a t
i
iY1
2
0 )( se le llama Suma de Cuadrados
Total, a 20 )(Yt se le llama Suma de Cuadrados del Error y a t
i
i YY1
2)( se le llama
Suma de Cuadrados debida a la Media. En lo sucesivo se identificarn por las
avrreviaturas S.C TOTAL, S.C. ERROR y S.C MEDIA
Cuadro 2. Anlisis de varianza para el modelo ieYi . H0: = 0 vs Ha: 0
Fuente de Variacin
(F.V.)
Grados de Libertad
(G.L.)
Suma de Cuadrados
(S.C.)
Cuadrado Medio (C.M.)
F0 = F calculada
)( calF
F de tablas )( tabF
Media () 1 2
0 )(Yt 1
)( 20Yt 2
2
0 )(
S
Yt ),( 21 vvF
Error t-1 t
i
i YY1
2)( 21
2
1
)(
St
YYt
i
i
Total T t
i
iY1
2
0 )(
Donde:
error. del libertad de Grados
. de libertad de
Snedecor. de Fn distribuci la de ),(
2
1
21
v
Gradosv
CuantilFvvF tab
-
33
Ahora se explica con ms detalle el Cuadro 2. En la primera hilera del encabezado
aparece Fuentes de Variacin (F.V.) destaca que el anlisis de varianza se basa en
una particin de la variabilidad de las observaciones en diferentes fuentes (o factores)
de variacin. En la segunda columna aparece el nombre de Grados de Libertad (G.L.)
alude a los parmetros de las distribuciones Ji- cuadrada asociadas con las Sumas de
Cuadrados (S.C) en la tercer columna. La siguiente columna muestra los Cuadrados
Medios (C.M.) que se obtienen dividiendo cada suma de cuadrados por sus grados de
libertad, y slo son un paso intermedio para obtener la estadstica F0 = Fcal en la
columna siguiente y en la ltima columna aparece Ftab.
El Cuadro 2 se desarroll para probar el juego de hiptesis H0: = 0 en oposicin a Ha:
0. Ms frecuentemente el cuadro de anlisis de varianza se formula como si el
propsito fuera probar H0: = 0 en oposicin a Ha: 0. Esta presentacin, que
aparentemente es ms restringida que la anterior, en realidad no lo es puesto que si
tenemos observaciones Y1,,Yt, que se supone son una muestra aleatoria de ) ,(2N
y queremos probar la hiptesis nula H0: = 0, siempre podemos definir variables
aleatorias Xi = Yi - 0 las cuales cuando la hiptesis nula es cierta, tienen distribucin
) ,0( 2N , por lo que las variables Xi = Yi - 0 pueden usarse para probar H0: = 0,
obtenindose una prueba equivalente a la anterior. Con las nuevas variables centradas
en cero, el cuadro de anlisis de varianza es como el que se presenta en el Cuadro 3.
Cuadro 3. Anlisis de varianza para el modelo ieYi . H0: = 0 vs Ha: 0
F.V. G.L. S.C. C.M. F0 = Fcal Ftab
Media () 1 2Xt 2
Xt 2
2
S
Xt ),( 21 vvF
Error t-1 t
i
i XX1
2)( 21
2
1
)(
St
XXt
i
i
Total t t
i
iY1
2
0 )(
Donde:
-
34
error. del libertad de Grados
. de libertad de
Snedecor. de Fn distribuci la de ),(
2
1
21
v
Gradosv
CuantilFvvF tab
El Cuadro 3 es una simplificacin trivial del Cuadro 2, slo que ahora 0 = 0. Ahora se
mencionan algunos aspectos del Cuadro 3, ya que estos explican por qu esta segunda
presentacin es la ms favorecida. En primer lugar, en las S.C. la particin es ms
sencilla, ya que S.C.( ) + S.C. ERROR = S.C. TOTAL dado que, como ya nos es
familiar: t
i
i
t
i
i XtXXX1
22
1
2)(
En segundo lugar, los nombres de las fuentes de variacin. En el Cuadro 2 no es muy
clara la razn para este nombre, pero en el Cuadro 3 es evidente, puesto que si H0 es
cierta, debemos esperar valores de X cercanos a cero, de modo que si S.C. () es
grande, esto se debe a que difiere del valor supuesto por una distancia grande.
Razonando similarmente se justifican los nombres de S.C. ERROR y S.C. TOTAL.
6. DISEO COMPLETAMENTE AL AZAR (DCA)
6.1. Caractersticas
Los diseos completamente al azar son empleados cuando las unidades
experimentales son suficientemente homogneas entre s, es decir, cuando la variacin
entre ellas es pequea. Por lo que el empleo de bloques resulta inapropiado porque no
hay heterogeneidad que sea necesario absorber. ste es el caso en muchos tipos de
experimentos de laboratorio, en los que una cantidad de material est completamente
mezclado y luego se divide en porciones pequeas para formar las unidades
experimentales, o en experimentos con animales y plantas con condiciones ambientales
muy parecidas. Todas las unidades experimentales renen prcticamente las mismas
caractersticas, de modo que el efecto de un tratamiento sobre la variable bajo estudio,
-
35
es el mismo independientemente de la unidad experimental donde se mida, excepto por
variaciones aleatorias, debidas a fuentes de error en la investigacin.
Los tratamientos se aplican completamente al azar sobre las unidades experimentales,
bajo la condicin de que cada unidad experimental deber tener la misma probabilidad
de recibir un tratamiento particular. Todos los tratamientos pueden tener un nmero
igual o diferente de repeticiones. Cuando el nmero de repeticiones es diferente dentro
de cada tratamiento se dice entonces que el diseo es no balanceado; en caso
contrario, se dice que el diseo es balanceado.
Hay dos ventajas al elegir un diseo balanceado. La primera es que el estimador de
prueba es relativamente insensible a las desviaciones pequeas del supuesto de la
igualdad de las varianzas de los t tratamientos cuando los tamaos de las muestras son
iguales. Y la segunda ventaja es que la potencia de las pruebas se maximiza cuando
las muestras tienen el mismo tamao.
Los anlisis de varianza que se muestran para el diseo completamente al azar en Calc
de Open Office, es el mismo para el caso balanceado y para el caso desbalanceado ya
que las frmulas para las sumas de cuadrados abarcan ambos casos.
6.2. Ventajas
El diseo completamente al azar es flexible en cuanto a que el nmero de tratamientos
y de repeticiones slo est limitado por el nmero de unidades experimentales
disponibles. El nmero de repeticiones puede variar de un tratamiento a otro, aunque
generalmente lo ideal sera tener un nmero igual por tratamiento. El anlisis estadstico
es simple aun en el caso en que el nmero de repeticiones difiera con el tratamiento y si
los diversos tratamientos estn sujetos a varianzas desiguales, lo cual se conoce como
la falta de homogeneidad del error experimental. La sencillez del anlisis no se pierde si
algunas unidades experimentales o tratamientos enteros faltan o se descartan.
-
36
6.3. Desventajas
La principal objecin del diseo completamente al azar es su frecuente ineficiencia.
Como la aleatorizacin no tiene restricciones, el error experimental incluye toda la
variacin entre las unidades experimentales, excepto la debida a los tratamientos. En
muchas situaciones es posible agrupar las unidades experimentales de modo que la
variacin entre unidades dentro de los grupos sea menor que la variacin entre las
unidades de diferentes grupos. Ciertos diseos sacan ventaja de tal agrupamiento,
excluyen la variacin del error experimental entre grupos y aumentan la precisin del
experimento.
6.4. Modelo lineal
El modelo lineal para los diseos completamente al azar es el siguiente:
22iii )E( ; 0)E( ;r 2,..., 1,j t;2,..., 1,i
ee
donde
eY ijiij
t Nmero de tratamientos.
ir Nmero de repeticiones para el i-simo tratamiento.
ijY Respuesta obtenida en la j-sima repeticin del i-simo tratamiento.
Efecto medio general.
i Efecto atribuido al i-simo tratamiento.
ije Trmino de error aleatorio.
6.5. Hiptesis a probar
La hiptesis a probar en este tipo de diseos experimentales es la siguiente:
dems. los de diferente es entoun tratami de efecto el menos :H
vs
...:
a
210
Al
H t
-
37
6.6. Anlisis de varianza
El anlisis de varianza para el diseo completamente al azar est dado por el Cuadro 4.
Cuadro 4. Estructura del anlisis de varianza para un diseo completamente al azar.
Fuente de Variacin
(F.V.)
Grados de Libertad
(G.L.)
Suma de Cuadrados
(S.C.)
Cuadrado Medio (C.M.)
F calculada )( calF
F de tablas
)( tabF
Tratamientos t-1 S.C.
Tratamientos osTratamient ..LG
SCT
Error ..
osTratamient ..
MC
MC ),( 21 vvF
Error t
i
i tr
1
S.C. Error Error ..LG
SCE
Total t
i
ir
1
1 S.C. Total
Donde:
error. del libertad de Grados
tos. tratamienlos de libertad de
Apndice) del II Tabla(Ver F.n distribuci la de ),(
2
1
21
v
Gradosv
CuantilFvvF tab
ientosS.C.Tratam-Total S.C.Error S.C. ..
.osTratamient S.C.
..
1 1
2
1
2
1
2
t
i
r
j
ij
t
i i
i
t
i
i
i
FCYTotalCS
FCr
Y
r
YFC
Donde:
FC Factor de correccin.
..Y Suma de todas las observaciones en el experimento.
.iY Suma de todas las observaciones que pertenecen al i-simo tratamiento.
6.7. Regla de decisin
La regla de decisin que se utiliza es la siguiente:
tabFvFSe ) v,(F si H rechaza 21cal0
-
38
Se ilustra la tcnica de un diseo completamente al azar con el ejemplo 6.1, haciendo
uso de las hojas de clculo, elaboradas en Calc de Open Office, para resolver diseos
experimentales ms comunes.
Ejemplo 6.1
Un ingeniero de desarrollo de productos tiene inters en investigar la resistencia a la
tensin de una fibra nueva que se usar para hacer telas de camisas para caballeros
(Montgomery, 2007). El ingeniero sabe por experiencia propia que la resistencia a la
tensin se afecta por el peso porcentual del algodn utilizado en la mezcla de
materiales de la fibra. Adems, sospecha que al aumentar el contenido de algodn, se
incrementar la resistencia, al menos en un principio. Sabe as mismo que el contenido
de algodn deber variar entre 10 y 40 por ciento para que el producto final tenga otras
caractersticas de calidad que se desea (como la capacidad de ser sometido a
tratamiento de planchado permanente). El ingeniero decide probar ejemplares en cinco
niveles del peso porcentual del algodn: 15, 20, 25, 30 y 35 por ciento. Tambin decide
probar cinco ejemplares en cada nivel del contenido de algodn.
Se trata de un ejemplo de un experimento con un solo factor con cinco tratamientos y
cinco rplicas. Las 25 corridas se deben realizar de manera aleatoria. Suponga que
despus de hacerse la aleatorizacin obtenemos el Cuadro 5 de los datos del
experimento:
Cuadro 5. Datos (en lb/pulgada2) del experimento a la tensin.
Observaciones Peso porcentual del algodn (tratamientos)
15 20 25 30 35
1 7 12 14 19 7 2 7 17 18 25 10 3 15 12 18 22 11 4 11 18 19 19 15 5 9 18 19 23 11
Total 49 77 88 108 54 Media 9.8 15.4 17.6 21.6 10.8
Fuente: Montgomery (2007).
-
39
Determine si el peso porcentual del algodn (tratamientos) en una fibra sinttica afecta
la resistencia a la tensin. Se desea una confiabilidad del 95%.
Respuesta
Para resolver los ejemplos de diseos experimentales y de pruebas mltiples de
comparacin de medias siempre se hace uso de las hojas de clculo hechas en Calc de
Open Office. Al abrir el documento nombrado DISEOS EXPERIMENTALES, en la
primera hoja de clculo (Inicio) aparece el Cuadro 6, en el que se hace clic en el tipo de
diseo que se quiera usar y mediante un hiperenlace genera otra hoja donde se deben
introducir los datos del experimento. En este caso se hace clic en diseo
completamente al azar.
Cuadro 6. Diseos experimentales ms comunes y comparacin mltiple de medias
DISEOS EXPERIMENTALES MS COMUNES
SELECCIONE EL TIPO DE DISEO QUE DESEA USAR O COMPARACIN DE MEDIAS
DISEO COMPLETAMENTE AL AZAR (DCA)
DISEO COMPLETAMENTE AL AZAR CON SUBMUESTREO
DISEO EN BLOQUES COMPLETOS AL AZAR (DBCA)
COMPARACIONES MLTIPLES DE MEDIAS DE TRATAMIENTOS
DISEO EN CUADRO LATINO (DCL)
DISEOS FACTORIALES (DF)
DISEO EN PARCELAS DIVIDIDAS (DPD)
-
40
Despus de hacer clic en diseo completamente al azar, aparece el Cuadro 7, en donde
se introducen los datos del experimento. El Cuadro 7, slo da la opcin de escribir
sobre las celdas donde se deben de introducir los datos del experimento, ya que el
resto de las celdas se encuentran protegidas contra escritura. En este ejemplo, se
tienen cinco tratamientos con cinco repeticiones cada uno. Para este tipo de diseo se
puede introducir hasta 10 tratamientos (columnas) con 15 repeticiones (filas) cada uno.
Una vez introducidos los datos, aparecen en la penltima fila del Cuadro 7 los totales de
tratamiento y en la ltima fila aparecen las sumas del cuadrado de observaciones de
tratamiento, los cuales se necesitan para el anlisis de varianza.
A la derecha del Cuadro 7 aparecen dos hiperenlaces, uno para ir a la hoja de anlisis
de datos y el otro para regresar hasta la hoja de clculo donde se seleccion el tipo de
diseo.
Cuadro 7. Diseo completamente al azar.
DISEO COMPLETAMENTE AL AZAR
Tratamientos
Repeticiones 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ir al
anlisis
1 7 12 14 19 7
2 7 17 18 25 10
3 15 12 18 22 11 Regresar
4 11 18 19 19 15
5 9 18 19 23 11
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Tot. de Trat. 49 77 88 108 54 0 0 0 0 0
Sumas del cuadrado 525 1225 1566 2360 616 0 0 0 0 0
de obs. por trat.
-
41
Al hacer clic en el hiperenlace, Ir al anlisis, genera el Cuadro 8 donde mediante
frmulas aparecen los valores del nmero de tratamientos (t), el nmero de
repeticiones para cada tratamiento (ri), el factor de correccin (FC), as como el anlisis
de varianza y la conclusin del juego de hiptesis con respecto a los tratamientos. El
valor de alfa est determinado para una confiabilidad del 95% (Alfa = 0.05), pero se
puede cambiar para tener la confiabilidad que se desee. Todas las celdas del Cuadro 8,
a excepcin del valor de alfa, estn protegidas contra escritura, por lo que no es posible
modificar el contenido de las mismas.
A la derecha de Cuadro 8, aparece un hiperenlace para regresar hasta la hoja de
clculo donde se introducen los datos del experimento.
Para este ejemplo, mediante el anlisis de varianza y con una confiabilidad del 95% se
rechaza la hiptesis nula (H0) para los tratamientos, debido a que Fcal = 14.76 > Ftab =
2.87, lo que indica que al menos el efecto de un tratamiento es diferente al de los
dems.
Cuadro 8. Anlisis de varianza para el diseo completamente al azar.
ANLISIS DE VARIANZA
F.V. G.L. S.C. C.M. Fcal Ftab Regresar
t = 5 Tratamientos 4 475.76 118.94 14.76 2.87
r1 = 5 Error 20 161.20 8.06
r2 = 5 Total 24 636.96
r3 = 5
r4 = 5
r5 = 5 CONCLUSIN
r6 = Fcal > Ftab. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05
r7 =
r8 =
r9 =
r10 =
FC = 5655
Alfa 0.05
-
42
7. DISEO COMPLETAMENTE AL AZAR CON SUBMUESTREO
En algunas situaciones experimentales, se pueden tomar varias observaciones dentro
de la unidad experimental, la unidad a la cual se aplica el tratamiento. Tales
observaciones se hacen en submuestras o unidades de muestreo. Las diferencias entre
submuestras dentro de una unidad experimental son diferencias de observacin ms
que diferencias de unidad experimental.
Un diseo experimental es estndar si en cada unidad experimental se toma slo una
observacin al azar; diremos que es con submuestreo si se toma ms de una
observacin al azar por unidad experimental.
El submuestreo nos permite, adems de estudiar la variabilidad entre unidades
experimentales bajo condiciones similares, estimar la variabilidad de observaciones en
las unidades experimentales.
7.1. Modelo lineal para submuestreo
El modelo lineal para un diseo completamente al azar con submuestreo es el
siguiente:
r1,2,...,k ;r 2,..., 1,j t;2,..., 1,i
iji
donde
eY ijkijiijk
t Nmero de tratamientos.
ir Nmero de repeticiones para el i-simo tratamiento.
ijr Nmero de observaciones en la j-sima repeticin del i-simo tratamiento.
ijkY Respuesta obtenida en la k-sima observacin de la j-sima repeticin del i-simo
tratamiento.
Efecto medio general.
-
43
i Efecto atribuido al i-simo tratamiento.
ije Trmino de error experimental. Se supone que )N(0, d. i. i.~2eije
ijk Trmino de error observacional. Se supone que )N(0, d. i. i.~2
ijk
Los e y los se suponen no correlacionados entre s, o sea que al tomar un valor
particular de no se afecta en la probabilidad de tomar un valor particular cualquiera de
e .
7.2. Hiptesis a probar
La hiptesis a probar en un diseo completamente al azar con submuestreo es la
siguiente:
dems. los de diferente es entoun tratami de efecto el menos :H
vs
...:
a
210
Al
H t
Para el anlisis de varianza de un diseo completamente al azar con submuestreo se
tienen dos casos, para un nmero igual de submuestras y para un nmero desigual de
submuestras. Cuando las muestras tienen un nmero desigual de submuestras, en los
clculos, el cuadrado de cualquier total se divide por el nmero de observaciones en el
total.
7.3. Anlisis de varianza con submuestreo. Nmero igual de submuestras.
El anlisis de varianza para un diseo completamente al azar con submuestreo con
igual nmero de submuestras est dado por el Cuadro 9.
-
44
Cuadro 9. Estructura del anlisis de varianza para un diseo completamente al azar con submuestreo. Nmero igual de submuestras.
Fuente de Variacin
(F.V.)
Grados de Libertad
(G.L.)
Suma de Cuadrados
(S.C.)
Cuadrado Medio (C.M.)
F calculada )( calF
F de tablas
)( tabF
Entre U.E. U.E.-1 S.C. Entre
U.E. U.E. ..
U.E. ..
EntreLG
EntreCS
Tratamientos t-1 S.C.
Tratamientos osTratamient ..
..
LG
osTratamientCS
alexperimentError ..
osTratamient ..
MC
MC
),( 21 vvF
Error experimental
t
i
i tr
1
S.C. Error
experimental alexperimentError ..
alexperimentError ..
LG
CS
Error de muestreo
st
ki
kirtr
,
1,
S.C. Error de
muestreo muestreo deError ..
mustreo deError ..
LG
CS
Total
st
ki
kir
,
1,
1 S.C. Total
Donde:
al.experimenterror del libertad de Grados
tos. tratamienlos de libertad de
Apndice) del II Tabla(ver F.n distribuci la de ),(
2
1
21
v
Gradosv
CuantilFvvF tab
tosTratammien S.C.-S.C.U.EalexperimentError S.C. osTratamient ..
S.C.U.E-Total S.C.muestreo deError S.C. ..
. U.ES.C.
...
1
2..
1 1 1
2
1
r
1
22 i
Csr
Y
CS
FCYTotalCS
FCs
Y
srt
YFC
t
i
t
i
r
j
r
k
ijk
t
i j
ij
i
i ij
Donde:
FC Factor de correccin.
s Nmero de submuestras por unidad experimental.
r Nmero de repeticiones.
...Y Suma de todas las observaciones en el experimento.
-
45
.iiY Suma de todas las observaciones que pertenecen al j-sima repeticin del i-simo
tratamiento.
7.4. Regla de decisin
La regla de decisin que se utiliza es la siguiente:
tabFvFSe ) v,(F si H rechaza 21cal0
Haciendo uso de las hojas de clculo, elaboradas en Calc de Open Office, para resolver
diseos experimentales ms comunes, se ilustra la tcnica de diseo completamente al
azar con submuestreo con el siguiente ejemplo:
Ejemplo 7.1
Considrense los datos del Cuadro 10 sobre crecimiento en una semana de tallos de
plantas de menta cultivadas en una solucin nutritiva (Steel y Torrie, 1988).
Donde un grupo grande de plantas se asignaron aleatoriamente a unas macetas, cuatro
por maceta, la unidad experimental; los tratamientos se asignaron al azar a las
macetas, tres macetas por tratamiento. Todas las macetas se aleatorizaron
completamente con respecto a su localizacin durante el tiempo transcurrido bajo luz
del da, y cada grupo de macetas se aleatoriz completamente dentro de los niveles
(bajo y alto) de temperatura en invernadero durante el perodo de oscuridad. Las
observaciones se hicieron en plantas individuales.
Se desea saber si hay diferencias entre los tratamientos ensayados. Se desea una
confiabilidad del 95%.
-
46
Cuadro 10. Crecimiento en una semana de tallos de plantas de menta cultivadas en una solucin nutritiva.
Nmero de plantas
Horas de luz diurna
Bajas temperaturas nocturnas Altas temperaturas nocturnas 8 12 16 8 12 16
Maceta No. Maceta No. Maceta No. Maceta No. Maceta No. Maceta No. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 3.5 2.5 3.0 5.0 3.5 4.5 5.0 5.5 5.5 8.5 6.5 7.0 6.0 6.0 6.5 7.0 6.0 11.0 2 4.0 4.5 3.0 5.5 3.5 4.0 4.5 6.0 4.5 6.0 7.0 7.0 5.5 8.5 6.5 9.0 7.0 7.0 3 3.0 5.5 2.5 4.0 3.0 4.0 5.0 5.0 6.5 9.0 8.0 7.0 3.5 4.5 8.5 8.5 7.0 9.0 4 4.5 5.0 3.0 3.5 4.0 5.0 4.5 5.0 5.5 8.5 6.5 7.0 7.0 7.5 7.5 8.5 7.0 8.0
Totales de maceta
15.0 17.5 11.5 18.0 14.0 17.5 19.0 21.5 22.0 32.0 28.0 28.0 22.0 26.5 29.0 33.0 27.0 35.0
Totales de tratamiento
44.0 49.5 62.5 88.0 77.5 95.0
Medias de tratamiento
3.7 4.1 5.2 7.3 6.5 7.9
Fuente: Steel y Torrie (1988).
-
47
Respuesta
Para resolver el ejemplo anterior se hace uso de las hojas de clculo hechas en
Calc de Open Office. Al abrir el documento nombrado DISEOS
EXPERIMENTALES, en la primera hoja de clculo (Inicio) aparece el Cuadro 6
(mencionado en el captulo 6), en el que se hace clic en el tipo de diseo que se
quiera usar y mediante un hiperenlace genera otra hoja donde se deben introducir
los datos del experimento. En este caso se hace clic en diseo completamente al
azar con submuestreo.
Despus de hacer clic en diseos completamente al azar con submuestreo en el
Cuadro 6, aparece el Cuadro 11, en donde se introducen los datos del
experimento. El Cuadro 11 slo da la opcin de escribir sobre las celdas donde se
introducen los datos del experimento, ya que el resto de las mismas se encuentran
protegidas contra escritura. En este ejemplo, se tienen seis tratamientos con
cuatro submuestras y tres repeticiones cada una. Para este tipo de diseo se
puede introducir hasta 11 tratamientos con diez submuestras y cinco repeticiones
cada una.
Una vez introducidos los datos, aparecen en la antepenltima fila del Cuadro 11,
los totales por unidades experimentales de cada tratamiento, en la penltima fila
aparecen los totales de tratamiento y en la ltima fila tambin aparecen las sumas
del cuadrado de observaciones por tratamiento, los cuales se necesitan para el
anlisis de varianza.
A la derecha del Cuadro 11 aparecen dos hiperenlaces, uno para ir a la hoja del
anlisis de datos y el otro para regresar hasta la hoja de clculo donde se
seleccion el tipo de diseo.
-
48
Cuadro 11. Diseo completamente al azar con submuestreo.
DISEO COMPLETAMENTE AL AZAR CON SUBMUESTREO
Tratamientos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Repeticiones Repeticiones Repeticiones Repeticiones Repeticiones Repeticiones Repeticiones Repeticiones Repeticiones Repeticiones
Submuestras 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 Ir al
anlisis
1 3.5 2.5 3.0 5.0 3.5 4.5 5.0 5.5 5.5 8.5 6.5 7.0 6.0 6.0 6.5 7.0 6.0 11.0
2 4.0 4.5 3.0 5.5 3.5 4.0 4.5 6.0 4.5 6.0 7.0 7.0 5.5 8.5 6.5 9.0 7.0 7.0
3 3.0 5.5 2.5 4.0 3.0 4.0 5.0 5.0 6.5 9.0 8.0 7.0 3.5 4.5 8.5 8.5 7.0 9.0 Regresar
4 4.5 5.0 3.0 3.5 4.0 5.0 4.5 5.0 5.5 8.5 6.5 7.0 7.0 7.5 7.5 8.5 7.0 8.0
5
6
7
8
9
10
Tot. de U.E 15.0 17.5 11.5 18.0 14.0 17.5 19.0 21.5 22.0 32.0 28.0 28.0 22.0 26.5 29.0 33.0 27.0 35.0
Tot. de trat. 44.0 49.5 62.5 88.0 77.5 95.0
Sumas del cuadrado
172.5 210.3 329.8 655.0 525.3 772.5
de obs. por trat.
-
49
Al hacer clic en el hiperenlace, Ir al anlisis, genera el Cuadro 12 donde aparece
el nmero de tratamientos (t), el nmero de submuestras (s), el nmero de
repeticiones para cada tratamiento (r), el factor de correccin (FC), as como el
anlisis de varianza y la conclusin del juego de hiptesis con respecto a los
tratamientos. El valor de alfa est determinado para una confiabilidad del 95%
(Alfa = 0.05), pero se puede cambiar para tener la confiabilidad que se desee.
Todas las celdas del Cuadro 12, a excepcin del valor de alfa, estn protegidas
contra escritura, por lo que no es posible modificar el contenido de las mismas.
A la derecha del Cuadro 12, aparece un hiperenlace para regresar hasta la hoja de
clculo donde se introducen los datos del experimento.
Para este ejemplo, mediante el anlisis de varianza y con una confiabilidad del
95% se rechaza la hiptesis nula (H0) para los tratamientos, debido a que Fcal =
16.69 > Ftab = 3.11, lo que indica que al menos el efecto de un tratamiento es
diferente al de los dems.
Cuadro 12. Anlisis de vari
