Verano 4 Eso-opcion B- Ciencias-2014
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1
DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS
MATEMTICAS 4 ESO
OPCIN B
Curso 2013/2014
ACTIVIDADES PARA REALIZAR DURANTE EL VERANO
Alumno:_______________________________________________________________________
ESTOS EJERCICIOS DEBEN REALIZARSE EN HOJAS SUELTAS, CON
PORTADA, NUMERADAS Y BIEN PRESENTADAS.
SE ENTREGARN AL PROFESOR DE MATEMTICAS ANTES DEL
EXAMEN EXTRAORDINARIO DE SEPTIEMBRE, SIN LA ENTREGA DE LAS
ACTIVIDADES REALIZADAS NO SER POSIBLE OBTENER
CALIFICACIN POSITIVA.
-
2
ARITMTICA
OPERACIONES CON NMEROS ENTEROS Y FRACCIONES
1. Realiza las siguientes operaciones:
a) 7243 1:518513
b) 431532:4 227
c) 02 25351:32 d) 62 4522516
2. Efecta y simplifica:
a) 16
1
8
1
4
1
2
1 b)
1
5
2
4
32
4
1
5
3
c)
4
1
3
1
2
1
4
3
3
11 d)
20
3
3
2
2
1
4
31
3
1
5
3
e) 3
4:
2
1
4
3
3
2 f)
3
21
3
4
2
1
3
2
g)
3
4
1)2(
3
7
3
1
3
2
h)
10
312
3
1
2
32
i)
3
52
2
11
10
3
5
3 j)
3
1
3
2:
3
1
3
22
3. Calcula:
a)
6
5
9
8
4
3
b)
7
13:
8
1
2
21
c)
14
3
2
1
8
1
2
1
4
3
d)
16
7:
3
5
3
5
2
3
e)
5
2
4
3)4(
3
2
5
1
8
7
f)
5
1
3
1
7
41
5
1
7
3
5
31
g)
2
53
32
24
-
3
POTENCIAS
4. Calcula el valor de las siguientes potencias.
1. 23
2.
2
5
3
3.
3
3
1
4.
3
24
5.
2
5
2
6. 2151
7. 32
8.
3
4
3
5. Calcula y simplifica las siguientes expresiones, utilizando las propiedades de las potencias cuando sea posible. Dar el resultado en forma de potencia sin exponentes
negativos.
a)
324327
97298125
024
b)
30
122
333
333
c)
13
32
232
ab
baababa
d)
2
1
12
21
21
15
4
3
2
e)
21
23
40575
22515
f)
234
253234
22
222
g)
2
1
2
33
1
h)
2
1
12
21
21
15
4
3
2
i)
232
22
yyx
xyx
j)
038
332
5205
225100
k)
3
12
3
51
3
22
l)
32
32312
ba
abbba
RADICALES
6. Calcula el valor de las siguientes potencias:
a) 43
b) 43 c) 43
d) 41
81
e) 41
81
f)
2
3
1
-
4
7. Simplifica los siguientes radicales:
a) 10 32
b) 3 243 c) 6
8
3
64
125
b
a
d) 4 14121064 cba
8. Calcula las siguientes operaciones de radicales, simplificando el resultado cuando sea posible.
a)
4 3
6 33 5
ba
abba
b) 43 2422
c)
22
404250
d) 2332 e)
52335212
2
375
5
1
f) 24 33 g) 322322 h) 2332
i) 2712342162
375
5
1
j) 24 33 k) 125553523 l) 4 3 284
m)
6
3 2 abaa
n)
33
9126753
o)
521
4
125
5
425
5
220
2
12
9. Racionalizar:
a) 23
310
b) 5 9
2
c)
352
523
d) 3
2
23
1
e)
322
322
LGEBRA
POLINOMIOS
10. Dados xxxP 23 2 33 xxxQ 2 xxR , calcular:
a) xRxQxP 23
b) xRxQxP3
12
-
5
11. Calcular y simplificar:
a) 23212 xxx b) 32325312 22 xxxx
c) 142
3
2
5312 3
2
xx
xxx
d) xxxxxx 2222
2
22123
12
12. Calcular el cociente y el resto de las siguientes divisiones, utilizando Ruffini cuando sea posible:
a) 12:542 223 xxx b) 2:542 23 xxx
FACTORIZACIN
13. Descomponer en factores los siguientes polinomios:
a) 35 25xx
b) 252 2 xx
c) 652 23 xxx
d) xxx 23 45
e) 4129 2 xx
f) 593 23 xxx
g) 3073 234 xxxx
h) xxxxx 122393 2345
i) 234 18122 xxx
j) 22 2312 xx k) xx 273 3
FRACCIONES ALGEBRAICAS
14. Calcula y simplifica cuando sea posible:
a)
1
12
1
122 x
x
xx
x
x
b)
1
211
2
2
x
xx
x
c)
5
3
250
1
2
32 xxx
d)
4
1
9
1
127
122 xxxx
e)
4
1:
168
22
3
x
x
xx
xx
f)
2
2
3
22
2
1:
2
32
3
2
x
x
x
xx
x
xx
g)
1
1
11:
11
2
2
x
x
x
x
x
xx
h)
1:
2
1
1
112 x
xx
xx
-
6
ECUACIONES
15. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) 158
53
5
32
3
122
xx
x
x
x
x
x
b)
5
1
2
3
4
9
5
2222
xxx
c) 2
18
82
612
2
152
xx
x
x
d) 33
1
9
102
xx
e) 1336
2
2 x
x
f) 9
4
4
9 2
x
g) 12
19
1
12
2 x
x
x
x
x
h) 1
1
22
212
xx
x
x
16. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) xxxx 6510 222 b) 049 2 x
c) 5
2
3
212
4
3 xxx
d) 01323 2 xx
e) 22 1242 xxx
f) 233 9211 xxx g) 0365 224 xxxx h) 044 235 xxx
17. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) 125 2 xx
b) xx 13
c) 77 xx
d) 3346 x
e) 3333 xxx
SISTEMAS DE ECUACIONES
18. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
a)
29
1922 yx
xy
b)
42
2
311
yx
yx
c)
7
24522
yx
yxyx
d)
73
222 yx
xy
e)
12
16
xy
yxyx
-
7
f)
4843`
3
yx
yx
PROBLEMAS UTILIZANDO ECUACIONES Y SISTEMAS
19. Calcular los lados de un tringulo rectngulo de permetro 24 cm y cuya hipotenusa mide 2cm ms que el cateto mayor.
20. En una parcela rectangular de 44m de permetro se hace un jardn rectangular bordeado por un camino de 2m de ancho. Calcula las dimensiones de la parcela
sabiendo que el rea del jardn es de 45m2.
21. Calcular el rea de un tringulo rectngulo de permetro 24m y diagonal 10m.
22. Calcular los lados de un tringulo rectngulo sabiendo que su permetro es 30cm y el cateto menor mide 5cm.
23. Calcular la diagonal de un rectngulo sabiendo que su permetro vale 34cm y su rea 60cm
2.
24. Calcular el lado de un tringulo equiltero sabiendo que su rea es de 234 cm .
INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCGNITA
25. Resuelve las siguientes inecuaciones de primer grado con una incgnita:
a) 7436 xx
b) 562 xx
c) 1164 xx
d) 221332 xxx
e) 1038423 xxx
f) 0333
1x
g) 4322324 xxx
h) xxxx
342
84
5
33
i) 12
37
3
13
4
234
xxx
j) 027
1
2
xxx
k) 6
2
3
52 xx
l) 10
1
5
31
4
1 xxx
m) 5
31
2
17
xxx
n) 73
4
15
336
5
1
xxx
o) 2
4
23
xxx
p) 53632
xxxx
q) 4
1
3
2
2
12
xxx
-
8
INECUACIONES NO LINEALES CON UNA INCGNITA
26. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado con una incgnita:
a) 0652 xx
b) 0532 xx
c) 012 xx
d) 0242 2 xx
e) 0232 xx
f) 0862 xx
g) 17321 222 xxxx
h) 2434 2 xxx
i) 124 2 xxx
j) 562 xx
k) 0123 xx
l) 03242 22 xx
m) 0562 xx
n) 041 2 x
o) 094 2 x
p) 03
52 x
SISTEMAS DE INECUACIONES CON UNA INCGNITA
27. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones con una incgnita:
a)
04
01
x
x
b)
12
21
x
x
c)
1223
132
xx
xx
d)
102
01
xx
x
e)
12
222
xx
xx
f)
xx
xx
42532
1
242
g)
023
53
102
3
45
x
xxx
INECUACIONES RACIONALES
28. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales:
a) 04
3
x
x b) 3
32
13
x
x
-
9
c) 063
42
x
x
d) 242
53
x
x
e) 05
2
x
x
f) 45
23
x
x
g) 312
86
x
x
ECUACIONES Y SISTEMAS EXPONENCIALES
29. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales.
a) 321 33 xx
b) 24333 x
c) 1222 5'02 xx
d) 8
12
21 x
e)
12
1
3
13
x
x
f) 17 652
xx
g) 181232 xx
h) 2164 xx
i) 14122
497 xx
j) 03329 xx
k) 033283 12 xx
l) 081329 2 xx
m) 43
13
1
x
x
n) 04254 xx
o) 224 xx
p) 0101616 1 xx
q) 012553052 xx
r) 32024 31 xx
30. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales.
a) 7222 11 xxx
b) 36333333 4321 xxxxx
c) 198422222 423222122 xxxxx
d) 621612 x
e) 1 521 5 x xx x aa
f) 7aaaa xxx
g) 263 3 3 222 aaaa xxx
31. Resuelve los siguientes sistemas:
a)
3396515
80762531
1
yx
yx
b)
255
255 3
yx
yx
-
10
c)
952
95212 yx
yx
d)
2433
3633yx
yx
e)
712382
5321
1
yx
yx
f)
132
73211 yx
yx
LOGARITMOS
32. Calcula los siguientes logaritmos.
a) 27
1log 3
b) 2log2
1
c) 2log a
d) 21logb
b
33. Calcula el valor de x, aplicando la definicin de logaritmo.
a) 81log3x
b) 33log3x
c) 9
3log
4
3x
d) 3log81x
e) 3
3log81x
f) 3
3log
4
91x
g) )3(log9
1 x
h) 81log3
3
x
i) 9
1log
33
x
j) 4 3log3
3x
k) 3log77x
l) 7log497x
m) 27log x
n) 2
17log x
o) 3
27log 3 x
p) 4
1
49
1log x
q) 2
1log 2 x
r) 3
1log
81 x
s) 2log 3 4 x
t) 3
4log4
2x
u) 27log7 x
v) 2log 47 x
-
11
34. Sustituye los puntos suspensivos por igual (=) distinto ( ).
a) 5log7log....57log
b) 5log2....5log 2
c) 5log6log....5
6log
d) 3
5log....5log 3
e) 19log12log....19:12log
f) 7log3....7log 3
g) 8log22log....822log
h) 30log....822log
35. Calcula, utilizando la calculadora, los siguientes logaritmos.
a) 123log5
b) 123log 7
c) 500log5
d) 7log 2
e) 27log 2
f) 7log11
g) 23log
h) 3ln
36. Sabiendo que hN 5log , obteniendo el logaritmo en base 5 de 125
N.
37. Verdadero o falso? Por qu?
a) 5log3log2log
b) 6log3log2log
c) 10log5log15log
d) 3log5log15log
e) 12log1log2log x
f) 310310loglog xx
g) 7log7loglog yxyx
h) 100010310loglog xx
38. Calcula el valor de k en los siguientes casos:
a) xkx 33
1 loglog
b) xkx 327 loglog
c) xkx 33 loglog
d) xkx 39
3loglog
e) 2log3log 32 k
f) 2log2 100logk
ECUACIONES LOGARITMICAS
39. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) 522
x
b) 012272 24 xx
c) 3loglog7log x
-
12
d) 25log5
log 77 x
e) 225log100log xx
f) 1log1log 22 xx
g) xx 2log3log2log
h) 5log112log53log xx
i) 06loglog2 xx
j) 2log23log14log xx
k) 022loglog3 2 xxx
l) 3ln1ln1ln3 2 xx
m) xxxx 1log52log1log32log
n) 05log5log1log 222 xxx
o) 5log5
4loglog4 2
xx
p)
1
32log
563log2
2
x
xx
q) 065log2log2 xx
r) xx
x 2log2
87loglog 3
s) 4log8log2log1 x
t) 3267 2 x
u) 32 4 xe
40. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
a)
5
1loglog
yx
yx b)
1loglog
9
yx
yx
GEOMETRA
TRIGONOMETRA
41. En una circunferencia de 16cm de radio, un arco mide 64cm. Halla su ngulo central correspondiente en grados sexagesimales y en radianes.
42. a) Expresar en radianes los siguientes ngulos dados en grados sexagesimales:
60, 300, 505, 37
b) Expresa en grados sexagesimales los siguientes ngulos dados en radianes:
rad2,10
,4
11,
3
7
43. a) Sabiendo que 2
1senx , calcula el resto de las razones trigonomtricas
2
3 x
b) Calcula las siguientes razones trigonomtricas del ngulo , sabiendo que
2
5sec y que
2
3 .
-
13
44. Sabiendo que 3
1cos y que I , calcular:
a) 2cos
b)
2cos
c) cos
d)
2
3cos
e) cos
f)
2cos
45. Simplifica la siguiente expresin:
2cos
2cos
xsenxxxsen
46. Calcula el valor de las siguientes razones trigonomtricas, relacionndolas con un ngulo del primer cuadrante:
a) 1680sen
b) 585tag
c) 2
23cos
d) 21sec
e) 840cos
f) 585sen
g) 30tg
h) 945sen
i) 1980sec
j) 270tg
47. Simplificar las siguientes expresiones:
a) xctg
xxctg2
2
1
sec
b)
xsen
xsenxxxsen2
33
1
coscos
c)
xctgx
x
xtg
tgxx
sec
1seccos 2
2
d) ecxsenxsenx
xcos
cos 2
e) ctgxtgx
xsec
48. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) 12
2
xsen
b) xxtgx seccos
c) 1cos3 2 senxx
d) 14
xtg
e) 4
1cos2 22 xxsen
f) 01cos2 2 xxsen
-
14
49. Calcular los catetos de un tringulo rectngulo de 20cm de hipotenusa, sabiendo que la tangente de uno de sus ngulos agudos vale .
50. Calcular los catetos de un tringulo rectngulo de 12dm de hipotenusa sabiendo adems que uno de sus ngulos agudos mide 30.
51. Un tringulo rectngulo tiene catetos que miden 12mm y 9 mm. Calcula la hipotenusa y los lados del tringulo.
52. Resuelve un tringulo rectngulo del que se sabe que un cateto mide 7mm y la hipotenusa 12mm.
53. Un tringulo rectngulo issceles tiene 9cm de hipotenusa. Resulvelo.
54. Resuelve los siguientes tringulos rectngulos conociendo:
a) 2317 Bcmc
b) 783 Ccma
55. Antonio y Rafael, que estn de trismo por Madrid, tienen curiosidad por saber qu altura tiene la torre Picasso, el edificio ms alto de Espaa. Antonio ve la torre
desde un ngulo de 40 y Rafael, situado a 25 metros detrs, la ve desde un ngulo
de 38. Cunto mide la torre Picasso?
56. Para conocer la altura de un rbol, Pedro se sita a 12 metros del rbol y observa que el ngulo de visin del rbol es de 32. Cmo puede Pedro calcular la altura
del rbol? Cunto mide el rbol?
57. Calcular los lados de un rombo del que sabemos que la diagonal mayor mide 24cm y el ngulo mayor 120.
58. El mstil mayor de un barco est sujeto a proa y a popa por un cable que forma con la proa un ngulo de 55 y con la popa un ngulo de 45. Si el barco mide
12m de longitud. Cul es la altura del mstil? Qu longitud total tiene el cable
que lo sujeta?
59. A qu altura vuela un avin si las visuales de dos observadores separados entre s una distancia de 700 metros forman ngulos de 70 y 80 respectivamente?
60. Con un comps cuyos brazos miden 12cm se traza una circunferencia de 5cm de dimetro. Calculo el ngulo que forman los brazos del comps.
61. Calcular la superficie de un tringulo del que conocemos los lados b = 100cm y c= 250cm y el ngulo comprendido entre ambos A = 20.
62. Calcular el ngulo que forman dos lados de un tringulo sabiendo que el rea del tringulo es 57,75cm
2 y que dichos lados miden 10 y 15 cm.
-
15
63. Prueba que si un tringulo rectngulo tiene un ngulo de 60 entonces la hipotenusa mide el doble que el cateto menor.
64. Razona si las siguientes frases son verdaderas o falsas.
a. Hay dos ngulos cuyo coseno es 1,2 b. Hay dos ngulos, comprendidos entre 0 y 180, cuyo seno vale -0,45.
65. Desde un punto A en la orilla de un ro se ve un rbol justo enfrente. Si caminamos 100 metros ro abajo, por la orilla recta del ro, llegamos a un punto B
desde el que se ve el pino formando un ngulo de 30 con nuestra orilla. Calcular
la anchura del ro.
66. Desde un punto se observa un edificio cuya parte ms alta forma con el suelo un ngulo de 30, si avanzamos 30 metros, el ngulo pasa a ser de 45. Calcular la
altura del edificio.
FUNCIONES
67. En la puerta de un colegio hay un puesto de golosinas. En esta grfica se ve la
cantidad de dinero que hay en su caja a lo largo de un da.
a) A qu hora empiezan las clases? b) A qu hora es el recreo?Cunto dura? c) El puesto se cierra a medioda y el dueo se lleva el dinero a casa. Cules fueron
los ingresos esta maana?
d) Cul es el horario de tarde en el colegio? e) Es esta una funcin continua o discontinua?
67. Los cestillos de una noria van subiendo y bajando a medida que la noria gira. Esta es la representacin grfica de la funcin tiempo-distancia al suelo de uno de los
cestillos:
-
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a) Cunto tarda en dar una vuelta completa? b) Observa cul es la altura mxima y di cul es el radio de la noria. c) Cul es la principal caracterstica de esta funcin? d) Explica como podramos calcular la altura a los 130 segundos sin necesidad de
continuar la grfica.
68. La siguiente grfica describe la relacin entre el tiempo que lleva una bicicleta en marcha y la altura a la que se encuentra la vlvula del aire de la rueda.
a) Cul es la mxima altura que alcanza la vlvula? b) Cada cunto tiempo alcanza esa altura? c) Es una funcin peridica?, cul es el periodo de la funcin?.
69. En una panadera, el dependiente tiene siempre a la vista una tabla con los siguientes datos:
N de panes 1 2 3 4 x
Precio (cntimos ) 30 70 105 140 y
a) Da dos valores ms de la tabla. b) Cunto nos costarn 15 panes? y 32 panes? c) Escribe una frmula que nos de la relacin existente entre el nmero de panes y
el precio en cntimos de euro (llama x al nmero de panes e y al precio en cntimos de euro).
d) Construye la grfica de la funcin.
70. Queremos imprimir un folleto para dar una fiesta en el instituto. El impresor nos dice que el precio es de 2 euros por gastos generales ms 5 cntimos por cada
folleto.
a) Construye una tabla de valores, representa la funcin y escribe la formula que nos de la relacin existente entre el precio pagado y el nmero de folletos
impresos.
b) Cunto pagar por imprimir 1000 folletos? c) Cuntos folletos he impreso si he pagado 52,5 euros?
71. La libra es una medida de peso que equivale a 0,45Kg. a) Construye una tabla para la funcin que convierte libras en kilos, represntala y
da su frmula.
b) Anlogamente para la funcin que convierte kilos en libras.
72. En un contrato de trabajo a un vendedor de libros se le ofrecen dos alternativas:
-
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A. Sueldo fijo mensual de 1000 euros. B. Sueldo fijo mensual de 800 euros ms un 20% de las ventas que haga.
a) Haz una grfica que muestre lo que ganara en un mes segn la modalidad de contrato. Toma como variable independiente las ventas que haga y como
variable dependiente el sueldo.
b) A cunto tienen que ascender sus ventas para ganar lo mismo con las dos modalidades de contrato? cules son esas ganancias?
c) Qu contrato le interesa? d) Escriba la frmula de cada contrato.
73. Una receta para hacer helados recomienda poner 5gr de vainilla por cada 100 cm3 de leche. Encuentra l relacin (frmula) existente entre la cantidad de leche y la
de vainilla y representa la funcin.
74. Indica El dominio, el recorrido, coordenadas de los puntos de corte con los ejes, simetras, intervalos de crecimiento y decrecimiento, mximos y mnimos locales
y mximos y mnimos globales de las funciones cuyas grficas se adjuntan. Son
peridicas dichas funciones? Justifica tu respuesta.
75. Dibuja la grfica de una funcin que cumpla, simultneamente:
I. ,20, yfDom . II. Mximo local en x = 3.
III. Creciente en 0,24, y y decreciente en 2,4 . IV. No es continua en x = -4.
76. En una ciudad espaola, un recorrido de 20 minutos en taxi ha costado 7,50 euros, y un recorrido de 35 minutos ha costado 10,50 euros. Suponiendo que la relacin
entre el nmero de minutos y dinero pagado es afn.
a) Expresin algebraica de la funcin que representa el precio de la carrera en funcin del nmero de minutos de sta.
b) Cunto costar una carrera de 40 minutos?. Si me han cobrado 15,10 euros, cunto tiempo ha durado la carrera?
77. Un colegio necesita realizar una excursin. El autobs cuesta 300 euros. Sea x el nmero de alumnos que van a ir a la excursin, e y el precio del billete.
a) Relacin algebraica de la funcin que relaciona el precio del billete en funcin del nmero de alumnos.
-
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b) Representa grficamente l funcin anterior. Se pueden unir los puntos?. Ser continua la funcin?. Raznalo.
c) Si se les cobra como fianza a cada alumno 10 euros ms del precio real del billete, cul ser entonces la nueva expresin algebraica y la nueva grfica de la
funcin?
?
78. Calcula el dominio de las siguientes funciones:
35 24 xxxf
562
62
2
xx
xxxg
5
6103
2
x
xxxh
32 xxxj
52 xxxk
-
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