Espacio vectorial en r3 Albani Carrillo 5toA #17

ESPACIO VECTORIAL EN R3

Albani C. Carrillo E.

El concepto de vector, así como muchos otros conceptos matemáticos, tiene su origen

en la física; los conceptos de fuerza y velocidad, al ser cantidades que deben

describirse en términos de una magnitud y una dirección, son asociados a la idea de

vectores.

Se puede decir entonces, que un vector es un abstracción matematica representativa de

un fenómeno físico. Dependiendo del fenómeno, se pueden utilizar vectores de dos

componentes en el plano, o de tres componentes en el espacio.

Cuando se considera un vector en el espacio, es necesario especificar su origen y su

extremo mediante puntos de la forma de P (x, y,z). En la figura 1 se representa un

vector cualquiera v en un sistema de coordenadas rectangulares.

Figura 1.

La representación de un vector V en R3 mediante sus componentes es:

v⃗=(x 2−x 1, y 2− y 1 , z 2−z 1).

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Se dice que dos vectores son iguales o equipolentes si tienen la misma magnitud y

dirección, sin importar si los puntos terminales son iguales. El conjunto formado por

todos los vectores equipolentes a un vector dado, se le denomina a vector libre.

Cualquier vector del conjunto vector libre es un representante del mismo.

La definición anterior permite trasladar cualquier vector de manera que su origen

coincida con el origen del sistema de coordenadas rectangulares. A este vector se le

conoce como vector de posición.

La magnitud de un vector en R3, como la que se muestra en la figura, se calcula

utilizando la siguiente ecuación: |⃗OP|=OP=√x2+ y2+z2

La dirección de un vector puede determinarse si se conoce el ángulo que forma con

los ejes x, y, z. Las ecuaciones trabajan con la norma o magnitud del vector, como se

muestras en las siguientes ecuaciones:

cos αx

opcos β

xop

cos yx

op

Las propiedades de la suma de un vector, pueden ser conmutativa [v+u=u+v.],

asociativa [(u+v)+w = u+(v+w)]; también existe un elemento neutro, el vector 0 , tal

que + v = v para cualquier vector v; es importante saber que para cada vector v existe

un elemento opuesto, –v, que sumado con él da 0.

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Para multiplicar un vector por un numero real α y un vector αu⃗ = (x,yz), el producto α

u⃗ es el vector que resulta al multiplicar α por cada uno de los elementos de u⃗. Lo que

quiere decir: u⃗= (x,y,z) = (αx, αy, αz). Seguido de esto, tenemos la propiedad

distributiva de la multiplicación por un escalar respecto a la adición de vectores, el

cual vamos a resolver a través de la siguiente fórmula: α ¿.

Para la sustracción de vectores A⃗= (x1, y1, z1) y B⃗= (x2, y2, z2), se define como

A⃗−B⃗, a la adición del vector A⃗ con el opuesto de B⃗: A⃗−B⃗= A⃗+¿. Por lo tanto

quedaría: A⃗−B⃗=( x1−x2 , y1− y2 , z1−z2 ) .

Hasta ahora los vectores lo hemos estudiado desde un punto de vista matemático, pero

también se utilizan los vectores en la física e ingeniera, sobre todo en la física. La

rama de la física recibe el nombre de estática, que se refiere a cuerpos o partículas que

no están en movimiento, se supone que un cuerpo o una partícula está sometida a un

conjunto de fuerzas, quienes pueden ser representadas como vectores. A la adición de

estas fuerzas se les conoce como fuerza resultante. Pero en el caso de que dos cuerpos

se encuentren en reposo, sometido a la adición de varias fuerzas, esta resultante es

igual a cero. Desde la óptica matemática, basta con establecerlas componentes de un

vector en la forma (x,y,z), para poder operar con el mismo. En cambio, en las

aplicaciones prácticas se opera apera a partir del modulo de un vector y del ángulo

que forma con los ejes coordenados, como se ve es posible establecer la relación entre

ambos puntos de vista. Con el fin de facilitar la solución de los ejercicios, se recuerda

también, las relaciones que permiten representar a vectores en el plano y en el espacio,

considerando solo la posición de los mismos.

Se dice que un conjunto de vectores {u⃗ , v⃗ , w⃗ ,…. z⃗} es linealmente dependiente si

existen escalares α, β, γ,…, λ, no todos iguales a cero que cumplan con la relación:

αu⃗+¿ βv⃗+¿ γw⃗ +… + λ z⃗=0. Por lo que quedaría u⃗=a v⃗+b w⃗+…+m z⃗. Esta relación

expresa, que un conjunto de vectores linealmente dependientes, cualquiera de ellos

puede ser expresado como una combinación lineal de restantes. En particular, para

tres vectores linealmente dependientes en R3, se puede escribir:

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αu⃗+¿ βv⃗+¿ γw⃗ = 0

Un conjunto de cuatro o más vectores en R3, es linealmente dependiente, puesto que

la aplicación de αu⃗+¿ βv⃗+¿ γw⃗ +… + λ z⃗=0 a dicho sistema conduce a un sistema

que tiene más incógnitas que ecuaciones y que, por lo tanto, admite, además de la

solución trivial, infinitas soluciones.

Se dice que un conjunto de vectores {u⃗ , v⃗ , w⃗ ,…. , z⃗} es linealmente independiente si

la combinación lineal es nula, dada por: αu⃗+¿ βv⃗+¿ γw⃗ +… + λ z⃗=0. Es la

combinación trivial. Es decir, si los únicos valores que satisfacen la relación anterior

son α = β = γ =… = λ = 0. Cuando un conjunto es linealmente independiente, no es

linealmente dependiente, por que basta demostrar de las dos condiciones para

determinar la dependencia o independencia lineal del conjunto.

Luego de hablar un poco de las magnitudes, direcciones, y vectores linealmente

dependientes e independientes, se hablara a la referencia de dimensión y base del

espacio vectorial en r3. Por dimensión del espacio vectorial en r3, se refiere al número

máximo de vectores linealmente independientes que puede tener un conjunto de es

espacio vectorial. Como sabemos, el número máximo de vectores linealmente

independientes en r3 es 3, lo que quiere decir, que su dimensión es 3.

Ahora bien, se denomina base del espacio vectorial r3, de dimensión 3, a cualquier

conjunto de 3 vectores linealmente independientes de r3. De acuerdo a esto solo 3

vectores linealmente independientes en r3 constituyen una base. Es usual representar

una base en r3 como un conjunto de la forma: {e⃗1 , e⃗2 , e⃗3}. Unas vez establecida una

base en r3, cualquier valor puede expresarse como combinación lineal de los vectores

que conforman la base.

Cuando hablamos de base canónica, nos referimos a una base que está sometida a un

canon, a una regla, a una norma o a un modelo. Muy bien, los vectores {1,0,0},

{0, 1, 0} y {0, 0, 1}, se les designa mediante las letras i⃗ , j⃗ , k⃗ , respectivamente.

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Estos vectores forman una base en r3:

αi⃗+β j⃗+γ k⃗ = α {1,0,0}+ β {0,1,0}+ γ{0,0,1}= 0.

{α,0,0} {0,β,0} {0,0,γ}= 0.

De donde α =β= γ=0. Al conjunto { i⃗ , j⃗ , k⃗ ,} se le denomina base canónica, de acuerdo

a lo anterior cualquier vector en r3 puede expresarse como combinación lineal de

i⃗ , j⃗ y k⃗ es decir, se u⃗={x , y , z}, podemos decir:

(x,y,z)= αi⃗+β j⃗+γ k⃗ (x,y,z) = α {1,0,0}+ β {0,1,0}+ γ{0,0,1}

(x,y,z) = α {1,0,0}+ β {0,1,0}+ γ{0,0,1}= 0 (x,y,z) = (α, β, γ)

Esta relación indica que los componentes del vector de posición son iguales a las

coordenadas de u⃗ respecto a la base canónica

X=α y= β z=γ

Por lo tanto:

(x,y,z)= xi⃗+ y j⃗+z k⃗

Si yo tengo estos dos vectores u⃗= {u1, u2, u3} y v⃗={v1,v2,v3}. ¿Cómo seria su

productor escalar en r3? Bien, el producto interno representado por u⃗ . v⃗, se define

como: u⃗ . v⃗= u1v1+u2v2+u3v3

El producto interno es una cantidad escalar y se obtiene sumando los productos de las

componentes correspondientes. Para indagar sobre el significado del producto escalar

consideremos la operación:

u⃗ . u⃗ = {u1, u2, u3} . {u1, u2, u3}= u12 +u2

2+u33

Como sabemos de la relación (1.10), la magnitud o norma de un vector está dada por:

u⃗=√u12+u2

2 +u32

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Si comparamos las dos últimas relaciones, se ve que el producto escalar es igual al

cuadrado de la magnitud del vector, por lo tanto:

|u⃗|=√ u⃗+u⃗.

Algunas de las propiedades que posee este producto escalar en r3 son; propiedad

conmutativa (u⃗ . v⃗= v⃗ .u⃗); propiedad distributiva (u⃗ . ( v⃗+w⃗ )=u⃗ . v⃗+u⃗ . w⃗); multiplicación

por un escalar (m (u⃗ . v⃗ ¿¿=( mu⃗ ) . v⃗=u⃗ .(m v⃗)); para los vectores unitarios seria:

i⃗= {1,0,0 } j⃗={0 ,1 , 0 }k⃗=¿{0, 0, 1} se cumple: i⃗ . i⃗ = j⃗ . j⃗=k⃗ . k⃗ =1 y

i⃗ . j⃗ = j⃗ .k⃗ =k⃗ . i⃗=0. Y por último si u⃗ . v⃗=0 y u⃗ , v⃗ son vectores no nulos, entonces u⃗ y v⃗

son perpendiculares.

Para concluir podríamos decir que este contenido es muy importante porque nos

enseña a representar graficas en tres dimensiones, no es solo por eso, este tema se ve a

nivel universitario y nos será de gran ayuda para un futuro, tener algunos

conocimientos de lo que es espacio vectorial en r3, sus propiedades, como aplicarla de

manera correcta y muchas otras características que ya fueron nombradas

anteriormente.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Matematica, segundo diversificado Júpiter figuera yibirin. Wilkipedia.

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Monografias.