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Vectores en 3d Nivel Cero
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8/16/2019 Vectores en 3d Nivel Cero
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12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 1
Representación Gráficade un Vector
dirección: obviomagnitud: longitud
La localización es irrelevante
Estos sonidénticos
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8/16/2019 Vectores en 3d Nivel Cero
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Representación de un vector enCoordenadas Rectangulares
Cualquier vector A que se encuentre en el planox-y es posible representarlo por medio de suscomponentes rectangulares Ax y Ay
A
A x
A y
A x
= A cos
A y = A sen
2 2
x y A A A A
1tan tan
y y
x x
A A
A A
x y A A A
2 2 2
x y A A A! !4
3
7
x
y
x y
Cuidado A
A
A A A
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 2
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8/16/2019 Vectores en 3d Nivel Cero
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Representación de un vector enCoordenadas Polares
Algunas veces es más conveniente representar un punto en el planopor sus coordenadas polares, (r , ) donde r es la distancia desde elorigen hasta el punto de coordenadas ( x,y ) y es el ángulo entre r yun eje fijo, medido contrario a las manecillas del reloj.
r
( x,y)
x
y
o
tan y
x
2 2r x y
1
tan
y
x
12/02/2009 FLORENCIO PINELA - ESPOL 3
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8/16/2019 Vectores en 3d Nivel Cero
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La dirección de un vector en 2-D
x
y
-α
Sea = 130
Sen 130 = 0,766
Cos 130 = -0,643
α = - 230
Sen(-230 )= 0,766
Cos(-230 )=-0,643• Positivo en “sentido” antihorario
• Negativo en “sentido” horario
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 4
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Ejemplo: Encuentre el vector en coordenadas polaressi sus coordenadas en el plano x-y son (-2, -5)
-2
-5
¡Cuidado cuando usetan = y/x !
' 1 5
tan 68,22
o
¡Línea de acción delvector!
180 68,2o or
2 2( 2) ( 5) 29r : 29; 248,2or
12/02/2009 FLORENCIO PINELA - ESPOL 5
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El Método Gráfico para la Suma de Vectores
Los vectores se unenextremo con origen,
conservando sumagnitud y dirección.
El vector resultanteparte del origen delprimero al extremo
del último
A
B
A+B
C
A+B+C
D
R R = A + B +C + D
R A B C D
Florencio Pinela
12/02/20096FLORENCIO PINELA - ESPOL
http://faraday.physics.utoronto.ca/PVB/Harrison/Flash/Vectors/Add3Vectors.htmlhttp://faraday.physics.utoronto.ca/PVB/Harrison/Flash/Vectors/Add3Vectors.html
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LA SUMA DE VECTORES ES CONMUTATIVA(ejemplo de cinco vectores)
12/02/20097FLORENCIO PINELA - ESPOL
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EL VECTOR NEGATIVOLA MAGNITUD O MODULO DE UN VECTOR ES
SIEMPRE UNA CANTIDAD POSITIVA.
Un vector es negativo cuandoapunta en dirección contraria a unodefinido como positivo.
A -A B -B C
-C
Cuando un vector NO está referido a unsistema de coordenadas.
12/02/20098FLORENCIO PINELA - ESPOL
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RESTA DE VECTORES
RESTARLE UN VECTOR A OTRO VECTOR ESEQUIVALENTE A SUMARLE SU VECTOR NEGATIVO
A – B = A + (- B)
A B
A-B A-B
Polígono
Del extremo de B alextremo de A
Unamos los vectores por su origen
12/02/20099FLORENCIO PINELA - ESPOL
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Pregunta de concepto
Para los vectores a, b y c, indicados en la
figura. ¿Cuál de las siguientes alternativas escorrecta?
3) c b a
1) a c b
2) a b c
4) Todas son correctas
a
b
c
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LA LEY DEL COSENO
•
Sean los vectores a y b
a
b
a
b
Sea el menor ángulo formado entre los vectoresunidos por su origen
Sea el ángulo formado entre los vectores unidosextremo con origen
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Sea P el vector resultante de la diferenciaentre los vector a y b, y sea R la resultante
de la suma entre a y b.
a
bP
R
R2 = a2 + b2 + 2ab Cos
P2 = a2 + b2 - 2ab CosRecuerde que la magnitud del vector a –b es iguala la magnitud del vector b – a
P = a - bR = a + b
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Vectores Unitarios:
Un Vector Unitario es un vector
que tiene magnitud 1 y no tieneunidades
Es usado para especificar unadirección
Un vector unitario u apunta en ladirección de U
A menudo denotado con un“sombrero”: u = û
Ejemplos útiles son los vectoresunitarios cartesianos [ i, j, k ]
apuntando en las direcciones
de los ejes x , y y z
U
x
y
z
i
j
k
û
-
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LOS VECTORES UNITARIOS i, j y k
ˆ U
uU
Un vector unitario es la relación entre el vector y su magnitud
x
y
z
i
j
k
x y z A A A A
ˆˆ ˆ x y z
A A i A j A k
12/02/200914FLORENCIO PINELA - ESPOL
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Suma de Vectores usandocomponentes:
Considere C = A + B .
(a) C = (A x i + Ay j ) + (B x i + By j ) = (A x + B x )i + (Ay + By ) j
(b) C = (C x i + C y j )
Comparando las componentes de (a) y (b):
C x = A x + B x
C y = Ay + By
C
B xA
B yB
A x
A y
-
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A = Ax i + Ay j + Az k
Cualquier vector puede ser expresado entérmino de vectores unitarios.
Se pueden sumar, restar y multiplicar
Sean los vectores A= 2i – 4j + 6k y B= 4i + 2j – 3k
A B
A B
2 A B
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A
B
C
Exprese los vectores de la figura en función de vectores unitarios
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A
B
C
Para los vectores de la figura realice la siguiente operación:
A + B – 2C
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18
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Exprese el vector indicado en la figura enfunción de sus componentes rectangulares
i, j k.
10
4
8
x
y
z
10 i
- 8 j
4 k
A
¿Cuál sería la magnituddel vector A?
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8/16/2019 Vectores en 3d Nivel Cero
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Determine la magnitud de los vectores A, B y C
5
6
8
A B
C
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 21
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8/16/2019 Vectores en 3d Nivel Cero
22/62
ax
z
b
6
4
5
y
UTILIZANDO LA LEY DEL COSENO DETERMINE ELVALOR DEL ÁNGULO FORMADO ENTRE LOS
VECTORES a Y b DE LA FIGURA
12/02/2009 22FLORENCIO PINELA - ESPOL
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Para el paralelepípedo de la figura, determine el ánguloformado entre los vectores a y b.
a) 45,0º
b) 48,2º
c) 50,2º
d) 53,8º
e) 55,2º
a x
z
b
6
4
5
y
12/02/2009 23FLORENCIO PINELA - ESPOL
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LA LEY DEL SENO
a
b
c
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 24
Sen Sen Sen
a b c
a b c
Sen Sen Sen
-
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Utilice la ley del seno para determinar los valoresde las tensiones de cada una de las cuerdas.
20
40
100 N
T1T2
T3
12/02/2009 FLORENCIO PINELA - ESPOL 25
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8/16/2019 Vectores en 3d Nivel Cero
26/62
20
40
100 N
T1
T2
T3
70
40
70
3 22
40100
70 40 70
o
o o o
T T senT N
sen sen sen
3 1 100T T N
T1
T2
T3=100 N
3 1
70 70o o
T T
sen sen
12/02/2009 FLORENCIO PINELA - ESPOL 26
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8/16/2019 Vectores en 3d Nivel Cero
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El Método Analítico para
la Suma de Vectores
• El método geométrico de suma de vectores NO es elprocedimiento recomendado en situaciones donde se requiere altaprecisión o en problemas tridimensionales.
En esta sección se describe un método para sumar vectores quehacen uso de las proyecciones de un vector a lo largo de los ejes deun sistema de coordenadas rectangular.
A estas proyecciones se las llama componentes del vector.Cualquier vector se puede describir completamente por suscomponentes.
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SUMA DE VECTORES: COMPONENTES ORTOGONALES
AB
C
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A
Ax
Ay
Bx
By
Cx
Cy
R
B C
Rx
Ry
x x x x R A B C
y y y y R A B C
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 29
Ó Ó
-
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Ry
Rx
R
Rx = Ax + Bx + Cx (suma vectorial)
Ry = Ay + By + Cy (suma vectorial)
Magnitud del vector R
2 2
x y R R R
Línea de acción delvector R
1tan y
x
R
R
DETERMINACIÓN DE LA MAGNITUD Y DIRECCIÓNDEL VECTOR R
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Determine el vector que al sumarse a losvectores a y b den una resultante nula.
a) i – 10j + 3k b) 2i – 5j + 6k c) 5j + 6k
d) 10j – 3k e) – 10j + 3k
5
37
a b
x
y
z
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 31
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8/16/2019 Vectores en 3d Nivel Cero
32/62
A
Ax
Ay
Az
x ACos A
y ACos A
z ACos A
VECTOR EN 3-D Y LOS COSENOS DIRECTORES
x
y
z
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 32
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8/16/2019 Vectores en 3d Nivel Cero
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NOTAS IMPORTANTES SOBRE LADIRECCIÓN DE UN VECTOR
Si el vector se encuentra en el plano (2-D), ladirección del vector será indicada a través del valor
del ángulo que forma el vector con el eje positivo delas “x”.
Si el vector se encuentra en el espacio (3-D), la
dirección del vector será indicada por los ángulosque forma el vector con cada una de las direccionespositivas de los ejes de coordenadas.
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8/16/2019 Vectores en 3d Nivel Cero
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RELACIÓN ENTRE LOS COSENOS DIRECTORES
A
ACos x
A
ACos
y
A
ACos z
2222
z y x A A A A
2222222 Cos ACos ACos A A
)( 22222 CosCosCos A A
1222 CosCosCos
2222 )()()( ACos ACos ACos A
Con esta expresión, si conocemos dos de lostres ángulos podemos hallar el tercero.
Teorema dePitágoras en
3-D
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35/62
10
4
8
x
y
z
10 i
- 8 j
4 k
A¿Cuál es la direccióndel vector A?
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 35
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8/16/2019 Vectores en 3d Nivel Cero
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El vector mostrado en la figura tiene unamagnitud de 20 unidades. El ángulo queforma el vector con el eje y es:
a) 30,0º
b) 60,0º
c) 72,5º
d) 41,1º
e) 35,2º
8
6
y
z
x
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 36
-
8/16/2019 Vectores en 3d Nivel Cero
37/62
Para los vectores del gráfico determine elángulo formado entre los vectores a y – b
a) 55° b) 62°
c) 72°d) 82°e) 90°
5
37
a b
x
y
z
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 37
-
8/16/2019 Vectores en 3d Nivel Cero
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EL PRODUCTO ESCALAR DE VECTORESSean A y B dos vectores y sea el menor ángulo formado
entre los vectores unidos por su origen
A
B
A • B = A B Cos
De acuerdo a la definición, A • B es un númeroque puede ser positivo, negativo o cero, tododepende del valor del ángulo entre losvectores.
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 38
-
8/16/2019 Vectores en 3d Nivel Cero
39/62
A•
B = 0
A•
B < 0
A • B > 0
A
B
B
A
A
B
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 39
-
8/16/2019 Vectores en 3d Nivel Cero
40/62
A
B BA A
B
Dados los vectores A y B. En cuál de los siguientes casosel valor de A•B tiene el mayor valor
1
2 3
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-
8/16/2019 Vectores en 3d Nivel Cero
41/62
EL PRODUCTO ESCALAR EN COORDENADAS CARTESIANAS
SEAN LOS VECTORES: A = Ax i + Ay j + Az k y B = Bx i + By j + Bz k
A • B = (Ax i + Ay j + Az k) • (Bx i + By j + Bz k)
A • B = (Ax i) • (Bx i + By j + Bz k) + Ay j • (Bx i + By j + Bz k) + Az k •(Bx i + By j + Bz k)
El producto escalar entre vectores respectivamenteperpendiculares es igual a cero
A • B = Ax i • (Bx i) + Ay j • (By j) + Az k •(Bz k)
A • B = Ax Bx + Ay By + Az Bz
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 41
-
8/16/2019 Vectores en 3d Nivel Cero
42/62
A = Ax i + Ay j + Az k y B = Bx i + By j + Bz k
A • B = Ax Bx + Ay By + Az Bz
¡TENGA CUIDADO CON LOS SIGNOS DE LASCOMPONENTES DE LOS VECTORES!
A•
B = B•
AEL PRODUCTO ESCALAR ES
CONMUTATIVO
A • B = Suma de los productos de sus respectivas componentes
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 42
Ó É
-
8/16/2019 Vectores en 3d Nivel Cero
43/62
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO ESCALAR
A
B Acos es la proyección del vector Asobre el vector B, esto es AB
El área del rectángulo que tienepor lados A Cos y B, es AB Cos
AB Cos es por definición el resultado demultiplicar escalarmente dos vectores demagnitudes A y B que forman un ángulo .
A • B =ABB = BAA = AB Cos = Ax Bx + Ay By + Az Bz
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 43
-
8/16/2019 Vectores en 3d Nivel Cero
44/62
Dado el siguiente gráfico:
P
QS
Entonces: S•P = S•Q
a) Verdad
b) Falso
c) Faltan los ángulos de los vectores
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 44
-
8/16/2019 Vectores en 3d Nivel Cero
45/62
Para que los vectores: a = 6 i – 3 j + 6 k y b = i – 2 j + 3 k sean ortogonales,
debe tomar el valor de
a) – 4 b) 4c) – 6d) 6e) – 8
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 45
-
8/16/2019 Vectores en 3d Nivel Cero
46/62
Sean lo vectores: a = 5i - 2 j + 3k yb = 2i + 5 j + 6k. La proyección delvector a sobre el vector b es.
a) 4.6 b) 3.2c) 2.8d) 2.2
e) 1.2
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 46
-
8/16/2019 Vectores en 3d Nivel Cero
47/62
-
8/16/2019 Vectores en 3d Nivel Cero
48/62
Conociendo que |A| = 10 u y |B| = 1 5 u ,el ángulo formado entre los vectores
A y B esa) 90,0º
b) 86,4ºc) 80,4d) 76,4ºe) 70,4º
x
y
z
5a
b
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 48
EL PRODUCTO CRUZ DE VECTORES
-
8/16/2019 Vectores en 3d Nivel Cero
49/62
EL PRODUCTO CRUZ DE VECTORESSean A y B dos vectores y sea el menor ángulo formado entrelos vectores unidos por su origen.
A
B
Se define el producto A x B como otro vector, llamemos C aeste vector. Por definición C es un vector perpendicular alplano formado por los vectores A y B y su dirección está de
acuerdo a la regla de la “mano derecha”, la magnitud delvector C es por definición:
C C AB Sen
C A x B
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 49
L l d l d h l
-
8/16/2019 Vectores en 3d Nivel Cero
50/62
La regla de la mano derecha y ladirección del vector C
Cruce el vector A con elvector B “barriendo” elmenor ángulo. El pulgar
extendido le da ladirección del vector C
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 50
Ó
-
8/16/2019 Vectores en 3d Nivel Cero
51/62
A
B
C
B
A
-C
A x B = C
B x A = - C
A x B = - B x A
El producto vectorialno es conmutativo!!!
DIRECCIÓN DEL VECTOR C
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 51
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL
-
8/16/2019 Vectores en 3d Nivel Cero
52/62
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DELPRODUCTO VECTORIAL
A
B
A Sen
C = AB Sen => Área del paralelogramo formadopor los vectores A y B
A x B = C = AB sen
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 52
P l ió t t s C A B
-
8/16/2019 Vectores en 3d Nivel Cero
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Para la operación entre vectores C = AxBindique si cada enunciado es correcto o no
1. (A x B) x C = 0 V F
2. C (A x B) = C2 V F
3. La proyección del vector A sobre V Fel vector C es cero
4. La proyección del vector C sobre V F
el vector B es diferente de cero5. La magnitud del vector C V F
corresponde al área del paralelogramo formado de A y B
12/02/200953
-
8/16/2019 Vectores en 3d Nivel Cero
54/62
EL PRODUCTO VECTORIAL EN COORDENADAS CARTESIANAS
SEAN LOS VECTORES: A = Ax i + Ay j + Az k y B = Bx i + By j + Bz k
A x B = (Ax i + Ay j + Az k) x (Bx i + By j + Bz k)
A x B = (Ax i) x (Bx i + By j + Bz k) + (Ay j) x (Bx i + By j + Bz k) + (Az k) x (Bx i + By j + Bz k)
El producto cruz de vectores que tienen la misma dirección vale cero!!
A x B = (Ax i) x (By j + Bz k) + Ay j x (Bx i + Bz k) + Az k x (Bx i + By j)
A x B = AxBy i x j + AxBz i x k + AyBx j x i + AyBz j x k + AzBx k x i + AzBy k x j
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 54
-
8/16/2019 Vectores en 3d Nivel Cero
55/62
A x B = AxBy i x j + AxBz i x k + AyBx j x i + AyBz j x k + AzBx k x i + AzBy k x j
i
jk
i x j = k
j x k = i
k x i = j
i x k = - j
j x i = -k
A x B = AxBy k + AxBz (-j) + AyBx (-k) + AyBz i + AzBx j + AzBy (-i)
A x B = (AyBz – AzBy)i + (AzBx – AxBz) j + (AxBy – AyBx)k
i
j
k -j
-k
Agrupemos los términos i, j y k
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 55
-
8/16/2019 Vectores en 3d Nivel Cero
56/62
A x B = (AyBz – AzBy)i + (AzBx – AxBz) j + (AxBy – AyBx)k
A x B =
i j k
Ax Ay Az
Bx By Bz
=Ay AzBy Bz i -
Ax AzBx Bz j + Bx By
Ax Ayk
ˆ( )( (ˆ ˆ) )
y x z
x z z x y z z y
C
x y y x
C C
A B A B A B A BC k A B A B ji
12/02/2009 56FLORENCIO PINELA - ESPOL
-
8/16/2019 Vectores en 3d Nivel Cero
57/62
Sean los vectores A = 3 i – j + 2 k y B = -2 i – 2 j – 4 k , elvector unitario perpendicular al plano formado por los
vectores A y B es
k jib192
8
192
8
192
8)
k jia128
8
128
80)
k jie
384
8
384
8
384
8)
k jic186
8
186
11
186
1)
k jie384
8
384
16
384
8)
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 57
-
8/16/2019 Vectores en 3d Nivel Cero
58/62
¿Cuál de las siguientes alternativas representa unvector perpendicular al plano sombreado de lafigura?.
a) 24i + 20 j + 30k b) – 5i + 6 j + 8k
c) – 12i – 10 j + 15k d) 12i – 10 j – 15k e) 24i + 20 j+ 15k 4
5
6
x
y
z
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 58
DETERMINE EL VALOR DEL ÀREA DEL PLANO
-
8/16/2019 Vectores en 3d Nivel Cero
59/62
DETERMINE EL VALOR DEL ÀREA DEL PLANOSOMBREADO DE LA FIGURA
4
5
6
x
y
z
A
B
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 59
Dos vectores A y B vienen expresados por:
-
8/16/2019 Vectores en 3d Nivel Cero
60/62
Dos vectores A y B vienen expresados por:A = 3i + 4 j + k ; B = 4i - 5 j + 8k. Es verdad que A yB:
a) Son paralelos y apuntan en la misma dirección. b) Son paralelos y apuntan en direcciones contrarias.c) Forman un ángulo de 45º entre sí.
d) Son perpendiculares.e) Todas las alternativas anteriores son falsas.
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 60
-
8/16/2019 Vectores en 3d Nivel Cero
61/62
Sean las rectas AB y AC las que se cruzan en el punto A decoordenadas (4,-5,6), y los puntos B y C de coordenadas(2,3,5) y (5,4,2) respectivamente. ¿Cuál de las siguientesalternativas representaría un vector perpendicular al planoformado por las rectas?.
a) – 23 i – 9 j – 26 k b) 9 i – 14 j + 8 k c) 9 i – 23 j + 26 k d) 23 i – 9 j + 26 k e) – 9 i + 14 j – 8 k
12/02/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 61
Sean las rectas AB y AC las que se cruzan en el punto A de
-
8/16/2019 Vectores en 3d Nivel Cero
62/62
Sean las rectas AB y AC las que se cruzan en el punto A decoordenadas (4,-5,6), y los puntos B y C de coordenadas (2,3,5) y(5,4,2) respectivamente. ¿Determine un vector que sea
perpendicular al plano formado por las rectas?.
A
B
C