Vectores
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Son aquellas que quedan completamente identificadas dando su valor, que siempre es un número real número real acompañado de una unidad de medidaunidad de medida. Ejemplos: masa, temperatura, densidad, tiempo, longitud. Se las puede representar mediante segmentossegmentostomados sobre una recta a partir de un origen y de longitud igual tomados sobre una recta a partir de un origen y de longitud igual al númeroal número real que indica su medida.
Son aquellas que quedan completamente identificadas dando su módulo, dirección y sentidomódulo, dirección y sentido. Por ejemplo velocidad, aceleración, fuerza. El módulo de una magnitud vectorial siempre es un número real positivo. Para representarlas hay que tomar segmentos or ientadossegmentos or ientados, o sea, segmentos de recta cada uno de ellos determinado entre dos puntos extremos dados en un cierto orden.
Son atributos con los que medimos determinadas propiedades físicas
Saeta
Recta de referencia
AA
BBCC
DD
P
Q
T
Al conocer dos vectores A y B , podemos realizar dicha realizar operación, éste Al conocer dos vectores A y B , podemos realizar dicha realizar operación, éste consiste en encontrar un único vector denominado consiste en encontrar un único vector denominado vector suma o resultante (R) vector suma o resultante (R)
Esta suma no solo dependerá de su módulo, sino también de sus direcciones.Esta suma no solo dependerá de su módulo, sino también de sus direcciones.
La suma de dos La suma de dos vectores codir ig idos vectores codir ig idos viene dado por la suma viene dado por la suma directa de sus correspondientes módulos , y cuando e l los son directa de sus correspondientes módulos , y cuando e l los son contrariamente dir igidoscontrariamente dir igidos , e l vector suma viene dado por la , e l vector suma viene dado por la diferencia de sus módulos .diferencia de sus módulos .
AA
B
R = A + B
R = A + B Resultante máximaR = A + B Resultante máxima
AA
BB
R = A + B
|R | = | A | + | B | |R | = | A | + | B | Resultante Resultante
mínima mínima
θθ
AA
BB
θθ
AA
BB
α
β
RR
MÉTODO DEL TRIÁNGULOMÉTODO DEL TRIÁNGULO
Es un método gráfico sustentado en el método anterior, y que consiste en trasladar paralelamente a uno de los dos vectores, para colocarlo a continuación del otro, de modo que exista entre ellos una continuidad, así la resultante es el vector que cierra el triángulo. En este método podemos comprobar la propiedad conmutativa se cumple en la adición de vectores.
MÉTODO DEL POLÍGONOMÉTODO DEL POLÍGONO
Cuando se tienen tres o más vectores, se puede utilizar sucesivamente el método del triángulo, de modo que obviando las sumas parciales, se verifica que el vector resultante es el que cierra el polígono. Debes notar cualquiera que sea el orden que utilices para ubicar los vectores, la resultante es siempre la misma, aunque las figuras poligonales sean diferentes. Por eso podemos decir que la adición de vectores es asociativa y conmutativa.
EJEMPLO N°1: Un viaje de Vacaciones
Un automóvil viaja 20.0 Km. hacia el norte y después 35.0 Km. en dirección 60° al oeste del norte, como se muestra en la figura. Encuentre la magnitud y la dirección del desplazamiento resultante del automóvil.
A
B 60°
20
40
Y = Km
X = Km
-20
R120°
OPERACIONES CON VECTORESOPERACIONES CON VECTORES
R2 = 202 + 352 + 2.20.35.cos120R2 = 400 + 1225 + 2.20.35.(-0.5)R2 = 1625 – 700R2 = 925R = √925R = 30,41 Km
- B- B BB
AA DD
θ θ
AA
BB
DD
M é t o d o p r á c t ic o :
D = A - BD = A - B
DEFINICIÓNDEFINICIÓN• También conocido como producto de punto.• El producto escalar de dos vectores , es el
producto de las magnitudes de los mismos, multipl icado por el coseno del ángulo formado por el los .
Nos produce un resultado escalar
En general:En general: Para dos vectores, A y B, el producto escalar
es:
A . B = A . B cosθ = AB cosθ
A . B = A . B
F = F uerza s= Desplazamientoθ= Á ngulo formado por el vector fuerza y el vector desplazamiento
= F cos = F cos θθ
W = Fs cosW = Fs cos θθ
θθ Aplicamos una fuerza F a c ierto Aplicamos una fuerza F a c ierto objeto hac iendo que este se desplace objeto hac iendo que este se desplace de A hacia B; desplazamiento de A hacia B; desplazamiento definido por e l vector S .definido por e l vector S .
El trabajo hecho al causar e l El trabajo hecho al causar e l desplazamiento es proporcional a la desplazamiento es proporcional a la componente de F que se encuentra en componente de F que se encuentra en direcc ión de S; es decir direcc ión de S; es decir e l trabajo e l trabajo real izado por la fuerza es e l resultado real izado por la fuerza es e l resultado de l desplazamiento causado por la de l desplazamiento causado por la componente horizontal de F.componente horizontal de F.
Componente de la fuerza
F en la direcc ión S F en la direcc ión S
Trabajo hecho = (magnitud de
desplazamiento S) X (componente de la
fuerza F en la direcc ión S)
ó
DEFINICIÓNDEFINICIÓN
El producto del vector “A” por un El producto del vector “A” por un número real “m” es otro número real “m” es otro paralelo “mA” cuyo módulo es “m” veces el módulo de “a”.paralelo “mA” cuyo módulo es “m” veces el módulo de “a”.
Tendrá el mismo sentido que A s i “m” es positivo y sentido Tendrá el mismo sentido que A s i “m” es positivo y sentido opuesto s i “m” es negativo.opuesto s i “m” es negativo.
No solo se mult ipl ican escalares por un vector , s ino también No solo se mult ipl ican escalares por un vector , s ino también vector con vector:vector con vector:
A X B = CA X B = C
Nos da como resultado otro vector
El producto vector depende del orden de multiplicación :
A X B = B X A A X B = B X A lo correcto es lo correcto es B x A = -A X BB x A = -A X B
ÓÓA X B = -B X AA X B = -B X A
y
x
1
y
x
C
0
-1
4
-8
4
a) Hallamos el vector C :
C = extremo - origen = (-8;4) – (4;-1)
b) Para hallar el módulo del vector C usamos el Teorema de Pitágoras:
C = √ ( -12) ² + 5² = √144+25 = √169
c) El vector unitario de C ( ( μμ c ) c ) se halla dividiendo el vector Cse halla dividiendo el vector Centre el módulo C entre el módulo C :
Luego:
μμ c = C = ( -12,5) c = C = ( -12,5)
C 13
