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2. VECTORES (PARTE 2)

2.3 Vector de posicin

En geometra analtica se define la posicin de un punto mediante las coordenadas. En un espacio vectorial, de una a tres dimensiones, la posicin se define mediante un vector de posicin que se caracteriza por tener su inicio en el origen del sistema de coordenadas y su punta determina la posicin en cuestin; por ejemplo, con un sistema con origen 30 m al Este de la puerta de entrada al Tecnolgico, la Figura v 2.7 muestra los vectores de

posicin y , que ubican a las aulas F y Q respectivamente.

Si observa la Figura v 2.2 y tiene presente que el sistema de referencia de la figura v 2.7 tiene el origen 30 m al Este de la entrada al Tecnolgico, Podras determinar las componentes de los

vectores de posicin y ?

Las respuestas son:

( ) ( ) _ _ _ _ _ (2.10)

( ) ( ) _ _ _ _ _ (2.11)

Al usar vectores de posicin, no se deben confundir componente con coordenada, aunque son similares, su notacin y operatividad es diferente.

2.4 Suma de vectores

La suma de dos vectores se realiza sumando sus componentes, respectivamente, como enseguida se muestra:

Sean los vectores

y

Su suma es

( ) ( )

Regresemos al sistema de referencia de la Figura v

2.7 y observemos los vectores y en la Figura v 2.8.

Al sumarlos

( ) ( ( ))

( ) ( ) _ _ _ (2.12)

Al comparar la suma (2.12) con el vector (2.11) observamos que

Fsica Unidad 2 Vectores 2 19 ___________________________________________________________________________________________________________

_ _ _ _ _ (2.13)

Conforme a la Figura v 2.8, podemos afirmar que cuando, geomtricamente, un vector se coloca enseguida de otro, el vector que cierra el tringulo de cola con cola a punta con punta es la suma de los dos primeros. Los ngulos internos del tringulo, las magnitudes del vector suma y de los sumandos, se relacionan mediante expresiones trigonomtricas que se denominan Ley de senos y Ley de cosenos; al final de esta seccin se mencionan.

Con (2.13) se hace explcito el vector desplazamiento (cambio de posicin),

Pueden usarse subndices numricos, 1 salida o inicio y 2 llegada o fin, entonces

_ _ _ _ _ (2.14),

De esta forma, el vector cambio de posicin es igual al vector de posicin de llegada menos el vector de posicin de salida.

cos sen

tan

cos

sin

sin

sin

2.5 Multiplicacin de un vector por un escalar

Si se tiene el vector

Al multiplicarse, dicho vector, por el escalar , lo que se hace es multiplicar cada una de sus componentes por el escalr; es decir,

20 Fsica Unidad 2 Vectores 2 ___________________________________________________________________________________________________________

Por ejemplo, si al vector lo multiplicamos por resulta

Ver la Figura v 2.11.

El vector y el vector son paralelos. Si el escalar

tuviese signo negativo, el vector tendra signo opuesto al del vector .

Si el escalar es la magnitud de cierto vector y se conoce

un vector unitario cuya direccin coincide con la de es e

cierto vector, entonces se puede determinar ese vector:

_ _ _ _ _ _ (2.15)

es un vector unitario en direccin del vector y

es la magnitud del vector .

2.6 Producto escalar

Hay cantidades fsicas que requieren el uso de la

operacin vectorial llamada producto escalar o

producto punto. Este producto consiste en un

producto de dos vectores que da como resultado

una cantidad escalar.

El producto escalar entre dos vectores

se define como

cos _ _ _ _ _ _ _ (2.16)

En esta expresin (2.16), y son las magnitudes

de los vectores y es el ngulo comprendido entre

y (Figura v 2.12).

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El producto escalar entre dos vectores unitarios,

considerando que el ngulo que forman es de 90,

0 o 180 (Figura v 2.13) y aplicando (2.14), resulta

ser:

( ) ( )

( )

El producto escalar entre los vectores

tambin se puede determinar con

( ) ( )

_ _ _ _ (2.17)

Analizando las expresiones anteriores se deduce

que, el producto escalar de vectores paralelos es

positivo si los vectores tienen igual sentido y

negativo en el caso de que tengan sentidos

opuestos.

2.7 Igualdad de vectores

Cuando se presenta una ecuacin vectorial en la que la suma de algunos vectores es igual a la suma de otros (incluso podran estar implicadas otras operaciones), como

_ _ _ _ (2.18) se puede reducir a una ecuacin cuyos miembros tengan un vector cada uno:

o bien,

_ _ _ (2.19)

Si definimos que dos vectores son iguales, si y slo s, sus componentes son iguales, respectivamente; entonces, una ecuacin vectorial se reduce a tres ecuaciones escalares:

Con estas tres expresiones se resuelve (2.18)