12 Física Unidad 2 Vectores ___________________________________________________________________________________________________________

2. VECTORES (PARTE 1)

2.1 Vectores unitarios

Un vector unitario es un vector con magnitud 1, sin

unidades. Sirven para determinar una dirección en

el espacio y son útiles en el manejo de las

expresiones vectoriales.

En la Figura v 2.1 se muestran los vectores

unitarios en la dirección de los ejes de

coordenadas.

La notación de cualquier vector,

independientemente de su magnitud, se hace con

letras negritas cursivas con una flecha arriba. Para

distinguir los vectores unitarios en dirección de los

ejes de coordenadas, se usan letras negritas

cursivas y se les agrega un acento circunflejo o

“sombrero” ( ˄ ).

Por ahora se requieren los vectores en el plano, por

lo cual omitimos el vector que está en la dirección

del eje y únicamente usaremos los vectores y

que están en las direcciones y

respectivamente.

2.2 Componentes vectoriales

En este contexto, vector es una herramienta

matemática que sirve para representar cantidades

vectoriales. Recordamos que éstas tienen magnitud

y dirección en un sistema de referencia. Éste

consiste en un sistema de coordenadas

rectangulares en el plano, conforme a las

situaciones que aquí se presentan1. El sistema de

referencia en relación al vector es una parte del

sistema de referencia que corresponde al

movimiento mecánico.

Un vector se determina por sus componentes y

éstas a su vez, están relacionadas con el sistema

de referencia. Enseguida se presenta un ejemplo

para ilustrar sistemas de referencia, componentes y

notación vectorial:

El aula F se localiza 52 m al Sur y 38 m al Este de

la puerta de entrada al Tecnológico. Un alumno, al

cambiar de “clase” debe trasladarse del aula F al

aula Q. Puede hacerlo de una de las tres maneras

siguientes:

1) Desde el aula F, camina 68 m al Este y luego 68

m al Sur.

2) Desde el aula F, camina en una dirección tal que

forma 75º con el Oeste y 15º con el Sur y

enseguida camina en una dirección tal que

forma 15º con el Este y 75º con el Sur.

3) Camina en línea recta desde el aula F hasta el

aula Q.

Nuestra tarea es usar varios sistemas de referencia

para representar el vector desplazamiento desde el

aula F hasta el aula Q.

Primeramente ilustramos el planteamiento mediante

una figura (Figura v 2.2).

1 Nota,- En otras situaciones se requerirán coordenadas; por

ejemplo, polares.

Física Unidad 2 Vectores 13

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i. Sistema de referencia con el origen en la

puerta de entrada. El eje está en la

dirección Este y el eje en la dirección

Norte (Figura v 2.3).

La notación del vector desplazamiento de la

posición F a la posición Q es

_ _ _ _ _ _ (2.1)

Las componentes son y . Ya que conocemos

las magnitudes de dichas componentes (Figura v 2.2), el vector se podrá escribir agregando los signos de acuerdo al sistema de referencia,

( ) ( ) _ _ _ _ _ _ (2.2)

ii. Sistema de referencia con el origen en la puerta

de entrada. El eje está en la dirección Este

y el eje en la dirección Sur (Figura v 2.4).

Su notación es,

( ) ( ) _ _ _ _ _ (2.3)

La magnitud del vector se determina mediante

| | √ _ _ _ _ _ _ _ (2.4)

Observe que en (2.4) los signos de las componentes no afectan al valor de la magnitud, ésta siempre será positiva.

El ángulo ɵ se puede determinar con

_ _ _ _ _ _ _ (2.5)

Al aplicar la relación (2.5) se debe tener el cuidado de usar solo las magnitudes de las componentes y

ubicar correctamente al ángulo .

Con los valores de las componentes de (2.3), sustituyendo en (2.4) y (2.5) se determinan la

magnitud, y el ángulo, ɵ.

√( ) ( ) _ (2.6)

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_ _ _ _ (2.7)

iii. Sistema de referencia con el origen 14 m al

sur de la puerta de entrada. El eje forma

15º con la dirección Este y 75º con la dirección

Sur. El eje forma 75º con la dirección Este

y 15º con la dirección Norte (Figura v 2.5).

Si se observa la Figura v 2.2 se deduce que el

ángulo en este caso es de 30º; con este ángulo y

la magnitud , mediante funciones trigonométricas,

se determinan las magnitudes de las componentes

, como sigue:

( )

√

( )

Entonces el vector, , con los

valores de sus componentes resulta

( ) _ _ _ _ _ (2.8)

iv. Sistema de referencia con el origen en el aula

F, y el eje está en dirección al aula Q (Figura v 2.6).

Podemos observar en la Figura v 2.6 que el vector tiene como componentes y ,

entonces lo podemos expresar como

( ) _ _ _ _ _ (2.9)

La cantidad vectorial, desplazamiento del aula F al aula Q, siempre es la misma; el vector

desplazamiento, , siempre es el mismo, pero sus

expresiones son diferentes, acordes al sistema de referencia. Compare las expresiones (2.2), (2.3), (2.8) y (2.9), son equivalentes. Con la práctica se puede elegir el sistema de referencia más cómodo.

También podemos observar que el desplazamiento depende únicamente del punto de partida y del punto de llegada; no depende de la trayectoria.