VECTOR GRADIENTE

De forma geométrica el gradiente es un vector que se encuentra normal (perpendicular) a la curva de nivel en el punto que se está estudiando, llámese (x, y), (x, y, z), (tiempo, temperatura), etcétera. Propiedades 

El gradiente verifica que: Es ortogonal a las superficies equiescalares, definidas por

=cte. Apunta en la dirección en que la derivada direccional es

máxima. Su módulo es igual a esta derivada direccional máxima. Se anula en los puntos estacionarios (máximos, mínimos y

puntos de silla).

Ejercicio: 

-Calcular la gradiente de la función

Solución:

-Reemplazando:

Ejercicio 2:

Se considera a la función 𝑓ሺ𝑥,𝑦ሻ= 𝑒𝑥𝑦 + 𝑥𝑦+ 𝑠𝑒𝑛൫ሺ2𝑥+ 3𝑦ሻ𝜋൯.

Calcular: 𝜕𝑓𝜕𝑥 ,𝜕𝑓𝜕𝑦 ,𝜕2𝑓𝜕𝑥2 , 𝜕2𝑓𝜕𝑥𝜕𝑦 ,𝑓𝑥ሺ0,1ሻ,𝑓𝑦ሺ1,0ሻ,𝑓𝑥𝑥ሺ1,1ሻ𝑓𝑥𝑦ሺ0,−1ሻ

Solución: 𝑓𝑥𝑓𝑥

Primero desarrollando las derivadas parciales:

𝜕𝑓𝜕𝑥 = 𝑦𝑒𝑥𝑦 + 1𝑦+ 2𝜋cos (ሺ2𝑥+ 3𝑦ሻ𝜋)

𝜕𝑓𝜕𝑦 = 𝑥𝑒𝑥𝑦 − 𝑥𝑦2 + 3𝜋cos ((2𝑥+ 3𝑦)𝜋

𝜕2𝑓𝜕𝑥2 = 𝑦2𝑒𝑥𝑦 − (2𝜋)2𝑠𝑒𝑛(ሺ2𝑥+ 3𝑦ሻ𝜋)

𝜕2𝑓𝜕𝑥𝜕𝑦 = 𝑒𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑥𝑦 − 1𝑦2 + 6𝜋2𝑠𝑒𝑛(ሺ2𝑥+ 3𝑦ሻ𝜋)

Evaluando en los puntos dados

𝑓𝑥ሺ0,1ሻ= 1+ 1+ 2𝜋cosሺ3πሻ= 2− 2𝜋

𝑓𝑦ሺ1,0ሻ= 0+ 0+ 3𝜋= 3𝜋

𝑓𝑥𝑥ሺ1,1ሻ= 2.72+ 0 = 2.72

𝑓𝑥𝑦ሺ−1,−1ሻ= 2.72+ 1− 1+ 53.85 = 58.57

Ejercicio 2:

Se considera a la función 𝑓ሺ𝑥,𝑦ሻ= 𝑒𝑥𝑦 + 𝑥𝑦+ 𝑠𝑒𝑛൫ሺ2𝑥+ 3𝑦ሻ𝜋൯.

Calcular: 𝜕𝑓𝜕𝑥 ,𝜕𝑓𝜕𝑦 ,𝜕2𝑓𝜕𝑥2 , 𝜕2𝑓𝜕𝑥𝜕𝑦 ,𝑓𝑥ሺ0,1ሻ,𝑓𝑦ሺ1,0ሻ,𝑓𝑥𝑥ሺ1,1ሻ𝑓𝑥𝑦ሺ0,−1ሻ

Solución: 𝑓𝑥𝑓𝑥

Primero desarrollando las derivadas parciales:

𝜕𝑓𝜕𝑥 = 𝑦𝑒𝑥𝑦 + 1𝑦 + 2𝜋cos (ሺ2𝑥+ 3𝑦ሻ𝜋)

𝜕𝑓𝜕𝑦 = 𝑥𝑒𝑥𝑦 − 𝑥𝑦2 + 3𝜋cos ((2𝑥+ 3𝑦)𝜋

𝜕2𝑓𝜕𝑥2 = 𝑦2𝑒𝑥𝑦 − (2𝜋)2𝑠𝑒𝑛(ሺ2𝑥+ 3𝑦ሻ𝜋)

𝜕2𝑓𝜕𝑥𝜕𝑦 = 𝑒𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑥𝑦 − 1𝑦2 + 6𝜋2𝑠𝑒𝑛(ሺ2𝑥+ 3𝑦ሻ𝜋)

Evaluando en los puntos dados

𝑓𝑥ሺ0,1ሻ= 1+ 1+ 2𝜋cosሺ3πሻ= 2− 2𝜋

𝑓𝑦ሺ1,0ሻ= 0+ 0+ 3𝜋= 3𝜋

𝑓𝑥𝑥ሺ1,1ሻ= 2.72+ 0 = 2.72

𝑓𝑥𝑦ሺ−1,−1ሻ= 2.72+ 1− 1+ 53.85 = 58.57

Ejercicio 2:

Se considera a la función 𝑓ሺ𝑥,𝑦ሻ= 𝑒𝑥𝑦 + 𝑥𝑦+ 𝑠𝑒𝑛൫ሺ2𝑥+ 3𝑦ሻ𝜋൯.

Calcular: 𝜕𝑓𝜕𝑥 ,𝜕𝑓𝜕𝑦 ,𝜕2𝑓𝜕𝑥2 , 𝜕2𝑓𝜕𝑥𝜕𝑦 ,𝑓𝑥ሺ0,1ሻ,𝑓𝑦ሺ1,0ሻ,𝑓𝑥𝑥ሺ1,1ሻ𝑓𝑥𝑦ሺ0,−1ሻ

Solución: 𝑓𝑥𝑓𝑥

Primero desarrollando las derivadas parciales:

𝜕𝑓𝜕𝑥 = 𝑦𝑒𝑥𝑦 + 1𝑦+ 2𝜋cos (ሺ2𝑥+ 3𝑦ሻ𝜋)

𝜕𝑓𝜕𝑦 = 𝑥𝑒𝑥𝑦 − 𝑥𝑦2 + 3𝜋cos ((2𝑥+ 3𝑦)𝜋

𝜕2𝑓𝜕𝑥2 = 𝑦2𝑒𝑥𝑦 − (2𝜋)2𝑠𝑒𝑛(ሺ2𝑥+ 3𝑦ሻ𝜋)

𝜕2𝑓𝜕𝑥𝜕𝑦 = 𝑒𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑥𝑦 − 1𝑦2 + 6𝜋2𝑠𝑒𝑛(ሺ2𝑥+ 3𝑦ሻ𝜋)

Evaluando en los puntos dados

𝑓𝑥ሺ0,1ሻ= 1+ 1+ 2𝜋cosሺ3πሻ= 2− 2𝜋

𝑓𝑦ሺ1,0ሻ= 0+ 0+ 3𝜋= 3𝜋

𝑓𝑥𝑥ሺ1,1ሻ= 2.72+ 0 = 2.72

𝑓𝑥𝑦ሺ−1,−1ሻ= 2.72+ 1− 1+ 53.85 = 58.57