Vector Es

UNIVERSIDAD CATÓLICA DE EL SALVADORFACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURAMATERIA: FISICA GENERAL, SECCIÓN “A”ORIENTADOR: ING. SAMUEL ADOLFO DUEÑAS APARICIO

GUIA # 1 “VECTORES”

“El maestro mediocre dice,el buen maestro explica,

el maestro superior demuestra,el gran maestro inspira”

William A. Ward (1921-1994)Profesor Estadounidense

ING. SAMUEL ADOLFO DUEÑAS APARICIO 1

CUESTIONARIO

1. Si al multiplicar dos vectores escalarmente, el resultado es cero, podemos asegurar que: a) Son perpendiculares b) Uno de ellos necesariamente es cero c) Son paralelos

2. Si al multiplicar dos vectores vectorialmente, el resultado es cero, podemos asegurar que: a) Son paralelos b) Son perpendiculares c) Uno de ellos necesariamente es cero

3. Si sumamos dos vectores uno de modulo 3 y otro de modulo 2 el resultado: a) Es un vector de modulo 5 b) Es un escalar de modulo 5 c) Es un vector, pero es necesario conocer sus direcciones para poder sumarlos

4. Cualquier vector se puede expresar en función de sus componentes: a) En todos los casos b) Solo cuando el vector se encuentra en un plano c) Cuando no sea un vector unitario

5. Si dividimos un número por un vector, el resultado es: a) Un vector b) Un número c) No es posible dividir por un vector

6. La superficie es una magnitud: a) Escalar y nos da el área b) Es un vector perpendicular a la superficie en cada punto de ésta, y su modulo e área c) La superficie no es una magnitud

7. Si queremos sumar un sistema de vectores: a) Sumaremos los módulos b) Hay que tener en cuenta tanto el modulo como la dirección de cada uno c) Da igual el modulo, lo importante es la dirección

8. La diferencia entre una cantidad escalar y un campo escalar es: a) No hay diferencia es lo mismo b) Un campo escalar es una función cuyo valor depende del punto del espacio que se considere. Una cantidad escalar tiene valor constante c) Son de signo contrario


PROBLEMAS

1. Considérense dos desplazamientos, uno de 3 m de magnitud y otro de 4 m. Demostrar como pueden combinarse estos vectores para obtener un desplazamiento resultante cuya magnitud sea a) de 7 m, b) de 1 m y c) de 5 m.

R/ a) paralelos, b) antiparalelos, c) perpendiculares.

2. Un jugador de golf mete su pelota en un hoyo en tres golpes. El primer golpe desplaza la pelota 12 pies hacia el norte; el segundo, 6 pies al sureste y el tercero, 3 pies al suroeste. ¿Qué desplazamiento seria necesario para meter la pelota en el hoyo al primer golpe?

R/ 6 pies, 20.5o hacia el este del norte.

3. Determinar la suma de los vectores de desplazamiento c y d cuyas componentes en kilómetros a lo largo de tres direcciones mutuamente perpendiculares sean:cx = 5.0, cy = 0, cz = -2.0; dx = -3.0, dy = 4.0, dz = 6.0.

R/ rx = 2.0 km; ry = rz = 4.0 km.

4. Dados los vectores, A=4i−3j y B=6i8j , encontrar la magnitud y dirección de A ,de B ,de AB ,de B−A y de A− B.

R/ Las magnitudes son 5, 10, 11,11 y 11. Los ángulos con el eje x positivo son 323˚, 53˚, 27˚, 80˚ y 260˚.

5. Un tren recorre las estaciones A, B y C en ese orden, de A a B recorre 75 Km. Al sur y de B a C viaja1.0x102 Km. Al noroeste: a) indique la ubicación de A, B y C en un diagrama que tenga indicado con claridad sus ejes coordenadas, b) calcule las componentes del desplazamiento del tren entre A y C, c) ¿cual es la magnitud y la dirección del desplazamiento?

R/ b) Rx = -70.71 Km, Ry = - 4.28 Km; c) R = 70.84 Km., 3.46o al suroeste.

6. Dos vectores a yb tienen magnitudes iguales, digamos de 10 unidades; están orientados como se muestra en la figura 1, y su suma vectorial es r . Encontrar a) las componentes x y y de r , b) la magnitud de r y c) el ángulo que r forma con el eje x.


R/ a) ax = 8.7 u, ay = 5 u, bx = -7.1 u, by = 7.1 u, rx = 1.6 u, ry = 12.1 u b) r = 12.1 u;c) Ør = 82.5˚

7. Una partícula experimenta tres desplazamientos sucesivos en un plano, de la siguiente manera: 4 m al suroeste, 5 m al este y 6 m en una dirección de 60˚ al norte del este. Encontrar: a) las componentes de cada desplazamiento, b) las componentes del desplazamiento resultante, c) la magnitud y la dirección del desplazamiento resultante y d) el desplazamiento requerido para regresar a su punto de partida.

R/ a) ax = -2.8 m, ay = -2.8 m; bx = 5 m, by = 0; cx = 3 m, cy = 5.2 m b) dx =5.2 m, dy = 2.4 m. c) 5.7 m, 25˚ al norte del este. d) 5.7 m, 25˚ al sur del oeste.

8. Un vector d tiene una magnitud de 2.5 m y apunta hacia el norte.¿cuáles son las magnitudes y direcciones de los vectores:

a) – d, b) d/2, c) –2.5d y d) 4d? R/ a) 2.5 m al sur, b) 1.25 m al norte, c) –6.25 m al sur, d) 10 m al norte.

9. Un hombre anda 10 m hacia el noreste y luego otros 10 m hacia el este. Hacer un grafico de estos desplazamientos y hallar el vector desplazamiento resultante.

R/ el vector desplazamiento resultante es 18.6 m, 22˚ al norte del este.

10. Un insecto comienza a moverse en un punto A, se arrastra 8.0 cm al este, 5.0 cm al sur, 3.0 cm al oeste, y 4.0 cm al norte hasta un punto B. a) ¿Qué tan retirado se encuentran el punto B del A en dirección norte y en dirección este? b) Calcular el desplazamiento de A a B gráficamente y algebraicamente.R/ a) 5.0 cm a; este, 1.0 cm al norte; b) 5.10 cm a 11.3o al sureste.

11. Partiendo del centro de una ciudad, un automóvil viaja hacia el este hasta recorrer 80.0 km y, a continuación, da vuelta hacia el sur y recorre 192 km, en donde se le termina la gasolina. Determine el desplazamiento del automóvil detenido a partir del centro de la ciudad.R/ 208 km, 67.4 o hacia el sureste.

12. Partiendo del origen de coordenadas, se realizan los siguientes desplazamientos en el plano xy (este es, los desplazamientos con coplanares); 60 mm en dirección +y, 30 mm en dirección -x, 40 mm a 150o , y 50 mm a 240o , Calcular el desplazamiento resultante gráfica y algebraicamente.R/ 97 mm a 158o

13. Hallar los componentes rectangulares de los vectores comprendidos en el plano xy y que tienen un modulo ∣A∣ formando un ángulo Ø con el eje x, para los siguientes valores de ∣A∣ y Ø: a) ∣A∣=10m , Ø = 30˚; b) ∣A∣=5m , Ø = 45˚; c) ∣A∣=7m , Ø = 60˚; d) ∣A∣=5m , Ø = 90˚; e) ∣A∣=15m /s , Ø = 150˚; f) ∣A∣=10m / s , Ø = 240˚; g) ∣A∣=8m / s2 , Ø = 270˚.

14. Usted tiene hambre y decide visitar su restaurante de comida rápida preferido. Sale de su apartamento, baja 10 pisos en el elevador (cada piso tiene 3.0 m de altura) y camina 15 m al sur hacia la salida del edificio. Luego camina 0.2 km al este, da vuelta al norte y camina 0.1 km hasta la entrada del restaurante. a) Determine el desplazamiento entre su departamento y el restaurante. Use notación con vectores unitarios en su respuesta, dejando bien en claro qué sistema de


coordenadas eligió. b) ¿Qué distancia recorrió por el camino que siguió de su departamento al restaurante y qué magnitud tiene el desplazamiento que calculó en el inciso a)?R/ a) 200 mi 85mj−30 m k , b) 345 m , 219 m.

15. Dos vectores están dados por a=4i−3jk yb=−i j4k . Encontrar:

a) ab , b) a−b y c) un vector c tal que a−bc=0 . R/ a) 3i – 2j + 5k, b) 5i – 4j –3k c) igual que b), pero con signo contrario.

16. Hallar el modulo y la dirección de los siguientes vectores: a) A=5i3j ; b) B=10i−7j ; c)C=−2i−3j

R/ a) ∣A∣=5.83 m , Ø = 31˚; b) ∣B∣=12.2m , Ø = 325˚ ó -35˚; c) ∣C∣=3.60m , Ø = 235º.

17. Describir los vectores siguientes utilizando los vectores unitarios i y j: a) una velocidad de 10 m/s con un ángulo de elevación de 60˚; b) un vector A de modulo = 5 m y Ø = 225˚; c) un desplazamiento desde el origen al punto x = 14 m, y y = -6 m.

R/ a) v=5i8.66jm /s ; b) A=−3.54i−3.54jm m; c) r=14i−6jm .

18. En el caso de los dos vectores A y B indicados en la figura 2 hallar gráficamente a) AB ; b) A−B ; c) 2 AB ; d) B−A ; e) 2 B−A .

19. El anillo de la figura esta sujeto a la acción de dos fuerzas F 1 y F2 . si se quiere que la fuerza resultante tenga una magnitud de 1 KN y esta dirigida verticalmente hacia abajo, determine las magnitudes de F 1 y F2 (Sugerencia: Utilice la ley de los senos del triangulo que se forma al sumar las dos fuerzas)


R/ ∣F 1∣=652.7 N ,∣F2∣=446.5 N.

20. Determinar la resultante del sistema de fuerzas indicado en la figura. Aplique el método de componentes rectangulares.

R/ 153 N

21. La suma de las fuerzas de la figura es de 700 N, dirigida verticalmente. ¿cuál es la magnitud de los ángulos α y β? (Sugerencia: Aplique la ley del coseno y la ley de los senos al triangulo que se forma al sumar las dos fuerzas)

R/ α = 55.9o, β = 45.5o


αβ

22. Una rueda con un radio de 45.0 cm. rueda sin patinar a lo largo de un piso horizontal (ver figura). En el tiempo t1, el punto p pintado en el borde de la rueda está en el punto de contacto entre la rueda y el piso. En un tiempo posterior t2, la rueda ha girado la mitad de una vuelta. ¿Cuáles son a) la magnitud y b) el ángulo (con respecto al piso) del desplazamiento de p durante este intervalo?R/ a) 168 cm.; b) 32.5º sobre el piso

23. En el sistema de vectores mostrado en la figura. Hallar el módulo del vector resultante. Si: A = 30 , B = 15. C =10R/ 24 u

24. ¿Qué podrás decir de la resultante de los vectores mostrados?R/ 80 N

25. En el siguiente conjunto de vectores. ¿Cómo deben ser las componentes del vector D, si la resultante del sistema de vectores es cero? Además: A = 25; C = 30 y θ = 217°.R/ (5, -4)


26. Imagine que pasea en canoa en un lago. Desde su campamento en la orilla, rema 240 m en una dirección 32º al sur del este para llegar a un almacén donde compra víveres. Conoce la distancia porque ha localizado tanto el campamento como el almacén en un mapa. Al regreso, rema una distancia B en la dirección 48º al norte del oeste y una distancia C en la dirección 62º al sur del oeste para volver a su campamento. Ha medido con su brújula las direcciones en que remó, pero no conoce las distancias. Dado que le interesa conocer la distancia total que remó, use métodos vectoriales para calcular B y C.

R/ B = 255 m, C = 70 m.

27. Imagine que acampa con dos amigos, José y Carlos. Puesto que a los tres les gusta la privacía, no levantan sus tiendas juntas. La de José está a 21.0 m de la suya, en dirección 23.0º al sur del este. La de Carlos está a 32.0 m de la suya, en dirección 37.0º al norte del este. ¿Qué distancia hay entre las tiendas de José y de Carlos?

R/ 28.2 m

28. Dados los vectores A=3i4jk y B=i−2j5k calcular: a) sus módulos; b) su suma; c) su producto escalar; d) el ángulo formado entre ambos; e) la proyección del vector A sobre el B; f) su producto vectorial.

R/ a) 26 ,30 , b) 4i +2j +6 k, c) 0, d) 90o, e) 0, f) 22i –14j –10 k

29. Dado el sistema de ecuaciones vectoriales ab=3i−2j5k ,a−b=i−6j−3k determinar ∣a∣y∣b∣.

R/ ∣a∣=21 y∣b∣=21

30. Hallar el ángulo que existe entre A=3i jk y B=−3i j2k R/ 118.91o

31. En el producto F=qv X B , tome q = 2,

v=2.0i4.0 j6.0 k y F=4.0 i−20j12k¿Entonces cuál es B en notación de vector unitario si Bx = By?R/ B=−3i−3j−4k


32. Dados los vectores A=5i−2j−3k ; B=bx i−2jbz k ; C=3ic y jk ; determinar bx, bz y

cy, para que A , B y C sean mutuamente perpendiculares. R/ bx =16/7, bz = 36/7, Cy = 6

33. Para los siguientes tres vectores, ¿Cuál es 3 C .2 A x B?

A=2.00 i3.00 j−4.00 k

B=−3.00 i4.00 j2.00k

C=7.00 i−8.00 j

R/ 540 u


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