variaciones_relacionadas(gustavo)

5/10/2018 variaciones_relacionadas(gustavo) - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/variacionesrelacionadasgustavo 1/6

UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓNDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAFAC. DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS

VARIACIONES RELACIONADAS

Hemos visto cómo usar la regla de la cadena para calcular dy

dximplícitamente. Otra

aplicación suya importante es el cálculo de razones de cambio de dos o más variablesque cambian con el tiempo.

Por ejemplo, cuando el agua sale de un depósito cónico( ver fig 1) el volumen V

, el radio r y la altura h del nivel del agua, son funciones del tiempo t . Sabiendo queestas variables están relacionadas por la ecuación

2

3

V r hπ

=

podemos derivar implícitamente respecto de t para obtener la ecuación de razones

relacionadas( también llamada ecuación de variaciones relacionadas)

2 22 23 3

dV dh dr dh dr r h r r rh

dt dt dt dt dt

π π = + = +

Este concepto se ilustra en el Ejemplo1

Ejemplo1 Dos razones relacionadas

Si , x y , son funciones derivables de t relacionadas por la ecuación 2 4 y x= + , hallar dy

dt cuando 1 x = , dado que 2

dx

dt = cuando 1 x = .

Solución Por la regla de la cadena, podemos derivar ambos miembros de la ecuación2 4 y x= + respecto de t , obteniéndose

2dy dx

xdt dt

=

Ahora bien, cuando 1 x = 2dxdt

= , luego obtenemos 2 1 2 4dydt

= ⋅ ⋅ = .

Observación

En el ejemplo 1, se nos daba el siguiente modelo matemático:

Ecuación dada: 2 4 y x= +

Ritmo dado: 2dx

dt = cuando 1 x = .

1



Calcular:dy

dt cuando 1 x = .

Ahora veremos un ejemplo en el que hemos de crear el modelo a partir de unadescripción verbal

Ejemplo 2 Una aplicación de razones relacionadas

Una piedra se deja caer sobre un estanque en reposo y produce ondas circularesconcéntricas ( ver fig 2) . El radio r de la onda exterior crece al ritmo constante de

30cm

s

. Cuando su radio es [ ]120 cm , ¿ a qué ritmo está creciendo el área total A de

la zona perturbada?.SoluciónLas variables ,r A están ligadas por la ecuación del área del círculo, 2

A r π = . Para

resolver este problema, hay que recordar que la razón de cambio del radio r viene dada por

.

dr

dt . Luego el problema se reduce al siguiente modelo:

Ecuación dada: 2 A r π =

Ritmo dado: 30dr

dt = cuando 120r = .

Calcular:

dA

dt cuando 120r = .

Con esta información, procedemos como en el Ejemplo1

[ ] 2d d A r

dt dt π =

2dA dr

r dt dt

π = .

Luego cuando 120r = , tenemos que

( ) ( )2

2 120 30 7200dA cm

dt sπ

= =

PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER PROBLEMAS DE RAZONES RELACIONADAS:

1) Asignar símbolos a todas las cantidades dadas y a las cantidades a determinar.2) Escribir una ecuación que ligue a las variables cuyas razones de cambio están

dadas o han de determinarse.3) Usando la regla de la cadena, derivar implícitamente ambos miembros de la

ecuación respecto del tiempot

.4) Sustituir en la ecuación resultante todos los valores conocidos de las variables ysus razones de cambio. Deducir entonces la razón de cambio requerida.

2



La tabla 1 muestra los modelos matemáticos de algunas razones usuales de cambio que pueden ser usadas en el primer paso de la solución para problemas de razonesrelacionadas.

Tabla 1

Enunciado verval Modelo matemáticoLa velocidad de un automóvil tras una

hora de viaje es de 90km

h

x = distancia recorrida

90dx

dt = cuando 1t =

Se está bombeando agua dentro de una piscina a razón de 100 litros por Minutos.

V = volumen de agua en piscina

100min

dV litros

dt

=

Un engranaje está girando a razón de 25revoluciones por minuto( 1 2 ).rev rad π =

θ = ángulo de revolución

( )25 2min

d rad

dt

θ π

=

Ahora veremos un ejemplo en el que hemos de crear el modelo a partir de unadescripción verbal

Ejemplo 3 Inflando un globo

Se bombea aire en un globo esférico a razón de 4,5 centímetros cúbicos. Hallar la razón

de cambio del radio cuando éste es de 2cm

Solución

Ecuación dada: 34

3V r π =

Ritmo dado:39

2 min

dV cm

dt

=

( ritmo constante)

Derivando implícitamente los dos miembros de la ecuación 34

3

V r π = con respecto a t

se obtiene24

dV dr r

dt dt π =

Luego

2

1

4

dr dV

dt r dt π =

Finalmente, cuando 2,r = la razón de cambio del radio es

3



1 90.09

16 2 min

dr cm

dt π

= ≈ Ejemplo 4 La velocidad de un avión seguida por un radar

Un avión vuela a 6 millas de altitud en línea recta hacia la posición de un radar. Sea s ladistancia ( en millas) entre avión y radar. Si s está decreciendo a razón de 400 millas

por hora cuando s es 10 millas, ¿ cuál es la velocidad del avión?.Solución

Denotemos por s y x las distancias como en fig 3

Dado: 400ds

dt = − cuando 10 s =

Calcular:

dx

dt cuando 10 s =

Del teorema de Pitágoras se obtiene la ecuación:

2 2 26 x s+ =

Derivando implícitamente respecto a t ,

2 2dx ds

x sdt dt

=

dx ds x s

dt dt =

Para hallar dx

dt debemos hallar antes x cuando 10 s = ;

2 36 100 36 8 x s= − = − =

Luego, para 10 s = tenemos ( )10

400 5008

dx millas

dt h

= − = −

Respuesta:

500dx millas

dt h

= −

Ejemplo 5 Un montón cónico de arena

4



Se arroja arena en un montón cónico a razón de 2 metros cúbicos por minuto. Hallar larazón de cambio de la altura del montón cuando su altura es 1,5 m.( Supóngase que elradio del cono es igual a su altura).SoluciónDenotemos por h , r y V respectivamente ,la altura , el radio y el volumen del cono

en un instante t .

Dado: 2dV

dt = (ritmo constante)

Calcular:dh

dt cuando 1,5h =

El volumen del cono es21

3V r hπ =

y como se nos dice que r h= , esa ecuación se simplifica a

31

3V hπ =

Derivando implícitamente respecto a t se obtiene

233

dV dhh

dt dt

π =

2

1dh dV

dt h dt π

=

Finalmente, cuando 1,5h = se obtiene2

2,25 min

dh m

dt π

=

Ejemplo 6 Filmando un objeto en aceleración

Una cámara de televisión está filmando desde el suelo el despegue de una nave espacialque sube verticalmente de acuerdo con la ecuación de posición 250 s t = , donde s se

mide en pies y t en segundos. La cámara está situada a 2000 pies de la rampa delanzamiento. Hallar la razón de cambio de la distancia entre la cámara y la base de lanave a los 10 segundos del despegue.(Suponemos que la cámara y la base de la naveestán a la misma altura en 0.)t =Solución

Sea s la distancia entre la cámara y la base de la nave, como muestra la fig 4. Podemoscalcular la velocidad de la nave derivando respecto de t , con lo que obtenemos

100ds

t dt

= . Así pues, tenemos el siguiente modelo

Dado:100

dst

dt = = velocidad

5



Calcular:dr

dt cuando 10t = .

De la figura vemos que s y r están relacionadas por 2 2 22000r s= +

Por derivación implícita respecto de t deducimos que

2 2dr ds

r sdt dt

=

( )10dr s ds s

t dt r dt r

= =

Ahora bien, cuando 10t = tenemos ( )250 10 5000 s = = , luego

2 22000 5000 1000 29r = + =Finalmente, la razón de cambio de r cuando 10t = resulta ser

( ) ( )5000

100 10 928,481000 29

dr pies pies

dt s s

= =

6

variaciones_relacionadas(gustavo)

Documents

Transcript of variaciones_relacionadas(gustavo)