Variables aleatorias
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Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
Esperanza y Varianza
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Esperanza de una variable aleatoria discreta
Sea X una variable aleatoria discreta, la esperanza es unnúmero real que se calcula según:1. Si X toma un número finito de valores x1, x2,…, xn con
probabilidades p1=Pr(X=x1), p2=Pr(X=x2),…, pn=Pr(X=xn):
2. Si X toma un número infinito de valores x1, x2,… conprobabilidades pk=Pr(X=xk), k=1, 2, …:
La esperanza matemática o simplemente laesperanza de una variable aleatoria X, sesimboliza por E(X) y su definición es lasiguiente:
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Esperanza de una variable aleatoria continua
Sea X una variable aleatoria continua, cuya función de densidades f(x), la esperanza es un número real que se calcula según:
A la esperanza también se le denomina medio poblacional o valor esperado de la variable aleatoria y se la suele notar como μ.
Observación: si f(x) toma valores distintos de cero en un intervalo [a, b], la esperanza se calcula como:
La esperanza posee varias propiedades,independientes del tipo de la variable aleatoria.
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Propiedades
1. La esperanza de una constante es el valor de laconstante:
2. Aditividad: la esperanza de la suma de dosvariables aleatorias es igual a la suma de lasesperanzas de los dos sumandos:
3. Un factor constante c se puede sacar del signo delsímbolo de la esperanza matemática:
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Propiedades
4. Sea y una función real, la esperanza de lavariable aleatoria Y=g(X) está definida por:
En particular si y(x) = X2 se tiene:
5. Si X y Y son dos variables aleatoriasindependientes:
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Observaciones
1. Por las propiedades 2 y 3, si Y=aX + b, entonces:
2. Si la función de densidad es simétrica respecto a la recta x = m, entonces E(X) = m.
3.
Dos variables aleatorias con la misma esperanza puedestener distribuciones diferentes. Para diferenciarlas esnecesario introducir otra característica teórica queinforma sobre la dispersión de sus posibles valores.
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La Varianza
La idea de esperanza no indica cómo estádistribuida la masa en torno a su centro; esto seexpresa mediante la varianza de la variablealeatoria X, que se nota Var(X) o σ2.
Definición: la varianza de una variable aleatoria Xes un número no negativo que se calcula por:
O equivalentemente por:
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La Varianza
Según el tipo de variable aleatoria, se calcula de lasiguiente manera:
1. Para una variable aleatoria discreta que toma unnúmero finito de valores x1, x2,…, xn conprobabilidades p1=Pr(X=x1), p2=Pr(X=x2),…,pn=Pr(X=xn):
2. Para una variable aleatoria discreta que toma unnúmero infinito de valores x1, x2,… conprobabilidades pk=Pr(X=xk), k=1, 2, …:
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La Varianza
3. Para una variable aleatoria continua con función de densidad f(x):
Observación: al igual que en la esperanza, si f(x) estádefinida en [a, b]:
1. Una mayor varianza indica que los valores tienden aestar más alejados de la media.
2. Una menor varianza indica que los valores tienden aestar más concentrados alrededor de la media.
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Desviación estándar
Definición la desviación estándar de una variable aleatoria X es igual a la raíz cuadrada de la varianza:
Propiedades:
La varianza de una constante es cero:
Un factor constante c se puede sacar del signo del símbolo de la varianza, elevándolo al cuadrado:
Aditividad: la varianza de la suma de dos variables aleatorias independientes es igual a la suma de las varianzas de los dos sumandos:
Observación: de las propiedades 1 y 2 se verifica que: