Matematica Discreta y Algebra

Curso 2008-09

Hoja 8: Vectores y valores propios

1. Si D ∈ Mn×n(R) es una matriz diagonal, calcula sus valores y vectorespropios. ¿Es diagonalizable? Razona tu respuesta y en caso afirmativo dauna diagonalizacion.

2. Calcular los valores y vectores propios (reales y complejos) de las siguientesmatrices. ¿Son diagonalizables?1 0 −1

2 3 10 6 0

,

0 3 13 0 21 −2 0

,

4 0 05 3 2−2 0 2

,

8 −6 06 8 00 0 4

,

−1 0 1−3 4 10 0 2

,

6 −2 0−2 9 05 8 3

,

4 0 2−2 0 −10 3 0

,

5 −2 30 1 06 7 −2

.

3. Demostrar que A ∈ Mn×n(R) es inversible si y solo si 0 NO es valor propiode A.

4. Demostrar por induccion sobre n ≥ 2 que para cualquier A ∈ Mn×n(R)matriz triangular (superior o inferior) sus valores propios son los elementosde la diagonal. ¿Es A siempre diagonalizable? (ayuda: considera la matrizA = (aij) ∈M2×2(R) con todos los elementos nulos salvo a12 = 1).

5. Sea A ∈ Mn×n(R) con valores propios (reales) λ1, . . . , λm ∈ R. Entonces, sepide:a) Calcular los valores propios de la traspuesta de A (At) en funcion de

λ1, . . . , λm.b) Calcular los valores y vectores propios de A2, A3, . . . Ak (k ∈ N).c) Calcular los valores y vectores propios de A−1.d) Si A es diagonalizable, ¿son At, A2 o A−1 diagonalizables? Razona tus

respuestas y en caso afirmativo calcula sus diagonalizaciones.

6. Demostrar que si v1, v2, . . . , vm son vectores propios de A correspondientesa valores propios distintos λ1, λ2, . . . , λm, entonces son linealmente indepen-dientes.

7. Diagonalizar, si es posible, las siguientes matrices:−1 4 −2−3 4 0−3 1 3

,

4 2 22 4 22 2 4

,

2 2 −11 3 −1−1 −2 2

,

4 0 −22 5 40 0 5

,

7 4 162 5 8−2 −2 −5

,

0 −4 −6−1 0 −31 2 5

,

4 0 01 4 00 0 5

,

−7 −16 46 13 −212 16 1

.

8. Demostrar que A ∈ Mn×n(R) es diagonalizable si y solo si At es diagonal-izable. Calcula una diagonalizacion de At en funcion de una diagonalizacionde A.

9. Si A ∈ M5×5(R) tiene dos valores propios reales λ1, λ2, de forma que elespacio fundamental Sλ1 tiene dimension 3 y el subespacio fundamental Sλ2

tiene dimension 2, ¿es A diagonalizable? Razona tus respuestas

10. Si A ∈ M4×4(R) tiene tres valores propios reales λ1, λ2, λ3, de forma que elespacio fundamental Sλ1 tiene dimension 1 y el subespacio fundamental Sλ2

tiene dimension 2, ¿es A diagonalizable? Razona tus respuestas.

11. Sea A ∈Mn×n(R). Entonces, se pide:a) Demostrar que si v ∈ Cn, entonces Re (Av) = A(Re (v)) e Im (Av) =

A(Im (v)), siendo Re (z) e Im (z) vector parte real y el vector partecompleja de z ∈ Cn.

b) Demostrar que si λ = a − bi es un valor propio complejo de A y w ∈Cn es un vector propio complejo asociado a λ, entonces A(Re (w)) =a(Re (w)) + b(Im (w)) y A(Im (w)) = −b(Re (w)) + a(Im (w))

12. Consideremos la matriz

A =19

7 −2 0−2 6 20 2 5

cuyos valores propios son λ1 = 1, λ2 = 2/3 y λ3 = 1/3. Si construimos elsistema dinamico xk+1 = Axk, x0 = (1, 11,−2), ¿que ocurre con la sucesion(xk) cuando k → +∞?

13. Consideremos un ecosistema en el que conviven lechuzas y ratones de modoque si en el mes k, la poblacion de lechuzas la denotamos por Lk y la deratones por Rk, entonces la poblacion en el mes siguiente es

pk+1 =(Lk+1

Rk+1

)=(

0,5 0,4−p 1,1

)(LkRk

)= M(pk).

Entoncesa) Si p = 0,2 ¿como se va a comportar la poblacion de lechuzas y ratones?b) ¿Existe un valor de p que haga que el ecosistema anterior sea estable?

14. Consideremos un ecosistema en el que conviven halcones y ardillas de modoque si en el mes k, la poblacion de halcones la denotamos por Hk y la deardillas por Ak, entonces la poblacion en el mes siguiente es

pk+1 =(Hk+1

Ak+1

)=(

0,4 0,3−p 1,2

)(Hk

Ak

)= M(pk).

Entoncesa) Si p = 0,325 ¿como se va a comportar la poblacion de ambas especies?b) Si p = 0,5 demostrar que tarde o temprano tanto los halcones como las

ardillas se extinguiran.c) ¿Existe un valor de p que haga que el ecosistema anterior sea estable?

15.(?)1 Consideremos la matriz

A =

−1 −1 −2 −2

0 0 2 21 1 2 2−1 −1 0 0

.

(a) Calcula los valores propios y vectores propios (reales) de A ¿es diagonal-izable? Razona tu respuesta y si es posible calcula una diagonalizacion.

(b) Cada una de las cuatro filas de la matriz A forma un vector de R4 quedenotaremos respectivamente v1, v2, v3 y v4. Empleando el apartado(a), comprueba si v1, v2, v3, v4 son linealmente independientes o no (noesta permitido comprobarlo directamente).

16.(?)1 Sea A ∈Mn×n(R) tal que A2 = A.

(a) Demostrar que los valores propios de A son 0 o 1.(b) Demostrar que si A es diagonalizable y su polinomio caracterıstico es

de la forma det(A− λIn) = (1− λ)n, entonces A = In (In es la matrizidentidad n× n).

17.(?)1 Sea A ∈Mn×n(R) tal que A3 = A.(a) Demostrar que los valores propios de A son 0, 1 o −1.(b) Demostrar que si A es diagonalizable y su polinomio caracterıstico es

de la forma det(A− λIn) = (1− λ)n, entonces A = In (In es la matrizidentidad n× n).

18.(?)1 Si A,B ∈M6×6(R) son matrices tales que:

(a) La matriz A tiene tres valores propios reales λ1, λ2, λ3 de forma que lamultiplicidad algebraica de λ1 es 1, la de λ2 es 2 y una base del espaciofundamental de vectores propios asociados a λ3 (Sλ3) esta formada pordos vectores.

(b) La matriz B es diagonalizable.

Entonces, responde a las siguientes preguntas:

(i) ¿Es la matriz A diagonalizable? Razona tus respuestas.(ii) ¿Es la matriz C = I6 + 2B −B2 diagonalizable? Razona tus respuestas

y, en caso afirmativo, calcula un diagonalizacion de C.

19.(?)1 Si A,B ∈M5×5(R) son matrices tales que:

(a) La matriz A tiene tres valores propios reales λ1, λ2, λ3 de forma que lamultiplicidad algebraica de λ3 es 3.

(b) La matriz B es diagonalizable.

Entonces, responde a las siguientes preguntas:

(i) ¿Es la matriz A diagonalizable? Razona tus respuestas.

1Los ejercicios marcados con (?) han sido propuestos en algun examen o control anterior.

(ii) ¿Es la matriz C = 2I5−B2 diagonalizable? Razona tus respuestas y, encaso afirmativo, calcula un diagonalizacion de C.

20.(?)1 Consideremos la matriz

A =

0 0 0 10 0 1 00 1 0 01 0 0 0

.

(a) ¿Es diagonalizable A? Razona tu respuesta y si es posible calcula unadiagonalizacion.

(b) Si x0 = v ∈ R4 es un vector cualquiera y consideramos el sistemadinamico {

xk+1 = Axkx0 = v

calcula x2, x4, x6, . . . x100. ¿Converge el sistema dinamico? (es decir, ¿xktiende a algo cuando k −→∞?) Razona tu respuesta.

21.(?)1 Consideremos la matriz

A =

3 2 3 0−1 0 0 0

0 0 −1 0−1 −1 −1 2

.

(a) Calcula los valores propios y vectores propios (reales) de A ¿es diagonal-izable? Razona tu respuesta y si es posible calcula una diagonalizacion.

(b) Calcula el radio espectral de A. Si x0 = (−1, 1, 0, 1)t ∈ R4, consideramosel sistema dinamico{

xk+1 = Axkx0 = (−1, 1, 0, 1)t

¿A que tiende xk cuando k −→∞? Razona tu respuesta.22.(?)1 Consideremos la matriz

A =

−1 0 0 1−2 1 0 2

0 0 −1 10 0 1 −1

.

(i) Calcula el polinomio caracterıstico y la multiplicidad algebraica de losvalores propios (reales) de A. (Ayuda: Uno de los valores propios de Aes λ = 0 y otro es λ = −2, aunque puede tener otros valores propios).

(ii) ¿es diagonalizable A? Razona tu respuesta y si es posible calcula unadiagonalizacion de A.

(iii) Calcula A99 (sin realizar el producto directamente).

23.(?)1 Si A ∈ M8×8(R) es una matriz cuadrada que tiene como polinomio carac-terıstico de la forma det(A−λI8) = (λ−λ1)α1 · · · (λ−λm)αm con λ1, · · · , λmnumeros reales distintos, entonces:

(a) si dim(Sλ1)+· · ·+dim(Sλm) = 8, ¿es A diagonalizable? (donde dim(Sλi)

es la dimension del subespacio de vectores propios de valor propio λi)

(b) si dim(Sλ1) + · · · + dim(Sλm) = 7, ¿es A diagonalizable? Razona tusrespuestas. ¿Y si dim(Sλ1) + · · ·+ dim(Sλm) = 9?

24.(?)1 Si A ∈ Mn×n(R) es una matriz cuadrada que tiene como polinomio carac-terıstico de la forma det(A−λIn) = (λ−λ1)α1(λ−λ2)α2(λ−λ3)α3(λ−λ4)α4

con λ1, λ2, λ3, λ4 ∈ R, entonces:

(a) si dim(Sλ1) + dim(Sλ2) + dim(Sλ3) + dim(Sλ4) = n − 1, ¿es A diago-nalizable? (donde dim(Sλi

) es la dimension del subespacio de vectorespropios de valor propio λi)

(b) si dim(Sλ1)+dim(Sλ2)+dim(Sλ3)+dim(Sλ4) = n, ¿es A diagonalizable?¿y si dim(Sλ1) + dim(Sλ2) + dim(Sλ3) + dim(Sλ4) = n+ 1?

25.(?)1 Consideremos la matriz

A =

5 0 00 −1 α3 0 β

,

donde α, β ∈ R. ¿Para que valores de α y β es A diagonalizable? Razonatus respuestas y en los casos en los que A sea diagonalizable calcula unadiagonalizacion.

26.(?)1 Consideremos la matriz

A =

1 1 1 10 0 1 1−2 −2 0 0

0 0 1 1

.

(i) Calcula las raıces del polinomio caracterıstico de A ası como las multi-plicidades algebraicas y geometricas de todos los valores propios (reales)de A. (Ayuda: La matriz A tiene, al menos, un valor propio que es unnumero entero y su multiplicidad algebraica es mayor que 1).

(ii) ¿Es diagonalizable A? Razona tu respuesta y, si es posible, calcula unadiagonalizacion de A.

(iii) Si consideremos el sistema dinamico{xk+1 = A(xk + x0)x0 = (−1, 1,−1, 1)t

¿A que tiende xk cuando k −→∞? Razona tus respuestas.

27.(?)1 Si A ∈ Mn×n(R) es una matriz diagonalizable e inversible, definimos paracada k ∈ Z la matriz Bk ∈Mn×n(R) como

Bk ={In +A+A2 + · · ·+Ak, si k ≥ 0,In +A−1 + (A2)−1 + · · ·+ (A|k|)−1, si k < 0.

Se pide:

(i) Calcular para cada k ∈ Z los vectores y valores propios de Bk en funcionde los vectores y valores propios de A.

(ii) ¿Es Bk diagonalizable para algun valor de k ∈ Z? Justifica tus respues-tas.

(iii)? Si λ1, . . . , λm son los valores propios de A y cumplen que 0 < λi < 1(i = 1, . . . ,m), calcula el radio espectral ρ(Bk) de la matriz Bk paracada valor de k ∈ Z. ¿A que tiende ρ(Bk) cuando k −→ +∞?

28.(?)1 Consideremos la matriz A =

1 −3 0 0−3 1 −3 0

0 0 1 30 0 3 1

.

(i) Calcula el polinomio caracterıstico y las multiplicidades algebraica ygeometrica de los valores propios de A. (Ayuda: A tiene solo dos valorespropios enteros).

(ii) ¿Es diagonalizable A? Razona tus respuestas y, si es posible, calcula unadiagonalizacion de A.

(iii) Si xo = (1, 3, 0, 0) ∈ R4, consideramos el sistema dinamico

{xk = Bk · xk−1

xo = (1, 3, 0, 0)

donde para cada k ∈ N se define Bk = A+A2 + · · ·+Ak. ¿A que tiendexk cuando k −→ ∞? ¿Cual es el radio espectral de Bk? Razona tusrespuestas.

29.(?)1 Si A ∈M6×6(R) de forma que:(i) λ = 3 es uno de los valores propios reales de A.(ii) det(A) = 0.(iii) A − 3I6, tiene rango 1 (es decir, al triangular A − 3I6 obtenemos una

matriz que solo tiene una fila distinta de cero).Calcula las multiplicidades algebraica y geometrica de todos los valorespropios de A. ¿Es diagonalizable? Razona tus respuestas.

30.(?)1 Contesta justificadamente a las siguientes cuestiones:

(a) ¿Es v = (1, 0,−1, 0, 2) autovector de la siguiente matriz?

A =

2 3 2 −5 01 4 3 7 10 −3 2 4 14 −1 0 6 −25 −8 5 9 0

(b) ¿Es v = (1, 0,−1, 0, 2) autovector de la siguiente matriz?

B =

4 3 2 −5 01 6 3 7 10 −3 4 4 14 −1 0 8 −25 −8 5 9 2

(c) Sea C ∈Mn×n(R) tal que C17 = On. Probar que el unico autovalor que

puede tener C es λ = 0.

Nota: On denota la matriz nula de orden n.

(d) Sea D ∈M5×5(R). Se sabe que:• Ker(D) tiene dimension 2.• D − 3 I5 tiene rango 3.• 6 es autovalor de D.

¿Es D diagonalizable?

Nota: I5 denota la matriz identidad de orden 5.

31.(?)1 Consideramos la matriz:

A =

−5 0 0 0 0

0 3 −2 1 −10 0 −5 3 20 0 0 0 −10 0 0 1 0

(a) Decidir si A es diagonalizable.(b) En caso afirmativo, hallar una diagonalizacion de A (basta con hallar

la matriz diagonal D y la matriz invertible P ). En caso negativo, hallarbases de los espacios propios correspondientes a los autovalores realesde A.

32.(?)1 Hallar A1989 donde

A =

−3 4 −64 −3 64 −4 7

33.(?)1 Consideramos una matriz A ∈M4x4(R) de la que sabemos que:

Los vectores (1,−1, 0, 0) y (0, 0, 0, 1) son autovectores de A asociados alautovalor λ = 4.

Ker(A) esta formado por los vectores (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 que cumplenlas dos ecuaciones:

x1 = x2

x3 = x4

(a) Decidir si A es diagonalizable.

(b) En caso afirmativo, hallar una diagonalizacion de A (basta con hallarla matriz diagonal D y la matriz invertible P tales que A = P DP−1).En caso negativo, hallar bases de los espacios propios correspondientesa los autovalores reales de A.