Valor Del Dinero en El Tiempo

PARTE I I

• ANUALIDADES

• AMORTIZACION

VALOR DEL DINERO

EN EL TIEMPO

MTRO. MARCO ANTONIO NOLASCO SEGURA 1

Es una serie de pagos generalmente iguales realizados en intervalos de tiempo iguales. El termino anualidad parece implica que los pagos se efectúan cada año, sin embargo, esto no es necesariamente así, ya que los pagos pueden ser mensuales, quincenales, etc.

Son ejemplos de anualidades:

El cobro quincenal del sueldo.

El pago mensual de un crédito hipotecario.

Los abonos mensuales para pagar una computadora adquirida a crédito.

El pago anual de la prima de seguro de vida.

Los dividendos semestrales sobre acciones.

Los depósitos bimestrales efectuados a un fondo de retiro.

ANUALIDADES


Renta

n

Valor Futuro

M

Valor Presente

A

Tiempo

n

TERMINOS A UTILIZAR EN LAS ANUALIDADES


VENCIDA

• También conocida como anualidad ordinaria y, como su nombre lo indica, se tata de casos en los que los pagos se efectúan a su vencimiento, es decir al final del periodo.

ANTICIPADA

• Es aquella en la que los pagos se realizan al principio de cada periodo.

DIFERIDA

• Se pospone la realización de los cobros o pagos: se adquiere hoy un articulo a crédito, para pagar con abonos mensuales, el primer pago habrá de hacerse 6 meses después de adquirida la mercancía.

TIPOS DE ANUALIDADES


Los pagos de la serie se hacen al final de cada uno de los

periodos

Pago X X X X X X X X

0 1 2 3 4 . . . N

VP(A) R R R R R R R VF(M)

ANUALIDADES ORDINARIAS (VENCIDAS)


FORMULAS A UTILIZAR


M

Monto o valor futuro, representa el dinero que se obtendra al finalizar el

periodo

A =

Capital o valor presente, representa el dinero que se tiene para invertir durante un

periodo de tiempo

i =

Tasa de interés se representa en % cuando se ocupa en las formulas se utiliza en

decimales

n = Tiempo, se expresa en periodos

R =

Renta de las

anualidades

LITERALES A UTILIZAR


¿Cuál es el Monto de $ 20,000 depositados al final de cada

semestre durante los próximos 4 años y medio en una cuenta

bancaria que rinde 18% capitalizable semestralmente?

Datos: Desarrol lo:

R = $ 20,000

n = 4.5 años = 9 sem

i = 0.18 anual / 2 = 0.09 sem

M = $ 260,420.73

CALCULO DEL VALOR FUTURO (MONTO)

M = R (1+i)n - 1

i

M = 20,000 (1+.09)9 - 1

.09 En este caso la tasa es anual y la

queremos semestral por eso la

dividimos entre dos que son los

semestres que hay en el año.

Si observa tanto n como i están

expresados en la misma unidad de

tiempo


¿Cuál es el valor actual de una renta bimestral de $ 4,500

depositados al final de cada uno de 7 trimestres, si la tasa de

intereses es de 9% trimestral?

Datos: Desarrollo:

R = $ 4,500

n = 7 trim

i = 0.09 trim

A = $ 22,648.29

CALCULO DEL VALOR PRESENTE

(CAPITAL)

A = R 1 - (1+i)-n

i

A = 4,500 1 - (1+.09)-7

.09 En este caso la tasa ya esta en

trimestres al igual que el tiempo, por

lo cual no se requiere conversión.

Si observa tanto n como i están

expresados en la misma unidad de

tiempo


Una persona debe pagar $ 3,000 al final del año. ¿Cuánto

tendría que pagar a fines de cada mes para sustituir el pago

anual, si se consideran interés a razón de 25% convertible

mensualmente?

Datos: Desarrollo:

M = $ 3,000

n = 12 meses

i = .025 anual / 12

i = 0.0208 mensual

R = $ 222.63 mensual

CALCULO DE LA RENTA

(CUANDO SE CONOCE EL MONTO)

R = Mi

(1+i)n - 1

R = 3,000 (.0208333333)

(1+.02083333333)12 - 1

En este caso la tasa es anual y la

necesitamos mensual, por ello se

divide entre 12. Si observa tanto n

como i están expresados en la misma

unidad de tiempo


Una persona adquiere hoy a crédito una computadora. La computadora cuesta $ 19,750 y conviene en pagarla en 4 mensualidades vendidas. ¿Cuánto tendría que pagar cada mes si le cobran 1.8% mensual?

Datos: Desarrollo:

M = $ 19,750

n = 4 meses

i = 0.018 mensual

R = $ 5,161.67 mensual

CALCULO DE LA RENTA

(CUANDO CONOCEMOS EL CAPITAL)

R = Ai

1 - (1+i)-n

R = 19,750(.018)

1 - (1+.018)-4


Una persona desea acumular $ 300,000. Para reunir esa cantidad decide hacer depósitos trimestrales vencidos en un fondo de inversiones que r inde 12% conver tible tr imestralmente. Si deposita $ 5,000 cada fin de tr imestre. ¿Dentro de cuanto t iempo habrá acumulado la cantidad que desea?

Datos: Desarrollo:

R = $ 5,000

M = $ 300,000

i = .12 anual / 4

i = 0.03 Trimestral

n = 0 .4471580313/0.01283722471

n = 34.83 tr imestres

n = 8 años 8 meses 14 d ías

CALCULO DEL TIEMPO

(CUANDO CONOCEMOS EL MONTO)

log Mi

+ 1 n = R

log (1 + i)

log 300,000(.03)

+ 1 n = 5,000

log (1 + .03)


¿Cuantos pagos de $ 607.96 al final de mes tendría que hacer el comprador de una lavadora que cuesta $ 8,500, si da $ 2,550 de enganche y acuerda pagar 24% de interés capitalizable mensualmente sobre el saldo?

Datos: Desarrollo:

R = $ 607.96

A = $ 8,500 - $ 2550

A = $ 5,950

i = .24 anual / 12

i = 0.02 mensual

n = .094460167377 / 0.008600171762

n = 11 pagos

CALCULO DEL TIEMPO

(CUANDO CONOCEMOS EL CAPITAL)

1

log 1 - Ai

n = R

log (1 + i)

1

log 1 - 5,950(.02)

n = 607.96

log (1 + .02)


Los pagos de la serie se hacen al inicio de la serie de pagos.

Pagos

X X X X X X X X

0 1 2 3 4 . . . N

VP(A) R R R R R R R VF(M)

ANUALIDADES ANTICIPADAS


FORMULAS A UTILIZAR


Un obrero deposita en una cuenta de ahorros $ 250 al principio

de cada mes. Si la cuenta paga 1.3% mensual. ¿Cuánto habrá

ahorrado durante el primer año?

Datos: Desarrollo:

R = $ 250

n = 12 meses

i = 0.013

M = $ 3,265.99

CALCULO DEL MONTO (VALOR FUTURO)

M = R (1+i)n+1 - 1

-1 i

M = $ 250 (1+.013)12+1 - 1

-1 .013


Calcule el valor actual de 9 pagos bimestrales de $ 500 con

interés de 5.28% bimestral

Datos: Desarrollo:

R = $ 500

n = 9 bimestres

i = 0.0528

A = $ 3,295.34

CALCULO DEL CAPITAL (VALOR PRESENTE)

A = R 1 + 1 - (1+i)-n+1

i

A = 500 1 + 1 - (1+.0528)-9+1

.0528


Los pagos de la serie se inician al final del periodo de

diferimiento.

Pago(Periodo de diferimiento)

0 1 2 3 4 5 6 7… N

VP(A) R R R R VF(M)

m

ANUALIDADES DIFERIDAS


FORMULAS A UTILIZAR


En octubre un almacén ofrece al publico un plan de ventas “compre ahora y pague después” . Con este plan, el arquitecto Servín adquiere un escritorio, que recibe el 1 de noviembre y que debe pagar mediante 12 mensualidades de $ 180 a partir del 1 de enero del año siguiente. Si se considera el interés a 36% convertible mensualmente. ¿Cuál es el valor futuro del mueble?

Datos: Desarrollo:

R = $ 180

n = 12 meses

i = .36 anual / 12 = 0.03

M = $ 2,631.20


CALCULO DEL MONTO (VALOR FUTURO)

M = R (1+i)n+1 - 1

-1 i

M = 180 (1+.03)12+1 - 1

-1 .03

Calcule el valor actual de una renta semestral de $ 6,000

durante 7 años, si el primer pago semestral se realiza dentro de

3 años y el interés es de 17% semestral.

Datos: Desarrollo:

R = $ 6,000

n = 14 Semestres

i = .17 Semestral

m = 5 semestres

M = $ 14,310.85


CALCULO DEL CAPITAL (VALOR PRESENTE)

A = R 1 - (1+i)-n (1 + i)-m

i v

A = 6,000 1 - (1+.17)-14 (1 + .17)-5

.17

En el área financiera, amortización significa saldar

gradualmente una deuda por medio de una serie de pagos que,

generalmente, son iguales y que se realizan también a

intervalos de tiempo iguales. Aunque esta igualdad de pagos y

de periodicidad es lo mas común también se llevan a cabo

operaciones con algunas variantes.


AMORTIZACION

Los pagos que se hacen para amortizar una deuda se aplican a

cubrir los intereses y a reducir el importe de la deuda. Para

visualizar mejor este proceso conviene elaborar una tabla de

amortización que muestre lo que sucede con los pagos, los

intereses, la deuda, la amortización y el saldo.


TABLAS DE AMORTIZACIÓN

R = Ai

1 - (1+i)-n


FORMULAS A UTILIZAR

TABLA DE AMORTIZACION

PERIODO SALDO AMORTIZACION

INTERESES PAGO

INSOLUTO DE CAPITAL TOTAL

# PERIODOS

QUE HAY PARA

PAGAR

SIEMPRE

EMPEZANDO

EN EL PERIODO

0

LO Q DEBO EN EL

PRIMER

PERIODO ES EL

PAGO TOTAL, A

PARTIR DEL

SEGUNDO SE LE

VA RESTANDO

LO QUE YA SE

PAGO DE

AMORTIZACION

DE CAPITAL

LO QUE HE PAGADO

DE CAPITAL

(COLUMNA DEL PAGO

TOTAL MENOS LOS

INTERESES DE L

MISMO RENGLON)

LOS INTERESES

PAGADOS

SOBRE SALDO

INSOLUTO

EL RESULTADO

DE LA

FORMULA

Calcule el valor de los pagos de un préstamo de $ 4,000

contratado convertible bimestralmente si la tasa es de 42%. Y

se harán al final de cada bimestre, con vencimiento a 1 año.

Datos: Desarrollo:

A = $ 4,000

n = 6 bimestres

i = .42 anual/6 bim

i = .07 bimestral

R = $ 839.18


CALCULO DE LA RENTA

R = Ai

1 - (1+i)-n

R = 4,000(.07)

1 - (1+.07)-6

TABLA DE AMORTIZACION

PERIODO SALDO INSOLUTO AMORTIZACION DE CAPITAL INTERESES PAGO TOTAL

Inicio Bim 1 $ 4,000.00 $ - $ - $ -

Fin Bim 1 $ 4,000.00 $ 559.18 $ 280.00 $ 839.18

Fin Bim 2 $ 3,440.82 $ 598.33 $ 240.86 $ 839.18

Fin Bim 3 $ 2,842.49 $ 640.21 $ 198.97 $ 839.18

Fin Bim 4 $ 2,202.28 $ 685.02 $ 154.16 $ 839.18

Fin Bim 5 $ 1,517.26 $ 732.98 $ 106.21 $ 839.18

Fin Bim 6 $ 784.28 $ 784.28 $ 54.90 $ 839.18

Comprobación: $ 4,000.00 $ 1,035.10 $ 5,035.10


TABLA DE AMORTIZACIÓN

La suma de la columna de amortización de capital, debe dar lo mismo del capital

solicitado en préstamo.

La suma de la columna de intereses + la de amortización de capital es = a la

suma del pago total

Para comprobar que la tabla sea correcta el saldo insoluto del ultimo bimestre

debe ser igual a la ultima amortización de capital.

Un fondo de amortización se utiliza para constituir una reserva

o fondo depositando determinadas cantidades (generalmente

iguales y periódicas) en cuentas que devengan intereses, con el

fin de acumular la cantidad o monto que permita pagar la

deuda a su vencimiento.


FONDOS DE AMORTIZACIÓN

FONDO DE AMORTIZACIÓN

AÑO

CANTIDAD EN EL

FONDO AL INICIO DE

AÑO INTERES GANADO EN EL AÑO

DEPOSITO HECHO AL

FINAL DEL AÑO

MONTO AL FINAL DEL

AÑO


FORMULAS A UTILIZAR

R = Mi

(1+i)n - 1

Salvador desea comprar una impresora multifuncional que

cuesta $ 3,000. Como desea comprarla de contado, crea un

fondo de ahorro con abonos quincenales. Si la tasa de

capitalización es de 10% el periodo de ahorro son 6 quincenas.

Datos: Desarrollo:

M = $ 3,000

n = 6 quincenas

i = .10 quincenal

R = $ 388.82


CALCULO DE LA RENTA

R = Mi

(1+i)n - 1

R = 3,000(.10)

(1+.10)6 - 1


AÑO

CANTIDAD EN EL

FONDO AL INICIO DE

AÑO INTERES GANADO EN EL AÑO

DEPOSITO HECHO AL

FINAL DEL AÑO

MONTO AL FINAL DEL

AÑO

Fin Qna 1 $ - $ - $ 388.82 $ 388.82

Fin Qna 2 $ 388.82 $ 38.88 $ 388.82 $ 816.53

Fin Qna 3 $ 816.53 $ 81.65 $ 388.82 $ 1,287.00

Fin Qna 4 $ 1,287.00 $ 128.70 $ 388.82 $ 1,804.52

Fin Qna 5 $ 1,804.52 $ 180.45 $ 388.82 $ 2,373.80

Fin Qna 6 $ 2,373.80 $ 237.38 $ 388.82 $ 3,000.00



El saldo al inicio del año es = a $ 0.

El saldo de cada deposito hecho al final del año es el calculado por la formula.

Los intereses se generan de acuerdo a cada la cantidad al inicio del año por la tasa de

interés.

El monto al final del año es la suma de la cantidad al inicio del año, más los intereses

ganados en el año y el deposito hecho al final del año.

Al finalizar da como resultado el Monto que es el objetivo en este caso $ 3,000

Matemáticas Financieras

Alfredo Díaz Mata

Víctor M. Aguilera Gómez

Mc Graw Hill

Matemáticas Financieras

Héctor Manuel Vidaurri Aguirre

Cengage

Matemáticas Financieras Con aplicaciones en Excel

Rodríguez, Pierdant

Mc Graw Hill


BIBLIOGRAFIA

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