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Transcript of V1NÂMCA VO VOVtLO VE 1SING COU CAMPO CaAtoò Educuido …
V1NÂMCA VO VOVtLO VE 1SING COU CAMPOTRANSVERSO PARA WAS SUB-REPESACOPLADAS NA FASE VESOKVENAPA
CaAtoò Educuido Hexmuto fie Sá tíotta
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E CULTURA
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAISmSmUTO DE CKMCMS EXATAS
30.000 • BELO HORIZONTE — MG
A presente tese, Intitulada: "PINÂMICA DO MODELO PE ISING COMCAMPO TRANSVERSO PARA DUAS REPES ACOPLADAS NA FASE PESORPENAPA", de autoriade CARLOS EDUARDO HBUMETO PE SX WTTCk, submetida S Comissão Examinadora,abaixo assinada, foi aprovada para obtenção do grau de MESTRE EM FÍSICA,em 27 defevereiro de 1984.
Belo Horizonte, 27 de fevereiro de 1984
^ 3 - 7.Prof. Antonio Sergio Teixeira Pires- Orientador do Candidato- Presidente da ComissãoDepartamento de Física - UFHG
Prof. Rfearda Schwartz SchorDepartamento de Física - UFMG
Prof.' Nilton Penha SilvaDepartamento de Física - UFMG
DINÂMICA DO MODELO DE ISING COM CAMPO
TRANSVERSO PARA DUAS SUB-RSDES ACOPLA
DAS NA FASE DESORDENADA
Carlos Eduardo Kerneto de Sa Motta
Tese apresentada à Tnivers idade Federal de " i n a s Gera is , como
r e q u i s i t o p a r c i a l para a obtenção do grau de MESTRE EM FÍSICA
Fevereiro - 1984
AGRADECIMENTOS
•X minha esposa, Maria Laura, a meus pais, Renato e Hyla, e a
meus sogros, Rubens e Laura, pela compreensão, pela confiança
e pelo carinho desmedidos;
•ao neu orientador, Prof. Antônio Sérgio T, Pires, pela pacien
cia infinita e pelos valiosos ensinamentos;
•a meus irmãos Tiça, Nata, Nanda, Jair e KÍriam;
•a meus amigos, Ângelo e Ericsson, pelos gloriosos porres que
temos tomado juntos;
•ao Marcão e à Coca, pela força que deram para que eu continu-
asse a estudar Física;
•aos colegas Gastão A. Braga e Roberto Luís Moreira, pelo exem
pio de aplicação nos estudos e pela delicadeza com que sempre
se dispuseram a ajudar os colegas;
•aos professores Geraldo Alexandre Barbosa, Ramayana Gazzinellí,
Alaor S. Chaves, Francisco césar de Sá Barreto, Beatriz Alvaren
ga e Paulo Roberto Silva, pela atenção com que sempre me recebe
ram;
•ao Professor Nilton Penha Silva, pelo incentivo;
•aos demais colegas da Física, que certamente contribuíram com
seu quinhão para a realização deste trabalho;
•ao CNPq pelo auxílio financeiro;
•a mim mesmo e â rainha esposa» pelo trabalho datílográfico
(e minhas sinceras desculpas a meus dois dedos médios pela obs
tinação com que insisti em utiliza-los)*
"Tinha eu quatorze anos de idade
Quando o r eu pai n»e charaou
Per/juntou-me se eu queria
Estudar Filosofia, Medicina ou
Bncenhari a
Tinha eu de ser Doutor.
Mas a ninha aspiração
Era ter um violão para Tie tor -
nar sarabista
Ele então ne aconselhou:
Sambista não tem valor nesta
Terra de Doutor
E, Ai seu Doutor, o meu pai ti-
nha razão?
( "Quatorze anos", Paulinho da
Viola )
ÍNDICE
Pagina
I - Introdução
Capítulo II - Funções de Green
1.Propriedades das funções,de Green ....
2.Equações.de movimento
^•Funções correlação temporais .........
4.3e?resentaçoes espectrais ............
5.As funções absorção e relaxação ......
Capítulo III - 0 método das frações continuadas para
operadores acoplados
1.0 método de Kori para 1 operador .....
2.0 nétodo de Mori para operadores
acoplados
Capítulo IV - Cálculo das funções estáticas e dos
momentos ...............................
1.Calculo das funções de Green e das
funções correlação estáticas .........
2.cálculo das funções relaxaçao
estáticas ........,,.., • •
3.Cálculo dos momentos de Fzz(^,w) .....
3
7
7
9
11
12
16
22
23
34
49
49
55
57
Capítulo V - Discussão dos resultados 61Cap
Apêndice A - Calculo dos J M ^ ) •• 72
Apêndice B - Calculo da temperatura crítica • 73
Referências - 75
1.
RESUMO
Estudamos a dinâmica do Modelo de Ising tridi -
pensionai em un campo transverso para duas sub-rêdes acopladas
utilizando o método das frações continuadas para operadores a-
coplados. As funções correlação estáticas necessárias nr> estu-
do da dinâmica foran calculadas pelo método das funções de
Green na aproximação das fases aleatórias (HPA)# Calcula-ios a
função espectral na faixa T < T < oo para diversos valores
dos parâmetros do Hamiltoniano e do vetor de onda q.
2.
ABSTRACT
The dynamics of the two coupled sublattices trt
dinensional Ising model in a transverse field was studied by
means of a continued fraction expansion for coupled operators.
The static Correlation Functions necessary for studying the dv_
naraics were calculated with the Green1s Functions Method in
the Random Phase Aproxiaation (RPA). The spectral function was
calculated in the region T < T < CO for sone values of thec
Hamiltonian parameters and the wave vector q.
CAPÍTULO I
INTRODUÇSO
O modelo de Ising era um oampo transverso (MICT)
é descrito pelo Kamiltoniano
4= -e tem sido objeto de intenso estudo pois se aplica a uni grande
mrnero de problemas físicos.Stinchcombe* 'cita algumas destas
aplicações, ebtre as quais se encontram ferroeletricos do tipo
ordem-desordem, sistemas Jahn-Teller simples, sistemas ferro -
magnéticos com alta anisotropia uniaxial submetidos a campo ex
terno transverso, etc.
A dinâmica das flutuações do parâmetro de ordem
tem sido estudada por muitos pesquisadores, utilizando técni -
cas diversas, em toda a faixa de temperaturas ( 0 < T ^ « )• 0 me
todo da expansão da transformada de Laplace da função relaxa -
ção em frações continuadas proposto por Kori* 'tem mostrado
ser de grande valia e os estudos gira-n em torno dos vários cor
teB impostos à expansão para cada problema físico,
Apesar do MICT para una rê^e dado pela equação
(J.i) ser o objeto de maior interesse, o modelo para duas re-
des acopladas pode ser utilizado na descrição de alguns compos
tos como o Sal de Rochelle e a Thyourea^ ', 0 nosso objetivo
4.
neste trabalho é o de estudar a dinâmica deste sistema através
de uma extensão cio método de Kori para o problema dos operado-
res acoplados proposta por Pires* " • Pires e Gouvêa^ 'mostra
ran que o tratamento aplicado anteriormente a este tipo de pro
blema (que considerava os operadores como desacoplados) resul-
ta no aparecimento de amortecimento sem origem física.
0 KamiItoniano proposto é
Jonde S^- 'i'ou St" • conforme estejamos nos referindo à sub-rê
de S ou à sub-rêde T e onde os índices ifj se referem aos si ti,
os da rede. Aqui consideramos S= 1/2 e interação entre vizi —
nhos mais próximos para os spins situados sobre uma rede cúbi-
ca com um st)in de cada espécie (S ou T) por célula unitária.
*& ~Para *(= & os J, \ dao a interação real entre spins da mesma es
pécie e para «f 6 os JA têm a metade do valor da interação
real K. (j entre spins de espécies diferentes ( de maneira que
J?v +• J h s K , ) ). Os JLÍ< são os campos transversos aplicados a
cada sub-rêde.
0 estudo da dinâmica do sistema é levado a cabo
quando calculamos a função espectral longitudinal Fzz(q%w) da-
da por
cora
5.
definida no capítulo II. Un estudo semelhante ao que apresenta
mos foi realizado por Tommet e Huber* " 'e Borres 'para o
MICT para uma única rede na faixa de temperaturas Tc< i<<D >On
de T denota a temperatura de transição entre as fases ordenada
e desordenada»
Nocapítulo li descrevemos o método das funções
de Green que utilizamos para calcular as funções correlação e
relaxação estáticas*' • Estas funções são o ponto de partida
para os nossos cálculos. Apresentanos também alguns conceitos
da teoria da resposta linear para sistemas quânticos con gran-
de número de partículas* '** ' 'de maneira a explicitar o sig-
nificado físico das funções com que estamos a tratar»
Ho capítulo III apresentamos o método proposto
por Korí* 'para estudar a dinâmica de um operador» Era seguida
discutimos a utilização do método para o caso em que temos dois
(4 )operadores acoplados •
Mo capítulo IV apresentamos os cálculos das fun
ções relaxação e correlação estáticas, bem como dos segundo e
quarto momentos da função espectral F z(q,w).
Finalmente, no capítulo V, anresentamos e discu
timos os resultados dos cálculos numéricos efetuados para ai -
guns conjuntos ÍR parâmetros do Hamiltoniano, alguns valores
da temperatura e do vetor de on^a q que jul~amos ilustrar bem
6.
o comportamento do sistema. Os resultados foram dispostos de
maneira a permitir a comparação com aqueles obtidos por Tommet
e Huber e mostrara as características que aparecem devido
ao aconlamento de duas redes MICT.
No apêndice A efetuamos os cálculos dos J [ (q)
definidos no capítulo IV e no apêndice B aqueles que fornecemov
a equação que utilizamos para calcular a temperatura critica*
CAPÍTULO II
FUNÇÕES DE GREEN
Neste capitulo procuramos definir sucintamente
as funções de Green utilizadas na teoria estatística e apre -
sentamos suas propriedades» Deduzimos suas equações de movi -
mento e suas relações com as funções correlação temporais»
Utilizando de representações espectrais obtemos as condições
de contorno necessárias para o cálculo das funções de Green e
consequentemente para o cálculo das funções correlação»
Em seguida apresentamos resumidamente alguns
resultados da teoria da resposta linear para podermos definir
a função relaxação. Obtemos então os elementos necessários pa
ra o cálculo da função relaxação estática.
1.PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES DE GREEN
As funções de Green que utilizamos neste trába
lho são as funções avançada e retardada de Green definidas
por
4mW)1>r-- - íe(t-f) <[Att),6(tf>}> * «
Í A(»l6(W»*» ie(t'-t)<CA(t),B(t')3> * w
8.
Os operadores A(t) e B(t) são operadores na representação de
Heisenberg definidos por
Alt)* e /l(o| t e Bit)* e B w e ni-3onde A(O)sA e B(O)rB sâo os mesmos operadores na representa
çao de SchrOdinger e H é o Hamiltoniano do sistema sob estu
do. 0 termo [ 4/que aparece nas definições (3L*i'l ) e
(I/l«2) representa a média térmica do comutador(bósons) ou
ánticomutador(fénnions) dos operadores» A média térmica é em
geral tomada para o ensemble gran-canonico. Para os propési -
tos do presente trabalho é suficiente considerarmos a média
sobre o ensemble canônico e teremos, para o valor médio do
operador A
onde /?« é a matriz densidade ( ir/L*l) dada por
Pi = <- * / Z 1-1-5
e Z é a função partição do sistema; A s (R«T) onde L é a cons-
tante de Boltzmann e T é a temperatura absoluta* Além disso
adotaremos sempre o comutador dos operadores(bosons), indican
do quando houver necessidade onde seriam modificados os re
sultados pelo uso do an ti comutador. As funções 0vt-V/e o(y-t)
são funções degrau de Heaviside definidas por
eu).o, t < o
9.
ou por L .
onde ovijé a função delta de Dirac. A derivada de 9(t)é dada
por
ie(ít)« ±S(i) I-MAs funções de Green são descontínuas para tst*
e, para um sistema em equilíbrio térmico, invariantes com re
laçâo a una translação temporal, ou seja.
2.EQUAÇÕES DE MOVIMENTO
A equação de movimento para um operador na re-
presentação de Keisenberg é
* * ircom A(t) dada por (I'i'3 ). Usaremos daqui por diante um sis-
tema de unidades no qual n«l* Calculemos a derivada con rela
ção ao tempo da função de Green avançada:
Multiplicando a eq,(I«2.Z) por i e levando ea conta a equa-
ção (X'l'1) teiaos
10.
Ài
Adotando procedimento análogo para a função de Green retarda-
da ob tentos
uque é idêntica em forma à equação anterior.Estas equações mos
tram que as derivadas primeiras das funções de Green estão li.
gadas a funções de Green de "ordem superior", ou seja, fun -
ções de Green que envolves a derivada de um dos operadores .
Derivando estas funções de Green de "ordem superior" obtemos
equações da forma das equações (1»2»3) e (I"--Z«4) envolvendo
funções de Green de "ordem ainda mais superior", ou seja, fun
ções de Green que envolvem as derivadas segundas de un dos o-
peradores. Derivando um sem-número de vezes obtemos uma cadei,
a infinita de funções de Green acopladas entre si, 0 cálcu-
lo exato destas funções de Green envolve o cálculo de um gran
de número de comutadores que só pode ser efetuado para um nú
mero muito reduzido de problemas» 0 que se faz na prática é
desacoplar esta cadeia em algun ponto utilizando algum tipo
de aproximação, o que efetivamente faremos nos nossos cálcu -
los.
Alei do problema do desacoplamento temos tan
bem o problema das condições de contorno necessárias para re-
solver nosso conjunto de equações diferenciais* Estas condi .
11.
ções de contorno serão obtidas através da utilização de repre
sentações espectrais, que veremos logc adiante.
3.HJIÍÇÕSS CORRELAÇÃO TEMPORAIS
As funções correlação temporais são definidas
como a média ténaica do produto de operadores na representa -
ção de Keisenberg para tempos diferentes* As que nos interes-
sam são aquelas que envolvem dois operadores» funções do tipo
,W = <B(t')A(t)>
Em equilíbrio témico ad-iitimos a invariância
cors relação a una translação temporal escrevendo
Fto,** ft.t') = FA»,M (t-f)s FflMnU'-t) I3i
Esta característica das funções correlação (Tt'3-j) e(X'3'2)
estabelece iiraa relação importante entre ambas, que pode ser
observada se escrevemos explicitamente a rcédia térnica:
Utilizando en (I«3»7)o fato de que
tr(AB)c
12.
obteaos finalmente
Observamos também que as funções correlação, ao contrário das
funções de Green, não são descontínuas para tst 1. Para t s f
estas funções se reduzem às funções correlação para os opera-
dores na representação de SchrOdinger, isto é, à função de
distribuição do sistema que nos permite calcular OB valores
médios das várias grandezas dinâmicas •
4.REPRESE;:TAÇÕES ESPECTRAIS
a)das funções correlação temporais
Denotemos por L e |»^ r respectivamente, os
autovalores e autovetores do fíamiltoniano H :o
A matriz densidade para o sistema fica es-
crita como
Partindo do pressuposto de que os vetores | » ^ formam um con -
junto completo ortonormal vamos calcular nesta representação
as funções correlação temporais. Utilizando-nos da equação
(1'M'i) escreveaos a média do produto dos operadores:
i- £1
onde £ j l-»
rtílizando-nos das definições d«J-3) e definindo
obtenos de (J« *l .3)
<A(t)B(t')>= L £j êf 6- t1"-"*'*'^ fc« 1+5
er desenvolvendo raciocínio análogo.
Se definiaos a transformada de Fourier temporal da função cor
relação PSA(t-t') por
?"*'obtemos de
e da equação
- f i ( - ) « ' * €f-<fc-wj.A fvnção I(w) I denominada função espectral e carrega consigo
todas as informações sobre as flutuações do sistema,
b)das funções de Green
Vamos definir a transformada de Fourier e
14.
sua inversa para as funções de Green avançada e retardada (da
qui por diante denominadas G e G . respectivamente):& r
-00
4 f * Gr,, «) Í"1 dt
Efetuemos a transformada para a função G ( t - t 1 ) , com X*t-t*
í
lM(eKi)[ j
Para prosseguirmos, utilizamo-nos da seguinte definição da
função 81») :
onde aqui e no restante deste trabalho, £ é positivo tendendo
a zero. Levando (I'*f»'J) â (I'M»(2) e efetuando a integração
era ¥ ,temos
i f i . «J-U'+CE
15.
Caso estejamos tratando com anticorautadores(férmions) em
(I'l'l|£), substituímos aqui e em todo lugar («• -J ) por(?+i)
Efetuando a transformaãa de Fourier da função
avançada obtemos
L t2lf í
tSe admitirmos v como variável complexa (tt>i:C€~*M ) podemos de
finír uma única função de Green no plano complexo como
r—09
A função definida desta maneira tem um corte no eixo r ea l . Ho
entanto, é analí t ica tanto no scni-plano superior como no se-
mi-plano inferior •
Com a seguinte definição da função delta de
Dirac
x-ie
podemos mostrar que I(w) é proporcional ao salto de G(w)
quando da passagem pelo eixo real se efetuarmos a diferença
00
L= - i
16.
Este resultado é fundamental pois será através dele que no
cap.IV calcularemos as funções correlação estáticas* Prosse —
guimo8 neste capítulo com una breve exposição da teoria que
liga os elementos com que estamos a tratar e esclarece o sig-
nificado físico de cada uma destas funções*
5.AS FDNÇÍfeS ABSORÇÃO E RELAXADO
Na teoria da resposta linear desenvolvida por
Kubo ' para sistemas quânticos com grande número de partícu
Ias. supomos a princípio que tal sistema esteja em equilíbrio
térmico e que possa ser descrito pelo Haniltoniano H . Pertur
bamos o sistema adiabáticarnente uor un potencial do tipo
onde A é operador independente do tempo e F(t) uma função que
depende exclusivamente desta variável. Seja B o operador asso
ciado à resposta do sistema à perturbação H1• Fazemos o valor
médio de B(que corresponde ao valor médio da grandeza associa
da para o sistema em equilíbrio térmico) igual a zero e chama
•nos ÜB(t) à variação de B causada pela.perturbação* 0 resul-
tado principal da teoria diz que
J-00
onde / \ representa a média térmica para o sistema em equilí-
brio
IX
A susceptibilidade dinâmica do sistema é defi-
nida como a resposta a uma excitaçao do tipo it1'- 'oft :
Comparando ( I » ^ ) e (&•$*• 4) temos
com »s t-t* •
/\lUl)é, em geral, complexa e podemos escrever
onde A^ w) é usualmente denominada função resposta e K })%h ~ ~ (5 )
função absorção, 0 teoreraa da flutuação-dissipação J faz aconexão entre X M * W '
e as flutuações do sistema, descritas pe
Ias funções correlação temporais. Ag* VHl) e )\jj|lwjestão amar.
radas pelas relações de Kramers-Kronig^ *:
-
onde P representa a parte principal de Cauchy da integral,
Vanos definir a função absorção como função do
tempo por
18.
e a transformada de Laplace de OCgnCi)
Levando em ( X*£.4o ) a ultima expressão para
v> 0 »
-CO M
onde A«*íi) é açora função analítica em todo o plano comolexo,
com exceção do eixo real. A (ui) pode sêr obtida de/( 12.) quan-
do nos aproximamos do eixo real "por cinja"(pelo domínio físi-
co, com t-t1 > 0 ) :
Uma característ ica importante da função h^fme dada por
1*8
que diz que o sistema não pode dissipar mais energia do que
absorve*
Definimos a função relaxação do sistema por
e de (I'í-13 ) obtemos que
19.
Esta denominação é muito apropriada como mostraremos a seguir.
Consideremos na eq.(I[*5»2 ) que F(t) possa ser
escrita como
con 8 \T ) dí.da por (UM» 6 ) . Assumir tal forma para F(t) sig-
nifica dizer que o sistema foi submetido em ta-oo a uma,força
constante que foi desligada subitamente era trO, quando supo-
mos que todos os processos transientes já tenham relaxado.
Temos
= i \m <[B(í-V))A])FoPara t > 0 teremos
onde utilizamos a definição de X^(i)dada por (I-S^S ),Recor
rendo à definição ( Jt^-li) da função relaxação obtemos
X
i JL f
JL R B / I ( O J.S.I1
2a
que levado à eq. (IT'S* II) resulta em
Supomos que para t-> a> , AJ?(0"*O, e que » R B A Í ( S O ) = 0 , O que
nos permite escrever que
Vemos agora o porquê da denoninação "função relaxação1*: esta
função descreve a naneira pela qual o sistema relaxa quando
"desligamos11 abruptamente a perturbação F(t)#
Vaiios agora obter uma expressão para RgA(t) em
termos dos operadores A e B( t ) . Começados da equação (I-£*l9)
integrando ambos os lados com relação a t ' de 0 a t para ob -
ter
[[onde utilizaTíos a definição (1'T.^ ),Utilizando a propriedade
dt'3'í) da invariância do traço tenos
RBA(t)- RM<o) s - í t r f
Para pros3eg--ínos,observemos que
a.que integrada d e O a f t : i _e dividida por Z resulta em
* • * • *
Levando a Ç$.>Ç.2S) à (IT* í» 25) e utilizando novamente a pro
priedade (Jf#3,5) temos
RM(«-
a
Identificados em (ÜD3*&) a expressão para R^A(t) que denota
remos agora de outra forma, de acordo co^ a literatura vigen
te, escrevendo.para a função relaxação dos operadores A e
B(t)
(A ,BW) = J P <e À Ve A H B(t )>
22.
CAPÍTULO III
O MÉTODO DAS FRAÇÕES CONTINUADAS
PARA OPERADORES ACOPLADOS
Neste capítulo, iniciamos por expor o métodof 1 )
proposto por fóorP para expandir a transformada de Laplace
da função relaxação em frações continuadas para urn único op£
rador» Em seguida discutimos o método para o caso em que t£
mos dois operadores acoplados, isto é, quando a função rela-
xação que envolve os dois é não-nula. Tratamos o corte da ex-
pansão como foi sugerido por Pires " • Calculamos os coefici,
entes da expansão em termos dos momentos da função espectral
ro(A^,rt) que pode ser recuperada da transformada de Laplace
de '""
As funções relaxação que apareceu aqui são a-
quelas definidas pela expressão (]I»3'23) para os operadores
je\ot. e <J-Õ"A f com e< e A s 3 r T designando as duas sub-redes
do nosso problema. No entanto, a definição (I'3'2-i) está in-
completa pois consideramos o valor médio de um doe operadores
envolvidos como sendo nulo. A definição correta para dois ope.
r f
23.
radores quaisquer é dada por
f_ «tâGfiOsão as transformadas de Fourier das funções re-
laxaçao normalizadas
z J
1.0 MÉTODO D3 KOHI PARA 1 0P33AD0R
Vamos tratar daqui por diante apenas com a par
te dos operadores que descreve as flutuações da grandeza asso
ciada em torno do seu valor médio. 0 operador A(t) será por -
tanto definido por
(i) A(il 4 l > m.j.J
Nesta acepção, recuperamos a forma (H'3>2^) para a função
relaxação de dois operadores A e B
onde usamos o conjugado ccnnlexo do operador B apenas para
deixar evidentes algumas propriedades da função relaxaçâor
com a qual passaremos a tratar*
Podemos encarar a eq.(I<i<2) como um "produ-
te escalar" entre operadores do tipo ( H t - 1 0 ) pois a função
relaxação, tem neste sentido, as mesmas propriedades que o
produto escalar dos vetores, quais sejam:
a) (A,A*)£O*> (A ,**)*= (B,A*)
Além disso , o que é mais importante nesta definição de pro-
duto escalar é a "heróiticidade" do operador de Liouvilie (L)
definido por
4 A(t) - A(l) - [
ou de UTia maneira mais formal por?l_t •« ,
fl(t) = e fl(0) 1 - ^A propriedade de "hermiticidade" do operador de Liouville fi
ca expressa como
OV»)- (A/IB)*) UMPodemos mesmo, já que tratamos a função relaxação como UTD pro
duto escalar, adotar a notação de Dirac para os nossos opera-
dores escrevendo
. Aft) —?
. Alo) -*
• (L/1,6*) —> <BlL*>- * <BL|A>
25.
Utilizando-nos das definições acima, definimos
um projetor, operador que projeta um certo "vetor" na "dire -
ção" de um outro. Assim, o projetor para a "direção" do "ve -
tor1» 1 A / é definido por
Ri l&> = QUB)
Este projetor tem, obviamente, as mesmas características dos
projetores de vetores;
P A 1 * P» ; P * = P« 11.11Podemos tarabéra definir o projetor Q. que projeta sobre a "di.
reçao perpendicular" àquela definida pelo operador 1A^ por
= 0 ; (JÁ
DenoraineTios Ifjj(t)^ ao operador que desejamos
estudar. Começados por projetar no sentido de d-'^-ll), o o-
perador )fQ(t)^ em duas partes: una "paralela" à "direção1» de
terminada pelo operador | (O^slf-^ e a outra na "direção
perpendicular". Podemos escrever
com
cono em (Iff. i • li ) •
2screve:no8 a eqtiação 4e -noviitento para o
dor J ^ Q Í * ) / com a ajuda Ao operador de Liouville
* do\\.(i)>
ou fAplicamos o projetor Q Q = 1 - Po & eq.íflT-i- fc ) notando que
onde u t i l i z a n o s a ( S T i ^H).
Definindo | fj z 1 0 ^ ] ^ e I ^ H Q Q I ^ , e levando na ( I H | I 1 )
obtemos
I f.'(i» - i li I f.'(«> = ft, ft) I fi > 1 -l •»cuja solução formal é
e.(s)lf.(t-s)>«ls i-a
co.
Levando a ( ^ J l - 2 o ) a ( I T - l - l S ) temos finalmente
I • • r
Antes de prosseguirmos, notamos que
pois m(t))= t l|i> ss c t'((culf*/sc Q»l[«7 1-j.a
e portanto
pois O o l ^
Comparando agora as eq. (BT-l^J ) e (fll'l'U )
vemos que são semelhantes em forma . Adotamos o mesmo procedi
mento para o operador | f . ( t ) / projetando-o através do pro je -
Orna «taíírtiçó* i*mí* »'»>teressente. fa*"« 0$ Lj (j« l,2( " ; n) feria W*
27.
tor i
/
em duas partes:
"* Bift-s)'O
com
L
0 importante nesta passagem é notar que vTi.lflvw/sO e que
^folflftlVO' ou seja, que geramos um espaço de 3 dimensões
con» três operadores "ortogonais" entre si. Se efetuarmos a
transformada de Laplace em (JL-l-Ü) e (DJl-Zt) obtemos
A semelhança das eq.( (T'i-21 )» ( fl-l-2i ) e
'I'I'V ) sugere que podemos estender este processo "ad infi-
nitumwf gerando operadores "perpendiculares" entre si e esten,
dendo a exnressão (11'1-li ) para |fQ(z)/ eu termos dos \ f,
Obteremos depois íe renetir o processo n vezes:
28.
com
(D = Goto Bjfe)- • • 9^(O l j - 8« » 9 ü l f > £ » f f t ) > J
I-i*
Destas definições ve -os que as funções "ilw são a chave pa
ra a solução do nosso nroblema e que quantas mais destas fun
ções conhecemos, mais oodemos nos estender na descrição de
|fo(i)> (no sentido de (f-i- U )).
Sste processo de projetar de|fQ(t)/as partes
"paralelas" a |fQ^ r \^i>) » etc,corresponde a retirar, a ca
da vez, mais informações sobre o comportamento coerente do
sistema. No entanto, não se sabe ainda muito bera até que pon
to podemos estender o processo pois, ao que parece, em deter-
minadas situações um número menor de projeções descreve a di-
nâmica de |fo(t) / com mais precisão, üstes limites são atual
mente o objeto de maior interesse da teoria.
Vamos proceder, no que se segue, de maneira a
obter uma expansão para os Orfe) • Começamos por projetar
|£ í / com o auxílio do projetor P- :
onde
Os iv. forara assim denominados pois estão relacionados com os
primeiros momentos das distribuições 0! (w) • Estes coeficien9
tes são em muitos casos nulos e esta condição implica em ad
mirável redução nos cálculos. Pode-se mostrar que
se < i t l f W i i | j > = 0 para t« j - i , j - l , - - • , « •Utilizando esta propriedade podemos afiraar que se )f../ for
j
hermitiano ( no sentido de que f, = f/* ), iw. é nulo. Isso se
deve ao fato de que, para operadores hermitianos,
Trabalhamos agora com o segundo membro do lado direito da eq»
onde utilizados a (BI-i-3? ) e a (flI'1-39 )• Substituímos es-
te resultado na eq.(fiL-l-HO ) e nultiplicamo-la à esquerda por
LLífcC " obtendo
Mas
H ique levada â (]£• 1. Hl) resulta em
= Irtj. If j
3a
Finalmente, multiplicando à esquerda por j f . } e dividindo por
/ f . | f . ) obtemosJ J
Utilizando-nos da eq.(I.|.3i ) escrevemos
-t
"ODa definição de ft(l)fi da propriedade (JI-i-H ) do produto esca
lar é fácil ver que
0*(-t) =donde
onde efetuamos a mudança de variáveis s-> -s.
Substituindo (ll'i-HS ) na ( JJT-A-H ) obteaos finalmente
coa
A., 1,- ^lj«il/,-»^ H I So
Efetuando a transformada de Laplace em (!J-i'i9) temos U!aa
fórmula de recorrência que nos pernite achar 0:(vse conhece-
0mos 0;+l
31.
• (*\ i i
2 - tU): + ^ j
Os A j que aparecem nestas equações foram assim denominados
por que estão relacionados com o desvio quadrático médio das
distribuições 0:(w),como veremos logo adiante.
Através de
2 - ÍW, 4 ál
An?»+
obtemos a função espectral
II
que está relacionada» pelo teorema da flutuação-dissipação
com a função correlação f-fgit)^ e que portanto descreve o
espectro de flutuações do sistema.
Antes de passarmos ao problema que envolve do
is operadores, vanos calcular alguns dos | f . e alguns dos cp.
eficientes da expansão (JJ-i.^l) nara efeito de ilustração.
Consideramos no que se segue {^(t)/ como sendo hemitiano#
Fará | fA t)y hermitiano todos os ijw. são nulos,
como se pode ver da discussão que precede a eq. (ÜT-J.- HB )• Da
eq. (flI'1-Mf )r com j=-0, segv.e-se que
32.
e COTI j s 1
D a e q . ( J f f . l . J J )
Utilizando a definição áe P» e o fato de que
obteraos
Continuados fazendo j = 2 na eq. (flT'l'H4):
I p + Af
Usando a eq. (Hl-LH ) ternos
que substituído juntamente com (J[. 1-5Í) ea ( JT-1.Í6 ) dá
Agora, a partir de
P i . I f .
onde j fi / representa a enésina derivada de |f 0^ com relação
ao tempo,para tsO, obteraos
Venos de (J.i, (3) que jf^ ,\f£) »|f2") e i fj) 8^° ort°S° "
nais entre si e consideranos assiT bem ilustrada a maneira de
se obter os | f./ •
33.
Efetuamos agora o cálculo dos coeficientes
Ai e &| da expansão ( QT*1*CZ )» o que corresponde a adotar-
mos a aproximação de três pólos para 0#(*J substituindo àl%00
por alguma função prl-determinada de z. Definiios a função es
pectral por
**que tem por momentos os 4 M / dados por
-o»
Para ns2 temos
f | f / | f > = ifPara n = 4 ,
. AÍ At* (A?)1
ou seja,
34
2. O MÉTODO DE KORI PARA
OPERADORES ACOPLADOS
Antes de analisarmos o método para os operado-
res acoplados, vamos dissertar ligeiramente sobre a projeção
de vetores do espaço tridimensional quando os eixos do siste-
ma de coordenadas não são perpendiculares. Consideremos em
primeiro lugar um sistema de coordenadas cartesianas XYZ com
eixos mutuatiente perpendiculares, coao na figura abaixo»
X1
Definimos o operador que projeta sobre o plano
XOY pelo diadico
m-2-L
onde i e j são vetores situados sobre os eixos X e Y resp3c-
tivamente e não necessariamente unitários, A projeção do ve-
tor V sobre o plano XOY ê dada pelo produto escalar entre
o projetor X\ti e o vetor V:
35.
- V « )/*?li -h Vy " / nr-2.2yConsideremos agora o sistema de eixos X'YZ
cora o eixo X1 situado no plano X0\ e formando um ângulo
con o eixo Y. Se desejamos utilizar tal sistema de eixos üara
descrever o nosso espaço vetorial devemos saber como projetar
os vetores sobre o plano X'OY • 0 projetor Ix'oy pode ser ob
tido se projetamos sobre o plano XOY o vetor unitário C / c;
que define a direção do eixo X1 e eliainaiios de (Dt-2'1 ) o
vetor (- :
L (f.7")1 I 1 J >*Apesar dos coeficientes dos ternos ii*'e[ L sereti idênticos
e destes vetores comutarem com relação ao produto escalar, es
crevemos o projetor de maneira a explicitar a sua simetria*
Note-se que as projeções sobre os eixos Xf e Y contêm agora
dois termos cada uma. Este é o resultado do acoplamento entre
os vetores, ou seja, do fato de que L • L£Q.
Consideremos agora a seguinte matriz:
e procuremos por sua inversa, à qual denominaremos Y :
36.
L .i' i TK'2'S
Vamos escrever o produto escalar entre os veto
res em termos de seus módulos e do ângulo 0 • Escrevemos tam-
bém a matriz /\ nestes termos;
?x0
\
—r-Stfc
Comparando os termos do projetor com os elementos da matriz
notaaos que este pode ser escrito como
Obtivemos finalmente uiia forma concisa para o projetor
con a definição das matrizes G e X e passaios agora a tra
tar do método de iíori para os operadores acoplados.
Quando utilizamos o método de Mori para descre
ver a dinâmica de nais de um operador deparaao-nos com proble,
ma semelhante. Consideremos o caso em que os operadores estão
desacoplados (quando o produto escalar dos dois é nulo).Neste
37.
caso a dinâmica de cada tra dos operadores é independente da
dinâmica cio outro e, se,denominamos fQ(t) e *n^*^ a o s °9era<*2.
res que desejamos estudar, basta-nos calcular (ff(t),fT) e
2 2 ~ *
(f-.(t),f0) para obtermos uma descrição completa da dinâmica
do sistema.
Poderíamos nos utilizar desta descriçao,para o
caso em que os operadores estivessem acoplados,como uma pri -
meira aproximação (desprezando (fr(t),f0) e (fo(t),ff) ). Tal
aproximação é, no entanto, contraproducente pois, em primeiro
lugar, introduz um alr.r^.mento de linha sei origem física í
Além disso, COTIO já foi dito anteriormente, ao projetarmos de
um operador a perte "paralela" aos operadores |f./(cada vezj
mais carregados de aleatoriedade quando aumenta j) estamos re
tirando informações sobre o comportamento coerente da varia -
vel associada. Se os operadores estão acoplados, parte da co£
rência observada no comportamento da grandeza associada a fT
é devida à sua interação com a grandeza associada a fQ (e vi-
ce-versa) e desprezar o acoplamento implica em perder esta fa
ceta coerente na descrição de ambos.
Começamos definindo um "vetor"coluna |f_(t)^
cujas componente? Jf (t)) (is 1,2) são os operadores que dese-
jamos estudar. Denominamos os vetores pertencentes ao Bub-ej3
paço o< ncr |f^(t)> , |f ^ , |f ^ , etc., e suas compo -
nentes por Jf^(t)^ , If^ , | fl^ , etc, respectivamente ,
con i = 1,2. Os tlO: , A: , 0*(i) Sefinidos para o problema detf 6 o
38.
um operador são agora as matrizes lUL , u ^ , G«c(tl de elemen
tos itJ^ f A ^ , 6<V>) respectivamente com cí denotando o
sub-espaço a que pertencem e i,j denotando suas linhas e colu
nas. Os projetores e os operadores de Liouville são matrizes
caracterizadas por elementos do tipo "O^ÍL, Let*ii «Definimos
ea analogia com (ffl'i-'l ) e (Bl«2iS) as natrizes G ^ e X ^ s
«Os elementos de G ^ são os
Definimos também as ^^( t ) com elementos
Os projetores para o sub-espaço «d sao definidos por
Re. i. XilfiXficomo eia ( U. Z. }• ) •
Adotando a mesma linha de raciocínio da primei^
ra seção deste capítulo, projetamos lfo(t)} sobre o "plano11
gerado nelos Ifi } :
onde utilizamos a definição (ID-^. S )• Definimos as matrizes
39.
e escrevemos a ( Dt« A* 11) como
que, em termos da notação matricial, fica
como em (flt. i»IM). Continuamos procedendo de maneira completa
mente análoga àquela da seção anterior, relembrando apenas
que estamos tratando com "vetores-coluna" e matrizes. As equa
ções de movimento para as componentes de lfo(t)/ são
cuja solução é
Como em (IQ • i. ZZF) temos correspondentemente
0
que em termos das componentes fica
k o Ic
Os |f, / definidos desta maneira gerau UTJ "hiperplano" orto -
gonal àquele gerado pelos | fQ } e prosse^uiaos, como an te r i -
ormente, gerando mais destes "hioerr>lanos" ortogonais e esten
dendo a descrição do nosso vetorJf_(t)y •
COTIO no caso em que teraos uu onerador, a chave
4a
do nosso desenvolvimento é o conjunto das matrizes 6lc(t)p&ra
as quais obtemos uma relação de recorrência como a (JI.i»5í ):
9-cU) 5 [ ? I - Ití* + 8*+i (O A
onde I é a matriz identidade» Os elementos das matrizes
e A «d são dados por
- U*
Coao vatios tratar com operadores hermitianos
todas as matrizes t*»U.terão elementos nulos e escrevemos a
( DJ.2- W ) e^ termos da$
Definindo as matrizes auxiliaresJIT. 2.
^^ l ffl.2-
teTios
m
Os n ^ são expressos e^ termos dos monentos de
F?^ (qfw)= 2??e(01* (2 = iw)) cono veremos posteriormente. Os
41.
cálculos destes momentos são razoavelmente conpliçados para o
Hamiltoniano ea questão de maneira que fazemos uma aproxima -
ção para GQ(z) substituindo a matriz A^fe/nor unia matriz cons
tante* • .Tal aproximação corresponde à de três pólos para ua
operador* "'e será razoável se A, v) variar lentamente com re-
laçãoaos tempos de relaxação próprios do processo dinâmico
que está sendo analisado. Efetuaremos o cálculo da matriz A =
de elenentos constantes) após analisarmos as expres-
soes para os ^T^esi termos dos momentos de P. (q,w).
?:n prineiro lucrar, efetuaremos os cálculos pa-
ra a matriz A^*viXo. A matriz XQ será obtida da matriz Go
que calculados cora a ajuda das funções de Green no próximo ca
pí tu lo . Vejanos a nat r iz G,:
Da ( DT -1• *#V ) com iw = 0 obteraos
Portanto
rf $\i>= - fh = ft?
Os elementos da -atriz G, sao i~uain aos momentos de segun-
da ordem de F?^(q^,w) e serão calculados no capítulo seguinte.
Prosseguimos efetuando o cálculo de ü^sG^Xi*
42.
A matriz X, é obtida da G, . A matriz G« tea elementos
Mas
e como Io ' [ • / =
te-aos
Substituindo a expressão para | f| / na ( ÜLZ-30) e lembrando
que se |f^ / e lf"0 / são herraitianos
temos
1 f>
Kas Ai&oAj. = Aj.«TJ- se os operadores |f0 } são henni.
tianos» Obteraos finalmente
Passa-nos agora ao cálculo de £3?63X2que, apee
sar de não ter sido utilizada nos cálculos, i lustra o método
COT que esta-sos a tratar» A natriz X é obtida de G2 • Cal
culenos G, :
Teaos
Tenos também que
e finalmente
Levando este resultado à (E'2'3^) obtenios
/1 f»
>
Definindo M t = < f/ I f/ > « <lf I L 5 I Btenos
43.
+ £> tff\
Da definição (Bl-X-Io) dos projetores temos
pois se |fr' são hermitianos
44.
Vemos que o cálculo de G_ envolve o.cálculo
do sexto nojento que é extremamente difícil no nosso caso, fa
to que , de una certa maneira, jttstifica a aproxinaçao utili-
zada.
Vamos tratar açora do corte imposto à expansão.
A aproximação mais simples consiste, cono já foi dito anteri-
ormente, em substituir a matriz AjU)por uia natri?: >\ àr ele-
mentos constantes» Fazemos
Utilizando as matrizes auxiliares definidas era (fiT'Z«Z3 ) e
checamos a
Da definição dos A^+^Wtemos
ou
6i(t)X.4t,Para z =0 ,
Da definição ( ffl*Z-0 ) ternos
GÁi) = <\Í\\tW> = <f»» I í l j t fíPodemos expressar a exponencial por meio de u"ia série
f* / , Os cálculos não são difíceis embora se
jam longos. Apresentamos os resultados:
Kote-se que para potências de t maiores que a segunda já nes-
secitamos do cálculo de no-nentos de orderr. aaior do que a quar
ta . /proximamos G1(t) por
- 6» - 1 I a r
e substituiinos na (H'l.TZ,) para obter
- i0
Este resultado levado a. d » ! . ^ ) fornece
* A a. fAproxíaamos \ I - i A j , v } por una função Gaussiana:
i
i2
aproximação que I adequada para tempos pequenos. Além disso ,
G í W * 6l(i) (?ve deve ir a zero quando \ç—*to .Esta aproxima -
ção teT portanto o comportamento adequado também para t-*eo •
4 6 .
L e v a m o s a ( Q I • ! • £ * ? ) à ( ! ! • £ • S Í ) l e m b r a n d o q u e A x é m a t r i z
2 x 2 :
oPara efetuar a integração, diagonalizaraos a matriz « 2 atra -
vés de una transformação de similaridade utilizando-nos da na
triz U cujas colunas são os autovetores de "2, :
ocom
1 j AS*• a? t
e
Efetuamos agora a integração lembrando que e sr Fe U~ :
:Io caso ei que ternos apenas m operador, o cor
te equivalente consiste em substituir a função correlação (ou
47.
função memória, como é denominada em alguns textos) de 3- or-
dem 01 \w por uma exponencial
82W =e a aproximação e razoável, como já foi dito anteriormente,se
A ^ i, , onde % é o maior tempo de relaxação caracter ís t ico
do processo que está sendo estudado. No nosso caso, o análogo
da função wllfcJ é a matriz
Efetuando a inversão temos
R i W = A
com
j,2
A matriz Aj é definida-positiva:
A matriz A é, portanto, também definida-positiva, ou seja.
e z^fZ- são grandezas essencialmente negativas. Redefinino -
Ias
e tédios para a matriz P
— Ali f+Au/
Efetuando a transformada de Laplace inversa temos
\
com .MvPodemos escrever ainda a Rp(t) como
o que pode ser verificado se di^çonalizatnos a matriz \
efetuamos a transformada de Laolace»
' «
49.
CAPÍTULO IV
CÁLCULO DAS FUNÇÕES ESTÁTICAS
E DOS MOMENTOS
Neste capítulo calculamos as funções relaxação
e correlação estáticas e o segundo e quarto momentos Se
oue dão os elementos das matrizes G_, G-, G~ , definidas no
capítulo anterior.
1.CALCULO DAS FUNÇÕES DE GREEK E DAS
FUNÇÕES CORRELAÇÃO ESTÁTICAS
Tonemos o Hamiltoniano (!•!)
CO31
Suit) = e 5u e H.i.2Efetuemos a transformada de Fourier
Sí (?,«) -- 4. j at Su (ti t
50.
->com a somatória era q percorrendo todos os vetores da rede re_
cíproca, R. denotando a posição do i-ésirao spin da rede e N
o mraero de spins da rede. 0 Hamiltoniano fica
- V2
comHi e
Das relações de comutação para os operadores
de spin
[Si* J S;]T3 r l 5i5 Jitemos
Scí^Sf <i,i.u.-L 52
H
onde utilizados o fato de que, para uma rede cúbica simples,
Efetuados arora a transformada de Fourier para
as equações de movimento (JSL'2'3 ) das funções de Green:
4 <x»,B3>
51.
Prescindindo dos índices r e a calculamos as funções de Green
de nosso interesse:
u f (?,*), (0 \ (-iT,u
O próximo passo é o desacoplamento da fvmção
de Green que aparece no terceiro tôrmo de (QJ. |> 15 ).Utiliza
raos para este propósito a aproximação das fases aleatórias
(RPA) onde supomos que os spins estão desacoplados. Mesta a
proxinação temos
que dá para o terceiro terno da (33 • | •IS
Para o nosso modelo e na faixa de temperaturas com que esta
raos tratando
52.
Levamos a ( 5 • I • R" ) à ( Q«l»lí) e obtemos
i
cue substituída na (I3«i'l4) resulta e*n
depois de umas poucas manipulações. Definindo as matrizes
k,üj) e G(?,w) de ele-nentos
Cl<S5>
escrevemos a ( Ul'l'il) cono
onde I é a matriz identidade. Obtenos finalnente as funções
de Green desejadas escrevendo em forma natricial
53.
(i
Passamos agora a tratar explicitamente com os
parânetros das duas redes (designadas pelos índices S e T )
escrevendo para as conponentes da matriz
„,
onde os + »0C|W)M (&,«">) são os elenentos de "(k|W; que lista
mos abaixo juntamente coa alguns outros parâmetros definidos
de Tianeira a tornar prática a manipulação das equações:
J* (K,«rt = (W2- ilí -t TV-O-T A c > 0.1-II
.1.3o
com
As freqüências w,(k) e W^ÍK) definea a relação de dispersão
54.
para as excitaçôes elementares do sistema descrito pelo HamiiL
toniano ( X>2 )*No caso en que o Hamiltoniano descreve um sis
tema ferroma^netico, o raodo que "provoca" a transição de fase
é o modo que tem K — 0 ( soft mode ), ou seja, o iiodo que tem
todos os spins alinhados. A freqüência deste modo vai a zero
na temperatura de transição. Podemos obter a equação que for-
nece a temperatura crítica fazendo
Uli z íl* - ÉJT + »A (* | - A l M = 0 13.1.3?com \Sx/ = xSx/ij1 e \T*^ S \TxXp • A equação obtida desta
naneira é idêntica àquela obtida no apêndice B,
Das eqn.açÕes ( ü ' ^'^" ) © ( í ' W » l t ) do capítulo
II ternos para t r . t ' = 0 que
€••0
Substituindo 10 por 10 "t C £ na equação ( Bi • I • 2 *) e uti l izando
a seguinte definição da função delta de Dirac
SM. Ue
obtemos para
Lim+tfe J
55.
e para o(= 8rM A / *V f 1
onde o ( : S s e ô s T e vice-versa. Integrando a (5»l»Wl) e a
obtenos finalmente as funções correlação es tá t i cas :
••*
onde
2.CÁLCULO DAS FniÇÕES RELAXAÇÃO ESTÍTICAS
"o capítulo II vinos que
i J R )
Se efetuaaos a transformada de Fourier na equação
e utilizados a ( !'*!'?) obtenos
56.
A equação (JT- «t»3>) é usa das formas do teorena da flutuação
dissiparão • Para t = 0 temos
= \
roo w
que e a função relaxação estática que desejamos calcular. No
te-se que para T muito grande, tal que k_T/ *& seja muito ma
or que quaisquer freqüências naturais do sistema, podemos fa
zer €fwi 1+4*1 e tereios
0 cálculo das funções relaxação fica nuito sin
pies já que conhece-nos as 1 Uoj«0 «0 temo (tl - 1 ) que aPâ
rece em ( TS. l.t) cancela COT O terno idêntico na expressão
para os I H^wí) e as integrais são imediatas. 0 resultado é ex
presso através da notação do capítulo anterior:
57.
GTo\- tf .f IT^> « ( T V T M T H
= J1T<TX> (Sis-ts)
Note-se oue fazendo T grande (ft peeueno ) CotA ( i i»j)w> _Jf « V» 1' / s t
e obtenos a ( 3«2 . i | ) .
3.CALCULO DOS KOHENTOS DE
Os nonentos da distribuição P^í^w) são defi
nidos por
fUtil izando a equação ( JS..f« 19) do cap í tu lo I I obtetnos os mo -
mentos de P r f atq,w) como a média de uma s é r i e de comutadores:
onde temos n-1 comutadores que envolvem o Ramiltoniano.
Passemos ao cálculo do se/nindo monentó
que no capí tu lo an t e r io r designamos por
.3.3
5%
Escrevemos os elementos da matriz M» explicitamente:
nT = MÍ S, oEfetuemos agora o cálculo do quarto momento \)J A^ô
pítulo anterior,designamos por f
Das relações de conutação ( ]5 • l* 8 ) temos
N Ke
BT.3.V
\) A ^ ô ^ no
Levando os resultados (TJ5 • S» ? ) e (GT.i.9 ) à (5(.i.^ ) temos
t ^ 1
59.
Podemos ver agora o porquê do cálculo das funções correlação
estáticas» Além das \Stf*t^J*a / que já calculamos, aparecem
também as X-'E^ -»i? A / • 0 problema e que a RPA fornece
valor nulo para as funções correlação longitudinais (T>T C-/
e tivemos que caminhar um pouco mais adiante fazendo a aproxjt
inação para as funções de Green, Entretanto, a RPA fornece um
valor não nulo para as funções correlação transversais e con-
sideramos esta aproximação suficiente:
Levando a (ÜLS-ll) à (ff.J-lO) temos para o último têrrao do
lado direito da equação
e finalmente
t 1° t
que escrita explicitamente em termos dos parânetros das redes
S e T fica
60.
t JU1 á [3s
M *r JU<T*> -
^ . A S HT <SXXT*>
A somatória era k que aparece na expressão do
quarto iionento foi efetuada numericamente com N— 60x60x60
pontos da rede do espaço recíproco. Os calores médios \ S * ^ e
^ T " ^ são apresentados nc apêndice B e as expressões para
os j [(o )sao apresentadas no apêndice A.
61
CAPÍTULO V
DISCUSSÃO DOS RESULTADOS
O estudo da dinâmica do nosso sistena foi reali
zado para a faixa de temperaturas TC<T<CD através da função re-
laxação F Z(<f»w) para diversos valores dos parâmetros Xis, Jl-r,
3 fe do vetor de onda q» Para tenperatura infinita as fun -
ções relaxação e correlação são idênticas ( U»2«4 )• P a r a tem-
peraturas finitas os resultados podem ser vistos como uma ex -
tensão da teoria do car.po molecular aplicada às propriedades
dinâmicasv '.
Analisemos era primeiro lugar o comportamento do
sistena para temperatura infinita ( para efeito de cálculo t£
maraos T s 5T C), Fazendo variar a razão Sís/flf/ J para q » 0
obtivemos os resultados apresentados na fig.l, Para il5e ^ I T P S
quenos com relação a J a função Fzz(q,w) apresenta um pico cen
trai largo. Aumentando o valor de um dos parâmetros notamos
o aparecimento de um pico lateral de freqüência próxima àquela
do maior dos 11^. Quando ambos os ilusão /rrandes se comparados
a J,o pico central fica muito raso e muito largo e notamos o a
parecinento de dois picos ressonantes amortecidos, X medida
que crescem os •»»•. o caráter de F (qf\t) fica quase que exclu-
sivamente ressonante, corno se tivéssemos N spins livres prece]*
62.
sando em torno de Ji,e iiypara os spins em cada sub-rêde. A di
namica do sistema, no que diz respeito à razão Íl^/Jl^ J è si
milar à do HICT para um operador. Se os ^V são muito menores
que o valor quadrático médio do canoo interno flutuante ,
fW) apresenta um único pico central. Aumentando os
spins começam a precessar em torno destes campos e F (q,v;)
começa a apresentar um caráter ressonante. A largura dos picos
é resultado do amortecimento causado pelo acoplamento entre os
spins dado pelos J '.
Para T-»», FZZ(qfw) fica independente de q. lio
entanto, mesmo para temperaturas tão grandes como T=5T ainda
observamos uma pequena variação da função espectral com rela -
ção à variação de q. 0 aumento das freqüências em torno das
quais estão centrados os picos decorre da dependência da fre -
quência das excitaçôes elementares do sistema COT relação a q.
Ainda para T-»« e fazendo variar o acoplamento
entre as redes (J ) obtivemos os resultados mostrados na fi-
gura 3* 0 aumento da interação entre as redes amortece e alar-
ga os picos até que, para um acoplamento suficientemente forte
os picos se fundem num único pico muito raso e muito largo cen
trado numa freqüência intermediária entre iL^e -fl-T. Para o aco
plamento fraco o sistema se comporta como se fossem duas redes
KICT simples e F J(q,v/) apresenta as mesmas características
( £)que apresentam as curvas obtidas por Tommet e Huberv •
Como já havíamos dito anteriormente, para tempe
63.
raturas muito altas o sistema se comporta como se tivesse N
spins livres precessando em torno de freqüências próximas às
•U-o( e esperamos que, à medida que cresce T, estes picos fi -
quem cada vez mais finos e centrados em tomo dos -*\, * No en-
tanto, à medida que a temperatura decresce ( T •• T ) espera -
mos que a correlação entre o movimento dos spins aumente e que
o comportamento coerente do campo interno se torne mais anaren
te. Tomando •"•5/-"^/ J = 3/4/1 de maneira a deixar bastante cia
ros os resultados, fizemos variar T de Is 00 até T« 1.1T e ob-c
tivemos as cnrvas apresentadas na fig.4. 0 comportamento coe -
rente do campo interno de freqüência nula faz aparecer um pico
central a. medida que nos aproximamos de 7 enquanto diminuem
os üicos laterais. Ê interessante notar oue mesmo nara T=1.1Tc
ain-ia temos um pequeno pico lateral centrado em torno de uma
freqüência intermediária entre Ji5 e "**T»
Na fie»5 apresentamos os resultados para JÍ5/ST
il T/ J s 0.5/0.3/1 e J / J = 0.5. Notamos a ausêncis dos pi,
cos laterais e o aumento da intensidade do pico central segui-
do de um decréscimo em sua largura quando nos aproximamos de
V"* A r t
Fazendo variar o valor de q para JL$/ JLf/ J =3/4/1 e T s l i l T_ ob ti vemos o resultado apresentado na fig.6 .c
Notamos que o caráter ressonante se torna cada vez mais eviden
te quando tonamos valores de o cada vez mais distantes do cen-
tro da zona de 3ri l louin. t importante notar também o caráter
64.
crítico do modo que tem q = 0.
Abstiveao-nos de fazer uma variação mais ampla* f\ r\ SS TT ST
do conjunto de parâmetros {*i$t*Lr9 J , J , J ) , do vetorm^^ «tf 4W
de onda q e da temperatura T pois as combinações sao tantas
que tornam impraticável.uma análise completa. Estamos certos
no entanto de ter obtido resultados significativos no que diz
respeito aqueles obtidos.por Tonniet e Hiber^ 'para o KICT sim
pies» procedimento que pareceu ser o mais adequado frente a es
ta situação.
A Física do problema é similar àquela do MICT
simples e optamos por analisar aqui apenas as características
relevantes à diferença entre os dois modelos.
Por uma questão de simplicidade, limitamo-nos«v 77 ^^
a apenas um tipo de corte para a expansão de F (q,z) embora
pudéssemos estender os cálculos através da analogia com uma sé
rie de cortes propostos para o problema de um operador, Nao a
creditamos que o corte usado seja o correto para toda a faixa
de q e T e a possibilidade de utilizarmos outros tipos de cor-
te em estudos posteriores esta sendo estudada. 0 corte que ntí
lizaraos, além de ser sinples, permite a comparação COTI O S re
stiltados obtidos por Tomet e Iluber .
65.
FIGURAS
1. FZZ(cf,w) a T = oo com JLS /JlT/ J =
A ( 0.3 / 0.25 / 1 )
B ( 0.8 / 1 / 1 )
C K 1 / 2 / 1 )
D ( 2 / 3 / 1 )
E ( 3 / 4 / 3 )
J - J ss D para todas as curvas.
2. Fzz(q,w) a T*5 Tc para JL5/JlT/ J « 3/4/1, JSI JT1 JST
e vários valores de "q.
3. Pzz(?pw) a T«» para A*/JLr/ J «3/4/1, J S | JTI JS T e váriosSTvalores de K •
4. Pzz(3'Pw) com J L « M T / J - 3/4/1 f JSI J T =J S T para várias
temperaturas.
5. Fzz((T,w) para JU /-/tT / J^0.5/0 .3/ l , JS T /JS S /JT T .5/1/1
para várias temperaturas.
6. Fzz(q)w) para-A$/-A-T/ J =3/4/1 , Tss.1.1 T_ e vários valoresc
delf.
72.
APÊNDICE A
CÍLCTJLO DOS J q )
Pe l a eçração ( |Y. l« 6 ) do c a p í t u l o IV temos
A aproximação a ser utilizada consiste em consi_
derar os spins coso estando dispostos sobre una rede cúbica de
parâmetro de rede a com interação entre vizinhos mais próximos.
A célula unitária tem um spin de cada espécie ( S ou T ) de na
neira que cada sr>in terá 6 vizinhos mais próxinos da mesma es-
pécie e 8 vizinhos mais próximos de espécie diferente. A soma
em ( n-1 ) terá o núrnero correspondente de termos.
Para c^sô temos
e nara
t W<*lfâ) tufè)*^ k-3onde q1»qp»Q-r sâo as projeções do vetor q sobre os eixos cris-
talinos. K fé a interação efetiva entre npins da Tiesma espé -
cie e se relaciona com os J r que aparecem no Hamiltoniano
(1-2) da seguinte maneira: K ^ f * "J"^ tf* A'*|
73.
APÊNDICE B
CÍLCÜLO DA TEMPERATURA CRÍTICA
Calculamos a temperatura c r í t i c a usando a apro-
ximação do campo médio (KFA). Nesta aproximação os spins não
estão correlacionados e cada spin "enxerga" apenas o campo mé-
dio criado pelos spins vizinhos» Para o nosso sistema con a a-
proxinação de interação en t re primeiros v iz inhos , sp ins de e s -
pécies di ferentes "enxergam" campos d i fe ren tes :
ÍT= U T A T ^ O K T ^ + W K S * ) ) 6-2
Nas equações acima, J 1(0)* J i(qVo) e representa o valor
médio do spin em cada sítio.
Os valores médios das componentes en x e z são
dados por
*0"Ae líT l J
74.
Perto de T , S /e ^T2^são muito pequenos (na fase ordenada)
e podemos despreza-los com relação a Jís e St-y escrevendo a e-
quação (B.'f) para o(sS,T:
Fazendo I*T c e substituindo o valor de T z dado pela ( B 4 )
na (B-6) obteaos a equação que fornece a temperatura crítica:
uA equação acima pode fornecer dois resultados; trabalha-nos sen-
pre com o maior deles. A condição para que a temperatura críti
ca seja nula ( não havendo portanto a transição de fase ) é da
da por
75
REFERÊNCIAS
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