UTPL-TEORÍA DE CONJUNTOS-I-BIMESTRE-(OCTUBRE 2011-FEBRERO 2012)
-
Upload
videoconferencias-utpl -
Category
Education
-
view
2.741 -
download
5
description
Transcript of UTPL-TEORÍA DE CONJUNTOS-I-BIMESTRE-(OCTUBRE 2011-FEBRERO 2012)
TEORIA DE CONJUNTOS
ESCUELA:
NOMBRES:
Ciencias de la Educación – Físico Matemáticas
Ing. Wilson Villa
BIMESTRE: Primero
Octubre 2011-Febrero 2012
CONJUNTO
• Un conjunto se puede entender como una colección o agrupación bien definida de objetos de cualquier clase. Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos del conjunto.
Todo conjunto se escribe entre llaves { } y se le denota mediante letras mayúsculas A, B, C, ...,sus elementos se separan mediante punto y coma.
NOTACIÓN
Ejemplo:
El conjunto de las letras del alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. se puede escribir así:
L={ a; b; c; ...; x; y; z}
Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto se usa el símbolo:Si un elemento no pertenece a un conjunto se usa el símbolo
Ejemplo: Sea M = {2;4;6;8;10}
2 M ...se lee 2 pertenece al conjunto M
5 M ...se lee 5 no pertenece al conjunto M
INDICE
I) POR EXTENSIÓN
Hay dos formas de determinar un conjunto, por Extensión y por Comprensión
Es aquella forma mediante la cual se indica cada uno de los elementos del conjunto.Ejemplos:A) El conjunto de los números pares mayores que 5 y menores que 20.
A = { 6;8;10;12;14;16;18 }
B) El conjunto de números negativos impares mayores que -10 y menores que 1.
B = {-9;-7;-5;-3;-1}II) POR COMPRENSIÓNEs aquella forma mediante la cual se da una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto.Ejemplo:
se puede entender que el conjunto P esta formado por los números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
P = { los números dígitos }
Los diagramas de Venn que se deben al filósofo inglés John Venn (1834-1883) sirven para representar conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas que pueden ser círculos, rectángulos, triángulos o cualquier curva cerrada.
AMT7
2
3
69
ae
i
o
u(1;3) (7;6)
(2;4) (5;8)8
4
1 5
INDICE
A = o A = { } se lee: “A es el conjunto vacío” o “A es el conjunto nulo “
CONJUNTO VACÍOEs un conjunto que no tiene elementos, también se le llama conjunto nulo. Generalmente se le representa por los símbolos: o { }
Ejemplos:M = { números mayores que 9 y menores que 5 }
P = { x / }1
0X
CONJUNTO UNITARIOEs el conjunto que tiene un solo elemento.Ejemplos:
F = { x / 2x + 6 = 0 } G = 2x /x 4 x 0
CONJUNTO FINITOEs el conjunto con limitado número de elementos.
Ejemplos:
E = { x / x es un número impar positivo menor que 10 }
N = { x / x2 = 4 }
;
CONJUNTO INFINITOEs el conjunto con ilimitado número de elementos.Ejemplos:
R = { x / x < 6 } S = { x / x es un número par }CONJUNTO UNIVERSALEs un conjunto referencial que contiene a todos los elementos de una situación particular, generalmente se le representa por la letra U
Ejemplo: El universo o conjunto universal
;
de todos los números es el conjunto de los NÚMEROS COMPLEJOS.
INCLUSIÓNUn conjunto A esta incluido en otro conjunto B, sí y sólo sí, todo elemento de A es también elemento de BNOTACIÓN : A BSe lee : A esta incluido en B, A es subconjunto de B, A esta contenido en B , A es parte de B.REPRESENTACIÓN GRÁFICA :
B A
PROPIEDADES:
I ) Todo conjunto está incluido en si mismo. A AII ) El conjunto vacío se considera incluido en cualquier conjunto. AIII ) A está incluido en B ( ) equivale a decir que B incluye a A ( )
A BB A
IV ) Si A no está incluido en B o A no es subconjunto de B significa que por lo menos un elemento de A no pertenece a B. ( )A BV ) Simbólicamente:
A B x A x B
IGUALDAD DE CONJUNTOSDos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos.Ejemplo:A = { x / x2 = 9 } y B = { x / (x – 3)(x + 3) =0 }
Resolviendo la ecuación de cada conjunto se obtiene en ambos casos que x es igual a 3 o -3, es decir : A = {-3;3} y B = {-3;3} ,por lo tanto A=BSimbólicamente :
A B (A B) (B A)
CONJUNTOS DISJUNTOS
Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunes.REPRESENTACIÓN GRÁFICA :
A B1
7
5 3
9
2
4
8
6
Como puede observar los conjuntos A y B no tienen elementos comunes, por lo tanto son CONJUNTOS DISJUNTOS
Números Naturales ( N ) N={1;2;3;4;5;....}
Números Enteros ( Z ) Z={...;-2;-1;0;1;2;....}
Números Racionales (Q) Q={...;-2;-1; ;0; ; ; 1; ;2;....}
Números Irracionales ( I ) I={...; ;....}2; 3;
Números Reales ( R )
R={...;-2;-1;0;1; ;2;3;....}2; 3
12
15
12
43
Números Complejos ( C )
C={...;-2; ;0;1; ;2+3i;3;....}2; 312
76
556
A B
El conjunto “A unión B” que se representa asi es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A,a B o a ambos conjuntos.
A B
A B x /x A x B
Ejemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9
9
87
3
1
4
2
A B 1;2;3;4;5;6;7;8;9
76
556
A B
El conjunto “A intersección B” que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y pertenecen a B.
A B
A B x /x A x B
Ejemplo:
A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9
9
87
3
1
4
2
A B 5;6;7
76
556
A B
El conjunto “A menos B” que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.
A B
A B x /x A x B
Ejemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9
9
87
3
1
4
2
A B 1;2;3;4
Dado un conjunto universal U y un conjunto A,se llama complemento de A al conjunto formado por todos los elementos del universo que no pertenecen al conjunto A.Notación: A’ o AC
Ejemplo:
U ={1;2;3;4;5;6;7;8;9} A ={1;3; 5; 7; 9}y
Simbólicamente: A ' x /x U x A
A’ = U - A
UNIDAD 2
CORRESPONDENCIA Y APLICACIONES
TIPOS DE APLICACIONESAplicaciones inyectivas:• Sean los conjuntos A y B. Sea una aplicación
entre ambos conjuntos tal que f : A → B. Se verifica que la aplicación es una aplicación de tipo inyectiva si cada imagen de un elemento de B corresponde a un sólo elemento de A, aunque no todos los elementos de B han de tener elemento de A, es decir, ∀x,y ∈ A si f(x) = f(y) entonces x=y.
Aplicación Sobreyectiva• Considerando A y B. Una aplicación es
sobreyectiva si para cada elemento de B existe un elemento de A tal que f(a) = b.
Aplicaciones biyectivasSean A y B dos conjuntos. Sea la aplicación f: A → B. La aplicación entre A y B verifica ser una aplicación biyectiva si para cada imagen hay un elemento A asociado y que además debe ser único. Es decir debe ser una aplicación sobreyectiva e inyectiva al mismo tiempo.
Composición de aplicaciones: Definición
Sean f una aplicación del conjunto A en el conjunto B y g una aplicación del conjunto B en el conjunto C. Entonces, construimos una tercera aplicación, h, del conjunto A en el conjunto C de la siguiente forma:
Para cada x A, obtenemos un elemento f(x) B, y podemos considerar la imagen de f(x) mediante g. g(f(x)), que es un elemento de C. Entonces definimos la aplicación h como
h(x)=g(f(x)), para todo x A.
PREGUNTAS• ¿ … ?
GRACIAS
Información de contacto
Profesor: Ing. Wilson Villa
Para cualquier inquietud por favor escribir al correo [email protected] o llamar al teléfono 2570275 ext. 2242, las horas de tutoría son los días Lunes y Martes de 16H00PM a 18H00PM.