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SC-CER96940 Universidad de Pamplona Pamplona - Norte de Santander - Colombia Tels: (7) 5685303 - 5685304 - 5685305 - Fax: 5682750 www.unipamplona.edu.co “Formando líderes para la construcción de un nuevo país en paz” 1 USO DE OPERACIONES ALGEBRAICAS LENGUAJE ALGEBRAICO ¿Qué es el lenguaje algebraico? El lenguaje algebraico es una forma de traducir a símbolos y números lo que normalmente conocemos como lenguaje natural. De esta forma se pueden manipular cantidades desconocidas con símbolos fáciles de escribir, lo que permite simplificar expresiones, formular ecuaciones e inecuaciones y permite el estudio de cómo resolverlas. ¿Para qué sirve el lenguaje algebraico? El lenguaje algebraico es utilizado para la representación de valores desconocidos, la principal función es estructurar un idioma que ayude a generalizar las diferentes operaciones que se desarrollan dentro de la aritmética. Ejemplo: si queremos sumar dos números cualesquiera basta con decir x + y.
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USO DE OPERACIONES ALGEBRAICAS
LENGUAJE ALGEBRAICO
¿Qué es el lenguaje algebraico? El lenguaje algebraico es una forma de traducir a símbolos y números lo que normalmente conocemos como lenguaje natural. De esta forma se pueden manipular cantidades desconocidas con símbolos fáciles de escribir, lo que permite simplificar expresiones, formular ecuaciones e inecuaciones y permite el estudio de cómo resolverlas. ¿Para qué sirve el lenguaje algebraico? El lenguaje algebraico es utilizado para la representación de valores desconocidos, la principal función es estructurar un idioma que ayude a generalizar las diferentes operaciones que se desarrollan dentro de la aritmética. Ejemplo: si queremos sumar dos números cualesquiera basta con decir x + y.
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Características del lenguaje algebraico.
• El lenguaje algebraico es más preciso que el lenguaje numérico: podemos expresar enunciados de una forma más breve.
• El lenguaje algebraico permite expresar relaciones y propiedades numéricas de carácter general.
• Con el lenguaje algebraico expresamos números desconocidos y realizamos operaciones aritméticas con ellos.
Ejemplos Resueltos de traducción de lenguaje verbal al lenguaje matemático ó lenguaje algebraico.
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Lenguaje Algebraico ejercicios para resolver:
1. Los años de Sofía dentro de 12 años.
A) 12 + 12 B) 12·x C) x + 12 D) x + x E) x - 12
2. El doble de un número menos quince.
A) 15 - 2x B) 2x - 15 C) 2x D) 15x + 2 E) 2x - 12
3. Años de Margot hace tres años.
A) 3x B) 3 - x C) 25 D) 2x + 1 E) x - 3
4. Un número más el siguiente.
A) x + x + 1 B) 3x C) x + x + x D) 1 + 1 + x E) 2x
5. Perímetro de un cuadrado.
A) 4 + x B) 4x + 4 C) 4x D) x - 4 E) 4 - x
6. Un múltiplo de 7.
A) 7x B) 7x2 C) 7+x D) 7+7 E) 7-x
7. Dos números cuya suma es 3.
A) 3x, y B) x+y=3 C) x,y,3 D) 3x+y E) x+y
8. El doble de un número menos su mitad.
A) x; 2x + y B) 2x+x/2 C) 2x-x/2 D) x; 2x E) x/2, 2x
9. El quíntuple de un número.
A) 2x + 5 B) x-5 C) 5x+4 D) 5x E) x+5
10. Dos números se diferencian en 15 unidades.
A) x = 15 B) 15+15=x C) x+y=15 D) 15=x+y E) x-y=15
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11. Un número impar.
A) x + 1 B) 2(x+1) C) 2x+1 D) 3x E) x+x+x
12. Un número es diez veces otro número.
A) x = y B) y=10x C) x-x-x=10 D) 10 E) x=10+x
13. La cuarta parte de un número más su tercera parte.
A) 4x - 4y B) x/4 + x/3 C) x/4 + y/3 D) 3x+4y E) x+x/4
14. Un número es igual a otro número aumentado en 10.
A) x = 10 + x B) x=y-10 C) x=10 D) x=10+y E) 2x+x=23
15. El producto de dos números.
A) x/y B) x.y C) x2 D) y2 E) x+x
16. Área de un rectángulo.
A) 2x + 2y B) x2.y2 C) x.y D) x-y E) x2
17. Un número par.
A) x·x B) 3x C) 2x D) xx E) x+x+x
18. El cuadrado de un número más dicho número.
A) x2 + y B) 4x.4y C) x2+x D) x2+4x E) 4x+y
19. Un número aumentado en su opuesto.
A) x + x B) x; 1/x C) x.x D) x + -x E) x-x
20. Un número disminuido en su inverso.
A) x·x B) x+x C) x- 1/x D) x; -x E) x-x
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS es una combinación de letras y números ligadas por los signos de las operaciones: adición,
sustracción, multiplicación, división y potenciación. Las expresiones algebraicas nos
permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes:
Longitud de la circunferencia: , donde es el radio de la circunferencia.Área del
cuadrado: , donde es el lado del cuadrado.Volumen del cubo: = a³, donde
a es la arista del cubo.
Expresiones algebraicas comunes
El doble o duplo de un número:
El triple de un número:
El cuádruplo de un número:
La mitad de un número:
Un tercio de un número:
Un cuarto de un número:
Un número es proporcional a 2, 3, 4,...:
Un número al cuadrado:
Un número al cubo:
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Un número par:
Un número impar:
Dos números consecutivos:
Dos números pares consecutivos:
Dos números impares consecutivos:
Para tener en cuenta:
La parte de las Matemáticas que utiliza las expresiones algebraicas se llama Álgebra.
Tipos de expresiones algebraicas
Monomios: tienen sólo un término (πr2), (4x2)
Binomios: tienen dos términos (2x3 + x2), (x2 + x)
Trinomios: tienen tres términos. (x2 + 2x + 1), (4x2 + 4x + 1)
Polinomios: tienen de 4 términos en adelante (x4 + x3 + 3x2 + 2x + 2)
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MONOMIOS Características
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ECUACIONES
Una ecuación es una igualdad en la cual hay términos conocidos y términos desconocidos. El término desconocido se llama incógnita y se representa generalmente por las últimas letras del abecedario: “x”, “y” o “z”, aunque puede utilizarse cualquiera otra letra.
Ejemplos de Ecuaciones
En estos ejemplos puede observarse lo siguiente: Hay una expresión escrita a la izquierda del signo igual y hay una expresión escrita a la derecha del signo igual. La que está antes del signo igual recibe el nombre de primer miembro, la expresión que
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está a la derecha del signo igual se llama segundo miembro. En una ecuación puede haber más de una incógnita, es decir, más de un valor desconocido. Clasificación de las ecuaciones con una incógnita:
Las ecuaciones se catalogan según el exponente o potencia más alto que tenga la incógnita. Así, 6x + 34 = 5 es una ecuación de primer grado. 8x2 + 7x +45 = 3 es una ecuación de segundo grado. 4 x3 + 35 x2 –3x + 2 =7 es una ecuación de tercer grado. Lenguaje algebraico Se representa un número cualquiera con la letra n Un número aumentado en 5 unidades n + 5 Un número disminuido en 7 unidades n – 7 Se representa un número cualquiera con la letra a El triple de un número 3a El siguiente a un número a + 1 El doble de un número más 5 unidades 2a + 5 Se representa el lado de un cuadrado con la letra x El perímetro del cuadrado = x +x + x+ x = 4x
El área del cuadrado ( x )( x) = x2
Verificar si la ecuación es una igualdad o no, reemplazando la incógnita por el valor dado. 2y + 7 = 5y -2; y=3 Solución: 1. Reemplazar la y por 3 2(3) + 7 = 5(3) -2 2. Realizar las multiplicaciones y/o divisiones que se encuentran en la ecuación
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2(3) + 7 = 5(3) -2 6 + 7 = 15-2 3. Por último sumar y/o restar los términos en cada miembro de la igualdad 6+7 = 15-2 13 = 13 La anterior ecuación si es una igualdad, puesto que al reemplazar la y por 3 y realizar las operaciones pertinentes, en ambos lados de la igualdad se obtuvo el mismo resultado (13)
Una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones lineales de primer grado es la de resolver problemas de la vida cotidiana. Por ejemplo: El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que el segundo y este 3 más que el menor. Si entre todos tiene la edad del padre que tiene 40 años ¿qué edad tiene cada hermano? Para resolver este problema se debe elegir algún valor desconocido para llamarle "x" o usar cualquier letra. En este caso llamemos: x = edad del hermano menor. A partir de ésta expresar los datos del problema y plantear una igualdad (ecuación) con ellos: x + 3 : edad del hermano mediano x + 3 + 4; es decir: x + 7 edad del hermano mayor Ecuación: suma de las edades de los hermanos igual a cuarenta;
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Verificar si son igualdades o no y justifique la respuesta 1) 5x-7=3 x=2 2) m+9=2m+10 m=-1 3) 3n-4=5n+2 n=5 Resolver las siguientes ecuaciones: 4) -5x = 12 - x 5) 2(x - 7) - 3(x + 2) + 4(x + 1) - 2 = 0 (¡Ojo con los signos delante de los paréntesis!) 6) 3x - 5 = x/2 7) 3x + 4 - x = 7 + 2x 8) 2x - 1 = 3(x + 2) – x Plantear y resolver los siguientes problemas: 9) El perímetro de un jardín rectangular es de 58 m. Si el lado mayor mide 11 m. más que el lado menor. ¿Cuánto miden los lados del jardín? (Sol: 9 y 20 m)
10) Halla un número tal que su mitad más su cuarta parte más 1, sea igual al número pedido. (Sol: 4).
