Uso de modelos Mixed Logit en modelación de elecciones discretas Marcela A. Munizaga Ricardo...
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Uso de modelos Mixed Logit en modelación de elecciones discretas
Marcela A. MunizagaRicardo Alvarez-DazianoUniversidad de Chile
Santiago, 21 April 2023
Contenido de la Presentación
Correlación del término de errorAnálisis de Simulación
logverosimilitud y parámetrositeraciones y tiempo de convergenciadiferencias en modalidad predictiva
Análisis con datos realesequivalencia entre modelos capacidad de recuperar efectos de correlación
Elección Discreta y Utilidad Aleatoria
Teoría de la Utilidad AleatoriaIndividuo maximiza su Utilidad, función de atributos de la alternativa y características de los individuos (Domencich y McFadden, 1975)Modelador no posee información completa del sistema
Hay componentes y atributos que se desconocen o no se pueden medir; aleatoriedad inherente a la naturaleza humana
ininin VU
Elección Discreta (cont.)
Logit Multinomial MNL (McFadden, 1974)Supone errores iid Gumbel Expresión cerrada de la probabilidad de elección:
nCjjn
inin V
VP
)exp(
)exp(
KI2
2
2
2
00
0
0
00
No se puede asegurar con certeza qué alternativa será escogida
Supuestos sobre distribución de Modelo de elección específico (Ortúzar y Willumsen, 1994)
),,Pr()/Pr( ijCjVVCiP njnjnininnin
¿Por qué usar algo distinto del MNL?
Correlación: Dependencia Heteroscedasticidad: Distinta varianza Dependencia probabilidades y parámetros inconsistentes, predicciones poco confiablesPropiedad de independencia de alternativas irrelevantes (patrones de sustitución constantes)Avances en computación y métodos numéricos permiten considerar modelos más generales
Correlación del término de error
Motivación: el estudio de correlaciónFuentes de correlación: alternativas similares, alternativas con componente común, variaciones en los gustos, agregaciónModelos adecuados: Logit Jerárquico, Probit, Mixed Logit
Logit Jerárquico
Agrupa las alternativas similares en nidosUi=Vi+i+j alt i nido jMatriz de covarianza:
correlación, homoscedasticidad
222
22
2
221
21
2
00
00
00
00
NL
222
Probit
Ui=Vi+i i ~ Normal
Matriz de covarianza general, sujeto a restricciones de identificabilidad
Permite modelar correlación y heteroscedasticidad
2
11
1
2221
12121
JJJJ
JJ
J
Modelo Mixed Logit
Se deriva de suponer
iid Gumbel, término aleatorio adicional que distribuye f(*) (Ben Akiva y Bolduc, 1996; McFadden y Train, 1997)
Si es iid Gumbel probabilidad condicional en
Por lo tanto, la probabilidad total es:
inininin VU
j
V
V
innjnjn
inin
e
eLiP
)()/(
dfLP inin *)/()(
Modelo Mixed Logit (cont.)
Caso Particular (Modelo lineal de error compuesto):
inintin
V
int
in
inin
zxU
zin atributos relacionados con alternativa i e individuo n
PropiedadesML aproxima cualquier modelo de utilidad aleatoria (McFadden y Train, 1997): ML con parámetros distribuidos normal, aproxima a un Probit.
Razón de probabilidades depende de todo el conjunto de alternativas disponibles.
Modelo Mixed Logit (cont.)
EstimaciónCondicional en *, se obtiene un valor Pin() tiene forma Logit. Proceso se repite R veces:
R
r
rinin P
RP
1
)(1~
Probabilidad Simulada de escoger la alternativaSe maximiza la log verosimilitud simulada
n Cj
jnjn
n
Pyl~
ln
Modelos de elección (cont.)
Nested Mixed LogitBrownstone and Train (1999).
Ui=Vi+i+j i ~ iid Gumbel j ~ NormalMatriz de covarianza:
correlación, heteroscedasticidad
222
22
22
222
221
21
21
221
00
00
00
00
ML
Análisis de Simulación
Objetivo: estudiar los modelos en un caso en que se cumplen todos los supuestosMetodología:
atributos según base de datos realse asume ciertos parámetros de gustose genera las componentes determinística y aleatoria de la función de utilidadse calcula la elección de acuerdo a máx Use calibra los modelos con la base generadaestímulo de políticas
Análisis de Simulación
Uso del simulador en modalidad predictivaPredicciones con los modelos calibrados
¿En qué nos podemos fijar?Diferencias entre parámetros conocidos y calibradosDiferencias entre predicciones del simulador (realidad virtual) y predicciones modeladas
Influencia del Nº Repeticiones
4000 Observaciones4 alternativasCorrelación: 0,5 (Nido con dos alternativas)Dimensión: 3
Probit (Nº de alternativas - 1)ML (Estructura homsc. anidada: 1 componente común + 2 términos independientes)
Influencia del Nº Repeticiones
Parámetro de Correlación : Probit
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0 250 500 750 1000
Nº Rep
Upper Limit
Parameter
Lower Limit
Real
Influencia del Nº Repeticiones
Parámetro de Correlación : MLR
-6
-4.5
-3
-1.5
0
1.5
3
4.5
6
0 250 500 750 1000
Nº Rep
Upper Limit
Parameter
Lower Limit
Real
Influencia del Nº Repeticiones
Parámetro de Correlación : MLH
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
0 250 500 750 1000
Nº Rep
Upper Limit
Parameter
Lower Limit
Real
Influencia del Nº Repeticiones
log verosimilitud
-1.056
-1.052
-1.048
-1.044
-1.04
0 250 500 750 1000
Nº Rep
l( )
Probit
ML H
ML R
Influencia del Nº Repeticiones
Diferencias en modalidad predictiva
0
3
6
9
12
15
18
0 250 500 750 1000
Nº Rep
2
Probit
ML H
ML R
Base
Influencia del Nº Repeticiones
Iteraciones and tiempo de convergencia
0
3
6
9
12
15
0 250 500 750 1000
Nº Rep
Iter
atio
ns Probit
ML H
ML R
0
100
200
300
400
500
600
700
0 250 500 750 1000
Nº RepT
ime
for co
nver
genc
e
Probit
ML H
ML R
Caso: alternativas correlacionadas
Síntesis8000 Observaciones / = 0,5 / He & HoMejor verosimilitud para MLML: recupera adecuadamente todos los parámetrosProbit: importante subestimación de la correlación LJ: efectos de escala, al usar datos heteroscedásticos NL – Probit – ML: buen nivel de respuestaMNL: pobre nivel de respuesta en comparación con ML y LJ
Datos reales
Contexto: Corredor Las Condes - Centro, RP 9 alternativas, se incluye combinaciones
auto chofer, auto acompañante, taxi colectivo, metro, bus, auto chofer-metro, auto acompañante -metro, taxi colectivo-metro, bus-metro
697 observaciones
Datos reales
Estructura anidada 1
Transporte Público
Bus Taxi Metro
Taxi Metro
Bus Metro
Auto Chofer
Auto Acomp
ACh Metro
AAc Metro
Datos reales: Estructura 1
Datos reales
Estructura anidada 2
Transporte Público
Bus Taxi Metro
Taxi Metro
Bus Metro
Auto Chofer
Auto Acomp
AChMetro
AAcMetro
Auto
Datos reales: estructura 2
Síntesis y Discusión
ML es un modelo útil, flexible y aplicable La estructura de covarianza se deduce de la especificación y debe ser debidamente justificada Nested Mixed Logit no es equivalente al LJProbit aparece como un modelo costoso y muestra dificultades para recoger correlación