Unmsm fisi - conjuntos convexos y programación matemática - io1 cl02
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Universidad Nacional Mayor de San MarcosFacultad de Ingeniería de Sistemas e Informáticag
Investigación de Operaciones I
Conjuntos Convexosóy Programación
MatemáticaMatemática
Docente : Lic. Gabriel Solari Carbajal
Conjuntos ConvexosConjuntos Convexos
IntroducciónIntroducción.-El concepto de conjunto convexo es fundamental en el
t di d l P ió M t áti itestudio de la Programación Matemática porque permiteobtener resultados teóricos importantes.
D t d l P ió M t áti ti hDentro de la Programación Matemática tienen muchaimportancia los problemas convexos, donde lasvariables de decisión pertenecen a un conjunto convexovariables de decisión pertenecen a un conjunto convexoy la función objetivo es una función convexa, dado queel teorema fundamental de la programación convexagnos asegura que todo óptimo local es un óptimo global.
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Conjuntos Convexos
Idea de conjunto convexo
Conjuntos Convexos
Idea de conjunto convexo.-Un conjunto S de puntos es un conjunto convexo sit d l t d l t d ttodos los puntos del segmento de recta que une acualquier par de puntos del conjunto tambiénpertenecen al conjunto Spertenecen al conjunto S.
Para comprender mejor la definición de conjuntoconvexo debe tenerse en cuenta que dados dos puntosconvexo debe tenerse en cuenta que dados dos puntosx1 y x2, los puntos λ x1 + (1-λ) x2 con 0 ≤ λ ≤ 1corresponden justamente con los puntos del segmentoj gque une x1 y x2.
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Conjuntos Convexos
Ejemplos de conjuntos convexos:
Conjuntos Convexos
Ejemplos de conjuntos convexos:
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Conjuntos Convexos
Ejemplos de conjuntos no convexos:
Conjuntos Convexos
Ejemplos de conjuntos no convexos:
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Conjuntos Convexos
Definición formal
Conjuntos Convexos
Definición formal.-
es convexo sínS ℜ⊂El conjunto es convexo síS ℜ⊂Sx,x 21 ∈∀
λλ
El conjunto
10, ≤λ≤ℜ∈λ∀los puntoslos puntos
( ) 21 x1xx λ−+λ=
pertenecen a S.
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Conjuntos Convexos
Obsérvese que:
Conjuntos Convexos
Obsérvese que:
• Cuando λ = 1, entonces x = x1, 1
• Cuando λ = 0, entonces x = x2
• Para valores de λ comprendidos entre 0 y 1 el punto xcorrespondiente se sitúa entre x1 y x2.p 1 y 2
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Conjuntos Convexos
Vértices o Puntos extremos
Conjuntos Convexos
Vértices o Puntos extremosde un conjunto convexo.-U t d j tUn punto x de un conjuntoconvexo S es un vértice opunto extremo del conjunto sipunto extremo del conjunto, sino es posible encontrar dospuntos x1, x2 en S tales que:
( )x1xx 21 λ−+λ= ( )10
21
<λ<
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Programación MatemáticaProgramación Matemática
En el modelo matemático del sistema aparecenEn el modelo matemático del sistema aparecenvariables X = (x1, x2, ..., xn) que pueden controlarse yvariarse (variables endógenas), y parámetros sobre losvariarse (variables endógenas), y parámetros sobre loscuales no hay control y que se consideran comoconstantes dadas (variables exógenas). Laslimitaciones sobre X, al ponerse en términosmatemáticos, toman la forma de restricciones del tipo:
pi10)X(gi ≤≤≤ri1p0)X(gi ≤≤+≥mi1r0)X(gi ≤≤+=
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Programación Matemática
donde (X) son funciones de X de valor real En
Programación Matemática
donde gi(X) son funciones de X de valor real. Engeneral las restricciones pueden siempre ponersecomo:como:
mi10)X(gi ≤≤≤)(gi
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Programación Matemática
Las restricciones del tipo:
Programación Matemática
Las restricciones del tipo:
0X ≥
referidas usualmente como condiciones de nonegatividad, aparecen con frecuencia en modelosnegatividad, aparecen con frecuencia en modelosmatemáticos de sistemas, ya sea porque los valoresnegativos de las variables carecen de sentido y seexcluyen por lo tanto del análisis, o bien porque seamatemáticamente conveniente introducir algunasvariables de holgura con esta restricciónvariables de holgura con esta restricción.
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Programación Matemática
El valor óptimo de la función objetivo f(X) se obtiene a
Programación Matemática
El valor óptimo de la función objetivo f(X) se obtiene através de una solución matemática. El valor X0 de lavariable X que hace a f(X) óptima, se denomina el valorvariable X que hace a f(X) óptima, se denomina el valoróptimo de X o solución óptima. Por lo común, el valoróptimo de f(X) es el máximo o mínimo de f(X) bajo elsistema de restricciones.
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Programación Matemática
La programación matemática se puede clasificar en:
Programación Matemática
La programación matemática se puede clasificar en:
Lineal No lineal Lineal No linealEstática Dinámica
Lineal No lineal Lineal No lineal
Modelo estático de Leontieff
Programación no lineal convexa
Modelos dinámicos de
Leontieff
Programación lineal
Programación no lineal no convexa
Sistemas dinámicos
Determinística
Redes
Programación Modelo general de programaciónlineal estocástica de programación
dinámica
Juegos de suma Teoría de
Probabilística
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cero inventarios
Programación Matemática
PROBLEMA
Programación Matemática
PROBLEMA.-Una jarra de vidrio de forma cilíndrica, tiene una tapametálica Si el metal cuesta tres veces mas que elmetálica. Si el metal cuesta tres veces mas que elvidrio, hallar las dimensiones de una jarra de capacidadfija V, para que su costo sea mínimo.fija V, para que su costo sea mínimo.
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Programación MatemáticaProgramación Matemática
Alto costo deMediano costo demetal medianoBajo costo de
metal, alto costode vidrio.
Alto costo demetal, bajo costode vidrio.
metal, medianocosto de vidrio.
V
VV
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Programación Matemática
Volumen de la tapa de metal:
Programación Matemática
Volumen de la tapa de metal:
erV 21 π=
Volumen de la jarra de vidrio:
ehr2V2 π=
V 2
Lateral
F d erV 23 π=Fondo
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Programación Matemática
Si un volumen determinado en vidrio cuesta 1 u m en
Programación Matemática
Si un volumen determinado en vidrio cuesta 1 u.m., enmetal custa 3 u.m.
L t d íLuego, tendríamos:
)erehr2()er(3Zmin 22 π+π+π=
sujeto aVhr2 =π Vhrπ
0h,r ≥
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Programación Matemática
PROBLEMA
Programación Matemática
PROBLEMA.-Halle las coordenadas de un punto de ℜ2, tal que lasuma de sus coordenadas sea máxima que sea mayorsuma de sus coordenadas sea máxima, que sea mayorque cinco y que el punto no se aleje más de cincounidades del origen de coordenadas.unidades del origen de coordenadas.
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Programación Matemática
Luego tendríamos:
Programación Matemática
Luego, tendríamos:
yxZmax +=
sujeto a5yx >+
y
5yx >+
5yx 22 ≤+
0y,x ≥
y
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Programación Matemática
PROBLEMA
Programación Matemática
PROBLEMA.-Hallar el punto de la superficie de ecuación
4yxz 22 ++=
que este más cercano al origen de coordenadas.
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Programación Matemática
Luego tendríamos:
Programación Matemática
Luego, tendríamos:222 zyxZmin ++=
sujeto a4yxz 22 ++=
y
4yxz ++
0z,y,x ≥
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Programación Matemática
CASO PRACTICO:
Programación Matemática
CASO PRACTICO:Objetivo: Optimizar el uso de hojalata en las conservasd dde pescado.
Información de las conservas de pescado (170 gr.):
Peso neto = 170 gr.Peso escurrido = 120 gr.Diá t (D) 80Diámetro (D) = 80 mm.Altura (H) = 35 mm.
Cálculo del volumen:
32
19929175HDπV25
3mm19.9291754
V ==
Programación Matemática
Cantidad de hojalata del nuevo diseño (D H ):
Programación Matemática
Cantidad de hojalata del nuevo diseño (D1, H1):
2Dπfondoy Tapa
21=
2yp
11 HDπLateral =
11
21 HDπ
2DπTotal +=2
El volumen para 170 gr. se mantiene:
3121 mm19.9291754
HDπV ==
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Programación Matemática
La relación entre D y H es:
Programación Matemática
La relación entre D1 y H1 es:
21000224H = 21
1 DH
R l d l ió t i
2
Reemplazando en la expresión anterior:
1
21
Dπ000224
2DπTotal +=
1
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Programación Matemática
Graficando la función obtenida:
Programación Matemática
Graficando la función obtenida:
Total
D1
D1*
D1
28
1