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““Universidad Nacional Universidad Nacional Federico Villarreal”Federico Villarreal”
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Análisis Matemático para Análisis Matemático para Economistas IIIEconomistas III
ProfesorProfesor: Luis Figueroa : Luis Figueroa TemaTema: Maximización de funciones de dos : Maximización de funciones de dos
variablesvariables IntegrantesIntegrantes:: Cotrina Rodriguez, Cynthia YasminCotrina Rodriguez, Cynthia Yasmin Miranda Gutierrez, Augusto MiguelMiranda Gutierrez, Augusto Miguel Vásquez Cajo, Miguel ÁngelVásquez Cajo, Miguel Ángel Zúñiga Chumo, Milagros Zúñiga Chumo, Milagros
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MAXIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Un máximo de una función F(x,y) es una cima, un punto sobre la superficie Z=F(x,y) que es mas alto que cualquier punto de la superficie.
APLICACIONES:
1. Una empresa produce dos tipos de agua mineral en cantidades x e y botellas respectivamente. Asumamos que el precio del agua sin gas es Px= 90-x, además el del agua con gas es de Py=90-y, siendo la función de costo conjunto de los productos igual a C(x,y)=x2+ xy + y2 ¿Cuáles deberían ser los valores de “x” y “y” para maximizar las utilidades de esta empresa?
SOLUCION:
Datos:
.Precios
Px=80-x y Py=96-y
.Función de costos
C=x2+xy+y2
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Sabemos que la UT=Yt – Ct …(i)
It : Ingreso total
Ct : Costo total
Primero definimos los ingresos:
Ix= x(90-x) y Iy= y(90-y)
•Reemplazamos en (i) para obtener la utilidad total:
UT=x(80-x)+y(96-y)-(x2+xy+y2 )
UT=80x-x2+96y-y2-x2-xy-y2
UT=80x+96y-2x2-2y2
•Derivamos la función utilidad respecto a “x” e igualamos a cero:
dUT = 80-4x=0…(ii)
dx
•De la misma manera para “y”:
dUT = 96-4y=0…(iii)
dy
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•.De (ii) tenemos:
80-4x=0
4x=80
X=20
•.De (iii) tenemos:
96-4y=0
4y=96
y=24
•Reemplazamos los valores de “x” e “y” en los precios y de donde obtenemos lo siguiente:
Px=80-20 y Py=96-24
Px=60 Py=72
Pto(60,72)
.
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• Aplicamos el criterio de la segunda derivada:
d2U = -4 < 0 dx2
d2U = -4 < 0dy2
d2U = 0dxdy
D= (-4)(-4) – (0)2
D= 16 > 0
•Para maximizar las utilidades de la empresa los valores de “x” y “y” son (60,72) respectivamente
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2. Una tienda de licores vende dos marcas competidoras de vino barato, una de California y otra de Nueva York. El propietario de la tienda puede obtener ambos vinos a un coste de $ 2 por botella y estima que si el vino de California se vende a “x” dólares por botella y el vino de Nueva York a “y” dólares por botella, los consumidores comprarán aproximadamente 40 – 50x + 40y botellas de vino de California y 20 + 60x – 60y botellas de vino de Nueva York cada día. ¿Qué precio deberá poner el propietario de los vinos para generar el mejor beneficio posible?
UT=(x-2)(40-50x+40y) + (y-2)(20+60x-70y)
UT=40x-50x2+40xy-8+100x-80y+20y+60xy-70y2-40-120x+140y
UT=20x+80y+100xy-50x2-70y2-120
dUT= 20+100y-100x = 0 dx +
dUT= 80+100x-140y=0 dy
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•Para hallar “x” e “y”
100-40y=0
100=40y
2.5=y (Nueva York) 2.7=x (California)
•Aplicando el criterio de la segunda derivada:
d2UT = - 100<0 d2x
d2UT = - 140<0 d2y
d2UT = 100dxdy
•Hallando la determinante:
D=(-100)(-140) – (100)2
D=4000>0
Ptos (2.7;2.5) Puntos Máximos
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3. La única tienda de combustibles de una pequeña comunidad rural vende dos marcas de sumo de naranja helado, una marca local que obtiene un coste de S/. 0.30 por lata y una marca nacional muy conocida que obtiene un coste de S/: 0.40 por lata. El tendero estima que si la marca local se vende a “x” centavos por lata y la marca nacional a “y” por lata, se venderán cada día aproximadamente 70-5x+4y latas de la marca local y 80+6x-7y latas de la marca nacional. ¿Qué precios debería poner el tendero a cada marca para maximizar el beneficio en la venta del jugo? Suponga que el máximo absoluto y el máximo relativo de la función beneficio son el mismo. •Solución:
Beneficio = beneficio de la venta de la marca local + beneficio de la venta de la marca nacional
Se sigue que el beneficio diario total de la venta del jugo viene dado por la función
UT=(X-30)(70-5X+4Y) + (Y-40)(80+6X-7Y)
•Usando la regla del producto para calcular las derivadas parciales den UT, obtiene:
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dUT = -10x+10y-20 dx
dUT = 10x-14y+240 dy
•Iguale estas derivadas parciales a cero para concluir que:
-10x+10y -20=0 … (1)
10x-14y+240=0….(2)
- 4y= -220
y= 55
•Reemplazando en (1):
-10x+10y-20=0
-10x+10(55)=20
- 10x= - 530
x= 53
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Se sigue que (53,55) es el único punto critico de F. Use las derivadas parciales de segundo orden:
Derivamos con respecto a “x”:
dUT = - 10x +10y-20
dx
d2UT = - 10dx2
Derivamos con respecto a “y”
dUT = 10x – 14y+240
dy
d2UT = -14
dy2
Derivamos con respecto a “x” y “y”
dUT = - 10x+ 10y – 20
dxdy
d2UT = 10
dxdy
Que conducen a D(x,y)= d2UT x d2UT – d2UT= (-10)(-14) – (10)2 = 40 dx2 dy2 dxdy
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Como D(53,55)=40>0 y d2UT = - 10<0 d2UT = -14<0 dx2 dy2
Se sigue que F tiene un máximo (relativo) cuando x = 53 e y =55Esto es, el tendero puede maximizar el beneficio vendiendo la marca local de jugo a 53 centavos la lata y la marca nacional a 55 centavos la lata.
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4. La empresa “Cachorros Anónimos” focaliza su producción en la elaboración de dos tipos de bienes “t” y “s”, siendo sus respectivos precios Pt=100-t y Ps=90-s. Cuando su función de costo es C=600+20x+20y ¿Cuáles deben ser las cantidades para que la utilidad sea máxima?
SOLUCION:
•Dados los precios
Pt=100 – t Ps= 90 – s
C= 600+20t+20s
•Definimos los ingresos:
It= 100t – t2 Is= 90s – s2
•La función utilidad:
UT= 100t – t2 + 90s – s2 - (600 + 20t + 20s)
•Derivando la función utilidad con respecto a “t” e igualando a cero obtenemos:
dUT = 100 – 2t – 20 =0 t = 40
dt
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•De la misma manera “s” obtenemos
dUT = 90 – 2s – 20 = 0 s = 35 ds
•Por el criterio de la segunda derivada
d2UT = - 2 < 0 dt2
d2UT = - 2 < 0 ds2
d2UT = 0 dtds
•Hallando la determinante:
D = (- 2) (- 2) – (0)2
D= 4 > 0 Punto (40 , 35) Máximo
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5. Una empresa de utensilios de cocina presenta una función de 5. Una empresa de utensilios de cocina presenta una función de Producción (p) dada por Producción (p) dada por
P(K,L)=0.54LP(K,L)=0.54L2 2 - 0.02L- 0.02L3 3 + 1.89K+ 1.89K2 2 - 0.09K- 0.09K33
En donde L y K son las cantidades de mano de obra y capital En donde L y K son las cantidades de mano de obra y capital respectivamente y P es la cantidad de productos que se fabrican. respectivamente y P es la cantidad de productos que se fabrican. ¿calcular los valores de L y K que maximizan la producción?¿calcular los valores de L y K que maximizan la producción?
• Solución:Solución:
dP = 1.08L – 0.06L2 = 0 dL dP = 3.78K – 0.27K2 = 0 dK K(3.78 – 0.27K)= 0 K = 0 L(1.08 – 0.06L)= 0 L = 0 3.78K = 0.27K2 K = 14 1.08L = 0.06L2 L = 18
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•Por lo tanto:Por lo tanto:
Los puntos son los siguientesLos puntos son los siguientes::Punto 1: (0,0)Punto 1: (0,0)Punto 2: (0,14)Punto 2: (0,14)Punto 3: (18,0)Punto 3: (18,0)Punto 4: (18,14)Punto 4: (18,14)
•Luego se halla la segunda derivada:Luego se halla la segunda derivada:
dd22PP = = 1.08 – 0.12L1.08 – 0.12L
dLdL22
dd22PP = = 3.78 – 0.54K3.78 – 0.54K
dKdK22
dd22PP = = 00
dxdydxdy
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•PosteriormentePosteriormente se halla la determinante en cada uno de los puntosse halla la determinante en cada uno de los puntos::
•En el punto (0,0)
D= d2P x d2P - d2P 2
dL2 dK2 dxdy
D= (1.08)(3.78) – (0)2
D= 4.0824 Este es un punto mínimo
En el punto (0,14)En el punto (0,14)
D= D= dd22PP x x dd22PP - - dd22PP 22
dLdL2 2 dKdK2 2 dxdy dxdy
D= (1.08)(-3.78) – (0)D= (1.08)(-3.78) – (0)22
D= - 4.0824D= - 4.0824 En este punto no existe ni máximo ni mínimoEn este punto no existe ni máximo ni mínimo
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En el punto (18,0)En el punto (18,0)
D= D= dd22PP x x dd22PP - - dd22PP 22
dLdL2 2 dKdK2 2 dxdydxdy
D= (-1.08)(3.78) – (0)D= (-1.08)(3.78) – (0)22
D= -4.0824D= -4.0824 En este punto no existe ni máximo ni mínimoEn este punto no existe ni máximo ni mínimo
En el punto (18,14)En el punto (18,14)
D= D= dd22PP x x dd22PP - - dd22P P 22
dLdL2 2 dKdK2 2 dxdydxdy
D= (-1.08)(-3.78) – (0)D= (-1.08)(-3.78) – (0)22
D=4.0824D=4.0824
Este es punto máximo Este es punto máximo
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Y por lo tanto sacamos como respuesta que en el punto (18,14) se Y por lo tanto sacamos como respuesta que en el punto (18,14) se alcanza la máxima producción alcanza la máxima producción
Mano de obra (L)= 18Mano de obra (L)= 18
Capital (K)= 14Capital (K)= 14