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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES YMATEMÁTICA

INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN

INFORME FINAL DEL PROYECTO DE INVESTIGACIÓN

" TEXTO: TÓPICOS DE MECÁNICA CLÁSICA –Parte I. Teoría y Problemas con Programas

Computacionales”

AUTOR

Mg. PABLO GODOFREDO ARELLANO UBILLUZ

(Período de ejecución: 01/03/10 al 29/02/12)(Resolución Nº 230-2010-R del 05 de marzo de 2010)

1

ÍNDICE

Contenido Pág.

Resumen 02

Introducción 03

Parte teórica 04

Materiales y métodos 05

Resultados 06

Capítulo 1. Introducción 07

Capítulo 2. Principios variacionales 13

Capítulo 3. Ecuaciones de Lagrange 27

Capítulo 4. Problemas de los dos cuerpos 41

Capítulo 5. Cinemática del cuerpo rígido 51

Capítulo 6. Ecuaciones de movimiento del cuerpo rígido 71

Capítulo 7. Oscilaciones pequeñas 91

Capítulo 8. Ecuaciones de movimiento de Hamilton 111

Problemas con programas computacionales 125

Discusión 150

Referenciales 151

2

RESUMEN

En el presente trabajo de investigación se ha elaborado un texto

intitulado “TEXTO: TÓPICOS DE MECÁNICA CLÁSICA – Parte I. Teoría

y Problemas con Programas Computacionales”, en donde se

desarrolla la primera parte del curso de Mecánica Clásica con un

nuevo enfoque, el cual, contempla el uso de la computadora como un

instrumento de ayuda en la simulación y comprensión de los tópicos

de esta asignatura. Los contenidos de los capítulos han sido elegidos

de acuerdo a los currículos del área de física, y de ciertas áreas de

ingeniería cuyos currículos incluyen los mencionados tópicos.

Estos Capítulos son los siguientes: Principios variacionales,

Ecuaciones de Lagrange, Problemas de los dos cuerpos, Cinemática

del cuerpo rígido, Ecuaciones de movimiento del cuerpo rígido,

Oscilaciones pequeñas y Ecuaciones de movimiento de Hamilton.

Asimismo, se han resuelto un conjunto de problemas de forma

clásica y problemas seleccionados de forma numérica. De estos

últimos, se presentan los programas computacionales diseñados en

Fortran, los cuales han sido ejecutados en una computadora personal.

3

INTRODUCCIÓN

Los estudiantes de física y de otras especialidades de ingeniería,

tienen dentro de su currículo la asignatura de mecánica clásica, sin

embargo, de la bibliografía existente relacionado con dicho curso, no

se adapta necesariamente a los requerimientos que se solicitan.

Tampoco se dispone de bibliografía que solucione problemas de

mecánica clásica, con el uso del ordenador. Estas causas motivaron la

elaboración de este texto, resultado de una investigación

bibliográfica, a fin de ser usado por los estudiantes de nuestra

universidad.

Con el presente trabajo esperamos cubrir esta deficiencia bibliográfica

que se presentan en los estudiantes que llevan esta asignatura en

nuestra universidad, y porque no también de otras universidades.

4

PARTE TEÓRICA

Las teorías que sirvieron como fundamentos para el desarrollo del

presente trabajo de investigación son aquellas que se encuentran en

la bibliografía existente, esto es, el presente trabajo ha sido

desarrollado usando la bibliografía más actualizada, que cubren los

temas comprendidos de la primera parte de la asignatura de

mecánica clásica, correspondiente a la aplicación de las ecuaciones

de movimiento de un cuerpo rígido, siendo por lo tanto este trabajo,

básicamente, una investigación bibliográfica.

5

MATERIALES Y MÉTODOS

Materiales

Para desarrollar este trabajo se ha usado básicamente información

bibliográfica, separatas y apuntes de clase relacionados con la

asignatura.

Esta información ha sido procesada, obteniéndose el presente trabajo

incluyendo los temas de soluciones numéricas mediante un

ordenador.

Métodos

Por ser una investigación bibliográfica relacionada con la enseñanza a

nivel superior, se ha usado el método inductivo y deductivo para

mostrar el desarrollo del formulismo que describen los conceptos

físicos descritos, así como también, en el análisis de solución en los

problemas resueltos.

6

RESULTADOS

7

CAPÍTULO I

INTRODUCCIÓN

La Mecánica Clásica es la parte de la mecánica que describe el

movimiento de partículas de sistemas macroscópicos a velocidades

relativamente menores comparadas con la velocidad de la luz. Está

formada por áreas como la mecánica del sólido rígido y los sistemas

mecánicos con diferentes grados de libertad, como la mecánica de

medios continuos.

El estudio de la Mecánica Clásica se realiza a través de diferentes

formulaciones, entre las cuales tenemos:

a) La mecánica vectorial o newtoniana es una formulación de

la mecánica clásica que estudia el movimiento de partículas y

sólidos rígidos en el espacio tridimensional, basada en sistemas

de referencia inerciales donde las ecuaciones del movimiento se

reducen a las Leyes de Newton, en honor a Isaac Newton quien

inicialmente formuló esta teoría.

Esta mecánica es aplicable a cuerpos que se mueven en

relación a un observador a velocidades pequeñas comparadas

con la de la luz. Se basa en que una partícula se mueve dentro

de un campo gravitatorio y está sujeta a la acción de la fuerza

de este campo, produciéndole una variación de su cantidad de

movimiento. El estudio de estas fuerzas y momentos a través

8

de sistemas de referencias inerciales, corresponde al estudio de

la mecánica vectorial.

Esta mecánica estudia a su vez a: La cinemática, que estudia el

movimiento en sí de una partícula, sin considerar las causas

que lo originan; la estática, que estudia el equilibrio entre

fuerzas y la dinámica que estudia su movimiento considerando

las fuerzas que actúan sobre ella.

La mecánica vectorial usa tres ecuaciones escalares, o una

ecuación vectorial, y para el caso de una sola partícula, se tiene

que:

(1.1)

Cuando se trata de un sistema de N partículas puntuales, las

ecuaciones escalares son 3N. Para el caso de sólidos

despreciando sus deformaciones, las ecuaciones vectoriales

para su movimiento de traslación y de rotación, se expresan de

la siguiente forma:

(1.2)

Estas son las ecuaciones básicas de la mecánica de un sólido

rígido.

9

b) La mecánica analítica estudia los principales conceptos

escalares de la física, entre los cuales tenemos: la energía

cinética y el trabajo, tanto en su forma diferencial como

integral; y a partir de los cuales se obtienen analíticamente las

ecuaciones de movimiento.

La mecánica analítica es más abstracta y general, que usa

sistemas inerciales o no inerciales sin que cambie la forma

básica de las ecuaciones. La mecánica analítica tiene dos

formulaciones: La formulación lagrangiana y la formulación

hamiltoniana, que son esencialmente equivalentes, emplean el

formalismo de variedades diferenciables, y las dos llegan a los

mismos resultados físicos, aunque depende del tratamiento que

se da a cada tipo de problema siendo más conveniente un

enfoque u otro según el objeto del análisis.

La energía cinética y el trabajo están relacionados de forma

diferencial por la ecuación:

(1.3)

A diferencia de la mecánica vectorial que utiliza 3N ecuaciones

siendo N el número de partículas, en la mecánica analítica,

siendo el movimiento en varias dimensiones, utiliza una sola

ecuación diferencial para estudiar los sistemas mecánicos.

Por otro lado es necesario señalar que, la mecánica lagrangiana

describe el movimiento de un conjunto de N partículas

puntuales mediante coordenadas generales sobre el llamado

espacio de configuración mediante un sistema de N ecuaciones

diferenciales ordinarias de segundo orden. En cambio en

10

mecánica hamiltoniana el movimiento se describe mediante 2N

ecuaciones diferenciales de primer orden. El conjunto de

transformaciones de coordenadas que permitan resolver el

problema es más amplio en la mecánica hamiltoniana.

Estas formulaciones son equivalentes cuando son aplicados al espacio

euclídeo tridimensional y a sistemas de referencia inerciales.

La mecánica clásica tiene su fundamento en la predicción teórica,

esto es, si en un determinado instante se conocieran las posiciones y

velocidades de un sistema finito de N partículas, entonces también se

pueden conocer las posiciones y velocidades en tiempos posteriores,

esto implica que la posición puede ser expresada como una función

vectorial Niiiii vrtrr 100,,

que nos da las posiciones de las partículas

en cualquier instante de tiempo. Estas funciones se obtienen por

integración de unas ecuaciones generales denominadas ecuaciones de

movimiento que se manifiestan de forma diferencial, para lo cual

debe conocerse la naturaleza física del problema y las condiciones

iniciales.

MECÁNICA HAMILTONIANA

Esta mecánica se basa en las ecuaciones de Hamilton que tienen la

forma:

(1.4)

11

Estas ecuaciones describen la variación del tiempo de un sistema

mediante ecuaciones diferenciales de primer orden, y al integrarse se

obtienen las ecuaciones de movimiento del sistema.

En estas ecuaciones, H es la función de Hamilton o hamiltoniano, y

son los pares de coordenadas canónicas conjugadas del

problema y qi se conocen como las coordenadas generalizadas de

posición y las pi como momentos correspondiente a las velocidades.

La mecánica hamiltoniana admite transformaciones de coordenadas

para poder integrar las ecuaciones de movimiento y determinar

propiedades de las trayectorias de partículas.

MECÁNICA LAGRANGIANA

La mecánica lagrangiana es similar, en esencia, a la mecánica

hamiltoniana, y tiene la ventaja de trabajar con sistemas de

referencias inerciales o no-inerciales y las ecuaciones de movimiento

sean invariantes respecto a cualquier cambio de coordenadas.

La mecánica lagrangiana proporciona un sistema de n ecuaciones

diferenciales ordinarias de segundo orden, llamadas ecuaciones del

movimiento que permiten conocer como cambia un sistema con n

grados de libertad. Estas ecuaciones se expresan de la siguiente

forma:

(1.5)

Donde es el llamado lagrangiano en el

sistema de coordenadas generalizadas .

12

Cuando un lagrangiano es invariante se tiene que:

a) Se conserva el momento angular cuando el sistema presenta

simetría rotacional, y su lagrangiano es invariante bajo algún

grupo de rotación.

b) Se conserva el momento lineal cuando el sistema presenta

simetría traslacional, es decir, cuando sobre un sistema de

partículas actúan fuerzas idénticas en cualquier posición a lo

largo de una línea.

c) Se conserva la energía cuando el sistema tiene simetría de

traslación en el tiempo, esto implica que las ecuaciones de un

sistema son iguales en todos los instantes del tiempo y los

parámetros que determinan el problema no dependen del

tiempo.

13

CAPÍTULO II

PRINCIPIOS VARIACIONALES

SISTEMAS DE PARTÍCULAS

En la mecánica clásica, todos los objetos son sistemas de partículas.

Un sistema puede estudiarse como si fuera una sola partícula, y esto

es cuando la interacción mutua de las partículas del sistema puede

despreciarse en el estudio mecánico de sus peculiaridades dinámicas.

Se considera un sistema de partículas cerrado si no sufre interacción

desde ningún sistema exterior, es decir, si consideramos que no está

sometido a ningún campo de interacción externo.

Un sistema se dice conservativo si está exclusivamente sometido a

campos externos que originan fuerzas conservativas, esto es, si

existe una función potencial V tal que la fuerza que sufre el sistema

es:

(2.1)

Si el sistema de partículas está sometido además a otras fuerzas no

conservativas o disipativas, esto es, no provenientes de una función

potencial, tales como el rozamiento, etc., entonces se dice que el

sistema es no conservativo o bien que es disipativo.

GRADOS DE LIBERTAD Y CONDICIONES DE LIGADURA

El grado de libertad de cada una de las partículas de un sistema físico

puede estar restringido por condiciones de ligadura, es decir, por

13

CAPÍTULO II













es:

(2.1)








13

CAPÍTULO II













es:

(2.1)








14

condiciones que impiden que todo el sistema o una parte de él se

pueda desplazar libremente en algún sentido. Estas condiciones

pueden ser dependientes del tiempo, y pueden ser representables

mediante ecuaciones matemáticas o ecuaciones diferenciales

integrables, o bien, en muchos casos, sólo son representables

mediante inecuaciones o sistemas de diferencias.

Un sistema se dice holónomo, o bien, sometido a ligaduras

holónomas, si las condiciones de ligadura son expresables mediante

ecuaciones matemáticas entre sus coordenadas o ecuaciones

diferenciales integrables. En caso contrario, se dice que el sistema

mecánico es no holónomo.

Un sistema se dice que es esclerónomo si las condiciones de ligadura

son independientes del tiempo. En caso contrario el sistema se dice

que es reónomo o sometido a ligaduras reónomas.

En conclusión, un sistema holónomo esclerónomo es un sistema

sometido a condiciones de ligadura independientes del tiempo

expresables mediante relaciones matemáticas entre sus coordenadas.

Un sistema holónomo reónomo es un sistema sometido a condiciones

de ligadura dependientes del tiempo expresables mediante relaciones

matemáticas entre sus coordenadas.

Un sistema no holónomo esclerónomo es un sistema sometido a

condiciones de ligadura independientes del tiempo no expresables

mediante relaciones matemáticas entre sus coordenadas.

15

Un sistema no holónomo reónomo es un sistema sometido a

condiciones de ligadura dependientes del tiempo no expresables

mediante relaciones matemáticas entre sus coordenadas.

Los sistemas mas usuales son, naturalmente, los holónomos

esclerónomos.

COORDENADAS GENERALIZADAS. El espacio de configuración

de un sistema mecánico

Sea un sistema de N partículas pi, i =1, 2, ..., N. Cada partícula tiene

tres coordenadas en el espacio ordinario, por lo que en total hay 3N

coordenadas para el sistema de partículas.

Si hay k ecuaciones de ligadura entre estas variables se tiene que el

número total de variables independientes es n = 3N - k. Podemos

representar por qi , i =1,2,...,n a estas variables independientes, que

se denominan coordenadas generalizadas. Sus correspondientes

derivadas temporales se llaman velocidades generalizadas.

Se llama espacio de configuración de un sistema de partículas al

espacio cuyos puntos son las formadas por las coordenadas

generalizadas y las velocidades generalizadas y el tiempo.

EL PRINCIPIO DE MÍNIMA ACCIÓN

La acción se define como una cantidad matemática que depende de la

masa, la velocidad y la distancia recorrida por una partícula, asociada

con la energía que es transportada de un lugar a otro por una onda.

16

De acuerdo con el principio de conservación de la energía, en

cualquier punto a lo largo de la trayectoria que recorre la partícula, la

suma de la energía cinética y la energía potencial de la misma, es

constante. Pero si se resta la energía potencial de la energía cinética,

se obtiene un valor diferente en cada uno de los diferentes puntos de

la trayectoria. Si se integra esta función de la energía cinética y la

energía potencial para la trayectoria total de la partícula, se obtiene

que la acción constituye una propiedad de la trayectoria seguida por

la partícula es decir, cada diferente trayectoria tiene un valor de

acción específico.

(2.2)

En la naturaleza los objetos que siguen trayectorias siempre lo hacen

considerando el camino que tiene la mínima acción. Para ir de un

punto a otro se presentan infinitos caminos pero siempre la partícula

escogiera la trayectoria de mínima acción. Este principio es conocido

como el Principio de Mínima Acción.

De Broglie planteó que la luz, que se creía que estaba formada por

partículas participa de la naturaleza de las ondas. Se abolió para

siempre la división entre materia y energía. Materia y energía es lo

mismo. Un avance muy importante para la ciencia.

Este principio fue publicado como un teorema de la Dinámica, por

Leonard Euler en 1774, por vez primera. Euler proponía que cuando

17

una partícula viaja entre dos puntos fijos, toma la trayectoria para la

cual la integral ∫v dr es un mínimo, donde v es la velocidad de la

partícula y dr es el elemento diferencial correspondiente de la

trayectoria curva. El 50 basó su demostración en el Cálculo

Variacional, y aunque fue el primero en implementar la conjetura de

Maupertuis, el crédito por haber dado la formulación correcta de este

principio (PMA), para casos generales, se atribuye a Joseph Lagrange

(1736-1813) quien trató lo que era un sistema de partículas

mutuamente interactuantes, y las fuerzas entre las mismas eran

derivadas de una función potencial. Probó que su expresión del PMA

junto con la ley de la conservación de la energía, es completamente

equivalente a las leyes de Newton del movimiento, y puede

emplearse como una formulación alternativa de las leyes de la

Dinámica. Y muy poderosa para resolver muchos problemas de la

Mecánica Clásica.

A partir de las leyes de Newton puede probarse el principio de mínima

acción para partículas de la mecánica Newtoniana. Esta derivación

puede hacerse a partir del principio de D'alembert que es

esencialmente equivalente a las leyes de Newton. Sin embargo, el

principio de mínima acción es más general puesto que, a diferencia

de las ecuaciones de Newton, es aplicable también a sistemas de

referencia no inerciales.

Por otro lado admitiendo el principio de mínima acción de una sola

partícula y ciertos principios de simetría pueden derivarse las

ecuaciones de Newton. A continuación se presentan varias

deducciones y ejemplos ilustrativos que muestran la equivalencia

parcial de la mecánica newtoniana y el principio de mínima acción.

18

PRINCIPIO DE D'ALEMBERT Y SEGUNDA LEY DE NEWTON

A partir de la segunda ley de Newton o equivalentemente el principio

de D'Alembert puede derivarse que para una partícula que obedece

ese principio se cumple también el principio de mínima acción.

Partiendo de la segunda ley se tiene que:

Esta forma es totalmente equivalente al principio de D'Alembert que

establece que bajo cualquier desplazamiento virtual compatible con

las ecuaciones de movimiento:

(2.3)

Para una fuerza conservativa que se deriva de un potencial se tiene

que , es decir, la energía potencial es igual al

negativo del producto escalar de la fuerza por el desplazamiento del

cuerpo. Reescribiendo la última ecuación e introduciendo la definición

de la aceleración:

(2.4)

Integrando y aplicando la derivada temporal a la variación de la

distancia , en lugar de hacerlo a la velocidad , e

introduciendo un término límite, que hace referencia a la diferencia

del valor de la función entre los puntos t2 y t1, se tiene:

18









(2.3)





de la aceleración:

(2.4)





18









(2.3)





de la aceleración:

(2.4)





19

(2.5)

Los puntos de partida y de llegada de todas las trayectorias son los

mismos, y por ello en esos lugares la variación es cero .

Ello implica que la condición límite sea asimismo igual a

cero en dichos lugares. Por ello, desaparece de la ecuación:

(2.6)

Procedemos a la integración de en el segundo término:

(2.7)

Las reglas del cálculo nos permiten trasladar los símbolos de la

variación fuera de las dos integrales:

(2.8)

En esta ecuación están presentes las expresiones de la energía

potencial U y la energía cinética . Por lo tanto, puede

reformularse de la siguiente manera:

(2.9)

Donde la diferencia recibe el nombre de función lagrangiana y

se representa con la letra L:

19

(2.5)





(2.6)


(2.7)



(2.8)




(2.9)



19

(2.5)





(2.6)


(2.7)



(2.8)




(2.9)



20

(2.10)

EL PRINCIPIO DE HAMILTON DE LA MÍNIMA ACCIÓN:

En todo sistema de N partículas en donde es la fuerza aplicada

sobre una partícula de radio vector se verifica que existe siempre

una función escalar que llamaremos "energía cinética" del sistema,

tal que la integral

(2.11)

es mínima en el movimiento real del sistema en el espacio de

configuración.

A la integral S la llamaremos "acción" del sistema de partículas.

La trayectoria, pues, ha de ser la extremal de la integral definida

como acción. O sea, es la curva para la cual es mínima la acción:

(2.12)

Expresión matemática de la Acción:

Si la fuerza aplicada a cada partícula, , tiene una componente

conservativa, , y otra componente no conservativa, , se tiene

que

(2.13)

20

(2.10)





tal que la integral

(2.11)


configuración.




(2.12)




que

(2.13)

20

(2.10)





tal que la integral

(2.11)


configuración.




(2.12)




que

(2.13)

21

Siendo V una función de las coordenadas generalizadas que

llamaremos "energía potencial" del sistema de partículas. La acción,

en definitiva, puede expresarse matemáticamente así:

(2.14)

Aplicando el Principio de Mínima Acción, se tiene:

(2.15)

aplicando cálculo variacional a la primera integral (ver ecuaciones

variacionales de Euler), se tiene:

(2.16)

o bien:

(2.17)

o, lo que es lo mismo:

(2.18)

22

verificándose entonces las n ecuaciones siguientes:

(2.19)

que son las ecuaciones de Lagrange del sistema de partículas. La

función se denomina "lagrangiana" del sistema. En función de

la lagrangiana las Ecuaciones de Lagrange se escriben de la siguiente

forma:

(2.20)

PROBLEMAS DESARROLLADOS

PROBLEMA 1.-

Dos puntos de masa m están unidos por una varilla rígida y sin peso,

de longitud l, cuyo centro ha de moverse sobre una circunferencia de

radio a. Hallar su energía cinética en coordenadas generalizadas.

Solución

Para simplificar el problema vamos a

considerar que el movimiento se

desarrolla en un plano.

Figura 2.1

α

β

m (x1,y1)

X

Y

a•

(x2,y2) m

A(x,y)

23

Según eso, el sistema, representado en la figura adjunta, tiene un

movimiento que consiste, por una parte, en que el punto A se mueve

sobre una circunferencia y, por otro lado, en que los extremos de la

varilla giran alrededor de A.

Al moverse en el plano, el sistema tiene cuatro coordenadas, pero

como existen dos ligaduras holónomas y bilaterales, a saber :

podemos describir su posición en todo momento empleando tan solo

dos coordenadas generalizadas. Tomaremos para ello los ángulos alfa

( ) y beta ( ).

La energía cinética del sistema será :

donde (x1, y1) y (x2, y2) son las coordenadas de las partículas

respecto al referencial inercial (R.I.). Para poner dicha expresión en

función de las coordenadas generalizadas, hacemos :

Según estas expresiones, la energía cinética de cada partícula se

expresará:

24

y la energía cinética total en coordenadas generalizadas será :

PROBLEMA 2.-

Un bloque de masa se desliza sobre un plano inclinado sin

rozamiento, el cual se conduce tal que se mueve horizontalmente, el

desplazamiento del plano en el tiempo se conoce como una función

).

Utilice el principio D’AIembert para encontrar la ecuación de

movimiento del bloque, tomando como coordenada generalizada el

desplazamiento del bloque hacia abajo sobre el plano. Tenga en

cuenta que el la aceleración del bloque no es la aceleración hacia

abajo sobre el plano.

Figura 2.2

Solución

Imaginen un desplazamiento virtual en el que s se incrementa en s.

La masa m se somete a un desplazamiento vertical hacia

abajo un pecado y la fuerza aplicada, la gravedad, funciona

24


PROBLEMA 2.-




).






Figura 2.2

Solución




24


PROBLEMA 2.-




).






Figura 2.2

Solución




25

. La aceleración a de es el vector suma de hacia abajo

sobre el plano y horizontal (figura 1).

Figura 2.3

La fuerza inercial sobre la masa es –ma. Nosotros necesitamos la

componente de esta en la dirección del desplazamiento virtual,

llamado . El trabajo inercial es pues . El

principio de D’Alembert nos da

Así la ecuación de movimiento del bloque es:

.

Para esta se reduce al resultado usual para un plano inclinado.

Para , sin embargo la aceleración es negativa y la masa

acelera sobre el plano.

PROBLEMA 3.-

Una cuenta de masa m se desliza sobre un alambre lizo y recto el

cual hace un ángulo α con la vertical con una velocidad ω vertical

ascendente. La gravedad g actúa verticalmente hacia abajo.

Elegir una coordenada generalizada apropiada y hallar la lagrangiana.

25



Figura 2.3






.




PROBLEMA 3.-





25



Figura 2.3






.




PROBLEMA 3.-





26

Escribir a continuación las ecuaciones de Lagrange de movimiento.

Solución

Se elige como coordenada generalizada a la

distancia r de la cuenta a lo largo del alambre

desde el eje de rotación. La energía cinética de

la cuenta es entoncesT = m(r + ω r sen α); Figura 2.4

y la energía potencial gravitacional esV = mgrcosαLa lagrangiana es L = 12 m(r + ω r sen α) − mgrcosαLas ecuaciones de Lagrange esmr = mω rsen α − mgcosαEsta es la misma ecuación como para el movimiento unidimensional

en un potencial efectivoV = − 12 mω r sen α + mgrcosαEste potencial tiene un máximo enr = gcos αω sen αcorrespondiente a un punto de equilibrio inestable.

27

CAPÍTULO III

ECUACIONES DE LAGRANGE


Las Ecuaciones de Lagrange (también conocidas como Ecuaciones de

Euler-Lagrange, o simplemente de Euler) nos permiten contar con un

sistema analítico para llegar a las ecuaciones que describen el

comportamiento físico de las partículas.

Los parámetros que intervienen en la formulación de las ecuaciones

de Lagrange son los siguientes:

- Energía cinética total del sistema: suma de las energías cinéticas

de las partículas.

- Energía potencial total del sistema: suma de las energías

potenciales de las partículas.

-Coordenada generalizada: cada grado de libertad del sistema se

expresa mediante una coordenada generalizada.

- Velocidad generalizada: derivada temporal de las coordenadas

generalizadas.

- Fuerzas generalizadas: en esta versión del texto no hace falta

definirlas, pues se considera únicamente el caso conservativo que

simplifica las ecuaciones.

La forma más general de estas ecuaciones para un sistema discreto

de partículas es

(3.1)

27

CAPÍTULO III










de las partículas.






generalizadas.





de partículas es

(3.1)

27

CAPÍTULO III










de las partículas.






generalizadas.





de partículas es

(3.1)

28

El subíndice j va desde hasta , por lo que éstas son ecuaciones

(siendo el número de grados de libertad del sistema), la resolución

de estas ecuaciones nos darán el estado del sistema en todo

instante.

Caso conservativo

Si en las Ecuaciones de Lagrange se aplican a un sistema en el que

todas las fuerzas son conservativas podemos reescribir la ecuación

(3.1) ya que:

(3.2)

(3.3)

Como L = T – V es la función lagrangiana, y:

debido a que el potencial depende exclusivamente de las coordenadas

generalizadas, y no de las velocidades generalizadas, de modo que:

(3.4)

En el límite continuo de la función lagrangiana se emplea la densidad

lagrangiana, de modo que la lagrangiana sería

La forma de la densidad lagrangiana es:

28




instante.

Caso conservativo



(3.1) ya que:

(3.2)

(3.3)




(3.4)




28




instante.

Caso conservativo



(3.1) ya que:

(3.2)

(3.3)




(3.4)




29

(3.5)

Con la densidad del objeto y la tensión a la que está sometido.

Si denotamos

podemos escribir las Ecuaciones de Lagrange como:

(3.6)

LA LAGRANGIANA

La función se denomina "lagrangiana" del sistema. En función

de la lagrangiana, las ecuaciones de Lagrange son:

(3.7)

Para sistemas conservativos es por lo que las

ecuaciones anteriores quedan así:

(3.8)

Ecuaciones de Lagrange para sistemas conservativos

29

(3.5)


Si denotamos


(3.6)

LA LAGRANGIANA



(3.7)



(3.8)


29

(3.5)


Si denotamos


(3.6)

LA LAGRANGIANA



(3.7)



(3.8)


30

Para estos sistemas, en donde no existen fuerzas disipativas, la

acción del sistema de partículas es, simplemente, la integral en el

tiempo de la función lagrangiana:

(3.9)

La lagrangiana de un sistema se define, como ya hemos visto, por la

expresión , donde es la energía cinética y V la energía

potencial.

Toda función L' que difiera de la lagrangiana en la derivada temporal

de una función de las coordenadas generalizadas y del tiempo es,

también, lagrangiana del sistema de partículas.

Efectivamente:

se tiene que si es

por tanto, es:

y siendo , se tendrá que

(3.10)

y L' es también lagrangiana.

30




(3.9)



potencial.




Efectivamente:

se tiene que si es

por tanto, es:


(3.10)


30




(3.9)



potencial.




Efectivamente:

se tiene que si es

por tanto, es:


(3.10)


31

Lagrangiana de una partícula libre

La lagrangiana de una partícula en un campo conservativo:

a) El caso de una partícula libre:

La lagrangiana de una partícula libre, al ser una función característica

de la misma, no puede depender de las coordenadas de la partícula ni

del tiempo, en virtud de la homogeneidad del espacio-tiempo. Tendrá

que depender solamente de la velocidad, pero en virtud de la

isotropía del espacio, no ha de depender de la dirección de la

velocidad, sino, en todo caso de su módulo, por tanto, ha de poder

expresarse en función del cuadrado de la velocidad:

Por otra parte, si consideramos una variación infinitesimal u, de la

velocidad, se tendría:

y la lagrangiana también se puede expresar en función de v':

desarrollando en serie y despreciando los términos de orden superior

al segundo, se tiene:

Y siendo lagrangianas tanto como , se deduce, en virtud

de un resultado expuesto antes, que el término restante ha de ser,

necesariamente, la derivada temporal de una función de las

coordenadas y del tiempo:

pero esto indicaría que la derivada parcial ha de ser constante, luego:

31





















31





















32

y, en definitiva, es .

Llamamos "masa" de la partícula a la constante m = 2a. Luego, la

lagrangiana se puede expresar así:

(3.11)

Si se trata de un sistema de N partículas en movimiento libre:

(3.12)

b) Una partícula en un campo exterior de potencial V:

Siendo , se tiene que si V= 0 (movimiento libre), hemos visto

que , por tanto, será:

(3.13)

Y si se trata de un sistema de N partículas en movimiento libre,

tenemos:

(3.14)

TEOREMAS DE CONSERVACIÓN

Cada simetría en la función lagrangiana de un sistema implica una ley

de conservación. Estas simetrías se deben a las coordenadas cíclicas.

32




(3.11)


(3.12)




(3.13)


tenemos:

(3.14)




32




(3.11)


(3.12)




(3.13)


tenemos:

(3.14)




33

Una coordenada cíclica es aquella que no aparece en la lagrangiana,

puede ser una coordenada generalizada o una velocidad generalizada.

Las tres propiedades de simetría más importantes son:

Homogeneidad del tiempo (invarianza bajo traslaciones temporales)

lo que implica conservación de la energía.

Homogeneidad del espacio (invarianza bajo traslaciones espaciales) lo

que implica conservación del momento lineal.

Isotropía del espacio (invarianza bajo rotaciones) lo que implica

conservación del momento angular.

Las coordenadas generalizadas pueden ser distancias, ángulos,

energías, cargas eléctricas, etc. Hay infinitos modos diferentes de

escoger las coordenadas generalizadas (aunque cada sistema tiene

un número fijo de grados de libertad). En estas ecuaciones

desaparece el carácter vectorial. La lagrangiana es un escalar y por lo

tanto es invariante bajo cambios de coordenadas.

La función lagrangiana depende de las coordenadas generalizadas, las

velocidades generalizadas y el tiempo, por tanto las coordenadas

generalizadas y las velocidades generalizadas se tratan de modo

independiente, por ejemplo, una derivada con respecto a no

afectaría a .Las ecuaciones de Euler-Lagrange surgen de modo natural mediante

el cálculo de variaciones y el problema de la braquistócrona. El

sentido matemático de la lagrangiana es aquella cantidad que

minimiza la acción, así que lo que tenemos aquí es un principio de

mínima acción.

34

Las definiciones de las funciones lagrangianas dadas aquí sólo son

válidas dentro de la mecánica clásica, para problemas de relatividad o

de electromagnetismo (por poner dos ejemplos) habrá que definir

esta función de algún otro modo.

La dinámica de Lagrange no es en absoluto una nueva teoría para la

mecánica, los resultados obtenidos por este método han de ser

idénticos a los que proporcionan las fórmulas de Newton, lo que varía

es el procedimiento para llegar al resultado, mientras que con la

mecánica newtoniana se maneja un agente exterior al cuerpo

(fuerzas) en la mecánica analítica se manejan magnitudes asociadas

al cuerpo (energías).


PROBLEMA 1.-

El punto de soporte de un péndulo plano simple se mueve

verticalmente de acuerdo a y = h(t), donde h(t) esta dado como

función del tiempo.

Hallar la Lagrangiana, tomando como coordenada generalizada el

ángulo θ que hace el péndulo con la vertical.

Escribir la ecuación de Lagrange de movimiento, demostrando en

particular que el péndulo se comporta como un péndulo simple en un

campo gravitacional g + h.

Solución

Las coordenadas cartesianas de la bola es (Figura 1)

35

,

Figura 3.1

Las componentes cartesianas de la velocidad de la bola están así

Y la energía cinética es

Este resultado en cambio puede ser obtenida por usar la ley del

coseno trigonométrico añadir la velocidad en la dirección vertical a

la velocidad en la dirección angular (Figura 2)

Figura 3.2

La energía potencial es

.

35

,

Figura 3.1






Figura 3.2


.

35

,

Figura 3.1






Figura 3.2


.

36

La Lagrangiana es

L = T − V = m l θ + 2hlθsenθ + h − mg(h − lcosθ).Tenemos

= m l θ + hlsenθ , = mhlθcosθ − mglsenθ = m l θ + hlsenθ + hlθcosθ ,

Para la ecuación de Lagrange es

ml θ = −m g + h lsenθ.

Esta es la misma ecuación de movimiento de un péndulo simple en

un campo gravitacional g + h.

PROBLEMA 2.-

Una esfera de masa m se desliza sin fricción a lo largo de un alambre

el cual tiene la forma de una parábola y = Ax con el eje vertical en la

campo gravitacional de la tierra g

(ver Fig. 3). Hallar la

Lagrangiana, tomando como

coordenada generalizada el

desplazamiento x.

Escribir la ecuación de Lagrange

de movimiento. Figura 3.3

37

Solución

La energía cinética de la esfera es

T = m(x + y ) = m(1 + 4A x )x ,

y la energía potencial es

V = mgy = mgAx .

La lagrangiana es así

L(x, x) = m(1 + 4A x )x − mgAx .

Nosotros tenemos

= m(1 + 4A x )x, = m(8A x)x − 2mgAx,ddt ∂L∂x = m(1 + 4A x )x + m(8A x )xPor tanto la ecuación de Lagrange de movimiento esm(1 + 4A x )x = −m(4A x)x − 2mgAxPROBLEMA 3.-

Determinar las ecuaciones de movimiento de un péndulo elástico de

constante k el mismo que tiene un extremo suspendido de un techo

y que en el extremo inferior se encuentra una esfera de masa m (ver

Figura). Al péndulo se lo hace oscilar desde un la posición inicial r0 ,

38

con una velocidad radial inicial r , con desplazamiento angular inicialθ y con velocidad radial inicial θ .

Solución

Determinaremos las ecuaciones de movimiento del

cuerpo utilizando las ecuaciones de Lagrange, las

cuales son:

− = 0. Figura 3.4

donde, j=1,2,…,n ( n es el número de grados de libertad) y L = T-V

es la Lagrangiana del sistema. Estas ecuaciones son desdobladas

para el caso n=2 de la siguiente forma:ddt ∂L∂r − ∂L∂r = 0.ddt ∂L∂θ − ∂L∂θ = 0.Así, para nuestro caso, la energía cinética T y la energía potencial V

de la masa, es:T = m(x + y ); V = mgy+. k∆xLas coordenadas de la posición y sus derivadas, para cualquier

instante, en forma implícita, son:x = rsenθ; x = rsen θ + rθcosθy = −rcosθ; y = −rcos θ + rθsenθ.

Por tanto, la Lagrangiana en términos de la coordenada generalizadaq = θ queda expresada de la siguiente forma:L(θ, θ) = 12 m(r +r θ ) − mglcosθ + 12 k(r − r )

39

Lo que nos conduce a determinar la primera ecuación de movimiento

para el péndulo elástico, sin ninguna restricción para el radio. Esta

es: mr − mrθ − mgcosθ + k(r − r ) = 0Análogamente, determinamos la segunda ecuación de movimiento

para el péndulo elástico, sin ninguna restricción para el ángulo. Esta

es: mr r + 2mrrθ + mgrsenθ = 0PROBLEMA 4.-

Usando las coordenadas polares esféricas (r,θ,φ) definido porx = rsenθcosφ y = rsenθsenφ z = rcosθEscribir a continuación la Lagrangiana y hallar las ecuaciones de

Lagrange de movimiento para una masa m moviéndose dentro de un

potencial central V(r)Solución

Las componentes de la velocidad de una partícula en coordenadas

polares esféricas son r en la dirección r, rθ en ladireccion θ y rφsenθen la dirección φ. Dado que estas son perpendiculares, la velocidad vde la particula esta dada porv = r + r θ + r φ sen θY su energía cinética porT = 12 mv = 12 m(r + r θ + r φ sen θ)Alternativamente, esta puede ser obtenida por transformación de la

expresiónT = m(x + y + z );

40

Para la energía cinética en coordenadas cartesianas, porx = rsenθcosφ x = rsenθcosφ + rθcosθcosφ − rφsenθsenφy = rsenθsenφ y = rsenθsenφ + rθcosθsenφ + rφsenθcosφz = rcosθ z = rcosθ − rθsenθSi la partícula se mueve en un potencial central V(r), la Lagrangiana

es L = T − V = 12 m(r + r θ + r φ sen θ) − V(r)Nosotros tenemos

= mr = mr θ = mr φsen θ= mr(θ + φ sen θ) − = mr φ senθcosθ = 0Por tanto las ecuaciones las ecuaciones de Lagrange en coordenadas

esféricas para una partícula moviéndose en un potencial central esddt (mr) = mr(θ + φ sen θ) − dVdrddt (mr θ) = mr φ senθcosθddt (mr φsen θ) = 0

41

CAPÍTULO IV

PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS

FUERZAS CENTRALES. EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS.

Un sistema se encuentra sometido a campos conservativos, cuando

estos campos derivan de una función potencial V(r), como son los

casos gravitatorio, electrostático, magnetostático, etc. Si dos cuerpos

interaccionan mediante la generación de campos conservativos, de

influencia mutua, se tiene un problema clásico conocido como

"Problema de los Dos Cuerpos".

NATURALEZA DEL PROBLEMA

En la dinámica del centro de masas se tiene que está dada por la

ecuación:

(4.1)

Con respecto a la aceleración, se tiene que la fuerza que actúa sobre

cada partícula “i” es: y considerando que:

donde , siendo las las fuerzas de interacción entre las

partículas, o sea la fuerza que una partícula j ejerce sobre la i

Cuando en la ecuación general se suman estas fuerzas, se tiene que

el suma de acuerdo con el principio de acción y reacción

f12 = - f21.

41

CAPÍTULO IV











ecuación:

(4.1)







f12 = - f21.

41

CAPÍTULO IV











ecuación:

(4.1)







f12 = - f21.

42

Finalmente se obtiene que:

En un problema de dos cuerpos podemos separar en dos casos. Por

ejemplo, si queremos ver qué sucede con el sistema Tierra-Sol,

podríamos plantearnos usar esta ecuación para tener una idea de

cómo se está moviendo el sistema.

No obstante esta ecuación no nos da la información concreta de cómo

una partícula, o un planeta, se mueve respecto al otro, sino sólo

como se desplaza su centro de masas. Es muy útil suponer que las

fuerzas exteriores sobre el sistema sean nulas, es decir, que

tengamos un sistema de dos cuerpos aislados. En ese caso y,

por lo que el centro de masa está en reposo o se desplaza con

movimiento rectilíneo y uniforme. Pero ¿qué sucede con las partículas

que componen nuestro sistema?.

Cuando las fuerzas externas son nulas se puede demostrar tras un

poco de álgebra que:

Donde

y es la aceleración del cuerpo 2 vista desde el 1. Esta ecuación

nos establece que el movimiento de los cuerpos se puede tratar como

si fuese de un único cuerpo de masa , llamada también masa

reducida.

El estudio del problema de los dos cuerpos consiste en establecer las

relaciones dinámicas de dos masas dentro de la región de su

influencia mutua.

42
















Donde




reducida.



influencia mutua.

42
















Donde




reducida.



influencia mutua.

43

Consideremos dos partículas de masas m1 y m2, con vectores de

posición respecto a un cierto origen fijo r1 y r2. Sea la fuerza que

sobre la partícula m2 ejerce la partícula m1 y, la fuerza que ejerce

sobre la partícula m1 la partícula m2. Por principio newtoniano de la

mecánica se tiene que = - .

POSICIÓN Y VELOCIDAD DEL SISTEMA DE LAS DOS MASAS

Si llamamos C al centro de inercia de los dos cuerpos, se puede

esquematizar la situación mediante la siguiente figura:

Figura 4.1. Dos masas dentro de la región de influencia mutua dentro deun sistema conservativo.

En la figura 1 se obtienen las siguientes relaciones vectoriales:

y las derivadas del radio vector:

y podemos considerar la posición relativa de m2 con respecto a m1 y

la posición relativa de m1 con respecto a m2:

Posición relativa de m2 con respecto a m1:

Z

m1

C

O

X

Y

m2

1cr

2cr

1r

cr

2r

44

(4.2)

Posición relativa de m1 con respecto a m2:

Velocidad de m2 con respecto a m1:

Velocidad de m1 con respecto a m2:

Por otra parte, se tiene que

y

Asimismo, de acuerdo con estas relaciones vectoriales, se tiene que

los vectores de posición de ambas masas con respecto al centro de

inercia son:

(4.3)

Eliminando rc2:

(4.4)

45

Eliminando rc1:

(4.5)

Las velocidades con respecto al centro de inercia:

(4.6)

ENERGÍA TOTAL Y LAGRANGIANA DEL SISTEMA DE LAS DOS MASAS

La energía cinética total del sistema formado por los dos cuerpos, de

masas m1 y m2, es la energía cinética total considerado como un

cuerpo único más la energía cinética interna de la masa m1 en su

movimiento relativo con respecto al centro de inercia, más la energía

cinética interna de la masa m2 en su movimiento relativo con

respecto al centro de inercia.

donde:

(4.7)

y al remplazar los valores para rc1 y rc2 de las ecuaciones anteriores,

se tiene que:

(4.8)

46

Al remplazar estos valores en la ecuación para Г se obtiene

finalmente que:

(4.9)

Donde:

y la función de Lagrange está dada por la ecuación:

(4.10)

Por tanto, la lagrangiana resulta ser una función de las coordenadas

r, r' y : L=L(r, r', ), y no depende de rc.

Como:

(4.11)

Entonces se tiene que la velocidad del centro de inercia es

constante, significando que está en reposo o en movimiento rectilíneo

y uniforme. Si trasladamos el origen O de referencia al punto C,

centro de inercia del sistema, entonces rc = 0, y la lagrangiana

quedará entonces referida a un sistema inercial de origen en el centro

de inercia del sistema:

(4.12)

= "masa reducida del sistema"

47

Nos encontramos así que el problema de los dos cuerpos resulta ser

equivalente al problema de una partícula de masa m moviéndose en

un campo central, del que se derivan fuerzas dirigidas hacia la

partícula m1 supuesta fija la partícula m2, o viceversa.

FUERZAS DEL SISTEMA DE LAS DOS MASAS

Las fuerzas que una partícula m sufre en el contexto de un campo

central de potencial pueden ser de atracción o de repulsión:

(4.13)

TRABAJO ENTRE DOS ESTADOS DE LA TRAYECTORIA

Se tiene, en el movimiento entre dos estados de vectores de posición

r1 y r2:

(4.14)

Fuerza de repulsión desde el origen

Fuerza de atracción hacia el origen

Si:

Si:

48

MOMENTO ANGULAR Y FORMA DE LA TRAYECTORIA

Consideremos una partícula de masa m que se desplaza en un campo

central, a través de un ángulo central diferencial como se muestra en

la figura 2

Figura 4.2. Desplazamiento de una masa m dentro de un campo central.

Sabemos que el momento angular de una partícula en movimiento,

con respecto al origen, es el vector:

(4.15)

El cual es perpendicular a los vectores y , es decir, perpendicular

a la trayectoria de la partícula.

Si también los vectores y son entre sí perpendiculares, se tiene

que es:

49

(4.16)

por otra parte, su derivada con respecto al tiempo es:

(4.18)

Por ser paralelos los vectores r y se tiene que es:

(4.19)

y como es perpendicular a la trayectoria, se deduce que tal

trayectoria es plana.

VELOCIDAD AREOLAR

La diferencial del área barrida por la partícula de masa m al

desplazarse desde el punto A hasta el punto B es:

y la velocidad areolar:

(4.20)

50

Resulta, en definitiva, que la velocidad con la que barre el área

central es constante.


PROBLEMA 1

Consideremos el caso del sistema Tierra-Sol, el cual representa, con

bastante aproximación, un ejemplo de sistema de dos cuerpos.

Calcular la velocidad areolar suponiendo circular la órbita de la Tierra

alrededor del Sol.

Solución

Velocidad angular:

Masa:

Distancia media al Sol:

Momento angular:

Velocidad de barrido de área:

51

CAPÍTULO V

CINEMÁTICA DEL CUERPO RÍGIDO

CUERPO RÍGIDO

Definamos 2 sistemas de coordenadas: un sistema inercial K, donde

las ecuaciones de Newton son válidas; y un sistema K(t), en general

no-inercial, fijo en el cuerpo rígido. La posición de los elementos del

cuerpo rígido entre los dos sistemas de coordenadas se relaciona con

r∝(t) = R(t) + AT(t) r∝ → v∝(t) = V(t) +( ) r∝ (5.1)

Notemos que ∝ no depende del tiempo, ya que está fijo en el sistema

de coordenadas del cuerpo. Toda la variación en el tiempo está

incluida en la matriz A(t) que representa la rotación del sistema del

cuerpo con respecto a su origen.

Figura 5.1: Transformación de coordenadas

Por un tiempo mantendremos el problema bastante general. Hay dos

orígenes de coordenadas (que describen R y V) en los cuales estamos

rR

K

52

interesados, ya que en estos dos sistemas de coordenadas se puede

separar el movimiento de traslación y el movimiento de rotación.

Punto en el cuerpo que no se mueve, o sea, V = 0

El centro de masa del cuerpo, o sea, V = VCM.

Para estos dos sistemas de coordenadas se puede separar el

movimiento de traslación y el movimiento de rotación. La dinámica de

este cuerpo requiere 6 variables, 3 que determinan el movimiento del

origen del sistema de coordenadas del cuerpo y 3 ángulos

independientes que orientan al cuerpo con respecto al origen del

sistema de coordenadas. Estos 3 ángulos independientes se pueden

tomar como los ángulos de Euler.

El caso de la energía cinética la veremos con detalle en las próximas

secciones, ya que la rotación al sistema no-inercial requiere un poco

de análisis. El caso de la energía potencial es simple en este caso ya

que las fuerzas entre partículas no ejercen ningún trabajo, mientras

las fuerzas externas si pueden ejercer trabajo. Por ejemplo, si un

cuerpo está en un campo externo gravitacional constante, tenemos:U = ∑ m∝gz∝ = g ∑ m∝z∝ = gMZ (5.2)

En este caso el potencial solo depende de las variables del centro de

masa.

ROTACIONES CON EJE FIJO

La rotación de un sistema de coordenadas con respecto a otro

sistema de coordenadas K(t), pero con el mismo origen, por un

53

ángulo θ alrededor de la dirección se puede escribir como la

transformación lineal:

r∝ = A(θ)r∝ (5.3)

que relaciona los componentes de los vectores en los dos sistemas de

referencia. Esta transformación relaciona los componentes del mismo

punto en los dos sistemas de referencia. En principio, esta

transformación puede transformar cualquier vector entre los dos

sistemas de referencia. Hay muchas parametrizaciones de esta

transformación que depende en general de 3 parámetros. Primero,

vamos a requerir que el nuevo sistema de coordenadas (pura

rotación) sea orto-normal, conservando el tamaño de los vectores = . = ( ) .

lo que nos da = 1lo que implica que la transformación inversa es = . Esto

también implica que el determinante de | | = 1 o − 1. El valor del

determinante -1 no es físico ya que representa una reflexión, lo cual

no se puede realizar a través de rotaciones de un cuerpo rígido (en

lenguaje topológico una reflexión no es continuamente deformable a

la identidad). Con esto definimos el grupo

SO(3) = { : R → R lineal | det = +1, = 1}Como ejemplo veamos la rotación en el eje z. Definiendo la matriz= 0 −1 01 0 00 0 0

54

vemos queexp (− θ) = 1 − θ + θ2 +⋯ = cosθ senθ 0−senθ cosθ 00 0 1Más general aun, definimos el vector como el eje de rotación

arbitrario. La acción de (θ) se puede escribir en termino del vector

descomponiendo la rotación en los tres vectores , x , x( x ), que

son ortogonales entre ellos.

= (θ) = ∙ − x θ − x x θ= cosθ − x senθ + (1 − cosθ) ∙Es fácil probar que esta transformación pertenece a SO(3), y además,

se puede probar que todas las transformaciones en SO(3) pueden ser

escritas de esta forma. Basta con solo mostrarlo para las bases

respectivas.

En forma infinitesimal, θ = ε << 1, podemos escribir esta

transformación como

r = r − θ x r ε + O(ε ) (5.4)

Este resultado será muy útil cuando dejemos que el eje de rotación

cambie con el tiempo. Por ahora podemos reescribir esta relación en

forma matricial

= − ε θ 0 0 00 0 −10 1 0 + θ 0 0 10 0 0−1 0 0 + θ 0 −1 01 0 00 0 0

55

Definimos entonces los generadores de las rotaciones J = [Jx; Jy; Jz]

como las tres matrices descritas arriba. Con estas definiciones

tenemos:

r = r − ε θ ∙ Jr + O(ε ) (5.5)

Si aplicamos esta rotación infinitesimal n veces, asumiendo que

tenemos la dirección del eje de rotación fijo, con ε = θ n⁄ logramos

r = lim → 1 − θ ∙ J r = exp (θθ ∙ J)r (5.6)

Por lo tanto los generadores infinitesimales definen la transformación

entre los sistemas de coordenadas. Es interesante darse cuenta que

los generadores Ji obedecen una álgebra de Lie donde el conmutador, = − = ε , ,La rotación inversa es = exp(+ ∙ )donde = θNotemos que si definimos = ddtTenemos

r = − ∙ JAr = −ωx(Ar) (5.7)

r = − ∙ JA r = −ωx(A r) (5.8)

56

Veremos que estas relaciones son aun correctas cuando el eje de

rotación cambia.

SISTEMA DE COORDENADAS DEL CUERPO RÍGIDO: EJE MÓVIL

El sistema no-inercial K(t) está fijo en un punto del cuerpo pero su

orientación cambia, por lo tanto la relación de las coordenadas de los

dos sistemas es

∝(t) = (t) + (t) ∝ → ∝(t) = (t) + d (t)dt ∝es importante darse cuenta que ∝ no varía en el tiempo.

Asumamos por ahora que R = 0. Podemos adaptar el resultado

infinitesimal derivado en la sección anterior, y ver que el cambio

producido por un rotación entre el tiempo t y t + dt es:

(t + dt) = (t) + dθ (t) × + O(dθ )para el caso en que cambia en el tiempo. Con la definición

(t) = dθ(t)dt (t)donde está evaluado en el tiempo t + dt/2, podemos escribir

ddt = ×Este es uno de los resultados más importantes de este capítulo.

Notemos que es precisamente esta definición, lo que hace no trivial el

problema de rotaciones, ya que

57

≠ d(θ )dtLa igualdad se da solo en el caso en que está fijo en el tiempo .

Esto implica que

( ) r = ω × (A r) (5.9)

que es un resultado más general que el de la sección anterior, porque

ahora puede cambiar en el tiempo. Notemos que esta velocidad

angular ω no nos permite construir la matriz ( ) ya que ω cambia de

dirección constantemente. Más adelante, veremos cómo construir la

matriz A al integrar ω con los ángulos de Euler.

Para el caso general tenemos

v∝(t) = V(t) + ω × (A (t)r∝) (5.10)

Es fácil darse cuenta que es universal, ya que no depende de la

posición del origen del sistema de coordenadas K(t), aunque si

depende de su orientación. Tomemos otro origen del sistema de

coordenadas del cuerpo definido pero con la misma orientación queK(t), por ejemplo

= + → = −El movimiento es entoncesddt = + × ( ) = ′ + ′ × ( ′)lo que implica que

V′ = V + ω × a

58

ω = ω′ (5.11)

Por lo tanto ω es universal, no depende de la posición del origen del

sistema de coordenadas K(t), aunque si depende de su orientación.

Con esta definición tenemos = − × ( ) = × ( )y podemos también derivar que= = ωTambién se da = y ∙ ( ) = ∙ω ∙ (A b) = ω ∙ b (5.12)

Esto describe que la rotación no cambia el componente paralelo al eje

de rotación.

También es útil probar que para una rotación

( × ) = Det[ ] ( ) × ( ) = ( ) × ( )para el grupo de rotaciones que definimos.

ENERGÍA CINÉTICA

La energía cinética descrita en términos de las variables del sistema

T = 12 m∝v∝ = 12 m∝ + × ( ∝)∝= MV + V ∙ ω × A (∑ m∝r∝∝ ) + ∑ m∝ ω × (A r∝) (5.13)

59

donde hemos asumido una sumatoria implícita para α. En los dos

sistemas de coordenadas en los cuales estamos interesados, V = 0

ó V = VCM, tenemos que el término del medio es cero, y claramente

la energía cinética se puede separar en traslación (centro de masa) y

rotación ∙ × m∝ ∝∝ = 0La energía cinética de rotación es entonces

T = 12 m∝ ( × ∝)= 12 m∝( ( ∝) − ( ∙ ∝) )= 12 m∝ ω r∝ − ( ∙ ∝)= 12 ω m δ , r∝ − x , x , ω,= 12 ω I , ω,

donde hemos definido que el tensor

I , = , r∝ − x , x ,es el momento de inercia en el sistema de referencia K (t) fijo con el

cuerpo.

Nota: Por ahora usaremos el mismo símbolo para el tensor y su

representación en coordenadas cartesianas, pero más adelante veremos

que estos son objetos diferentes.

60

En notación tensorial T = (5.14)

MOMENTO ANGULAR

El momento angular se describe como

= m∝ ∝ × ∝∝= m∝( + ∝) × ( + × ∝)∝= × M + m∝ ∝∝ × + × × m∝ ∝∝ + m∝ ∝∝ × ( × ∝)

Nuevamente para los dos sistemas de coordenadas en que estamos

interesados tenemos que el momento angular se puede separar en

translación (centro de masa) y rotación. El caso V = R = 0 es más o

menos claro, y el caso del centro de masa tenemos que ∑ m∝ ∝∝ =. Ahora = m∝( ∝∝ × ( × ∝))

= m∝[ ( ∝) − ∝( ∙ ∝)]∝= m∝ [ x∝ − ∝( ∙ ∝)]∝Por lo tanto

61

L = A I ω (5.15)

También se puede escribir como = Es interesante notar que en general el vector de momento angular no

es paralelo a la velocidad angular.

Además, tenemos que

T = 12 ω = 12 ∙T = (Aω) (AL) = ω ∙ L (5.16)

ya que el producto punto es invariante ante rotaciones.

Llegamos a la siguiente conclusión: el producto de un tensor por un

vector da un vector, y el producto de tensor con dos vectores da un

escalar.

PROPIEDADES DEL MOMENTO DE INERCIA

El momento de inercia depende del origen de coordenadas del cuerpo

y en la orientación de los ejes. Por lo tanto tenemos aun la libertad

de rotar los ejes. Podemos pensar en varias transformaciones

(independientes del tiempo) del sistema ( ) a un sistema ( ) cosa

que el momento de inercia sea más simple de calcular.

Es interesante distinguir las propiedades del momento de inercia:

62

1. Primero, es fácil pasar de la sumatoria al continuo,

simplemente hacemos

I , = m δ , r∝ − x , x , → δ , r − r r ρ(r)d ro en representación matricial como

I = ρ(r)d r (y + z ) −xy −xz−yx (x + z ) −yz−zx −zy (x + y )2. El momento de inercia es aditivo en la masa, o en la densidad,

lo cual implica que el momento de inercia al unir dos cuerpos es

igual a la suma de sus componentes.

3. El momento de inercia es un tensor simétrico y real, por lo

tanto se puede diagonalizar con una transformación ortogonal Vϵ O(3).

TRASLACIÓN DE COORDENADAS, EJE PARALELO

Muchas veces queremos calcular el momento de inercia en un

sistema de coordenadas, pero queremos trabajar en otro sistema de

referencia. Supongamos que deseamos hacer una translación del

origen del sistema de coordenadas del cuerpo K(t) → K(t) = +

con lo que el momento de inercia nos da

I , = m δ , r∝ − x , x , = m∝(δ , ( + ) − (r , + a )(r , + a ))∝

63

= m δ , r∝ − x , x ,+ δ , m∝(2 ∙ + a ) − m∝(x∝, a + x∝, a + a a )∝= I , + M δ , a − a a+ 2δ , m ∝ ∙ − m∝x∝, a + m∝x∝,∝ a

Esta transformación del momento de inercia funciona para cualquier

desplazamiento del origen. Pero solo dos sistemas de coordenadas en

el cuerpo permiten separar el movimiento de translación y rotación

(el centro de masa o punto fijo del cuerpo). En particular si la

traslación es al centro de masa, tenemos

∑ m r∝ = 0 → I , = I , + M δ , a − a a (5.17)

Este teorema de Steiner, para ejes paralelos, es muy útil al momento

de calcular momentos de inercia.

ROTACIÓN A LOS EJES PRINCIPALES DE INERCIA (EP)

Ya que el tensor_I es simétrico y real, o sea podemos hacer una

transformación extra (independiente del tiempo) de los ejes cosa que

en el nuevo sistema de coordenadas K(t) el tensor es diagonal.

Es importante darse cuenta que esta rotación es independiente del

tiempo y es diferente a la rotación A parametrizada por θ . Además

esta transformación aplica también a todos los vectores del sistemaK(t) → K(t).Dado que es simétrico, existe una base tal que

64

= IDonde I son los valores propios. Vemos que si formamos la matriz

de vectores propios V = [v1; v2; v3], podemos escribir esta relación

en forma matricial como = donde es la matriz diagonal con los elementos I . Calculemos

0 = v v − v v = I − I ∙porque es simétrico. Por lo tanto si los valores propios son

diferentes, entonces la matriz V es ortogonal, y la podemos definir

como ortonormal por normalización. Si dos valores propios son

iguales, de todas maneras podemos construir dos combinaciones

lineales tal que la matriz V sea ortonormal. El hecho de tener dos

valores propios iguales, implica que hay cierta simetría en el sistema.

Por lo tanto vemos que es fácil construir esta transformación con= 1. Con esto tenemos

= La energía cinética entonces se puede re-escribir como2T = ω ω = ω ( ) ( ) = ( ) ( ) = = ω lo que transforma la velocidad angular como= = ( ∙ )lo que es equivalente a proyectar ω a la nueva base.

Para una matriz simétrica y real siempre es posible hacer esta

transformación y encontrar los ejes principales (EP) de inercia. Los

65

valores propios son reales y los vectores son orto-normales. En este

sistema de referencia la energía cinética rotacional esT = 12 ω El momento angular es

L = V L = V I ω = (V I V) (V ω) = I ω (5.18)

o en componentes L = I ωEn general el cambio de coordenadas del sistema K(t) → K(t) de un

tensor se puede definir en general como , , ,… = , , , … , , …Es interesante notar que en general los ejes principales (EP) no son

en la misma dirección que ω. Una cosa es la dirección de ω y otra

cosa muy diferente la dirección de orientación principal del cuerpo.

DINÁMICA: ECUACIONES DE EULER

El problema anterior fue fácil de describir, ya que sabemos las

ecuaciones de restricción y establecimos las variables independientes

en termino de θ y de su derivada temporal en termino de variables

del punto fijo, que de hecho es el sistema inercial. Esto sucede muy a

menudo, pero el caso general no es tan fácil ya que generalmente

implica transformar a un sistema de referencia no-inercial

(parametrizado por 3 ángulos). Por ejemplo en el caso que la rotación

implica más de un ángulo como es el caso de la precesión, con lo cual

tenemos que describir la dinámica de( ) = ( ) ( )

66

que corresponde a 3 ángulos. En este sistema no-inercial es posible

encontrar las ecuaciones de movimiento en término de las

velocidades angulares (u otra parametrización), pero al mismo

tiempo requiere encontrar la transformación de las fuerzas o el

potencial como veremos más abajo. A partir de las ecuaciones de

Newton podemos encontrar las ecuaciones de movimiento del cuerpo

rígido, o sea, la ecuación de movimiento de ω. En el sistema inercial

tenemos ddt = = ×aunque en muchos casos, en los dos sistemas de referencia del

cuerpo, podemos separar en termino del movimiento del centro de

masa y del cuerpo.

= + → ⎩⎪⎨⎪⎧ddt = × =ddt = × =

En el sistema de referencia del cuerpo tenemos para la parte

rotacional = Con lo cual la ecuación de movimiento es= ddt ( )

= ddt ( ) + ( )= × ( ) + I = ( × (I ) + I )Por lo tanto = [ × ( ) + I ]

67

y en término de variables del sistema de referencia del cuerpo

tenemos = = × ( ) + la cual es conocida como la ecuación de Euler para cuerpos rígidos y

depende solo de variables en el sistema de referencia del cuerpo. Si

además nuestro sistema de referencia del cuerpo es el de ejes

principales, entonces I es diagonal, lo que simplifica el problema.

El problema del trompo sin fuerzas es un problema interesante de

resolver con esta metodología. Asumamos que encontramos los ejes

principales del sistema donde el momento de inercia es diagonal.

La ecuación de Euler da ω = ( − ) ω ωω = ( − ) ω ωω = ( − ) ω ωNuevamente, dado que ω está cambiando de dirección, no es fácil

escribir la matriz de rotación explícitamente. Más adelante veremos

que esto se resuelve usando una parametrización particular de la

matriz con los ángulos de Euler.

Con la metodología de las ecuaciones de Euler. El mismo problema

del ejemplo anterior se puede resolver por la metodología de las

ecuaciones de Euler. El movimiento se puede encontrar de la

ecuación para el momento angularddt = ×En el sistema de coordenadas del cuerpo (con respecto al punto fijo

del eje) tenemos

68

= g cos θ − g senθ= dm × = m × = − mgR2 senθ= dM × = M × = − Mg(R + r) sen θ

Usando = θla ecuación de movimiento nos da

θ = − sen θ (5.19)

Inmediatamente verificamos los límites obvios, m → 0 y r → 0, lo

que nos da que

θ = − senθ (5.20)

que es el resultado del péndulo simple.


PROBLEMA 1

Consideremos una esfera de masa M como un péndulo conectado a

un eje fijo a través de una vara de largo R y de masa m, como se

muestra en la figura. Determinar la ecuación de movimiento de este

sistema.

69

Figura 5.2. Masa suspendida de un vara

Solución

Utilizando el Lagrangiano. Asumamos un sistema de referencia en el

punto de soporte fijo. La velocidad angular la podemos escribir como= θ z mientras que el momento de inercia es la suma de los dos

cuerpos

= mR3 0 0 00 1 00 0 1 + 2 M r5 ⎣⎢⎢⎢⎡1 0 00 1 + 52 r + Rr 00 0 1 + 52 r + Rr ⎦⎥⎥

⎥⎤

Así vemos que este sistema de coordenadas es el sistema de ejes

principales. Las integrales para la vara son relativamente fáciles de

hacer ya que requieren de integrales en una dimensión, o sea, x,

para la vara. En este caso I es diagonal con

, = ( − , )lo que nos da I , = 0I , = mR3

m

RM

e1

e2

70

I , = mR3ya que = y , = 0 para i ≠j. Para la pelota de masa M lo

podemos hacer por el teorema de ejes paralelosI , = I , + M δ , a − a a = 25 Mr δ , + M(r + R) (δ , − δ , )ya que = ⁄ . Notemos que ya estamos en el sistema de ejes

principales. Es importante notar que el momento de inercia satisface

los limites obvios m → 0 y r → 0 del péndulo normal. La energía

potencial con respecto al punto fijo esU = −g(m + M)Y = −g(m R2 + M(R + r))cos θcon lo cual podemos encontrar el Lagrangianoℒ = T − U = 12 MR m3M + 25 rR + r + RR θ + gRM 1 + m2M + rR cosθdado que ω = θ z y la ecuación de movimiento es entonces

= − 1 + 2 +3 + 25 + +

que tiende al caso del péndulo puntual en los límites establecidos

anteriormente. Notemos que en este caso en que la dirección de= es constante, podemos reconstruir la posición de cada

partícula del cuerpo como ∝(t) = exp(− θ(t)) pero esto solo se

puede hacer porque es en una dirección constante.

71

CAPÍTULO VI

ECUACIONES DE MOVIMIENTO DEL CUERPO

RÍGIDO

TEOREMAS DE CONSERVACIÓN Y PROPIEDADES DE SIMETRÍA

Los teoremas de conservación serán expresadas como q para las

coordenadas generalizadas, y para las derivadas respecto del

tiempo.

Cantidad de movimiento generalizada p.

Consideremos un potencial que sólo dependa de las posiciones qi. Se

cumple entonces que:

= ( ) = = mq = p (6.1)

Donde la cantidad p viene a ser: La cantidad de movimiento

generalizado o cantidad de movimiento conjugada a la coordenada q.

Esto es: = TEOREMA DE CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL

= 0 ó í = .

72

Se debe tener presente que como se define a partir de la

Lagrangiana, no siempre va a corresponder al caso más conocido de

la cantidad de movimiento mecánico p = mv, por ejemplo una

partícula cargada en el seno de un campo eléctrico. Aquí la

Lagrangiana es de la forma:

L = + eϕ(q) + A(q) ∙ q (6.2)

donde: "e" representa la carga eléctrica ϕ( ) es el potencial eléctrico

escalar "A" es el potencial vectorial eléctrico, y por tanto p:

p = = mq + ( ) (6.3)

Esto es, la cantidad de movimiento mecánica mas la

electromagnética.

Coordenadas cíclicas

Esta es una de esas ocasiones que uno le pone nombre a algo que no

se ve. Cuando en una lagrangiana no aparezca alguna coordenada

qn, aunque sí aparezca , diremos que tal coordenada es cíclica o

ignorable, y el principal efecto que tiene esto en el sistema es que si

en L no aparece qi:

ddt ∂L∂q − ∂L∂q = ∂pdt = 0 si y sólo sí p = cte.Esto significa que: La cantidad de movimiento generalizada

conjugada a una coordenada cíclica se conserva.

Así también tenemos que:

73

Como: = − , = ( ), = ( ) entonces =pero si esta q es cíclica:

= 0 = = F (6.4)

es decir: "La componente de las fuerzas aplicadas correspondiente a

una coordenada cíclica es 0".

Una característica especial tienen las coordenadas que expresen una

rotación. Si una de tales coordenadas es cíclica, entonces la

componente de L según el eje de rotación se conserva, como por

ejemplo, se conserva Lz cuando la coordenada de unas

coordenadas cilíndricas (r, ,y,z) es cíclica.

TEOREMA DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA TOTAL

Es necesario señalar que la función lagrangiana L es la más

importante, porque es la fuente de las ecuaciones del movimiento de

un sistema. Su derivada respecto del tiempo está relacionada con el

teorema de conservación. En este caso, la derivada total de la

Lagrangiana respecto del tiempo es:

= + +De acuerdo con las ecuaciones de Lagrange tenemos:

=

74

Remplazando en la ecuación anterior y como:

== + +

Reduciendo la cantidad dentro de paréntesis tenemos:

= +O también:

= +y

∑ q − L = − (6.5)

La cantidad dentro de la sumatoria se define como la función energía

h:

h = ∑ q – L (6.6)

Así tenemos que ley de conservación:= − (6.7)

75

A esta ecuación se le conoce como la integral de Jacobi, y es una de

las integrales primeras del movimiento.

Si la lagrangiana no depende explícitamente del tiempo, entonces:

= 0 (6.8)

o sea h se conserva.

De acuerdo con lo deducido, la variación de h está relacionada con la

de la Lagrangiana, es decir, con la energía cinética T y con la energía

potencial V. Asimismo se tiene que la energía cinética T se

descompone en tres componentes T0, T1 y T2, de manera que la

Lagrangiana también tendrá tres componentes de la forma:

( , , ) = ( , ) + ( , , ) + ( , , )donde ahora L1 es una función homogénea de primer grado en y L2

es una función homogénea de segundo grado en .

La forma que tiene la función h sugiere el uso de un teorema de Euler

del cálculo avanzado, que dice que para una función f homogénea de

grado n se cumple que:

=

76

aplicando esto a la función energía h:

= 2 +donde se ha usado la expresión:

( , , ) = ( , ) + ( , , ) + ( , , )Por lo que finalmente:

h = 2L + L − L = L − L (6.9)

Ahora bien, si T no depende explícitamente de qi, o lo que es lo

mismo, la transformación de coordenadas y momentos a coordenadas

generalizadas no depende explícitamente del tiempo, entonces T2 =

T, y por tanto L2 = T.

Si además el potencial no depende de las velocidades generalizadas,

L0 = -V, y así nos queda:

h = T + V (6.10)

es decir, h es la energía total.

Así que la función h coincide con la energía total E cuando el

potencial no depende de las y cuando la energía cinética no

77

contiene al tiempo como variable explícita (no posee términos lineales

T1 en las ).ECUACIONES DEL MOVIMIENTO

Puesto que en la cinemática del sólido rígido figuran 6 grados de

libertad (las tres coordenadas del desplazamiento lineal y los tres

ángulos de Euler del movimiento rotacional), son necesarias seis

ecuaciones para la descripción de su movimiento.

Tres de estas ecuaciones se obtienen de analizar la variación de la

energía total del sólido en el movimiento traslacional, y las otras tres

de la variación de la energía total en el movimiento de rotación.

Movimiento de traslación:

Si llamamos a la fuerza total actuante sobre el centro de inercia del

sólido, se tiene que la variación de energía en un movimiento

infinitesimal es y siendo

Al identificar se tiene la ecuación vectorial:

(6.11)

78

Movimiento de rotación:

La fuerza por el desplazamiento rotacional del centro de inercia

del sólido viene expresada de forma sencilla.

Podemos expresar el desplazamiento rotacional con respecto a la

variación de los ángulos de Euler:

(6.12)

con lo cual:

Y la diferencial de la energía con respecto a la

variable angular:

Figura 6.1

Al identificar obtenemos aquí también la ecuación vectorial

correspondiente:

(6.13)

Expresión escalar de las ecuaciones del movimiento:

De (6.13):

79

(6.14)

De (6.14):

(6.15)

Calculando momentos de inercia

Un sólido cuyos tres momentos principales de inercia son distintos se

denomina trompo asimétrico. Si solo dos de los tres momentos son

iguales el sólido se acostumbra a denominar trompo simétrico. Y,

finalmente, si fueran iguales los tres momentos principales de inercia,

el sólido se denomina trompo esférico.

Los momentos principales de inercia tienen que ver,

fundamentalmente, con la simetría del sólido. Si el sólido admite una

cierta simetría se determinan sus ejes principales de forma sencilla

puesto que el centro de inercia y las direcciones de estos ejes

mantienen la misma simetría.

80

Si el sólido tiene un plano de simetría, el centro de inercia está en

ese plano y dos de los ejes principales se pueden elegir

arbitrariamente contenidos en dicho plano de simetría, mientras que

el tercer eje es perpendicular a ambos.

Si el sólido tiene un eje de simetría, también el centro de inercia

estará en dicho eje de simetría que será también uno de los tres ejes

principales de inercia del sólido, mientras que los otros dos ejes serán

perpendiculares.


EJEMPLOS DE SÓLIDOS CON SIMETRÍA

EJEMPLO 1

Un sistema de N partículas contenido en un plano.

Veamos en este caso cómo son los momentos principales de inercia.

Sea el plano xy. Esto quiere decir que z = 0, por estar el sistema

contenido en un solo plano. Por tanto:

donde las x, y, z representan las componentes de la distancia de cada

partícula al centro de masas.

81

EJEMPLO 2

Un sistema rígido de solo dos partículas:

En este caso, un eje de simetría atraviesa a ambas partículas y

contiene al centro de inercia O del

sistema solido constituido por ambas,

las otras dos coordenadas son nulas, por

lo que, si llamamos y al eje que las

contiene, serán x = z = 0, de donde se

tiene que es nulo el momento de inercia

I2 y son iguales los otros dos momentos

de inercia del sistema: Figura 6.2

I1 = I3

Veamos los momentos de inercia:

Ambos momentos de inercia no nulos, I1 e I3, pueden ponerse en

función de la distancia d entre las dos partículas:

sustituyendo en los momentos de inercia:

82

EJEMPLO 3

Momentos principales de inercia de

una varilla homogénea de superficie

transversal despreciable, con masa

M y longitud l.

Figura 6.3

Si llamamos Ix, Iy, Iz a los momentos principales de inercia con

respecto a los respectivos ejes x, y, z, deducimos que son iguales los

momentos Ix e Iz (ambos corresponden al momento de inercia

respecto a un eje perpendicular a la varilla por su centro de inercia),

y también vemos que es nulo el momento principal de inercia Iy

(pues es nula la distancia al eje y desde cualquier punto de la varilla).

Se tiene:

Calculamos:

El tensor de inercia diagonalizado es, por consiguiente:

83

EJEMPLO 4

Momentos principales de inercia de un disco homogéneo de grosor

despreciable, masa M y radio R.

En este caso, el momento de inercia

Iz corresponde al momento de

inercia respecto a un eje que

atraviesa perpendicularmente al

disco por su centro de inercia, y los

momentos Ix e Iy corresponden al

momento de inercia con respecto a

un eje diametral, y por tanto, son

iguales (Ix=Iy).

Figura 6.4

Se tiene:

y los momentos diametrales podríamos obtenerlos así:

Cálculos:

84

y, por ser iguales, también será

Tensor de inercia diagonalizado:

EJEMPLO 5

Momentos principales de inercia de

una superficie rectangular, de

masa M, base b y altura h, y grosor

despreciable

Figura 6.5

85

Los momentos de Inercia Ix e Iy son con respecto a un eje contenido

en la superficie rectangular, y el momento Iz es con respecto a un eje

perpendicular a la superficie por el centro de inercia.

Se tiene:

Cálculos:

Por analogía es también:

Y también:

Por lo que el tensor de inercia queda así:

86

EJEMPLO 6

Momentos principales de inercia de un cilindro homogéneo de masa

M, radio R y altura L

El momento de inercia Iz respecto al eje de simetría del cilindro se

puede calcular directamente, mientras

que los otros dos momentos, iguales, Ix e

Iy, pueden calcularse a partir del

momento de inercia de un disco con

respecto a un eje diametral y aplicando el

Teorema de Steiner, se calcula con

respecto a un eje paralelo por el centro

de masas del cilindro.

Figura 6.6

Momento de inercia con respecto al eje de simetría:

Será

con

87

Momentos de inercia respecto a los ejes transversales por el centro

de inercia:

El momento de inercia del disco plano de la base del cilindro es, con

respecto a un eje diametral:

con

con respecto a un eje paralelo a su diámetro, por ejemplo, el eje x de

la figura, se obtiene aplicando el teorema de Steiner:

Entonces:

El tensor de inercia, es, por tanto:

88

EJEMPLO 7

Momentos principales de inercia de un paralelepípedo de masa M y

lados a, b, c.

Los tres momentos de inercia han de

tener, por razones de simetría, una

estructura análoga, y serian iguales

solamente si las tres aristas fueran

iguales, es decir, si se tratara de un

cubo, o bien de un paralelepípedo de

caras iguales.

Figura 6.7

Utilizaremos el momento de inercia de una cara rectangular con

respecto a un eje contenido en ella y aplicaremos a continuación el

teorema de Steiner.

El momento de inercia de la cara bc (oscurecida en la figura), es

con respecto al eje de simetría contenido en ella que atraviesa

el lado b por su punto medio. Es también , por lo

cual, aplicando Steiner:

Por tanto, será:

89

Por analogía, es

Y el tensor de inercia es

EJEMPLO 8

Momentos principales de inercia de una esfera de masa M y radio R.

Utilizaremos el momento de inercia de un

disco plano y sumaremos todos los momentos

de inercia de todos los discos paralelos y que

son atravesados por un eje principal. Para ello

hemos de poner el radio de cada disco

elemental en función de la distancia al eje (z

en la figura).

Figura 6.8

90

Por simetría, es inmediato que los tres momentos principales de

inercia de una esfera han de ser iguales.

Se tiene entonces que

Momento de inercia del disco plano:

Por tanto, la suma total será:

Y son, pues,

Tensor de inercia:

91

CAPÍTULO VII

OSCILACIONES PEQUEÑAS

Estas oscilaciones son aquellas que producen pequeñas amplitudes

alrededor de los estados de equilibrio estable del sistema. En el caso

de movimiento de sistemas conservativos holonómicos, tienen

independencia con el tiempo en las vecindades de su posición de

equilibrio estable.

La energía cinética T = ∑ m v expresada en coordenadas

generalizadas q de acuerdo con r = r (q) está dada por:

T = 12 m ∂r (q)∂q . ∂r (q)∂q, , q qAdemás es definida positiva, ya que la energía cinética no puede ser

cero al menos que todas las velocidades sean cero. Sin pérdida de

generalidad suponemos que aij = aji.

La energía potencial en función de las coordenadas generalizadas q ,

está dada por: V(q) = V(q , q , … . , q )Un lagrangiano genérico está descrito de la forma:

L (q , … q ; q , … q ) = T (q , … q ; q , … q ) − V (q , … q ) (7.1)

92

7.1. PUNTOS DE EQUILIBRIO

Los puntos de equilibrio son aquellos en los que la fuerza

generalizada es nula, es decir:

− ∂V∂q = 0Supongamos que existe equilibrio para los n grados de libertad; esto

es, las n fuerzas generalizadas se anulan simultáneamente cuando las

variables toman los valores q01, q02,..., q0n. Esto significa que el

potencial V(q , q , … . , q ) tiene un extremo en ese punto del espacio de

configuración.

La independencia del tiempo de los vínculos lleva a que la energía

cinéticaes de la forma genérica:

T(q , … q ; q , … q ) = 12 f (q , … q ) q q,(7.2)

La energía se conserva y es de la forma E = T + V . Si el sistema se

encuentra entonces en la posición de equilibrio con, además,

velocidades nulas, debe permanecer indefinidamente allí (las son ambas nulas), mientras que si se encuentra en un punto

ligeramente apartado del de equilibrio, también con velocidades

inicialmente nulas, la no anulación de las implica que el sistema

ganará velocidad y se apartará entonces del punto inicial. Sin

embargo, si el punto de equilibrio corresponde a un mínimo del

potencial, el estado inicial apartado de éste tiene energía potencial

mayor, por lo que la conservación de la energía implica que al

aumentar la energía cinética el sistema se mueve hacia zonas de

93

menor energía potencial; esto es, hacia el punto de equilibrio. En este

caso se dice que el punto de equilibrio es estable. Nótese que si el

potencial tuviese un máximo en el punto de equilibrio, el movimiento

del sistema sería apartándose de éste; claramente el equilibrio es

inestable en este caso.

Así, pequeños apartamientos del estado de equilibrio (con velocidades

iniciales nulas o muy pequeñas) producirán movimientos limitados

alrededor del punto de equilibrio. Estudiemos entonces la teoría

general para este tipo de movimientos desarrollando (7.1) alrededor

del punto de equilibrio (q01, q02,..., q0n).

Llamemos: η ≡ q − qa los apartamientos del equilibrio, con lo que:q = q + η , q = η (7.3)

La pequeñez del apartamiento implica pequeñez de la fuerza (las

derivadas de orden uno del potencial son finitas alrededor del

equilibrio) con la consecuente pequeñez de las aceleraciones y

velocidades.

Desarrollamos (7.1) en serie de Taylor hasta el orden dos (que es el

más bajo no trivial) alrededor de (q01, q02,..., q0n), teniendo en

cuenta la forma de la energía cinética (7.2) y las (7.3), para escribir:

= 12 f (q , … q ) η η, − 12 ∂ V∂q ∂q q , … q η η − V(q , … q ),donde se tuvo en cuenta además que las derivadas de orden uno de

V en (q , q , … q ) son nulas, y que las q son en sí mismas de

94

orden uno. Si dejamos de lado la constante V(q , q , … q ) (o

redefinimos el cero del potencial en coincidencia con este mínimo) y

definimos las constantes: T ≡ f (q , … q )V ≡ ∂ V∂q ∂q q , … q

podemos escribir que, al orden de aproximación considerado, es:

L = 12 T η η, − 12 V η η,(7.4)

Este lagrangiano determina las trayectorias de las nuevas

coordenadas generalizadas η a partir de las ecuaciones de Lagrange

correspondientes: ddt ∂L∂η − ∂L∂η = 0Notemos que por la forma (7.2) sólo la parte simétrica de las fkl

contribuye a la energía cinética, de manera que siempre podemos

tomar simétricas a las fkl (fkl=flk) y, consecuentemente, a las Tkl. Por

otro lado, de su propia definición, las Vkl son también simétricas. Así,

cuando derivamos L respecto de una particular η , la misma

aparecerá ya sea como una de las η o una de las η en (7.4); esto

es:

∂L∂η = 12 T η + 12 T η

95

que, aprovechando la simetría de las Tkl, podemos escribir

(renombrando l al índice k de la primera sumatoria):

∂L∂η = T ηAnálogamente:

∂L∂η = − V ηCon lo que las ecuaciones de movimiento son:

(T η + V η ) = 0(7.5)

Éste es un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias, lineales y

acopladas. La solución general puede obtenerse proponiendo

soluciones de la forma:η (t) = Ca exp (−iωt) (7.6)

donde i es la unidad imaginaria, C una constante independiente del

índice l, y al una constante. Por ser el problema original real debe

tomarse la parte real de (7.6). Dado que las (7.5) son lineales y sus

coeficientes reales, las partes real e imaginaria de las η no se

mezclan entre sí, por lo que puede usarse la forma compleja de ηpropuesta y tomarse la parte real al final del cálculo. Introduciendo

entonces (7.6) en (7.5) se tiene (dejando de lado el factor globalC exp (−iωt)):(−ω T + V )a = 0

96

(7.7)

que es un sistema algebraico, lineal y homogéneo para las incógnitas

al. Este sistema tendrá solución no trivial sólo si el determinante de la

matriz de coeficientes es nulo:det (−ω T + V ) = 0 (7.8)

que determina que la incógnita ω corresponde a las raíces de un

polinomio de grado n. Éstas tienen en general n valores distintos.

Todas estas raíces son positivas, lo que implica que las ω s son reales.

Para esto multiplicamos cada una de las (7.7) por a∗ (el asterisco

simboliza conjugación compleja) y sumemos todas ellas para

obtener:

(−ω T + V )a a∗ = 0,Si intercambiamos los índices l y s entre sí, y usamos la simetría de

Tsl y Vsl

Obtenemos:

(−ω T + V )a a∗ = 0,que sumada a la anterior y pasando a la derecha los términos con ωresulta:

V (a a∗ + a a∗) =, ω T (a a∗ + a a∗) = 0,de donde:

97

ω = ∑ V (a a∗ + a a∗),∑ T (a a∗ + a a∗),Cada uno de los factores que multiplica a cada Vsl y Tsl en estas

sumatorias es real, con lo que tenemos ante todo que ω es real.

Además, como la energía cinética es positiva definida, la suma del

denominador debe ser positiva. De igual manera, como el punto de

equilibrio es un mínimo del potencial, la suma del numerador también

debe ser positiva definida (indica la variación del potencial ante un

apartamiento genérico desde el mínimo); por lo tanto, ω debe ser

positivo. Así, como los coeficientes en el sistema (7.7) son reales, las

al pueden elegirse siempre reales (ésta es una de las razones por las

que se incluyó una constante global C en (7.6), para incluir posibles

fases del argumento de la exponencial en ella).

Tenemos entonces que existen en general n valores distintos de ω, y

que para cada uno de ellos se obtiene un conjunto de n valores al que

pueden además considerarse reales. Si denominamos ω a las n

posibles soluciones de (7.8), y con alj a los n valores obtenidos para

cada frecuencia ω (1≤l≤n), la solución general de (7.5) se obtiene

sumando para todos las posibles soluciones de la forma (7.6) (y

tomando la parte real):

η (t) = Re C a exp (−iω t)(7.9)

Nótese que siempre podemos elegir a los ω > 0, porque el

correspondiente valor −ω equivale a un cambio en la fase de Cj

(ténganse en cuenta que Re C exp (−iω t) = Re C ∗ exp (iω t)

98

Consideremos las matrices V cuyas componentes son V , T cuyas

componentes son T y aj al vector columna de componentes aij

asociados a la frecuencia ωj. Agrupamos además estos n vectores

columna en una matriz de nxn componentes (cada columna está

asociada a un ωj distinto)

= aa⋯aaa⋯a ⋯ aa⋯a

Sea la matriz diagonal con los valores de ω :

= ω 0 … 00 ω … 0…0 …0 … …⋯ ωCon estas definiciones las ecuaciones (7.7) para cada ω se pueden

escribir como: = ω , 1 ≤ j ≤ n (7.10)

y todas éstas, a su vez, como una única ecuación matricial (se

entiende el cuadrado como el producto matricial de la matriz consigo

misma) = (7.11)

Multipliquemos ahora (7.10) a izquierda por el vector fila (el

superíndice T indica transposición matricial, y llamamos ≡ ωj2),

entonces: = λ (7.12)

y escribamos la misma ecuación con los índices l y j intercambiados,= λ a (7.13)

Si tenemos en cuenta que: = a =

99

= =donde las últimas igualdades en cada renglón resultan de la simetría

de las matrices V y T, al transponer la (7.13) y restarla a la (7.12)

tenemos: λ − λ a = 0que indica que si j≠l y, además, λ ≠ λ , entonces debe ser:= 0 (7.14)

esto es, los vectores correspondientes a valores distintos de λ son

ortogonales a través de la matriz T.

Dado que siempre podemos incluir un factor global en cada vector aj

(las ecuaciones (7.7) que los determinan son homogéneas) es posible

elegir los aj de manera que estén normalizados de la siguiente

manera: = 1que, junto con las ecuaciones (7.14), nos permiten decir que:= (7.15)

donde 1 representa la matriz identidad. Notablemente, si pre

multiplicamos (7.11) por tenemos, usando la ecuación (7.15),= (7.16)

que es una matriz diagonal de elementos ω . Así, la matriz A

diagonaliza simultáneamente a V y T.

Hasta aquí hemos supuesto que para j≠l es λ ≠ λ . En general, si para

j≠l resulta que λ = λ (autovalor degenerado) esto indica que en las

ecuaciones para los aj y al asociados, más de una de las

componentes de cada uno de éstos puede elegirse arbitrariamente

100

(es lo mismo que sucede en el problema usual de autovalores), lo

que da la libertad de poder siempre elegir que se cumpla la condición

de ortogonalidad (7.14), aun para autovalores λ = λ . Consideramos

entonces que siempre vale esto de ahora en más.

Recapitulando, una vez determinadas las matrices V y T se resuelve

el problema de autovalores (7.8), que reescribimos como:

det( − ω ) = 0para calcular los n autovalores ω . Con éstos resolvemos las

ecuaciones (7.10) para obtener los que normalizamos para que

cumplan (7.15). Las n trayectorias ( ) resultan entonces de las

ecuaciones (7.9). Para determinar las constantes Cj deben usarse las

condiciones iniciales, que podemos escribir en forma matricial si

definimos vectores columna , y C.

≡ ( = 0)( = 0)…( = 0) , ≡ ( = 0) ( = 0)… ( = 0) , ≡ …En efecto, evaluando la ecuación (7.9) y su derivada en t=0, se

tiene:

η (t = 0) = Re C aη (t = 0) = Re −iω C a = Im ω C a

que, por ser los únicos factores complejos los Cj , podemos escribir:

η (t = 0) = Re C a

101

η (t = 0) = ω Im C aque en forma matricial se expresa por:

= Re[ ] = Im[ ]Usando la condición (7.15), multiplicamos a izquierda cada una de

estas ecuaciones por , y usamos además que , la inversa de ,

es simplemente:

= ω 0 … 00 ω … 0…0 …0 … …… ωpara obtener inmediatamente:

Re[ ] = , Im[ ] = La solución se obtiene entonces de forma muy sistemática operando

matricialmente.

7.2. EL OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE

Comencemos estudiando el caso más simple, correspondiente a un

sistema con un único grado de libertad. La ecuación de Lagrange

alrededor del punto crítico es:

mx + kx = 0 (7.17)

nos conduce con una ecuación secular con k − ω m = 0 con un único

autovalor ω = k/m y un único autovector normalizado c=1. La

solución general es:

102

x = Re(h exp (iω t)) = Acos(ω t + δ)donde hemos definido las cantidades reales amplitud A y desfasaje δtales que ln h = lnA+iδ. Adviértase que no hay indeterminación en el

signo de ω , ya que reemplazar ω por −ω equivale a cambiar el

signo de la constante arbitraria δ. La amplitud A está fijada por la

energía total de sistema E = T + V = .

Considerando al oscilador armónico como sistema autónomo, con

variables x e y = x , tenemos las ecuaciones:x = yy = −ω xcuyo único punto crítico (0; 0) es un centro. Ya sea eliminando el

tiempo en la solución: x = Acos(ω t + δ)y = −Aω sin(ω t + δ)utilizando la ley de conservación de energía (E = T + V = kA /2) o

resolviendo la ecuación diferencial de primer orden que resulta de

eliminar el tiempo en el sistema autónomo (dy/dx = −ω x/y) hallamos

que las órbitas son elipses dadas por:+ = 1 (7.18)

con lo cual, a cada energía E = kA /2 le corresponde una trayectoria

distinta. Adviértase cómo ninguna trayectoria se cruza, en tanto que

las soluciones del sistema son únicas. Vemos además que en un

sistema de coordenadas cartesianas, cada punto representativo

evoluciona en el sentido contrario a las agujas del reloj.

103

7.3. OSCILACIONES AMORTIGUADAS

El caso anterior, donde una vez iniciado el movimiento nunca cesa, es

una simplificación de las situaciones reales donde siempre hay algún

tipo de fuerza disipativa. Por ejemplo, si incluimos una fricción lineal

con la velocidad, es decir:

+ 2 + ω = 0o, como sistema autónomo, x = yy = −ω x − 2podemos encontrar una solución analítica general dada por:x = exp (−βt)[h exp(iωt) + h exp(−iωt)]donde: ω = ω − βSi > , la solución es:x = A exp (−βt) cos(ωt + δ) (7.19)

y describe un movimiento periódico que se va amortiguando con el

tiempo. Este tipo de movimiento se denomina subamortiguado. La

energía no se conserva, sino que disminuye constantemente, aunque

no de manera uniforme, y la trayectoria cae en espiral hacia el punto

crítico (0; 0) que, por lo tanto, constituye un nodo espiral estable.

Si = , tomando el límite ω→0 en la solución anterior, obtenemos:x = A exp (−βt) [cos(δ) − sen(δ) ωt] (7.20)

104

La amortiguación es apenas lo suficientemente fuerte como para

evitar que el sistema realice ningún movimiento oscilatorio. Se trata

de una situación de amortiguamiento crítico.

Si < , se dice que el régimen es sobreamortiguado. El sistema

tiende al punto crítico (0; 0) sin oscilar (nodo estable), siendo:x = exp (−βt)[A exp(ωt) + A exp(−ωt)] (7.21)

con = −7.4. OSCILACIONES FORZADAS

El caso más simple de un oscilador forzado, es aquel donde la fuerza

varía en forma armónica, F = F cos ωt. Escribimos:x + 2βx + ω x = cos ω t (7.22)

La solución general es la suma de una particular y de la solución

homogénea, estudiada hace un momento, y que en este contexto se

denomina término transitorio, pues disminuye exponencialmente con

una rapidez determinada por β, quedando finalmente sólo la solución

particular, llamada término permanente. Nosotros sólo estudiaremos

la situación estabilizada representada por este último término.

Suponemos una solución del tipo:x = A sen( + δ)y reemplazando en la ecuación anterior obtenemos:A = ⁄

(7.23)

δ = arctg (7.24)

105

Si ω ≪ ω , vemos que A ≈ F mω⁄ = F k⁄ y δ = 0. Vemos que la

solución permanente no depende de m. Se dice que el oscilador está

gobernado por la rigidez.

Si, por el contrario, ω ≫ ω , obtenemos que A ≈ F mω⁄ y δ = π.

La oscilación no depende de k y por lo tanto se dice que es de control

masivo Entre estos dos extremos, hay un valor de la frecuencia de la

fuerza externa que maximiza la amplitud A.

ω = ω − 2βEsta condición se llama resonancia y la frecuencia correspondiente

resonante. Usualmente las resonancias se caracterizan también por el

denominado factor de calidad Q = ω /2β. Cuando mayor es Q, mayor

es también la amplitud A en la resonancia.

7.6. EL PÉNDULO

El ejemplo más conocido de un oscilador armónico es el péndulo, es

decir una masa m obligada a moverse en un plano vertical sobre un

círculo de radio r. La energía cinética es T = mr θ /2 y la energía

potencial gravitatoria V = −mgr cos θ, donde el ángulo θ está medido

desde la posición de equilibrio θ = 0. La energía cinética ya tiene una

forma cuadrática con M = mr , mientras que el hessiano del potencial

es K = ∂ V ∂θ⁄ ] = mgry, con ello, la frecuencia característica esω = mgr/mr = g/r. Sin embargo, hay que recordar que la ecuación

de movimiento θ + ω senθ = 0 sólo es armónico (θ + ω θ = 0) cerca

del punto crítico y en forma aproximada. A medida que la amplitud θcrece, la frecuencia comienza a apartarse de ω , resultando:

106

ω = ω 1 − 16 + + … . . (7.25)

El primero en estudiar los casos de oscilaciones no pequeñas fue

Leonhard Euler en 1736, confirmando lo descubierto por Galileo en

1581, que aunque el péndulo no es isócrono, lo es con excelente

aproximación para amplitudes pequeñas.

El sistema autónomo correspondiente al péndulo es:x = yy = −ω sen xtiene una multitud de puntos de equilibrio ubicados en (nπ;0),

estables para n par e inestables para n impar. Puesto que el potencial

es periódico en θ, también lo es el retrato. De hecho, todos los puntos

estables son el mismo punto, y lo mismo ocurre con los inestables. El

punto estable es un centro, y actúa como atractor en presencia de

amortiguamiento. Cuando la energía es mayor que E = 2mgr, el

movimiento ya no es oscilatorio, aunque si es periódico. Si E = E ,

entonces el péndulo tenderá hacia el punto crítico inestable θ=π, pero

sin alcanzarlo. Las trayectorias que, como ésta, separa el movimiento

acotadas de las no acotadas reciben el nombre de separatriz.


PROBLEMA N° 1

El sistema de la figura está compuesto de una barra sólida rígida OA

de masa m y longitud 2a fija en el punto O y en el rectángulo que se

encuentra en posición vertical y puede girar alrededor del eje OZ con

momento de inercia I. Si sobre el sistema actúa el campo

107

gravitatorio, calcular:

a) El potencial y la energía cinética del

sistema.

b) Las ecuaciones diferenciales del

movimiento.

c) Si el rectángulo gira con una velocidad

constante ωo, determinar:

Figura 7.1

1. La ecuación diferencial del movimiento.

2. Las posiciones de equilibrio relativo a la barra.

3. Estudiar las pequeñas oscilaciones de la barra con respecto a

las posiciones de equilibrio relativo.

d) La solución computacional de este sistema, considerando: m=1kg,

a=0.25m e I=2kgm2.

Solución

a) En este caso sea ψ el giro del rectángulo alrededor de OZ, y θ el

ángulo que forma la varilla OA con la vertical hacia abajo. Sean

los vectores unitarios s en la dirección OA, t en la dirección

perpendicular a s y u normal al plano del rectángulo formando un

triedo.

Si se toma su origen para la varilla horizontal, el potencial del

sistema es: V = −mga cosθLa velocidad de rotación de la varilla es:

Ω = θ + ψ senθ − ψ cosθy la energía cinética está dada por:

X

YZ

A

O

108

T = 12 I ψ + 12 13 m(2a) θ + ψ sen θ

= 12 I ψ + 23 ma θ + ψ sen θ

b) Para determinar las ecuaciones diferenciales del movimiento,

calculamos la lagrangiana L=T-V, obteniendo:

L = 12 I ψ + 23 ma θ + ψ sen θ + mga cosθDe los dos grados de libertad que posee el sistema, la coordenada

ψ es cíclica, por lo que: ∂L∂ψ= 0

entonces: ∂L∂ψ= I + 43 ma sen θ ψ = cte

La ecuación de Lagrange en θ está dado por:43 ma θ − 43 ma ψ senθ cosθ + mga senθ = 0c) Si el rectángulo gira con una velocidad constante ωo, determinar:

1. La ecuación diferencial del movimiento.

Sea una rotación ψ = ω (cte), entonces el sistema queda

definido por un único grado de libertad θ.

Sustituyendo ψ = ω en la ecuación de Lagrange, se tiene que:43 ma θ − 43 ma ω senθ cosθ + mga senθ = 0

109

2. Las posiciones de equilibrio relativo a la barra. De esta

ecuación, particularizamos para θ = θ = 0, condición de

equilibrio relativo, obteniendo:− 43 ma ω senθ cosθ + mga senθ = 0En función de θ, esta ecuación tiene las siguientes soluciones:

Senθ = 0 ⇒ θ = 0 , θ = π− 43 ma ω cosθ + mga = 0 ⇒ θ = arccos 3g4aωdebiéndose cumplir que:

ω≤ 1

3. Estudiar las pequeñas oscilaciones de la barra con respecto a

las posiciones de equilibrio relativo.

Si el movimiento tiene pequeñas oscilaciones en torno a una

posición de equilibrio determinada, entonces:θ = θ + ϵ(t)Usando la ecuación diferencial hallada en c.1, con:

θ = ϵ , senθ = senθ cosϵ + cosθ senϵ2 senθ cosθ = sen 2θ cos 2ϵ + cos 2 θ sen 2ϵRemplazando y despreciando los infinitésimos de orden superior

al primero, se obtiene:43 ma ϵ− 43 ma ω cos2θ ϵ+ mga cosθ ϵ= 23 ma ω sen2θ − mga senθ

Al remplazar cualquiera de los tres valores de θ hallados en c.2,

el segundo miembro de esta ecuación se anula, por lo que:43 ma ϵ+ − 43 ma ω cos2θ + mga cosθ ϵ = 0

110

d) La solución computacional de este sistema, considerando: m=1kg,

a=0.25m e I=2kg.m2.

PROBLEMA N° 2

El péndulo doble indicado en la

figura, tiene un resorte sin masa de

largo natural que coincide con la

separación de las masas en su

posición de equilibrio. Su constante

elástica es k y la longitud de los

hilos es . Estudie las oscilaciones pequeñas en torno a los valores de

equilibrio θ=0 y ∅=0.

Solución

Para valores pequeños de θ y ∅, la energía cinética es:

y la energía potencial está dada por:

Aplicando la ecuación (7.10) considerando las matrices T y V

siguientes tenemos:

θ ∅L LFigura 7.2: Pénduloacoplado

111

CAPÍTULO VIII

ECUACIONES DE MOVIMIENTO DE HAMILTON

MOMENTO LINEAL

Se define el momento lineal con respecto a la coordenada qj de una

partícula de lagrangiana L por

(8.1)

Al n-vector se le llama vector momento lineal o impulso

de la partícula.

COORDENADAS IGNORADAS O CÍCLICAS

Si la lagrangiana L no depende explícitamente de la coordenada qj se

dice que qj es ignorada o cíclica.

Si una determinada coordenada es cíclica, el momento lineal

correspondiente es constante, y, al revés, si el momento es

constante, la coordenada correspondiente es cíclica.

Coordenada qj cíclica

qj ignorada.

111

CAPÍTULO VIII


MOMENTO LINEAL



(8.1)


de la partícula.








qj ignorada.

111

CAPÍTULO VIII


MOMENTO LINEAL



(8.1)


de la partícula.








qj ignorada.

112

ESPACIO DE LAS FASES

Se define el espacio de las fases de un sistema de partículas como el

espacio cuyos puntos son las 2n componentes , es

decir, las coordenadas generalizadas y las correspondientes

componentes de momento lineal.

Espacio fases =

CORCHETE DE POISSON

Se define el Corchete de Poisson para dos funciones, f1 y f2, en las

variables del espacio de las fases, y se representa por , a la

suma de derivaciones parciales siguiente:

(8.2)

Naturalmente, si una coordenada es ignorada, y como su componente

de momento lineal es constante, el espacio fásico tendría dos

componentes menos.

En el caso de que hubiera m coordenadas ignoradas, las dimensiones

del espacio de las fases sería, entonces, 2(n-m).

112






Espacio fases =

CORCHETE DE POISSON




(8.2)



componentes menos.



112






Espacio fases =

CORCHETE DE POISSON




(8.2)



componentes menos.



113

LA FUNCIÓN HAMILTONIANA

Se define como hamiltoniana de un sistema de partículas de

lagrangiana L a la función siguiente:

(8.3)

donde las pj son las correspondientes componentes de momento

lineal.

Para encontrar el significado del hamiltoniano, consideremos un

sistema sometido a un campo exterior de potencial V, entonces se

tiene que la lagrangiana es de la forma

por tanto, se tiene:

(8.4)

Es decir, el hamiltoniano de un sistema sometido a un campo exterior

constante, no dependiente del tiempo ni de la velocidad, es la energía

total del sistema, suma de la energía cinética más la energía

potencial.

113




(8.3)


lineal.





(8.4)




potencial.

113




(8.3)


lineal.





(8.4)




potencial.

114

INVARIANCIA EN LOS SISTEMAS HOLÓNOMOS

ESCLERÓNOMOS

En un sistema holónomo esclerónomo, esto es, en un sistema


expresable mediante relaciones matemáticas entre sus coordenadas,

su lagrangiana no depende del tiempo, sino de sus coordenadas y

velocidades generalizadas.

Por tanto, al derivar con respecto al tiempo:

La invariancia de la Hamiltoniana se debe a la uniformidad del tiempo

y que la lagrangiana no depende explícitamente del tiempo en estos

sistemas.

Como la Hamiltoniana de un sistema cerrado o sometido a un campo

exterior constante es la energía total del sistema, se deduce, con

esto, que la energía total de un sistema de este tipo es constante.

114


ESCLERÓNOMOS









sistemas.




114


ESCLERÓNOMOS









sistemas.




115

LAS ECUACIONES DE HAMILTON

Haciendo la diferencial de la Hamiltoniana:

en definitiva, se tiene:

por tanto, al identificar se obtienen un conjunto de ecuaciones que se

conocen como Ecuaciones de Hamilton:

(j=1,2,...,n) (8.5)

Si se trata de sistemas conservativos:

(j=1,2,...,n) (8.6)

115






(j=1,2,...,n) (8.5)


(j=1,2,...,n) (8.6)

115






(j=1,2,...,n) (8.5)


(j=1,2,...,n) (8.6)

116

TEOREMAS BÁSICOS DE LA FORMULACIÓN

El Teorema de Hamilton-Jacobi

Para todo sistema sometido exclusivamente a fuerzas conservativas,

existe una ecuación de la forma:

(8.7)

siendo suficiente que tenga una solución completa, S0=S0(qj,pj,t),

para que sean integrables las 2n ecuaciones de Hamilton.

Sabemos que si el sistema es conservativo, entonces la acción S es la

integral en el tiempo de la función de Lagrange:

Por tanto, la diferencial dS será:

Y por otra parte, al ser la acción S función de las coordenadas

generalizadas y del tiempo, se tiene:

por lo cual, al identificar, tenemos que:

podemos escribir estas relaciones de la forma:

116





(8.7)










116





(8.7)










117

donde

es llamada la Ecuación de Hamilton-Jacobi

Veamos que si existe una función S0=S0(qj,pj,t) que verifica la

Ecuación de Hamilton-Jacobi, entonces existen las integrales de las

ecuaciones de Hamilton, es decir se pueden calcular las integrales

siguientes:

diferenciando la integral S0:

Despejando la H:

y siendo, por otra parte:

al integrar respecto al tiempo:

117

donde





siguientes:


Despejando la H:



117

donde





siguientes:


Despejando la H:



118

lo que nos permite identificar:

(8.8)

El Teorema de transformación canónica de variables:

La condición necesaria y suficiente para que una transformación de

variables de la forma

mantenga la invariancia de las ecuaciones de Hamilton

es que exista una función de las coordenadas generalizadas y del

tiempo, , tal que

siendo H’ función hamiltoniana del sistema con respecto a las nuevas

coordenadas. Este tipo de transformación se dice Transformación

canónica de variables.

En efecto:

118


(8.8)






tiempo, , tal que




En efecto:

118


(8.8)






tiempo, , tal que




En efecto:

119

- Veamos que es necesaria esa condición si se cumplen las

ecuaciones de Hamilton en las nuevas coordenadas e ímpetus

generalizados:

Sea L’ y H’ las funciones de Lagrange y Hamilton respecto de las

nuevas coordenadas. Se cumple, como ya sabemos, que, para toda

función de las coordenadas y del tiempo f(qi, Qi, t) es:

por otra parte:

por lo que, identificando:

que es la condición indicada y resulta ser, pues, necesario su

complimiento.

- Veamos ahora que es suficiente esa condición para que se deduzcan

las ecuaciones de Hamilton en las nuevas coordenadas e ímpetus

generalizados:

si se cumplen

119



generalizados:




por otra parte:



complimiento.



generalizados:

si se cumplen

119



generalizados:




por otra parte:



complimiento.



generalizados:

si se cumplen

120

se tendrá entonces que:

Por tanto las funciones L’ y H’ son respectivamente lagrangiana y

hamiltoniana del sistema en las nuevas variables, cumpliéndose por

tanto las ecuaciones de Hamilton:

(8.9)

El Teorema de los Corchetes de Poisson

La variación temporal de una función , de las

coordenadas e ímpetus generalizados, es expresable en la forma

Donde H es la función hamiltoniana del sistema, y [H, f] es el

corchete de Poisson de las funciones H y f.

En efecto:

120





(8.9)






En efecto:

120





(8.9)






En efecto:

121

(8.10)

El teorema del Jacobiano

El jacobiano de una transformación canónica de variables es siempre

igual a la unidad. O sea:

En efecto:

Sea f una función de las coordenadas generalizadas y del tiempo que

verifica la condición de la transformación canónica de variables:

y construyamos una función de la forma

Se tiene, al diferenciar:

121

(8.10)




En efecto:





121

(8.10)




En efecto:





122

quedando, en definitiva:

por otra parte, es:

por tanto, al identificar:

de lo cual:

(8.11)

122


por otra parte, es:


de lo cual:

(8.11)

122


por otra parte, es:


de lo cual:

(8.11)

123

El Teorema de Liouville

Dado el espacio de las fases del movimiento real de un a-sistema de

partículas con n grados de libertad, y llamando

al elemento diferencial de volumen, se verifica que la integral es

invariante con respecto a las transformaciones canónicas de

variables. O sea:

En efecto:

Bastará probar que en una transformación canónica de variables el

volumen expresado en unas variables es el mismo que expresado en

las otras.

En las variables (qi, pi):

En las variables (Qi, Pi):

Ahora bien, el jacobiano de la transformación es, precisamente el

cociente:

y, por el teorema anterior para el jacobiano:

por tanto, se cumple que

(8.12)

123






variables. O sea:

En efecto:



las otras.




cociente:



(8.12)

123






variables. O sea:

En efecto:



las otras.




cociente:



(8.12)

124


PROBLEMA 1.-

Una masa m sujeta a un resorte de constantek es obligada a oscilar horizontalmente, comose muestra en figura adjunta. Determinar laecuación de movimiento que rige estesistema.

Figura 8.1

Solución

Este caso se trata de un sistema con ligaduras esclerónicas, entoncestenemos:

= − = − = = , == − = − 12 + 12 = 2 + 12

= + = 12 + 12 = 2 + 12Entonces se tiene que: = = y p = − = −

= = −Por lo tanto, finalmente se tiene que:

+ = 0

125

PROBLEMAS CON PROGRAMAS COMPUTACIONALES

Problema N° 1

Considere una barra de masa m y de longitud 2a, la cual puede

oscilar libremente en torno a un articulación en A variando sólo el

ángulo de inclinación θ definido con la barra horizontal OB de longitud

b la cual gira en torno al eje OZ

con velocidad angular constante

ω. La barra AB permanece sobre

el plano gris que rota en torno al

eje OZ con velocidad angular

constante ω. Determine la

ecuación de movimiento para el

ángulo θ.

Figura 1

RESPUESTA

En la figura se ilustran ejes principales (1), (2) y (3) fijos a la barra

en su centro de masa (2) a lo largo de la barra, (1) perpendicular al

plano gris y (3) sobre ese plano y perpendicular a (2).

Método de Lagrange: La velocidad angular de la barra esω = ωk + θeω = −ωk + θeω = −ω(cosθe + senθe ) +

126

La velocidad del centro de masa puede escribirsev = v + ω × (ae )= −bωe + (−ωcosθe + θe ) × (ae )= (ωacosθ − bω)e × aθeSi I indica el momento de inercia de la barra para un eje

perpendicular a ella en G, entoncesK = 12 m((ωacosθ − bω) + a θ ) + 12 I(ω + ω )= 12 m((ωacosθ − bω) + a θ ) + 12 I θ + ω cos θ

luego el Lagrangiano esL = 12 m((ωacosθ − bω) + a θ ) + 12 I θ + ω cos θ + mgasenθLuego ∂L∂θ = ma θ + Iθ∂L∂θ = −m(ωacosθ − bω)ωasenθ − I(ω cosθsenθ) + mgacosθy resulta la ecuación de movimiento(ma + I)θ + m(ωacosθ − bω)ωasenθ + I(ω cosθsenθ) − mgacosθ = 0que puede simplificarse a(ma + I)θ + ω (ma + I)cosθsenθ − mbω asenθ − mgacosθ = 0PROGRAMA COMPUTACIONAL

PROGRAM CUERPORIGIDO

INTEGER NSTEP,NVAR

PARAMETER(NVAR=2)

INTEGER i,j

REAL x(1000),x1,x2,y(50,1000),vstart(NVAR)

127

COMMON /path/ x,y

EXTERNAL derivs

OPEN(5,FILE='archiv.dat')

OPEN(10,FILE='archiv1.dat')

OPEN(15,FILE='trayectoria.dat')

OPEN(20,FILE='Energía.dat')

x1=0.0 ! Tiempo inicial

vstart(1)=0.5 !

vstart(2)=0.5 !

h=0.1 ! paso de integración

x2=100.0 ! tiempo final

NSTEP=(x2-x1)/h !Numero de pasos o numero de pares de valores

call rkdumb(vstart,NVAR,x1,x2,NSTEP,derivs)

do i=1,NSTEP

j=i

write(5,'(1x,f10.4,2x,2f12.6)') x(j),y(1,j),y(2,j)

end do

END

!------------------------------------------------------------

SUBROUTINE derivs(x,y,dydx)

REAL x,y(*),dydx(*),m,a,b,g,Ir,w

x=x ! variable tiempo

a=0.20

b=0.30

m=0.40

g=9.8

Ir=5

w=0.15

kk=(m*a**2+Ir)

dydx(1)=y(2)

128

dydx(2)=(-

w**2*KK*cos(y(1))*sin(y(1))+m*b*w**2*a*sin(y(1))+m*g*a*cos(y(1)))/kk

return

END

!-------------------------------------------------------------

SUBROUTINE rkdumb(vstart,nvar,x1,x2,nstep,derivs)

INTEGER nstep,nvar,NMAX,NSTPMX

PARAMETER (NMAX=50,NSTPMX=1000)

REAL x1,x2,vstart(nvar),xx(NSTPMX),y(NMAX,NSTPMX)

EXTERNAL derivs

COMMON /path/ xx,y

! USES rk4

INTEGER i,k

REAL h,x,dv(NMAX),v(NMAX)

do 11 i=1,nvar

v(i)=vstart(i)

y(i,1)=v(i)

11 continue

xx(1)=x1

x=x1

h=(x2-x1)/nstep

do 13 k=1,nstep

call derivs(x,v,dv)

call rk4(v,dv,nvar,x,h,v,derivs)

if(x+h.eq.x)pause 'stepsize not significant in rkdumb'

x=x+h

xx(k+1)=x

do 12 i=1,nvar

y(i,k+1)=v(i)

12 continue

129

13 continue

return

END

! rk4.for-------------------------------------------------

SUBROUTINE rk4(y,dydx,n,x,h,yout,derivs)

INTEGER n,NMAX

REAL h,x,dydx(n),y(n),yout(n)

EXTERNAL derivs

PARAMETER (NMAX=50)

INTEGER i

REAL h6,hh,xh,dym(NMAX),dyt(NMAX),yt(NMAX)

hh=h*0.5

h6=h/6.

xh=x+hh

do 11 i=1,n

yt(i)=y(i)+hh*dydx(i)

11 continue

call derivs(xh,yt,dyt)

do 12 i=1,n

yt(i)=y(i)+hh*dyt(i)

12 continue

call derivs(xh,yt,dym)

do 13 i=1,n

yt(i)=y(i)+h*dym(i)

dym(i)=dyt(i)+dym(i)

13 continue

call derivs(x+h,yt,dyt)

do 14 i=1,n

yout(i)=y(i)+h6*(dydx(i)+dyt(i)+2.*dym(i))

14 continue

return

130

END

RESULTADO: Variación del Angulo theta para los 100 primeros segundos.

Figura 2

Problema N° 2

El péndulo doble representado en la figura

adjunta, tiene las longitudes l1 y l2 que

corresponden con las masas m1 y m2.

Considerando que el movimiento se desarrolla en

un plano, calcular:

a) La lagrangiana

Figura 3

b) Las ecuaciones del movimiento de este péndulo.

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 20 40 60 80 100 120

X

131

c) La solución computacional de estas ecuaciones, si: l1=2m, l2=1m,

m1=2kg, m2=1kg, = 60°, = 30°RESPUESTA

En este caso se necesitan dos coordenadas generalizadas para

describir su posición. Si tomamos los ángulos y y consideramos

los ejes X e Y según están señalados en la figura, tenemos que la

energía cinética del sistema es:

= 12 ( + ) + 12 ( + )Para obtener el valor de la expresión encerrada dentro del primer

paréntesis hacemos:

= − ∙ ∙ = − ∙ ∙De estas ecuaciones se obtiene que:

+ = ∙De igual forma, para el cuerpo 2 tenemos:

+ = ∙ + ∙ + 2 cos ( − )Por todo ello, la energía cinética en coordenadas generalizadas será:

132

= 12 ∙ + 12 + + 2 cos ( − )Para obtener la lagrangiana debemos considerar además la energía

potencial de cada masa. Como sobre el sistema sólo actúa la fuerza

de la gravedad a lo largo del eje X, entonces:

V = m1.g.x1 + m2.g.x2

Y tomando coordenadas generalizadas:

= − − ( + )a) La lagrangiana del sistema en coordenadas generalizadas es la

diferencia entre la energía cinética y la energía potencial L=T-V,

por lo tanto:

= 12 1 1 ∙ 1 2 + 12 2 1 1 2 + 2 2 2 + 2 cos ( − ) + + ( + )b) Las ecuaciones del movimiento en coordenadas generalizadas

para nuestro caso están dadas por:

− = 0Para cada término del desarrollo y considerando la notación utilizada

para las variables generalizadas, tenemos:

∂L∂ϕ = −m ϕ ϕ l l sen(ϕ − ϕ ) − (m − m )gl senϕ

133

Sustituyendo valores en la sumatoria, obtenemos las ecuaciones del

movimiento siguientes:

Ecuación de Movimiento de la masa m1:



m1=2kg, m2=1kg, , .

ECUACIONES DIFERENCIALES PROGRAMADAS

133






m1=2kg, m2=1kg, , .


133






m1=2kg, m2=1kg, , .


134

M1=2 kg, m2=1kg, l=2m y l=1m

CONDICIONES INICIALES

Phi1=3.1416(60)/180 rad

Dphi1dt=0.5 rad/s

Phi2=3.1416(30)/180 rad

Dphi2dt=0.5rad/s

PROGRAMA COMPUTACIONAL

PROGRAM PENDOBLE

INTEGER NSTEP,NVAR

PARAMETER(NVAR=4)

INTEGER i,j

REAL x(100000),x1,x2,y(50,100000),vstart(NVAR),h

COMMON /path/ x,y

EXTERNAL derivs

OPEN(5,FILE='archiv.dat') ! archivo donde se depositan Fi1 y t

OPEN(10,FILE='archiv1.dat') ! archivo donde se depositan Fi2 y t

x1=1. ! Tiempo inicial

vstart(1)=3.1416*60/180 ! Fi1 inicial

vstart(2)=0.0 ! dFi1dt inicial

vstart(3)=3.1416*30/180 !Fi2 inicial

vstart(4)=0.0 !dFi2dt inicial





134

M1=2 kg, m2=1kg, l=2m y l=1m


Phi1=3.1416(60)/180 rad

Dphi1dt=0.5 rad/s

Phi2=3.1416(30)/180 rad

Dphi2dt=0.5rad/s


PROGRAM PENDOBLE

INTEGER NSTEP,NVAR

PARAMETER(NVAR=4)

INTEGER i,j


COMMON /path/ x,y

EXTERNAL derivs












134

M1=2 kg, m2=1kg, l=2m y l=1m


Phi1=3.1416(60)/180 rad

Dphi1dt=0.5 rad/s

Phi2=3.1416(30)/180 rad

Dphi2dt=0.5rad/s


PROGRAM PENDOBLE

INTEGER NSTEP,NVAR

PARAMETER(NVAR=4)

INTEGER i,j


COMMON /path/ x,y

EXTERNAL derivs












135

! write(5,'(/1x,t9,a,t17,a,t31,a/)') 't','Theta','Omega'

do i=1,NSTEP

j=i

write(5,'(1x,f10.4,2x,2f12.6)') x(j),y(1,j) !escribe t y Fi1

write(10,'(1x,f10.4,2x,2f12.6)') x(j),y(3,j) !escribe t y Fi2

end do

END

!------------------------------------------------------------


REAL x,y(*),dydx(*),g

X=X

g=9.8

DELTA=5-COS(2*(Y(1)-Y(3)))

dydx(1)=y(2)

dydx(2)=(-g*(5)*sin(Y(1))-g*sin(y(1)-2*Y(3))-2*sin(Y(1)-

Y(3))*(Y(4)**2+2*Y(2)**2*COS(Y(1)-Y(2))))/(5-COS(2*(Y(1)-Y(3))))

dydx(3)=y(4)

dydx(4)= (2*SIN(Y(1)-

Y(3))*(y(2)**2*6+g*3*COS(y(1))+Y(4)**2*COS(Y(1)-Y(3))))/(5-COS(2*(Y(1)-

Y(3))))

return

END

!-------------------------------------------------------------





EXTERNAL derivs

COMMON /path/ xx,y

! USES rk4

INTEGER i,k

136


do 11 i=1,nvar

v(i)=vstart(i)

y(i,1)=v(i)

11 continue

xx(1)=x1

x=x1

h=(x2-x1)/nstep

do 13 k=1,nstep

call derivs(x,v,dv)



x=x+h

xx(k+1)=x

do 12 i=1,nvar

y(i,k+1)=v(i)

12 continue

13 continue

return

END

! rk4.for-------------------------------------------------


INTEGER n,NMAX


EXTERNAL derivs

PARAMETER (NMAX=50)

INTEGER i


hh=h*0.5

h6=h/6.

xh=x+hh

137

do 11 i=1,n


11 continue


do 12 i=1,n


12 continue


do 13 i=1,n

yt(i)=y(i)+h*dym(i)


13 continue


do 14 i=1,n


14 continue

return

END

RESULTADOS DE LA SIMULACION

Figura 4

-20-15-10-505

101520

0 5 10 15 20 25

Ang

ulo

Phi1

(rad

)

t (s)

Phi1 vs tiempo

138

Figura 5

Problema N° 3

Una masa m se encuentra fija a un plano que gira con velocidad

constante ω alrededor del eje X, no tiene rozamiento ni es una

partícula libre, como se muestra en la

figura. Determinar:

a) Las ecuaciones de movimiento que

rigen a la masa.

b) La solución computacional de estas

ecuaciones, si: m1=1gr. y

ω=10rad/s. Asumir g=980 cm/s2.

Figura 6

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

0 5 10 15 20 25

Ang

ulo

Phi2

(rad

)

tiempo (s)

Phi2 vs tiempo

X

139

RESPUESTA

a) En este caso sólo tomaremos coordenadas cilíndricas para

describir su posición siendo el eje X el eje de giro. Las

coordenadas generalizadas del punto serán (x, ρ) y la energía

cinética está dada por:

T = 12 m ρ + ρ φ + xy considerando que: ω = φ = φ

⇒ T = m ρ + ρ ω + xAdemás, sobre el sistema actúa el campo gravitatorio, por lo que:

V = mgz ⇒ V = mg ρ senwtSiendo la lagrangiana:L = 12 m ρ + ρ ω + x − mg ρ senwtLas ecuaciones del movimiento están dadas por las ecuaciones:

ddt ∂L∂q − ∂L∂q = 0que en nuestro caso son:

ρ= m ρ w − mg senwt ;

ρ= m ρ ;

ρ= m ρ

140

= 0 ; = m x ;ρ

= m xObteniendo así que las ecuaciones de movimiento son:

m ρ − m ρ w − mg senwt = 0m x = 0b) La solución computacional de estas ecuaciones usando los datos

del problema tenemos:


ρ − 100 ρ − 980 sen10t = 0x = 0CONDICIONES INICIALES

vstart(1)=10.0 (cm) ! Rho inicial

vstart(2)=-32.18 (cm/s) ! dRhodt inicial

vstart(3)=1.0 (cm) !X inicial

vstart(4)=0.0 (cm/s) !dXdt inicial


PROGRAM PENDOBLE

INTEGER NSTEP,NVAR

PARAMETER(NVAR=4)

INTEGER i,j


COMMON /path/ x,y

EXTERNAL derivs

141




vstart(1)=10.0 ! Rho inicial

vstart(2)=-32.18 ! dRhodt inicial

vstart(3)=1.0 !X inicial

vstart(4)=0.0 !dXdt inicial





! write(5,'(/1x,t9,a,t17,a,t31,a/)') 't','Theta','Omega'

do i=1,NSTEP

j=i

write(5,'(1x,f10.4,2x,2f12.6)') x(j),y(1,j) !escribe t y Rho

write(10,'(1x,f10.4,2x,2f12.6)') x(j),y(3,j) !escribe t y X

end do

END

!------------------------------------------------------------


REAL x,y(*),dydx(*)

dydx(1)=y(2)

dydx(2)=100*y(1)+980*SIN(10*X)

dydx(3)=y(4)

dydx(4)=0.0

return

142

END

!-------------------------------------------------------------





EXTERNAL derivs

COMMON /path/ xx,y

! USES rk4

INTEGER i,k


do 11 i=1,nvar

v(i)=vstart(i)

y(i,1)=v(i)

11 continue

xx(1)=x1

x=x1

h=(x2-x1)/nstep

do 13 k=1,nstep

call derivs(x,v,dv)



x=x+h

xx(k+1)=x

do 12 i=1,nvar

y(i,k+1)=v(i)

12 continue

13 continue

return

END

! rk4.for-------------------------------------------------

143


INTEGER n,NMAX


EXTERNAL derivs

PARAMETER (NMAX=50)

INTEGER i


hh=h*0.5

h6=h/6.

xh=x+hh

do 11 i=1,n


11 continue


do 12 i=1,n


12 continue


do 13 i=1,n

yt(i)=y(i)+h*dym(i)


13 continue


do 14 i=1,n


14 continue

return

END

144

RESULTADOS

Figura 7

Figura 8

-10

-5

0

5

10

15

20

0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 2,1Dis

tanc

ia r

adia

l rho

(cm

)

tiempo (s)

Rho vs tiempo

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9

Coor

dena

da X

(cm

)

tiempo (s)

X vs tiempo

145

Problema N° 4

Para efectos de la solución numérica no es necesario el procedimiento

de separar variables. Si suponemos que el movimiento tiene lugar en

el plano xy las ecuaciones de movimiento

a = Gm|r − r | (r − r )a = Gm|r − r | (r − r )

Donde la distancia entre las partículas esd = |r − r | = (x − x ) +⋯. En componentesx = Gmd (x − x )y = Gmd (y − y )

x = − Gmd (x − x )y = − Gmd (y − y )

Un sistema de cuatro ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Para reducirlas a un sistema de ecuaciones de primer orden, se usan

las definiciones de velocidades v = x etcetera, resultando

v = Gmd (x − x )x = vv = Gmd (y − y )y = vv = − Gmd (x − x )x = v

146

v = Gmd (y − y ) y = vEs decir un sistema de 8 ecuaciones diferenciales simultaneas de

primer orden que han sido resueltas mediante un algoritmo de Runge

Kutta de cuarto orden. En el programa, las unidades son arbitrarias,

pueden variarse las masas y las condiciones iniciales que están allí

especificadas son:

Distancia inicial entre las partículas

Componente radial de la velocidad inicial de la partícula (1).

Componente transversal de la velocidad inicial de la partícula (1)

Las componentes iniciales de la partícula (2) se ajustan

automáticamente de modo que el centro de masas del sistema

permanezca en reposo.

PROGRAMA COMPUTACIONAL:

PROGRAM DOSCUERPOS

INTEGER NSTEP,NVAR

PARAMETER(NVAR=8)

INTEGER i,j

REAL x(1000),x1,x2,y(50,1000),vstart(NVAR)

COMMON /path/ x,y

EXTERNAL derivs

OPEN(5,FILE='archiv.dat')

OPEN(10,FILE='archiv1.dat')

OPEN(15,FILE='trayectoria.dat')

OPEN(20,FILE='Energía.dat')

x1=0.0 ! Tiempo inicial

vstart(1)=0.5 !

vstart(2)=0.5 !

147

vstart(3)=0.5 !

vstart(4)=0.5 !

vstart(5)=0.5 !

vstart(6)=0.5 !

vstart(7)=0.5 !

vstart(8)=0.5 !





do i=1,NSTEP

j=i

write(5,'(1x,f10.4,2x,2f12.6)') x(j),y(1,j),y(2,j) !

write(10,'(1x,f10.4,2x,2f12.6)') x(j),y(3,j),y(4,j) !

end do

END

!------------------------------------------------------------


REAL x,y(*),dydx(*),m1,m2,G,d

x=x ! variable tiempo

m1=6

m2=10

G=1400

d=10

dydx(1)=y(2)

dydx(2)=G*m2*(y(5)-y(1))/d**3

dydx(3)=y(4)

dydx(4)=G*m2*(y(7)-y(3))/d**3

dydx(5)=y(6)

dydx(6)=G*m2*(y(5)-y(1))/d**3

dydx(7)=y(8)

148

dydx(8)=G*m2*(y(7)-y(3))/d**3

return

END

!-------------------------------------------------------------





EXTERNAL derivs

COMMON /path/ xx,y

! USES rk4

INTEGER i,k


do 11 i=1,nvar

v(i)=vstart(i)

y(i,1)=v(i)

11 continue

xx(1)=x1

x=x1

h=(x2-x1)/nstep

do 13 k=1,nstep

call derivs(x,v,dv)



x=x+h

xx(k+1)=x

do 12 i=1,nvar

y(i,k+1)=v(i)

12 continue

13 continue

return

149

END

! rk4.for-------------------------------------------------


INTEGER n,NMAX


EXTERNAL derivs

PARAMETER (NMAX=50)

INTEGER i


hh=h*0.5

h6=h/6.

xh=x+hh

do 11 i=1,n


11 continue


do 12 i=1,n


12 continue


do 13 i=1,n

yt(i)=y(i)+h*dym(i)


13 continue


do 14 i=1,n


14 continue

return

END

150

DISCUSIÓN

De acuerdo a los resultados obtenidos se observa que

comparados con otros textos similares, el presente

trabajo se ajusta más al contenido de los sílabos y

sumillas requeridas por las escuelas profesionales

mencionadas, por lo que consideramos que será más

utilizado con respecto a los otros textos existentes.

151

REFERENCIALES

N BIBILIOGRAFIA

1Goldstein, HERBERT. Mecánica Clásica, Barcelona: Editorial Reverté,

Primera Edición, 1998.

2HAUSER, WALTER. Introducción a los Principios de Mecánica. México:

Editorial UTEHA, Primera Edición, 1969.

3 Kibble, T.W.B. Mecánica Clásica. Madrid: Fondo Editorial Mixto. 1974.

4Marion Jerry B. Dinámica clásica de las partículas y sistemas.

Barcelona: Editorial Reverte, Segunda Edición, 1995.

5Spiegel, Murray R.. Teoría y Problemas de Mecánica Teórica. Madrid:

Editorial McGraw-Hill, Colección Schaum, Segunda Edición, 1989.

6

VALADEZ, SERGIO; ATENCIO, ANA MARÍA; LEÓN, JAVIER; Análisis de

Fenómenos de la Mecánica Clásica a través de Programas de

Simulación. México: Editorial CFIE- IPN, Primera Edición, 2006.

7

Vásquez, José W. Física General, Teoría y problemas para estudiantes

de ciencias e ingeniería – Tomo II. Lima: Editorial San Marcos, Primera

edición, 1995.

8 http://www.nr.com/oldverswitcher.html

9 http://www.cs.mtu.edu/~shene/COURSES/cs201/NOTES/fortran.html

10 http://math.fullerton.edu/mathews/numerical.html

http://www.nr.com/oldverswitcher.html

http://www.cs.mtu.edu/~shene/COURSES/cs201/NOTES/fortran.html

http://math.fullerton.edu/mathews/numerical.html

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