UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA RIOJAUNIVERSIDAD NACIONAL DE LA RIOJA

ELEMENTOS BASICOSELEMENTOS BASICOS DE MATEMATICASDE MATEMATICAS

PROFESORPROFESOREST. PIERFEDERICI MAURICIOEST. PIERFEDERICI MAURICIO

AÑO 2009AÑO 2009

El estudio de la Estadística no es un tema sencillo ya que El estudio de la Estadística no es un tema sencillo ya que requiere el aprendizaje de conceptos difíciles, así como requiere el aprendizaje de conceptos difíciles, así como de hacer cálculos matemáticos Pero el estudiante de de hacer cálculos matemáticos Pero el estudiante de Estadística no necesita ser un genio de las matemáticas Estadística no necesita ser un genio de las matemáticas para entender y aplicar los métodos estadísticos.para entender y aplicar los métodos estadísticos.A medida que vaya introduciéndose en el estudio, se A medida que vaya introduciéndose en el estudio, se dará cuenta que solo se necesita un conocimiento dará cuenta que solo se necesita un conocimiento acabado de algunas operaciones matemáticas básicas acabado de algunas operaciones matemáticas básicas para el cálculo e ir aprendiendo nuevos símbolos para el cálculo e ir aprendiendo nuevos símbolos matemáticos, que muchos de ellos lo ha ido viendo, matemáticos, que muchos de ellos lo ha ido viendo, desarrollado y aplicado en toda su Educación Secundaria. desarrollado y aplicado en toda su Educación Secundaria. Este Capitulo pretende ser un repaso de ese material Este Capitulo pretende ser un repaso de ese material que Ud. por desuso podría estar un poco olvidado, pero que Ud. por desuso podría estar un poco olvidado, pero que durante todo este curso los va a necesitar. Se que durante todo este curso los va a necesitar. Se recomienda tratar de fijar estos conceptos y si considera recomienda tratar de fijar estos conceptos y si considera que no es suficiente consultar algún libro de que no es suficiente consultar algún libro de Matemáticas.Matemáticas.

LOS NÚMEROSLOS NÚMEROS..

NATURALESNATURALES

ENTEROS ENTEROS

NEGATIVOSNEGATIVOS RACIONALESRACIONALES REALES REALES

FRACCIONARIO FRACCIONARIO IRRACIONALESIRRACIONALES

Los números naturales 1,2,3,4,................. aparecen al Los números naturales 1,2,3,4,................. aparecen al contar los objetos de un conjunto y con ellos resolvemos contar los objetos de un conjunto y con ellos resolvemos las expresiones de suma y multiplicación.las expresiones de suma y multiplicación.Luego para resolver las operaciones de sustracción es Luego para resolver las operaciones de sustracción es que surgen los números negativos.que surgen los números negativos.Los números naturales con los negativos forman los Los números naturales con los negativos forman los llamados números enteros. Podemos decir que con los llamados números enteros. Podemos decir que con los números enteros realizamos operaciones de suma, resta y números enteros realizamos operaciones de suma, resta y multiplicación. multiplicación. Para resolver operaciones de división surgen los llamados Para resolver operaciones de división surgen los llamados números fraccionarios. Con los números racionales se números fraccionarios. Con los números racionales se resuelven operaciones de raíz. Pero como surgen cálculos resuelven operaciones de raíz. Pero como surgen cálculos de raíces que no son cuadrados perfectos, se crearon los de raíces que no son cuadrados perfectos, se crearon los números irracionales, que generalmente son números de números irracionales, que generalmente son números de infinitas cifras decimales.infinitas cifras decimales.El conjunto de los números racionales e irracionales El conjunto de los números racionales e irracionales forman los llamados números reales.forman los llamados números reales.

SIMBOLOS ALGEBRAICOSSIMBOLOS ALGEBRAICOS• Es mayor que.Es mayor que.8 8 3 8 es mayor que 3. 3 8 es mayor que 3.X X 5 X es mayor que 5. 5 X es mayor que 5.a a b a es mayor que b. b a es mayor que b.

• Es menor que.Es menor que.55 8 5 es menor que 8.8 5 es menor que 8.

a a b a es menor que b. b a es menor que b.

3 3 X X 10 Que X es mayor que 3 y menor que 10. 10 Que X es mayor que 3 y menor que 10. El valor de X no incluye al 3 ni al 10.El valor de X no incluye al 3 ni al 10.

• Es mayor o igual a.Es mayor o igual a.

X X 5 X es mayor o igual a 5. 5 X es mayor o igual a 5.

a a b a es mayor o igual a b. b a es mayor o igual a b.• Es menor o igual a.Es menor o igual a. X X 2 X es menor o igual a 2. 2 X es menor o igual a 2. a a b a es menor o igual a b. b a es menor o igual a b.33 X X 8 X es mayor igual a 3 y menor o igual a 8 X es mayor igual a 3 y menor o igual a

8. 8. Es decir que los incluye a ambos.Es decir que los incluye a ambos.

55 X X 9 X es mayor o igual a 5 y menor que 9 9 X es mayor o igual a 5 y menor que 9 Incluye al 5 u no incluye al 9.- Incluye al 5 u no incluye al 9.-

• Una desigualdad permanece valida si se suma o resta Una desigualdad permanece valida si se suma o resta el mismo número de ambos lados.el mismo número de ambos lados.

Ejemplo:Ejemplo: 6 6 2 2• Si sumamos 3 a ambos lados, o bien restamos Si sumamos 3 a ambos lados, o bien restamos

observamos que se mantiene la desigualdad.observamos que se mantiene la desigualdad. 9 9 5 o 5 5 o 5 1 1

• Cuando multiplicamos o dividimos en una desigualdad Cuando multiplicamos o dividimos en una desigualdad ambos lados por un número positivo, se mantiene la ambos lados por un número positivo, se mantiene la desigualdad.desigualdad.Ejemplo:Ejemplo: 8 8 5 5• Si multiplicamos por 4 a ambos lados, 32 Si multiplicamos por 4 a ambos lados, 32 20 20 Cuando multiplicamos o dividimos ambos lados de la Cuando multiplicamos o dividimos ambos lados de la desigualdad por un mismo número negativo se invierte el desigualdad por un mismo número negativo se invierte el símbolo de la desigualdad.símbolo de la desigualdad.Por ejemplo:Por ejemplo: 15 15 12 12si multiplicamos por (-3) ambos lados será:si multiplicamos por (-3) ambos lados será: - 45 - 45 - 36 - 36• Es distinto de.Es distinto de.8 8 5 8 es distinto de 5. 5 8 es distinto de 5.X X 2 X es distinto de 2. 2 X es distinto de 2.a a b a es distinto de b. b a es distinto de b.

XX Valor absoluto de X. Valor absoluto de X. El valor absoluto es igual a la magnitud XEl valor absoluto es igual a la magnitud X sin importar que signo tiene.sin importar que signo tiene.

+9+9 El valor absoluto de +9 es igual a 9. El valor absoluto de +9 es igual a 9.

-4-4 El valor absoluto de (- 4) es igual a 4. El valor absoluto de (- 4) es igual a 4.

OPERACIONES ARITMÉTICAS.OPERACIONES ARITMÉTICAS.

1.- Suma de dos números positivos.1.- Suma de dos números positivos.Para sumar dos números positivos se suman valores Para sumar dos números positivos se suman valores

absolutos y el resultado tendrá signo positivo.absolutos y el resultado tendrá signo positivo.Ejemplo:Ejemplo: 6 + 4 = 106 + 4 = 10

2.- Suma de dos números negativos.2.- Suma de dos números negativos.Para sumar dos números con signos negativos, se suman Para sumar dos números con signos negativos, se suman sus valores absolutos y el resultado tendrá signo sus valores absolutos y el resultado tendrá signo negativo.negativo.

Ejemplo:Ejemplo: (-5) + (-3) = - 8(-5) + (-3) = - 8

3.- Suma de dos números con signo opuesto.3.- Suma de dos números con signo opuesto.Para sumar dos números con signo opuesto, se Para sumar dos números con signo opuesto, se determina la diferencia entre sus valores absolutos y el determina la diferencia entre sus valores absolutos y el resultado tendrá el signo del número con valor absoluto resultado tendrá el signo del número con valor absoluto mayor.mayor.Ejemplo:Ejemplo:

20 + ( - 8 ) = 12 2 + ( - 6 ) = - 420 + ( - 8 ) = 12 2 + ( - 6 ) = - 4

4.-Resta de un número de otro.4.-Resta de un número de otro.Para restar un número de otro, se cambia el número por Para restar un número de otro, se cambia el número por

restar y se procede como en la suma ( casos vistos restar y se procede como en la suma ( casos vistos antes).antes).

Ejemplo:Ejemplo: 10 - 3 = 10 + ( - 3 ) = 710 - 3 = 10 + ( - 3 ) = 7 6 - 9 = 6 + ( - 9 ) = - 36 - 9 = 6 + ( - 9 ) = - 3 10 - (-4) = 10 + (+4) = 1410 - (-4) = 10 + (+4) = 14 - 3 - 8 = - 3 + ( - 8 ) = - 11- 3 - 8 = - 3 + ( - 8 ) = - 115.-Multiplicación de una serie de números.5.-Multiplicación de una serie de números.a) Al multiplicar una serie de números, el resultado es a) Al multiplicar una serie de números, el resultado es

positivo si existe un número par de valores negativos positivo si existe un número par de valores negativos en la serie.en la serie.

Ejemplo:Ejemplo: 3(- 4).(- 5).(6) = 3603(- 4).(- 5).(6) = 360 - 4(-3).(- 5).(- 8) = 480- 4(-3).(- 5).(- 8) = 480 - a. ( - b ) = a . b- a. ( - b ) = a . b

b) Al multiplicar una serie de números, el resultado b) Al multiplicar una serie de números, el resultado es negativo si existe un número impar de valores es negativo si existe un número impar de valores negativos en la serie.negativos en la serie.

Ejemplo:Ejemplo: 3.(- 2).(4) = - 243.(- 2).(4) = - 24 - 4.(-6).(- 4).(8) = - 768- 4.(-6).(- 4).(8) = - 768 - b. (- a). (- c) = - a b c- b. (- a). (- c) = - a b c

6.- División de una serie de números.6.- División de una serie de números.a) Al dividir una serie de números, el resultado es a) Al dividir una serie de números, el resultado es

positivo si existe un número par de valores positivo si existe un número par de valores negativos en la serie.negativos en la serie.

Ejemplo:Ejemplo: -6/-36 = 1/6-6/-36 = 1/6 - 3. (- 5). (- 4) / -20 = 3- 3. (- 5). (- 4) / -20 = 3 - b /- a = b / a- b /- a = b / a

b) Al dividir una serie de números, el resultado es b) Al dividir una serie de números, el resultado es negativo si existe un número impar de valores negativo si existe un número impar de valores negativos en la serie.negativos en la serie. Ejemplo:Ejemplo: - 3 / 4 = - 0,75- 3 / 4 = - 0,75 (- 3).(- 3) / - 4 = - 2,25(- 3).(- 3) / - 4 = - 2,25 - a / b = - a / b- a / b = - a / b

REGLAS PARA EL ORDEN DE LAS OPERACIONES REGLAS PARA EL ORDEN DE LAS OPERACIONES ARITMÉTICAS.ARITMÉTICAS.

1.- El orden en que se suman los números no modifica 1.- El orden en que se suman los números no modifica el resultado.el resultado. Ejemplo:Ejemplo: 3+8+5 = 8+5+3 = 5+3+8 = 163+8+5 = 8+5+3 = 5+3+8 = 16 4+(-3)+7 = (-3)+7+4 = 7+4+(-3) = 84+(-3)+7 = (-3)+7+4 = 7+4+(-3) = 8

2.- El orden en que multiplican los números no modifica 2.- El orden en que multiplican los números no modifica el resultado.el resultado. Ejemplo:Ejemplo: 8 * 3 * 4 = 3 * 8 * 4 = 4 * 8 * 3 = 968 * 3 * 4 = 3 * 8 * 4 = 4 * 8 * 3 = 96

3.- Si aparece una multiplicación y una suma o resta, la 3.- Si aparece una multiplicación y una suma o resta, la multiplicación debe realizarse en primer lugar, a menos multiplicación debe realizarse en primer lugar, a menos que los paréntesis o corchetes indiquen lo contrario.que los paréntesis o corchetes indiquen lo contrario.

Ejemplo:Ejemplo: 10 * 4 + 5 = 40 + 5 = 4510 * 4 + 5 = 40 + 5 = 45 8 * ( 20 – 6) * 2 = 8 * 14 * 2 = 2248 * ( 20 – 6) * 2 = 8 * 14 * 2 = 224 5 * 3 * ( 6 + 2) = 5 * 3 * 8 = 1205 * 3 * ( 6 + 2) = 5 * 3 * 8 = 120 4 * 2 + (5 – 2) – 2 * 5 = 8 + 3 – 10 = 11 – 10 = 14 * 2 + (5 – 2) – 2 * 5 = 8 + 3 – 10 = 11 – 10 = 1

4.- Si aparece una división y una suma o una resta, la 4.- Si aparece una división y una suma o una resta, la división debe realizarse en primer lugar salvo que los división debe realizarse en primer lugar salvo que los paréntesis o corchete indiquen lo contrario.paréntesis o corchete indiquen lo contrario.

Ejemplo:Ejemplo: 15 / 3 + 6 - 2 = 5 + 6 - 2 = 815 / 3 + 6 - 2 = 5 + 6 - 2 = 8 20 / ( 3 + 2 ) + 6 = 20 / 5 + 6 = 4 + 6 = 1020 / ( 3 + 2 ) + 6 = 20 / 5 + 6 = 4 + 6 = 10 ( 9 - 3 ) / 2 + 8 = 6 / 2 + 8 = 3 + 8 = 11( 9 - 3 ) / 2 + 8 = 6 / 2 + 8 = 3 + 8 = 11

REGLAS PARA PARENTESIS Y CORCHETES.REGLAS PARA PARENTESIS Y CORCHETES.

1.- Los paréntesis y corchetes indican que lo encerrado 1.- Los paréntesis y corchetes indican que lo encerrado por ellos debe considerarse como un solo número.por ellos debe considerarse como un solo número.

Ejemplo: (3 + 4) * (8 – 3+2) = 7 * 7 = 49Ejemplo: (3 + 4) * (8 – 3+2) = 7 * 7 = 49 (1+2 - 5) * (10- 4+2) = (- 2) * (8) = - 16(1+2 - 5) * (10- 4+2) = (- 2) * (8) = - 16

2.-Cuando hay paréntesis dentro de unos corchetes, 2.-Cuando hay paréntesis dentro de unos corchetes, primero se realiza las operaciones dentro de los primero se realiza las operaciones dentro de los paréntesis.paréntesis.

Ejemplo: Ejemplo: (5-1+2)*(2) + (6-3) (5-1+2)*(2) + (6-3)** 2+(3-2) 2+(3-2) = = = = 6 * 2 +3 6 * 2 +3 * * 2+1 2+1 = = = = 12 + 3 12 + 3 *3 = 15 * 3 = 45 *3 = 15 * 3 = 45

3.-Cuando no sea conveniente reducir a un solo 3.-Cuando no sea conveniente reducir a un solo número lo encerrado por unos paréntesis, estos número lo encerrado por unos paréntesis, estos pueden eliminarse como sigue:pueden eliminarse como sigue:

• Si aparece un signo positivo antes de los paréntesis, Si aparece un signo positivo antes de los paréntesis, estos se eliminan sin modificar el signo de los estos se eliminan sin modificar el signo de los números contenidos en ellos.números contenidos en ellos.Ejemplo: 5 + (8 – 2 + 4) = 5 + 8 - 2 = 15Ejemplo: 5 + (8 – 2 + 4) = 5 + 8 - 2 = 15

• Si aparece un signo negativo antes de los paréntesis Si aparece un signo negativo antes de los paréntesis estos se eliminan cambiando el signo de los números estos se eliminan cambiando el signo de los números contenidos en ellos.contenidos en ellos.

Ejemplo: 10 - (5 +4 - 2) = 10 - 5 - 4 + 2 = 3Ejemplo: 10 - (5 +4 - 2) = 10 - 5 - 4 + 2 = 3

• Si aparece un número multiplicando fuera de los Si aparece un número multiplicando fuera de los paréntesis, todos los términos dentro de ellos paréntesis, todos los términos dentro de ellos deben ser multiplicados por dicho número.deben ser multiplicados por dicho número.

Ejemplo: Ejemplo: 2 ( 5 + 3 – 2 + 1) = 10 + 6 – 4 + 2 = 18 - 4 = 142 ( 5 + 3 – 2 + 1) = 10 + 6 – 4 + 2 = 18 - 4 = 14 o también, resolver el paréntesis o también, resolver el paréntesis 2 ( 5 + 3 – 2 + 1) = 2 . 7 = 142 ( 5 + 3 – 2 + 1) = 2 . 7 = 14

• Si tenemos letras solo podemos multiplicar cada Si tenemos letras solo podemos multiplicar cada término del paréntesis por su multiplicando.término del paréntesis por su multiplicando.

a ( b+c+d – e) = a b + a c + a d + - a ea ( b+c+d – e) = a b + a c + a d + - a e

• El producto de dos sumas se obtiene multiplicando El producto de dos sumas se obtiene multiplicando cada elemento de una suma por los elementos de la cada elemento de una suma por los elementos de la otra.otra.

Ejemplo: (a + b) . ( c + d) = a c + a d + b c + b dEjemplo: (a + b) . ( c + d) = a c + a d + b c + b d (3 + 2) . (4 + 6) = 5 . 10 = 50(3 + 2) . (4 + 6) = 5 . 10 = 50 (3 + 2) . (4 + 6) = 12 + 18 + 8 + 12 = 50(3 + 2) . (4 + 6) = 12 + 18 + 8 + 12 = 50

• Si los números contenidos dentro de los paréntesis se Si los números contenidos dentro de los paréntesis se operan de alguna forma, siempre se realiza primero la operan de alguna forma, siempre se realiza primero la operación antes de combinarlos con otros términos.operación antes de combinarlos con otros términos.

Ejemplo 1º. 3+2(4+2)+5 = 3+2 (6) +5 = 3+12+5 = 20Ejemplo 1º. 3+2(4+2)+5 = 3+2 (6) +5 = 3+12+5 = 20

Ejemplo 2º: 5+(2+4)/2+6 = 5+6/2+6 = 5+3+6 = 14Ejemplo 2º: 5+(2+4)/2+6 = 5+6/2+6 = 5+3+6 = 14

Ejemplo 3º: 3+6+(2+2)² +4 = 3 + 6 + 4² +4 = Ejemplo 3º: 3+6+(2+2)² +4 = 3 + 6 + 4² +4 = = 3 + 6 + 16 + 4 = 29= 3 + 6 + 16 + 4 = 29

Ejemplo 4º: 6 – 2 + (3+2)² - 2 + 8 - (5+4) / 3 =Ejemplo 4º: 6 – 2 + (3+2)² - 2 + 8 - (5+4) / 3 = = 6 – 2 + 25 - 2 + 8 - 3 == 6 – 2 + 25 - 2 + 8 - 3 = = (6+25+8) – (2+2+3) = 39 - 7 = 32= (6+25+8) – (2+2+3) = 39 - 7 = 32

Ejemplo 5º: 10 - (4 - 2) + 6 (3+4) - 6 + 2 - 42 = Ejemplo 5º: 10 - (4 - 2) + 6 (3+4) - 6 + 2 - 42 = 10 - 2 + 42 - 6 + 2 - 4210 - 2 + 42 - 6 + 2 - 42

como el (-2) y el (+2) el (-42) y (+42) se simplifica, como el (-2) y el (+2) el (-42) y (+42) se simplifica, nos queda:nos queda: = 10 - 6 = 4= 10 - 6 = 4

OPERACIONES CON FRACCIONES.OPERACIONES CON FRACCIONES.

1.- Suma de fracciones.1.- Suma de fracciones.Para sumar dos fracciones, 1º se determina el común Para sumar dos fracciones, 1º se determina el común denominador, 2º se expresa cada fracción en términos denominador, 2º se expresa cada fracción en términos del mínimo común denominador, y 3º se suman los del mínimo común denominador, y 3º se suman los numeradores y se divide la suma entre el común numeradores y se divide la suma entre el común denominador.denominador.Ejemplo:Ejemplo: a) 3/4 +1/5 = 15+4 / 20 = 19/20a) 3/4 +1/5 = 15+4 / 20 = 19/20 b) 4/3 + 1/2 + 3/4 = 16/12+6/12+9/12 = 33/12b) 4/3 + 1/2 + 3/4 = 16/12+6/12+9/12 = 33/12 c) a/b +c/d = a d / b d + c b / b d c) a/b +c/d = a d / b d + c b / b d

2.- Multiplicación de fracciones.2.- Multiplicación de fracciones.Para multiplicar dos fracciones, se multiplican entre si Para multiplicar dos fracciones, se multiplican entre si los numeradores y se divide este resultado entre el los numeradores y se divide este resultado entre el producto de los denominadores.producto de los denominadores.

Ejemplo. a) 2/5 . (3/4) = 6/20Ejemplo. a) 2/5 . (3/4) = 6/20 b) 3/2 . (-5/6) = - 15/12b) 3/2 . (-5/6) = - 15/12

3.- División de fracciones.3.- División de fracciones.Para dividir dos fracciones, se multiplica la primera por la Para dividir dos fracciones, se multiplica la primera por la segunda invertida.segunda invertida.Ejemplo: a) 3/4 : 5/2 = 3/4 . 2/5 = 6/20Ejemplo: a) 3/4 : 5/2 = 3/4 . 2/5 = 6/20O también, se multiplica el numerador de la primera por el O también, se multiplica el numerador de la primera por el denominador de la segunda y se divide este producto por denominador de la segunda y se divide este producto por el producto del denominador de la primera por el el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda.numerador de la segunda.

4.- Cambiar una fracción por su equivalente decimal.4.- Cambiar una fracción por su equivalente decimal.Para convertir una fracción en decimal, se realiza la Para convertir una fracción en decimal, se realiza la división indicada, redondeando al número necesario de división indicada, redondeando al número necesario de cifras( generalmente a dos dígitos).cifras( generalmente a dos dígitos).Ejemplo: 5/6 = 0,83Ejemplo: 5/6 = 0,83

5.- Multiplicar un entero por una fracción.5.- Multiplicar un entero por una fracción.Para multiplicar un entero por una fracción, se Para multiplicar un entero por una fracción, se multiplica el entero por el numerador de la fracción y multiplica el entero por el numerador de la fracción y se divide este producto entre el denominador.se divide este producto entre el denominador.Ejemplo: 4/7 . (3) = 12/7Ejemplo: 4/7 . (3) = 12/7

6.- Cambiar un decimal por un porcentaje.6.- Cambiar un decimal por un porcentaje.Para convertir una fracción decimal en un porcentaje, Para convertir una fracción decimal en un porcentaje, se multiplica la fracción decimal por 100.se multiplica la fracción decimal por 100.Ejemplo: 5/6 = 0,83 Ejemplo: 5/6 = 0,83 0,83 x 100 = 83 % 0,83 x 100 = 83 % 7.- Cancelación.7.- Cancelación.Al multiplicar varias fracciones entre si, podemos Al multiplicar varias fracciones entre si, podemos cancelar los factores en el numerador y denominador.cancelar los factores en el numerador y denominador.Ejemplo: 4/3 . (12/8) . (10/5) . 7/5 = Ejemplo: 4/3 . (12/8) . (10/5) . 7/5 = = 1 . (2) . (2) 7/5 = 28/5= 1 . (2) . (2) 7/5 = 28/5

OPERACIONES CON EXPONENTES.OPERACIONES CON EXPONENTES.

1.- Multiplicación de un número por si mismo N veces.1.- Multiplicación de un número por si mismo N veces.Ejemplo: Ejemplo: 3 =(3).(3)……(3)..............(3) 3 =(3).(3)……(3)..............(3) lo multiplicamos lo multiplicamos

por si mismo N veces. por si mismo N veces. Un número al cuadradoUn número al cuadradoEjemplo: 5² = 5 . (5) = 25Ejemplo: 5² = 5 . (5) = 25Un número al cubo.Un número al cubo.Ejemplo: 2³ = 2 . (2) .(2) = 8Ejemplo: 2³ = 2 . (2) .(2) = 8y así sucesivamente.y así sucesivamente.2.-Multiplicación de dos cantidades exponenciales con la 2.-Multiplicación de dos cantidades exponenciales con la

misma base.misma base.El producto de dos cantidades exponenciales con la El producto de dos cantidades exponenciales con la

misma base es la base elevada a la suma de los misma base es la base elevada a la suma de los exponentes.exponentes.

Ejemplo: (3)² .(3)³ = (3)² ³ = (3) = 243Ejemplo: (3)² .(3)³ = (3)² ³ = (3) = 243

NN

++ 55

3.-División de dos cantidades exponenciales con la 3.-División de dos cantidades exponenciales con la misma base.misma base.

El cociente de dos cantidades exponenciales con la El cociente de dos cantidades exponenciales con la misma base es la base elevada a la resta del exponente misma base es la base elevada a la resta del exponente en el numerador menos el exponente del denominador. en el numerador menos el exponente del denominador. Ejemplo: Ejemplo: (3) / (3) = (3) = (3)² = 9(3) / (3) = (3) = (3)² = 9

4.- Elevar una base a un exponente negativo.4.- Elevar una base a un exponente negativo.Una base elevada a un exponente negativo es igual a 1 Una base elevada a un exponente negativo es igual a 1 entre la base elevada al valor positivo del exponente.entre la base elevada al valor positivo del exponente.

Ejemplo: ( 3 ) = 1/(3)² = 1/9Ejemplo: ( 3 ) = 1/(3)² = 1/9

4466 6- 46- 4

- 2- 2

5.- Elevar un número o fracción a dos exponentes.5.- Elevar un número o fracción a dos exponentes.

Cuando tenemos una base elevada a dos exponentes es Cuando tenemos una base elevada a dos exponentes es igual a la base elevada al producto de los exponentes.igual a la base elevada al producto de los exponentes.

Ejemplo: a) [ ( 3 )² ]³ = (3) = 729Ejemplo: a) [ ( 3 )² ]³ = (3) = 729

b) [ (1/4)²]³ = (1/4 ) = 1/4096b) [ (1/4)²]³ = (1/4 ) = 1/4096

6.- Fracción elevada a exponente negativo.6.- Fracción elevada a exponente negativo.

Cuando tenemos una fracción elevada a exponente Cuando tenemos una fracción elevada a exponente negativo, se transforma en potencia positiva negativo, se transforma en potencia positiva invirtiendo la base.invirtiendo la base.

Ejemplo: (3/5) = ( 5/3) ² = 25/9Ejemplo: (3/5) = ( 5/3) ² = 25/9

66

66

- 2- 2

FACTORIZACIONFACTORIZACION

Al factorizar una expresión algebraica, intentamos reducir Al factorizar una expresión algebraica, intentamos reducir la expresión a los componentes más sencillos tales que al la expresión a los componentes más sencillos tales que al ser multiplicados entre sí dan la expresión original. ser multiplicados entre sí dan la expresión original. Ejemplos:Ejemplos:a b c - 2 a b = a b ( c - 2)a b c - 2 a b = a b ( c - 2)

a b c + ad +a g = a ( b c + d + g)a b c + ad +a g = a ( b c + d + g)

a² + b a² c - a² d e = a² ( 1 + b c - de )a² + b a² c - a² d e = a² ( 1 + b c - de )

2x + 4xy - 8 xyz + 4xm = 2x( 1+2y-4yz+2m)2x + 4xy - 8 xyz + 4xm = 2x( 1+2y-4yz+2m)

a² + 2ab + b² = ( a + b)²a² + 2ab + b² = ( a + b)²

ECUACIONES.ECUACIONES.

Las ecuaciones la enunciamos como A = B, donde A Las ecuaciones la enunciamos como A = B, donde A se llama miembro izquierdo y B miembro derecho de la se llama miembro izquierdo y B miembro derecho de la ecuación.ecuación.Al resolver ecuaciones con una incógnita, la idea básica Al resolver ecuaciones con una incógnita, la idea básica es dejar la incógnita de un lado de la ecuación y reducir es dejar la incógnita de un lado de la ecuación y reducir el otro lado a su menor valor posible. Para esto el otro lado a su menor valor posible. Para esto utilizamos el principio de que la ecuación seguirá siendo utilizamos el principio de que la ecuación seguirá siendo una igualdad si todo lo que hagamos a un lado de la una igualdad si todo lo que hagamos a un lado de la ecuación lo hacemos también al otro lado. Así por ecuación lo hacemos también al otro lado. Así por ejemplo, la ecuación sigue siendo una igualdad si ejemplo, la ecuación sigue siendo una igualdad si sumamos el mismo número a ambos lados.sumamos el mismo número a ambos lados.Para resolver una ecuación, modificamos ésta, Para resolver una ecuación, modificamos ésta, sumando, restando, multiplicando, dividiendo, elevando sumando, restando, multiplicando, dividiendo, elevando al cuadrado, etc. de modo que la incógnita quede al cuadrado, etc. de modo que la incógnita quede despejado de un lado de la ecuación. despejado de un lado de la ecuación.

Esto es válido siempre que se realice la misma operación Esto es válido siempre que se realice la misma operación en ambos lados de la ecuación, con lo cual se mantiene la en ambos lados de la ecuación, con lo cual se mantiene la igualdad.igualdad.Una ecuación con una incógnita se dice de primer grado o Una ecuación con una incógnita se dice de primer grado o lineal, cuando el mayor grado con que figura la incógnita lineal, cuando el mayor grado con que figura la incógnita es el primero. Así por ejemplo:es el primero. Así por ejemplo: 4 x + 5 = 34 x + 5 = 3Es una ecuación de primer grado, pues la incógnita “x” Es una ecuación de primer grado, pues la incógnita “x” figura únicamente elevada a la primer potencia.figura únicamente elevada a la primer potencia.

Los términos en que no figura la incógnita se llaman Los términos en que no figura la incógnita se llaman “independientes”; pasándolos todos a un miembro y “independientes”; pasándolos todos a un miembro y efectuando las operaciones indicadas, puede reducirse a efectuando las operaciones indicadas, puede reducirse a un solo término. En nuestro ejemplo, los términos un solo término. En nuestro ejemplo, los términos independientes son el 3 y el 5. Pasando el 5 y el 3 al independientes son el 3 y el 5. Pasando el 5 y el 3 al segundo miembro, nos queda:segundo miembro, nos queda: 4x = 3 - 5 despejamos x4x = 3 - 5 despejamos x x = - 2/4 x = - 2/4 - 1/2 - 1/2

Veamos otros ejemplos:Veamos otros ejemplos: a) 12 = x - 3a) 12 = x - 3 12 + 3 = x12 + 3 = x x = 15x = 15

b) 2 y + 4 = 10b) 2 y + 4 = 10 2 y = 10 - 42 y = 10 - 4 y = 6/2y = 6/2 y = 3y = 3

EJERCICIOSEJERCICIOS1) 4 ( x + 1) = 3 ............Rpta: x = 1) 4 ( x + 1) = 3 ............Rpta: x = 1/41/42) x + x + 1 + x + 4 = 9x - 1 ...............Rpta: x = 12) x + x + 1 + x + 4 = 9x - 1 ...............Rpta: x = 13) 2x + 14 - 9x = 6x - 12 ..........Rpta: x = 23) 2x + 14 - 9x = 6x - 12 ..........Rpta: x = 24) 8x - 3 = 4 x - 2 ......Rpta: x = 1/44) 8x - 3 = 4 x - 2 ......Rpta: x = 1/45) 5 x = 7/2 x + 15 ........Rpta: x =105) 5 x = 7/2 x + 15 ........Rpta: x =10

FUNCIONES.FUNCIONES.Cuando a cada valor posible de una variable X le Cuando a cada valor posible de una variable X le corresponde una o más valores de otra variable Y, corresponde una o más valores de otra variable Y, decimos que Y es función de X y la escribimos como Y = decimos que Y es función de X y la escribimos como Y = F (X).- La variable X se la llama variable “independiente” F (X).- La variable X se la llama variable “independiente” y a la variable Y “dependiente”. y a la variable Y “dependiente”. La dependencia funcional de las variables a veces se La dependencia funcional de las variables a veces se anotan en una tabla, sin embargo podemos también anotan en una tabla, sin embargo podemos también indicarlas por medio de una ecuación que conecta ambas indicarlas por medio de una ecuación que conecta ambas variables. variables. Por ejemplo: Y = 4 X - 2Por ejemplo: Y = 4 X - 2

donde vemos que los valores de Y, depende de los donde vemos que los valores de Y, depende de los valores que toma la variable X. Vemos que en este caso Y valores que toma la variable X. Vemos que en este caso Y = F (X) y si la variable X toma el valor 2, entonces la = F (X) y si la variable X toma el valor 2, entonces la variable Y vale 6.variable Y vale 6.

COORDENADAS RECTANGULARES.COORDENADAS RECTANGULARES.Si consideramos dos rectas perpendiculares, llamadas Si consideramos dos rectas perpendiculares, llamadas ejes cartesianos ortogonales, donde el eje horizontal X ejes cartesianos ortogonales, donde el eje horizontal X se llama abscisa y el eje vertical Y se llama ordenada, se llama abscisa y el eje vertical Y se llama ordenada, que se cortan en un punto cuyo valor es 0; el plano que que se cortan en un punto cuyo valor es 0; el plano que determinan se llama plano XY y observamos cuatro determinan se llama plano XY y observamos cuatro cuadrantes el I, II, III ,IV. Entonces seríacuadrantes el I, II, III ,IV. Entonces sería

II

IIIIII

IIII

IVIV

- Y- Y

YY

- X- X XX

Los signos de cada cuadrante serán:Los signos de cada cuadrante serán: (+ ; +) ( - ; + ) ( - ; - ) ( + ; - )(+ ; +) ( - ; + ) ( - ; - ) ( + ; - )

donde los pares de valores son (X;Y). Las coordenadas donde los pares de valores son (X;Y). Las coordenadas de un punto en el plano serán por ejemplo: ( 1 ; 3 ) ; de un punto en el plano serán por ejemplo: ( 1 ; 3 ) ; ( -2 ; 4 ) ( - 2 ; - 4 ) ; ( 3 ; - 3 ), etc.. ( -2 ; 4 ) ( - 2 ; - 4 ) ; ( 3 ; - 3 ), etc..

3; - 33; - 3- 2; - 4- 2; - 4

- 2; 4- 2; 4 1; 31; 3

00

REDONDEO DEREDONDEO DE

DATOS DATOS NUMÉRICOSNUMÉRICOS

El resultado de redondear un dato como 41,8 en unidades El resultado de redondear un dato como 41,8 en unidades es 42, puesto que 41,8 esta más próximo a 42 que a 41. es 42, puesto que 41,8 esta más próximo a 42 que a 41. Análogamente, si tenemos por ejemplo 25,8246 se Análogamente, si tenemos por ejemplo 25,8246 se redondea en centésimas, es decir a dos decimales a redondea en centésimas, es decir a dos decimales a 25,82 porque el número 25,8246 está más cerca de 25,82 25,82 porque el número 25,8246 está más cerca de 25,82 que de 25,83. Al redondear por ejemplo 32,465 en que de 25,83. Al redondear por ejemplo 32,465 en centésimas nos hallamos ante un problema ya que está centésimas nos hallamos ante un problema ya que está equidistante de 32,46 y de 32,47.equidistante de 32,46 y de 32,47.

Para estos casos se adopta redondear al entero par que Para estos casos se adopta redondear al entero par que precede al 5. De esta manera entonces el número precede al 5. De esta manera entonces el número planteado redondeado será 32,46.planteado redondeado será 32,46.

Si tenemos el número 243,375 se redondea a dos Si tenemos el número 243,375 se redondea a dos decimales como 243,38. Este procedimiento es decimales como 243,38. Este procedimiento es particularmente muy útil para minimizar los errores de particularmente muy útil para minimizar los errores de redondeo acumulados, cuando se efectúa un gran redondeo acumulados, cuando se efectúa un gran número de operaciones, e incluso cuando calculamos número de operaciones, e incluso cuando calculamos medidas estadísticas de la estadística descriptiva e medidas estadísticas de la estadística descriptiva e inferencial.inferencial.

Veamos algunos ejemplos:Veamos algunos ejemplos:

36,6 (unidades) = 3736,6 (unidades) = 37

2,484 (centésimas) = 2,482,484 (centésimas) = 2,48

243,5 (unidades) =244243,5 (unidades) =244

0,0235 (milésima) = 0,0240,0235 (milésima) = 0,024

2,50001 (unidades) = 32,50001 (unidades) = 3

143,95 (unidades) = 144143,95 (unidades) = 144

4,36501 (centésimas) = 4,374,36501 (centésimas) = 4,37

168,3 (unidades) = 168168,3 (unidades) = 168

54,448 (unidades) = 5454,448 (unidades) = 54

4,46500 (centésimas) =4,474,46500 (centésimas) =4,47

SIGNO DE

SUMACION(SUMATORIA)

En todo el análisis estadístico se trabaja En todo el análisis estadístico se trabaja frecuentemente con suma de números y necesitaremos frecuentemente con suma de números y necesitaremos símbolos matemáticos para indicar estas sumas.símbolos matemáticos para indicar estas sumas.En Estadística para representar una cantidad En Estadística para representar una cantidad utilizamos las letras x, y, z.............., y que sirven para utilizamos las letras x, y, z.............., y que sirven para identificar la variable que estamos estudiando. Por identificar la variable que estamos estudiando. Por ejemplo X indica el peso en Kilogramos de los alumnos ejemplo X indica el peso en Kilogramos de los alumnos de este curso.-de este curso.-Otro símbolo muy utilizado es el N para indicar el Otro símbolo muy utilizado es el N para indicar el número de observaciones que estamos tratando. Si número de observaciones que estamos tratando. Si estamos analizando estadísticamente la Edad de los estamos analizando estadísticamente la Edad de los alumnos de este curso, evidentemente N será igual a alumnos de este curso, evidentemente N será igual a 100 alumnos. Es decir que:100 alumnos. Es decir que: N = 100alumnos.-N = 100alumnos.-

Cuando queremos identificar o modificar un valor Cuando queremos identificar o modificar un valor numérico, para identificarlo con precisión empleamos numérico, para identificarlo con precisión empleamos generalmente subíndices. Por lo tanto si se tiene una generalmente subíndices. Por lo tanto si se tiene una serie de resultados u observaciones, podemos serie de resultados u observaciones, podemos identificarlos conidentificarlos con

Resumimos esta serie de datos anotando XResumimos esta serie de datos anotando Xii donde el donde el subíndice i puede tomar los valores que nosotros subíndice i puede tomar los valores que nosotros deseemos.deseemos.El símbolo de El símbolo de (sigma mayúscula, del abecedario (sigma mayúscula, del abecedario griego) nos indica que debemos sumar. Se registra con griego) nos indica que debemos sumar. Se registra con subíndices arriba y abajo del símbolo subíndices arriba y abajo del símbolo cuales son los cuales son los valores que queremos sumar.valores que queremos sumar.

.........................321 XXX

Por ejemplo, si tenemos los siguientes valores y Por ejemplo, si tenemos los siguientes valores y deseamos sumarlos:deseamos sumarlos:

XXXXXXXX 87654321

8

1iiX

XXXXXXi

i 84321

8

1

....................

Me indica que debemos sumar los valores donde el Me indica que debemos sumar los valores donde el subíndice toma desde el valor 1 hasta el 8.- subíndice toma desde el valor 1 hasta el 8.-

EntoncesEntoncesEn algunas oportunidades nos interesa parcialmente En algunas oportunidades nos interesa parcialmente esta suma, supongamos querer sumar solo el tercer, esta suma, supongamos querer sumar solo el tercer, cuarto y quinto valor, entonces expresamos:cuarto y quinto valor, entonces expresamos:

XXXXi

i 543

5

3

Cuando la sumatoria se realiza con todos los datos (de Cuando la sumatoria se realiza con todos los datos (de 1 a N), es frecuente que la propia expresión de esta 1 a N), es frecuente que la propia expresión de esta operación se abrevie, omitiendo las notaciones operación se abrevie, omitiendo las notaciones arriba y abajo del signo de la suma, al igual que el arriba y abajo del signo de la suma, al igual que el subíndice “i”.- Así:subíndice “i”.- Así:

X abrevia se 1

N

iiX

Como la sumatoria me indica una operación matemática, se sabe que Como la sumatoria me indica una operación matemática, se sabe que estas se rigen por una serie de reglas. Mediante un ejemplo veamos estas se rigen por una serie de reglas. Mediante un ejemplo veamos algunas de estas reglas.algunas de estas reglas.

Si N = 5, indica que tendremos cinco datos, por ejemplo:Si N = 5, indica que tendremos cinco datos, por ejemplo:

3,6,1,4,254321 XXXXX

1.- Sea A una constante, que debemos por ejemplo, sumar 3 veces1.- Sea A una constante, que debemos por ejemplo, sumar 3 veces

A 3 3

1

A

Luego generalizando seráLuego generalizando será

N

i

ANA1

“ “La suma de una constante es igual a N veces la constante” La suma de una constante es igual a N veces la constante”

2) Si A es una constante y expresamos2) Si A es una constante y expresamos Σ ( XΣ ( Xii ± A) ± A)

la sumatoria es distributiva respecto a la suma y la la sumatoria es distributiva respecto a la suma y la diferencia, entoncesdiferencia, entonces

GeneralizandoGeneralizando

““La sumatoria de una variable más menos una La sumatoria de una variable más menos una constante es igual a la sumatoria de la variable más constante es igual a la sumatoria de la variable más menos N veces la constante”menos N veces la constante”

AAAi

iii i

ii XXX 55

1

5

1

5

1

5

1

ANAN

ii

N

ii XX

11

3) Si A es un valor constante y expresamos3) Si A es un valor constante y expresamos

Como el valor A es constante y no esta afectado Como el valor A es constante y no esta afectado por la sumatoria, podemos sacarla fuera de la por la sumatoria, podemos sacarla fuera de la sumatoria.sumatoria.Generalizando:Generalizando:

““La sumatoria de una constante por una La sumatoria de una constante por una variable es igual a la constante por la sumatoria variable es igual a la constante por la sumatoria de la variable”de la variable” Idéntico caso es para cuando tenemos la Idéntico caso es para cuando tenemos la situación de la división.situación de la división.

5

1

5

1 iii

iXX AA

N

ii

N

ii XX AA

11

4)Si tenemos dos variables X4)Si tenemos dos variables Xii, Y, Yi i donde en ambas el donde en ambas el subíndice i varía de 1 a 5 y expresamos por subíndice i varía de 1 a 5 y expresamos por propiedad distributiva serápropiedad distributiva será

5

1iii YX

N

ii

N

ii

N

iii YXYX

111

5

1

5

1

5

1

5

1 ii

ii

ii

ii YXYX

Generalizando, tenemosGeneralizando, tenemos

““La sumatoria de la suma de dos variables es igual a la La sumatoria de la suma de dos variables es igual a la suma de la sumatoria de cada variable”suma de la sumatoria de cada variable”

Existe dos tipos de sumatoria que veremos con Existe dos tipos de sumatoria que veremos con frecuencia en estadística.frecuencia en estadística. Estas son: Estas son:

x² y (x² y ( x)² x)²

Aunque se parecen, son diferentes y en general Aunque se parecen, son diferentes y en general proporcionan diferentes respuestas.proporcionan diferentes respuestas.El símbolo El símbolo x² (suma de los cuadrados de los x² (suma de los cuadrados de los datos), indica que primero debemos elevar al datos), indica que primero debemos elevar al cuadrado cada uno de los datos “x” y luego cuadrado cada uno de los datos “x” y luego sumarlos.sumarlos.El símbolo (El símbolo ( x)² o el cuadrado de la suma de los x)² o el cuadrado de la suma de los datos ”x” y luego elevar al cuadrado la suma datos ”x” y luego elevar al cuadrado la suma resultante.resultante.

Veamos un ejemplo: dado los siguientes valoresVeamos un ejemplo: dado los siguientes valores

En cambio:En cambio:

Observamos de esta manera que Observamos de esta manera que x² y ( x² y ( x)² x)² son muy distintas 246 son muy distintas 246 1156. 1156.La confusión de estas dos sumatoria es un error muy La confusión de estas dos sumatoria es un error muy común entre el alumnado.común entre el alumnado.

1156 3498764222

x

9 8 7 6 4 xxxxx 54321

246 8164493616

................ 98764222222

5

2

2

2

1

2

xxxx

EJERCICIOSEJERCICIOS

Supongamos tener la siguiente serie de Supongamos tener la siguiente serie de datdatos:

20....6...9

12....10..

..7....2....4....1....3

1098

76

54321

XXXXX

XXXXX

10

1

)2i

iX

10

3

)3i

iX

4

1

2)4i

iX

6

1

2......)5i

iAdondeAX

6

1

)1i

iX

4....)610

1

AdondeAi

iX

3.......)75

1

AdondeAi

iX

4

1)8

2

iXi

6

1

2

2)9iX i

Exprese en sumatoria las siguientes expresiones:Exprese en sumatoria las siguientes expresiones:

XXXX 4321)1

.............................)263AA XX

XXX2

7

2

4

2

3................)3

...............................)41021 XXX AAA

.................)510765AAAA XXXX

EL SIGNO DE EL SIGNO DE SUMACION EN SUMACION EN

TABLAS DE DOBLE TABLAS DE DOBLE ENTRADA.-ENTRADA.-

Hemos visto la sumatoria en lo que llamamos una serie Hemos visto la sumatoria en lo que llamamos una serie simple de datos.- Por ejemplo, si tenemos los años de simple de datos.- Por ejemplo, si tenemos los años de antigüedad de seis casas; antigüedad de seis casas;

12 12 9 10 8 6 xxxxxx 654321

La suma de los años de antigüedad será:La suma de los años de antigüedad será:

6

1

5712129186xi

i

Llamamos cuadro de doble entrada, cuando para leer Llamamos cuadro de doble entrada, cuando para leer un número en la tabla debemos leer la fila y la columna un número en la tabla debemos leer la fila y la columna correspondiente.- En estos casos los valores X llevan correspondiente.- En estos casos los valores X llevan dos subíndices (i; j), donde (i) me indica la fila y (j) la dos subíndices (i; j), donde (i) me indica la fila y (j) la columna.-columna.-Por ejemplo si i= 1,2,3,4 y j = 1,2 tendremos la Por ejemplo si i= 1,2,3,4 y j = 1,2 tendremos la siguiente tabla de doble entrada:siguiente tabla de doble entrada:

jj ii

11 22 TotalTotal

11 XX1111 XX1212

22 XX2121 XX2222

33 XX3131 XX3232

44 XX4141 XX4242

TotalTotal

Se desea expresar en sumatoria el total de la primer Se desea expresar en sumatoria el total de la primer fila:fila:

Si deseamos expresar en sumatoria la suma de la Si deseamos expresar en sumatoria la suma de la segunda columna, será;segunda columna, será;

Si deseamos el total general, debemos hacer variar el Si deseamos el total general, debemos hacer variar el subíndice (i) y el subíndice (j), y en este caso debemos subíndice (i) y el subíndice (j), y en este caso debemos expresar dos sumatorias, una para cada subíndice:expresar dos sumatorias, una para cada subíndice:

XXX 1211

2

11

j

j

XXXXX 42322212

4

1ii2

4

1i

2

1jXij

Para resolver estas dos sumatoria, primero Para resolver estas dos sumatoria, primero desarrollamos la más cercana a la variable X, luego desarrollamos la más cercana a la variable X, luego aplicamos la propiedad distributiva de sumatoria y aplicamos la propiedad distributiva de sumatoria y desarrollamos las sumatorias, sería;desarrollamos las sumatorias, sería;

=X=X1111 + X + X2121 + X + X3131 + X + X41 41 + X+ X1212 + X + X2222 + X + X3232 +X +X4242

Veamos un ejemplo numérico.- Supongamos tener una Veamos un ejemplo numérico.- Supongamos tener una muestra de cantidad de viviendas por planta y barrios muestra de cantidad de viviendas por planta y barrios de una ciudad .- Entonces Xde una ciudad .- Entonces Xijij :cantidad de viviendas :cantidad de viviendas del barrio i de planta j.- Observamos que la variación del barrio i de planta j.- Observamos que la variación de ambos subíndices son:de ambos subíndices son: I = 1,2,3,4,5,6,7,8,9 j= 1,2I = 1,2,3,4,5,6,7,8,9 j= 1,2Entonces:Entonces:

4

1ii2

4

iii1

4

121 XXXX

iii

1.- Una planta1.- Una planta 2.- Dos plantas2.- Dos plantas TotalTotal

11 88 1010 1818

22 55 88 1313

33 1010 1414 2424

44 1313 1616 2929

55 1818 2222 4040

66 1111 1616 2727

77 2020 2525 4545

88 99 1313 2222

99 1616 1818 3434

TotalTotal 110110 142142 252252

Si deseamos desarrollar el contenido de esta Si deseamos desarrollar el contenido de esta tabla en términos de sumatoria, sería:tabla en términos de sumatoria, sería: XX4141 = cantidad de viviendas que son del barrio 4 = cantidad de viviendas que son del barrio 4 y de una planta.-y de una planta.- XXii22 Cantidad de viviendas que son de dos Cantidad de viviendas que son de dos plantas.-plantas.- XX2j2j Cantidad de viviendas que son del barrio Cantidad de viviendas que son del barrio 2.- 2.- X X i ji j Total de viviendas de la muestra.-Total de viviendas de la muestra.- i ji jEscriba y desarrolle la sumatoria que me da el Escriba y desarrolle la sumatoria que me da el total de viviendas de dos plantas.-.-total de viviendas de dos plantas.-.-Escriba y desarrolle la sumatoria que me da el Escriba y desarrolle la sumatoria que me da el total de viviendas del barrio 3.-total de viviendas del barrio 3.-

42111813XXXX 615141

6

41i

i

Escriba y desarrolle la sumatoria que me da el Escriba y desarrolle la sumatoria que me da el total de viviendas de la muestra.-total de viviendas de la muestra.-También podemos hacer sumas parciales.- Por También podemos hacer sumas parciales.- Por ejemplo, total de viviendas de una planta que ejemplo, total de viviendas de una planta que hay entre el barrio 4 y 6.-hay entre el barrio 4 y 6.-

EJERCICIOSEJERCICIOSEJERCICIOSEJERCICIOS

1) -6 + 4 - 2 + 8 - 1 - 10 Resp: - 7 1) -6 + 4 - 2 + 8 - 1 - 10 Resp: - 7

2)2) 5 + (3*2) + 1 - (7*3) + ( 4/2) Resp: - 7 5 + (3*2) + 1 - (7*3) + ( 4/2) Resp: - 7

3) 3) 22 (-2) - (-2) - - (-1) + - (-1) + - 5 * 2 – 8 + ( - 7- 5 ) - 3 * (-2) - 5 * 2 – 8 + ( - 7- 5 ) - 3 * (-2) - 4 * (- 1) - 4 * (- 1)

Rpta: +15Rpta: +15

44 - 3 + ( -6) - ( -4) + 2- 3 + ( -6) - ( -4) + 2² Rpta.: 9² Rpta.: 9

5) 1/5 - ( 2/3*4/2) + 1/2 - (4/3 - 2/15) 5) 1/5 - ( 2/3*4/2) + 1/2 - (4/3 - 2/15) Resp: - 11/6 Resp: - 11/6

6) 1/3 * (3/4 - 1/2) + 5/3 - ( - 3/2 + 1/6) - 1/8 6) 1/3 * (3/4 - 1/2) + 5/3 - ( - 3/2 + 1/6) - 1/8 Resp: 71/24 Resp: 71/24

16- :Rpta 5 - (-2) : (-32) 2*3 13

88- :Rpta 3236 : 8 1323)-(1232

7) 1/6 : 4/57) 1/6 : 4/5

8)8) 5 * (-2) + 4 – 2 + ( - 2 * 3) – (- 8 - 2) + 2 * ( -3) 5 * (-2) + 4 – 2 + ( - 2 * 3) – (- 8 - 2) + 2 * ( -3) Resp: - 10Resp: - 10

10)10)

11)11)

9)9)

1/ 2 + (3/4 * 1/2) - (- 5/2 + 1/4 ) + (1/2 + 3/5* 2) 1/ 2 + (3/4 * 1/2) - (- 5/2 + 1/4 ) + (1/2 + 3/5* 2) Resp: 193/40 Resp: 193/40

12)12) 3x - 2 = x + 6 Resp: x = 4 3x - 2 = x + 6 Resp: x = 4 13) 5 - 1/3 x = 2 x + 19 Resp: X = - 613) 5 - 1/3 x = 2 x + 19 Resp: X = - 6 14)14) 1/2 ( x + 3) = 1/3 x - 5 Resp: - 391/2 ( x + 3) = 1/3 x - 5 Resp: - 39

15) 2 x + 14 - 9 x = x - 3 Resp: X = - 2 15) 2 x + 14 - 9 x = x - 3 Resp: X = - 2 16) ( 5 x - 3) * 2 = x - 3 Rpta: x = 1/316) ( 5 x - 3) * 2 = x - 3 Rpta: x = 1/3

17) Para cada uno de los siguientes conjuntos de datos 17) Para cada uno de los siguientes conjuntos de datos determine determine X Xii.. a) 2 4 5 7a) 2 4 5 7 b) 2.1 3.2 3.6 5.0 7.2b) 2.1 3.2 3.6 5.0 7.2 c) 11 14 18 22 25 28 30c) 11 14 18 22 25 28 30 d) 110 112 115 120 133d) 110 112 115 120 133

18) Determine los valores de las siguientes expresiones:18) Determine los valores de las siguientes expresiones:

12 3 2 7 5 9 6 4 xxxxxxxx 87654321

a) a) XXii b) b) XXii c) c) X X²²ii d) d) (X (Xi i +2)+2)55

11

77

33 55 11

88 88

19)En un experimento que mide los tiempos de reacción 19)En un experimento que mide los tiempos de reacción de ocho sujetos, se obtuvieron los siguientes datos en de ocho sujetos, se obtuvieron los siguientes datos en milisegundos:milisegundos:

SujetosSujetos Tiempo de reacciónTiempo de reacción

11 250250

22 378378

33 451451

44 275275

55 225225

66 430430

77 325325

88 334334

a)a)Si X representa la variable de tiempo de reacción, Si X representa la variable de tiempo de reacción, asigne a cada dato un símbolo Xasigne a cada dato un símbolo Xii, adecuado., adecuado.b)b) Calcule Calcule X para estos datos. X para estos datos.

20) Represente cada una de las siguientes expresiones 20) Represente cada una de las siguientes expresiones mediante la notación de sumatoria. Suponga que el mediante la notación de sumatoria. Suponga que el número de datos es 10.número de datos es 10.

xxxx

xxx

xxx

xxx

5432

2

4

2

3

2

2

31

1021

d)

c)

b)

.................... a)

z

21) Para cada uno de los conjuntos de datos, de los 21) Para cada uno de los conjuntos de datos, de los problemas 17.a) y 17.b), muestre que:problemas 17.a) y 17.b), muestre que:

X² X² ( ( X)²X)²

22) Con los datos dado en el ejercicio Nº 18, calcule las 22) Con los datos dado en el ejercicio Nº 18, calcule las siguientes expresiones:siguientes expresiones: a) a) (X (Xii + 2) b) + 2) b) (X (Xi i - 3) - 3) c) c) (2 *X (2 *Xii) d) ) d) (X (Xii/2)/2)23)Resolver:23)Resolver:¿Que valor tomará un sueldo docente que gana 450$ si ¿Que valor tomará un sueldo docente que gana 450$ si se decide incrementar el mismo un 7%?se decide incrementar el mismo un 7%?¿Que valor tomara si se decide disminuir su sueldo un ¿Que valor tomara si se decide disminuir su sueldo un 7%?7%?¿Si al valor obtenido al incrementar el sueldo un 7%, se ¿Si al valor obtenido al incrementar el sueldo un 7%, se le disminuye ese mismo 7%, se obtendrá la misma le disminuye ese mismo 7%, se obtendrá la misma cantidad original de sueldo? Razone la respuesta.cantidad original de sueldo? Razone la respuesta.

24)24)Dado los siguientes datos:Dado los siguientes datos:

XX11 = 3 X = 3 X2 2 = 5 X= 5 X33 = 2 X = 2 X44 =1 X =1 X55 = 4 X = 4 X66 =7 =7

CC11 =1 C =1 C2 2 =2 C =2 C33 = 4 C = 4 C44 = 5 C = 5 C55 = 2 C = 2 C66 = 3 = 3

Además A = 2 B 1/2Además A = 2 B 1/2

a) a) X Xii * C * Cii

b) b) (X (Xii + C + Cii)) c) c) X Xii*C*Ci i * A * A d) d) (C (Cii - A)² * X - A)² * Xii

e) e) X X ii* C* Cii * B * B f) f) (X (Xii - A)² * C - A)² * Cii *B *B g) g) C Cii² * X² * Xii - 8 - 8

25) Se realizó un estudio en cinco manzanas de cada 25) Se realizó un estudio en cinco manzanas de cada uno de los barrios de una cierta ciudad.- Se determino la uno de los barrios de una cierta ciudad.- Se determino la cantidad de Jefes de Hogares según el tipo de trabajo cantidad de Jefes de Hogares según el tipo de trabajo que tienen.- Los resultados fueron:que tienen.- Los resultados fueron:

ADM.ADM.PUBLICAPUBLICA

COMERCIOCOMERCIO INDUSTRIAINDUSTRIA TRABAJOTRABAJOINDEPEND.INDEPEND.

OTROSOTROS

AA 3232 1010 22 1313 66

BB 2828 99 1010 1010 99

CC 1717 77 1212 66 55

DD 3838 1212 1010 88 22

EE 2626 1616 99 1212 22

a)a)Elabore el mismo cuadro con simbología.-Elabore el mismo cuadro con simbología.-b)b)Complete el cuadro con los totales que calculará Complete el cuadro con los totales que calculará usando la simbología de sumatoria.-usando la simbología de sumatoria.-c)c)Exprese en sumatoria, desarrolle y calcule el total de Exprese en sumatoria, desarrolle y calcule el total de Jefes de Hogares que trabajan en la Industria.-Jefes de Hogares que trabajan en la Industria.-d)d)Exprese en sumatoria, desarrolle y calcule el total de Exprese en sumatoria, desarrolle y calcule el total de Jefes de Hogares que hay en el barrio B.-Jefes de Hogares que hay en el barrio B.-e)e)Exprese en sumatoria, desarrolle y calcule el total de Exprese en sumatoria, desarrolle y calcule el total de Jefes de Hogares que trabajan en la Administración y en Jefes de Hogares que trabajan en la Administración y en el Comercio.-el Comercio.-f)f)Exprese en sumatoria, desarrolle y calcule el total de Exprese en sumatoria, desarrolle y calcule el total de jefes de Hogares que trabajan en la Administración jefes de Hogares que trabajan en la Administración Pública.-Pública.-g)g)Exprese en sumatoria, desarrolle y calcule el total Exprese en sumatoria, desarrolle y calcule el total general de Jefes de hogares que hay en la zona general de Jefes de hogares que hay en la zona estudiada.-estudiada.-