UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA FACULTAD DE INGENIERÍAFACULTAD DE INGENIERÍA

ÁREA DEPARTAMENTAL ÁREA DEPARTAMENTAL ELECTROTECNIAELECTROTECNIA

TEORÍA de CIRCUITOS ITEORÍA de CIRCUITOS I Año 2010Año 2010Clase IVClase IV

Ing. Eduardo Ariel Ing. Eduardo Ariel PonzanoPonzano

Jefe de Trabajos PrácticosJefe de Trabajos Prácticos

CuadripolosCuadripolosDefinición:Definición:

Configuración arbitraria de elementos de circuitos (comúnmente

llamada “Caja Negra”) accesibles a través de dos pares de terminales o “PUERTOS” (Entrada – Salida).

Sólo interesan en el análisis las tensiones y corrientes en los puertos de entrada y Sólo interesan en el análisis las tensiones y corrientes en los puertos de entrada y salidasalida, no los valores internos de esos parámetros

El problema se reduce a relacionar esas tensiones y corrientes, expresando El problema se reduce a relacionar esas tensiones y corrientes, expresando mediante dos ecuacionesmediante dos ecuaciones dos de tales variables (Dependientes) en función de las otras dos (Independientes).

Los coeficientes de las ecuaciones son los parámetros característicos del Los coeficientes de las ecuaciones son los parámetros característicos del cuadripolocuadripolo. Su significado físico y unidades de medida dependen de cuales variables se adopten como dependientes, y cuales como independientes.

Las convenciones para tensiones y corrientes en los puertos, son las que se Las convenciones para tensiones y corrientes en los puertos, son las que se muestran en la figuramuestran en la figura. Respetarlas permite generalizar el análisis y estandarizar las ecuaciones.

CUADRIPOLO

RestriccionesRestriccionesLa corriente que entra a un puerto debe ser igual a la que sale La corriente que entra a un puerto debe ser igual a la que sale del mismo (Idel mismo (I11 = - I = - I1’ 1’ e Ie I22 = - I = - I2’2’).).

En ausencia de excitación externa no hay energía almacenada En ausencia de excitación externa no hay energía almacenada en el cuadripolo.en el cuadripolo.

No existen fuentes independientes dentro del cuadripolo; sin No existen fuentes independientes dentro del cuadripolo; sin embargo, se permiten las fuentes dependientes.embargo, se permiten las fuentes dependientes.

Las soluciones planteadas son sólo válidas para régimen Las soluciones planteadas son sólo válidas para régimen permanente continuo o sinusoidal.permanente continuo o sinusoidal.

Todas las conexiones externas deben hacerse en el puerto de Todas las conexiones externas deben hacerse en el puerto de entrada y/o en el puerto de salida; entrada y/o en el puerto de salida; ninguna conexión se permite entre puertos. Los terminales de entrada sólo se vinculan con los de salida a través del cuadripolo.

Estas restricciones sólo limitan la gama de problemas a los cuales es aplicable el método de cuadripolos o circuitos de dos puertos. Es frecuente Es frecuente verificarlas en la prácticaverificarlas en la práctica.

ClasificaciónClasificación

Pasivos; Energíaentrada < Energíasalida

Activos; Energíaentrada puede ser > Energíasalida

Balanceados, poseen eje de simetría longitudinal.

Simétricos, poseen eje de simetría transversal.

Asimétricos, no poseen eje de simetría.

Por comportamientoPor comportamientoEnergéticoEnergético

Por topologíaPor topología

Ecuaciones PosiblesEcuaciones Posibles

Los coeficientes de las Los coeficientes de las variables independientes se variables independientes se

denominan “parámetros denominan “parámetros característicos” del característicos” del

cuadripolo.cuadripolo.

menos menos usadasusadas

Obtención de los Parámetros CaracterísticosObtención de los Parámetros CaracterísticosPuede realizarse de diferentes maneras:Puede realizarse de diferentes maneras:

Aplicando las definiciones de los parámetros a partir de medicionesAplicando las definiciones de los parámetros a partir de mediciones. Por ejemplo, para la matriz Z:

A través del conocimiento interno del cuadripoloA través del conocimiento interno del cuadripolo, en cuyo caso se caracteriza su comportamiento mediante un sistema de dos ecuaciones, cuyos coeficientes se comparan con los correspondientes a la definición de los parámetros.

Por equivalencia entre parámetrosPor equivalencia entre parámetros, dado que si se conoce un juego de parámetros, a partir de él puede deducirse cualquier otro.

Ecuaciones , Matrices y Modelos de CircuitosEcuaciones , Matrices y Modelos de Circuitos

Teorema de ReciprocidadTeorema de ReciprocidadUn cuadripolocuadripolo se dice recíprocorecíproco, si pueden intercambiarse la fuente de si pueden intercambiarse la fuente de tensión tensión (o corriente) idealideal y el amperímetro y el amperímetro (o voltímetro) idealideal, sin que ello sin que ello modifique la indicación del amperímetromodifique la indicación del amperímetro (o voltímetro):

Si el Si el cuadripolo es cuadripolo es recíprocorecíproco, se cumplen las siguientes condiciones , se cumplen las siguientes condiciones entre sus parámetros:entre sus parámetros:

Z12 = Z21

Y12 = Y21

a11a22 - a12a21 = 1b11b22 - b12b21 = 1

h12 = - h21

g12 = - g21

Por lo tanto, en un “cuadripolo recíproco”“cuadripolo recíproco” sólo hacen falta tres cálculos sólo hacen falta tres cálculos para determinar todos sus parámetrospara determinar todos sus parámetros.

Condición de SimetríaCondición de Simetría

Un cuadripolo recíproco es cuadripolo recíproco es simétricosimétrico, si es posible intercambiar sus si es posible intercambiar sus puertos puertos (Entrada por salida y salida por entrada) sin alterar las tensiones y corrientes sin alterar las tensiones y corrientes en cada uno de ellosen cada uno de ellos.

Se cumplen las siguientes relaciones adicionales relaciones adicionales entre sus parámetros:

Z11 = Z22

Y11 = Y22

a11 = a22

b11 = b22

- b12b21 = 1h11h22 - h12h21 = 1g11g22 - g12g21 = 1

 Por lo tanto, en un cuadripolo cuadripolo recíproco y simétricorecíproco y simétrico, sólo se requieren dos sólo se requieren dos cálculos para determinar todos sus parámetroscálculos para determinar todos sus parámetros.

Asociación de CuadripolosAsociación de Cuadripolos

Asociación de CuadripolosAsociación de Cuadripolos

Conversión de parámetrosConversión de parámetros

Pueden demostrarse las siguientes equivalencias entre parámetros:Pueden demostrarse las siguientes equivalencias entre parámetros:

Análisis del Cuadripolo CargadoAnálisis del Cuadripolo Cargado

Para hallar cada uno de ellos; usaremos en este ejemplo como sistema de ecuaciones del cuadripolo, su matriz Z

U1 = z11 I1+ z12 I2 (1)

U2 = z21 I1 + z22 I2 (2)

U1 = Eg - I1 Zg (3)

U2 = - I2 ZL (4) 

Impedancia de entrada Impedancia de entrada ZZee = U = U1 1 / I/ I11 Reemplazando (4) en (2) y despejando I2

- I2 ZL = z21 I1 + z22 I2 (5)

- I2 (ZL + z22) = z21 I1 (6)

I2 = - z21 I1 / (ZL + z22) (7)

Reemplazando (7) en (1) y despejando obtenemos Ze :

U1 = z11 I1+ z12 z21 I1 / (ZL + z22) (8)

U1 = I1 [z11 + z12 z21 / (ZL + z22)] (9)

ZZee =U =U11 / I / I1 1 = z= z1111 + z + z1212 z z2121 / (Z / (ZLL + z + z2222))(10)

Análisis del Cuadripolo CargadoAnálisis del Cuadripolo Cargado

Corriente de carga ICorriente de carga I22 Reemplazando (3) en (1) y despejando I1:

Eg - I1 Zg = z11 I1+ z12 I2 (9)

I1 (Zg + z11) = Eg - z12 I2 (10)

I1 = (Eg - z12 I2)/ (Zg + z11) (11)

Reemplazando (11) en (7) y se obtiene I2:

I2 = - z21 (Eg - z12 I2) / [(Zg + z11) (ZL + z22)] (12)

I2 [(Zg + z11) (ZL + z22)] = - z21 (Eg - z12 I2) (13)

I2 [(Zg + z11) (ZL + z22)] = - z21 Eg + z12 z21 I2 (14)

I2 [(Zg + z11) (ZL + z22) - z12 z21] = - z21 Eg (15)

 Finalmente:

II22 = - z = - z2121 E Egg / [(Z/ [(Zgg + + zz1111) (Z) (ZLL + z + z2222) - z) - z1212 z z2121]](16)

Análisis del Cuadripolo CargadoAnálisis del Cuadripolo Cargado

Análisis del Cuadripolo CargadoAnálisis del Cuadripolo Cargado

Análisis del Cuadripolo CargadoAnálisis del Cuadripolo Cargado

Ganancia de corriente IGanancia de corriente I22 / I / I1 1

Se la obtiene de (7):

II22 / I / I11 = - z = - z2121 / (Z / (ZLL + z + z2222)) (31)

 

Ganancia de tensión del cuadripolo UGanancia de tensión del cuadripolo U22 / U / U11

Despejando I2 de (4) y reemplazando el resultado en (2):

U2 = z21 I1 + z22 (- U2 / ZL) (32)  

Despejando I1 de (1) y reemplazando I2 por (- U2 / ZL) surge que:

z11 I1 = U1 + z12 (U2 / ZL) (33)

I1 = U1 / z11 + z12 U2 / (z11 ZL) (34)

Reemplazando la (34) en (32):

U2 = z21 [U1 / z11 + z12 U2 / (z11 ZL)] - z22 ( U2 / ZL) (35)

U2 [1- z21 z12 / (z11 ZL) + z22 ( U2 / ZL) ]= z21 U1 / z11 U2 [z11 ZL - z21 z12 + z11 z22 ] / (z11 ZL) = z21 U1 / z11 (36)

Despejando: 

UU2 2 / U/ U1 1 = z= z2121 Z ZLL / (z / (z1111 Z ZLL - z - z21 21 zz1212 + z + z11 11 zz2222)) (37)

 

Análisis del Cuadripolo CargadoAnálisis del Cuadripolo Cargado

Ganancia de tensión del circuito UGanancia de tensión del circuito U22 / E / Egg Combinamos (1), (3) y (4) despejando I1 en función U2 y Eg

Eg - I1 Zg = z11 I1 - z12 U2 / ZL (38)

(z11 + Zg) I1 = Eg + z12 U2 / ZL (39)

I1 = Eg / (z11 + Zg) + z12 U2 / [ZL (z11 + Zg)] (40)

Reemplazando la (40) en (2) y recordando que I2 = - U2 / ZL

U2 = z21 {Eg / (z11 + Zg) + z12 U2 / [ZL (z11 + Zg)]} - z22 U2 / ZL (41)

U2 { 1 + z22 / ZL - z12 / [ZL (z11 + Zg)] } = Eg z21/ (z11 + Zg)

(42)

U2 [ ZL (z11 + Zg) + z22 (z11 + Zg) - z12]/ [ZL (z11 + Zg)] = Eg z21/ (z11 + Zg) (43)

 Con lo cual la ganancia de tensión a la salida del cuadripolo respecto de la tensión del generador es: 

UU22 / E / Egg = z = z21 21 ZZLL/ [ (Z/ [ (ZL L + z+ z2222) (z) (z1111 + Z + Zgg) - z) - z1212zz2121 (44)

Análisis del Cuadripolo CargadoAnálisis del Cuadripolo Cargado

CUESTIONARIOCUESTIONARIO

Definir y explicar los siguientes conceptos:Definir y explicar los siguientes conceptos:

a)¿Cómo se clasifican los cuadripolos?a)¿Cómo se clasifican los cuadripolos?

b)¿Qué problemas básicos se resuelven con la teoría de b)¿Qué problemas básicos se resuelven con la teoría de cuadripolos?cuadripolos?

c)¿Qué teorema cumplen los cuadripolos pasivos bilaterales?c)¿Qué teorema cumplen los cuadripolos pasivos bilaterales?

d)¿Qué relación cumplen los coeficientes de la matriz d)¿Qué relación cumplen los coeficientes de la matriz γγ??

e)¿Cómo se calculan en general los coeficientes de las matrices e)¿Cómo se calculan en general los coeficientes de las matrices que representan cuadripolos?que representan cuadripolos?

f)Obtener a partir de mallas y/o nodos las formulas de los f)Obtener a partir de mallas y/o nodos las formulas de los parámetros Z y/o Y de un cuadripolo.parámetros Z y/o Y de un cuadripolo.

Resolución:Resolución:Comenzamos planteando la solución como dos cuadripolos en paralelo. En tal caso nos conviene trabajar con parámetros Y, ya que:

[YT] = [Y] + [Y´]

Ahora calculamos las matrices [Y] para ambos cuadripolos, recordando que:I1 = y11 U1+ y12 U2 y11 = I1/U1)U2=0

; y12 = I1/U2) U1=0

I2 = y21 U1 + y22 U2 y21 = I2/U1) U2=0 ; y22 = I2/U2) U1=0

Como cada cuadriplo es simétrico y11= y22 y y12= y21; entonces sólo hay que hacer dos cálculos para cada uno y se conocen los cuatro parámetros.Luego: y11T y12T

0,53 -0,47 0,25 -0,25 0,78 -0,72

[YT] = = + = y21T y22T

-0,47 0,53 -0,25 0,25 -0,72 0,78

Finalmente, de tabla de equivalencias: g11=Y/ y22T= 0,12; g12= y12T

/y22T=-0,92

g21 =- y21T / y22T=0,92 y g22 =1/y22T

= 1,28

Resolución:Resolución:Representa la matriz de parámetros h, pues:

U1 = h11I1 + h12U2= 0 x I1 + 1 x U2

I2 = h21I1 + h22U2 = -1 x I1 + (1/R) x U2

La ecuación del circuito dual exacto con sólo elementos pasivos deberá ser de la forma:

U1 = K1I1 + K2U2 = U2 U1 = U2

I2 = K3I1 + K4U2 = -I1 + (1/R) x U2 I2 = -I1 + (1/R) x U2

Es fácil concluir que el circuito totalmente pasivo que responde al mismo sistema de ecuaciones es el siguiente:

Es todo ….Es todo ….Gracias y a trabajarGracias y a trabajar