1

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN

FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA

FÍSICA MECÁNICA

MÓDULO # 13: EJERCICIOS SOBRE CINÉMATICA DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO

Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H.

Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín

Temas

Protocolo para realizar un correcto análisis cinemático de una partícula

Ejemplos de movimientos rectilíneos especiales

Movimientos ligados y ejemplos

Movimiento relativo y ejemplos

Ejemplos de movimientos rectilíneos no especiales

Protocolo para realizar un correcto análisis cinemático de una partícula

Para realizar el estudio del movimiento de un cuerpo (o conjunto de cuerpos) se recomienda seguir el

siguiente protocolo:

1. Hacer una representación clara de la situación (un dibujo lo más simple posible).

2. Indicar con precisión cuál es el móvil que se va a estudiar.

3. Definir el marco de referencia. En muchos problemas elementales hay marcos de referencia comunes y

muy obvios, por ejemplo: la acera, la calle, el edificio, el laboratorio, el plano inclinado.

4. Definir el eje de coordenadas con su respectivo origen y orientación: se fija al marco de referencia.

5. Definir las condiciones iniciales: posición y velocidad del móvil en un instante determinado (es usual que

dicho instante se elija como el instante inicial del movimiento y por ello el nombre).

6. Analizar la situación general del movimiento (encontrar las expresiones generales): ésta es una idea

fundamental en cinemática (y en mecánica en general). Conocer a fondo la cinemática de un cuerpo, es

conocer en situación general la posición, la velocidad y la aceleración: es decir como dependen del

tiempo. A veces también es necesario expresar la situación general de la velocidad y la aceleración

como función de la posición.

7. Resolver los casos particulares (búsqueda de valores específicos): resolver algebraicamente las

ecuaciones.

8. Si es necesario encontrar soluciones numéricas, reemplazar los valores en las ecuaciones sin olvidar

expresar el resultado con la respectiva unidad de medida (debe hacerse un correcto análisis de las

unidades y de la homogeneidad dimensional de las ecuaciones).

9. Analizar la coherencia del resultado.

2

Nota: Estos pasos son sólo un derrotero y se pueden agrupar o cambiar de orden de acuerdo a la habilidad

adquirida y a cada situación.

Ejemplos de movimientos rectilíneos especiales

Ejemplo 1

Dos autos A y B se ubican respectivamente en un instante dado a 10,0 m y 300 m de un punto de

referencia O. Los autos se desplazan el uno hacia el otro y en ese instante A tiene una rapidez igual a 5,00

m/s y B una rapidez igual a 2,00 m/s. Si A se desplaza con velocidad constante y B con aceleración igual a

1,00 m/s2 (hacia A), hallar el punto de encuentro respecto a O.

Solución:

1. Representación de la escena física. Se hizo en el instante t=0 s, Figura 1.

Figura 1

2. Los móviles son A y B.

3. Marco de referencia: la carretera.

4. Eje coordenado elegido: ver Figura 2, en donde se representa una situación general en un instante

cualquiera t.

Figura 2

3

5. Las ecuaciones generales de la cinemática de los autos conocidas las condiciones iniciales y escritas en

el SI son,

Auto A:

Ax = 10 + 5t [1]

Auto B:

2

B

1x = 300 - 2t - t [2]

2

BV = - 2 - t [3]

B

2V = 4 - 2 x-300 [4]

6. El punto de encuentro se da cuando xA=xB y por lo tanto,

2110 + 5t = 300 - 2t - t

2

7. Resolviendo la ecuación se obtiene,

t=18,1 s

y por lo tanto el punto de encuentro es,

Ax = 10 + 5 18,1 = 100,5 m

Es decir se encuentran a una distancia igual a 100,5 m del punto de referencia O.

Ejemplo 2

Un carrito de longitud L desciende sobre un plano inclinado. Para medir la aceleración a con la cual

desciende se emplean dos fotocompuertas separadas una distancia sobre el plano igual a d. Si los intervalos

de tiempo que invierte el carrito en atravesar cada fotocompuerta son respectivamente iguales a t1 y t2,

demostrar que a es igual a:

2

x 2 2

2 1

L 1 1a = -

2d t t

4

Solución:

En la Figura 3 se ilustra la escena física con el móvil (carrito) ubicado en una posición x en un instante t.

También está representado el eje de coordenadas elegido. El marco de referencia es el plano inclinado.

Figura 3

La ecuaciones generales de la cinemática del carrito el cual desciende con aceleración constante (MUV),

asumiendo que la posición inicial es xo=0 y velocidad inicial Vo=0 son,

2

x

1x = a t [1]

2

x xV = a t [2]

2V = 2a x [3]x x

Las velocidades del carrito cuando pasa por la primera y la segunda fotocompuerta se pueden calcular como

valores medios,

1

1

LV = [4]

t

2

2

LV = [5]

t

Adicionalmente estas velocidades se pueden calcular empleando la ecuación [3],

2

1 1V = 2a x [6]x

2

2 2V = 2a x [7]x

5

De las ecuaciones [6] y [7] y sabiendo que x2-x1=d se obtiene,

2 2

x 2 1

1a = V - V [8]

2d

Reemplazando [4] y [5] en [8] se obtiene,

2

x 2 2

2 1

L 1 1a = -

2d t t

Al verificar las unidades se observa homogeneidad dimensional.

Ejemplo 3

Un helicóptero asciende verticalmente con una rapidez de 5,20 m.s-1. A una altura de 125 m, una persona

suelta un paquete desde una ventanilla. ¿Cuánto tiempo tarda el paquete en llegar al suelo?

Solución:

En la Figura 4, se ilustra la escena física con el móvil (paquete), el eje de coordenadas elegido y el marco de

referencia (el piso). A la izquierda se representa el móvil en las condiciones iniciales elegidas: t=0 s,

yo=125 m, Voy=5,20 m/s (por inercia, el paquete sale con la velocidad que lleva el helicóptero en el instante

en que se suelta). A la derecha se representa el paquete en un instante t en donde ya se encuentra en

descenso.

Figura 4

6

Como el paquete está en “caída libre” las ecuaciones generales básicas escritas en el SI y con las

condiciones iniciales elegidas son,

2y = 125 + 5,20t - 4,90t [1]

yV = 5,20 - 9,8t [2]

2

yV = 27,04 - 19,6× y-125 [3]

En el piso y=0, por lo tanto reemplazando en la ecuación [1] se obtiene,

2125 + 5,20t - 4,90t = 0

t = 5,61 s

Tarea:

Calcular la altura máxima y la velocidad de llegada al piso.

Hacer un análisis gráfico a través de la gráfica Vy vs t.

Ejemplo 4

Un globo desciende con velocidad constante de 10 m/s. En cierto momento su tripulante deja caer una

piedra sin comunicarle ningún impulso. Hallar la distancia entre el globo y la piedra en función del tiempo.

Evaluar a los 5 s.

Solución:

En la Figura 5, se ilustra la escena física con el móvil (piedra), el eje de coordenadas elegido y el marco de

referencia (el piso). A la izquierda se representa el móvil en las condiciones iniciales elegidas: t=0 s, yo=h,

Voy=-10 m/s (por inercia, la piedra sale con la velocidad que lleva el globo en el instante en que se suelta).

A la derecha se representa la piedra y el globo en un instante t cualquiera en donde están separados por

una distancia igual a H.

Como la piedra está en “caída libre” las ecuaciones generales básicas escritas en el SI y con las condiciones

iniciales elegidas son,

2

py = h - 10t - 4,90t [1]

pyV = -10 - 9,8t [2]

2

pyV = 100 - 19,6× y-h [3]

En el caso del globo este desciende con movimiento uniforme (MU) y su ecuación general básica es,

gy = h - 10t [4]

7

Figura 5

Transcurrido un intervalo de tiempo igual a t, la distancia que se llevan ambos se obtiene restando la

ecuación [1] con la ecuación [4],

2

p gy - y = - 4,9t

Evaluando en t= 5 s se obtiene,

p gy - y = - 122,5 m

p gH = y - y

H= 122,5 m

Movimientos ligados y ejemplos

Ejemplo 5

Para el sistema mecánico de la Figura 6 demostrar que,

A BV + V = 0

A Ba + a = 0

en donde VA, VB, aA y aB son las respectivas velocidades y aceleraciones de los bloques.

8

Figura 6

Solución:

En la Figura 7 se ilustra el eje de coordenadas elegido. Como marco de referencia se eligió en techo.

Figura 7

Los móviles (bloque A y bloque B) se encuentran ligados por la cuerda. Supóngase que la cuerda tiene

longitud L, la cual permanece constante, por lo tanto,

A BL = y + πR + y = constante

en donde R corresponde al radio de la polea.

Derivando esa ecuación respecto al tiempo se obtiene,

A Bdy dy + = 0

dt dt

es decir,

9

A BV + V = 0

derivando de nuevo respecto al tiempo,

A BdV dV + = 0

dt dt

A Ba + a = 0

Ejemplo 6

Para el sistema mecánico de la Figura 8 demostrar que,

A B2V + V = 0

A B2a + a = 0

Figura 8

en donde VA, VB, aA y aB son las respectivas velocidades y aceleraciones de los bloques.

Solución:

En la Figura 9 se ilustra el eje de coordenadas elegido. Como marco de referencia se eligió en techo.

Figura 9

10

Los móviles (bloque A y bloque B) se encuentran ligados por la cuerda. Supóngase que la cuerda tiene

longitud L, la cual permanece constante, por lo tanto,

1 A 2 1 A 2 2 BL = c + y - c + πR + y - c + πR + y = constante

en donde R1 corresponde al radio de la polea móvil, R2 el de la polea fija, c1 y c2 son constantes.

Derivando esa ecuación respecto al tiempo se obtiene,

A Bdy dy2 + = 0

dt dt

es decir,

A B2V + V = 0

derivando de nuevo respecto al tiempo,

A BdV dV2 + = 0

dt dt

A B2a + a = 0

Ejemplo 7

Para el sistema mecánico de la Figura 10 demostrar que,

A B C2V + V +V = 0

A B C2a + a +a = 0

Figura 10

en donde VA, VB, VC, aA, aB y ac son las respectivas velocidades y aceleraciones de los bloques.

11

Solución:

En la Figura 11 se ilustra el eje de coordenadas elegido. Como marco de referencia se eligió en techo.

Figura 11

El bloque A y la polea P se encuentran ligados por una cuerda. Supóngase que la cuerda tiene longitud L1, la

cual permanece constante, por lo tanto,

1 A 1 pL = y - c + πR + y - c = constante [1]

en donde yp es la posición de la polea móvil, R1 es el radio de la polea fija y c es una constante.

El bloque B y el bloque C se encuentran ligados por otra cuerda. Supóngase que la cuerda tiene longitud L2,

la cual permanece constante, por lo tanto,

2 2 cL = y - y + πR + y - y = constante [2]B p p

en donde yp es la posición de la polea móvil, R2 es el radio de ésta.

Derivando respecto al tiempo las ecuaciones [1] y [2] se obtiene,

A pV + V = 0 [3]

B C pV + V -2V = 0 [4]

Combinando las ecuaciones [3] y [4],

B C AV + V +2V = 0 [5]

Derivando esta ecuación respecto al tiempo,

B C Aa + a +2a = 0 [6]

12

Movimiento relativo y ejemplos

En la Figura 12 se ilustran dos partículas en movimiento respecto a algún marco de referencia.

Figura 12

Las posiciones de las partículas A y B respecto al sistema de coordenadas elegido son respectivamente A/Or

, B/Or . La posición relativa de la partícula A respecto a la partícula B es A/Br . De la suma de vectores se

concluye que,

A/o B/o A/Br = r + r

Y por lo tanto,

A/B A/o B/or = r - r [1]

Derivando respecto al tiempo esta ecuación,

A/B A/o B/oV = V - V [2]

Derivando respecto al tiempo otra vez,

A/B A/o B/oa = a - a [3]

Las ecuaciones [1], [2] y [3] son las ecuaciones básicas que expresan la cinemática del movimiento relativo

entre dos partículas.

Ejemplo 8

Un cuerpo se deja caer dentro de un ascensor, Figura 13. Calcular la aceleración de caída del cuerpo

respecto al piso del ascensor en los siguientes casos:

13

El ascensor sube con velocidad constante.

El ascensor baja con velocidad constante.

El ascensor sube con aceleración respecto al edificio igual a 3 m.s-2.

El ascensor baja con aceleración respecto al edificio igual a 3 m.s-2.

Se revienta el cable y el ascensor desciende en caída libre.

Figura 13

La aceleración del cuerpo B respecto a O es,

B/Oˆa = - g j

La aceleración del ascensor A respecto a O es en general,

A/Oˆa = a j

Usando la expresión [3] para el movimiento relativo se obtiene que la aceleración del cuerpo respecto al

piso del ascensor es,

B/A B/O A/Oa = a - a

B/Aˆ ˆa = -g j- a j

B/Aˆa = - g + a j [1]

Si el ascensor sube o baja con velocidad constante, a=0 y por lo tanto la ecuación [1] queda,

B/Aˆa = -g j

Es decir la aceleración respecto al piso del ascensor también es la aceleración de la gravedad.

14

Si el ascensor sube con aceleración de 3 m.s-2 , a=+3 m.s-2 y por lo tanto la ecuación [1] queda,

2

B/Aˆa = - 9,80 + 3 j m.s

2

B/Aˆa = - 12,8 j m.s

Es decir la “gravedad aparente” es mayor a 9,80 m.s-2.

Si el ascensor baja con aceleración de 3 m.s-2 , a=-3 m.s-2, y por lo tanto la ecuación [1] queda,

2

B/Aˆa = - 9,80 - 3 j m.s

2

B/Aˆa = - 6,80 j m.s

Es decir la “gravedad aparente” es menor a 9,80 m.s-2.

Si el ascensor baja en “caída libre”, a=-g y por lo tanto la ecuación [1] queda,

B/Aˆa = - g - g j

2

B/Aˆa = 0 j m.s

Es decir la “gravedad aparente” es nula (esto se denomina “estado de ingravidez”).

Recordar que el ascensor sólo será un marco de referencia inercial si está en reposo o se mueve con

velocidad constate respecto a O.

Ejemplo 9

Una gota de lluvia cae con velocidad de 1,00 m/s respecto a la calle. Si un hombre avanza horizontalmente

con una velocidad de 4,00 m/s respecto a la calle, calcular la velocidad de la gota respecto al hombre. Ver

Figura 14.

Solución:

Figura 14

15

La velocidad de la gota respecto a O es,

1

G/OˆV = - 1,00 j m.s

La velocidad del hombre respecto a O es,

1

H/OˆV = 4,00 i m.s

Usando la expresión [2] para el movimiento relativo se obtiene que la velocidad del cuerpo respecto al

hombre es,

G/H G/O H/OV = V - V

1

G/Hˆ ˆV = -1,00 j - 4,00 i m.s

Es decir su rapidez respecto al hombre es,

2 2 -1

G/HV = -1,00 + 4,00 m.s

1

G/HV = 4,12 m.s

y la dirección de la velocidad de la gota respecto al hombre es , Figura 15,

Figura 15

Ejemplos de movimientos rectilíneos no especiales

Ejemplo 10

Un cuerpo se desacelera proporcionalmente a su velocidad, es decir,

a = - kV

Demostrar que:

- kt

oV = V e

16

- ktoVx = 1 - e

k

oV = V - kx

en donde V0 corresponde a su velocidad inicial.

Solución:

a = - kV

dV = - kV

dt

o

V t

V 0

dV = -k dt

V

oLn V - Ln V = -kt

- kt

oV = V e [1]

En la Figura 16 se ilustra el comportamiento esta ecuación.

Figura 16

Continuando,

- kt

o

dx = V e

dt

x t

-kt

o

0 0

dx = V e dt

t

-kt

o

0

x = V e dt

-ktoVx = 1 - e [2]

k

17

En la Figura 17 se ilustra el comportamiento de esta ecuación.

Figura 17

Continuando, combinando las ecuaciones [1] y [2],

oV = V - kx

En la Figura 18 se ilustra el comportamiento de esta ecuación.

Figura 18

Ejemplo 11

La aceleración de un cuerpo que oscila atado a un resorte, Figura 18, es:

2

ya = -w y

en donde W es una constante (denominada frecuencia angular, se mide en rad.seg-1).

Demostrar que la posición y en función del tiempo t es una función senosoidal,

y = Asen wt+α

en donde A (denominada la amplitud del movimiento) y (la fase inicial de la oscilación) dependen de las

condiciones iniciales de posición yo y velocidad Vo.

22 oo 2

VA= y +

w

-1 oyα = sen

A

18

Figura 18

Hacer su representación gráfica: y=f(t).

Solución:

2

ya = -w y

La ecuación diferencial [3] de cinemática rectilínea es,

y y yV dV = a dy

y

o o

V y

2

y y

V y

V dV = -w y dy

2 2 2 2 2

y o oV = w y +V - w y

2 2 2 2 2

o o

dy = w y +V - w y

dt

22 2oo 2

dydt=

Vw y + - y

w

22 2oo 2

dywdt=

V y + - y

w

19

Sea u=y/A, dy=Adu, por lo que si y=yo entonces uo=yo/A y por lo tanto,

o

t u

20 u

Aduwdt =

A 1 - u

owt=arcsen u - arcsen u

oyywt=arcsen - arcsen

A A

y

= sen wt+αA

y = Asen wt+α

En la Figura 19 se ilustra la gráfica y vs t.

Figura 19

Taller

Con los ejercicios siguientes el objetivo es adquirir la destreza para analizar de forma ordenada y

metódica la cinemática de cuerpos desplazándose con trayectoria rectilínea. En cada una de las

soluciones se deberá:

1. Hacer una representación clara de la situación (un dibujo lo más simple posible).

2. Indicar con precisión cuál es el móvil que se va a estudiar.

3. Definir el marco de referencia. En muchos problemas elementales hay marcos de referencia

comunes y muy obvios, por ejemplo: la acera, la calle, el edificio, el laboratorio, el plano inclinado.

4. Definir el eje de coordenadas con su respectivo origen y orientación: se fija al marco de

20

referencia.

5. Definir las condiciones iniciales: posición y velocidad del móvil en un instante determinado (es usual

que dicho instante se elija como el instante inicial del movimiento y por ello el nombre).

6. Analizar la situación general del movimiento (encontrar las expresiones generales): ésta es una idea

fundamental en cinemática (y en mecánica en general). Conocer a fondo la cinemática de un cuerpo,

es conocer en situación general la posición, la velocidad y la aceleración: es decir como dependen

del tiempo. A veces también es necesario expresar la situación general de la velocidad y la

aceleración como función de la posición.

7. Resolver los casos particulares (búsqueda de valores específicos): resolver algebraicamente las

ecuaciones.

8. Si es necesario encontrar soluciones numéricas, reemplazar los valores en las ecuaciones sin olvidar

expresar el resultado con la respectiva unidad de medida (debe hacerse un correcto análisis de las

unidades y de la homogeneidad dimensional de las ecuaciones).

9. Analizar la coherencia del resultado.

Ejercicios sobre movimientos rectilíneos especiales (MU y MUV)

1. Dos locomotoras se aproximan una a la otra en vías paralelas. Cada una tiene una rapidez de 95 km.h-1

con respecto al suelo. Si inicialmente están separadas 8,5 km, ¿cuánto tiempo pasará antes de que se

alcancen?

Rp. 2,7 min

2. En un momento determinado el coche de unos ladrones pasa por un punto con una velocidad de

90 km.h-1. A los 10 minutos pasa persiguiéndole la policía con una velocidad de 120 km.h-1. ¿A qué

distancia de dicho punto lo alcanza? ¿Cuánto tiempo habrá transcurrido desde que pasó el primer

coche?

Rp. 60 km; 30 min.

3. Un ciclista sale de una ciudad con una rapidez de 15 km.h-1. Un segundo ciclista sale con una velocidad

de 25 km.h-1, 1 h después desde la misma ciudad y en la persecución el primero. ¿Cuánto tiempo tarda

en alcanzarlo? ¿A qué distancia del punto de partida?

Rp. 1,5 h; 37,5 km.

4. ¿Qué distancia debe recorrer un auto para que con una aceleración constante de 3,0 m.s-2 alcance una

velocidad de 33 m.s-1?

21

Rp. 1,8x102 m.

5. ¿Qué velocidad máxima podrá llevar un coche para no chocar con un obstáculo que aparece

repentinamente a 100 m del coche? Suponer que el conductor reacciona inmediatamente y que la

aceleración de frenado (es decir, la desaceleración) es igual a 4,00 m.s-2.

Rp. 28,3 m.s-1.

Ejercicios sobre “caída libre”

6. Un beisbolista atrapa una bola 3,0 s después de lanzarla verticalmente hacia arriba. ¿Con qué rapidez la

lanzó y que altura alcanzó?

Rp. 14,7 m.s-1; 11,0 m.

7. Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con una rapidez de 12,0 m/s desde el extremo de un

risco de 70,0 m de alto. (a) ¿Cuánto tiempo después alcanza el fondo del risco? (b) ¿Cuál es su rapidez

justo antes de golpear? (c) ¿Qué distancia recorrió?

Rp. (a) 5,2 s;(b) 38,9 m.s-1; (c) 84,7 m.

8. Se lanza una piedra verticalmente hacia abajo desde el borde de una azotea de un edificio. Mientras

transcurre el décimo segundo de caída, la piedra recorre una distancia igual al doble de la que recorrió

mientras transcurrió el quinto segundo. ¿Con qué velocidad se lanzó la piedra?

Rp. 4,9 m.s-1.

9. Dos piedras se lanzan verticalmente hacia arriba al mismo tiempo. La primera piedra se lanza con una

velocidad inicial de 11,0 m/s desde un balcón en el piso 12 y golpea el suelo luego de 4,50 s. ¿Con qué

velocidad inical se debe lanzar la segunda piedra desde un balcón del piso 4, de modo que golpee el

suelo al mismo tiempo que la primera piedra?

Rp. 18 m/s

Ejercicios sobre movimientos ligados (dependientes)

10. Para el sistema mecánico de la Figura 1 demostrar que,

B A2V + V = 0

B A2a + a = 0

22

B pV = V

B pa = a

Figura 1

en donde AV , BV , pV , Aa , Ba y Pa son las respectivas velocidades y aceleraciones de los bloques A y

B y del centro de la polea.

11. Para el sistema mecánico de la Figura 2 demostrar que,

A B C2V + 2V + V = 0

A B C2a + 2a + a = 0

Figura 2

en donde AV , BV , CV , Aa , Ba y Ca son las respectivas velocidades y aceleraciones de los bloques A,

B y C.

23

Ejercicios sobre movimiento relativo

12. Un río fluye hacia el este con velocidad de 3 m.s-1 y un bote se mueve en agua quieta con una

velocidad de 4 m.s-1 hacia el norte. Si el bote navega en el río, calcular la velocidad del bote respecto

a tierra.

Rp. 5 m/s, 53,1o con la dirección del río.

13. Un río fluye hacia el norte con velocidad de 3 km.h-1. Un bote se dirige al Este con velocidad relativa

al agua de 4 km.h-1. Calcular la velocidad del bote respecto de tierra. Si el río tiene 1 km de anchura,

calcular el tiempo necesario para cruzarlo. ¿Cuál es la desviación hacia el norte del bote cuando llega a

la otra orilla del río?

Rp. 5 km.h-1 36,9o con la horizontal; 15 min; 750 m.

14. Un avión vuela desde un punto A a otro B que se encuentra a 3 000 km de distancia en la dirección

Este. El viento sopla en la dirección S 30o E con velocidad de 80 km.h-1, y la velocidad del avión es de

600 km.h-1. Determinar el tiempo de vuelo del avión entre las dos localidades.

Rp. 4,7 h.

Ejercicios sobre movimientos rectilíneos generales (NO son ni MU, ni MUV)

15. La aceleración de un cohete que se desplaza hacia arriba está dada por la ecuación en el SI,

a = 6,00 + 0,02 x

Determinar el tiempo necesario para que el cohete alcance una altitud igual a 100 m. Inicialmente V=0,

x=0 en t = 0.

Rp. 5,62 s

16. Cuando un tren está viajando a lo largo de una vía recta a 2 m/s, comienza a acelerar según la ecuación

en el SI,

4

60a =

V

Determinar la velocidad y la posición 3,0 s después de acelerar.

Rp. 3,93 m/s y 9,98 m

FIN.