1Trabajo presentado en la XVIII Semana Cartográfica de América Central. 4-7 setiembre2000. San José, Costa Rica.

Comparación de dos métodos de interpolación para elaborar un modelo de elevación digital apartir de curvas de nivel a escala 1:200.000 para Costa Rica1.

Jorge Fallas (jfallas@racsa.co.cr)Laboratorio de Teledetección y Sistemas de Información Geográfica (TeleSIG)

Escuela de Ciencias Ambientales y Programa Regional en Manejo de Vida SilvestreUniversidad Nacional, Costa Rica.

ResumenLa inserción y adopción de los Sistemas de Información Geográfica como una herramienta de

trabajo en los ambientes académicos, gubernamentales y privados ha permitido pasar del uso decartografía analógica a la digital. Sin embargo, los avances logrados en el uso de los SIGs para creary utilizar cartografía temática no han sido los mismos que los logros en el área de la cartografíacuantitativa.

Una de las aplicaciones de gran interés en el área de medio ambiente es la creación y uso demodelos digitales de elevación (MDE); los cuales son una representación tridimensional de unespacio determinado (X,Y,Z). En teoría, el valor del eje Z podría ser una variable física (Ej.precipitación o elevación) o cualquier otro fenómeno de naturaleza volumétrica. En la década de los70s y 80s el crear una superficie a partir de puntos de muestreo o iso líneas era una tarea difícil y querequería de un equipo de cómputo muy especializado y costoso. Esto cambió drásticamente en ladécada del 90 con los avances en el área de los microprocesadores, las tarjetas gráficas y en eldesarrollo de software amigable para dichos equipos. Sin embargo y a pesar de los anteriores avancesexiste todavía un gran vacío en la creación y uso de los MDE tanto a nacional como regional.

El presente trabajo tiene tres objetivos: revisar algunos de los métodos y técnicas de interpolacióndisponibles a usuarios de microcomputadoras; describir las normas de calidad para modelos digitalesde elevación y finalmente evaluar la exactitud de un MDE creado para Costa Rica utilizando dosmétodos de interpolación: triángulos irregulares (TIN) e interpolación lineal a partir de un archivoraster. El MDE fue creado a partir de curvas de nivel con un intervalo de 100 m digitadas del mapatopográfico a escala 1:200.000 del Instituto Geográfico Nacional. La exactitud del modelo fueevaluada utilizando 7231 puntos con elevaciones conocidas provenientes de la cartografía a escala1:50.000 del Instituto Geográfico Nacional. Para desarrollar la aplicación se seleccionaron losprogramas 3D Analista de ArcView GIS e IDRISI para Windows. Los resultados obtenidos indicanque el modelo TIN, aun cuando es eficiente y visualmente atractivo, no logró mantener la sinuosidadde las curvas de nivel originales. La misma limitación aplica al MDE creado con IDRISI; aunque enmenor grado. La raíz cuadrada del error medio cuadrático del modelo TIN fue de 57 metros en tantoque para el modelo creado con IDRISI fue de 50.5m. El ámbito de los errores fue de -98m a 230mpara el modelo TIN y -98 a 250m para el modelo de IDRISI. Aun cuando ninguno de los dosmodelos de elevación cumplió con la norma requerida para un mapa a escala 1:200.000; el modelocreado con IDRISI sí genera valores de elevación con un error inferior o igual a media curva y portanto el autor recomienda su uso.

Indice General

1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

2. MÉTODOS DE INTERPOLACIÓN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22.1 Interpolación a partir de isolíneas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22.1.1 Interpolación a partir de triángulos irregulares (TIN). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32.1.2 Interpolación lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

3. INSUMOS PARA ELABORAR UN MDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

5. ESTADÍSTICOS Y NORMAS PARA EVALUAR LA EXACTITUD DEL MDE . . . . . . . . .75.1 Exactitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75.2 Estándares o normas para la cartografía altimétrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

5.2.1 Estándares para modelos digitales de elevación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

6. SITIO DE ESTUDIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

7. METODOLOGÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127.1 Datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127.2 Software utilizado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137.3 Validación del modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

7.3.1 Análisis visual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137.3.2 Análisis cuantitativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

8. RESULTADOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

9. CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

10. BIBLIOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

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Fig. 1: Vista en perspectiva de un segmento del mapa 1:50.000 correspondiente a laciudad de Heredia. Vista hacia el norte.

1. INTRODUCCI ÓNLa superficie terrestre se caracteriza por su irregularidad, expresada en formas del relieve tales

como depresiones, valles, colinas, cordilleras y acantilados. El modelar dicha superficie no es unatarea fácil ni simple. Los Sistemas de Información Geográfica (SIG) permiten recrear visual ynuméricamente el valor “Z” asociado a los diferentes elementos del paisaje natural y antrópico;cualidad que los convierte en una poderosa herramienta para cualquier especialista en gestiónambiental y de recursos naturales (ver Fig. 1). El software le permite al usuario(a) no solo visualizarelementos en tres dimensiones sino que también realizar análisis cuantitativos a partir de dichoselementos (Ej. calculo de pendiente, aspecto y curvatura) (Thoen, 1997).

Una de las características de la superficie terrestre es su variabilidad y por ende no es posibleconocer con exactitud la elevación de cada uno de los puntos que la conforman. Si la superficie fueseregular podría modelarse utilizando una función matemática, lo que permitiría determinar a su vezla elevación exacta de cada punto; sin embargo en el mundo real este no es el caso y debemosconformarnos con modelos del terreno basados en una pequeña muestra de los posibles valores deelevación. Otro aspecto que limita el número de puntos a utilizar para crear el modelo es la memoriay la velocidad de los procesadores disponibles a los usuarios de computadoras personales. Por estasrazones en las aplicaciones reales el (la) analista debe llegar a un compromiso entre exactitud delmodelo y requerimientos de tiempo/equipo/software. Dadas estas limitaciones tecnológicas yprácticas, la clave para lograr un modelo fidedigno está en seleccionar una estructura de datosapropiada para representar la superficie terrestre dado el tipo de datos con que se cuente paraelaborarlo (Worboys, 1995). En la literatura se reportan dos estructuras de datos: las cuadrículas oceldas regulares y los triángulos irregulares (TIN, por su siglas en inglés) (Kumler, 1992). A pesarde los diversos trabajos realizados en cuanto las bondades/limitaciones de cada estructura de datos

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(Carrara, Bitelli y Carla, 1997; Kumler, 1992; Fallas, 1998), no existe a la fecha una clara conclusiónsobre la superioridad de ninguna de ellas.

A pesar de las ventajas que ofrecen los MDE y de los avances en las áreas de hardware ysoftware, todavía existe un gran vacío en cuanto a la creación y uso de los MDE tanto a nivelnacional como regional. El presente trabajo tiene tres objetivos: primero describir algunos de losmétodos y técnicas de interpolación disponibles para crear un MDE; segundo describir los estándaresutilizados para evaluar la exactitud de un MDE y finalmente evaluar la exactitud de un MDE creadopara Costa Rica utilizando curvas de nivel y dos métodos de interpolación: triángulos irregulares(TIN) e interpolación lineal. A los interesados en el tema se les remite al informe final del proyectode investigación titulado “Modelos Digitales de Elevación: Teoría, métodos de interpolación yaplicaciones” (Fallas, 2000).

2. MÉTODOS DE INTERPOLACI ÓNEl término Modelo Digital del Terreno (MDT) fue acuñado, según Petrie y Kennie (1990) por

Miller y La Flamme, dos ingenieros del Instituto Tecnológico de Massachusetts, a finales de los años50. Según estos investigadores un modelo digital del terreno es una representación estadística de unasuperficie continua mediante una gran cantidad de puntos cuyos valores en X, Y y Z son conocidosy se encuentran definidos en un sistema de coordenadas arbitrario. En la literatura (Burrough, 1986;Petrie y Kennie, 1990) también se designa a un Modelo Digital de Elevación (MDE) como ModeloDigital de Altura, Modelo Digital de la Tierra y Modelo Digital del Terreno.

La interpolación tiene como objetivo estimar, a partir de una muestra, valores de “Z” paraaquellos puntos (X,Y) donde no existen datos y puede utilizarse para lograr tres fines: (a) estimarvalores de Z para ubicaciones particulares (X,Y); (b) estimar valores de Z para una cuadrícularectangular y (c) cambiar la resolución de la cuadrícula en un archivo raster (método conocido comore muestreo).

Desde el punto de vista de la superficie asumida por el interpolador, estos pueden clasificarse endiscretos (Ej. mapas coropléticos, mapas de unidades de suelos y polígonos de Thiessen) y continuos(Burrough,1986). Los segundos, pueden a su vez dividirse en interpoladores que operan a partir depuntos y los que operan a partir de iso líneas. Los primeros se dividen en exactos (los valores de lospuntos de muestreo son preservados) y no exactos (no se mantienen los valores originales de lospuntos de muestreo).También se les puede clasificar en globales cuando la interpolación está basadaen todos los puntos de muestreo ó locales cuando se utiliza un subset de los puntos de muestreo enel proceso de interpolación (Oliver, 1990). Entre los métodos de interpolación global tenemos a lasecuaciones polinomiales y a las series de Fourier y entre los métodos de interpolación local a ladistancia inversa ponderada, curvatura mínima, Kriging (ordinario y universal) y funciones radiales(Cressie, 1993; Isaaks and Srivastava, 1989; Keckler, 1995; Oliver, 1990; Petrie, 1990).

2.1 Interpolación a partir de isolíneasUna isolínea está formada por una conjunto de segmentos de longitud variable que interconectan

puntos de igual valor en el terreno. Dos de las fuentes más comunes de isolíneas son las curvas denivel impresas en los mapas topográficos o en los levantamientos topográficos. A partir de dichoinsumo y utilizando el software apropiado (Ej. Intercon de IDRISI, 3D Analyst de Arc View, TIN

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de Arc Info, MGE Terrain Analyst de Intergraph) es posible crear un modelo digital de elevación yasea en formato raster o vectorial (ver cuadro 1).

Cuadro 1: Comparación entre las estructuras de datos raster y TIN.

Modelo raster: cuadrícula regular Modelo Vectorial: triángulos irregulares

La cuadrícula es un modelo de datos simpleformado por una matriz de columnas ehileras.

La red de triángulos irregulares es unaestructura más compleja que representa lasuperficie mediante un conjunto de caras detriángulos contiguos que no se traslapan.

Los procesos computacionales son muyeficientes ya que se trabaja con una matriz devalores (columnas e hileras).

Procesos computacionales menos eficientesya que se debe estimar el valor promedio parael conjunto de nodos que rodean el punto deinterés.

Existen algoritmos bien establecidos para elprocesamiento de los datos. Dichosalgoritmos se originaron en la comunidad deusuarios de procesamiento de imágenesdigitales.

Los algoritmos para procesar TINs son máscomplejos y costosos de programar. Por lotanto el software también es más caro.

Datos en formato raster son abundantes ymenos costosos que los vectoriales.

Existen pocos datos en formato TIN ynormalmente son más caros.

El modelo de celdas regulares es rígido,ineficiente y no expresa con fidelidad loscambios abruptos del terreno.

El tamaño de los triángulos se adapta a lasirregularidades del área que se modela. Lascoordenadas de los valores originales semantienen como parte de la informaciónasociada a los vértices de los triángulos y porlo tanto no existe pérdida de detalle ni de información.

Basado en: ESRI, 1997; Maune, 1994; Shearer, 1990 y Weibel y Heller, 1991.

2.1.1 Interpolación a partir de triángulos irregulares (TIN)El modelo de datos TIN (por sus siglas en inglés) fue inventado en forma independiente en

América del Norte al menos tres veces en los primeros años de 1970 (Mark, 1977). El modelo TINsurgió como una respuesta a la necesidad de buscar una estructura de datos alterna a la rasterutilizada hasta aquel momento para representar Modelos Digitales del Elevación (MDE) y a lainsatisfacción por parte de los usuarios(as) con el software existente para crear isolíneas. A losinteresados en el desarrollo histórico de las redes de triángulos irregulares se les remite a Mark

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(1977). Dicho desarrollo culminó a finales de la década del 70 con una aceptación del modelo TINcomo la forma estándar de representar la topografía en un SIG y en otros programas de cómputo.

El modelo TIN (Fig.2) está formado por un conjunto de triángulos adyacentes creados a partir depuntos con un espaciamiento regular o irregular. Los vértices representan elevaciones, las líneasindican la pendiente y las caras de los triángulos el aspecto u orientación. La red de triángulosirregulares puede crearse a partir de puntos (Masa de puntos), líneas (líneas de cambio o inflexiónen la topografía) y polígonos (áreas) ó de una combinación de los anteriores. El modelo TIN permitealmacenar la información topológica que define las relaciones espaciales entre cada uno de lostriángulos y sus vecinos (Ej. información sobre los vértices y los lados de cada triángulo). Estemodelo de datos es apropiado para representar las irregularidades del terreno y para derivar métricasdel paisaje tales como pendiente, aspecto y sombreado del terreno (Worboys, 1995). Sin embargocuando se requiere utilizar la superficie con fines de modelado (Ej. simulación de escorrentíasuperficial), la estructura de datos raster es más apropiada (ESRI,1998). La capacidad de crear unarchivo raster a partir del TIN es una de las funciones que ofrece el SIG en la actualidad.

Fig. 2: Red de triángulos irregulares. Los puntos rojos indican los vértices; los cuales a su vezforman parte de las curvas de nivel (líneas negras). Las líneas grises corresponden a los lados de lostriángulos. Los valores dentro de los triángulos corresponden a elevaciones estimadas por el modelo.

2.1.2 Interpolación linealEl método de interpolación utilizado por Intercon de IDRISI pertenece a la categoría “global-

aproximado” (Heywood, Price y Petch; 1995). El programa crea el MDE a partir de un archivo decurvas de nivel en formato raster y utilizando un método de interpolación lineal que consiste en crearuna serie de perfiles en diferentes direcciones (Ej. Norte-Sur, diagonal; E-O; alrededor del área ainterpolar). Para cada uno de estos perfiles el programa registra la elevación y la pendiente de cadacelda. La elevación final asignada a la celda corresponde a la del perfil con la máxima pendiente. Elalgoritmo utilizado es una modificación del algoritmo “CONSURF” creado por David Douglas dela Universidad de Ottawa, Canadá. El manual de IDRISI (Eastman, 1992) reporta que el MDE creadocon dicho algoritmo para un mapa a escala 1:24.000 (curvas de nivel cada 3m) cumplió con las

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normas de exactitud utilizadas para la cartografía analógica de los Estados Unidos de América. Elerror medio reportado fue de -0.7m con una desviación estándar de 0.56m. La probabilidad deobtener un valor de elevación superior a 0.5 el intervalo de la curva de nivel fue inferior a 1%. Elmétodo de interpolación hace un fuerte uso de la memoria RAM y virtual (disco duro) y por tantoel usuario debe poseer suficiente espacio de disco antes de iniciar el proceso de interpolación. Unade las limitaciones del interpolador es que crea superficies con fuertes irregularidades; las cualesdeben eliminarse mediante la aplicación de un filtro promedio.

3. INSUMOS PARA ELABORAR UN MDEEl modelo digital del elevación puede elaborarse a partir de diversos insumos, entre los que

tenemos: perfiles; puntos equidistantes (cuadrícula); muestreo selectivo (Ej. líneas que indicancambios bruscos en el terreno); curvas de nivel; puntos aleatorios con elevaciones conocidas;muestreo progresivo (la intensidad del muestreo está en función de la complejidad del terreno) ymuestreo compuesto (combinación de muestreo selectivo y progresivo) (Weibel y Heller, 1991).

Grassie (1982) citado por Shearer (1990) comparó la exactitud de los MDE generados condiferentes programas comerciales utilizados en cartografía general o temática. El insumo consistióen aproximadamente 300 puntos para los siguientes tipos de muestreo:

� Puntos sobre curvas de nivel

� Puntos sobre líneas que indican cambios bruscos en el terreno

� Puntos sobre ríos

� Puntos en una cuadrícula con nodos cada 85m

� Puntos con una distribución irregular

Los resultados se compararon con elevaciones de referencia obtenidas por medios fotogramétricospara una cuadrícula con una separación de 30*30m y con valores de elevación obtenidos de curvasde nivel con un intervalo 10m. Las conclusiones fueron las siguientes:

7 Todos los programas presentaron problemas en diferentes áreas y en general no capturaron lasirregularidades menores del paisaje obtenidas a partir de las curvas de nivel utilizadas comocontrol.

7 Los métodos de interpolación basados en puntos al azar mostraron variaciones muy marcadas enla calidad del producto generado; seguidos por los métodos basados en curvas de nivel.

7 Los métodos de interpolación globales mostraron los mayores errores seguidos por los métodoslocales y sus resultados son comparables con los métodos basados en una búsqueda de puntos (Ej.Inverso de la distancia).

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7 Los métodos basados en la búsqueda de puntos alrededor de cada nodo de la cuadrícula tiendena generar curvas de nivel angulares en áreas planas o de poca elevación. Esto se debe a que elmétodo selecciona puntos con igual elevación alrededor de cada punto de la cuadrícula y por lotanto los nodos tienden a tener el mismo valor que la curva de nivel.

7 La distribución espacial de los puntos de elevación es crítica para lograr una adecuadarepresentación del paisaje en el MDE. Los métodos basados en una cuadrícula regular mostraronmejores resultados que los basados en una distribución irregular. Un resultado similar fuereportado por Ebner y Reiss (1984) (ver cuadro 2).

7 El error (RCEMCz) mas pequeño se obtuvo con los puntos distribuidos regularmente (±3.31ma ±6.54m), seguido por las curvas de nivel (±3.49m a ±6.27m) y finalmente por los puntosdistribuidos en forma irregular (±4.09m a ±6.80m).

Lowthian (1986) citado por Shearer (1990) evaluó la exactitud de modelos digitales del terrenoelaborado a partir de curvas de nivel con un intervalo de 10 m digitadas manualmente a partir demapas impresos a escala 1:50000. Los resultados se compararon con 2500 puntos de elevaciónderivados por métodos fotogramétricos. Los errores registrados fueron los siguientes:

Error Medio Absoluto Error Promedio Error estándar (RCEMCz) +6.75m -2.21m ±6.44m

La diferencia en el error promedio (indicador de error sistemático) puede explicarse en parte,según Shearer (1990), por diferencias en el sistema de referencia utilizado para generar los puntosde control y los datos utilizados para crear el MDE. Según el autor, el error obtenido es aceptablepara crear cartografía a escala 1:50.000; sin embargo el intervalo entre curvas de nivel era de 10my por tanto podría argumentarse que el RCEMCz es superior al permisible para la escala 1:50.000(5m).

En el caso de las hojas topográficas, la exactitud del MDE dependerá de la escala del mapa y delintervalo entre las curvas de nivel. Otro aspecto que influirá en el producto es el método utilizadopara digitar las curvas. Los métodos manuales (Ej. mesa para digitar) pueden generar un errorplanimétrico de ±0.5mm, en tanto que los métodos semiautomáticos (Ej. uso de escáner) puedengenerar errores menores. La densidad de los puntos de muestreo está directamente relacionada conla pendiente del terreno, sin embargo para capturar los cambios bruscos en el terreno (Ej. cimas,cañones, valles) es aconsejable suplementar dicha información con elevaciones y líneas auxiliares.

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Cuadro 2 : Eficiencia de diferentes esquemas de muestreo.

Tipo de insumo Exactitud delinsumo

Resultados

Cuadrícula con unaseparación entre nodos de10m

±0.25m El MDE elaborado a partir de la cuadrículabrindó los mejores resultados (menorRCEMCz).

Perfiles con una separaciónoriginal de 10m

±0.5m La raíz cuadrada del error medio cuadrático(RCEMCZ) varió entre ±0.47m para perfilescon una separación de 20m y ±0.52m paraperfiles con una separación de 60m y para untamaño de celda de 20m. El RCEMCZ paraceldas con tamaños entre 20m y 60m varióentre ±0.47m y ±0.61m, respectivamente.

Curvas de nivel cada 2.5m ±0.5m La raíz cuadrada del error medio cuadrático(RCEMCZ) varió entre ±0.51m para celdasde 20m y ±0.57m para celdas de 60m.

Fuente: basado en Ebner y Reiss (1984)

5. ESTADÍSTICOS Y NORMAS PARA EVALUAR LA EXACTITUD DEL MDETodo modelo digital de elevación está sujeto a dos fuentes de error. Al primer grupo se le

denomina errores aleatorios y representan una sobre o sub estimación de los valores reales deelevación como resultado del azar. Estos errores no muestra un patrón determinado, en promedio suvalor es igual a cero y los errores positivos y negativos tienen una frecuencia similar. Los segundosse denominan sistemáticos y también representan una sub ó sobre estimación de los datos deelevación; sin embargo, a diferencia de los primeros, tienen un patrón determinado y su promediono es igual a cero (Maling, 1989).

5.1 ExactitudDesde un punto de vista estadístico, la exactitud representa la ausencia de un error sistemático

o sesgo en el set de datos. Cuando no existe sesgo, el promedio de la variable es igual su valorverdadero. Para aplicar este concepto a un MDE es necesario comparar las elevaciones derivadas delmismo con otra fuente de información con un mayor grado de exactitud; por ejemplo, un mapa convalores mas exactos, valores de campo o elevaciones obtenidas por medios fotogramétricos (Cressie,1993; Maling, 1989; Weibel y Heller,1991 ). La comparación resulta en una serie de diferenciasdenominadas �residuos�, cuyos valores pueden ser positivos o negativos. Estas diferencias seexpresan estadísticamente como error promedio, error absoluto promedio y raíz cuadrada del errormedio cuadrático (Shearer, 1990):

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Error aritmético promedioEl promedio indica la tendencia central de los errores y por lo tanto no indica la magnitud ni la

dirección del error para puntos individuales. Cuando los errores son aleatorios la media tiende a ceroy cuando existe un sesgo en los datos su valor será diferente de cero. El promedio aritmético no esun buen indicador del error del MDE pues un valor muy grande puede ser compensado por otrogrupo de valores pequeños. Por ejemplo, un error de -100 metros puede ser compensado por diezerrores de 10 metros y en promedio el error ser igual a cero (0).

� = �(ri) / n (1)

Error absoluto promedioEl error absoluto promedio indica la tendencia central de la distribución de errores sin considerar

su signo y su valor es mayor o igual a cero. Este valor representa mejor el error esperado del MDE.Por ejemplo, para el caso mencionado en el párrafo anterior el error sería 18.2m.

� = � (ri) / n (2)

Raíz cuadrada del error medio cuadráticoLa raíz cuadrada del error medio cuadrático (RCEMC) es una expresión matemática que captura

tanto la magnitud como la variabilidad de las desviaciones de una serie de puntos de muestreo. Sufórmula es:

RCEMC = ± ( � (ri) 2 / n) 0.5 (3)

en donde: ri : Residuos

n : tamaño de la muestra

Desviación estándar o típica (DT)La desviación estándar, también conocida como error estándar en el ambiente cartográfíco,

expresa la desviación de los errores (ri) con respecto al promedio � r y su expresión matemática esla siguiente:

DT = ( � (ri - � r ) 2 / n-1) 0.5 (4)

Cuando � r = 0 el RCEMC es igual a la desviación estándar de los errores; sin embargo si � rg0 el valor del RCEMC será mayor que DT. En la literatura relacionada con los errores en cartografíase le denomina con frecuencia a ambos términos error estándar.

Cuando los residuos tienen una distribución normal, el 95% de los mismos se encontrarán entre-2DT y +2DT. Otros valores de uso común son los siguientes:

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Del análisis de la presente sección se desprende que existen varias expresiones matemáticas paracuantificar el error asociado al MDE y que no todas indican lo mismo. Esto puede crear confusióne incertidumbre en el usuario del MDE; para evitar esta inconveniente se recomienda describir cadatérmino utilizado y especificar su respectiva fórmula.

5.2 Estándares o normas para la cartografía altimétricaLa investigación en cartografía hipsométrica ha demostrado que el error asociado a los valores

de elevación está fuertemente influenciado por la pendiente del terreno. A continuación se brindandos ecuaciones conocidas como ecuaciones de Koppé (Maling,1987) que permiten determinar elerror esperado en un MDE tanto en elevación como en planimetría:

RCEMC en elevación RCEMCZ = ± (A+B * tan � ) (5)RCEMC en posición RCEMCP = ± (B+A * cot � ) (6)

en donde:

RCEMC: raíz cuadrada del error medio cuadrático � : gradiente de la pendiente en grados.A y B: constantes establecidas por cada país/usuario.

El desplazamiento planimétrico (°P) y el error altimétrico (°Z) será el mismo para áreas con unapendiente de 45º (100%) y por lo tanto el error altimétrico siempre será menor que el planimétrico(cuadro 3). Los valores de “A” y “B” son constantes establecidas por cada país en función de laescala del mapa y los requisitos de exactitud deseados. Para la cartografía 1:50000 de Costa Rica,las ecuaciones anteriores brindarían los siguientes errores:

Múltiplo de DT % de puntos incluidos Denominación q=1-P % k0.6745 50 Error medio 0.5 50 1/21.01 68.3 Error estándar 0.333 33.3 1/31.5 86.6 0.143 14.3 1/71.645 90 0.1 10 1/102.0 95.5 0.05 5 1/203.0 99.7 Error “máximo”* 0.003 0.3 1/33340. 0 99.9 0.0001 0.01 1/10000

1-P: Probabilidad de que las observaciones exceden dichos límites por factores de azar.%: Porcentaje de 1as observaciones que exceden dichos límites por factores de azar.

*: Conocido como criterio de Chauvenet (Maling, 1989). Cualquier residuo que exceda 3desviaciones estándares es considerado como un valor extremo y es candidato a ser eliminado.

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Cuadro 3: Errores esperados en planimetría y elevación para la cartografía 1:50.000 de Costa Rica,basado en Maling (1987).

Pendiente �(grados)

Pendiente �(%)

Categoría de pendiente RCEMCZ

(±m)RCEMCP

(±m)

2.5 4.4 Ligeramente ondulado(2-6%) 1.94 44.35

5 8.75 Ondulado (6-15%) 2.37 27.14

10 17.6 Fuertemente ondulado (15-30%) 3.26 18.51

20 36.4 Escarpado (30-50%) 5.14 14.12

30 57.7 Fuertemente Escarpado(50-75%)

7.27 12.59

40 83.9 Montañoso (>75%) 9.89 11.79

45 100 Montañoso (>75%) 11.50 11.50

RCEMCZ = 1.5 +10*tan � RCEMCP = 10+1.5*cot � �: pendiente en grados

En general, los valores anteriores coinciden con la norma utilizada en la cartografía de losEstados Unidos de América, la cual indica que un 90% de los puntos muestreados debe tener unerror inferior a media curva ( Maling, 1989). Para la cartografía 1:50.000 de Costa Rica con curvasde nivel cada 20 metros y auxiliares cada 5 metros (en lugares planos) dicha norma corresponde a10 y 5 metros, respectivamente.

A partir de la norma anterior y considerando que toda curva de nivel tiene un error planimétricoy otro altimétrico se puede utilizar la siguiente ecuación para determinar el error esperado enelevación para la cartografía 1:200.000 (Maling, 1989):

°Z = 0.5 IC + 0.5mm* tan � (7)en donde: � : representa la gradiente de la pendiente en grados. IC: intervalo de la curva de nivel0.5mm: Este valor corresponde a la norma utilizada en los Estados Unidos de América para evaluarla exactitud planimétrica de los mapas con escalas inferiores a 1:24.000. Dicha norma establece que90% de los puntos muestreados deben encontrarse a no mas de 0.5mm de su posición verdadera.

El cuadro 4 ilustra la aplicación de la ecuación 7 a la cartografía 1:200.000 de Costa Rica. Elerror máximo esperado en elevación para la cartografía a escala 1:200.000 es igual al 1.5 veces elintervalo entre curvas de nivel, lo cual excede el estándar utilizado en los Estados Unidos deAmérica para evaluar la exactitud en altimetría de la cartografía con escalas inferiores 1:24.000.Dicha norma establece que ningún punto de muestreo debe exceder el valor de una curva de nivel.

11

Cuadro 4: Errores esperados para la cartografía 1:200.000 de Costa Rica con curvas de nivel cada100m, basado en Maling (1989).

Pendiente �(grados)

Pendiente �(%)

Categoría de pendiente RCEMCZ

(±m)

2.5 4.4 Ligeramente ondulado(2-6%) 54.4

5 8.75 Ondulado (6-15%) 58.8

10 17.6 Fuertemente ondulado (15-30%) 67.6

20 36.4 Escarpado (30-50%) 86.4

30 57.7 Fuertemente Escarpado(50-75%) 107.7

40 83.9 Montañoso (>75%) 133.9

45 100 Montañoso (>75%) 150.0

5.2.1 Estándares para modelos digitales de elevaciónLos estándares propuestos para la cartografía analógica (Ej. ecuaciones de Koppé y Normas de

la Agencia Cartográfica de los Estados Unidos de América) se basan en la gradiente de la topografíay/o la escala del producto cartográfico. En los modelos digitales de elevación no existe la escalacomo tal y por tanto se consideran independientes de la misma; sin embargo para los archivos rasterpuede utilizarse la separación entre los nodos de la cuadrícula como un equivalente de la escala. Ley(1986) citado por Shearer (1990), sugiere utilizar la siguiente equivalencia entre escala y resoluciónde la celda:

Separación entre nodos Equivalente a escala Error planimétrico (RCEMC)30 m 1:50.000 90% de los errores �25 m100 m 1:250.000 90% de los errores �125 m

Utilizando esta equivalencia puede establecerse la exactitud de un MDE a partir de las normasutilizadas para la cartografía convencional. Un Modelo Digital del Terreno (DEM, por su siglas eninglés) en los Estados Unidos de América es un archivo digital de puntos con un espaciamientoconstante en sentido norte-sur (X,Y) y con un valor de elevación en el eje Z (Maune, 1994). A partirde los mapas 1:24.000 se trazan perfiles en sentido Norte-Sur con una separación de 30 m entre sí.Cada perfil a su vez contiene puntos con una separación de 30m; por cuanto el producto final es unamatriz regular de 30*30m. Para los mapas 1:250.000, la separación entre los perfiles y los puntosestá basado en coordenadas geográficas (latitud, longitud). La separación entre perfiles y puntos esde 3 segundos de arco, lo cual corresponde a aproximadamente 90m en el sentido norte-sur y a unadistancia variable en el sentido este-oeste. Esta última distancia depende de la ubicación del lugarya que los meridianos convergen conforme aumenta la latitud. A continuación se describen lasespecificaciones de los MDT de nivel I, II y III utilizados en los Estados Unidos de América (Brown,

12

1994; Maune, 1994;Veregin, 1997). En todos los casos el error es calculado a partir de una muestrade al menos 28 puntos.

Nivel I:Los valores de elevación son estimados a partir de métodos fotogramétricos. El MDT debe tener

un error máximo (RCEMCz) de 15m y ningún error puede exceder 50M (aproximadamente 3 vecesla RCEMC). Este MDT cumple con los requisitos para elaborar ortofotos a escala 1:12.000.

Nivel II:EL MDT es creada a partir de curvas de nivel y el error (RCEMCz) máximo permisible es 0.5

veces el intervalo entre curvas de nivel del mapa fuente; además ningún error puede superar elintervalo de una curva de nivel. Las especificaciones de este nivel están diseñadas para que el usuarioobtenga resultados similares a los que obtendría con métodos manuales y utilizando mapas impresosa la misma escala.

Nivel IIIEste MDT es derivado de curvas de nivel y otra información auxiliar. El error máximo permisibleen elevación (RCEMCZ) es de 7 m y ningún error puede superar el intervalo de una curva de nivel.

Debido a que los estándares anteriores están basados en normas para cartografía analógica, elComité Federal para Datos Geográficos de los Estados Unidos de América aprobó en junio de 1998los “Estándares Nacionales de Exactitud para Datos Espaciales” (NSSDA, por su siglas en inglés)(http://mcmcweb.er.usgs.gov/sdts/, http://www.fgdc.gov/standards/status/sub1_3.html). Dichosestándares definen la metodología y los estadísticos a utilizar para evaluar la exactitud tanto demapas digitales como analógicos. Estos nuevos estándares recomiendan calcular un intervalo deconfianza al 95% para el error (1.96*RCEMCz). A los interesados en hojas electrónicas diseñadaspara implementar dicho estándar se les remite a http://www.lmic.state.mn.us.

6. SITIO DE ESTUDIOEl área de estudio corresponde a los 51100 Km2 de área terrestre de Costa Rica. El país se

caracteriza por una topografía muy variada, la cual incluye desde llanuras en la Zona Norte y Caribe,hasta áreas montañosas como las cordilleras de Guanacaste, Tilarán, Central y Talamanca. Tambiénposee valles tales como el Tempisque en el norte, Central; Coto Brus; Diquis y Coto Colorado enel sur y Talamanca y Estrella en el Caribe. La elevación máxima es 3820m y se encuentra en la cimadel Cerro Chirripó.

7. METODOLOG ÍA

7.1 DatosEl modelo digital de elevación se elaboró a partir de curvas de nivel con un intervalo de 100

metros y digitadas de la cartografía 1:200.000 del Instituto Geográfico Nacional de Costa Rica. Paraevaluar la exactitud del modelo se utilizó un set de 7231 puntos con elevaciones conocidas digitadosde la cartografía1:50.000 del Instituto Geográfico Nacional de Costa Rica.

13

7.2 Software utilizadoLa elaboración de modelos digitales de elevación (MDE) a partir de curvas de nivel o puntos de

muestreo (X,Y,Z) es una de las funciones presentes en la mayoría de los Sistemas de InformaciónGeográfica (Ej. SPRING, Surfer, IDRISI, ILWIS, GRASS, Terrain Analyst de Intergraph, etc.)(Thoen,1997). En el presente estudio se seleccionó IDRISI (módulo Intercon) (Eastman, 1997) yla extensión 3D Analista de ArcView (ESRI, 1997) para crear los modelos digitales de elevación.Ambos programas se utilizan tanto en el ambiente nacional como en la región centro americana ypor tanto el autor espera que las conclusiones y experiencias puedan fácilmente adaptarse a los otrospaíses de la región.

Para el proceso en IDRISI las curvas de nivel fueron rasterizadas con una resolución de 50*50men Analista Espacial de ArcView (ESRI, 1998) y luego exportadas a IDRISI. El archivo originaltenía 7446 columnas *7034 hileras (5.2 millones de celdas) y su tamaño era de102.3MB. No fueposible procesar dicho archivo en IDRISI; el programa creó un archivo temporal de 512MB y luegose detuvo. Por esta razón el país se dividió en cinco segmentos, con tamaños de archivo entre 10 y50MB cada uno. Una vez creado el MDE se filtró dos veces con un filtro promedio (Eastman, 1992;Fallas,1998) y posteriormente se exportó al formato GRID de ArcInfo para continuar el proceso enArcView GIS.

Por su parte el modelo TIN fue creado en 3D Analista a partir de las curvas de nivel yposteriormente rasterizado utilizando cuatro resoluciones: 50*50m, 100*100m, 200*200m y400*400m. El análisis estadístico se realizó con el programa StatMost (1995).

7.3 Validación del modeloLa validación del modelo consistió en un análisis visual y en otro estadístico. El primero permite

verificar si los MDE pueden reproducir las curvas de nivel a partir de las cuales habían sido creados;en tanto que el segundo brinda una estimación del error asociado al modelo.

7.3.1 Análisis visualLa evaluación visual consistió en determinar sí el MDE creado tanto con 3D Analista como con

Intercon de IDRISI era capaz de recrear las curvas de nivel a partir de las cuales había sido creado.Para esto se procedió de la siguiente manera. Primero, utilizando la extensión “X-Tools” (DeLaune,1999), se seleccionaron 6 áreas de muestreo de 10*10Km cada una, asegurándose de incluir zonasplanas (Ej. Caribe), onduladas (Coto Brus, Península de Sta. Elena), ligeramente onduladas (ValleCentral, San Carlos), fuertemente onduladas (Península de Nicoya) y escarpadas (Chirripó). Luego,para cada sitio, el MDE fue reclasificado en clases de 100 m; también se crearon curvas de nivel conun intervalo de 100 metros a partir de los MDE. Finalmente, se visualizó el mapa para cada zona aescala 1:70000 y se inspeccionó la concordancia entre las curvas de nivel originales y las derivadasdel MDE.

16

7.3.2 Análisis cuantitativoEl análisis cuantitativo tiene como objetivo responder a dos preguntas: ¿cuál es la exactitud de

los modelos creados? y ¿cuál es la resolución óptima para el MDE en formato raster? Lametodología consistió en rasterizar el MDE creado a partir de la curvas de nivel (modelo de datosTIN) utilizando las siguientes resoluciones: 50*50 m, 100*100 m, 200*200 m y 400*400 m. Elefecto de la resolución en el error del MDE se evaluó utilizando un set de 7231 puntos conelevaciones conocidas digitados de la cartografía 1:50.000 del Instituto Geográfico Nacional. Laelevación estimada para cada punto fue extraída del MDE con la extensión “USC-CLA GridUtilities" (University of South Carolina,1998). Posteriormente, para cada punto se determinó el error;así como la raíz cuadrada del error medio cuadrático para la totalidad de los datos y por clases deelevación de 500 metros. Las fórmulas utilizadas fueron las siguientes:

Error absoluto (m) = Elevación de referencia - elevación estimada del MDE (m) (8)

Error Relativo ( %) = Error (m) / Elevación de referencia * 100 (9)

Raíz Cuadrada del Error Medio Cuadrático (m) = ( � (error)2 / n)0.5 (10)

IC 95% : 1.96*(Raíz Cuadrada del Error Medio Cuadrático) (11)

8. RESULTADOS

8.1 Evaluación visualEl modelo digital de elevación creado a partir de las curvas de nivel del mapa 1:200.000 se

muestra en la figura 3. El MDE en formato TIN tiene un total de 529033 vértices y 1.035.514triángulos y su tamaño es de 36 MB. El tamaño de los archivos raster con valores enteros está enfunción de su resolución: 24.2MB para 50*50m; 8.11MB para 100*100m; 2.03MB para 200*200m;0.59MB para 400*400m y 28.1MB para el archivo creado con IDRISI (50*50m).

La apariencia visual del modelo refleja con claridad los diferentes rasgos topográficas del país.Por ejemplo, las cordilleras de Guanacaste, Volcánica Central y Talamanca pueden identificarse confacilidad; así como los valles de Coto Brus, La Estrella y Central. También es visible el áreamontañosa de la península de Nicoya. La figura 4 muestra la ubicación de los 6 áreas seleccionadaspara evaluar visualmente la concordancia entre las curvas de nivel creadas a partir del MDE y lascurvas de nivel originales. Las áreas de muestreo poseen una pendiente promedio que oscila entre0% para el Caribe y 45% para Talamanca; la densidad de curvas de nivel registrada fue de 0Km/Km2 para el Caribe y 5.23 Km/Km2 para Talamanca (cuadro 5). La densidad de curvas para elCaribe indica que dada la generalización del mapa no existe ninguna curva en el área muestreada.

17

Cuadro 5: Pendiente mínima, máxima, media y desviación estándar para seis sitios de muestreo,Costa Rica. Cada sitio representa un área de 10*10Km.

Sitio Pendiente (%) DensidadcurvasKm/Km2

Categoría de Relieve-Pendiente

Mín

Máx

Media

Desv.Est.

Caribe 0 1 0 0 0 Plano (0-2%)

Valle Central 0 60 3 5 0.84 Ligeramente ondulado (2-6%)

San Carlos 0 103 5 10 1.05 Ligeramente ondulado (2-6%)

Coto Brus 0 105 12 14 2.09 Ondulado (6-15%)

Murciélago 0 93 14 16 2.61 Ondulado (6-15%)

Nicoya 0 106 16 16 2.80 Fuertemente ondulado (15-30%)

Talamanca 0 135 45 22 5.23 Escarpado (30-50%)

Con el objetivo de evaluar el efecto de puntos auxiliares en la capacidad del modelo TIN parareproducir las curvas de nivel originales, se adicionaron 134 puntos al área de muestreo No.6 (CotoBrus). Los puntos fueron digitados desde la pantalla y los valores de elevación estimados a partir delas curvas de nivel originales. Aun cuando esto mejoró la capacidad el modelo TIN para recrear lascurvas de nivel el problema no fue resuelto del todo (ver fig. 5). Dado lo tedioso de digitar puntosen forma manual, el método parece poco recomendable para áreas extensas. La raíz cuadrada delerror medio cuadrático tampoco se redujo al adicionar los puntos.

La figura 6 muestra las curvas de nivel derivadas del modelo TIN y del modelo creado conIntercon de IDRISI para el área de muestreo No. 6 (Coto Brus). De esta gráfica también se concluyeque el modelo de triángulos irregulares no logró recrear las curvas de nivel originales. La magnituddel error es variables; sin embargo la discrepancia es mayor para áreas con curvas elongadas o concambios bruscos en su dirección. El adicionar elevaciones auxiliares no mejoró la capacidad delmodelo TIN para reproducir las curvas de nivel originales. Por su parte, las curvas de nivel creadasa partir del MDE interpolado con Intercon de IDRISI logró recrear mucho mejor las curvas de niveloriginales; aun cuando también generalizó algunas curvas y omitió algunas otras. También se realizóotra prueba que consistió en generar curvas de nivel cada 500m y compararlas entre modelos y conlas originales. En este caso ambos modelos crearon curvas muy similares; aun cuando nuevamenteel interpolador Intercon de IDRISI generó las mejores curvas.

18

3

A B

1 2

4

Fig. 5: La adición de puntos auxiliares permite crear un TIN que recrea mejor las curvas de niveloriginales. 1. Observe que en este caso el TIN no logró recrear la ubicación de las curvas de nivel300 y 400m. 2. Una vez adicionados los puntos, el nuevo TIN ubicó correctamente el área entre lacurva 300 y 400m. 3 y 4: En este caso la adición de puntos permite separar las áreas con elevacionessuperiores a los 800m.

Fig. 6: Curvas de nivel creadas a partir de MDE (color negro) y curvas de nivel originales (colorrojo). Área de muestreo No. 6: Coto Brus. A: Intercon de IDRISI. B: TIN de 3D Analista.

19

8.2 Evaluación cuantitativaLa evaluación cuantitativa que se describe a continuación asume que el valor de elevación para

cada uno de los 7231 puntos digitados de la cartografía 1:50.000 (Fig. 7) y utilizados comoreferencia tienen un mayor grado de exactitud tanto planimétrica como altimétrica que las curvas denivel utilizadas para crear el MDE.

Fig. 7: Distribución de los 7231 puntos utilizados en la validación del MDE. Fuente: Cartografía1:50.000 del ING-CR.

La distribución de los puntos de referencia por categoría de elevación se presenta en el cuadro 6.La clase 0-500 metros es la mejor representada con un 60% de la muestra, en tanto que la clase 3500-3814 es la menos representada con apenas un 0.2% de los datos (12 observaciones). Sin embargo,para las otras clases se cuenta con al menos 85 puntos por categoría; lo que asegura un tamaño demuestra adecuado desde un punto de vista estadístico. Los estadísticos descriptivos por categoría deelevación indican que los puntos de muestreo están bien distribuidos al interior de cada clase y portanto representan la variabilidad del paisaje a evaluar.

20

Cuadro 6: Distribución de puntos de muestreo por categoría de elevación.

Clase Frecuencia absoluta

frecuencia relativa (%)

Elevaciones de referencia (m)

Mín. Máx Media

S

0-500 4336 60.0 2 500 179 138

501-1000 1213 16.8 501 999 718 144

1001-1500 712 9.8 1001 1500 1231 146

1501-2000 405 5.6 1502 1999 1730 146

2001-2500 291 4.0 2001 2499 2220 141

2501-3000 177 2.4 2506 2999 2714 133

3001-3500 85 1.2 3002 3491 3200 137

3500-3814 12 0.2 3545 3819 3678 92

Total 7231 100.0

S: desviación estándar

Error promedio y absoluto promedioEl error promedio general y por categoría de elevación fue positivo; esto significa que existe una

tendencia a sobreestimar los valores de elevación derivados del MDE. En todos los casos ladistribución de los errores mostró una asimetría hacia la izquierda (fig.8). El error varío entre -98mpara la clase 0-500m y 230 a 250m para la clase 1000-1500m.

El error absoluto promedio para los 7231 puntos de muestreo fue de 42m para el modelo creadocon IDRISI y 48m para el modelo TIN. Los archivos raster mostraron errores de 48m, 49m y 56mpara resoluciones de 50*50m, 100*100m, 200*200m y 400*400m, respectivamente (cuadro 7 yfigura 9). Estos valores indican que en promedio los MDE, con excepción del último, cumplen conla norma utilizada para la cartografía analógico y que dice “en promedio el error no debe exceder lamitad de una curva de nivel” (50m).

21

300250200150100500-50-100

Error (m)

200015001000

5000

50m

200015001000

5000

100m

200015001000

5000

200m

200015001000

5000

400m

200015001000

5000

IDR

ISI

RCEMC: 56m

RCEMC: 57m

RCEMC: 58m

RCEMC: 65m

RCEMC: 51m

Fig. 8: Distribución de errores para MDE creados con IDRISI y 3D Analista. La línea roja indica elerror máximo permisible.

Cuadro 7: Error absoluto promedio para modelo TIN y para archivos raster derivados del MDE conresoluciones entre 50 y 400m. N: 7231 puntos de muestreo.

CLASE(m)

Error promedio absoluto (m)

TIN 50*50m

100*100m

200*200m

400*400m

Intercon IDRISI(50*50m)

0-500 45 45 45 46 49 40

501-1000 48 48 48 51 61 43

1001-1500 50 50 50 53 64 44

1500-2000 50 50 50 55 73 45

2001-2500 54 54 54 60 80 50

2501-3000 54 54 54 58 73 49

3001-3500 60 60 60 63 74 54

3501-3819 61 61 61 68 102 52

Promedio (m) 48 48 48 49 56 42

Ámbito (m) 0-230 0-230 0-230 0-230 0-235 0-250

Error �100 (%) 4.2 4.2 4.2 4.3 9.0 2.5

22

IDRISI400m200m100m50mTIN

Interpolador, resolución

300

250

200

150

100

50

0

-50

Err

or (

m)

Fig.9: Diagrama de Box-Whisker para errores absolutos por método de interpolación y resolucióndel archivo raster.

El error absoluto promedio por categoría de elevación mostró una correlación positiva ( R=0.95a 0.97, P=0.0000, N=8) con la elevación media. El error absoluto promedio más pequeño (40m)pertenece a la categoría 0-500m y el mayor (61m) a la categoría 3500-3819m. Este resultado esconsistente con lo reportado por otros investigadores (Kumler, 1992; Gao, 1997) en cuanto a queel error aumenta con el grado de complejidad del paisaje (Fig. 10). En todos los casos el MDE creadocon Intercon de IDRISI mostró los errores más pequeños (40 a 54m). El intervalo de confianza parael error absoluto promedio (Fig.11) confirma la superioridad del modelo creado con intercon deIDRISI con respecto al modelo TIN. Observe que la amplitud del intervalo es muy pequeña debidoal tamaño de la muestra.

La distribución de errores superiores a 100m (cuadro 7 y fig. 12) indica que ninguno de los MDEcumple con la norma estipulada por el Servicio Geológico de los de los Estados Unidos de América(“USGS”) para los MDT de nivel II; la cual establece que en “ningún caso el error podrá exceder elintervalo de una curva de nivel”. Para el modelo creado con Intercon de IDRISI sólo el 2.6% de loserrores excedieron los 100m en tanto que para el modelo TIN el valor fue de 4.4%. La distribuciónporcentual de errores mayores que 100m por categoría de elevación fue muy similar para ambosmodelos; el primero acumuló un 62.7% de los mismos en la clase 0-1000m en tanto que el segundoun 66.4%.

23

80

60

40

20

0

RC

EM

C (

m)

Caribe

S. Car

los

0.0

0.84

1.05

2.09

2.61 2.85.23 Leyenda

IdrisiTINN

V. Cen

tral

Coto

Brus

Mur

ciélag

o

Nicoya

Talam

anca

Idrisi400m200m100mTIN

60

55

50

45

40

Err

or (

m)

Interpolador, resolución

Fig.10: Relación entre complejidad del paisaje y raíz cuadrada del error medio cuadrático.

Fig.11: Error promedio absoluto e intervalo de confianza al 95% para modelos de elevación digitalcreados con 3D Analista e intercon de IDRISI. N: 7231.

24

120

90

60

30

0

Fre

c. A

bs.

LeyendaTINIdirisi

0-50

0

500-

1000

1000

-150

0

1500

-200

0

2000

-250

0

2500

-300

0

3000

-350

0

3500

-381

9

125

100

75

50

25

0

RC

EM

C (

m)

0-50

0

500-

1000

1000

-150

0

1500

-200

0

2000

-250

0

2500

-300

0

3000

-350

0

3500

-381

9

LeyendaTin200m400mIdrisi

Fig. 12: Distribución de errores absolutos superiores a 100 m por categoría de elevación.

Raíz cuadrada del error medio cuadráticoEl cuadro 8 presenta la raíz cuadrada del error medio cuadrático por categoría de elevación para

los MDE creados con Intercon de IDRISI y 3D Analista de ArcView. También se presentan loserrores para los archivos raster derivados del TIN con una resolución de 50*50 m, 100*100m,200*200m y 400*400m. Para ninguno de los modelos la raíz cuadrada del error medio cuadráticofue inferior a media curva de nivel (50m) (Fig. 13) y por tanto ninguno de ellos cumple con la normaaplicada a la cartografía analógica. Sin embargo, el error del modelo creado con IDRISIestadísticamente es igual a 50m (P=0.05) y por tanto puede considerarse que cumple con la norma;además, el IC indica que de 100 puntos de muestreo sólo 5 excederán el valor de una curva de nivel.

Fig. 13: Distribución de la raíz cuadrada del error medio cuadrático (m) por categoría de elevacióny método de interpolación.

25

Cuadro 8: Raíz cuadrada del error medio cuadrático por categoría de elevación. Datos de elevaciónobtenidos de MDE en formato TIN y raster con una resolución de 50*50 m, 100*100m, 200*200my 400*400m.

Clase(m)

N Raíz cuadrada del error medio cuadrático (m)

TIN 50*50m

100*100m

200*200m

400*400m

Intercon50*50m

0-500 4336 54 54 54 55 58 48

501-1000 1213 58 58 58 60 69 52

1001-1500 712 59 60 60 61 74 54

1500-2000 405 59 60 60 62 80 53

2001-2500 291 63 64 64 67 88 58

2501-3000 177 63 64 64 66 80 57

3001-3500 85 71 71 71 72 82 63

3501-3819 12 54 68 68 71 105 56

Media 56 56 57 58 65 51

IC 95% 110 110 112 114 127 100

IC 95% = RCEMC * 1.96

9. CONCLUSIONESUn modelo digital de elevación puede crearse utilizando una estructura de datos raster ó una

vectorial y diversos métodos de interpolación. De la investigación realizada hasta la fecha(Ackerman, 1978; Carrara, Bitelli y Carla, 1997; Fallas, 1998; Heywood, Price y Petch, 1995) noes posible afirmar que un método o modelo de datos es superior otro. Por esta razón el usuario deun determinado programa de software debe evaluar los resultados de su modelo, documentar el gradode error y decidir sí la calidad del mismo es apropiada para sus necesidades.

EL presente trabajo trató de responder a dos preguntas básicas; primero ¿es posible crear un MDEa partir de curvas de nivel derivadas de la cartografía 1:200.000 de Costa Rica? y segundo ¿cumpleel MDE con la calidad especificada para el nivel II del Servicio Geológico de los Estados Unidosde América?. Las principales conclusiones del trabajo son:

1. Los dos programas utilizados (IDRISI y 3D Analista de ArcView) poseen métodos deinterpolación que permiten crear un MDE a partir de curvas de nivel.

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2. Los dos programas poseen fortalezas y limitaciones; sin embargo ninguno logró reproducir lasirregularidades del paisaje representadas por las curvas de nivel. El interpolador utilizado porIDRISI fue ligeramente superior al modelo TIN de 3D Analista.

3. La raíz cuadrada del error medio cuadrático del modelo TIN fue de 57 metros en tanto que parael modelo creado con IDRISI fue de 50.5m. Sin embargo, estadísticamente el error del modelocreado con IDRISI es igual a 50m (P=0.05) y por tanto cumple con la norma de que el error medio(RCEMCZ) no debe exceder media curva de nivel.

4. El ámbito de los errores fue de -98m a 230m para el modelo TIN y -98 a 250m para el modelo deIDRISI.

5. El modelo creado con IDRISI cumple con la norma requerida para mapas a escala 1:200.000 y portanto el autor recomienda su uso. Esta afirmación no aplica a clases particulares de elevación; yaque en dicho caso el error esperado es mayor.

10. BIBLIOGRAF ÍA

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Fig. 3: Modelo digital de elevación elaborado a partir de curvas de nivel con una separación de 100m. Software: 3D Analista de ArcView.

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Fig. 4: Ubicación de las áreas de muestreo utilizadas para la evaluación visual del MDE. Software: 3D Analista de ArcView.