Tarea # 7. Cálculo Diferencial e Integral

Profesor: Francisco Javier Hernández Velasco. 1

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

Unidad 4: COMPORTAMIENTO GRÁFICO. Aprendizaje. Analizar las relaciones entre la gráfica de una función y sus derivadas para obtener información sobre el comportamiento de la función.

Definición. Una función f es creciente si los valores de ( )y f x= aumentan a medida que x aumenta.

Una función f es decreciente si los valores de ( )y f x= disminuyen a medida que x aumenta. La gráfica de una función creciente sube al moverse de izquierda a derecha. La gráfica de una función decreciente baja al moverse de izquierda a derecha.

Actividad 1. Determina en que intervalos la gráfica de la función ( )y f x= (figura 1) es creciente o decreciente,

( )y f x= 0 Figura 1. Gráfica de una función continua en el intervalo cerrado 1 2[ , ]x x . Solución. Completa los enunciados siguientes: En el intervalo [x1, x2] la función f es ______________.

En el intervalo [x2, x3] la función f es ______________.

En el intervalo [x3, x4] la función f es ______________. Definición. Crecimiento. Una función ( )f x es creciente sobre cualquier intervalo en el que (́ ) 0f x > , y es decreciente sobre

cualquier intervalo en el que (́ ) 0f x < .

Definición. Número critico. Un número c en el dominio de una función f se llama número critico de f , si (́ ) 0f c = o bien

(́ )f c no existe.

“El hombre verdaderamente bueno jamás censura a la gente por los males que le ocurren”. Paul Valery.

A

B

C D

y

x 1x 2x 3x 4x

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Ejemplo 1. Determina dónde crece y dónde decrece la función 3 2( ) 3f x x x= − . Solución. Primero derivamos y después encontramos los números críticos igualando su derivada a cero.

2(́ ) 3 6 3 ( 2) 0f x x x x x= − = − =

los números críticos son: 0, 2.x x= =

Dividimos la recta real en tres intervalos cuyos puntos extremos sean los números críticos 0 y 2, y determinamos los signos de cada factor que aparece en la derivada y sintetizamos nuestro trabajo en una tabla.

0 2 (-∞, 0) (0, 2) (2, ∞)

Intervalo 3x 2x − (́ )f x Comportamiento de f (-∞, 0) - - + Creciente

(0, 2) + - - Decreciente (2, ∞) + + + Creciente

En la última columna de la tabla se da la conclusión de cómo es el comportamiento de la función

en el intervalo. Por ejemplo, (́ ) 0f x < en el intervalo abierto (0, 2), de modo que f es decreciente en ese intervalo, y hemos colocado debajo del intervalo una flecha hacia abajo que nos indica ese hecho. La gráfica de f se muestra en la figura 2.

Figura 2. Gráfica de la función 3 2( ) 3f x x x= − .

En la figura 3 hemos representado tanto a la gráfica de ( )y f x= como a la gráfica de

(́ )y f x= . Observa la relación entre las dos gráficas. En los intervalos (-∞, 0) y (2,∞) la función f es

creciente por lo que (́ ) 0f x > (la gráfica de la función ´f tiene imágenes positivas, es decir arriba del

eje x ), en el intervalo (0, 2) la función f es decreciente así (́ ) 0f x < (la gráfica de la función ´f se

encuentra abajo del eje x ). Cuando la derivada es cero, la gráfica de ´f intersecta al eje x , pues su imagen es cero.

y

x

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Figura 3. Gráficas de y = f(x) y de y = f´(x). Ejemplo 2. Determina los intervalos en que 4 2( ) 2f x x x= − es creciente o decreciente. Solución. Al igual que en el ejemplo anterior, primero derivamos a la función y después la igualamos a cero

3 2(́ ) 4 4 4 ( 1)f x x x x x= − = − 24 ( 1) 0x x − =

Por lo tanto 1, 0, 1x x x= − = = son los números críticos Dividimos al eje real en cuatro intervalos Resumimos, en la tabla siguiente, el análisis del signo de la derivada en cada intervalo.

Intervalo 4x 2 1x − ´f Comportamiento de f (-∞, -1) - + - Decreciente

(-1, 0) - - + Creciente (0,1) + - - Decreciente (1, ∞) + + + Creciente

La gráfica de f se muestra en la figura 4.

Figura 4. Gráfica de 4 2( ) 2f x x x= − . En la figura 5 hemos representado las gráficas de las funciones ( )y f x= y (́ )y f x= . Observa la relación entre las dos gráficas y completa los enunciados siguientes.

y

x

y= f’(x)

y= f(x)

)1,( −−∞ ),1( ∞ (-1,0) (0,1) -1 1 0

y

x

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En los intervalos (- ∞,-1) y (0,1) la función f es decreciente, la gráfica de la función ´f se encuentra _________________ del eje x . En los intervalos (-1,0) y (1,∞) la función f es creciente, la gráfica de la función ´f se encuentra _________________ del eje x . Los puntos donde la derivada es cero son: _____________.

Figura 5. Graficas de y = f (x) y de y = f ´(x) . EJERCICIOS En los ejercicios 1 a 4, determina los intervalos donde la función f es creciente y decreciente. Haz las

gráficas de la función f y ´f .

1. 2( ) 5 1f x x x= + + 2. 2( ) 4 2f x x x= − + + 3. 3( ) 3 1f x x x= − +

4. 4 3( ) 3 2f x x x= − + . En los ejercicios 5 y 6, dibuja una gráfica de una función con las propiedades dadas. 5. a) (0) 1f = , b) (2) 5f = , c) (́ ) 0f x < para 0x < y 2x > , d) (́ ) 0f x > para 0 2x< < . 6. a) (́ 5) 0f − = ; b) (́0) 0f = ; c) (́5) 0f = ; d) (́ ) 0f x > en (- ∞, -5) ó (5, ∞)

e) (́ ) 0f x < para 5 5x− < < . 7. Dibuja la gráfica de ´f a partir de la gráfica de f dada.

y=f(x)

y

x

y=f(x)

y=f’(x)

y

x