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UNIVERSIDAD NACIONAL

AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLÁN

PROYECTO FINAL

APLICACIÓN DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN

LINEAL

Materia:

OPTIMIZACIÓN LINEAL

ELABORÓ:

ORTEGA BARO ARIADNA QUETZALLY

LORENZO HERNANDEZ ROSA ISELA

GRUPO: 1501

FECHA ENTREGA: NOVIEMBRE 27, 2015

Página | 1

1. INTRODUCCIÓN……………………………………………………………………………………………2

2. PROBLEMA DE APLICACIÓN……………………………………………………………………………3

3. PLANTEAMIENTO………………………………………………………………………………………….4

4. SOLUCIÓN…………………………………………………………………………………………………..4

4.1 INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS………………………………………………………..6

5. INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DEL DUAL………………………………………………………….7

6. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD…………………………………………………………………………...8

7. CONCLUSIONES………………………………………………………………………………………..…10

8. BIBLIOGRAFÍA…………………………………………………………………………………………….12

ÍNDICE

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INTRODUCCIÓN

La Programación Lineal es una pequeña parte de una teoría matemática que se ha consolidado en el

siglo XX con el nombre de Optimización. En general, se trata de un conjunto de técnicas matemáticas

que intentan obtener el mayor provecho posible de sistemas económicos, sociales, tecnológicos cuyo

funcionamiento se puede describir matemáticamente de modo adecuado.

La programación lineal aborda una clase de problemas de programación donde tanto la función objetivo

a optimizar como todas las relaciones entre las variables correspondientes a los recursos son lineales.

Este problema fue formulado y resuelto por primera vez a fines de la década del 40. Rara vez una

nueva técnica matemática encuentra una gama tan diversa de aplicaciones prácticas de negocios,

comerciales e industriales y a la vez recibe un desarrollo teórico tan exhaustivo en un período tan corto.

Hoy en día, esta teoría se aplica con éxito a problemas de presupuestos de capital, diseño de dietas,

conservación de recursos, juegos de estrategias, predicción de crecimiento económico y sistemas de

transporte. Recientemente la teoría de la programación lineal también contribuyó a la resolución y

unificación de diversas aplicaciones.

OBJETIVO

Se buscara solucionar un problema relacionado a los recursos de una panadería, posteriormente se

plantearan cada uno de los modelos y se solucionaran mediante PH simplex una vez con los resultados

se analizaran y se realizara una interpretación de ello. De esta manera se pondrán en práctica los

conocimientos adquiridos a lo largo del curso.

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PROBLEMA DE APLICACIÓN

La panadería El Cheff's es un negocio familiar que se dedica a realizar cierto tipo de panes: donas,

cuernitos, pasteles, orejas, conchas, pan de nuez, pan de frutas, pan seesamo, pan de queso, Baguette,

Pretzel, Pan integral, roscas, tartas, panques. A continuación se muestra la tabla con los ingredientes:

PAN Centeno (%) Cebada (%)

Trigo (%)

Azúcar (%)

Semillas (%)

Huevo (%)

Precio(Kg) $

Dona 25 20 15 20 10 10 30

Cuerno 30 20 15 15 10 10 10

Pastel 10 30 20 10 10 20 6

Oreja 10 20 15 25 15 15 5

Concha 25 25 25 10 5 10 15

Pan de nuez 20 25 15 20 10 10 12

Pan de Frutas 30 15 20 15 10 10 10

Pan seesamo 20 25 10 10 15 20 15

Pan de queso 30 15 10 15 10 20 5

Baguette 20 20 20 15 10 15 8

Pretzel 20 25 15 15 15 10 20

Pan Integral 25 15 10 20 15 15 15

Rosca 25 30 15 10 10 10 9

Tarta 20 25 10 15 20 10 20

Panque 20 15 20 15 10 10 15

Se cuenta con las siguientes restricciones de Ingredientes.

RESTRICCIONES:

Por lo menos la elaboración de 200 panes

Por lo menos 40 kg de Centeno

Por lo menos 40 Kg de Cebada

Por lo menos 35 Kg de Trigo

Por lo menos 30 Kg de Azúcar

Por lo menos 25 Kg de Semillas

Por lo menos 30 Kg de huevos.

Encontrar una solución que ayude al negocio familiar y permita cumplir con los requerimientos

establecidos.

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PLANTEAMIENTO

𝑥𝑖 = 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑛 𝑖 𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑟

𝑀𝑖𝑛 𝑧 = 30𝑥1 + 10𝑥2 + 6𝑥3 + 5𝑥4 + 15𝑥5 + 12𝑥6 + 10𝑥7 + 15𝑥8 + 5𝑥9 + 8𝑥10 + 20𝑥11 + 15𝑥12 + 9𝑥13+ 20𝑥14 + 15𝑥5

𝒔. 𝒂

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 + 𝑥8 + 𝑥9 + 𝑥10 + 𝑥11 + 𝑥12 + 𝑥13 + 𝑥14 + 𝑥15 ≥ 200

. 25𝑥1 +. 30𝑥2 +. 10𝑥3 +.10𝑥4 +.25𝑥5 +. 20𝑥6 +. 30𝑥7 +.20𝑥8 +. 30𝑥9 +. 20𝑥10 +.20𝑥11 +.25𝑥12 +.25𝑥13+. 20𝑥14 +.20𝑥15 ≥ 40



. 20𝑥1 +. 15𝑥2 +. 10𝑥3 +.25𝑥4 +.10𝑥5 +. 20𝑥6 +. 15𝑥7 +.10𝑥8 +. 15𝑥9 +. 15𝑥10 +.1511 +.20𝑥12 +. 10𝑥13+. 15𝑥14 +.15𝑥15 ≥ 30



𝑥𝑖 ≥ 0 𝑖 = 1,2,3,4,5…15

La primera restricción indica el requerimiento mínimo de 200 panes, las siguiente seis restricciones

representan el cumplimiento mínimo de cada ingrediente.

SOLUCIÓN

Tabla 1

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Después de varias iteraciones, se llega a la tabla óptima

𝑥1 = 0 𝑥2 =0

𝑥3 = 100 𝑥4 = 42.87

𝑥5 = 0 𝑥6 = 0

𝑥7 = 0 𝑥8 = 0

𝑥9 = 85.71 𝑥10 = 0

𝑥11 = 0 𝑥12 = 0

𝑥13 = 0 𝑥14 = 0

𝑥15 = 0 𝒛 = 𝟏, 𝟐𝟒𝟐. 𝟖𝟔

𝑃1 = 28.57

𝑃2 = 0

𝑃3 = 11.42

𝑃4 = 0

𝑃5 = 3.57

𝑃6 = 0

𝑃7 = 13.57

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INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS

Un problema que arrojan las variables es que no se pueden producir pedazos de panes para su venta,

solo piezas completas.

En cuanto la interpretación de las variables de exceso, se tiene lo siguiente:

En la primera restricción se observa que su variable de exceso toma un valor mayor a cero, esto indica

que habrá un valor arriba de lo requerido, excediendo con 28.57, por lo que para generar el gasto

mínimo se deberán producir un total de 229 panes.

La segunda restricción su variable de exceso es igual a cero, por lo que se cumplirá satisfactoriamente

el requerimiento del centeno.

En cuanto a la tercera restricción sucede algo similar a la primera restricción, la variable de exceso es

mayor que cero, entonces se tendrá un requerimiento mínimo de 51% de azúcar.

En la cuarta restricción, la variable de exceso es igual a cero, por lo tanto se cumplirá el requerimiento.

La quinta restricción su variable de exceso tiene un valor mayor de cero, esto indica que se excedió por

3.57 unidades, por lo que se tendrá un aproximado de 34% de azúcar.

Sexta restricción se cumplirá con exactitud lo que se requiere de semillas.

La séptima restricción tiene un excedente por 13.57, aproximadamente se utilizará14% de huevo.

Los resultados indican que se necesitan producir 100 pasteles, aproximadamente 42 orejas y

alrededor de 85 panes de queso, para tener un gasto mínimo de $1,242.68

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MODELO DUAL

En el siguiente apartado se va a plantear el modelo dual de acuerdo al primal. Posteriormente se

solucionara y se hará una interpretación económica de los resultados.

𝑀𝑎𝑥 𝑔 = 200𝑦1 + 40𝑦2 + 40𝑦3 + 35𝑦4 + 30𝑦5 + 25𝑦6 + 30𝑦7

𝑦1 +. 25𝑦2 +. 20𝑦3 + .20𝑦4 +. 10𝑦5 +.10𝑦6 +. 10𝑦7 ≤ 30

𝑦1 +. 30𝑦2 +. 20𝑦3 + .15𝑦4 +. 15𝑦5 +.10𝑦6 +. 10𝑦7 ≤ 10

𝑦1 +. 10𝑦2 +. 30𝑦3 + .20𝑦4 +. 10𝑦5 +.10𝑦6 +. 20𝑦7 ≤ 6

𝑦1 +. 10𝑦2 +. 20𝑦3 + .15𝑦4 +. 25𝑦5 +.15𝑦6 +. 15𝑦7 ≤ 5

𝑦1 +. 25𝑦2 +. 25𝑦3 + .25𝑦4 +. 10𝑦5 +.05𝑦6 +. 10𝑦7 ≤ 15

𝑦1 +. 20𝑦2 +. 25𝑦3 + .15𝑦4 +. 20𝑦5 +.10𝑦6 +. 10𝑦7 ≤ 12

𝑦1 +. 30𝑦2 +. 15𝑦3 + .20𝑦4 +. 15𝑦5 +.10𝑦6 +. 10𝑦7 ≤ 10

𝑦1 +. 20𝑦2 +. 25𝑦3 + .10𝑦4 +. 10𝑦5 +.15𝑦6 +. 20𝑦7 ≤ 15

𝑦1 +. 30𝑦2 +. 15𝑦3 + .10𝑦4 +. 15𝑦5 +.10𝑦6 +. 20𝑦7 ≤ 5

𝑦1 +. 20𝑦2 +. 20𝑦3 + .20𝑦4 +. 15𝑦5 +.10𝑦6 +. 15𝑦7 ≤ 8

𝑦1 +. 20𝑦2 +. 25𝑦3 + .15𝑦4 +. 15𝑦5 +.15𝑦6 +. 10𝑦7 ≤ 20

𝑦1 +. 25𝑦2 +. 15𝑦3 + .10𝑦4 +. 20𝑦5 +.15𝑦6 +. 15𝑦7 ≤ 15

𝑦1 +. 25𝑦2 +. 30𝑦3 + .15𝑦4 +. 10𝑦5 +.10𝑦6 +. 10𝑦7 ≤ 9

𝑦1 +. 20𝑦2 +. 25𝑦3 + .10𝑦4 +. 15𝑦5 +.20𝑦6 +. 10𝑦7 ≤ 20

𝑦1 +. 20𝑦2 +. 15𝑦3 + .20𝑦4 +. 15𝑦5 +.10𝑦6 +. 20𝑦7 ≤ 15

𝑦𝑖 ≥ 0

La solución se obtiene mediante PHP Simplex, teniendo la última tabla de ésta manera:

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OBTENIENDO LA SIGUIENTE SOLUCIÓN

g=1242.8571428571

𝑦1 =0

𝑦2 =7.1428571428571

𝑦3 =0

𝑦4 =24.285714285714

𝑦5 =0

𝑦6 =4.2857142857143

𝑦7 =0

INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DEL DUAL

La función objetivo del dual representa en este caso el costo que contribuye cada requerimiento 𝑦𝑖.

REQUERIMIENTO COSTO %

CENTENO $286 23%

CEBADA $0 0%

TRIGO $850 68%

AZUCAR $0 0%

SEMILLAS $107 9%

HUEVO $0 0%

∴ De acuerdo a la tabla de Costos nos damos cuenta que el trigo es el que tiene un efecto más grande

en el costo total con un 68%

REQUERIMIENTO ya b+1 Z

CENTENO 7.1428 41 1250.0029

CEBADA 0 41 1242.85714

TRIGO 24.5714 36 1267.1457

AZUCAR 0 31 1242.85714

SEMILLAS 4.2857 26 1247.14571

HUEVO 0 31 1242.85714

∴ Nos damos cuenta que el trigo es el requerimiento más caro aumentando el precio en el costo total

de manera unitaria en $24.5717

Si se requiere aumentar el requerimiento de los ingredientes se recomienda hacerlo en la cebada,

azúcar y el huevo. Ya que en el caso de la panadería el Cheff's no representan un gasto considerable.

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∴ Si por alguna razón decidieran bajar los requerimientos por falta de recursos se le recomienda a la

panadería el Cheff's no invertir en el trigo, ya que un decremento por unidad vendría en un ahorro de

$24.5714.

∴ De acuerdo a la tabla se observa que no les conviene producir Dona, Cuerno, Concha, Pan de nuez,

Pan de Frutas, Pan sésamo, Baguette, Pretzel, Pan Integral, Rosca, Tarta ni panque. Debido el precio

de compra es más elevado al precio real.

Se les recomienda a el negocio de la panadería El Cheff's aumentar el precio de dichos productos. O

acudir con mejores proveedores.

REQUERIMIENTO ya b-1 Z

CENTENO 7.1428 39 1235.7171

CEBADA 0 39 1242.85714

TRIGO 24.5714 34 1218.5743

AZUCAR 0 29 1242.85714

SEMILLAS 4.2857 24 1238.5743

HUEVO 0 29 1242.85714

INGREDIENTES PRECIO REAL PRECIO COMPRA

Dona $7.07 $30

Cuerno $6.21 $10

Pastel $6 $6

Oreja $5 $5

Concha $8 $15

Pan de nuez $6 $12

Pan de Frutas $7.5 $10

Pan sésamo $5 $15

Pan de queso $5 $5

Baguette $6.7 $8

Pretzel $5.7 $20

Pan Integral $4.8 $15

Rosca $5.8 $9

Tarta $4.7 $20

Panque $6.7 $15

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ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

�̂�𝑩 = 𝑩−𝟏�̂�

�̂� = 𝑪𝑩𝑩−𝟏�̂�

�̂� =

(

200554035303030 )

𝐵−1 =

(

1 −1.4285 00 0.07142 00 2.85714 0

−2.85714 0 −2.857140.642857 1 −2.357145.71429 0 −14.2857

000

0 −0.0714 10 0 00 −0.4285 0

−1.64286 0 0.357143−10 0 10

−0.85714 0 0.142857 001

0 −4.2857 0 1.42857 0 1.42857 0 )

La matriz inversa se multiplicará por -1 ya que el problema maneja variables de exceso y no de holgura

𝐵−1 =

(

−1 1.4285 00 −0.07142 00 −2.85714 0

2.85714 0 2.85714−0.642857 −1 2.35714−5.71429 0 14.2857

000

0 0.0714 −10 0 00 0.4285 0

1.64286 0 −0.35714310 0 −10

0.85714 0 −0.142857 00−1

0 4.2857 0 −1.42857 0 −1.42857 0 )

�̂�𝐵 =

(

−1 1.4285 00 −0.07142 00 −2.85714 0

2.85714 0 2.85714−0.642857 −1 2.35714−5.71429 0 14.2857

000

0 0.0714 −10 0 00 0.4285 0

1.64286 0 −0.35714310 0 −10

0.85714 0 −0.142857 00−1

0 4.2857 0 −1.42857 0 −1.42857 0 )

(

200554035303030 )

=

(

64.2854514.2856371.4292510.7143850

19.2857142.857 )

La panadería necesita cambiar los porcentajes de centeno con un mínimo de 55% y en las semillas con un mínimo de 30% utilizados en la producción del pan.

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𝑧 = (0,0,6,0,6,0,5)

(

64.2854514.2856371.4292510.7143850

19.2857142.857 )

= 1,442.8605

∴ Se observa que no hubo pérdida de factibilidad, por lo tanto la solución óptima sigue siendo la actual,

y no afectará en el gasto mínimo.

Segundo caso

𝐶𝐵 = (0,0,7,0,5,6.5)

𝐵−1 =

(

−1 1.4285 00 −0.07142 00 −2.85714 0

2.85714 0 2.85714−0.642857 −1 2.35714−5.71429 0 14.2857

000

0 0.0714 −10 0 00 0.4285 0

1.64286 0 −0.35714310 0 −10

0.85714 0 −0.142857 00−1

0 4.2857 0 −1.42857 0 −1.42857 0 )

�̂�𝑗 − �̂�𝑗 = (0, 0, 7, 0, 5, 0, 6.5) ∗

(

−1 1.4285 00 −0.07142 00 −2.85714 0

2.85714 0 2.85714−0.642857 −1 2.35714−5.71429 0 14.2857

000

0 0.0714 −10 0 00 0.4285 0

1.64286 0 −0.35714310 0 −10

0.85714 0 −0.142857 00−1

0 4.2857 0 −1.42857 0 −1.42857 0 )

∗

(

1 0 00 1 00 0 1

0 0 00 0 00 0 0

000

0 0 00 0 00 0 0

1 0 00 1 00 0 1

000

0 0 0 0 0 0 1)

-(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)= (0, -19.999,0, -49.2857, 0, -0.72, 0)

Se observa que no hubo pérdida de optimalidad, por lo tanto la solución actual sigue siendo la óptima.

Suponga que los precios de ciertos panes cambiaron,como lo son la oreja ahora costará $7.00, el pasteldisminuyo a $5.00 y el panque de queso aumento $1.50y su precio será de $6.50. ¿Esto afectará en el gasto?

Página | 12

Tercer caso

La razón por la que no afecta de ninguna manera el que ya no se produzca el pan integral es que es

una variable no básica dentro del modelo, entonces el gasto seguirá siendo el mismo y la producción

de los demás panes también.

CONCLUSIÓN

Mediante este trabajo de investigación podemos concluir que el conocimiento adquirido a lo largo del

curso de optimización lineal se puede trabajar sobre problemas de la vida diaria en donde se requiera

la minimización de costos como en este ejemplo, y no solamente tener una solución, si no poder

interpretarla de manera eficaz teniendo total control del problema y algunas variables que intervienen

como la adquisición de un nuevo producto, nuevo precio en producto, aumento de restricciones,

modificación de variables, llevándonos a un análisis de sensibilidad que es desenlace que nos va a

guiar a dar conclusiones finales y certeras.

El buen conocimiento adquirido en clase nos fue guiando en las etapas del trabajo, desde el

planteamiento del problema hasta su solución e interpretación, de esta manera los conocimientos del

curso se han consolidado y listos para una futura aplicación

El objetivo del presente trabajo se ha logrado, se ha resuelto el problema en práctica y se ha ampliado

el conocimiento de temas de optimización siento este una herramienta sumamente importante que muy

probablemente utilicemos en un futuro cercano.

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Se tomo la decisión de ya no producir más pan integral,ya que es el pan que menos se vendía. ¿Repercutirá dealguna manera este cambio?

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