UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE...

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA

SECRETARÍA GENERAL

COORDINACIÓN DE PROGRAMAS DE ATENCIÓN DIFERENCIADA PARA ALUMNOS

C O P A D I

PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA

COORDINADORES Y COAUTORES

ING. FRANCISCO BARRERA GARCÍA ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ ING. GERARDO AVILÉS ROSAS

ESTUDIANTES COAUTORES

MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO VALERIA XÓCHITL GONZÁLEZ LEYVA RODRIGO A. SÁNCHEZ TELÉSFORO ERICK R. VALDIVIA ORTEGA ARTURO GUTIÉRREZ LANDA VERNON HERRERA ESPINOSA VIRGINIA CECILIA DÍAZ GARCÍA DAISY TESSIE REYES CHÁVEZ CARLOS VILLANUEVA ZÚÑIGA

RHAMID H. RODRÍGUEZ DE LA TORRE OSCAR ALBERTO VERA GARCÍA EDUARDO NAVARRETE TOLENTO LEÓN FELIPE PALAFOX NOVACK IRENE RUBALCABA MONTSERRAT ANTONIO JARQUÍN LAGUNA BOGDAD ROBERTO ESPINOSA VARGAS ALEJANDRO FELIX REYES ZEUS ZAMORA GUEVARA

P R Ó L O G O (Marzo de 2007)

La Coordinación de Programas de Atención Diferenciada para Alumnos (COPADI) de la Facultad de Ingeniería de la UNAM, con algunos de los estudiantes del Programa de Alto Rendimiento Académico (PARA), y dentro de su Programa de Solidaridad Académica (PROSOLAC), se dio a la tarea de realizar sus PROBLEMARIOS COPADI. Cada uno considera una serie de ejercicios resueltos de algunas de las asignaturas con mayor grado de dificultad para los estudiantes en la División de Ciencias Básicas. Estos ejercicios son planteados y resueltos por nosotros y por estudiantes del PARA. Los objetivos de estos PROBLEMARIOS COPADI son, entre otros los siguientes:

Apoyar el desempeño académico de los estudiantes con ejercicios resueltos que les pueden ayudar a comprender y aprender los conceptos de que consta el programa de la asignatura, en este caso, ÁLGEBRA, y poder así acreditarla y seguir adelante en sus estudios de ingeniería.

Reafirmar los conocimientos de los estudiantes autores en asignaturas que ya

acreditaron. Producir material didáctico para la Facultad, como un compromiso compartido por nosotros y estudiantes del PARA.

Es importante comentar que este Problemario consta de 195 ejercicios de los temas de ÁLGEBRA y, además de que se ha revisado el material, se ha pretendido dejar los ejercicios y sus enunciados tal como los hicieron y plantearon los estudiantes, ya que básicamente, salvo los ejercicios propuestos por nosotros, se trata de una publicación realizada por estudiantes y dirigida a estudiantes. Y esto es lo que le da carácter a la publicación. Hay ejercicios de Exponentes y radicales (25), Productos notables y factorizaciones (35), Logaritmos (28), Formalización de los números reales (22), Números complejos (25), Polinomios (33) y Sistemas de ecuaciones lineales (27). Es nuestro mejor deseo que este trabajo sea de utilidad para los estudiantes que cursan ÁLGEBRA y que también sea motivo de genuino orgullo para los estudiantes que participaron en su realización, así como lo es para nosotros.

Ing. Francisco Barrera García Ing. Pablo García y Colomé Ing. Gerardo Avilés Rosas

Í N D I C E Tema Página Exponentes y radicales 1 Productos notables y factorizaciones 10 Logaritmos 23 Formalización de los números reales 33 Números complejos 49 Polinomios 66 Sistemas de ecuaciones lineales 92


1

EXPONENTES Y RADICALES

1.- Simplificar la operación: 2 2

1 1

3 53 5

, mediante las leyes de los exponentes.

Resolución.

2 2 2 2

1 1

1 1 1 1 163 5 16 15 83 5 9 25 225

1 1 1 1 23 5 225 2 153 5 3 5 15

ALUMNO: ANTONIO JARQUÍN LAGUNA

2.- Efectuar:

85 3

32

2 6 3

18 12

.

Resolución.

8 3 8 8 85 3 5 5 3 3 5 3 3 2 3 8

3 2 3 2 4 6 3 4 12 32 2 2 2 2 2 3

2 6 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 3 32 3 2 3 2 318 12 2 3 2 3 2 3 2 3

2 5 6

4 1 2

2 3 32 3 2

Por lo tanto:

85 3 6

3 22

2 6 3 3218 12


3.- Racionalizar el denominador de: 53

51

.

Resolución. Se multiplican numerador y denominador por 53 , ya que esto da la diferencia de cuadrados y elimina el radical del denominador.


2

2

2

1 5 3 5 1 5 3 51 5 3 4 5 5 8 4 59 5 43 5 3 5 3 5 3 5

Por lo tanto: 1 5

2 53 5

ALUMNO: EDUARDO NAVARRETE TOLENTO

4.- Racionalizar el denominador de: 3 2 2 3

4 2 3 3

Resolución.

3 2 2 3 3 2 2 3 4 2 3 3 12(2) 9 6 8 6 6(3) 6 616(2) 9(3) 54 2 3 3 4 2 3 3 4 2 3 3

ALUMNO: ÓSCAR ALBERTO VERA GARCÍA

5.- Efectuar: 1/ 3 1/ 20.125 0.25

.

Resolución.

3

333 31/ 3 1/ 2

2

2

125 5 50.125 5 101000 10 100.125 0.25 1

5 10 50.25 25 510100 10

Por lo tanto:

1/ 3 1/ 20.125 0.25 1


6.- Realizar las operaciones:

)a b

ab a ; 41

) 2 18 6 42

b


3

Resolución. Para el inciso a) se tiene:

1 1 1 1)

a b a b a ba ab ab ab ab

b a b a b a ab ab.

Para el inciso b) se tiene:

4 241 2) 2 18 6 4 2 9(2) 6 2 6 2 3 2 2 4 2

2 4b .


7.- Simplificar, mediante las leyes de los exponentes, la expresión:

2 33

3

2r ss r

Resolución.

2 22 3 2 333 3 3 6 3 6 3

3 33 2 2 2 9 9 2 33 3

2 22 4 14 4

r rr s s s r s r ss

s r s s s r r s rr r

Por lo tanto;

2 33

3 3

2 4r s ss r r

ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO

8.- Simplificar y escribir sin exponentes negativos:

2 2x yx y

.

Resolución.

2 2

2 2 2 2 2 22 2 2 2

2 2 2 2

1 1 y xx y y x x yx y x y

x y x y x y x y x y x y x y

2 2 2 2

x y x y x y

x y x y x y



4

9.- Simplificar cada radical y agrupar los términos semejantes: 3 3 3) 54 81 16a ; 62 34) 3 9 27b a a a


3 3 3 33 3 3 3 3 3 3) 54 81 16 27 2 27 3 8 2 3 2 3 3 2 2 2 3 3a Para el inciso b) se tiene:

6 32 3 2 34) 3 9 27 3 9 27 3 3 3 3b a a a a a a a a a a


10.- Efectuar: 3 2 24 1a a

a .

Resolución.

3 22 / 3 1/ 2

3 2 2 2 / 3 1/ 2 2 / 4 1/ 342 / 424

11

aa aaa a a a

a aa

Por lo tanto:

3 2 24 31 1

a aa a


11.- Simplificar la expresión: 3 43 2 4x x x . Resolución.

6 4 3 6 6 4 4 2(3) 3 6 103 4 12 12 12 12 123 2 4 (3 ) (2 ) (4 ) (3) (2) (2) (3 2 )x x x x x x x x x x x


12.- Simplificar: 2 3 53 6a b a b . Resolución. Utilizando la primera ley de los radicales:


5

2 3 5 2 3 5 2 6 43 6 3 2 3 3 2a b a b a b a b a b a

2 23 2 3 23 2 3 2a b a a b a

Finalmente: abababa 2363 23532


13.- Combinar los radicales: 3 53 8 278 aa . Resolución. Factorizando las potencias cúbicas más grandes:

3 38 5 6 2 3 23 38 27 8 27a a a a a a

3 36 2 3 23 38 27a a a a 3 32 2 22 3a a a a

Finalmente: 3 3 38 5 28 27 2 3a a a a a


14.- Efectuar: 3 28ab a b . Resolución.

1/ 3 2 / 61/ 2 3 / 63 6 6 62 2 2 3 3 3 4 2 3 3 3 4 28 8 8 8 8ab a b ab a b ab a b a b a b a b a b

3 6 63 7 5 9 5 3 56 2 2 2 2a b a ab a ab

Por lo tanto:

3 62 58 2 8ab a b a ab

ALUMNO: ANTONIO JARQUÍN LAGUNA 15.- Realizar las operaciones indicadas y simplificar cada una de las expresiones dadas .

23 0 2 3)a x y x y 1/ 2 1/ 4 1/ 2

5 / 2 3 / 4 5 / 4

81)

9x y

bx y



6

6 6

23 0 2 3 34

) 1y y

a x y x y xx x

Para el inciso b) se tiene: 1/ 2 1/ 4 1/ 2 1

5 / 2 3 / 4 5 / 4 5 / 2 3 / 4 1/ 4 5 / 4 1/ 2 3 / 2 7 / 4 3 / 2 7 / 4

81 9 1 1 1 1 1 1)

9 9 9 9x y

bx y x x y y x y xy


16.- Simplificar a radicales de menor orden: a) 8 2 22a ab b y b) 3 612 8x y .


a) 8 2 2 2 2 / 8 1/ 4 482 ( ) ( ) ( )a ab b a b a b a b a b

Para el inciso b) se tiene:

b) 3 6 2 3 2 3 /12 212 4128 (2 ) (2 ) 2x y xy xy xy


17.- Resolver la ecuación: 5 5

32

x x .

Resolución.

Multiplicando la ecuación por 2: 1

5 5 6 5 65

x x xx

Multiplicando por x5 : 215 5 5 6 5 5 6 5 1 0

5x x x x x x

x

Resolviendo la ecuación cuadrática: 6 36 4

5 5 3 102

x x

5 0 log 5 log 3 10 log5 log 3 10x x x

log 3 101.13

log5x x



7

18.- Resolver la ecuación: 2 6 0x xe e . Resolución.

Utilizando las leyes de los exponentes: 26 0x xe e

Factorizando la expresión cuadrática en xe : 023 xx ee

3 0 3x xe e ; 2 0 2x xe e

La ecuación 2xe no tiene solución, ya que 0xe para toda x, y la ecuación 3xe nos lleva a 3lnx , por lo que la única solución es: ln3 1.098x


19.- A un estudiante se le pide evaluar la expresión 22 2x y x y para 2x y 4y . Él

escribe:

22 2 2 2 2 2 2 4x y x y x y x y x

Determinar si la respuesta es correcta. Resolución. Si evaluamos para 2x , 4y obtenemos:

2 22 2 2 2 4 2 8 2 8 36 2 8 6 16x y x y

El estudiante cometió el error de escribir 22 2x y x y que es cierto solo si 2x y .

Si 2x y ; entonces 22 2x y y x , y en todos los casos 2

2 2x y x y


20.- Racionalizar la siguiente expresión algebraica:

3 5 2

x

x

Resolución.

2 2 23 3 3

3 3 2 33 3

5 2 5 2 5 2

5 25 2 5 2 5 2 5 2

x x x x xx xxx x x x

LOS COORDINADORES


8

21.- Racionalizar la siguiente expresión algebraica:

2

2 2

x

x

Resolución.

2 2 22 2 2 24 22 2 2 2 2 2

x xx x xxx x x

2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 2 2 2

x x x x x x

x x x

2 2x

LOS COORDINADORES 22.- Reducir la siguiente expresión algebraica en la cual 0x y :

3 1

4 8

2 1

3 24

x y x y

x y x y

Resolución.

3 1

3 1 2 14 8 4 8 3 24

2 1

3 24

x y x yx y x y x y x y

x y x y

Como 3 1 2 1 18 3 16 1 0

04 8 3 24 24 24

Entonces

3 1

4 8 0

2 1

3 24

1x y x y

x yx y x y

LOS COORDINADORES

23.- Simplificar la siguiente expresión algebraica:

2 2 3 3

3

54 36 27 8

2 3m

m

xy x y y x

x y


9

Resolución.

2 2 3 3 3 2 2 3

3 3

54 36 27 8 8 36 54 27

2 3 2 3m m

m m

xy x y y x x x y xy y

x y x y

3 3

3 3

2 3 2 3 1 12 32 3 2 3 2 3 2 3

m m mm m m

x y x y

x yx y x y x y x y

LOS COORDINADORES

24.- Realizar las operaciones y simplificar:

23 5 3

32 243 273 2 4

3 2 2x x y

x y xy x y

Resolución.

23 5 3

32 243 27 96 486 2163 2 4

3 2 2x x y

x y xy x y xy xy xy

66 6 6 6 64 9 6

xyxyxy xy xy xy xy xy xy

LOS COORDINADORES

25.- Racionalizar el denominador de la siguiente expresión:

10 5

2 5 10

x y

x y

Resolución.

2 210 5 10 5 2 5 10 2 50 100 2 25 50

4 5 102 5 10 2 5 10 2 5 10

x y x y x y x xy xy y

x yx y x y x y

10 2 10 10 5 2 10 2 5 2 2 2 220 10 20 10 4 2

x xy xy y x y x yx y x y x y

2 2 2

2 2 2

x y

x y

LOS COORDINADORES


10

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIONES 1.- Efectuar el siguiente producto y posteriormente factorizar:

23 4 5 2 3

2 4

5 72 3

xyx y z x y z

xyz z

Resolución. Primero se resuelve el producto utilizando la ley de los exponentes y después se obtiene el factor común. Así,

3 43 4 5 3 4 5 3 4 5

2 2 6

5 3 72 2 2

y z xzx y z x y z x y z

xyz x y

2 3 3 7 6 4 10 9 3 3 4 3 3 7 610 6 14 2 5 3 7x y z xy z x y z xy z x y z x y z

LOS COORDINADORES

2.- Efectuar el siguiente producto y factorizar el resultado:

32 3 2 43 4a b c a bc

Resolución. Mediante la expresión del binomio al cubo se tiene que:

32 3 2 4 6 9 3 2 5 6 2 1 9 6 3 12

6 9 3 12 8 4 3 4 8 6 12 9

312 8 4 3 4 8 6 12 9

6 9

2 4 8 48 96 64

8 6 12 8

86 12 8

a b c a bc a b c a b c a b c a b c

a b c a a b c a b c b c

ca a b c a b c b c

a b

LOS COORDINADORES

3.- Factorizar la siguiente expresión algebraica:

23 17 20x x Resolución. En primer lugar se cambian signos sin alterar la expresión y después se realiza la factorización.

2 23 17 20 3 17 20x x x x

Se trabaja con la expresión del paréntesis y al final se considerará el signo menos. Se multiplican los tres términos por el coeficiente del primer término y se llega a:


11

29 17 3 60x x

Se construyen dos binomios cuyos primeros términos son la raíz cuadrada del primer término del trinomio, y se obtienen dos números que multiplicados den 60 y que sumados algebraicamente den 17 y se tiene que son 12 5y . Luego se tiene el producto de binomios:

3 12 3 5x x

Como se multiplicó en un principio por 3 , ahora se divide entre tres y bastará con hacerlo con uno de los factores anteriores. Así, y tomando en cuenta el signo menos se tiene finalmente que los factores de la expresión dada son:

4 3 5 4 3 5 4 3 5x x x x x x

LOS COORDINADORES


12 83431728

729x y

Resolución. Como se observa, se trata de una diferencia de cubos, por lo que su factorización queda como sigue:

12 8 4 2 8 4 4 2343 7 49 281728 12 144

729 9 81 3x y x y x y x y

LOS COORDINADORES


3 15 12125 216a b c Resolución. Se tiene una suma de cubos cuya factorización es:

3 15 12 5 4 2 10 8 5 4125 216 5 6 25 30 36a b c ab c a b c ab c

LOS COORDINADORES

6.- Obtener el trinomio que al multiplicarse por el binomio dado, dé como resultado una diferencia de los cubos de los términos del binomio:

3 1 2x


12

Resolución. Se considera que el binomio dado es el primer factor del resultado de factorizar una diferencia de cubos y entonces se procede como sigue:

23 331 2 1 2 1 4 1 8x x x x

Por lo que el trinomio pedido es 2 33 1 2 1 4x x

LOS COORDINADORES

7.- Obtener el trinomio que al multiplicarse por el binomio dado, dé como resultado una suma de los cubos de los términos del binomio:

35 125x Resolución. Se considera que el binomio dado es el primer factor del resultado de factorizar una suma de cubos y entonces se procede como sigue:

23 3 35 125 25 5 125 125 125 125x x x x

Por lo que el trinomio pedido es 23 325 5 125 125x x

LOS COORDINADORES

8.- Efectuar el siguiente producto:

23 331 3 1 3 1 9x x x

Resolución. Éste es un producto notable, cuyo resultado es la diferencia de los cubos. Luego,

23 331 3 1 3 1 9 1 27 28x x x x x

LOS COORDINADORES 9.- Efectuar el siguiente producto:

3 12 3 7x x

Resolución. Se trata de un producto notable en el que el primer término es el cuadrado del término común de los dos binomios, el segundo término es el producto de la suma algebraica de los segundos términos de


13

los binomios por el término común, y el tercer término es el producto de los segundos términos de los binomios. Por lo que:

23 12 3 7 9 15 84x x x x

LOS COORDINADORES

10.- Factorizar: 4 2 2ac bc ad bd . Resolución. Agrupando los dos primeros términos, y los dos últimos:

4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2ac bc ad bd ac bc ad bd c a b d a b a b c d


11.- Factorizar el polinomio: 127 3 x . Resolución. Utilizando la fórmula para la diferencia de cubos

3 23 3 2 227 1 3 1 3 1 3 3 1 1 3 1 9 3 1x x x x x x x x


12.- Efectuar:

2 2x y x y

Resolución.

22 22 2 2 4x y x y x y x y

ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO 13.- Racionalizar el siguiente cociente y simplificar:

3

2

4 66

x

x

Resolución.


14

Para racionalizar esta expresión hay que quitar la raíz del denominador para lo cual se multiplican numerador y denominador por el trinomio que al multiplicarse por el binomio del denominador, conduce a una diferencia de cubos. Así,

23 3

3 3 23 3

16 4 66 662 2

4 66 4 66 16 4 66 66

x xx x

x x x x

23 32 16 4 66 66

64 66

x x x

x

2 23 33 32 16 4 66 66 2 16 4 66 66

64 66 2

x x x x x x

x x

23 316 4 66 66x x

LOS COORDINADORES

14.- Simplificar: 2 22 2

4 4m nm n

.

Resolución.

2 22 2 22 24 4 4 2 2

m n m n m n m nm nm n m n m n

Por lo que la expresión simplificada es: 2 22 2

4 4 2

m nm nm n


15.- Simplificar: 1/ 2 1/ 22 2 2

2

1 1

1

x x x

x

.

Resolución.

Factorizando 1/ 221 x

del numerador:

1/ 21/ 2 1/ 2 1/ 22 2 22 2 2 2

3 / 22 2 2 2

1 11 1 1 11 1 1 1

x x xx x x x

x x x x


15


16.- Simplificar la expresión: 2

4a b ab

a b

.

Resolución. Desarrollando el binomio, se tiene que:

2 2 2 2 24 2 4 2a b ab a ab b ab a ab ba b a b a b

22 22 a ba ab b

a ba b a b

Por lo tanto la expresión simplificada es:

2

4a b aba b

a b


17.- Simplificar la siguiente expresión algebraica:

9 2 6 49 9 2

6 49 6 49 9 2

x x x

x x x

Resolución. Tanto en el numerador como en el denominador se encuentran productos de binomios conjugados que dan como resultado la diferencia de cuadrados. Entonces se tiene que:

9 2 6 49 9 2 9 4 6 49 13 6 49

6 49 6 49 9 2 36 49 9 2 13 9 2

x x x x x x x

x x x x x x x

6 49

9 2

x

x

LOS COORDINADORES

18.- Simplificar la expresión: bd ac bc ad

ac bd ad bc

.


16

Resolución.

a c d b c d a c d b c d c d a bbd ac bc ad a bac bd ad bc a c d b c d a c d b c d c d a b a b

Por lo tanto la expresión simplificada es: bd ac bc ad a b

ac bd ad bc a b


19.- Simplificar: 2

2

8 152 15

d dd d

.

Resolución.

2 2 22 2

2 22 2 2

4 1 4 18 15 8 16 12 15 2 1 16 1 16 1 4

d dd d d dd d d d d d

4 1 4 1 5 3 31 4 1 4 5 3 3

d d d d dd d d d d

Por lo que: 2

2

8 15 32 15 3

d d dd d d


20.- Simplificar la expresión: 3 3

2 2

2q p qp qp q p q

.

Resolución.

2 2 2 23 3 2

2 2

2 2 2p q p pq q p pq qq p q q p qp q qp qp q p q p q p q p q p q p q

2 2 2 2 22 p q p qp pq q qp q p qp q

p q p q p q

Por lo que la expresión simplificada es: 3 3

2 2

2q p qp qp q

p q p q



17

21.- Racionalizar el siguiente cociente y simplificar:

1

3 2

x

x

Resolución. Para racionalizar esta expresión hay que quitar la raíz del denominador para lo cual se multiplican numerador y denominador por el binomio conjugado del binomio del denominador y se tiene que:

1 3 2 1 3 21 1 3 23 2

3 4 13 2 3 2 3 2

x x x xx x xx

x xx x x

LOS COORDINADORES

22.- Desarrollar el siguiente binomio al cubo:

31 2 2 13 32 4x y x y

Resolución. Se trata de un binomio al cubo. Luego,

31 2 2 1 3 6 2 4 2 1 1 2 4 2 6 33 3 3 3 3 32 4 2 3 4 4 3 2 16 4x y x y x y x y x y x y x y x y

3 6 3 3 6 33 32 3 16 3 32 4x y y x x y

LOS COORDINADORES 23.- Efectuar el siguiente producto y factorizar:

3 2 4 2 4 1 3 2 4 2 4 110 5 10 5x y z x y z x y z x y z

Resolución. Son dos binomios conjugados y su producto es igual a la diferencia de los cuadrados de términos de los binomios. Así,

3 2 4 2 4 1 3 2 4 2 4 1 6 4 8 4 8 210 5 10 5 10 5x y z x y z x y z x y z x y z x y z

6 8 2 4 10 105 2x y z y z x

LOS COORDINADORES



18

2 4 4 2 4 86 5 36 30 25x y x x y y

Resolución. El resultado de este producto es igual a la suma de los cubos de los términos del binomio. Luego,

2 4 4 2 4 8 6 126 5 36 30 25 216 125x y x x y y x y

LOS COORDINADORES


2 3 33 2 2 2 4 2 2x x x

Resolución. El resultado de este producto es igual a la diferencia de los cubos de los términos del binomio. Luego,

2 3 33 2 2 2 4 2 2 2 8 10x x x x x

LOS COORDINADORES

26.- Desarrollar el siguiente binomio al cuadrado:

222 3 21x

Resolución. Este es el producto notable conocido como “binomio al cuadrado”, cuyo resultado es el siguiente trinomio cuadrado perfecto:

22 2 2 2 22 3 21 12 4 3 63 21 9 4 3 63x x x x x

LOS COORDINADORES

27.- Factorizar el siguiente polinomio:

4 210 3 18x x Resolución. Este es el tipo de factorización de una expresión algebraica de la forma 2ax bx c por lo que una de las formas de proceder para factorizar es la que sigue: Se multiplican los coeficientes por el de la 4x , y para el segundo término sólo se expresa el producto. Así se tiene:

4 2100 3 10 180x x


19

Ahora se buscan dos factores que multiplicados den como resultado el tercer término obtenido y al sumarse algebraicamente su resultado sea el segundo coeficiente original, es decir, "3" , y se conforman dos binomios con la raíz del primer término y como segundo sumando los factores obtenidos. Entonces, se llega a:

2 210 15 10 12x x

Pero, como se había multiplicado por "10" , habrá que dividir entre este número y para llegar a número enteros en la factorización, se dividen entre "5" el primer factor y entre "2" el segundo. Finalmente se tiene que:

4 2 2 210 3 18 2 3 5 6x x x x

LOS COORDINADORES

28.- Factorizar la expresión algebraica:

12 9 18125 64x y z Resolución. Ésta es una diferencia de cubos, que se factoriza como el producto de los siguientes factores:

12 9 18 4 3 6 8 6 4 3 6 12125 64 5 4 25 20 16x y z x y z x y x y z z

LOS COORDINADORES

29.- Factorizar la expresión algebraica:

5 62

12

401080

a ba

c

Resolución. Primero se obtiene un factor común como sigue:

5 6 3 62 2

12 2

40 81080 5 216

a b a ba a

c c

Ahora el término entre paréntesis es una suma de cubos que se factoriza como: 3 6 2 2 4 2

12 4 8 4

8 2 4 12216 6 36

a b ab a b abc c c c

Por lo tanto, 5 6 2 2 4 2

2 212 4 8 4

40 2 4 121080 5 6 36

a b ab a b aba a

c c c c

LOS COORDINADORES


20

30.- Factorizar la siguiente expresión algebraica.

2 2 2 212 8 15 10x z y z x w y w Resolución. Se obtiene factor común entre el primero y el tercer término, así como entre el segundo y el cuarto.

2 2 2 2 2 212 8 15 10 3 4 5 2 4 5x z y z x w y w x z w y z w

Y mediante otro factor común se llega a:

2 2 2 2 2 212 8 15 10 4 5 3 2x z y z x w y w z w x y

LOS COORDINADORES

31.- Factorizar:

16 32 1x y Resolución. Se tiene una diferencia de cuadrados, por lo que:

16 32 8 16 8 161 1 1x y x y x y

Como se observa, hay otra diferencia de cuadrados. Así,

8 16 4 8 2 4 2 41 1 1 1x y x y x y x y

Y nuevamente se presenta una diferencia de cuadrados. Luego,

2 4 2 21 1 1x y xy xy

Por lo tanto,

16 32 8 16 4 8 2 4 2 21 1 1 1 1 1x y x y x y x y xy xy

LOS COORDINADORES

32.- Factorizar el binomio siguiente como una diferencia de cubos:

2 5x y Resolución.

3 2 23 33 32 5 2 5 4 10 25x y x y x xy y

LOS COORDINADORES


21

33.- Factorizar 3 38 2x x y y

Resolución.

3 3 3 3 2 28 2 8 2 2 4 2 2x x y y x y x y x y x xy y x y

2 22 4 2 1x y x xy y

LOS COORDINADORES

34.- Factorizar y simplificar la siguiente expresión algebraica:

4 2 2

2 4

36 5 24

2 15 216

x y x y y y

y y x x

Resolución. Primero se obtiene un factor común:

4 2 2 2 2 2

2 4 3 2

36 5 24 36 5 24

2 15 216 216 2 15

x y x y y y x y x y y

y y x x x x y y

Factorizando la diferencia de cuadrados, trinomio de la forma 2x bx c , diferencia de cubos y trinomio de la forma 2ax bx c , se llega a:

2 36 6 6x x x

2 5 24 8 3y y y y

3 2216 6 6 36x x x x

2

2

2 15

4 2 30 ; 2 6 2 5 ; 3 2 5

y y

y y y y y y

Finalmente.

4 2 2 2

2 4 2 2

36 5 24 6 6 8 3 6 8

2 15 216 6 6 36 3 2 5 6 36 2 5

x y x y y y x y x x y y xy x y

y y x x x x x x y y x x y

LOS COORDINADORES

35.- Efectuar las operaciones señaladas y reducir a su expresión mínima:

3 2 2

2 4 3 2

4 5 2 42 1 8 12 48 64

y y y y y yy y y y y y y

Resolución.


22

3 2 2 3 2 4

2 4 3 2 2 2 3 2

4 5 2 4 4 5 8 42 1 8 12 48 64 2 1 2 12 48 64

y y y y y y y y y y y yy y y y y y y y y y y y y y

23 2 4

2 32 2 3 2

2 2 45 14 5 8 4 42 1 2 12 48 64 2 11 4

y y y yy y yy y y y y y yy y y y y y y y yy y

2 2

2 2

5 2 4

1 4

y y y y

y y

LOS COORDINADORES


23

LOGARITMOS 1.- Obtener la forma logarítmica de cada ecuación:

3) 4 64a ; 3

3 27)

2 8b

Resolución.

34) 4 64 log 64 3a

3

32

3 27 27) log 3

2 8 8b


2.- Escribir la expresión 5

65log

32 como la suma algebraica de logaritmos simples

Resolución.

5 5 5

65log log 65 log 32

32


3.- Determinar el valor de 4log 15 .

Resolución.

4

log15log 15

log4

De donde:

4

log15 1.176log 15 1.95

log4 0.602


4.- Obtener el valor de x si log 20 1 log 2 2x x


24

Resolución.

220 1 20 1log 20 1 log 2 2 log 2 10

2 2x x

x xx x

20120 1 100 200 80 201

80x x x x


5.- Dados 10log 2 0.3010 y 10log 3 0.4771 , determinar el valor de las siguientes cantidades:

10) log 9a 410) log 48b

Resolución. 2

10 10 10) log 9 log 3 2log 3 2(0.4771) 0.9542a

1/ 4 4410 10 10 10 10

10 10 10 10

1 1) log 48 log 48 log 16 3 log 2 log 3

4 41 1 1

= log 2 log 3 log 2 log 3 0.3010 0.4771 0.42034 4 4

b


6.- Simplificar la expresión: 3 3 3

1log 6 3log 2 log 7

2

Resolución.

1/ 2 3 1/ 2 33 3 3 3 3 3 3 3

1/ 2

3 33

1log 6 3log 2 log 7 log 6 log 2 log 7 log 6 log 2 7

2

6 6 log log

2 7 56

ALUMNO: ÓSCAR ALBERTO VERA GARCÍA 7.- Resolver las siguientes ecuaciones:

a) y

9 2log

4 3 ; b) 2log(3x 2x 4) 0

Resolución:


25

a)

3 22 3 2 3

y

9 2 9 4 4 8log y y y

4 3 4 9 9 27

b) 2 0 2 2log(3x 2x 4) 0 10 3x 2x 4 3x 2x 5 0 Al resolver esta ecuación cuadrática, se tiene:

1 2

5x 1; x =

3


8.- Simplificar la expresión: a a

13log b log c

2

Resolución De la expresión dada se tiene:

3

3 1 2 3 1 2a a a a a a

1 b3log b log c log b log c log (b c ) log

2 c

ALUMNO: EDUARDO NAVARRETE TOLENTO 9.- Resolver la siguiente ecuación para I: e e 0log I log I t

Resolución:

t -t0 0e e 0 e 0 e e 0

I Ilog I log I t log I log I t log t =e I=I e

I I


10.- Resolver la siguiente ecuación para y : 2logx 3logy 4logz 2 Resolución

4 3 2 3 2 3

4 3 2 3 2 3 4 3 2 3 2 3

4 2 23logy 4logz 2 2logx logy logz logx logy logz log10 logx

3 3 3logy logz 10 x y z 10 x



26

11.- Simplificar la expresión: 2

log 8 log 53 b b

Resolución: 2 3 1 232 2 1 1

log 8 log 5 log 8 ( 1)log 5 log 8 log 5 log ( 8) log log 4 log3 3 5 5

1 4log 4 log

5 5

b b b b b b b b b b

b b


12.- Resolver la ecuación: log 2 log 1 1x x

Resolución. Por propiedades de los logaritmos

log 2 1 1x x

Aplicando el exponente base 10 a cada lado: 1012 xx

De donde: 2 22 10 12 0x x x x

Factorizando: 1 24 3 0 4; 3x x x x

Verificando estas soluciones en la ecuación original, se determina que 4x no es solución, ya que el logaritmo de número negativos no está definido.


13.- Resolver la ecuación logarítmica: 4 3log 2 16x .

Resolución. De la ecuación dada, se tiene:

3log 2 12x

Dividiendo entre 3: log 2 4x

Aplicando el exponente base 10 a cada lado: 42 10 5000x x



27

14.- Expresar 213ln ln 4ln 1

2s t t como un solo logaritmo.

Resolución. Utilizando la ley donde el logaritmo de una potencia de un número es el exponente multiplicado por el logaritmo del número:

422

13 1lnlnln tts

Utilizando la ley donde el logaritmo de un producto de números es la suma de los logaritmos de los números:

43 1/ 2 2ln ln 1s t t

El logaritmo de un cociente de números es la diferencia de los logaritmos de los números:

42

32

1ln1ln4ln

21

ln3t

tstts


15.- Expresar 2

3

logz

yxa en términos de logaritmos de x , y y z .

Resolución. Escribiendo y como 1/ 2y y usando las leyes de los logaritmos:

1 13 3 1/ 23 2 3 22 2

2 2

1log log log log log log log 3log log 2log

2a a a a a a a a a a

x y x yx y z x y z x y z

z z

ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO 16.- Despejar x en la ecuación 3log logx x .

Resolución.

1/ 33 1log log log log log log

3x x x x x x

2 2 21log log log 9log log 9log 0

9x x x x x x

log log 9 0 log 0 o´ log 9x x x x

Por lo tanto:


28

0 910 1 o´ 10x x La ecuación tiene dos soluciones: uno y mil millones

ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO 17.- Resolver la ecuación: 3 14 3x x . Resolución.

3 1log4 log 3 3 log4 1 log 3 3 log4 log 3 log 3x x x x x x

3 log 4 log 3 log3 3log4 log 3 log 3x x x

Por lo tanto: log3

3log4 log3x

ALUMNO: ANTONIO JARQUÍN LAGUNA 18.- Resolver la ecuación: 34 2 48x x . Resolución.

2322 2 2 48 2 8 2 48x x xx

Sea: 2xu 2 8 48 0 12 4 0u u u u

12 2 12xu No hay solución 24 2 4 2 2 2x xu x Que corresponde a la solución buscada.


19.- Resolver la ecuación: log( 2) log log 8x x . Resolución.

2log 2 log8 2 8 2 8 0 4 2 0x x x x x x x x

2x ; Se rechaza esta solución porque no existe logaritmos de números negativos. 4x ; Es la solución buscada.



29

20.- Resolver la ecuación: 1

log 22 3x

Resolución. Despejando la variable x :

2 1 9710 2 3 100 48.5

2 3 2x x

x


21.- Resolver la ecuación: 2log 15 3x x

Resolución. Despejando la variable x:

3 2 210 15 15 1000 0 40 25 0x x x x x x

Por lo tanto: 40x y 25x son soluciones.


22.- Obtener una expresión equivalente a la dada, utilizando las propiedades de los logaritmos:

23 4

33 4

5 2log

5 2 3

x y x

y y

Resolución. Se aplican propiedades de los logaritmos y se tiene:

12 2 23 4 3 4 3 43

33 4 3 4 3 4

5 2 5 2 5 21log log log

35 2 3 5 2 3 5 2 3

x y x x y x x y x

y y y y y y

1log5 3log 4log 2log 2 3log 5 4log 2 3

3x y x y y

LOS COORDINADORES

23.- Determinar el valor de " "x en la siguiente ecuación:

4 1 33 6x x Resolución.


30

Se obtienen logaritmos en ambos miembros y se aplican propiedades de los mismos. Así, 4 1 33 6 ; 4 log 3 1 3 log 6x x x x

log 3 4log 3 log 6 3 log 6 log 3 3log 6 log 6 4log 3x x x

3

6 2log log

log 6 4log 3 81 27log 3 3log 6 log 648log 3 6

x x x

1.130330.402

2.81158x x

LOS COORDINADORES

24.- Dada la siguiente ecuación, expresar la variable " "x en términos de la variable " "y , por medio de logaritmos naturales.

2

x xe ey

Resolución.

22

x xx xe e

y y e e

Si se multiplican ambos miembros por xe se tiene que: 2 22 1 2 1 0x x x xye e e ye

Se aplica la fórmula para las ecuaciones de segundo grado en términos de xe : 2

22 4 41

2x xy y

e e y y

Pero xe siempre es positivo, luego la raíz no puede ser negativa. Finalmente,

2 2 21 ln ln 1 ln 1xe y y x e y y x y y

LOS COORDINADORES

25.- La corriente " "i de cierto circuito eléctrico está dada por:

1R tLE

i eR

Utilizar logaritmos naturales para expresar " "t en términos de los demás elementos que intervienen en la expresión: Resolución.


31

11

R t R t R tL L L

R tL

E E E E E E E i Ri e i e i e

R R R R R R Re

1ln ln ln

R tL

R tL

E i R E R t E R t Ee e

E E i R L E i R L E i Re

lnL E

tR E i R

LOS COORDINADORES

26.- Obtener la base " "b de 2

log 95b .

Resolución. Como se sabe, el logaritmo de un número es el exponente al que hay que elevar la base para

obtener el número. Luego, en este caso, 25

es el exponente al que hay que elevar la base " "b

para obtener 75 . Por lo que es factible escribir: 5

2 2 525 5 29 9 243b b b

LOS COORDINADORES

27.- Resolver la siguiente ecuación exponencial:

2 3 117 25x x Resolución.

2 3 1 2 3 117 25 ; log17 log25 2 3 log17 1 log25x x x x x x

2 log17 3log17 log25 log25 2log17 log25 3log17 log25x x x 3

2

17log3log17 log25 log196.5225

172log17 log25 log11.56log

25

x x x

2.29342.1575

1.0630x x

LOS COORDINADORES


32

28.- Resolver la siguiente ecuación logarítmica: log 1 log 2.4742x x

Resolución.

1

log 2.47421log 1 log 2.4742 log 2.4742 10 10

xxx

x xx

2.4742 2.4742 2.47422.4742

1 110 1 10 1 10 1

1 10x

x x x xx

1 11 298 297

x x

LOS COORDINADORES


33

FORMALIZACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES 1.- Escribir en cada una de las siguientes afirmaciones una f o v para falso o verdadero, respectivamente, según sea el caso. a) 81 corresponde a un número irracional. ( ) b) es un número irracional. ( ) c) La suma de dos números irracionales da un racional. ( ) d) RQQ ' . ( ) Resolución. a) f ya que 981 no corresponde a un numero irracional. b) v ya que no puede expresarse como el cociente de dos números enteros.

c) f 33323 que no es un número racional. d) v ya que RQQ ' y todo conjunto es subconjunto de sí mismo.

ALUMNA: VALERIA GONZÁLEZ LEYVA 2.- Sean los conjuntos de números naturales N , enteros Z , racionales Q , irracionales 'Q y reales R , determinar el resultado de:

'' QQQQZQRQRNZQR Resolución. Realizando las operaciones por partes, se obtiene en el primer corchete:

NNRNZQR en el segundo corchete

RQQQRQR ' para el tercer corchete:

RRRQQQQZ '' Finalmente sustituyendo tenemos:

NRRNQQQQZQRQRNZQR ''

ALUMNA: VALERIA GONZÁLEZ LEYVA 3.- Demostrar por medio de inducción matemática que:

6

121321 2222 )n)(n(n

n...

1..., Nn


34

Resolución. Verificamos que 1 se cumple para 1n

11

6321

16

11211112

cumple para 1n . Suponemos 1 es válida para kn

2...6

121...321 2222

kkk

k hipótesis.

Si esto es verdadero, entonces la expresión 1 debe cumplirse cuando 1 kn

3...6

32211...321 22222

kkk

kk tesis.

Si sustituimos 2 en 3 tenemos:

63221

16

121 2

kkkk

kkk

Factorizando 1k en el miembro izquierdo:

63221

616121

kkkkkkk

Desarrollando operaciones en el primer miembro:

63221

66721 2

kkkkkk

Factorizando en el primer miembro:

63221

63221

kkkkkk

con lo cual queda demostrada la expresión 1 .

ALUMNA: VALERIA GONZÁLEZ LEYVA 4.- Demostrar por medio de inducción matemática que:

11

... 12

rr

aarararan

n , 1...; IRaNn

Resolución. Verificamos que 1 se satisface para 1n

aarr

aa

11

cumple para 1n . Suponemos 1 válida para kn .


35

2...11

... 12

rr

aarararaK

K hipótesis.

Si esto es verdadero, entonces la expresión 1 debe cumplirse cuando 1 kn

3...1

1...

112

rr

aararararaK

kK tesis.

Al sustituir 2 en 3 :

11

11 1

rr

aarr

ra

Kk

K

Si factorizamos a , y sumamos en el miembro izquierdo, tenemos

11

111 1

rr

ar

)r(rra

KkK

Desarrollando y simplificando el numerador del primer miembro:

11

11 11

rr

ar

ra

Kk

Con lo cual queda demostrada la expresión 1 .

ALUMNA: VALERIA GONZÁLEZ LEYVA 5.- Demostrar que: Nnnnp n ,33: . Resolución.

Para 1n se tiene: 33 Para kn se tiene: kk 33 … Hipótesis de inducción. Para 1 kn se tiene ...313 1 kk Tesis de inducción. Se tiene que demostrar que:

1313 kk

333313 kkk , esto por hipótesis de inducción.

Por otro lado; 1...333333 kkkk Nk

Como 2...333333333232 1 kkkkkkkkNk De las desigualdades 1 y 2

13333333333 kkkkkkkk Por transitividad se tiene que:

11 313333 kk kk Por lo que np es válida Nn .

ALUMNO: RODRIGO ATAHUALPA SÁNCHEZ TELÉSFORO


36

6.- Determinar por inducción matemática la validez de la siguiente proposición.

nn 2 es un número par , Νn Resolución.

Para 1n : 1) 211 22 , 2 es par, por lo tanto se cumple. 2) Para kn

kk 2 par I... Hipótesis. Para 1 kn : 11 2 kk Debe ser par II... Demostración de II :

11211 22 kkkkk

kkkkk 2211 22

1211 22 kkkkk por hipótesis es par Por lo tanto queda demostrado que nn 2 es un número par, Νn .

ALUMNO: LEÓN FELIPE PALAFOX NOVACK

7.- Demostrar por inducción matemática que:

.;)1(41

...321 223333 Nnnnn

Resolución. Para demostrar por inducción matemática que la proposición se cumple, primero se verifica para el menor valor que puede tomar n , esto es: Para 1n :

1144

1241

111141

1 2223 Se cumple

Posteriormente, se toma como hipótesis que la proposición se cumple para kn .

223333 141

...321 kkk

124

...321 22

3333 kkk

k

42

...321234

3333 kkkk

1... Hipótesis.

Se acepta que la proposición se cumple para 1 kn .


37

223333 11141

1...321 kkk

223333 2141

1...321 kkk

4

44121...321

223333

kkkkk

4

4121361...321

2343333

kkkkk 2...

Para demostrar la proposición nos basaremos en la hipótesis sumando el término siguiente a 1 , tenemos

3234

33333 14

21...321

k

kkkkk

1334

21...321 23

23433333

kkk

kkkkk

4

41212421...321

2323433333

kkkkkkkk

4

4121361...321

23433333

kkkkkk 3...

Si comparamos las expresiones 2 y 3 , notamos que son iguales, por lo que la proposición se cumple para toda Nn .

ALUMNO: ERICK REYNALDO VALDIVIA ORTEGA 8.- Demostrar, por inducción matemática, que: 321 nnnn es divisible entre seis,

Nn . Resolución. Se comprueba para 1n .

244321 El cual es divisible entre seis. Se supone válido para kn :

321 kkkk Es divisible entre seis (Hipótesis de inducción). Con base en la hipótesis de inducción, debe demostrarse que es válido para 1 kn

4321 kkkk Es divisible entre seis (Afirmación por demostrar). De la afirmación, por distributividad:

3214321 kkkkkkk


38

El primer sumando es divisible entre seis por hipótesis, el segundo se demostrará que lo es, a su vez, por inducción matemática, de la siguiente forma: Para 1k : 964324 sí se cumple, ya que 16696

Ahora se supone que se cumple para mk : 3214 mmm

Es divisible entre seis (Nueva hipótesis de inducción). Si se acepta esta hipótesis, con base en ella debe demostrarse que para 1 mk también se cumple: 4324 mmm (Nueva afirmación por demostrar)

De la afirmación: 32123214313244324 mmmmmmmmmmm

El primer término es divisible entre seis por la nueva hipótesis de inducción y el segundo también por tener como factor a 12 que es divisible entre seis. Y queda finalizada la demostración.

ALUMNO: ARTURO GUTIÉRREZ LANDA 9.- Demostrar por inducción matemática que :

Nnnsen n

;cos1

212 1

Resolución. Para 1n :

cos2

cos12

0

sensen coscos

22cos sensen

como 02

cos

y 12

sen entonces: coscos por lo tanto se cumple.

Ahora , se supondrá válida la expresión para :kn

...cos12

12 1

kksen Hipótesis

Si la hipótesis de inducción es cierta, la expresión original debe cumplirse para 1 kn

...cos12

12 kksen

Tesis

Si se multiplica por 1 ambos miembros de la hipótesis, la expresión resultante seguirá siendo válida y su miembro derecho será igual al de la tesis. Por ello, sólo se tendrá que demostrar que sus miembros izquierdos también lo son:

cos112

12 1

kksen

por las leyes de los exponentes:

cos12

12 kksen


39

tomando en cuenta que:

sensen cos12

12 kksen

desarrollando:

cos122

2 kksen

finalmente:

cos12

12 kksen

que resulta igual a la tesis, por lo que queda demostrada la validez de la proposición.

ALUMNA: IRENE RUBALCABA MONTSERRAT 10.- Resolver la siguiente ecuación.

6|42| x Resolución. Caso 1 ;

1x4x46x42 1 Caso 2

2x8x46x42 2 Las solución, entonces son 2 puntos en la recta numérica, uno en 1x y el otro en 2x .

ALUMNO: LEÓN FELIPE PALAFOX NOVACK 11.- Resolver la siguiente desigualdad:

53

10

x

Resolución. La desigualdad es igual a: 1510 x , por lo que se analizan dos posibles casos:

51510 xx 251510 xx

Gráficamente: Por lo que el conjunto solución es: / 25,5 ;x x x R

25 50


40


12.- Determine el conjunto solución de:

4323

533 xx

Resolución. Desarrollando la desigualdad:

92

31329

45323

33 xxxx

Por propiedades del valor absoluto:

92

392

x9

29

9

253

9

23

9

2 xx

Finalmente la solución es:

Rxxx ;

929

,925

/ .


13.- Determinar los valores de Rx con los cuales se satisface la desigualdad:

xx 33

Resolución.

33 xx ó xx 33 Primer caso:

23

3233 xxxx

,

23

1CS

Y para el segundo caso:

43

3433 xxxx

,CS

4

32

entonces:

,CSCS CSCS ff 4

321


41

ALUMNO: VERNON HERRERA ESPINOSA 14.- Resolver la siguiente desigualdad:

1512

xx

Resolución. Haciendo uso de una de las propiedades del valor absoluto, la desigualdad se puede plantear de la siguiente forma:

12

15 x

x ó 1512

xx

Resolviendo la primera de estas desigualdades y sumando uno en ambos lados, se tiene que:

0111052

xxxxx

0x Resolviendo la segunda desigualdad, se tiene:

410252

1512

xxxx

xx

94

94 xx

Finalmente, la solución a la desigualdad planteada, vendrá dada por la unión de los conjuntos solución de las dos desigualdades resueltas, esto es:

94

;/0;/ xRxxxRxx

Lo cual nos conduce al conjunto solución: C.S Rxxx ;0,/

ALUMNA: IRENE RUBALCABA MONTSERRAT

15.- Obtener el conjunto de valores de Rx , para el cual se satisface la siguiente desigualdad.

42

63333

4 2

x

xxx

Resolución. Para obtener el intervalo de valores que satisfacen la desigualdad, se utiliza una propiedad del valor absoluto que nos permite multiplicar ambos términos del primer miembro de la desigualdad.

4

1122

413

2324

136332 22

x

xxx

xx

xxx

xxx

442 xx ; 1x


42

La condición 1x se debe a que al factorizar, tanto el término del numerador como el término del denominador serían igual a cero en caso de que x tomara el valor de uno, lo que nos llevaría a una indeterminación. La expresión anterior nos conduce a dos desigualdades, ya que se trata de un valor absoluto. Las desigualdades son:

424 xx 442 xx

Caso 1 :

xxxx 38

38424

38

,. 1SC

Caso 2 : 0442 xxx

,0. 2SC Dado que la desigualdad puede cumplir cualquiera de las dos desigualdades, entonces la solución es la unión de los dos conjuntos donde se descarta como elemento al uno.

1,038

,.

fSI

ALUMNO: ERICK REYNALDO VALDIVIA ORTEGA

16.- Para cada una de las siguientes desigualdades, determinar los valores de Rx que la satisfacen.

a) 1226 xx ; b) 72

34

xx

Resolución. a) 1226 xx

21472612 xxxx 21051226 xxxx

RxxxCS ;2,2/: Gráficamente:

b) 72

34

xx

42

424

7324

xxxx

para 0x ;

2 20


43

21

4242

xxx

; por lo tanto; ,0x .

para 0x ;

21

4242

xxx

; por lo tanto;

21

,x

El conjunto solución para esta desigualdad es:

RxxxCS ;,0

21

,/:

ALUMNO: VERNON HERRERA ESPINOSA

17.- Resolver 52

x

x.

Resolución. Caso 1 0x ; Desigualdad

21

425252

xxxxx

x

El intervalo de solución para este caso es:

,

21

x

Caso 2 0x ; Desigualdad

21

425252

xxxxx

x

21

0

21

0

021

021


44

El intervalo de solución para este caso es: 0,x El intervalo final sería la unión de ambos intervalos.

Rxxx ;,

21

0,/


18.- Resolver la siguiente desigualdad:

231

xx

Resolución. De acuerdo con las propiedades de las desigualdades se tiene que:

035

035

03

62102

31

231

xx

xx

xxx

xx

xx

El numerador y el denominador del primer lado de la última desigualdad tienen como raíces a 5 y 3 respectivamente. Nótese también que 5 es solución de esta desigualdad. En la recta numérica, con los dos valores anteriores se determinan los siguientes intervalos:

,33,5,5, y

Como 35

xx

es un cociente de dos polinomios, su valor siempre es positivo o siempre es negativo

en todo un intervalo. Se pueden utilizar valores de prueba para ver los signos y se construye la siguiente tabla:

Intervalo Valor de prueba Signo de 5x Signo de 3x Signo de 35

xx

5, 6 Negativo Negativo Positivo 3,5 4 Positivo Negativo Negativo ,3 0 Positivo Positivo Positivo

A partir de la tabla se observa que la solución para que el cociente sea positivo es ,35, y, por el signo “mayor o igual que” de la desigualdad, la solución de ésta está dada finalmente por:

,35,x

ALUMNO: ARTURO GUTIÉRREZ LANDA 19.- Determine el conjunto solución que satisface la siguiente desigualdad:

422

102516

xxx

Resolución. Desarrollando:


45

2

20112516

222202

2516

xx

xx

xx

xx

02

10212516

20121

2516

x

xxx

xx

xx

0

21

2126

022626

02

1021516

xx

xx

xx

xxx

Donde existen dos casos: 101 xx

202 xx cuya intersección es el conjunto vacío. o bien:

101 xx 202 xx cuya intersección es el conjunto Rxxx ;2,1/ , que es el conjunto

solución.

ALUMNO: RODRIGO ATAHUALPA SÁNCHEZ TELÉSFORO 20.- Obtener el conjunto de valores que satisfacen la siguiente desigualdad:

54

3

xx

Resolución. De la desigualdad obtenemos dos casos:

2...54

31...5

43

x

xó

xx

Resolviendo la desigualdad 1 : Caso 1 : Si 404 xx ;

202205345354

3xxxxx

xx

10x

Entonces la solución al caso 1 está dada por la intersección de 4x y 10x . Por lo que la solución es :

Caso 2 : Si 404 xx

202205345354

3xxxxx

xx

10x

Entonces la solución al caso 2 está dada por la intersección de 4x y 10x esto es Rxxx ;4,10/ .

10 4 0


46

La solución para la desigualdad 1 es la unión del conjunto vacío con Rxxx ;4,10/ que es igual al conjunto:

Rxxx ;4,10/ Resolviendo la desigualdad 2 : Caso 3 : Si 404 xx ;

208205345354

3xxxxx

xx

25

x

Por lo que la solución es la intersección de 4x y 25

x que en este caso es el conjunto:

Rxxx ;

25

,4/ .

Caso 4 : Si 404 xx ;

208205345354

3xxxxx

xx

25

x

Por lo que la solución es la intersección de 4x y 25

x que en este caso es el conjunto vacío.

Por lo tanto, la solución a la desigualdad 2 es:

Rxxx ;

25

,4/ .

La solución general es la unión de los conjuntos solución de la desigualdad 1 y ella desigualdad 2 , es decir:

Rxxx ;

25

,44,10/

LOS COORDINADORES

21.- Obtener el conjunto de valores de x , Rx , que satisface la siguiente desigualdad:

xx 123

Resolución. De las propiedades del valor absoluto tenemos:

2...1231...123 xxóxx

Resolviendo la desigualdad 1 , tenemos:

xxxxxxx 23123231123

25

4 0


47

444123 xxxxx

32

23231 xxxx

La solución para la desigualdad 1 está dada por la intersección de los dos conjuntos 32

x y

4x .

Por lo tanto, la solución es

Rxxx ;

32

/ .

Para la desigualdad 2 , tenemos:

xxxxxxx 23123231123

32

32

32123 xxxxx

44231 xxxx

La solución para la desigualdad 2 está dada por la intersección de los dos conjuntos 32

x y

4x , por lo tanto la solución es Rxxx ;4/ . La solución general es la unión de los conjuntos solución de ambas desigualdades.

Rxxóxx ;4

32

/

LOS COORDINADORES

22.- Resolver la siguiente desigualdad:

211 xx .

Resolución. Se resolverá la desigualdad por partes, primero supóngase que 1x , entonces,

112211 xxxx ,

por lo tanto: Rxxx 112 ,

32 40

32 40


48

se concluye que la desigualdad no tiene solución para valores 1x . Ahora supóngase que x1 , entonces,

12121 xxx ,

por lo tanto; Rxxx 112 ,

se concluye que la desigualdad no tiene solución para valores x1 . Por último supóngase que: 11 x ; en estas condiciones: Sumando 1 del lado izquierdo de la desigualdad;

1110 xxx ,

por otro lado Ahora sumando 1 del lado derecho de la desigualdad;

1101 xxx ,

entonces 2111111 xxxxxx

Por lo tanto la desigualdad no tiene solución.

LOS COORDINADORES


49

NÚMEROS COMPLEJOS

1.- Expresar el número complejo i

iii

z22

211

en forma binómica.

Resolución. Multiplicando las fracciones, por separado, por el conjugado de su denominador:

i

ii

iiiiii

ii

22

121

1111

11

2

2

i

iii

iiiii

iii

i43

41

431

862

442244

2222222

222

2

2

Realizando la resta:

iiii

iii

47

41

43

41

222

11

Por lo tanto: iz47

41 .

ALUMNO: BOGDAD ROBERTO C. ESPINOSA VARGAS

2.- Sean los números complejos:

16423 54321 zyizi,zi,z i, z

Realizar las siguientes operaciones:

a) 2

53

2421

zz

zzz

; b) 52

2345zz

zz

Resolución. a) Sustituyendo:

2

2

253

2421

12

364

i

i-ii

zz

zzz

como ii y i 43211 22

ii

iii

4371

43364

Para realizar la división se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador entonces:

ii

iiiiii

ii

ii

125

25251612129284213

4343

4371

2

2

Por lo tanto:

i

zz

zzz

12

53

2421


50

b) 52

2345

zz

zz

Sustituyendo valores: 13

26455 2

52

234

i

iizz

zz=

ii

ii

2

1208013

12080

ya que 42i 2 . Para realizar la división se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador entonces:

ii

iiiiii

ii

ii

32565

160280224

1202408016022

212080

2

2

por lo tanto:

izz

zz3256

5

52

234

ALUMNA: RHAMID H. RODRÍGUEZ DE LA TORRE

3.- Efectuar 12

zz

si se tiene que yixz .

Resolución. Como yixyixz 111 su conjugado es yix 1 . Multiplicando el numerador y denominador por este número tenemos:

yix

yixyixyix

zz

yixyix

zz

12

11

12

11

12

1212

23

1

21212222

22

22

2

xyxy

xyxxyx

yx

iyxyxyxx

ALUMNA: DAISY TESSIE REYES CHÁVEZ

4.- Obtener dos números complejos 21 zyz cuya suma sea el número real y su diferencia el número imaginario puro .

Resolución. Puesto que la suma 21 zz es real, las partes imaginarias de 1z y 2z deben ser iguales en valor absoluto, pero de signos opuestos. Puesto que la diferencia de 21 zz es un imaginario puro, las partes reales de 1z y 2z deben ser iguales. Por tanto yixzyixz 21 , , para ciertos números reales x y y . De esta manera,

xzz 221 , iiyzz 221 . De donde:


51

21

,21

yx

Por lo tanto los dos números son:

iz 21

21

1 y iz 21

21

2


5.- Determinar el conjunto de números Cz que cumplen con la igualdad:

1233 iziz

Resolución. La representación binómica de z es iyxz ; Ryx , , por lo que:

12)3()3(1233 iyxiyxiyixiyix

Obteniendo los modulos: 22222222 )3(12)3(12)3()3( yxyxyxyx

Elevando al cuadrado ambos miembros y simplificando: 222222 )3()3(24144)3( yxyxyx

yyxyyyxyy 12144)3(2496)3(2414496 222222

yyx 12)3(2 22 Elevando nuevamente al cuadrado se llega a:

222222 2414496424144)3(4 yyyyxyyyx

13627

108342414436244422

22222 yx

yxyyyyx

Por lo que, los números complejos que cumplen con la igualdad tienen su representación, en el plano complejo, en la elipse con centro en el origen, eje focal, coincidente con el eje imaginario, eje mayor de 12 unidades y eje menor de 36 unidades.

ALUMNO: ARTURO GUTIÉRREZ LANDA 6.- Obtener el resultado de 21 zz donde 21 zyz son los números complejos que se muestran en la figura:

30º

60º 4

31z

2z


52

Resolución. De la figura para el número complejo 1z se tiene:

601θ como 323

660

31

senrsenrb

60321 cisz Para el número complejo 2z se tiene:

210602702 de la figura 2

4cos

r

338

3

8

23

430cos

42

r

2103

382 cisz

entonces:

iºcisººcisθθcisrrzz 1627016210603

3832212121


7.- Realizar la siguiente operación 2

13 z

zz , donde: 7575cos41 isenz y

4545cos22 isenz . Expresar el resultado en forma binómica. Resolución. Se realiza la operación sustituyendo los valores dados:

º302

º452º754

4545cos27575cos4

3 cisciscis

isenisen

z

iisenz 3º30º30cos23


8.- Calcular 4 z , donde: iz 388 . Resolución. El primer paso es transformar el número complejo a su forma polar:

º12016120º120cos16388 cisiseni Ahora obtendremos las raíces utilizando la siguiente fórmula:

1...,,2,1,0º360

nkconnk

cisrz nn

Así tenemos:


53

4º360º120

164 kcisz

icisz

k

3º302

:0

1

icisz

k

31º1202

:1

2

icisz

k

3º2102

:2

3

icisz

k

31º3002

:3

4


9.- Determinar un numero complejo z , tal que multiplicado con º3152cis sea igual a uno.

Resolución. Sea yixz ; además se tiene que icis 1º3152 La ecuación por resolver es:

11011 2 iyxyxiyixiyxiyixi Por igualdad de complejos se tiene el sistema de ecuaciones:

2...01...1 yxyyx Resolviendo el sistema:

21

12

0

1

yy

yx

yx

Sustituyendo este valor en la ecuación 1 ;

21

x

Por lo que el valor de z es:

iz21

21


10.- Demostrar que 2

cosiθiθ ee

θ

.

Resolución.


54

θcise iθ En forma binómica:

θa cos senb

i senθe iθ cos y senii senθθcise iθ- coscos

θθseniθθseniθee iθiθ cos2coscos

Sustituyendo; 2

cos2cos

θθ θθ coscos

Por lo tanto: 2

cosiθiθ ee

θ

ALUMNA: RHAMID H. RODRÍGUEZ DE LA TORRE 11.- Obtener un par de valores de r y que satisfacen:

3212 zzzθcisr

donde:

izezciszπi

2725,2,3158 32

5

21 Resolución. Transformando los números complejos a su forma binómica:

isenizcisz 22315315cos83158 11

i z 221

9025

22 2

5

2

y θ r;e zi

090cos2cos θra 2902 senθsen rb i z 202 Sustituyendo:

2 22 2 2 25 27 2 2 25 25 50 50 50 50z i i i i i i i i 2 50 100 50 0 100z i i

En forma polar: 2701002 cisz

Tomando en cuenta que: º2701002222 ciscisrrcisθz

10;1002 rr 135;2702 θ θ Un par de valores de r y que satisfacen la expresión son:

13510 θ y r


12.- Resolver la ecuación:

1802253

4

1

4

cis

z

eiπi


55

Resolución.

1802253 4

4

1

cisei

z

πi

Se tiene que:

iseni ciseπi

14545cos24522 4

1802

44

1802

1534

1

cis

i

cis

ii-z

Como 21802 cis

ii

z 222444

1

Transformando a forma polar:

º54064º31522º315224

4

1

ciszciszcis z Por lo tanto:

18064cisz

ALUMNA: RHAMID H. RODRÍGUEZ DE LA TORRE 13.- Determinar los valores de z , w C que satisfacen las ecuaciones;

32w2z- 8 4 332 iwezi

Resolución.

6042 cisz

1,0;236060

4

kk

cisz

302;0 1 ciszkSi 2102;1 2 ciszkSi

9083 cisw

2,1,0;336090

83

kk

cisw

302;0 1 ciswkSi 1502;1 2 ciswkSi 2702;2 3 ciswkSi

2102210cos22 seniz

21

223

22 iz

iz 32 De las seis posibilidades, solamente 2z y 3w satisfacen a la tercer ecuación dada.

Comprobando:


56

3223232º2702º21022322 32 iicisciswz

3232322232 ii Por lo tanto:

º21022 cisz y º27023 cisw .


14.- Obtener los valores de Ryx , que satisfacen la ecuación

256 2

015

41 3 1

2 3 60º2 2 2

i

i

e

i i x yi e cisi

Resolución.

º3003º02º3301

16º90

21 22

72

6

10

ciscisyixcisii

ecis

i

º3006º300º30016

º9021 2 cisyixcis

icis

cis

º3006º1801º300º2701º30016

º9021 2 ciscisyixcis

ciscis

cis

º1206º300º3016º9021 2 cisyixcisciscis

º1206º300º1208 2 cisyixciscis

º1206º1208º300 2 ciscisyixcis

iiyixcis 333344º300 2

iyixcis 31º300 2

º1802º300º12022 cis

ciscis

yix º1802º18022 cisyixcisyix

icisz

iciszyix

2º2702

2º902

2

1

Con 1z :

2

02

1

1

y

xiyix

Con 2z :

2

02

2

2

y

xiyix


57

ALUMNA: V. CECILIA DÍAZ GARCÍA

15.- Determinar el número complejo z tal que:

zeizi

2334

31

4

2

4

Resolución. Agrupando términos y realizando las operaciones;

24

22 9

34

31

334

31

24ii

eieizz

Como iyxziyxz , entonces,

iiyxiiiyxiyx 31262934

31

24

por igualdad de complejos:

21

63

,63612231262 yxyyxiiyx

Por lo tanto el número complejo es; iz21

6

LOS COORDINADORES

16.- Obtener el o los valores de Cz que satisfacen la ecuación

243

214

zz

zzz

donde:

,º45181 cisz ,312 iz yezi

23 4

iz 224

Además, representar dichos valores en forma de Euler. Resolución.

º02313321 cisiizz

º908º45822

4 ciscisz

º18032º904º9083

2

4 ciscisciszz

º18016º02

º180324 cisciscis

z


58

º3152

º2252

º1352

º452

º452º18016

3

2

1

0

4

cisw

cisw

cisw

cisw

ciscisz

entonces: i

ew 40 2

i

ew 4

3

1 2

i

ew 4

5

2 2

i

ew 4

7

3 2

ALUMNA: V. CECILIA DÍAZ GARCÍA

17.- Determinar el o los valores de Cz que satisface la ecuación:

2

2 45823

zcise

zii

Resolución.

45823 22 ciseziz i

458)23( 23 cisezi i

icise

zi

234582

3

ii

zi

iiz

iicis

z2323

232201

232201 333

33 º011 ciszz

;33600

13

k

cisz .2,1,0k

0k ; ii eecisz 201 0

1k ; ii

eecisz

3

2

180

120

2 120

2k ; ii

eecisz

3

4

180

240

3 240

ALUMNO: ARTURO GUTIÉRREZ LANDA

18.- Obtener los valores de Cz , que satisfacen la siguiente ecuación:

1

º602

3222

5

3

26

116

cisz

ieieei ii

i

Resolución. Para resolver la ecuación, el numerador se expresa en su forma binómica, es decir:


59

2422222222

i

166cos6 senie i

iseniei

21

23

611

611

cos6

11

1cos senie i La ecuación se convierte en:

1

º602

32321

º602

31122

3212

5

3

5

3

cisz

ii

cisz

ii

º6023

1

º602

3 5

3

5

3 cisi

z

cisz

i

Como iciseieii

3º3302221

23 6

11

6

11

, entonces

º270º1350º2705º270º270º602º3302 535

3

cisciscisciszcisciscis

z

Las raíces del número z están dadas por:

.2,1,0;3

º360º270

k

kcisz

Por lo tanto los valores de Cz que satisfacen la ecuación son: Para 0k :

1

270º90º

3z cis cis i

Para 1k :

2

270º 360º 3 1210º

3 2 2z cis cis i

Para 2k :

3

270º 720º 3 1330º

3 2 2z cis cis i

LOS COORDINADORES

19.- Obtener un valor del ángulo que satisface la siguiente ecuación:

ie i

53

201

tan

Resolución.

ie i

53

201

tan iseni53

201

costan


60

iseni

sen53

201

coscos

Por igualdad de números complejos se obtiene lo siguiente:

2...53

1...201

coscos

sen

sen

Sabemos que 3...1cos 22 sen

Por facilidad primero se obtendrá el valor de cos empleando las expresiones 2 y 3 y después se verificará si los valores obtenidos cumplen con la ecuación 1 .

53

sen

1cos 22 sen 153

cos2

2

2516

259

153

1cos2

2

54

2516

cos

Primero se probará con el valor positivo

53

s ,54

cos en

201

coscos

sen

201

54

5453

201

54

43

201

201

Tenemos que el cos es positivo y el sen es negativo, por lo tanto se encuentra en el cuarto cuadrante y un valor es:

53

54

cos

senang

ang θ

13.323θ

Se deja al estudiante verificar que con el valor 54

cos θ la ecuación

201

coscos

sen

no se satisface.

ALUMNO: ZEUS ZAMORA GUEVARA

20.- Obtener el valor del ángulo y del ángulo que satisfacen la siguiente ecuación:

iee ii 854 Tal que 900 y 1800 .


61

Resolución. Transformando los números complejos a su forma polar:

iseniseni 85cos54cos4 Por igualdad de números complejos se obtiene:

0cos5cos4 1...cos45

cos

854 sensen 2...245

sensen

También se sabe que la solución de este sistema debe cumplir con: 1cos1cos 2222 senysen

Elevando al cuadrado las expresiones 2 y 3 , y sumándolas tenemos:

22 cos1625

cos

451625 22 sensensen

451625

cos1625

cos 2222 sensensen

45cos1625

1 22 sensen 451625

1 sen

8073

1673

51625

35 sensensen

85.65

8073

angsen

Este resultado es correcto ya que cumple con 900 Como 1800 el sen será siempre positivo, pero el cos puede ser positivo o negativo. Se utilizara el valor de obtenido para calcular . De la ecuación 1 :

75.120

85.65cos45

cos85.65cos45

cos

ang

Este resultado es correcto ya que cumple con 1800 Verificando que con los valores de y se cumple la ecuación 2 :

859.0859.0

285.6545

75.120

sensen

Se cumple: 85.6575.120 y

ALUMNO: ZEUS ZAMORA GUEVARA

21.- Obtener el o los valores de Cz que satisfacen a la ecuación:

2

3

22

3

3411 ziiiezi


62

Resolución.

Despejando 2

3

z

iiziezi

1134 2

3

22

3

iiiezi

113422

3

ie

iiz

i34

11

2

2

3

Como:

iicisei

0º9012

442

34112

3

ii

iiii

z

º22532

2º45º270

32

2

º4532

º27022

3

cisciscis

cisz

3

23

2

º22532

2º225

32

2

ciscisz

3

1

3

13

12

º9081

º90324

º225232

2

cisciscisz

2,1,0 ;

3º360º90

81 3

1

k

kcisz

º3021

3º90

81

03

1

0 cisciszk

º15021

3º360º90

81

13

1

1 cisciszk

º27021

3º720º90

81

23

1

2 cisciszk


22.- Resolver la siguiente ecuación:

022312 ixix Resolución.

Sabiendo que: a

acbbx

242


63

2

2312

8896131

2

22143131 2iiiiiiii

x

Obteniendo las raíces de i2

2420 22 r 270

2

1

27022 cisi

1,0

2360º270

z 2

1

2

1

kdondek

cisr

icis

ºcisxk

113522

36002702'0 1

iciscisx

131522

36012702'1k 2

Resolviendo la ecuación con las raíces de i2 , obtenemos:

iiii

x 224

2131

1

i

iiix

1

222

2131

2


23.- Resolver la siguiente ecuación:

1043

656 3

ii

bacise πi

Resolución. Como podemos apreciar esta es una ecuación de primer grado con una incógnita en el dominio complejo. Al revisar de primera vista esta ecuación, podríamos caer en el error de querer cancelar el módulo del número complejo, con el denominador de nuestra ecuación; esto simplemente es incorrecto, ya que el módulo de un número complejo es un número real. Para empezar a resolver esta ecuación, es recomendable, primero despejar la incógnita y después simplificar:

ii

bacise πi

4365

106 3

bacisii

e πi

4365

106 3

Simplificando:

bcisa

ie πi

22

3

43

65106


64

bcisai

πcis

5

651036

bcisaiπcis

56

55

1036

bcisai 12106 bcisai 1216

Por lo tanto:

204001216 22 a

Nnnkkb

;,...,1,0;º360º13.143º87.36

1612

arctan

La solución es: bcisakºcis º36013.14320 ; Nnnk ;,...,1,0 .

ALUMNO: ALEJANDRO FÉLIX REYES

24.- Obtener los valores de Cyx , que satisfacen el siguiente sistema:

iyx

yx

564

1

Resolución. El sistema a resolver es:

2...564

1...1

iyx

yx

Se trata de un sistema de ecuaciones simultáneas, para resolverlo se empleará el método de sustitución, de la ecuación 1 se tiene;

3...11 yxyx Sustituyendo la ecuación 3 en la ecuación 2 :

iyiyiyiyy 555561556515641

Por lo tanto el valor de y es, ii

y

15

55.

De la ecuación 3 ; ixixyx 2111

Los valores pedidos son: ix 2 y iy 1

LOS COORDINADORES

25.- Determinar los valores de Czyx ,, , que satisfacen el sistema de ecuaciones lineales:


65

iziyixi

izyixi

iziyix

23983103

134362

1021551

Resolución. Se tiene que resolver un sistema de ecuaciones simultáneas con valores complejos, el sistema se resuelve por el método de sustitución.

3...23983103

2...134362

1...1021551

iziyixi

izyixi

iziyix

de la ecuación 1 ; 4...55110211021551 ziyiixiziyix

Sustituyendo la ecuación 4 en la ecuación 2 ; izyiziyiii 1343625511021

izyiizyizyii 814257134362552110

5...2

814573414572

iyiziyiz

Sustituyendo la ecuación 4 en la ecuación 3 ; iziyiziyiii 239831055110213

iziyiziyii 2398310155148973

6...232

13232823282232132

iyii

ziziyi

Igualando las ecuaciones 5 y 6

281457

2321323282 iyi

iyii

iiyiyii 2328145713232822 yiiyii 17110130621226464164

iiyiyi 30621264164264171101 iyi 2424814597

30434

30434304341459714597

1459724248

1459724248 i

ii

ii

ii

y i1

De la ecuación 5 ;

iiiiiii

z 312

622

8142122

814157

De la ecuación 4 ; iiiiiiiiix 5154610213151511021

Por lo tanto: ix

iy 1 iz 31

LOS COORDINADORES


66

POLINOMIOS 1. - Dadas las siguientes expresiones, indicar si son o no polinomios; en caso negativo decir por qué; en caso afirmativo determinar su grado. a) 9523573 234567 xxxxxxxxp

b) cos84.425.8cos14.3coscos 223 senf

c) 234 679 yyyys

d) xxxxr 3462 787 e) xxxxx 83953 342 Resolución. a) Sí es polinomio de grado 7 b) Sí es polinomio con variable independiente cos , ya que 22 cos1sen y sustituyéndola tenemos que:

cos84.4cos25.825.8cos14.3coscos 223 f finalmente:

25.8cos84.4cos39.11coscos 23 f de grado 3. c) Sí es polinomio de grado 4

d) No es polinomio dado que: 2

1346 787 xxxxr , lo cual no cumple con la definición

de polinomio. e) Sí es polinomio, aunque sus términos están desordenados:

58339 234 xxxxx de grado 4.

ALUMNA: IRENE RUBALCABA MONTSERRAT 2.- Determinar los valores de A , B , C para que los polinomios xp y xq sean iguales:

8144 2 xxxp

141123 222 xxCxBxxAxq Resolución. Igualando ambos polinomios:

8144 2 xx 141123 222 xxCxBxxA Para que dos polinomios sean iguales, sus coeficientes correspondientes deben ser iguales, desarrollando:

8144 2 xx CCxCxBBxAAxAx 423 222 agrupando términos semejantes:

1...43 CBA 2...1442 CA 3...8 CBA


67

Para resolver el sistema, tomando en cuenta que en la ecuación 2 no interviene B , se eliminará B de las ecuaciones 1 y 3 ; así que, restando 3 a 1 :

43 CBA 8 CBA

4...422 CA donde 5...422 CA , sustituyendo en 2 :

14442 CC 3186 CC sustituyendo este valor en 5 :

14322 AA Sustituyendo los valores de A y C en 3 :

831 B 4B Finalmente:

341 CBA

ALUMNA: IRENE RUBALCABA MONTSERRAT 3.- Sea p un polinomio de grado tres, del cual se sabe que:

51 p ; 31 p ; 182 p Además se sabe que su gráfica corta a el eje de las ordenadas en el punto de coordenadas 4,0P . Calcular 2p .

Resolución.

Si dcxbxaxxp 23 ; como: 40 p 4000 23 dcba 4d

entonces: 423 cxbxaxxp

como; 51 p 54111 23 cba 1...1 cba

De manera análoga, 31 p 34111 23 cba 2...1 cba

182 p 184222 23 cba 3...14248 cba Si se divide entre dos la tercera ecuación, el sistema queda como:

1 cba ; 1 cba ; 724 cba Resolviendo por la regla de Cramer, se tiene que:

6

124

111

111


68

26

126

127

111

111

a ; 06

06

174

111

111

b ;

16

66

724

111

111

c

Por lo que el polinomio está dado por: 32 4p x x x

De donde 2p se obtiene como 42222 3 p ; 102 p

ALUMNO: ARTURO GUTIÉRREZ LANDA 4.- Determinar el residuo de dividir:

a) 132 23 xxxxf entre 2x .

b) 3543 23 xxxxg entre 1x .

c) 834 23 xxxxh entre 1x .

d) 17653 23 xxxxp entre 2x . Resolución. a) Empleando división sintética tenemos: 2 3 1 1 2 4 2 6 2 1 3 5

25

322)( 2

xxx

xxf

.

El residuo es 5r b) 3 4 5 3 1 3 7 2 3 7 2 1 El residuo es 1r c) 1 4 3 8 1 1 5 8 1 5 8 0 El residuo es 0r , por lo tanto 1x es factor de xh . d) 3 5 6 17 2 6 2 8 3 1 4 25


69

El residuo es 25r , por lo tanto 2x no es un factor de xp .

ALUMNO: CARLOS VILLANUEVA ZÚÑIGA 5.- Obtener los valores de a y b de tal manera que bxxaxxxp 1413 234 sea divisible entre ax y 1x . Resolución. 1 a 13 14 b

1 1 1a 12 a 26a 1 1 a 12a 26 a 26 ba 1 1 a 12a 26 a a a a a12 1 1 12 2613 a Dado que el residuo de la división debe ser cero, tenemos:

1...02613 a 2...026 ba De la ecuación 1 :

2a Sustituyendo 2a en la ecuación 2 :

240262 bb

ALUMNA: VALERIA GONZÁLEZ LEYVA 6.- Comprobar que 333 3 baabxxh es divisible entre bax . Resolución. 1 0 ab3 33 ba ba ba 2ba 33 babaab

1 ba 23 baab 333 3 babaabba Igualando a cero el residuo el residuo y desarrollando el producto, tenemos:

033 32233 baabbaba factorizando los primeros cuatro términos: 033 baba

00 Por lo tanto queda demostrado que 333 3 baabxxh es divisible entre bax

ALUMNA: VALERIA GONZÁLEZ LEYVA


70

7.- Comprobar que 115 xxh es divisible entre 13 x . Resolución. 136912 xxxx

13 x 115 x

1215 xx

912

12 1

xx

x

69

9 1

xx

x

36

6 1

xx

x

1

13

3

x

x

0 Como el residuo es cero el polinomio 115 xxh es divisible entre 13 x .

ALUMNA: DAISY TESSIE REYES CHAVEZ 8.- Determinar el residuo que se obtiene al dividir 66 ayyh entre ay . Resolución. 54233245 ayayayaayy

ay 66 ay

56 ayy

425

65

yaay

aay

3342

642

yaya

aya

2433

633

yaya

aya

yaya

aya524

624

65

65

aya

aya

62a Por lo tanto el residuo es: 62a .

ALUMNA: DAISY TESSIE REYES CHAVEZ


71

9.- Determinar si para el polinomio

ixixixixixxf 8482421 2345 ix 1 es una de sus raíces. De serlo, expresar xf como xqixxf donde xq es un polinomio de grado 1n .

Resolución. Realizando la división sintética 1 i1 i2 i24 i48 i8 i i i i2 i4 i8 1 1 2 4 8 0 Como el residuo es cero, entonces ix 1 es una de las raíces de xf , por lo que podemos expresar a xf de la siguiente forma:

842 234 xxxxixxf

ALUMNO: LEÓN FELIPE PALAFOX NOVACK 10.- En una división de polinomios, el dividendo es 25423 2345

1 xxxxxxp

el cociente es 2223 23 xxxxq y el residuo es xxr 7 . Determinar el divisor xp2 .

Resolución. Se tiene que:

xpxr

xqxp

xp

22

1

multiplicando por xp2 xrxqxpxp 21 xqxpxrxp 21

xq

xrxpp

1

2

Realizando operaciones; 22423 2345

1 xxxxxxrxp dividiendo:

2223

2242323

23451

2

xxx

xxxxxxq

xrxpxp

12 x 2223 23 xxx 22423 2345 xxxxx

2345 2223 xxxx 2223 23 xxx 2223 23 xxx 0


72

122 xxp

ALUMNA: VIRGINIA CECILIA DÍAZ GARCÍA

11.- Obtener las raíces del polinomio: 124 tttf Resolución. Se definirá una variable de ayuda: 2tx Con lo que el polinomio queda de la siguiente manera: 12 xxxp Utilizando la fórmula general de segundo grado:

23

21

231

231

2

11411 2 iix

330330cos23

21

3030cos23

21

21 senii

xsenii

x

Como: xt y que:

1...,,2,1,0360360

cos

nkn

kisen

nk

rz nn

3030cos senit 0k

1515cos1 senit

195195cos

1

2 senit

k

330330cos senit

115115cos

0

3 senit

k

345345cos

1

4 senit

k


12.- Determinar si los números 2 , 2 , 1 son raíces del polinomio:

2935862 234567 xxxxxx xxp Resolución. Como sabemos, para que un número sea raíz de un polinomio xp se debe cumplir 0p .

a) Sustituyendo 2 en el polinomio tenemos:

229232528262222234567

p


73

22962103222416282 p

202132 p

02 p ; por lo tanto, 2 no es una raíz del polinomio b) Sustituyendo 2 en el polinomio tenemos:

229232528262222 234567 p 21812401281921281282 p

2522 p 02 p ; por lo tanto, 2 no es una raíz del polinomio

c) Sustituyendo 1 en el polinomio tenemos 219131518161211 234567 p

293586211 p 01 p

01 p ; por lo tanto, 1 es una raíz del polinomio

ALUMNA: RHAMID H. RODRÍGUEZ DE LA TORRE 13.- Sea el polinomio en x con coeficientes en C .

BAxixxixxxp 2367 77 Obtener A , B C ; considerar que i es raíz de xp y que ip 12121 . Resolución. Sabemos que:

ip 12121

iBAiip 121211717111 2367 iBAiip 12127711

iBAi 121266 iiBA 612612 iBA 66 1...66 AiB

Además como i es raíz del polinomio: 077 2367 BAiiiiiiiip

077 3377 BAiiiiiip 2...0 BAi Sustituyendo 1 en 2 :

iiAiAiAAiAi 66166066

6116

166

ii

ii

A

Sustituyendo en 1 : iBiB 6666

iByiA 606



74

14.- Determinar los valores de los coeficientes a , b y c de tal forma que además sean raíces del polinomio cbxaxx 23 Resolución. Sustituimos a en el polinomio, ya que sabemos que un número dado es raíz de un polinomio

xp si 0p

023 cabaaaap 033 cabaa 1...0 cab Sustituimos b en el polinomio;

023 cbbbabbp 2...0223 cbabb Sustituimos c en el polinomio;

023 ccbcaccp 3...023 cbcacc Despejando c de 1 :

4...cab sustituyendo en 2

0223 abbabb 02 ababbb 02 ababb Despejando a

ababb 2 babb 12

abbb

1

2 b

bba

1

1

5...ba Sustituyendo c en 3

023 ababbabaab 022333 ababbaba Factorizando ab

01222 bbabaab 6...01222 bbaba Sustituyendo 5 en 6 :

01222 aaaaa 0134 aaa Dado que esta ecuación es de cuarto grado, entonces se tienen cuatro valores para a que son:

1a1 1a2

60cisa3

300cisa4 Si tomamos uno de ellos, por ejemplo 1a , tenemos: como ba , tenemos que 1b como abc , tenemos que 1c Entonces, una posibilidad es:

123 xxxxp

ALUMNA: RHAMID H. RODRÍGUEZ DE LA TORRE 15.- Sea el polinomio 13 nxxp , donde Nn . Determinar la naturaleza de sus raíces utilizando la regla de los signos de Descartes:


75

Resolución. Para 1n

13 xxp

13 xxp Por lo que xp , tendrá: 0 raíces reales positivas. 1 raíz real negativa. 2 raíces complejas. Total: 3 raíces. Para 2n :

16 xxp

16 xxp Por lo que xp , tendrá: 0 raíces reales positivas. 0 raíces reales negativas. 6 raíces complejas. Total: 6 raíces. Así se observa que para xp , si n es par: No tendrá raíces reales Todas sus raíces serán complejas. Para xp , si n es impar: No tendrá raíces reales positivas. Tendrá una raíz real negativa, y Tendrá 13 n raíces complejas.

ALUMNO: RODRIGO ATAHUALPA SÁNCHEZ TELÉSFORO 16.- Obtener las raíces del polinomio: 6875 2345 xxxxxxf Resolución. Aplicando la regla de signos de Descartes xxxxxxf 6875 2345 ; 4 variaciones, por lo que se tienen 4 posibles raíces

positivas. 6875 2345 xxxxxxf ; 1 variación, por lo tanto habrá 1 raíz negativa.

Tipo de raíz Opción 1 Opción 2 Opción 3 Reales positivas 4 2 0 Reales negativas 1 1 1 Complejas 0 2 4 Total 5 5 5 Obteniendo las posibles raíces, tenemos:

1236 :Raíces 0 ,,,aFactor de

aFactor de

qp

n


76

Realizando la división sintética con las posibles raíces: 1 5 7 1 8 6 1 1 6 13 14 6 1 6 13 14 6 0 Por lo que; 11 x 1 6 13 14 6 1 1 5 8 6

1 5 8 6 0 Por lo que; 12 x . 1 5 8 6

3 3 6 6 1 2 2 0 Por lo que; 33 x .

El polinomio reducido es: 222 xxxq Por la fórmula general, tenemos: Resolviendo la ecuación por la fórmula general,

i

ix

1

222

242

12

21422 2

Por lo tanto las raíces son: 11 x , 12 x , 33 x , ix 14 y ix 15


17.- Obtener las raíces del polinomio: 123 zzzzp . Resolución. Análisis de raíces. 123 zzzzp

Tipo de raíz Opción 1 Opción 2 Reales positivas 0 0 Reales negativas 3 1 Complejas 0 2 Total 3 3 Así mismo: 11110 qaypa n .

Por lo que 11 qp

qp

, de la tabla anterior.

Realizando la división sintética: 1 1 1 1 1 1 0 1

1 0 1 0 Por lo que: 11

Así: 11 2 zzzp Finalmente:


77

izzz 101 22 Resultando las raíces de la opción 2:

i 21 ,1 y i3


18.- Dado el polinomio:

2345678

21

61

31

32

61

61

axxxxxxxxp

Determinar el valor de a si se sabe que 3 es raíz de )(xp . Resolución. Multiplicando por seis:

2345678 63246 axxxxxxxxp

factorizando 2x ; axxxxxxxxp 63246 234562

donde obtenemos: 02,1

Raíz nula con multiplicidad 2, entonces; axxxxxxxq 6324 23456

Realizando división sintética: 1 1 4 2 1 3 a6 3 3 33 33 33 323 6

1 31 31 31 32 32 66 a

Como 3 es raíz, entonces: 1066 aa


19.- Obtener el valor de a tal que 1x sea un factor del polinomio: 12321532 2345 xxaxxxxxp y obtener todas sus raíces.

Resolución. Utilizando la división sintética: 2 3 a 15 32 12

1 2 5 5a 20a 12a 2 5 5a

20a 12a a

Por lo que; 0a Entonces el polinomio xp es igual a: xxxxxxp 12321532 2356 El polinomio tiene una raíz nula 01 x , con lo que el polinomio reducido es:


78

12321532 245 xxxxxq Contando los cambios de signo que tiene el polinomio se puede suponer que tiene 2 ó 0 raíces reales positivas. Ahora cambiando x por x tenemos:

12321532 245 xxxxxq

12321532 245 xxxxxq Contando los cambios de signo que tiene el polinomio xq se sabe que tiene una raíz real negativa. Así, tenemos las siguientes posibilidades: Tipo de raíz Opción 1 Opción 2 Reales positivas 2 0 Reales negativas 1 1Complejas 2 4Nulas 1 1Total 6 6

Las posibles raíces racionales son: 23

,21

,12,6,4,3,2,1

Probando las posibles raíces tenemos que: 2 3 0 15 32 12 1 2 5 5 20 12

2 5 5 20 12 0 Por lo que: 12 x . 2 5 5 20 12 21 1 3 4 12

2 6 8 24 0

Por lo que: 2

13 x .

2 6 8 24 3 6 0 24 2 0 8 24 Por lo que: 34 x . y nos queda:

ixxxx 24404082 222 entonces las raíces son:

ixixxxxx 2,2,3,21

,1,0 654321



79

20.- Obtenga las raíces del polinomio:

453046)( 234 xxxxxp Resolución. Como 450 y 1n , las posibles raíces son:

45,15,9,5,3,1 Cambios de signo: 453046 234 xxxxxp

453046 234 xxxxxp se tienen tres cambios de signo, entonces, Tipo de raíz Opción 1 Opción 2 Reales positivas 1 1 Reales negativas 3 1 Complejas 0 2 Total 4 4 Realizando división sintética: 1 6 4 30 45 3 3 9 15 45 1 3 5 15 0 Por lo que: 31 1 3 5 15 3 3 0 15 1 0 5 0 Por lo que: 32

55050 22 xxxx Resumen de raíces:

32,1 Multiplicidad 2 .

5

5

4

3


21.- Obtener las raíces del polinomio: 21

31

67

31 23 xxxxp .

Resolución. Análisis del polinomio.

32726 23 xxxxqxpxq

3272 23 xxxxq Análisis de raíces. Tipo de ráiz Opción 1 Opción 2


80

Reales positivas 1 1 Reales negativas 2 0 Complejas 0 2 Total 3 3 Así mismo: 2,12,3,130 qapa n

Por lo que 23

,21

,3,1 qp

Realizando la división 2 7 2 3 3 6 3 3 2 1 1 0 Por lo que: 31 2 1 1 1 2 1

2 1 0 Por lo que: 12

Así 1213 xxxxq Finalmente

21

012 xx

Resultando las raíces de la opción 1.

21

1

3

3

2

1

Nota: Las raíces de xq son las mismas de xp , simplemente existe un escalamiento entre los polinomios; en sus gráficas se observa un desplazamiento vertical de sus máximo y mínimos.


22.- Obtener las raíces del polinomio:

65722524381 234 tttttf Resolución. Dado que todos los coeficientes son divisibles entre 3 , se puede hacer el siguiente cambio de variable:

Si 3

3x

ttx de donde sustituyendo tenemos:

63

573

2253

2433

81234

xxxxxf

63

579

22527

24381

81234

xxxxxf


81

619259 234 xxxxxf Obteniendo las posibles raíces, tenemos:

12360 ,,,aFactor de

aFactor de

qp

Raíces: n

Realizando la división sintética con las posibles raíces: 1 9 25 19 6

3 3 18 21 6 1 6 7 2 0 Por lo que: 31 x 1 6 7 2

2 2 8 2 1 4 1 0 Por lo que: 22 x Aplicando la fórmula general de segundo grado a la ecuación:

0142 xx

522

2042

11444 2

x

entonces: 52,52 43 xx .

Sustituyendo en 3x

t , obtenemos que las raíces son:

352

,3

52,

32

,1 4321

tttt .


23.- Obtener el polinomio de coeficientes reales de menor grado cuya gráfica contiene los puntos )3,0(),0,32(),0,1( CBA y que tiene como una de sus raíces a i21 . Resolución. Dado que el polinomio tiene coeficientes reales, otra raíz es i21 . Por otra parte, de los datos del problema se tienen otras dos raíces, que son:

1 y 32

Podría pensarse que otra raíz es 32 ; sin embargo, esto no se puede garantizar, pues no se tiene información en el sentido de que los coeficientes del polinomio sean racionales, luego el polinomio es:

)21)(21)(32)(1()( 4 ixixxxaxp

310)3145()367()323( 2344 xxxxaxp

Pero del punto “C” se tiene que 3)0( p , entonces:

3103 4a 310

34 a

Finalmente, se tiene que:

310)3145()367()323(310

3)( 234 xxxxxp


82

3521

32

359

310

2153

310

9

310

3 234

xxxxxp


24.- Considerando que i2 y 1 son raíces del polinomio )(xp , determinar las raíces restantes:

ixixxxxp 2)23(3)( 234 Resolución. Como 11 y i22 , podemos emplear división sintética para reducir el grado del polinomio. 1 1 3 i23 i2 1 1 0 3 i2

1 0 3 i2 0 1 0 3 i2

i2 i2 4 i2 1 i2 1 0

El polinomio reducido que nos queda es 122 ixxxq , empleando la ecuación general para resolver ecuaciones de segundo grado tenemos:

2

22

44212

114224,34,3

2

4,3

iiii

i4,3 Resumen de raíces:

iα

iα

α

4,3

2

1

2

1


25.- Expresar mediante factores lineales al polinomio 2345 20228 xxxxxf , si se sabe que i 3 es una de sus raíces y además que 02 f . Resolución. El problema nos da dos raíces i 31 y 22 . Además vemos que el polinomio tiene dos raíces nulas, y como tiene coeficientes reales, podemos afirmar que el conjugado de

i 31 , también es raíz, esto es, i 35 .

El polinomio expresado en factores lineales es el siguiente: 233 xixixxxxf


83


27.- Obtener las raíces del polinomio: 6766 235 xxxxxp . Resolución. Análisis del polinomio.

6766 235 xxxxxp Análisis de raíces. Tipo de raíz Opción 1 Opción 2 Opción 3 Reales positivas 4 2 0 Reales negativas 1 1 1 Complejas 0 2 4 Total 5 5 5 Se tiene que: 11,6,3,2,160 qapa n

Por lo que 6,3,2,1 qp

Realizando la división sintética: 1 0 6 6 7 6 3 3 9 9 9 6 1 3 3 3 2 0

Por lo que: 31 .

Por lo que: 12 . 1 2 1 2

2 2 0 2 1 0 1 0

Por lo que: 23 .

Así 1213 2 xxxxxp Finalmente

ixxx 101 22 Resultando las raíces de la opción 2.

ii 54321 ,,2,1,3


27.- Obtener todas las raíces de la ecuación: xxxxxxxh 245025133 23456 . Resolución. Notamos que el polinomio tiene una raíz nula.

1 3 3 3 2 1 1 2 1 2

1 2 1 2 0


84

Si se considera el polinomio reducido, tenemos: 245025133 2345

1 xxxxxxq

Contando los cambios de signo que tiene el polinomio xq1 se determina que xh tiene 2 ó 0 raíces reales positivas. Ahora cambiando x por x tenemos:

245025133 23451 xxxxxxq

245025133 23451 xxxxxxq

Contando los cambios de signo que tiene el polinomio xq1 se determina que xh tiene 3 ó 1 raíces reales negativas. Así tenemos los siguientes casos: Tipo de raíz Opción 1 Opción 2 Opción 3 Opción 4

Reales positivas 2 0 2 0 Reales negativas 3 3 1 1 Nulas 1 1 1 1 Complejas 0 2 2 4 Total 6 6 6 6

Las posibles raíces reales son: 24,12,8,6,3,2,1 Probando las posibles raíces tenemos que: 1 3 13 25 50 24 3 3 0 39 42 24 1 0 13 14 8 0

Por lo que: 32 x . 1 0 13 14 8

2 2 4 18 8 1 2 9 4 0

Por lo que: 23 x .

1 2 9 4 4 4 8 4

1 2 1 0 y nos queda:

1222 xxxq

Aplicando la fórmula general para ecuaciones de segundo grado, tenemos:

21

2222

282

2

11422 2

xxx

Las raíces son: 21,21,4,2,3,0 654321 xxxxxx


28.- Sean 52 x una raíz de la ecuación 619259 234 xxxxxp . Determinar las demás raíces. Resolución.


85

Teorema Si el número ba es una raíz de la ecuación racional y entera 0xf con coeficientes

racionales, el número ba también es una raíz de 0xf .

Como 521 x es raíz, por el teorema anterior , 522 x también es raíz de xp . El polinomio de segundo grado que es factor de xp es:

145252 2 xxxx .

Dividiendo

142 xxxp

, se tiene que:

652 xx 142 xx 619259 234 xxxx

234 4 xxx 619265 23 xxx xxx 5205 23 6246 2 xx 6246 2 xx 0 Por lo que el polinomio reducido es:

230652 xxxqxxxq Por lo cual las raíces restantes son: 2,3 43 xx

Las raíces son: 2,3,52,52 4321 xxxx


29.- Si xgxhxf , obtener todas las raíces de xf si se sabe que: El polinomio xh es de segundo grado y pasa por los puntos 2,0,0,1 y 2,1 ;

El polinomio ixixixixixxg 142114521353 2345 , y tiene

como raíces a i y 7 . Resolución. Para el polinomio xh tenemos que pasa por los puntos 2,0,0,1 y 2,1 . Como pasa por el punto 0,1 en 1x tenemos una raíz del polinomio, el polinomio de 2º grado puede escribirse como sigue:

bxxxh 1 Evaluando en los puntos restantes:

220100 bbh 24222221111 bbbbh

12 xxxh Las raíces son: 1;2 21

Para ixixixixixxg 142114521353 2345 , usando división sintética para reducir el grado del polinomio, con las raíces dadas:


86

Con i3 ;

1 i 3 i35 i521 i2114 i14 i i i3 i5 i21 i14

1 3 5 21 14 0

Como 74 es también raíz del polinomio 142153 234 xxxxxq y este

contiene coeficientes racionales, entonces 7 también será raíz del polinomio, realizando la división sintética tenemos: 1 3 5 21 14

7 7 737 7221 14 1 73 732 72 0

1 73 732 72 7 7 73 72 1 3 2 0

Por lo que: 75

Del polinomio restante vemos que las posibles raíces racionales son:

11

,120

na

a

qp

.

Posibles raíces: 2,1 . Por división sintética. 1 3 2 2 2 2

1 1 0 Por lo que: 26 .

Por división sintética 1 1 1 1 1 0

Por lo que: 17 . Por lo tanto las raíces de xf son:

1,7,7,,1,2 754326,1 i


30.- Obtener las raíces del polinomio 135916 234 xxxxxg , si se sabe que

i231 es una de sus raíces. Resolución. Como los coeficientes del polinomio xg son reales, entonces i232 , es otra de sus raíces. Empleando división sintética:


87

1 1 16 59 13 i23 i23 i102 i262 13

1 i22 i1014 i23 0 1 i22 i1014 i23

i23 i23 i1015 i23 1 5 1 0 Quedando el polinomio reducido 152 xxxq de donde:

2

21512

1142550152

xxxx

Las raíces son:

2215

,2

215,23,23 4321

xxixix


31.- Obtener la expresión algebraica del polinomio xp de grado 5 con coeficientes reales, si se tiene que una raíz igual a i2 y cuya gráfica es:

Resolución. Si i2 es raíz, entonces i2 también lo será; de la gráfica también se desprenden las siguientes raíces: 3x , 1x , 2x . Así:

213421322 2 xxxxxpxxxixixxp

21243211243 22323 xxxxxxpxxxxxxp

242022 2345 xxxxxxp Como el término independiente resulta 24 , entonces es necesario multiplicar por 2 para llegar al término independiente que debe ser 48


88

2420222 2345 xxxxxxr

48404242 2345 xxxxxxr

ALUMNO: RODRIGO ATAHUALPA SÁNCHEZ TELÉSFORO 32.- Sea el polinomio:

ixixixixixixixxp 1212208191181612281 234567 Obtener todas las raíces del polinomio xp , si se sabe que i 11 es una de sus raíces. Resolución. Como 1, 21 i es raíz del polinomio xp , se emplea división sintética para obtener el polinomio reducido, es decir; 1 i1 i28 i612 i181 i191 i208 i1212 i1 i1 i22 i66 i1818 i1919 i2020 i1212

1 2 6 18 19 20 12 0 El polinomio reducido es:

1220191862 23456 xxxxxxxq Del polinomio reducido xq se tiene que:

12,6,4,3,2,1120 pa 11 qan .

Entonces las posibles raíces racionales son:

12,6,4,3,2,1 qp

.

Realizando la división sintética: 1 2 6 18 19 20 12

1 1 2 4 22 31 51 1 2 4 22 31 51 63 Por lo que, 1 no es raíz de xq . 1 2 6 18 19 20 12 1 1 1 7 11 8 12

1 1 7 11 8 12 0

Por lo que, 12 es raíz de xq . Continuando con la división sintética: 1 1 7 11 8 12 2 2 2 10 2 12

1 1 5 1 6 0

Por lo que, 23 es raíz de xq .

Continuando con la división sintética: 1 1 5 1 6

3 3 6 3 6 1 2 1 2 0

Por lo que, 34 es raíz de xq . Como el tercer renglón de la división sintética contiene solo términos positivos ya no hay ningún número 3 que sea raíz.


89

1 1 5 1 6 3 3 12 21 66 1 4 7 22 60 Como el tercer renglón de la división sintética contiene términos con signos alternados ya no hay ningún número 3 que sea raíz. 1 2 1 2 2 2 0 2 1 0 1 0

Por lo que, 25 es raíz de xq .

El polinomio reducido resultante es 121 xxq , que tiene por raíces:

iixx 7622 ,101

Por lo que las raíces del polinomio son: i 11 , 12 , 23 , 34 , 25 , i6 y i7

LOS COORDINADORES

33.- Sea el polinomio:

800148063224234022596144 23456789 xxxxxxxxxxp .

Obtener todas las raíces del polinomio xp , si se sabe que i2,2 21 son dos de sus raíces. Resolución. Se tienen 7 cambios de signo de xp , se determina que tiene 7 , 5 , 3 ó 1 raíces reales positivas. Para 800148063224234022596144 23456789 xxxxxxxxxxp , se determinan 2 cambios de signo, por lo que tendrá 2 o 0 raíces reales negativas. Raíz Opción 1 Opción 2 Opción 3 Opción 4 Opción 5 Opción 6 Opción 7 Opción 8

R 7 7 5 5 3 3 1 1 R 2 0 2 0 2 0 2 0

C 0 2 2 4 4 6 6 8 Total 9 9 9 9 9 9 9 9

Como xp tiene coeficientes racionales y 21 es una raíz, entonces 23

también es raíz de xp , es decir, el polinomio 222 2 xxx es factor de xp , como también i22 es raíz del polinomio xp entonces i24 , también es raíz, por

lo que: 422 2 xixix es factor de xp , entonces

8242 2422 xxxx es factor de xp ; por lo que:

82

80014806322423402259614482 24

23456789

24

xx

xxxxxxxxxxxxp

xq


90

100185104164 2345 xxxxx 82 24 xx 800148063224234022596144 23456789 xxxxxxxxx

579 82 xxx

800148063224234021796164 2345678 xxxxxxxx 468 3284 xxx

800148063224230821710416 234567 xxxxxxx 357 1283216 xxx

8001480632370308185104 23456 xxxxxx 246 832208104 xxx

8001480200370100185 2345 xxxxx xxx 1480370185 35

800200100 24 xx

800200100 24 xx

0 Quedando el polinomio reducido:

100185104164 2345 xxxxxxq Del polinomio reducido xq se tiene que:

,100,50,25,20,10,5,4,2,11000 pa 11 qan .

Entonces las posibles raíces racionales son:

100,50,25,20,10,5,4,2,1 qp

Realizando la división sintética: 1 4 16 104 185 100 1 1 3 19 85 100

1 3 19 85 100 0 Por lo que 15 , es una raíz del polinomio xp .

Tomando el polinomio reducido y aplicando división sintética. 1 3 19 85 100 2 2 2 42 86 1 1 21 43 14

Por lo que 2 no es raíz del polinomio. 1 3 19 85 100 4 4 4 60 100 1 1 15 25 0

Por lo que 46 , es una raíz del polinomio. Tomando el polinomio reducido y aplicando

división sintética. Al evaluar las posibles raíces racionales positivas mayores a 4 , se observa que los valores del polinomio se van incrementando, por lo que se evalúan valores negativos. 1 1 15 25 5 5 20 25 1 4 5 0

Por lo que 57 , es una raíz del polinomio.


91

El polinomio resultante es 5421 xxxq , por lo tanto al aplicar la fórmula general se

tiene que:

i

2

244

12

51444 2

9,8

i 28

i 29

Por lo que las raíces son: 21 , i22 , 23 , i24 , 15 , 46 , 57 , i 28 y

i 29 .

LOS COORDINADORES


92

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1.- Un ingeniero mecánico tiene cierto número de piezas de una herramienta, mientras que su hermano consigue 6 veces más herramientas que él. Expresar cuántas herramientas tienen entre los 2 . Resolución.

Herramientas del ingeniero mecánico: x Herramientas de su hermano : x6 Herramientas Totales: xxx 76


2.- Una afamada empresa de computación vende diferentes modelos de computadoras: A , B y C . Dos compañías le hacen un pedido cuyos montos totales fueron 000,80$ y 000,60$ . Plantear las ecuaciones necesarias para obtener el precio de las computadoras, si se sabe que a la primer compañía se le vendieron 7 unidades de A , 8 de B y ninguno de C . Mientras que a la otra compañía se le vendieron 5 de B y 3 de C . Resolución. Sabiendo los totales de computadoras:

7 8 80,000

5 3 60,000

A B

B C


3.- Si Juan tiene 3 veces la edad de su hermano Pedro, y Pedro la mitad de años que su hermano Enrique, si las edades de los 3 juntos suman 40 años , establecer la ecuación correspondiente de las edades. Resolución.

Edad de Pedro : x Edad de Juan : x3 Edad de Enrique: x2

Entonces: 4064023 xxxx


4.- Un estudiante de Ingeniería tiene que terminar una serie de " "y ejercicios de cálculo, y decide hacer equipo con unos amigos. Se decide que él tendrá que hacer la mitad de los


93

ejercicios, y un amigo suyo tendrá que hacer otro número desconocido de ejercicios, y un segundo amigo hará la mitad de los que hace el primero más una tercera parte de los que hace el segundo. Plantear la ecuación que representa el número total de ejercicios. Resolución.

Total de Ejercicios: y

Ejercicios del muchacho 1 : 2y

Ejercicios del muchacho 2 : x

Ejercicios del muchacho 3: 34xy

Ejercicios totales: 342xy

xy

y


5.- Una lancha de motor operada a toda su capacidad hizo un viaje de 4 millas (contra una corriente constante) en 15 minutos. El viaje de regreso (con la misma corriente y a toda máquina) lo hizo en 12 minutos. Calcular la velocidad de la corriente y la velocidad equivalente de la lancha en aguas tranquilas e identificar si el sistema de ecuaciones es compatible determinado (una sola solución) o compatible indeterminado (varias soluciones). Resolución. Sea:

x velocidad de la lancha hmi / y velocidad de la corriente hmi /

Como la velocidad de la corriente es constate, entonces vtd , donde d es la distancia recorrida, v la velocidad y t el tiempo. Como la corriente retarda a la lancha cuando viaja contra ésta y la impulsa cuando regresa, se tiene que:

Velocidad contra la corriente = yx hmi / Velocidad a favor de la corriente = yx hmi /

El tiempo (en horas) que la lancha navegó en cada dirección es;

Tiempo contra la corriente h41

6015

Tiempo a favor de la corriente 51

6012

h

En cada viaje se recorrió una distancia de mi4 . Sustituyendo en vtd obtenemos de sistema

51

4

41

4

yx

yx

yx

yx

20

16

Sumando las ecuaciones se tiene 18362 xx . Por consiguiente, 2182020 xy .


94

Por lo tanto, la velocidad de la lancha en aguas tranquilas es de hmi /18 y la velocidad de la corriente es de hmi /2 . El sistema es compatible determinado.

ALUMNA: IRENE RUBALCABA MONTSERRAT 6.- Demostrar el Teorema fundamental de la equivalencia: “Si en un sistema de ecuaciones se cambia una ecuación por otra que es combinación lineal de ella y de las restantes, siempre que el coeficiente de la ecuación sustituida sea distinto de cero, se obtiene otro sistema que es equivalente al primero”. Resolución. Hay que demostrar que los sistemas:

1

2

( ) 0

( ) 0

...

( ) 0m

E x

E xI

E x

y

1 1 2 2 1

2

( ) ( ) ... ( ) 0; 0

( ) 0

...

( ) 0

m m

m

E x E x E x

E xII

E x

son equivalentes. Supongamos que es solución del sistema I :

Entonces se cumple que

0)(

...

0)(

0)(

2

1

mE

E

E

multiplicando respectivamente por m ...,,, 21 y sumando los términos se obtiene: 0)(...)()( 2211 mmEEE

luego es solución del sistema II . Supongamos ahora que es solución del sistema II , es decir:

0)(

...

0)(

0)(...)()(

2

2211

m

mm

E

E

EEE

y como 01 , se tiene que;

00....0.)(...)()(11

2

12

1

21

mm

m EEE

y, por tanto, verifica todas las igualdades del sistema I . Por lo tanto, los sistemas son equivalentes.



95

7.- Resolver el sistema y clasificarlo según su número de soluciones. 3...7624

2...2423

1...332

zyx

zyx

zyx

Resolución. Multiplicando por 2 la ecuación 1 y sumando con la ecuación 2 , para eliminar la variable y :

2423

6624

zyx

zyx

4...427 zx Sumando las ecuaciones 2 y 3 para eliminar la variable y :

2423

7624

zyx

zyx

5...527 zx . Las ecuaciones 4 y 5 forman el sistema:

427 zx 527 zx

Como zx 27 no puede ser igual a 4 y a 5 al mismo tiempo, este sistema es incompatible; por lo tanto, no tiene solución.

ALUMNA: IRENE RUBALCABA MONTSERRAT 8.- Resolver el siguiente sistema e indicar si es compatible determinado o compatible indeterminado.

3...1233

2...922

1...1242

zyx

zyx

zyx

.

Resolución. Sumando las ecuaciones 2 y 3 para eliminar la variable z ;

1233

922

zyx

zyx

4...104 yx Multiplicando por 2 la ecuación 3 y sumando con 1 para eliminar la variable z ;

2466

1242

zyx

zyx

5...1458 yx Las ecuaciones 4 y 5 forman un sistema de dos ecuaciones don dos variables:

104 yx 1458 yx


96

Multiplicando por 5 la ecuación 4 y sumando con 5 para eliminar la variable y : 50520 yx

1458 yx

33612 xx Como 3x , de la ecuación 5 ;

210514524145)3(8 yyyy Sustituyendo los valores de x y y en la ecuación 1 ;

1444481242)3(2 zzzz La solución del sistema es 1,2,3,, zyx . Es un sistema compatible determinado.

ALUMNA: IRENE RUBALCABA MONTSERRAT 9.- Determinar si el sistema tiene una solución diferente de cero.

043

0252

032

zyx

zyx

zyx

Resolución. Reduciendo a forma escalonada obtenemos:

057

08

032

zy

zy

zyx

061

08

032

z

zy

zyx

De este sistema se observa que:

00080 yyz 000302 xx

ALUMNA: VIRGINIA CECILIA DÍAZ GARCÍA

10.- Determinar si el sistema tiene una solución diferente de cero.

033

074

0252

02

zyx

zyx

zyx

zyx

Resolución. Reduciendo a la forma escalonada:


97

04

082

04

02

zy

zy

zy

zyx

04

02

zy

zyx

En la forma escalonada hay solamente dos ecuaciones con tres incógnitas, se concluye que el sistema tiene al menos una solución diferente de cero.

ALUMNA: VIRGINIA CECILIA DÍAZ GARCÍA 11.- Hallar el valor de k para que el siguiente sistema tenga sólo la solución trivial:

045

0264

05

kzyx

zyx

y x

Resolución. Utilizando el método de Gauss:

221

33145

045

0264

0051RRRRRR

k

3322

23

0210

02140

0051RR

RR

k

02420

06420

0051

k

06200

06420

0051332

k-

RRR

Se trata de un sistema homogéneo que siempre tienen solución. Para que tenga sólo la solución trivial, el sistema ha de ser compatible determinado, solución única, por tanto el número de ecuaciones debe de ser igual al número de incógnitas:

3062 kk

Los valores de k para que el sistema solo tenga solución trivial son: 3 kRk


12.- Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando el método de Gauss.

17122

13563

4484

zyx

zyx

zyx

Resolución. Escribiendo el sistema el forma matricial:

11 2 3 1 24

4 8 4 4 1 2 1 1 1 2 1 1

3 6 5 13 3 6 5 13 0 0 8 16

2 1 12 17 2 1 12 17 2 1 12 17

R R R R- -

- - -


98

123 2 1 3 2 3 5

1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1

0 0 8 16 0 5 10 15 0 1 2 3

0 5 10 15 0 0 8 16 0 0 8 16

RR R R R R

2

3

1

100

210

1213

8

1R

Ahora se tiene una matriz equivalente en forma escalonada, cuyo sistema es:

2

32

12

z

zy

zyx

Para resolver el sistema se aplica sustitución para atrás. 31212

1322

xx

yy

La solución del sistema es: 2,1,3


13.- Resolver el siguiente sistema lineal de ecuaciones.

432

042

143

32

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

xxx

Resolución. Por el método de Gauss:

4132

6320

10510

3211

4132

0142

10510

3211

4132

0142

1143

3211

331221 23 RRRRRR

0000

14700

10510

3211

10510

6320

10510

3211

332441 22 RRRRRR

Es decir; 3...147x-

2...105 x

1...32

3

32

321

x

xxx

De la ecuación 3 :


99

27

1433

xx

De la ecuación 2 : 010)2(5 22 xx

De la ecuación 1 : 13)2(20 11 xx

La solución del sistema es: 2,0,1

ALUMNO: ERICK REYNALDO VALDIVIA ORTEGA 14.- Obtener la solución del siguiente sistema de ecuaciones.

043

03

062

zyx

yx

zyx

Resolución. Utilizando transformaciones elementales:

12

431

031

162RR

2212

431

162

031RRR

431

900

031

400

900

031331 RRR

Por lo que:

0

3

z

yx

Haciendo ky , la solución es: kx 3

ky 0z

Con Rk

ALUMNA: VIRGINIA CECILIA DÍAZ GARCÍA 15.- Se desea alimentar a una persona con una dieta diaria formada por una combinación de tres alimentos dietéticos comerciales: MiniCal, Silueta y Bajo Peso. Para este experimento es importante que la persona consuma exactamente mg500 de potasio, g75 de proteína y 1150 unidades de vitamina D cada día. En la siguiente tabla se ven las cantidades de esos nutrientes en una onza de cada producto.


100

MiniCal Silueta BajoPeso Potasio (mg) 50 75 10 Proteína (g) 5 10 3

Vitamina D (unidades) 90 100 50 Determinar cuántas onzas de cada alimento debe ingerir la persona cada día para cumplir con exactitud lo indicado. Resolución. Sean x, y y z las cantidades de onzas de MiniCal, Silueta y Bajo Peso, respectivamente, que debe ingerir la persona cada día.

11505010090

753105

500107550

zyx

zyx

zyx

Dividiendo la primera ecuación entre 5 y la tercera entre 10 :

1155109

753105

10021510

zyx

zyx

zyx

Resolviendo el sistema por eliminación de Gauss:

115

150

15

5109

18150

351

115

75

15

5109

3105

351

115

75

100

5109

3105

215102152131 RRRRRR

123 9 1 3 3

1 5 3 15 1 5 3 15

0 15 18 150 0 5 6 50

0 35 32 250 0 35 32 250

RR R R

100

50

15

1000

650

3513273 RRR

10

50

15

100

650

3513

10

1R

Ahora sustituyendo para atrás: 2501065 yy

51510325 xx A la persona se le debe administrar 5 onzas de MiniCal, 2 de Silueta y 10 de Bajo Peso cada día.

ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO 16.- En un día tres máquinas producen 7400 artículos, las máquinas 1 y 2 producen 4700 , mientras que las máquinas 2 y 3 producen 5200 artículos. Determinar cuántos artículos producen cada máquina. Resolución. Planteando el problema con un sistema de ecuaciones


101

5200

4700

7400

zy

yx

zyx

Escribiendo el sistema en forma matricial:

5200

2500

2200

110

010

001

5200

4700

2200

110

011

001

5200

4700

7400

110

011

111212131 RRRRRR

2700

2500

2200

100

010

001323 RRR

Por lo tanto; la máquina 1 produce 2200 máquina 2 produce 2500 máquina 3 produce 2700

ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO 17.- Obtener el valor de m para que el siguiente sistema tenga sólo la solución trivial

0573

03

025

zyx

zyx

zymx

Resolución. Escribiendo el sistema en forma matricial y resolviendo por el método de Gauss Jordan:

5

3

2

7

1

5

3

1

m

5

2

3

7

5

.1

3

12 1 mRR

5

23

3

7

5

1

3

0

1212 mmRmRR

23

14

3

5

4

1

0

0

13133

mm

RRR

23

14

3

5

4

1

0

0

1R3R2

mm

23

14

26

5

4

0

0

0

41214

mm

RRR

7826

14

26

0

4

0

0

0

432)5(343

m

RRmRR

7826

14

0

0

4

0

0

0

124131)3(

m

mRRRm

7826

0

0

0

15652

0

0

0

1242372)3913(

m

m

mRRRm

Para que el sistema tenga solo la solución trivial:


102

07826 m Por lo tanto:

3m

ALUMNA: VALERIA XÓCHITL GONZÁLEZ LEYVA 18.- Analizar el siguiente sistema para los distintos valores que puede tomar m :

1

)1(

1

mzyx

mzmymx

zmyx

Resolución.

331

221

1111

111

111RRR

RRmR

m

mm

m

~

m m

m m

m

010

1110

1112

33223

321

2 1110

010

111RRRmRR

RR

m m

m m

m

221100

010

111

mm

m m

m

Si 1m ; 1 0 1m y m , por lo tanto el sistema es incompatible.

Si 1m ; El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas, por lo tanto el sistema es compatible determinado.

ALUMNO: ARTURO GUTIÉRREZ LANDA 19.- Determinar los valores de Rk para que el sistema:

12

33

22

kz y x

z x

z ky x

sea: a) compatible determinado. b) incompatible. c) compatible indeterminado.

Resolución. Escribiendo el sistema en forma matricial.

4320

212

3301

121

212

3301

121

3301

21233121

12

k

k

k

k

k

kRRRRR

RR


103

8820

450

3301

4320

450

33013322212

kk

k

k

k RRRRRR

kk

kk

kRRR

k

k

4810300

450

3301

2

2332

a) Compatible determinado Si se considera el último renglón de la matriz, el sistema es compatible determinado para cualquier valor de Rk tal que 01032 kk y 0k , es decir;

02,50)2)(5( kykkkk b) Incompatible.

El sistema es incompatible cuando 01032 kk y 048

k

k, es decir cuando;

1 2( 5)( 2) 0 5, 2 2 k k k k y k es decir cuando 5k

c) Compatible indeterminado.

El sistema es compatible indeterminado cuando 01032 kk y 048

k

k ,es decir

cuando; 2048 kk


20.- Determinar si el siguiente sistema homogéneo tiene solución distinta a la trivial, en caso afirmativo, obtener la solución general.

083

0423

03334

02

wzyx

wzyx

wzyx

wyx

Resolución. En forma matricial se tiene:

47100

1012

3334

4231

8113

1012

3334

4231

8113

4231

3334

1012

4411331

3 RRRRRRR

47100

9450

1311150

4231

47100

9450

3334

4231

221331 42 RRRRRR


104

14100

9450

1311150

4231

4432 RRR

14100

1311150

9450

4231

2332

RRRR

14100

14100

9450

4231

3323 RRR

0000

14100

9450

4231

443 RRR

el sistema resultante es por tanto; 3014wz

209w4z5y

10423

wzyx

De la ecuación 3 : wz 14

De la ecuación 2 :

wyww

ywwy547

5956

9)14(45

De ecuación 1 :

wwwxwwwx 4285

1414)14(2

547

3

wxwwx521

245

141

Si tw , la solución general es:

tx521

ty547

tz 14 tw


21.- Obtener la solución del siguiente sistema homogéneo.

0327

01613114

02334

07543

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx



105

3127

1613114

2332

7543

3

16

20

7

1

13

19

5

2

11

17

4

7

4

0

3

21223 RRR

3

20

20

7

1

19

19

5

2

17

17

4

7

0

0

3

31433 RRR

40

20

20

7

38

19

19

5

34

17

17

4

0

0

0

3

4RRR 1743

40

20

20

39

38

19

19

9

34

17

17

0

0

0

0

51

124117 RRR

40

0

20

39

38

0

19

9

34

0

17

0

0

0

0

51

323 RRR

0

0

20

39

0

0

19

9

0

0

17

0

0

0

0

51

4224 RRR

17

20190201917

51

399039951

432432

431431

xxxxxx

xxxxxx

Haciendo:

tx

sx

4

3

La solución general es:

51399

1

tsx

172019

2

tsx

tx

sx

4

3

Con Rts , .

ALUMNA: VALERIA XÓCHITL GONZÁLEZ LEYVA 22.- Obtener la solución del siguiente sistema homogéneo.

0244

044

0

042

4321

41

41

321

xxxx

xx

xx

xxx


106


2

4

1

0

1

0

0

1

4

0

0

4

4

4

1

2

2

4

0

1

1

0

1

0

4

0

4

0

4

4

2

1

21 RR

2

4

2

1

1

0

1

0

4

0

4

0

4

4

0

1

22212 RRR

2

0

2

1

1

0

1

0

4

0

4

0

4

0

0

1

3314 RRR

6

0

2

1

1

0

1

0

4

0

4

0

0

0

0

1

4414 RRR

4

0

2

1

0

0

1

0

0

0

4

0

0

0

0

1

442 RRR

1

0

2

2

0

0

1

0

0

0

4

0

0

0

0

2

444

1RR

0

1

2

1

0

0

1

0

0

0

4

0

0

0

0

1

4 3 RR

0

1

0

1

0

0

1

0

0

0

4

0

0

0

0

1

2232 RRR

Entonces;

041

04

0

4

3232

4141

x

xxxx

xxxx

Haciendo tx 3 , la solución del sistema es:

01 x

tx41

2

tx 3

04 x

ALUMNA: VALERIA XÓCHITL GONZÁLEZ LEYVA 23.- Tres hermanos heredan una determinada cantidad de propiedades. Si a lo que heredó David se le quita la herencia de Rodrigo, se tiene el doble de lo que recibió Emma. Por otro lado, el doble de la herencia de David equivale a la de Rodrigo más el triple de la de Emma, más una propiedad. Además, la herencia de Emma es igual al doble de la de David menos el doble de la de Rodrigo, menos tres propiedades. ¿Cuántas propiedades heredó cada uno? Resolución. Considérense las siguientes variables, para denotar las propiedades que heredó cada uno:

x herencia de Rodrigo


107

y herencia de David z herencia de Emma

De acuerdo a lo establecido en el problema, el modelo matemático está dado a través del siguiente sistema de ecuaciones:

2 2 0

2 3 1 2 3 1

2 2 3 2 2 3

y x z x y z

y x z x y z

z y x x y z

Mediante el Método de Gauss, se tiene que:

01 1 2 0 0 01 1 2 1 1 2 1 1 1

31 2 1 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1

32 2 1 0 0 3 3 0 0 0 01 1 1 1

de donde: 1 0

1 2

1 1

x z x

y z y

z z

Por lo que David heredó dos propiedades, Emma una y Rodrigo no heredó ninguna.

LOS COORDINADORES 24.- Una familia tiene $ 100,000 en tres inversiones. Una cuenta maestra con el 10% de interés anual, una cuenta de ahorros con el 8% y una constructora. La constructora perdió el 2% hace dos años y el año pasado ganó el 15% , y la familia ganó en esos dos años, por las tres inversiones, $ 7,600 y 9,300 , respectivamente. ¿Cuánto tiene, actualmente, en cada inversión? Resolución. Con la tabla siguiente se plantea el problema,

Tipo de Inversión Cantidad Invertida Tasa de interés

o pérdida Ganancia o pérdida

Cuenta Maestra Cuenta de Ahorros

Constructora

x y z

10% 8%

2% 15%

0.1x 0.08 y

0.02 0.15z z

Total $ 100,000 $ 7,600 $9,300

De la tabla se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

100,000 1

10 8 2 760,000 2

10 8 15 930,000 3

x y z

x y z

x y z

Para resolver este sistema se hace lo siguiente: Se resta miembro a miembro la ecuación 3

de la 2 , de donde se obtiene el valor de " "z , el que se sustituye en 1 y 2 , y

después se resuelve el sistema resultante. Así,


108

10 8 2 760,000

10 8 15 930,00010,000

17 170,000

x y z

x y zz

z

8 8 720,00090,000 30,00010 8 780,000

;10 8 780,000 60,0002 60,000

x yx y xx y

x y yx

Por lo tanto, la familia tiene actualmente $ 30,000 en la Cuenta Maestra, $ 60,000 en la Cuenta de Ahorros y $ 10,000 en la Constructora.

LOS COORDINADORES 25.- Una cierta aleación contiene 8 g de cobre, 9 g de plomo y 7 g de zinc. Otra contiene 11 g de cobre, 7 g de plomo y 6 g de zinc. Y una tercera contiene 4 g de cobre, 10 g de plomo y 10 g de zinc. ¿Cuántos gramos de cada aleación se deberán combinar para producir una nueva aleación que contenga 32 g de cobre, 28 g de plomo y 24 g de zinc? Resolución. Se construye la siguiente tabla para facilitar la comprensión del problema planteado:

Aleación Cobre (g) Plomo (g) Zinc (g) Combinación Primera 8 9 7 x Segunda 11 7 6 y Tercera 4 10 10 z Mezcla 32 28 24

De aquí se obtiene el sistema de ecuaciones lineales: 8 11 4

3224 24 24 8 11 4 7689 7 10

28 9 7 10 67224 24 24

7 6 10 5767 6 1024

24 24 24

x y zx y z

x y z x y z

x y zx y z

Si se resuelve el sistema por Cramer, se tiene que: 8 11 4

7 10 9 10 9 79 7 10 8 11 4 120

6 10 7 10 7 67 6 10

768 11 4

672 7 10 2880 ; 24

576 6 10

xx x x

8 768 4

9 672 10 5760 ; 48

7 576 10

yy y y


109

8 11 768

9 7 672 1440 ; 12

7 6 576

zz z z

Por lo tanto, para producir la nueva aleación, se deberán combinar 24 g de la primera aleación, 48 g de la segunda y 12 g de la tercera.

LOS COORDINADORES 26.- Dos ciclistas parten al mismo tiempo y del mismo lugar, alrededor de una pista circular de 400 m de longitud. Cuando lo hacen en sentidos contrarios, se cruzan a los 8 s y cuando lo hacen en el mismo sentido, se cruzan a los 40 s . ¿Cuáles son sus velocidades? Resolución. En las siguientes figuras se consideran las dos situaciones.

De donde el sistema de ecuaciones que resuelve el problema es:

508 8 400 3010

40 40 400 202 60

x yx y xx yx y yx

Por lo tanto, las velocidades de los ciclistas son 30 20m m

ys s

.

LOS COORDINADORES

27.- Dos máquinas emplearon dos días en realizar un trabajo. En el primer día hicieron la cuarta parte del trabajo, funcionando 6 h la primera y 10 h la segunda. Y en el segundo día completaron la labor, a través de 24 h de la primera y 20 h de la segunda. ¿En cuánto tiempo realizaría el trabajo cada una trabajando sola? Resolución. Considérese la siguiente tabla con los datos del problema planteado:

x x y y

400

8

d m

t s

400

40

d s

t s

8

8 400

v x y

t s

x y

40

40 400

v x y

t s

x y


110

Máquina / Día Razón de trabajo Tiempo trabajado Trabajo realizado

1 / 1A O 1x

6 6x

2 / 1A O 1y

10 10y

1 / 2A O 1x

24 24x

2 / 2A O 1y

20 20y

De la tabla se tiene que: 2

12 204

6 10 1 1 1 36 10 24 204 4 4;1124 20 3 3 1224 2044 4

u v

u u v u vx y x

uv u vyx y

1 1 1 1 1 1 1; 10 6 10 10

48 4 48 4 8 8 80u v v v v

48 y 80x y Por lo que la primera máquina se tardaría 48 h y la segunda 80 h en realizar por sí solas el trabajo.

LOS COORDINADORES

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