UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA · y graduado de la Universidad Nacional, en colaboración de las...
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UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA
COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA
COORDINACIÓN ACADÉMICA
Antología de Prácticas de Bachillerato
Niveles décimo y undécimo
Año: 2018
4
Información administrativa
El CONED agradece al Msc. Jorge Alonso Díaz Porras oriundo de Heredia
y graduado de la Universidad Nacional, en colaboración de las
respuestas a la Lic Annia María Marín Albarado oriundo de Moravia y
graduada de la Universidad de Costa Rica por la elección y presentación
de los temas del presente material, así como el aporte a la educación
secundaria a distancia.
Las denominaciones empleadas en esta publicación la forma en que
aparecen presentados los datos, no implican de parte del CONED y la
UNED juicio alguno sobre la condición jurídica de personas o países,
territorios, ciudades o de autoridades
Estos ejercicios son propiedad del Ministerio de Educación
Pública, su reproducción parcial o total para fines comerciales está prohibida por la ley.
MATERIAL SIN FINES COMERCIALES PARA USO EXCLUSIVO DE
ESTUDIANTES DEL COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN A
DISTANCIA
CONED
Dirección General: Clara Vila Santo Domingo
Coordinación Académica: Paola Mesén
Coordinador de área: Jorge Díaz Porras
Teléfonos 22-58-22-09 / 22-55-30-42 / 22-21-29-95
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© 2018, CONED.
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Tabla de contenido
10 nivel
11 nivel
Unidad I Relaciones y Algebra Página
Función Inversa y raíz Cuadrada 158 Función Exponencial y Logarítmica 167
Modelos de funciones 176 Unidad II Estadística y Probabilidad
Estadística Y Probabilidad 204
Unidad III Geometría Geometría 225
Resumen Respuestas
253 274
Unidad I Geometría Página Geometría Analítica 7
Polígonos regulares e irregulares 36 Visualización Espacial 53
Unidad II Relaciones y Álgebra Conjuntos 67
Funciones 72 Unidad III Estadística y Probabilidad
Estadística y Probabilidad 114
6
7
1) Considere la siguiente representación gráfica de una circunferencia C de centro P , cuya medida del
radio es 4 :
De acuerdo con la información anterior, la ecuación de esa circunferencia corresponde a:
A) 22 3 4x y
B) 22 3 4x y
C) 22 3 16x y
D) 22 3 16x y
2) Si el centro de la circunferencia es el punto 5, 1 y la medida de su diámetro es 6 , entonces la
ecuación de esa circunferencia corresponde a:
A) 2 2
5 1 9x y
B) 2 2
5 1 9x y
C) 2 2
1 5 36x y
D) 2 2
1 5 36x y
Tema 1 Geometría Analítica de 10
8
3) La representación gráfica de la circunferencia C de centro O dada por 2 2
2 3 4x y
corresponde a:
A)
B)
C)
D)
9
4) Considere la siguiente representación gráfica de la circunferencia C de centro O , cuya medida del
radio es 1 :
De acuerdo con la información anterior, la ecuación de una recta tangente a C es:
A) 0y
B) 1y
C) 2y
D) 3y
5) Considere la siguiente representación gráfica, en la cual el "eje x" es tangente en A a la circunferencia
C de centro O :
De acuerdo con la información anterior, si 17OB , entonces, ¿cuál es la medida del radio de esa
circunferencia?
R/
10
6) Considere las siguientes proposiciones referentes a circunferencia dada por 2 2 16x y :
I. La recta dada por 2x y es exterior a la circunferencia C .
II. La recta dada por 4y x es secante a la circunferencia C .
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
Considere la siguiente representación gráfica de la circunferencia C de centro O , para responder los ítems 7
y 8:
7) Si 'C es una traslación de C , de modo que ambos ejes de coordenadas sean tangentes a 'C y que su
centro se ubique en el III cuadrante, entonces el centro de 'C corresponde al punto:
A) 4, 2
B) 4, 3
C) 3, 2
D) 3, 3
11
8) Si ''C se obtiene al trasladar la circunferencia C , tres unidades a la derecha (horizontalmente) y dos
unidades hacia arriba (verticalmente), entonces la ecuación ''C corresponde a:
A) 22 2 3x y
B) 22 2 3x y
C) 22 2 9x y
D) 22 2 9x y
9) ¿Cuál de las siguientes opciones representa la ecuación de la circunferencia cuyo centro es 3, 5C y
su radio es 7 ?
A) 2 2 15 0x y
B) 2 2 83 0x y
C) 2 2 6 10 15 0x y x y
D) 2 2 6 10 15 0x y x y
10) ¿Cuál de las siguientes opciones representa la ecuación ordinaria de la circunferencia para la ecuación
2 2 8 9 74 0x y x y ?
A) 2
2 9 4414
2 4x y
B) 2
2 9 4414
2 4x y
C) 2
2 9 4414
2 4x y
D) 2
2 9 4414
2 4x y
12
11) En México se encuentra un reloj floral, como se muestra en la figura, que posee una carátula floral
circular de 10 cm de diámetro. A este reloj lo adornan 20 mil plantas de diferentes especies. ¿Cuál es la
ecuación ordinaria de la circunferencia si su centro está en el punto 6,2A ?
A) 2 2 15 0x y
B) 2 2 115 0x y
C) 2 2 12 4 15 0x y x y
D) 2 2 12 4 15 0x y x y
12) ¿Cuál es la ecuación de una recta tangente a la circunferencia dada por 2 2 2 3 18 0x y x y si la
recta pasa por el punto de tangencia 2,3P ?
A) 2 1y x
B) 3
62
y x
C) 2 13
3 3y x
D) 2 31
9 9y x
13) Una ecuación de la recta paralela a la recta dada por la ecuación 3 5 2y x es:
A) 3
52
y x
B) 2
53
y x
C) 3
52
y x
D) 2
53
y x
13
14) De acuerdo con los datos de la gráfica, si 1 2l l , entonces una ecuación que determina a la recta
2l es:
A) 2 4y x
B) 1
12
y x
C) 2 4y x
D) 1
22
y x
15) La nueva ecuación de la circunferencia dada por 2 2 6 4 3 0x y x y , después de una traslación
que mueve el punto 3, 2P al origen del sistema de coordenadas corresponde a:
A) 2 2 16x y
B) 2 2 16x y
C) 2 2 6 4 24 0x y x y
d) 2 2 12 8 20 0x y x y
16) Si una circunferencia tiene centro 3,0 y la medida de su diámetro es 12 , entonces la ecuación de esa
circunferencia es:
A) 2 23 36x y
B) 2 23 36x y
C) 2 23 144x y
D) 2 23 144x y
14
17) Considere la siguiente representación gráfica de fa circunferencia C de centro P :
De acuerdo con la información anterior, ¿cuál es la ecuación de esa circunferencia?
A) 2 2 7x y
B) 2 2 49x y
C) 2 2
7 7 7x y
D) 2 2
7 7 49x y
18) Al trasladar el centro de la circunferencia dada por 2 2 36 0x y al punto 2,4P la ecuación
ordinaria de la circunferencia que se obtiene es:
A) 2 2
2 4 36x y
B) 2 2
2 4 36x y
C) 2 2
4 16 36x y
D) 2 2
4 16 36x y
15
19) ¿Cuál es la representación gráfica de la circunferencia C de centro O dada por 2 2
1 3 9x y ?
A)
B)
C)
D)
16
20) Considere la siguiente representación gráfica de una circunferencia C de centro P :
De acuerdo con la información anterior, considere las siguientes proposiciones:
I. La recta dada por 3y es exterior a la circunferencia C .
II. La recta dada por y x es tangente a la circunferencia C .
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
21) Considere la siguiente representación gráfica de la circunferencia C de centro O , en la cual el "eje x"
es tangente en P a la circunferencia C :
De acuerdo con la información anterior, ¿cuál es el valor de OA ?
R/
17
22) Considere la siguiente representación gráfica de una circunferencia C de centro P :
De acuerdo con la información anterior, considere las siguientes proposiciones:
I. La recta dada por y x es secante a la circunferencia C .
II. La recta dada por 3x es tangente a la circunferencia C .
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
23) Si la circunferencia C , dada por 2 2
3 2 9x y , se traslada seis unidades hacia la derecha
(horizontalmente) y cinco unidades hacia arriba (verticalmente), entonces se obtiene otra circunferencia 'C
cuyo centro corresponde al punto:
A) 1,3
B) 3,1
C) 3,3
D) 9,9
24) Considere la ecuación de una circunferencia dada por 2 2
– 4 2 16x y . ¿Cuáles son las
coordenadas del centro de dicha circunferencia?
A) 4, 2
B) 4,2
C) 4, 2
D) 4,2
18
25) Considere la siguiente información:
C es una circunferencia de centro 11, 8 y la medida de su radio es 5 . 'C es la circunferencia que se
obtiene al trasladar la circunferencia C , cinco unidades a la izquierda (horizontalmente) y cinco unidades
hacia arriba (verticalmente).
De acuerdo con la información anterior, considere las siguientes proposiciones:
I. 'C interseca en dos puntos el “eje x".
II. 'C interseca en un único punto el “eje y".
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
Considere el siguiente contexto para responder las preguntas 26 y 27:
El radar Würzburg fue creado en Alemania durante la Segunda Guerra Mundial, para poder detectar
embarcaciones que estuvieran a una distancia menor o igual a 70 km a su alrededor (suponga que
este radar, en su alcance máximo forma una circunferencia y que está centrado en el origen de un
sistema de coordenadas).
http://www.vrps.org/wurzburg.html
26) Con base en la información anterior, considere las siguientes proposiciones:
I. El diámetro de la circunferencia máxima que describe el radar es 140 km .
II. Una embarcación ubicada en cualquier punto que esté a 4900 km de distancia del radar, es
detectada por él.
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
19
27) Considere las siguientes proposiciones:
I. El radar detecta a una embarcación que se encuentra a 50 km norte y 50 km oeste de él.
II. El radar detecta a una embarcación que se encuentra a 40 km norte y 31 km oeste de él.
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
28) Considere las siguientes proposiciones referentes a una circunferencia dada por 22 – 2 4x y :
I. 1y
II. 5y
De las rectas anteriores, ¿cuál o cuáles corresponden a la ecuación de una recta tangente a la circunferencia?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
29) Considere las siguientes proposiciones referentes a una circunferencia dada por 2 2 4x y :
I. 3y
II. y x
De las rectas anteriores, ¿cuál o cuáles corresponden a la ecuación de una recta exterior a la circunferencia?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
20
30) Considere las siguientes proposiciones referentes a una circunferencia dada por 2 2 9x y :
I. 1y
II. 1y x
De las rectas anteriores, ¿cuál o cuáles corresponden a la ecuación de una recta secante a la circunferencia?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
31) Considere la circunferencia dada por 2 2
2 – 4 81x y . Si se traslada la circunferencia,
desplazando su centro 3 unidades a la izquierda (paralelo al eje “ x ” o de las abscisas), entonces se obtiene
una circunferencia cuya ecuación corresponde a:
A) 2 2
1 – 4 81x y
B) 2 2
– 5 – 4 81x y
C) 2 2
–1 – 4 81x y
D) 2 2
5 – 4 81x y
32) Considere la circunferencia dada por 22 1 9x y , y las siguientes rectas determinadas por:
I. 2y
II. 4y
Con base en la información anterior, ¿cuál o cuáles son rectas tangentes a la circunferencia?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
21
33) Considere gráfica adjunta, referida a una circunferencia cuyo centro es el punto –1,2P , contiene el
punto 0,0A y la longitud de su radio es 5 . Si se traslada la circunferencia, desplazando su centro 5
unidades a la izquierda (paralelo al eje de las
abscisas) y 3 unidades hacia abajo (paralelo al eje de
las ordenadas), entonces se obtiene una
circunferencia cuya ecuación corresponde a:
A) 2 2
6 1 5x y
B) 2 2
– 6 – 5 5x y
C) 2 2
– 5 1 5x y
D) 2 2
– 6 –1 5x y
34) Considere la circunferencia dada por 2 2 16x y , y las siguientes rectas determinadas por:
I. 5y
II. 2y x
Con base en la información anterior, ¿cuál o cuáles son rectas exteriores a la circunferencia?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
Considere la siguiente información para responder las preguntas 35, 36 y 37:
Sea la ecuación de una circunferencia dada por 2
1 3 25x y .
35) La longitud del radio de la circunferencia anterior, corresponde a:
A) 1
B) 3
C) 5
D) 25
22
36) Las coordenadas del centro de dicha circunferencia, corresponde a:
A) 1, 3
B) 3, 1
C) 3,1
D) 1,3
37) Considere las siguientes proposiciones:
I. 3,0P es un punto interior de la circunferencia.
II. 0,3R es un punto exterior de la circunferencia.
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
38) Considere la circunferencia dada por 2 2 36x y , y las siguientes rectas determinadas por:
I. 0y
II. 1y x
Con base en la información anterior, ¿cuál o cuáles son rectas secantes a la circunferencia?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
23
39) La ecuación de una circunferencia está dada por 2 2
2 3 21x y . Si se traslada la
circunferencia, desplazando su centro 3 unidades a la derecha (paralelo al eje " x " o al de las abscisas),
entonces se obtiene una circunferencia cuya ecuación corresponde a:
A) 2 2
1 3 21x y
B) 2 2
5 3 21x y
C) 2 2
2 6 21x y
D) 2 2
2 6 21x y
40) Considere la gráfica adjunta referida a una circunferencia cuyo centro es el punto 1,3P , contiene el
punto 0,0A y la longitud de su radio es 10 . De acuerdo con la información anterior, si se traslada la
circunferencia, desplazando su centro 2 unidades a la
izquierda (paralelo al eje de las abscisas) y 3 unidades
hacia arriba (paralelo al eje de las ordenadas), entonces
se obtiene una circunferencia cuya ecuación
corresponde a:
A) 2 2
6 1 10x y
B) 2 2
1 6 10x y
C) 2 2
6 1 10x y
D)
2 21 6 10x y
41) ¿Cuál es la medida del radio de una circunferencia cuyo centro es el punto 2, 5 y uno de sus
puntos es 1, 9 ?
A) 5
B) 17
C) 197
D) 205
24
Considere una circunferencia dada por la ecuación 2 2 16x y , para responder las preguntas 42 y 43:
42) Considere las siguientes proposiciones:
I. El centro de la circunferencia es 0,0 .
II. La medida del radio de la circunferencia es 16 .
¿Cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
43) Considere las siguientes coordenadas de puntos del plano cartesiano:
I. 2,3
II. 1, 5
¿Cuáles de ellos corresponden a puntos exteriores a la circunferencia?
A) Ambos.
B) Ninguno.
C) Solo el I.
D) Solo el II.
44) Considere las siguientes proposiciones:
I. Sí una circunferencia está dada por la ecuación 2 29x y , entonces la recta 2y es secante
a dicha circunferencia.
II. Si una circunferencia está dada por la ecuación 2 2
4 2 25x y , entonces la recta 3y
es tangente a dicha circunferencia.
¿Cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II
25
45) La AB es tangente a la circunferencia de centro O en el punto A . Si 3,5A y 2, 3O , entonces,
¿cuál es la ecuación de la recta AB ?
A) 43
8
xy
B) 22
8
xy
C) 26
8
xy
D) 37
8
xy
46) Considere la gráfica adjunta. De acuerdo con su información, una recta perpendicular a OB y que
contiene el centro de la circunferencia corresponde a:
O es el centro de la circunferencia.
A) 2 2
3
xy
B) 2 10
3
xy
C) 3 2
2
xy
D) 3 10
2
xy
47) Considere dos rectas m y n , cuyas ecuaciones son respectivamente 2 1
3
xy
;
4 5
6
xy
:
I. m y n son rectas paralelas.
II. m y n son rectas perpendiculares.
¿Cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
26
48) Si 2 2
1 5 36x y es la ecuación de una circunferencia, y se traslada su centro al punto
5, 1P entonces, la ecuación de la circunferencia que resulta de la traslación es:
A) 2 2
5 1 6x y
B) 2 2
5 1 6x y
C) 2 2
5 1 36x y
D) 2 2
5 1 36x y
49) Considere la ecuación de una circunferencia dada por 2 2
3 1 25x y . ¿Cuáles son las
coordenadas del centro de dicha circunferencia?
A) 3, 1
B) 1, 3
C) 3,1
D) 3, 1
50) Considere la circunferencia dada por 𝑥2 + 𝑦2 = 9, y las siguientes rectas determinadas por:
I. 5y
II. y x
Con base en la información anterior, ¿cuál o cuáles son rectas exteriores a la circunferencia?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la I
27
Con base en la siguiente información conteste las preguntas 51 y 52:
Una circunferencia está dada por 2 216x y
51) Considere las siguientes proposiciones:
I. El radio de la circunferencia es 4 .
II. 0,0 es el centro de la circunferencia.
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
52) Considere las siguientes proposiciones:
I. 2,3P es un punto que se ubica en el interior de la circunferencia.
II. 1,4R es un punto que se ubica en el exterior de la circunferencia.
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
53) Considere la circunferencia dada por 2 2 36x y , y las siguientes rectas determinadas por:
I. 2y
II. 4y x
Con base en la información anterior, ¿cuál o cuáles son rectas secantes a la circunferencia?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
28
54) Considere la circunferencia dada por 2 2
2 4 25x y . Si se traslada la circunferencia,
desplazando su centro 3 unidades a la derecha (paralelo al eje "x" o de las abscisas), entonces se obtiene
una circunferencia cuya ecuación corresponde a:
A) 2 2
1 4 25x y
B) 2 2
5 4 25x y
C) 2 2
1 4 25x y
D) 2 2
5 4 25x y
55) Considere la gráfica adjunta, referida a una circunferencia cuyo centro es el punto 1,2P , contiene el
punto 0,0A y la longitud de su radio es 5 . De acuerdo con la información anterior, si se traslada la
circunferencia, desplazando su centro 5 unidades a la izquierda (paralelo al eje de las abscisas) y 3 unidades
hacia arriba (paralelo al eje de las ordenadas), entonces se obtiene una circunferencia cuya ecuación
corresponde a:
A) 2 2
4 5 5x y
B) 2 2
6 5 5x y
C) 2 2
4 5 5x y
D) 2 2
6 5 5x y
56) Sea C una circunferencia con radio 8 y su centro en 2,5 . La ecuación de la circunferencia
corresponde a:
A) 2 2
2 5 64x y
B) 2 2
2 5 64x y
C) 2 2
2 5 64x y
D) 2 2
2 5 64x y
29
57) Considere la siguiente representación gráfica y las proposiciones referidas a ella, donde el punto
2,1R pertenece a la circunferencia de centro 0,0P .
I. La recta dada por 2y x es tangente a la circunferencia de centro P .
II. La recta dada por 3y es secante a la circunferencia de centro P .
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
58) Sea C una circunferencia con centro en 4, 3 y que contiene el punto 1,0 . La ecuación de la
circunferencia corresponde a:
A) 2 2
4 3 18x y
B) 2 2
4 3 18x y
C) 2 2
4 3 3 2x y
D)
2 24 3 3 2x y
30
59) Considere el contexto Wi-Fi gratis:
Wi-Fi gratis
En cierta municipalidad se ha decidido instalar internet para el acceso de la población en sus
dispositivos. Para ello han colocado un router en el edificio municipal, que tiene un alcance de 300
metros a la redonda. Para exponerlo a la población lo han representado en el plano cartesiano donde
el punto A representa la municipalidad.
¿Cuál es la ecuación de la circunferencia que representa el
alcance del router en el plano cartesiano?
A) 2 2
100 300 90 000x y
B) 2 2
300 100 90 000x y
C) 2 2
100 300 90 000x y
D) 2 2
300 100 90 000x y
60) Considere la circunferencia 2 2 4x y y las siguientes rectas determinadas por:
I. 3y
II. 2y x
De ellas, ¿cuál o cuáles son rectas secantes a la circunferencia?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
31
61) Considere la circunferencia 2 2 25x y y las siguientes rectas determinadas por:
I. 5y
II. 7y
De ellas, ¿cuál o cuáles son rectas tangentes a la circunferencia?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
62) Sea C una circunferencia cuya ecuación es 2 2
1 2 9x y ubicada en un plano cartesiano, si
se traslada su centro dos unidades hacia la derecha y cinco unidades hacia abajo, entonces, la nueva
ecuación de la circunferencia corresponde a:
A) 2 2
1 3 9x y
B) 2 2
1 3 9x y
C) 2 2
1 3 9x y
D) 2 2
1 3 9x y
63) Si a una circunferencia con centro en el origen y radio 5 se le traslada su centro al punto 0,2
entonces, su ecuación corresponde a:
A) 22 2 25x y
B) 22 2 25x y
C) 22 2 100x y
D) 22 2 100x y
32
Considere el siguiente contexto para responder la pregunta 64:
Los sobrinos
Ana le regala a cada uno de sus sobrinos Daniel y Carlos un radio comunicador con la finalidad de tener una
mejor comunicación con ellos. Ana y sus sobrinos se encuentran ubicados en diferentes lugares, según se
muestra en el siguiente diagrama, de manera que ella logra comunicarse tanto con Daniel como con Carlos.
Considérese que 3,2D representa la posición de Daniel, 2, 2C la de Carlos y que Ana se encuentra
en el origen del sistema de coordenadas.
64) De acuerdo al contexto anterior, ¿cuál es una posible ecuación que representa el alcance del
comunicador de Ana con relación a sus sobrinos?
A) 2 2 1x y
B) 2 2 9x y
C) 𝑥2 + 𝑦2 = 10
D) 2 2 16x y
65) Sea una circunferencia cuyo centro P es el punto 1, 2 y cuyo radio es 8 , entonces, ¿cuál es una
ecuación de la circunferencia que representa la situación planteada?
A) 2 2
1 2 16x y
B) 2 2
1 2 16x y
C) 2 2
1 2 64x y
D) 2 2
1 2 64x y
33
Considere la información de la siguiente representación gráfica, que corresponde a una circunferencia en un
sistema de coordenadas, para responder los ítems 66 y 67:
66) ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia?
A) 22 4 9x y
B) 2 24 9x y
C) 2 23 16x y
D) 22 3 16x y
67) Considere las siguientes proposiciones:
I. 3,2 es un punto que se ubica en el exterior de la circunferencia.
II. 4,3 es un punto que pertenece a la circunferencia.
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
34
68) Considere el siguiente contexto:
Conexión inalámbrica
En el parque de una comunidad se reciben dos señales inalámbricas de conexión a internet cuyo
alcance es circular: la de la farmacia F y la del liceo L . Si se ubica cada emisor de las señales
inalámbricas en un mismo plano cartesiano, las ecuaciones que corresponden a las circunferencias de
máximo alcance son:
2 2
: 10 1 20F x y
2 2
: 2 4 25L x y
De acuerdo con el contexto anterior, si una persona utiliza su teléfono celular desde una banca del parque
ubicada en las coordenadas 7,3 , entonces, ¿cuál o cuáles señales puede percibir su celular?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la del liceo.
D) Solo la de la farmacia.
Considere la representación gráfica adjunta, que corresponde a una circunferencia tangente al "eje x" en el
punto 0,0 , para responder los ítems 69 y 70:
69) Considere las siguientes proposiciones:
I. La recta dada por 10y , es tangente a la circunferencia.
II. La recta dada por 2y x , es secante a la circunferencia.
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
70) ¿Cuál es la medida en grados del ∡𝑃𝑀𝑁?
R/
35
71) En una circunferencia, los extremos de un radio corresponden a los puntos 1,5O y 2,3P , donde
O es el centro de la circunferencia. ¿Cuál es la ecuación de la recta tangente a la circunferencia en
el punto P?
A) 2 1y x
B) 1
22
y x
C) 2 7y x
D) 1
42
y x
72) Si en una circunferencia los extremos de un diámetro corresponden a los puntos 2,7 y 6,5 ,
entonces el centro de esa circunferencia corresponde al punto:
A) 4,1
B) 4,6
C) 4, 2
D) 2,6
73) Si a la circunferencia dada por 2 2 16x y se le aplica una traslación, de modo que su centro se ubique
en el I cuadrante y que ambos ejes de coordenadas sean tangentes a esa circunferencia, entonces, la
ecuación para esta circunferencia corresponde a:
A) 2 2
4 4 16x y
B) 2 2
4 4 16x y
C) 2 2
4 4 16x y
D) 2 2
4 4 16x y
36
Polígonos
Considere la siguiente figura, que muestra el DFB , el hexágono regular ABCDEF y el HIJ para
responder a los ítems 1 y 2:
1) El perímetro del A HIJ es:
A) 60
B)
C)
D)
2) El área del es:
A)
B)
C)
D)
3) Considere la siguiente figura en la que los valores se dan en centímetros:
De acuerdo con los datos de la figura, ¿cuál es aproximadamente el perímetro del cuadrilátero ?
A)
B)
C)
D)
90
25 3
225 3
DFB
30 3
60 3
75 3
150 3
ABCD
15,60 cm
13,28 cm
11,84 cm
10,42 cm
37
Considere la siguiente representación gráfica para responder los ítems 4 y 5:
4) El perímetro del es:
A)
B)
C)
D)
5) ¿Cuál es el área del ?
A)
B)
C)
D)
6) En un polígono regular, la suma de las medidas de los ángulos internos y externos es . ¿Cuál es
el total de diagonales de ese polígono?
A)
B)
C)
D)
BCD
6
12
9 7
9 41
ADE
2
3
3
2
6
1980
14
28
44
88
38
Considere la siguiente información para responder las siguientes 3 preguntas:
Se le presenta un pentágono regular cuya medida de la apotema es .
7) ¿Cuál es la medida del ángulo ?
A)
B)
C)
D)
8) ¿Cuál es aproximadamente el área del pentágono?
A)
B)
C)
D)
9) ¿Cuál es aproximadamente el perímetro del pentágono?
A)
B)
C)
D)
6cm
36
60
72
90
226,15 cm
265,39 cm
2130,77 cm
2261,54 cm
21,85 cm
37,05 cm
43,59 cm
46,53 cm
39
Considere la siguiente figura, en la que se presenta el polígono regular , un hexágono
regular, seis cuadrados y seis triángulos equiláteros, para responder los ítems 10 y 11:
10) Si la medida de la apotema de cada triángulo equilátero es , entonces, ¿cuál es el perímetro del
polígono ?
A)
B)
C)
D)
11) Si la medida de la apotema de cada cuadrado es , entonces, ¿cuál es el área del hexágono regular?
A)
B)
C)
D)
ABCDEFGHIJKL
3
3
ABCDEFGHIJKL
12
24
12 6 3
24 12 3
1
3
2
3 3
6 3
33
2
40
Considere la siguiente representación gráfica para responder los ítems 12 y 13:
12) ¿Cuál es el perímetro del ?
A)
B)
C)
D)
13) ¿Cuál es el área del ?
A)
B)
C)
D)
14) Considere un polígono regular, tal que un ángulo central mide . Si la longitud del lado es ,
entonces el perímetro de ese polígono es:
A)
B)
C)
D)
ABD
6 2
2 4 2
4 2 2 5
2 2 2 2 5
DEC
3
1
2
3
2
5
2
60 5
10
20
25
30
41
15) Considere la información de la siguiente figura, la cual corresponde a un cuadrilátero representado en un
sistema de coordenadas rectangulares:
Con base en la información anterior, el área del cuadrilátero corresponde a:
A)
B)
C)
D)
Considere la siguiente información para responder las preguntas 16 y 17:
Se quiere cercar con alambre de púas un terreno, el cual tiene forma de cuadrado y su lado mide .
Además, un rollo de alambre de púas de cuesta (el alambre solo se vende por rollos).
16) ¿Cuántos metros cuadrados mide el terreno?
A)
B)
C)
D)
ABCD
9
15
16
21
60 m
168 m ¢8 500
912
3400
3600
10 080
42
17) Si se desea cercar todo el terreno con hilos de alambre, entonces, ¿cuánto dinero, en colones, se
debe invertir como mínimo en la compra de los rollos de alambre?
A)
B)
C)
D)
18) Considere la siguiente gráfica:
Con base en la información anterior, ¿cuál es el perímetro del triángulo ?
A)
B)
C)
D)
3
17 000
25 500
34 000
42 500
ABC
11 5
15 29
11 29
15 5 5
43
19) Considere la información de la siguiente figura, la cual corresponde a un cuadrilátero representado en un
sistema de coordenadas rectangulares:
Con base en la información anterior, el área del cuadrilátero corresponde a:
A)
B)
C)
D)
20) Considere un polígono regular, tal que, la medida de un ángulo central es . Si la longitud del lado es
, entonces el perímetro de ese polígono es:
A) 27
B) 33
C) 36
D) 90
Considere la siguiente información para responder las preguntas 21 y 22:
Un terreno tiene forma de cuadrado y la medida de su lado es . Además, se desea construir a su
alrededor una cerca con tres hilos de alambre.
21) ¿Cuál es el área, en metros cuadrados, del terreno?
A)
B)
C)
D)
ABCD
7,50
9,50
12,00
13,50
30
3
60 m
180
240
720
3600
44
22) ¿Cuántos metros de alambre se necesita, como mínimo, para cercar todo el terreno?
A)
B)
C)
D)
23) Sea un polígono regular en el cual se pueden trazar diagonales en total. Si la medida de uno de sus
lados es , entonces el perímetro de ese polígono es:
A)
B)
C)
D)
24) Sea un triángulo equilátero cuya medida de su atura es , ¿cuál es el área del triángulo?
A)
B)
C)
D)
25) Con base en la información de la figura adjunta, ¿cuál es el perímetro de ?
A)
B)
C)
D)
180
540
720
3600
14
3
17
21
23
42
2 3
3
4
3 3
4 3
ABC
2 2 13 3
2 2 13 4
2 2 13 10
2 2 13 17
45
26) Considere los datos de la figura adjunta. De
acuerdo con los datos anteriores, ¿cuál es el área del
polígono ?
A)
B)
C)
D)
27) Considere el siguiente contexto y las proposiciones referidas a él:
El papalote
Mario quiere construir un papalote de tela con forma de cuadrado, de modo que cada uno de sus lados
posea una medida de .
I. Con un metro cuadrado de tela, Mario puede construir su papalote.
II. El perímetro del cuadrado que forma el papalote es de .
¿Cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
28) La medida de cada ángulo interno de un polígono regular es . Si la longitud del lado es ,
entonces el perímetro de ese polígono es:
A)
B)
C)
D)
ABCD
28
33
42
66
0,75 m
3 m
144 6
24
36
60
108
46
29) Si el perímetro de un cuadrado es , entonces el área del cuadrado es:
A)
B)
C)
D)
30) Considere un polígono regular, tal que, la medida de un ángulo central es . Si la longitud del lado es
, entonces, el perímetro de ese polígono es:
A)
B)
C)
D)
31) Considere los datos de la siguiente figura que presenta un polígono no regular en un sistema de
coordenadas rectangulares:
¿Cuál es el perímetro del polígono ?
A)
B)
C)
D)
Considere la siguiente información para contestar las preguntas 32 y 33:
La cancha del Estadio Nacional de Costa Rica tiene forma rectangular, sus dimensiones son
por y es de césped natural.
32) ¿Cuál es el perímetro, en metros, de la cancha del Estadio Nacional?
A)
B)
C)
D)
24
16
18
20
36
72
20
52
92
100
1440
ABCD
14
16
23
24
105m
68m
173
346
1785
3570
47
33) Cuando se colocó el césped de la cancha, el metro
cuadrado de césped natural costó . ¿Cuál fue el costo
mínimo, en dólares, por concepto de compra de dicho césped?
(Suponga que no hubo sobrantes o desperdicios de gramilla)
A)
B)
C)
D) 71 400
34) Considere la información de la representación gráfica
adjunta. De acuerdo con los datos de la gráfica, el área del
polígono es:
R/
35) Considere la figura adjunta de un pentágono regular. Si la
apotema del pentágono regular es y su lado es de , entonces el área
correspondiente al pentágono, es:
A)
B)
C)
D)
$10
17 300
17 850
36 600
ABCD
9 10
90
100
225
450
48
36) Si el lado de un hexágono regular es , entonces el perímetro de dicho hexágono corresponde a:
A)
B)
C)
D)
37) Considere la información de la representación gráfica adjunta. El perímetro del polígono es
aproximadamente:
R/
38) El terreno destinado a una finca ganadera tiene la forma que indica el croquis. ¿Cuál es el área de la
finca?
A) 40 000
B)
C)
D)
8
16
24
48
64
120 000
160 000
320 000
49
Considere la siguiente figura, formada por hexágonos regulares y congruentes entre sí, donde es el centro
del hexágono en blanco, y es el punto medio del lado , para responder la pregunta 39:
39) ¿Cuál es la medida del área pintada en gris?
A) 2400 3
B) 14400 3
C) 19200 3
D) 57600 3
40) Considere la siguiente representación gráfica:
De acuerdo con los datos de la representación gráfica anterior, ¿cuál es el área del cuadrilátero ABCD ?
A) 3
B) 6
C) 9
D) 12
B
A PQ
50
Considere la siguiente figura, que corresponde a una circunferencia que contiene los vértices de un pentágono
regular cuya medida de la apotema es 7 , para responder los ítems 41, 42 y 43:
41) ¿Cuál es la medida del ángulo ?
A) 36
B) 60
C) 72
D) 90
42) ¿Cuál es aproximadamente la medida del radio de la circunferencia?
A) 7,00
B) 8,65
C) 9,64
D) 9,90
43) ¿Cuál es aproximadamente el perímetro del pentágono?
A) 10,18
B) 19,27
C) 25,43
D) 50,86
51
44) ¿Cuál es el perímetro, en centímetros, de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 2 cm?
A) 8
B) 16
C) 8√2
D) 16√2
45) Un hexágono regular está circunscrito en una circunferencia de radio 2√3 cm. ¿Cuál es el área, en
centímetros cuadrados, del hexágono?
A) 9√3
B) 18√3
C) 24√3
D) 36√3
46) Si el perímetro de un pentágono regular es de 20 m, entonces, el área aproximada en metros cuadrados
de ese pentágono es
A) 14,50
B) 27,53
C) 34,00
D) 55,06
47) ¿Cuál es aproximadamente el área, en centímetros cuadrados, de un polígono regular, con un ángulo
central de 36°, circunscrito a una circunferencia de 6 cm de radio?
A) 90,00
B) 116,96
C) 216,00
D) 261,55
52
48) Sea un polígono regular circunscrito a una circunferencia de radio 5 cm. Si el ángulo interno del
polígono es 150°, entonces, el área aproximada en centímetros cuadrados de ese polígono es
A) 30,00 B) 74,99 C) 80,37 D) 375,00
49) Sea un polígono regular de lado 4 cm, tal que, el ángulo externo mide 40°, entonces, el perímetro de
ese polígono en centímetros es
A) 10 B) 36 C) 56 D) 160
50) En un polígono regular se puede trazar un total de 14 diagonales. Si el lado del polígono es de 4 cm,
entonces, el perímetro de ese polígono en centímetros es
A) 18 B) 28 C) 30 D) 56
51) La suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono regular es 2880°. Si la medida de cada
lado es 6 cm, entonces, ¿cuál es el perímetro, en centímetros, de ese polígono?
A) 108 B) 180 C) 480 D) 17 280
53
Visualización espacial
1) Considere las siguientes proposiciones referentes a una esfera de centro O , en cuya superficie
están ubicados los puntos A y B , tales que, 20AO y 40AB :
I. AO es un radio de la esfera.
II. AB es un diámetro de la esfera.
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
2) Considere la siguiente información:
En una ebanistería se fabrican piezas decorativas a partir de cortes que se realizan a cilindros circulares
rectos de madera, como se muestra en las siguientes figuras:
En la figura A el corte es perpendicular con respecto
a las bases del cilindro y contiene el centro de ambas
bases, mientras que en la figura B el corte no es
paralelo respecto a las bases del cilindro y no las corta.
De acuerdo con la información anterior, considere las
siguientes proposiciones:
I. La sección plana al realizar el corte de la figura
A , corresponde a un rectángulo.
II. La sección plana al realizar el corte de la figura B , corresponde a una elipse.
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
54
3) Si de un cilindro circular recto se quiere obtener una sección plana que corresponda a una
circunferencia, entonces el corte que se debe realizar a ese cilindro corresponde a un plano:
A) Paralelo con respecto a las bases.
B) Perpendicular con respecto a las bases.
C) Oblicuo con respecto a las bases y que no las corte.
D) Oblicuo con respecto a las bases y que corte una de ellas
4) Considere la siguiente figura que representa un
cilindro circular recto:
Si la 10m PQ cm , la 6m SR cm y la 109m KQ cm ,
entonces, ¿cuál es el área lateral del cilindro?
A) 230 cm
B) 260 cm
C) 290 cm
D) 26 109 cm
Considere la siguiente información para responder las siguientes dos preguntas:
Se le presenta una esfera de centro P que ha sido cortada por un plano .
5) ¿Qué nombre recibe la sección plana al
realizarse el corte?
A) Elipse
B) Parábola
C) Hipérbola
D) Circunferencia
6) ¿Qué nombre recibe el ?
A) Recta
B) Radio
C) Cuerda
D) Diámetro
PT
55
7) El área lateral de un cilindro circular recto es 60 cm y la medida de su radio es 3 cm , ¿cuál es la
medida de su altura?
A) 7 cm
B) 18 cm
C)
10cm
D) 10 3
cm
8) Considere la siguiente figura, que corresponde a una esfera cuya medida del radio es 50 cm , a la
que se le ha hecho un corte plano a 40 cm del centro. De acuerdo con la información anterior, ¿cuál
es la medida del diámetro, en centímetros, de la superficie plana destacada
con gris?
A) 10
B) 60
C) 64
D) 90
9) Considere fa siguiente figura, la cual corresponde a un cilindro circular recto que es cortado por un
plano, el cual es perpendicular a sus bases y contiene los centros de las bases. Si la medida del
radio de la base del cilindro es 8 y la medida de la altura de ese cilindro es 10 , entonces, ¿cuál es
el área de la figura destacada en gris, la cual corresponde a la
intersección del cilindro y el plano?
A) 20
B) 40
C) 80
D) 160
56
10) Al girar el rectángulo ABCD se obtiene la siguiente figura con forma de cilindro circular recto. Con
base en la información anterior, ¿cuál es la longitud de la sección plana que se forma al intersecar la
figura con forma de cilindro y un plano paralelo a la base que contiene el punto P ?
6
A) 12
B) 36
C) 114
Con base en la siguiente información, conteste las preguntas 11 y 12:
La siguiente figura ilustra una esfera y una sección plana producto de la intersección de esta con un plano.
Además, considere que 5TM y 3ON .
11) ¿Cuál es la longitud de la sección plana?
A) 6
B) 8
C) 9
D) 10
12) ¿Cuál es la distancia del centro de la esfera
al centro de la sección plana dada?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
57
13) Considere la siguiente figura sobre un cilindro circular recto, intersecado por el plano , el cual es
paralelo a la base. Si el plano contiene a los puntos P y R , y 4PR , entonces, la longitud de la
sección plana que se forma producto de la intersección de la superficie cilíndrica con el plano,
corresponde a:
A)
B) 4
C) 8
D) 16
Con base en la siguiente información, conteste las preguntas 14 y 15:
La siguiente figura ilustra una sección plana producto de la intersección de un
plano con la superficie de una esfera. Además, considere que 5OB y
6AB .
14) ¿Cuál es la longitud de la sección plana?
A)
B)
C)
D)
2
6
10
11
12
15) ¿Cuál es la distancia del centro de la esfera al centro de la sección plana dada?
A)
B)
C)
D)
3
4
5
6
58
16) Si en un cilindro circular recto la medida de la altura es 12 y el área de una de sus bases es 20 ,
entonces el área lateral es:
A) 240
B) 480
C) 48 5
D) 24 10
17) El área lateral de cilindro circular recto es . Si la medida de la altura de ese cilindro es de la medida
del radio, entonces la medida del radio es:
A) 3
B) 8
3
C) 3
D) 4 3
3
18) Sean dos esferas, lates que, la medida del radio de una de ellas es el doble del radio de la otra. Si el área
de la esfera menor es 16 , entonces, el área de la otra esfera es:
A) 32
B) 64
C) 128
D) 256
84
3
59
Considere la siguiente información referida a un cilindro circular recto para responder las preguntas 19 y 20:
R O P , O es el centro de la base del cilindro.
La figura presenta un cilindro cortado por un plano perpendicular a la base del cilindro.
19) Si el área de la sección plana RPZQ , que se obtiene con el corte es 80 y 10RQ , entonces, ¿cuál
es el área lateral del cilindro?
A) 80
B) 90
C) 100
D) 160
20) ¿Qué nombre recibe RP ?
A) Radio.
B) Recta.
C) Altura.
D) Diámetro.
21) Sea un cilindro circular recto (considérese con volumen) intersecado por un plano que contiene los puntos
P y Q . ¿Cuál es el área de la sección plana que se forma producto de
la intersección del cilindro con el plano?
A) 30
B) 32
C) 60
D) 120
60
Con base en la siguiente información, conteste las preguntas 22 y 23:
La siguiente figura ilustra una esfera y una sección plana producto de la intersección
de esta con un plano. Además, considere que 10TM .
22) ¿Cuál es la longitud de la sección plana?
A) 5
B) 10
C) 20
D) 25
23) Considere las siguientes proposiciones:
I. 5OR
II. El radio de la sección plana y de la esfera son congruentes.
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
24) Considere la siguiente figura referida a un cilindro circular recto:
¿Cuál segmento representa el radio de la base?
A) ED
B) AB
C) CD
D) AD
61
25) Si el lado de un cuadrado es 12 , entonces su área corresponde a:
A) 16
B) 24
C) 48
D) 144
26) Considere la siguiente ilustración de un polígono:
El perímetro del polígono anterior es:
A) 24
B) 48
C) 64
D) 128
Considere la siguiente información para responder los ítems 27 y 28:
La siguiente figura representa una esfera cortada por un plano.
P : centro de la esfera.
Q : centro del círculo obtenido al hacer el corte.
62
27) Si el corte fue hecho a 6 cm del centro de la esfera y el diámetro de la esfera es de 24 cm , entonces,
¿cuál es la medida en centímetros de QR ?
A) 6 2
B) 6 3
C) 6 5
D) 6 15
28) Si 7 QR cm y la medida del diámetro de la esfera es 30 cm , entonces, ¿cuál es la medida en
centímetros de PQ ?
A) 4
B) 12
C) 4 11
D) 8 11
Considere la siguiente información, referida a una esfera y una sección plana producto de la intersección de
ésta con el plano, para responder las preguntas 29 y 30:
29) El radio de la esfera está representado por:
A) BM
B) AM
C) BC
D) BA
63
30) Considere las siguientes proposiciones:
I. La sección plana, producto de la intersección con la superficie de la esfera y un plano, es una
circunferencia.
II. La medida del diámetro de la esfera es 16 .
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
64
65
Conjuntos
1) El conjunto / , 5A x x x corresponde al rango de una función. Ese conjunto expresado en
notación de intervalo es:
A) 5,
B) 5,
C) , 5
D) , 5
2) Considere la siguiente representación gráfica de la función f cuyo dominio es 3,5A :
De acuerdo con la información anterior, considere las siguientes proposiciones:
I. 2,A
II. 0 A
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
Tema 2 Relaciones y Algebra
66
3) Si 2,B corresponde al dominio de una función f , / , 1 10C x x x
corresponde al dominio de una función g y ,B C m n , entonces, ¿cuál es el valor de " n ”?
R/
4) La expresión 3,8 corresponde a:
A) / , 3 8x x x
B) / , 3 8x x x
C) / , 3 8x x x
D) / , 3 8x x x
5) Considere la siguiente gráfica:
De acuerdo con los datos de la gráfica anterior, ¿cuál es la representación del intervalo por comprensión?
A) / , 2 0x x x
B) / , 2 0x x x
C) / , 2 0x x x
D) / , 2 0x x x
6) Dados dos conjuntos A y B , con 0,1,2,3,4,5A y 5,6,7B , A B corresponde a:
A) 5
B) 5,6,7
C) 0,1,2,3,4,5
D) 0,1,2,3,4,5,6,7
67
7) Dados dos conjuntos A y B , con 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9A y 1,3,5,7,9B , si A es el
conjunto universo, entonces el complemento “cB ” de B es:
A) 0,9
B) 0,2,4,6,8
C) 0,1,3,5,7,9
D) 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
8) El conjunto , 17A x x corresponde al ámbito de una función. Ese conjunto expresado en
notación de intervalo es:
A) 17,
B) ,17
C) 17,
D) ,17
Considere el siguiente contexto para responder las preguntas 9, 10 y 11:
Sean A y B dos conjuntos dados por / , 0A x x x y / , –3 5B x x x .
9) Al realizar A B , se obtiene:
A) 0,5
B) –3,0
C) 5,
D) –3,
10) Si se realiza A B , se obtiene:
A) 0,5
B) 0,5
C) –3,5
D) –3,
68
11) Con base en el contexto anterior y en los conjuntos / , 0C x x x y / , 5D x x x ,
considere las siguientes proposiciones:
I. C es el complemento de A .
II. D es el complemento de B .
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la l.
D) Solo la ll.
12) Considere las siguientes proposiciones referidas al conjunto D dado por 4,8D :
I. 0 D II. –3,2 D
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la l.
D) Solo la ll.
Considere los conjuntos A y B para responder las preguntas 13 y 14:
A: conjunto de tos números enteros pares.
B: conjunto de los números enteros impares.
13) Considere las siguientes proposiciones:
I. 𝐵 ∪ 𝐴 = ℤ
II. B A
69
¿Cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
14) Considere las siguientes proposiciones:
I. 5 A
II. 19 B
¿Cuáles de son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
Considere los conjuntos A y B para responderlas preguntas 15 y 16:
5,A
,7B
15) ¿Cuál opción contiene la notación por comprensión del intervalo A ?
A) / 5x R x
B) / 5x R x
C) / 5x R x
D) / 5x R x
16) Considere como conjunto universo ℝ. ¿Cuál es el complemento «cB » de B ?
A) 7,
B) 7,
C) 8,
D) 8,
70
17) Si ℤ es el conjunto universo y 𝑀 = ℤ−, entonces el complemento «cM » es:
A) ℕ
B)
C)
D)
18) Si ,9A y 2,5B , entonces A B corresponde al intervalo:
A) 5,9
B) 2,5
C) 2,5
D) ,9
19) Considere las siguientes proposiciones referentes al conjunto / 3 10M x x :
I. 2 M
II. 4 M
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
20) Si 18,43 13,34 ,M N , entonces, ¿cuál es el valor de N ?
R/
71
Funciones
1) Considere las siguientes relaciones:
I. : 1,0,2 0,1,3f , con 1f x x .
II. g : 4,1,9 2,1,3 , con g x x .
¿Cuáles de las relaciones anteriores corresponden a funciones?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
2) Si f es la función dada por 2 3
2
xf x
, entonces
1
3f
es:
A) 1
2
B) 3
2
C) 4
3
D) 4
9
3) Sean f y g dos funciones con 2 3f x x y con 2g x x . ¿Cuál es el criterio de g f ?
A) 32 3g f x x
B) 24 9g f x x
C) 24 6 9g f x x x
D) 24 12 9g f x x x
72
4) Si f es la función dada por 2 3f x x , entonces el dominio de f es:
A) , 2
B) , 2
C) 2,
D) 2,
5) El conjunto / , 5A x x x corresponde al rango de una función. Ese conjunto expresado en
notación de intervalo es:
A)
B)
C)
D)
6) Considere la representación gráfica adjunta de la función f cuyo dominio es 3,5A . De
acuerdo con su información, considere las siguientes proposiciones:
I. 2,A
II. 0 A
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
7) Considere la siguiente información:
x 9 7 k 4 3 0
f x 4 11 6 1 0 2
Para que la tabla anterior corresponda a la representación tabular de una función, un posible valor de " k ” es:
A) 0
B) 1
C) 7
D) 9
5,
5,
, 5
, 5
73
8) Considere el siguiente contexto:
Índice de precios al Consumidor (IPC)
El Índice de Precios al Consumidor (IPC), base junio 2015, se calcula mediante una investigación de
los precios reportados por 3100 establecimientos sobre bienes y servicios. La recopilación de precios
se realiza en las regiones de planificación del país con mayor concentración de población, según el
Censo 2011. La siguiente gráfica muestra el IPC desde al año 2008 hasta el año 2015.
De acuerdo con el contexto Índice de Precios al Consumidor (IPC), considere las siguientes proposiciones:
I. Del año 2013 al año 2015 , el IPC creció.
II. El IPC en el año 2012 fue inferior al 6% .
¿Cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
74
9) Considere las siguientes representaciones gráficas:
De acuerdo con la información anterior, ¿cuál o cuáles representaciones gráficas corresponden a una
función?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
75
Considere la siguiente representación gráfica de la función f cuyo dominio es ,0 2,A , para
responder los ítems 10 y 11:
10) Considere las siguientes proposiciones:
I. 5,12 A
II. 9 A
De ellas, ¿cuál o cuates son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
11) Si corresponde al conjunto universo y ,CA m n , entonces, ¿cuál es el valor de “ m ”?
R/
12) Considere las siguientes representaciones tabulares:
I.
x 1 1 1 1
f x 4 5 6 7
II.
x 2 3 4 5
g x 8 8 8 8
De ellas, ¿cuál o cuáles pueden corresponder a la representación tabular de una función?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
76
13) Considere las siguientes representaciones gráficas:
De acuerdo con la información anterior, ¿cuál o cuáles representaciones gráficas corresponden a una
función?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
14) Considere la siguiente gráfica referida a la función f :
De acuerdo con la información anterior, un intervalo del dominio de f , donde f posee inversa,
corresponde a:
A) 1,4
B) 4,7
C) 6,7
D) 2,4
77
15) Considere las gráficas de las relaciones A y B :
De acuerdo con la información anterior, considere las siguientes proposiciones:
I. Si se define la función : ,3 2,f , entonces, la gráfica de la relación A podría ser
también la gráfica de f .
II. Si se define la función : 2, ,5g , entonces, la gráfica de la relación B podría ser
también la gráfica de g .
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II
78
Considere la información de las siguientes funciones para responder las preguntas 16, 17, 18 y 19:
:J A E , con 3,7A y 1,8E ; :f B C , con 2,B y 4,C
16) Si se construye una nueva función con dominio A B , entonces, ese dominio corresponde a:
A) 2,7
B) 3,7
C) 2,
D) 3,
17) Si se define una nueva función, de tal forma que su ámbito sea E C , entonces, ese ámbito
corresponde a:
A) 1,8
B) 2,7
C) 1,
D) 4,
18) Si se construye una nueva función con dominio A B , entonces, ese dominio corresponde a:
A) 3,7
B) 2,7
C) 2,
D) 3,
19) Si se define una nueva función, de tal forma que su ámbito corresponda al complemento de C ,
entonces, un intervalo contenido en ese ámbito corresponde a:
A) , 4
B) 4,
C) , 4
D) 4,
79
20) Considere la gráfica adjunta referida a la función f . De acuerdo con su información, un intervalo
del dominio de f , donde f posee inversa,
corresponde a:
A) 0,4
B) 0,6
C) 2,4
D) 4,6
21) Considere las siguientes gráficas de relaciones:
¿Cuál o cuáles de las anteriores gráficas, corresponden a la gráfica de una función?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
80
22) Considere las siguientes gráficas de relaciones:
¿Cuáles de ellas corresponden a la gráfica de una función?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
23) Considere las siguientes proposiciones referentes a las relaciones T y J :
I. Sea 2,5A y 3,6B y T la relación de A en B determinada por la regla
, : 1T x y y x
II. Sea 0,2D y 0,6E y J la relación de D en E determinada por la regla
2, :J x y y x
¿Cuáles de ellas representan funciones?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
24) Si f es la función dada por 2 3 4f x x , entonces la imagen de 6 es:
A) 2
B) 10
C) 22
D) 2 5
81
25) Considere la información de la siguiente figura que presenta la gráfica de una función f . El valor de 1f
corresponde a:
A) 2
B) 4
C) 5
D) 7
Considere la información del siguiente contexto para responder las preguntas 26, 27, 28 y 29:
En la siguiente gráfica se ilustran las condiciones de las funciones j y f , tal que:
El conjunto A es el dominio de j y el
conjunto E es el ámbito.
El conjunto B es el dominio de f y el
conjunto C es el ámbito.
Además, considere a como el conjunto
universo.
82
26) Si se construye una nueva función con dominio A B , entonces, ese dominio corresponde a:
A) 1,4
B) 3,8
C) 1,7
D) 1,8
27) Si se define una nueva función, de tal forma que su ámbito es E C , entonces, ese ámbito
corresponde a:
A) 1,3
B) 1,4
C) 3,7
D) 9,14
28) Si se construye una nueva función con dominio A B , entonces, ese dominio corresponde a:
A) / , 1 7x x xA B
B) / , 3 8x x xA B
C) / , 4 7x x xA B
D) / , 4 6x x xA B
29) Si se define una nueva función, de tal forma que su ámbito corresponda al complemento de E C ,
entonces, un intervalo contenido en ese ámbito corresponde a:
A) 1,3
B) 1,4
C) 3,7
D) 9,14
83
30) Considere la siguiente gráfica referida a la función f . De acuerdo con la información anterior, un
intervalo del dominio de f , donde f posee inversa, corresponde a:
A) 4,0
B) 2,3
C) 4,3
D) 2,0
31) Considere las siguientes gráficas de las relaciones
A y B :
¿Cuál o cuáles de las anteriores corresponden a la gráfica de una función?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
84
32) Considere los siguientes gráficos de relaciones:
I. 1,7 , 3,9 , 5,7
II. 4,9 , 4,7 , 3,5 , 3,3
De ellas, ¿cuál o cuáles corresponden al gráfico de una función?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
Considere la información de la siguiente gráfica de la función f , para responder las preguntas 33 y 34:
33) El dominio de f corresponde a:
A) 0,7
B) 0,
C) 0,3 7,9
D) 0,3 7,
34) El ámbito de f corresponde a:
A) 0,7
B) 0,
C) 0,3 4,7
D) 0,3 7,
85
Considere la siguiente información para responder las preguntas 35 y 36:
35) Si se desea construir una nueva función que tenga como dominio el conjunto compuesto por A C ,
entonces ese dominio corresponde a:
A) 1,9
B) 4,5
C) 1,5
D) 1,8
36) Si se define una nueva función que tenga como ámbito el conjunto compuesto por B D , entonces
ese ámbito, corresponde a:
A) 5,8
B) 4,5
C) 1,4
D) 1,5
86
Considere el siguiente contexto para responder la pregunta 37:
Oleaje
Suponga que la velocidad “V ”, en /km h , del viento que genera olas con una altura “ h ”, en metros, está
dada por 31
5
hV h .
37) ¿Cuál es la altura, de las olas, si la velocidad del viento que las genera es de 12,4 /km h ?
A) 2,00
B) 4,00
C) 21,83
D) 24,80
38) La señora Annette invirtió 80 000 dólares en dos bancos. El banco A paga una tasa de interés
anual del 9% y la tasa de interés anual del banco B es de 10,5% . Si por año recibe 7 530
dólares, entonces, ¿cuánto invirtió en el Banco A ?
A) 22 000
B) 33 000
C) 47 000
D) 58 000
39) Sea f una función cuadrática dada por 21f x x . ¿Cuál es el valor de 3f ?
A) 2
B) 10
C) 5
D) 8
87
Considere el siguiente contexto para responder la pregunta 40:
Relación volumen-temperatura
El volumen de varios gases se expande cuando la temperatura es alta y se contrae cuando la temperatura
es baja. Esta relación del volumen “ ” y la temperatura “ ”, es una relación lineal .
En el siguiente cuadro se presentan datos de esta relación:
Volumen del gas
(en centímetros cúbicos)
Temperatura
(en grados Celsius)
40) ¿Cuál es el volumen de un gas cuando este se encuentra a 120 C ?
A) 40
B) 200
C)
D) 760
41) Considere las relaciones representadas en las siguientes tablas:
I.
x -1 0 1 2
f x 1 0 1 4
II.
x 1 2 3 4
g x 0 -1 -2 -3
De ellas, ¿cuál o cuáles pueden representar una función?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
v t f t v
400 30
600 80
310
88
42) La pendiente de la recta que contiene los puntos 2,3 y 4,8 es:
A) 5
6
B) 2
11
C) 5
2
D) 5
6
43) De acuerdo con los datos de la gráfica, ¿cuál es la ecuación para la recta l ?
A) 3y x
B) 3y x
C) 3y x
D) 3y x
44) El eje de simetría de la gráfica de la función f dada por 2 6f x x x es:
A) 3x
B) 9x
C) 3x
D) 9x
89
45) El punto donde la recta definida por 2
2 53
x y se interseca con el eje “ x ” corresponde a:
A) 15
0,2
B) 15
,02
C) 5
0,2
D) 5
,02
46) Un grupo musical firmó un contrato para vender discos, donde su ingreso “ I x ” en colones, por
concepto de las ventas “ x ”, en colones, corresponde a 5 750 000 0,08I x x . ¿De cuánto debe
ser la venta para obtener un ingreso de ¢ 8 740 000 ?
A) ¢239 200
B) ¢6 449 200
C) ¢37 375 000
D) ¢181125 000
47) La altura “ h t ” en metros de un objeto está dada por 210 5h t t t , donde “ t ” es el tiempo en
segundos. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el objeto?
A) 1m
B) 4m
C) 5m
D) 6m
90
48) Considere las siguientes proposiciones referidas al sistema de ecuaciones dado por 5 2 3
15 6 9
x y
x y
I. Las rectas se intersecan en un único punto.
II. La solución del sistema es 1,4 .
¿Cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
49) Dos empleados de una misma empresa reciben sus salarios según la cantidad de años completos
laborados. El empleado A recibe un salario base de ¢500 000 y una bonificación por cada
anualidad de ¢10 000 . El empleado B recibe un salario base de ¢600 000 y una bonificación por
cada anualidad de ¢5 000 . ¿Cuántos años deben transcurrir para que ambos empleados ganen la
misma cantidad de salario?
A) 10
B) 12
C) 20
D) 22
50) Considere los siguientes criterios de las funciones f y g :
5 3f x x
2 2g x x x
De acuerdo con la información anterior, ¿cuál es el criterio de g f ?
A) 25 10 3g xf xx
B) 25 10 12x xg xf
C) 225 20 3g f x x x
D) 225 20 12g f x x x
91
51) El ingreso mensual " I x ", obtenido por vender " x " unidades de un producto, está modelado por
260 0,01I x x x . ¿Cuál es el ingreso mensual que se obtiene al vender 3000 unidades de ese
producto?
A) 5950
B) 6050
C) 90 000
D) 179 940
Considere la siguiente información para responder los ítems 52 y 53:
La siguiente gráfica representa la temperatura promedio, por horas, de un día de setiembre, de acuerdo con
una de las estaciones meteorológicas automáticas del Instituto Meteorológico Nacional de Costa Rica.
Temperatura promedio durante las primeras 10 horas de un día de setiembre
Fuente: Adaptado de http://www.imn.ac.cr
52) Un intervalo del tiempo en el cual aumentó la temperatura corresponde a:
A) 2,6
B) 4,6
C) 0,4
D) 6,8
92
53) ¿Cuál fue la temperatura promedio, en grados Celsius, registrada a las 6 horas?
A) 6
B) 10
C) 18
D) 20
54) Considere la siguiente representación gráfica de la función f . De acuerdo con la información
anterior, considere las siguientes proposiciones:
I. La pendiente de f es 2 .
II. La gráfica de f interseca el "eje y" en 0, 1 .
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
55) Considere la siguiente información:
Sea f una función cuadrática, tal que, su gráfica interseca el "eje y” en 0,3 y su vértice es 2,9 .
De acuerdo con la información anterior, considere las siguientes proposiciones:
I. Un intervalo en el cual f es decreciente es 3, .
II. La gráfica de f interseca el "eje x" en dos puntos diferentes.
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
93
56) Considere las siguientes proposiciones referentes a las funciones f y g dadas por 5 3f x x y
3
5
xg x
:
I. g f x x
II. 5 5g f
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
57) Sea la función f dada por 7 3f x x . ¿Cuál punto pertenece a la representación gráfica de la
función inversa de f ?
A) 1,4
B) 2,3
C) 4,1
D) 2, 3
58) Considere las siguientes proposiciones referentes a la función f dada por 21f x x :
I. El ámbito de f es ,1 .
II. El punto máximo de la gráfica de f es 0,1 .
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
94
Considere la siguiente representación gráfica de una función f para responder los ítems 59 y 60:
Masa, en gramos, de una niña durante sus primeros 120 días de vida
59) Considere las siguientes proposiciones:
I. La masa de la niña a los 60 días fue 7000 g .
II. El incremento de la masa de la niña entre los 60 y 120 días fue menor que el incremento de la masa
que presentó desde su nacimiento hasta los 60 días.
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
60) ¿Cuál opción identifica el tiempo en días, entre los cuales la masa de la niña tuvo el mayor
incremento?
A) 0 y 30
B) 30 y 60
C) 60 y 90
D) 90 y 120
95
Considere la siguiente información para responder las preguntas 61 y 62:
Una agencia de publicidad contrata el servicio de telefonía a dos compañías diferentes. Los costos, en
colones, por minuto de consumo que ofrecen las dos compañías, dependen de la cantidad total de minutos
mensuales consumidos, según se muestran en la siguiente tabla:
Menos de 10 000 minutos de consumo
telefónico al mes
10 000 minutos o más de consumo
telefónico al mes
Empresa A Empresa B Empresa A Empresa B
Costo por minuto 5 8 x y
61) En el mes de enero la agencia ha consumido 9050 minutos de llamadas en total, entre los dos
servicios contratados. Si por esta cantidad de minutos tuvo que pagar ¢59 800 , entonces, ¿cuántos
de esos minutos corresponden a llamadas consumidas, si se utilizó el servicio de la empresa A ?
A) 2150
B) 3200
C) 4200
D) 5150
62) En el mes de febrero el consumo telefónico fue de 4400 minutos por el servicio A y de 5800
minutos por el servicio B . Por ese consumo la agencia tuvo que pagar ¢60 400 . Si la suma de los
costos por minuto de los dos servicios contratados es ¢11,5 ; entonces, ¿cuál fue el costo, en
colones, por minuto de consumo del servicio de la empresa B en ese mes?
A) 4
B) 5
C) 7
D) 11
96
63) Considere la siguiente representación tabular de una función lineal f :
x -1 0 1 2
f x 6 1 -4 -9
De acuerdo con la información anterior, considere las siguientes proposiciones:
I. f es creciente.
II. El criterio de f corresponde a 1 5f x x .
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
64) Considere la siguiente gráfica de una función f con criterio 2f x ax bx c con 0a .
Considere las siguientes proposiciones sobre la parábola anterior:
I. 0a
II. 0c
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
97
65) Sea la función lineal de la forma f x mx b , con 0m . Si 0m y 0b , entonces, una
posible gráfica para f corresponde a:
A)
B)
C)
D)
98
Con base en la siguiente información, conteste las preguntas 66 y 67:
La empresa Omega produce estuches para celulares. El costo de producir cada estuche es de ¢400 y
cada uno de ellos se vende en ¢2000 .
66) Si en un mes Omega realiza una inversión de ¢4000000 en la producción de estuches, entonces,
¿cuántos estuches se produjeron en ese mes?
A) 2000
B) 2400
C) 8000
D) 10000
67) Una función que modela el ingreso I x de la empresa en términos de la cantidad “ x ” de estuches
vendidos corresponde a:
A) 400I x x
B) 2000I x x
C) 400 2000I x x
D) 2000 400I x x
68) Considere la siguiente información:
Se compraron 5 kilogramos entre clavos y tornillos.
Cada kilogramo de clavos vale ¢400 , el de tornillos ¢550 y se pagó un total de ¢2300 .
¿Cuántos kilogramos de tornillos se compraron?
A) 1,0
B) 1,5
C) 2,0
D) 4,0
99
69) El rendimiento r x de una empresa está modelado por 2–2 1000r x x x , donde “ x ”
representa la cantidad de empleados contratados. ¿Cuántos empleados necesita contratar la
empresa para que su rendimiento sea el máximo?
A) 100
B) 250
C) 500
D) 1000
70) La función 220 – 5h t t t modela la trayectoria de un objeto lanzado hacia arriba desde el suelo,
donde “ h t ” es la altura en que se localiza el objeto a los “ t ” segundos de haberse lanzado
(suponga que el roce del objeto con el aire es despreciable). ¿Cuántos segundos dura ese objeto
desde su lanzamiento hasta el momento que regresa al suelo?
A) 2
B) 4
C) 5
D) 15
71) La siguiente gráfica de una función f tiene la forma 2f x ax bx c y 0a . Considere las
siguientes proposiciones sobre la parábola anterior:
I. 0a
II. 0c
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
100
72) Si 3,4 es un punto contenido en la recta 2y x b , entonces, el valor de " b " corresponde a:
A) 2
B) 3
C) 4
D) 7
Con base en la siguiente información, conteste las preguntas 73 y 74:
El recorrido máximo de una motocicleta por litro de combustible es 36 km . Además, el tanque tiene
una capacidad de 10 litros y el precio de cada litro es de 579 colones.
73) Si se llena el tanque de la motocicleta (una única vez), entonces, el máximo de kilómetros que se
puede recorrer en dicha motocicleta, corresponde a:
A) 132
B) 136
C) 219
D) 360
74) Una función que modela el costo " l x ", en colones, relacionado con los " x " litros de combustibles
que consume la motocicleta, corresponde a:
A) 36l x x
B) 579l x x
C) 36 10l x x
D) 579 10l x x
101
75) Considere la siguiente información:
Entre alimento para perros y alimento para gatos se compró 32 kilogramos.
Cada kilogramo de alimento para perros cuesta ¢1800 , para gatos ¢2100 y se pagó un total de
¢61 200 en estos alimentos.
¿Cuántos kilogramos de alimento para perro se compró?
A) 12,00
B) 20,00
C) 29,14
D) 34,00
76) El costo de producción mensual “ c x ", en dólares, de una fábrica de cañas para pescar está dado
por 22 1200c x x x , donde " x " representa la cantidad de cañas producidas 0 600x .
De acuerdo con el enunciado anterior, considere las siguientes proposiciones:
I. El costo máximo mensual que enfrente la fábrica es de 300 dólares.
II. Los costos de producción decrecen a partir de 295 cañas de pescar producidas al mes.
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
77) La altura “ h t ”, en metros, que alcanza un objeto lanzado hacia arriba (el roce con el aire es
despreciable) está dada por 25 30h t t t , donde “ t ” es el tiempo en segundos. ¿Cuál es la
altura máxima, en metros, que alcanza el objeto?
A) 25
B) 30
C) 35
D) 45
102
Considere los siguientes criterios correspondientes a las funciones f y g , para responder las preguntas 78
y 79:
26 8f x x x
23 5 2g x x x
78) Considere las siguientes proposiciones:
I. El ámbito de f es 3, .
II. La gráfica de g es cóncava hacia arriba.
¿Cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
79) ¿Cuál es el eje de simetría de la gráfica de f ?
A) 3x
B) 1x
C) 5
6x
D) 49
12x
103
Considere la siguiente gráfica de una función cuadrática f para responder las preguntas 80 y 81:
80) Sea f una función de la forma 2f x ax bx c , se cumple que:
A) 0 y 0a
B) 0 y 0c
C) 0 y 0c
D) 0a y 0c
81) Considere las siguientes proposiciones:
I. Los elementos del ámbito de f son todos negativos.
II. Un intervalo donde f es decreciente corresponde a 1,2 .
¿Cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
104
82) Se determina que la ganancia “ G x ”, en colones, al producir “ x ” cantidad de ciertos artículos en
una fábrica, está dada por 52 120G x x . ¿Cuántos artículos deben producirse para obtener una
ganancia de ¢3000 ?
A) 55
B) 60
C) 65
D) 68
83) En una fábrica el costo de producir cada par de zapatos es de ¢2000 . Asimismo se incurre en un
costo fijo de producción de ¢100000 diarios. Con base en la información anterior, un criterio que
modela el costo total “ C x ” de producción diaria, con “ x ” representando los pares de zapatos
confeccionados en un día es:
A) 2000C x x
B) 2000 100000C x x
C) 2000 50000C x x
D) 100000 2000C x x
84) Considere la siguiente información:
Miguel fue a una librería a comprar 4 cuadernos cosidos y 4 cuadernos de resortes. Al llegar a la
caja le dijeron que debía pagar ¢14500 . Como el dinero que llevaba no le alcanzó, compró 3
cuadernos cosidos y 5 cuadernos de resortes, por lo que pagó ¢12000 .
Considere que los cuadernos poseen las mismas características, según el tipo de cuaderno (cosido
o resortes).
De acuerdo con la información anterior, ¿cuál fue el precio, en colones, de cada cuaderno cosido?
A) 103,51
B) 1714,28
C) 2500,00
D) 3062,50
105
85) Considere la siguiente información y las proposiciones referidas a ella:
La campaña de reciclaje
Durante una campaña de reciclaje, el profesor guía de
un grupo de 42 estudiantes dividió at grupo en dos
subgrupos: un grupo A , cuyos integrantes debían
aportar 4 latas vacías cada uno, y un grupo B , cuyos
integrantes debían aportar 2 latas vacías cada uno. Al
finalizar la campaña, entre los 42 estudiantes
recolectaron 128 latas vacías.
I. Hay más estudiantes en el grupo B que en el
grupo A .
II. Hay 22 estudiantes en el grupo A .
86) Considere la siguiente información referida a las funciones f y g dadas por:
2 3f x x
4 7g x x
De acuerdo con la información anterior, ¿cuál es el criterio de f g ?
A) 8 4f g x x
B) 8 5f g x x
C) 8 11f g x x
D) 8 17f g x x
Cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
106
87) Con base en la siguiente función f con criterio 24 2f x x x , considere las siguientes
proposiciones:
I. f es cóncava hacia abajo.
II. La gráfica de f interseca el eje "y" en 0,0 .
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
88) ¿Cuál es la intersección de la gráfica de 5 10f x x , con el eje de las abscisas (eje x)?
A) 2,0
B) 5,0
C) 5,0
D) 10,0
89) La función t dada por 1
34100
t x x
modela la temperatura en grados Celsius a "x" metros de
altura sobre el nivel del mar. ¿Cuál es la temperatura a una altitud de 3000 metros sobre el nivel del
mar?
A) 3 C
B) 4 C
C) 3 C
D) 4 C
107
90) Una ama de casa elabora pasteles para ¡a venta. El costo de producir cada uno de ellos es de ¢125
y el precio de venta de cada pastel es de ¢625 . Si "x" es la cantidad de pasteles producidos y
vendidos, y g x es la ganancia, entonces, una función que modela la situación anterior
corresponde a:
A) 125g x x
B) 500g x x
C) 625g x x
D) 625 125g x x
91) Considere los criterios de las siguientes funciones:
4 3f x x ; 2 5g x x .
¿Cuál es el criterio de f g x ?
A) 5 5g xxf
B) 5 20f g x x
C) 17 20f g x x
D) 20 1f g x x
92) Si 2f x x es una función que posee inversa, entonces, la gráfica de la inversa de “ f ”
interseca al eje " "y (ordenadas) en:
A) 0,2
B) 2,0
C) 0, 2
D) 2,0
108
93) Considere la siguiente gráfica de la función f . La intersección de la gráfica de f con el eje “ y ”
(ordenadas) es:
A) 0,5
B) 0,3
C) 0, 3
D) 0, 5
94) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función 25 2 3f x x x :
I. La gráfica de f es cóncava hacia arriba.
II. 1
5 es el eje de simetría de la gráfica de f .
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
95) Considere la siguiente información en la que se presenta la función f en forma gráfica y la función
g en forma algebraica:
23 6g x x , con : 4,4 6,54g
De acuerdo con la información anterior, el valor
de 1g f es:
A) 2
B) 1
C) 18
D) 33
109
96) Sean f y g dos funciones tales que f está dada por 3 1f x x con :f ,y g está
dada por 2g x x , con : 0,g . ¿Cuál es el criterio de g f ?
A) 23 1g f x x
B) 29 1g f x x
C) 29 3 1g f x x x
D) 29 6 1g f x x x
97) La intersección con el "eje y" de la recta dada por 3 6x y , corresponde a:
A) 0,2
B) 0,6
C) 0, 2
D) 0, 6
98) Considere la siguiente representación gráfica de una función lineal f
. De acuerdo con los datos de la gráfica anterior, la intersección de
f con el eje de las abscisas es:
A) 2,0
B) 4,0
C) 0,4
D) 0,2
99) Sea f una función cuadrática de dominio real, tal que su vértice es el punto 2, 4 y su gráfica
contiene el origen de coordenadas. Con certeza se cumple que:
A) 3 0f
B) 5 0f
C) 1 0f
D) 1 0f
110
100) Considere la siguiente representación gráfica de una función cuadrática f :
De acuerdo con los datos de la gráfica anterior, se puede asegurar que el criterio de f corresponde a:
A) 2 4 4f x x x
A) 2 4 4f x x x
B) 2 2 1f x x x
C) 2 2 1f x x x
101) Considere la siguiente representación gráfica de la función cuadrática f dada por
2f x ax bx c :
De acuerdo con la información de la gráfica anterior, ¿cuál es el valor de " k "?
R/
111
112
113
1) Un curso universitario posee únicamente dos pruebas. La primera vale 40% y la segunda 60% . Si
un estudiante obtuvo una nota de 70 en la primera prueba y un 60 en la segunda, entonces,
considerando los valores porcentuales ¿cuál fue la nota que obtuvo el estudiante en ese curso?
A) 64,0
B) 65,0
C) 66,0
D) 57,5
2) Considere la siguiente información sobre un estudio estadística:
Se ha registrado el peso (masa) en kilogramos de 250 estudiantes de un colegio. Al resumir los datos
se obtuvo que la mediana es 67,4 kg y la media aritmética es 74 kg
De acuerdo con la información anterior, se puede afirmar con certeza que en los 250 estudiantes:
A) El peso más usual es 65 kg .
B) Exactamente 125 pesan 74 kg .
C) Al menos un estudiante pesa 67,4 kg .
D) Al menos 125 pesan más de 65 kg .
3) Si la graficar una distribución de frecuencias de un grupo de datos, se observa que tiene una
asimetría negativa, entonces con certeza se cumple que:
A) eM x
B) eM x
C) o eM M
D) o eM M
Tema 3 Estadistica y Probabilidad
114
4) Observe la siguiente gráfica de la distribución de frecuencias:
De acuerdo con la gráfica anterior, se cumple que:
A) a x
B) c x
C) ea M
D) ob M
5) En un colegio, la evaluación de Cívica en cada período se lleva a cabo de acuerdo con la siguiente
tabla, en la que aparecen también las notas obtenidas por Andrea y Patricia en uno de los períodos.
Componente a evaluar Valor porcentual Notas de Andrea Notas de Patricia
Prueba escrita 35 63 72
Trabajo cotidiano 15 84 70
Proyecto 40 60 71
Asistencia 5 98 95
Concepto 5 100 97
Total 100
Si Andrea y Patricia son estudiantes de ese colegio y necesitan una nota promedio de 70 o más para aprobar
el período, entonces:
A) Andrea aprobó el período.
B) Ninguna de ellas aprobó el período.
C) Patricia aprobó el período
D) Patricia tuvo una nota promedio menor que la de Andrea.
115
6) Considere la siguiente información, la cual hace referencia a las temperaturas promedio, en grados
Celsius C , registradas en la estación meteorológica ubicada en el Aeropuerto Internacional Juan
Santamaría, durante los meses de marzo desde el, año 2006 al 2014 .
Temperatura promedio marzo 2006 – 2014
Año
Temperatura promedio
2006-2014
2006 24,2
2007 24,9
2008 23,8
2009 23,8
2010 25,2
2011 23,9
2012 24,3
2013 23,4
2014 23,2
Fuente: Adaptado del Compendio Ambiental 2015 del Estado de la Nación.
De acuerdo con la información anterior, considere las siguientes proposiciones:
I. La temperatura promedio más usual fue de 23,8 C .
II. El 50% de los datos de las temperaturas promedio fue mayor o igual que 25,2 C .
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
116
7) Considere la siguiente distribución de frecuencias de las estaturas, en centímetros, de los
estudiantes de una sección de undécimo año:
Estatura Cantidad de estudiantes
150,160 4
160,170 12
170,180 10
180,190 3
190,200 1
De acuerdo con la información anterior, ¿cuál es el promedio, en centímetros, de las estaturas de los
estudiantes de esa sección de undécimo año?
R/
8) Considere la siguiente tabla sobre calificaciones obtenidas por un estudiante en un curso que se
aprueba con un 70 de promedio:
Rubro de evaluación Valor porcentual (%) Calificación obtenida por el estudiante
Examen I 30 63
Examen II 40 88
Proyecto final 30 x
Con base en la información anterior, la calificación mínima que puede obtener el estudiante en el proyecto
final para aprobar el curso es:
A) 51,5
B) 53,0
C) 59,0
D) 80,0
117
Considere el siguiente contexto para responder las preguntas 9 y 10:
Una docente analiza los resultados de sus estudiantes en una prueba y observa que la media
aritmética (promedio) de las calificaciones es de 80,67 ; la mediana de 68 y la moda de 100 .
Asimismo, por disposición de la institución, si el 45% o más de los estudiantes no logran la nota
mínima de 70 , se debe reprogramar una nueva prueba para esas personas.
9) Considere las siguientes proposiciones:
I. La nota mínima obtenida fue superior a 68 .
II. El 80,67% de los estudiantes ganaron la prueba.
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
10) Considere las siguientes proposiciones:
I. La calificación que más se repitió en la prueba fue el 100 .
II. La profesora tuvo que reprogramar una nueva prueba para los estudiantes que no alcanzaron
una nota de 70 .
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
118
Considere el siguiente contexto para responder la pregunta 11:
A continuación se muestran las temperaturas máximas en grados Celsius, para doce días del mes de enero
del año 2016 en la ciudad de San José:
Temperatura máxima.
24 26 26 27 27 27
28 29 29 30 30 31
11) Considere las siguientes proposiciones referidas a la información anterior:
I. Al determinar el segundo cuartil se observa que un 50% del total de las temperaturas se ubican
entre 28 C (inclusive) y 31 C (inclusive).
II. Al determinar el primer cuartil se observa que un 25% del total de las temperaturas se ubican
entre 24 C (inclusive) y 26 C (inclusive).
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
119
Con base en la siguiente información, conteste las preguntas 12, 13 y 14:
Un curso está compuesto de tres pruebas y para su aprobación se debe obtener un promedio mínimo de 65
(escala del 1 al 100 ). A continuación, se muestran las calificaciones de cuatro estudiantes y los valores
porcentuales de cada prueba:
Prueba y valor José Ana Rosa Luis
Prueba I 25% 43 95 55 95
Prueba II 30% 55 55 43 43
Prueba III 45% 95 43 95 55
Total 100%
12) Considere las siguientes proposiciones:
I. Luis reprobó el curso.
II. Luis obtuvo un promedio final inferior a 68 .
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
13) Considere las siguientes proposiciones:
I. Ana y Rosa reprobaron el curso.
II. Ana y Rosa obtuvieron el mismo promedio final.
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
120
14) Considere las siguientes proposiciones:
I. José aprobó el curso.
II. José obtuvo un promedio final superior a 60 pero menor que 69 .
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
15) Considere el siguiente contexto:
El promedio de las calificaciones finales de Juan durante el periodo escolar del 2016 fue de 82,61 ;
100 fue la nota que más repitió y la mediana de las calificaciones fue 68 . Además, considere que la
nota mínima para aprobar cada asignatura es de 70 .
Con base en el contexto anterior, considere las siguientes proposiciones:
I. La moda de las calificaciones finales de Juan, en el periodo 2016 , fue 82,61 .
II. Juan reprobó cuando mínimo la mitad de las asignaturas en el período 2016 .
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
121
Considere el siguiente contexto para responder las preguntas 16 y 17:
Las edades
En la siguiente tabla se resume la edad, en años cumplidos, de los estudiantes de un grupo que se
prepara para presentar las pruebas de bachillerato por madurez:
Edad en años cumplidos Número de estudiantes
25 2
27 4
30 4
31 3
33 5
40 7
Total 25
16) Considere las siguientes proposiciones:
I. La media aritmética de fas edades es 31 años.
II. La moda corresponde a 40 años.
¿Cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
17) ¿Cuál es el valor del primer cuartil de los datos?
A) 15,00
B) 18,50
C) 27,75
D) 28,50
122
Considere el siguiente contexto para responder las preguntas 18 y 19:
El examen de Química
Los siguientes datos representan las notas obtenidas por un grupo de estudiantes en un examen de
Química:
45 55 57 64 69 75 75 78 79 81 83 89
18) Considere las siguientes proposiciones:
I. La media aritmética es 64,58 .
II. La asimetría de los datos es positiva.
¿Cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
19) Considere las siguientes proposiciones:
I. La moda y la mediana están representadas por un mismo dato.
II. La nota máxima fue un 83 .
¿Cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
123
20) Considere la siguiente información:
El grupo juvenil
El coordinador de un grupo juvenil realiza un estudio referido a la media aritmética de la edad de los
integrantes de ese grupo. En la siguiente tabla se muestra la distribución de sus edades:
Edad Frecuencia
13 3
14 2
15 14
16 35
17 18
Total 72
De acuerdo con la información anterior, ¿cuál es la media aritmética de las edades de los integrantes del
grupo juvenil?
A) 15,00
B) 15,24
C) 15,87
D) 16,00
124
21) A continuación se presenta el total de hectáreas sembradas durante el periodo de 1999 al 2005 en la
provincia de Limón: de banano y arroz.
Producto / Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Banano 48000 47000 44000 42000 41000 42000 41000
Arroz 46000 47000 48000 48000 49000 49000 49000
En promedio (media aritmética) en ese periodo ¿cuántas hectáreas de arroz, aproximadamente, se sembró
más que de banano?
A) 3428,57
B) 4428,57
C) 6224,49
D) 6540,83
22) La siguiente tabla muestra las evaluaciones de Ana y Juan en un curso de inglés:
Componente Valor porcentual Notas de Ana Notas de Juan
Escucha 30 50 100
Habla 40 50 100
Escritura 20 100 50
Lectura 10 100 50
Total 100
Si para aprobar el curso se necesita un promedio mínimo de 70 , entonces, se concluye que:
A) Ana aprobó el curso.
B) Juan aprobó el curso.
C) ninguno de ellos aprobó el curso.
D) Ana y Juan obtuvieron el mismo promedio
125
Considere el siguiente contexto para responder las preguntas 23 y 24:
El análisis sobre las edades, en años cumplidos, de un grupo de costarricenses, muestra que la media
aritmética (promedio) es de 22,67 ; la mediana es 17 y la edad que más se repite es 34 . Además,
considere que la mayoría de edad en Costa Rica se adquiere al cumplir 18 años.
23) ¿Cuál es la moda de las edades de ese grupo de personas?
A) 17
B) 18
C) 23
D) 34
24) Con base en el contexto anterior, considere las siguientes proposiciones:
I. Más del 50% de las personas son mayores de edad.
II. La menor edad en ese grupo de personas es superior a los 17 años.
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
25) Considere el siguiente contexto:
En un centro médico, se midió la masa de 10 pacientes y se obtuvo las siguientes cantidades (en
kilogramos):
93, 44, 75, 90, 77, 80, 73, 82, 83, 91
La masa (kilogramos) mínima de los pacientes corresponde a:
A) 44
B) 77
C) 82
D) 93
126
26) Considere la siguiente información:
Salario, en miles de colones, de 100 empleados en el mes de agosto.
Salarios Frecuencia absoluta
300 22
600 45
900 21
1200 10
1500 2
Se desea contratar un empleado más para la empresa, cuyo salario corresponderá a la media aritmética de
los salarios del mes de agosto de sus compañeros. El salario del nuevo empleado, en miles de colones, es:
A) 375
B)
C) 525
D)
27) Considere la siguiente tabla y las proposiciones referidas a ella:
I. Solo una familia tiene hijos.
II. El de las familias tienen un hijo.
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
675 900
4
25%
Cantidad de hijos Cantidad de familias
1 6
2 10
3 3
4 1
127
28) El siguiente cuadro representa la cantidad de kilómetros recorridos que registran diariamente, los
vehículos de los hogares en un barrio ubicado en la capital. Se consideran 36 hogares:
La media aritmética de los kilómetros
recorridos diariamente por los vehículos
corresponde a:
A)
B)
C) 4,72
D)
Considere el siguiente contexto para responder la pregunta 29:
Participantes en Olimpiadas de Matemática
A continuación se le presenta una tabla con las calificaciones de a de un grupo de estudiantes
que participaron en las olimpiadas de matemática
Calificación Cantidad de
estudiantes
1 6
2 15
3 20
4 30
5 35
6 22
7 14
8 16
9 14
10 8
Total 180
29) La moda correspondiente al estudio es:
A) C)
B) D)
2,36
7,00
7,50
1 10 180
35 14
9 5
Kilómetros recorridos diariamente Frecuencia absoluta
1 7
2 15
3 9
4 4
5 1
128
Considere el siguiente contexto para responder la pregunta 29:
Hectáreas sembradas de arroz
A continuación se presentan la cantidad de hectáreas sembradas desde el año al año de cultivo
de arroz:
Año Hectáreas sembradas
1999 64 664
2000 68 356
2001 56 977
2002 47 893
2003 54 043
2004 62 144
2005 61 005
30) El promedio aproximado de la cantidad de hectáreas sembradas de arroz desde el año al año
es
A)
B)
C)
D)
Considere la siguiente información para responder los ítems 31, 32 y 33:
Calificaciones obtenidas por un estudiante
Asignaturas Periodos
I II III
Matemáticas 90 93 96
Español 80 90 94
Inglés 95 95 80
Estudios sociales 70 85 80
Ciencias 80 92 95
31) ¿Cuál es la media aritmética (promedio) de las calificaciones en el II periodo?
R/
1999 2005
1999
2005
47 893,00
55 496,00
58 286,86
59 297,50
129
32) Si todos los periodos tienen el mismo valor porcentual, entonces, ¿cuál es la media aritmética
(promedio) anual de las calificaciones en la asignatura de Inglés?
A)
B)
C)
D)
33) ¿Cuál es la moda de las calificaciones en el periodo?
A)
B)
C)
D)
34) Considere el experimento de escoger un número natural del al . Si el evento es: que el
número escogido sea par y el evento es: que el número escogido sea múltiplo de tres, entonces
con certeza:
A)
B)
C)
D)
35) Considere el experimento de sacar dos bolas de una caja que contiene bolas blancas , azules
y rojas . Si las bolas poseen la misma forma y tamaño, y el evento es: que las bolas
sean del mismo color, entonces con certeza el complemento “ ” de es:
A)
B)
C)
D)
80
85
90
95
80
89
94
96
1 12 A
B
6,12A B
3,6,9,12A B
3,6,9,12A B
3,4,6,8,10,12A B
B
A R M
cM M
, ,AA RR BB
, , ,BR RB BA AB
, , , ,AA BB RR BA RA
, , , , ,AB AR BA BR RA RB
130
36) Considere la siguiente información:
En el experimento de lanzar un dado legal y registrar el número que sale en la cara superior, interesan
dos eventos:
: Que el número sea impar.
: Que el número sea un .
Con base en la información anterior, considere las siguientes proposiciones:
I. El evento es el complemento del evento .
II. Los eventos y son mutuamente excluyentes.
¿Cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
37) Se lanzan dos dados legales y se registra la suma de los puntos de las caras superiores. ¿Cuál es la
probabilidad de que la suma sea mayor que ?
A)
B)
C)
D)
Considere el siguiente enunciado y responda las siguientes 3 preguntas:
El de los estudiantes de un colegio practica fútbol, el practica baloncesto y el
practica ambos deportes. Se elige un estudiante al azar.
38) ¿Cuál es la posibilidad de que el estudiante elegido no practique fútbol ni practique baloncesto?
A)
B)
C)
D)
A
B 4
A B
A B
5
0,11
0,28
0,36
0,72
30% 40% 10%
0,10
0,30
0,40
0,80
131
39) Si el estudiante elegido practica fútbol, ¿cuál es aproximadamente la probabilidad de que practique
baloncesto?
A)
B)
C)
D)
40) Si el estudiante elegido practica baloncesto, ¿cuál es aproximadamente la probabilidad de que
practique fútbol?
A)
B)
C)
D)
Considere la siguiente información para responder los ítems 41 y 42.
Se tienen dos dados, uno azul y otro blanco y en cada dado cada una de las caras con un número diferente
del al . Al lanzar estos dados, cada cara tiene la misma probabilidad de quedar en la parte superior.
Se definen los siguientes eventos:
Evento : La suma de los números de las caras superiores de los dados es par.
Evento : La suma de los números de las caras superiores de los dados es cinco.
Evento : La suma de los números de las caras superiores de los dados es impar.
41) ¿Cuántos puntos muéstrales tiene el evento ?
A)
B)
C)
D)
42) ¿Cuántos puntos muéstrales tiene el evento ?
R/
0,25
0,33
0,67
1,33
0,25
0,33
0,67
1,33
1 6
A
B
C
A B
14
18
19
22
B C
132
43) Considere la siguiente información:
Se tienen bolas numeradas del al en una caja, que se distinguen unas de otras únicamente por su
numeración. Una de las bolas se extrae aleatoria y se. devuelve a la caja.
Se definen dos eventos y :
Evento : La bola extraída tiene un número impar.
Evento : La bola extraída tiene un número mayor o igual que .
De acuerdo con la información anterior, considere las siguientes proposiciones.
I. y son eventos mutuamente excluyentes.
II. El complemento de , con respecto al espacio muestral corresponde a .
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I
D) Solo la II.
44) Se tiene un dado de seis caras, cada una de ellas con un número del al , y otro dado de ocho
caras, cada una de ellas con un número diferente del al . Al lanzar estos dados, cada cara de
cada dado tiene la misma probabilidad de quedar en la parte superior. Se definen los siguientes
eventos:
Evento : Obtener un número menor o igual que .
Evento : Obtener un número par.
Considere las siguientes proposiciones:
I. La probabilidad de que ocurra el evento , es mayor si se lanza el dado de seis caras.
II. La probabilidad de que ocurra el evento , es mayor si se lanza el dado de ocho caras.
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
10 1 10
A B
A
B 7
A B
B 1,3,5CB
1 6
1 8
C 7
D
C
D
133
Considere la siguiente información para responder los ítems 45 y 46:
En un periódico nacional se publicó un artículo en el que se destaca que el teléfono celular es el dispositivo
que más utilizan los adolescentes. Dicho artículo se basó en una encuesta realizada a una muestra aleatoria
de estudiantes de secundaria menores de años. Parte de la información se resume en el siguiente
cuadro:
Posesión de celular de estudiantes de secundaria menores de años
Área Metropolitana Zona Rural Total
Tienen celular 470 140 610
No tienen celular 6 12 18
Total 476 152 628
Fuente: Adaptado del Periódico EÍ Financiero
45) ¿Cuál es, aproximadamente, la probabilidad de que al escoger al azar un joven de esa muestra, este
tenga celular?
A)
B)
C) 0,77
D)
46) Si se toma como población total los encuestados del Área Metropolitana y se decide seleccionar al
azar un estudiante de esa población, entonces, ¿cuál es, aproximadamente, la probabilidad de que
ese estudiante posea celular?
A)
B)
C)
D)
628 15
15
0,22
0,78
0,97
0,75
0,77
0,87
0,99
134
Considere la siguiente información para responder los ítems 47, 48 y 49:
Se tienen dos dados de seis caras cada uno, uno azul y otro blanco y en cada dado cada una de las caras con
un número diferente del al . Al lanzar estos dados, cada cara tiene la misma probabilidad de quedar en la
parte superior.
La siguiente tabla presenta los puntos muestrales que se obtienen al lanzar esos dados y considerar los
números que quedan en la cara superior:
Dado Azul
Dado
Blanco
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
47) ¿Cuál es, aproximadamente, la probabilidad que la suma de los números mostrados en las caras
superiores no sea un número divisible por ?
A)
B)
C)
D)
48) ¿Cuál es, aproximadamente, la probabilidad de que la suma de los números mostrados en las caras
superiores sea un número impar y menor que ?
A)
B)
C)
D)
1 6
5
0,29
0,31
0,69
0,81
6
0,17
0,25
0,50
0,83
135
49) ¿Cuál es la probabilidad que la suma de los números mostrados en las caras superiores sea o ?
R/
Considere la siguiente situación para resolver los ítems 50 y 51:
Se tienen tómbolas con bolitas que excepto en el color son exactamente iguales. Cada bolita, en cada
tómbola, tiene la misma probabilidad de salir.
La distribución y la cantidad de bolitas en las tómbolas, según el color, se detalla a continuación:
Tómbola 1
Tómbola 2
Tómbola 3
Tómbola
4
Bolitas azules 7 5 3 10
Bolitas
amarillas 8 7 6 8
Bolitas blancas 10 8 7 12
Bolitas verdes 15 2 9 15
Total 40 22 25 45
50) Si se desea sacar al azar una bolita de color blanca, entonces, ¿de cuál tómbola se debe sacar la
bolita para tener mayor probabilidad de que esta sea blanca?
A) Tómbola
B) Tómbola
C) Tómbola
D) Tómbola
51) Si se saca al azar una bolita de la tómbola , entonces la bolita con mayor probabilidad de salir es
de color:
A) Azul.
B) Verde.
C) Blanco.
D) Amarillo.
4 7
4
1
2
3
4
4
136
Considere la siguiente información para responder los ítems 52 y 53:
Cantidad de visitantes en cuatro parques nacionales de Costa Rica durante el año
Parque Nacional Visitantes Total
Nacionales Extranjeros
Manuel Antonio 106 776 272 832 379 608
Marino Ballena 112 929 37 827 150 756
Volcán Poás 175 639 166 877 342 516
Volcán Irazú 106 776 37 325 144 101
Total 502 120 514 861 1 064 578
Adaptado de: http://WAvw.sinaago.cr
Considere que cada persona contabilizada en la tabla anterior visitó solo uno de estos parques.
52) Se desea escoger al azar uno de esos visitantes para premiarlo con un tour a cinco parques
nacionales. ¿Cuál es, aproximadamente, la probabilidad de que la persona seleccionada sea un
costarricense que visitó el Parque Nacional Marino Ballena durante el ?
A)
B)
C)
D)
53) Si un hotel de Manuel Antonio decide rifar un premio de una semana de hospedaje con todo incluido,
entre las personas que visitaron el Parque Nacional Manuel Antonio durante el año , entonces,
¿cuál es, aproximadamente, la probabilidad de que ese premio lo gane una persona extranjera que
visitó ese parque en el ?
A)
B)
C)
D)
2014
2014
0,11
0,22
0,49
0,75
2014
2014
0,27
0,37
0,53
0,72
137
Con base en la siguiente información responda las preguntas 54, 55 y 56:
Los niños de una escuela practican una o dos de las tres disciplinas deportivas disponibles (voleibol,
natación, atletismo); además se sabe que:
escogieron voleibol.
escogieron natación.
escogieron atletismo.
Asimismo, niños escogieron tanto voleibol como natación; niños eligieron natación y también atletismo.
No obstante, ningún niño que practica voleibol, practica atletismo.
54) ¿Cuántos niños escogieron solo voleibol?
A)
B)
C)
D)
55) ¿Cuántos niños escogieron solo natación?
A)
B)
C)
D)
56) ¿Cuántos niños escogieron voleibol o atletismo?
A)
B)
C)
D)
73
25
25
35
5 7
7
12
18
20
13
15
20
28
0
48
53
60
138
57) Considere la siguiente información:
En un jardín de niños hay balones: uno rojo, uno azul, uno blanco y uno verde. En el momento de los
juegos se elige uno de esos balones al azar.
Con base en la información anterior, considere las siguientes proposiciones:
I. La probabilidad de que no se elija el balón verde, es igual que la probabilidad del complemento
del evento “elegir el balón verde”.
II. La probabilidad de elegir un balón rojo o blanco, es igual a la suma de la probabilidad de elegir un
balón rojo, más la probabilidad de elegir un balón blanco.
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
Con base en el siguiente contexto responda las preguntas 58, 59 y 60:
Considere un dado con todas sus caras enumeradas del uno al seis, donde cada uno de sus números
tiene la misma probabilidad de obtenerse.
58) Al lanzarse una vez el dado la probabilidad de obtener un número par menor que o impar mayor
que es:
A)
B)
C)
D)
4
3
4
1
3
3
4
3
5
2
3
139
59) Al lanzarse una vez el dado la probabilidad de obtener un número diferente a es:
A)
B)
C)
D)
60) Considere las siguientes proposiciones referidas al lanzamiento de un dado:
I. El evento “obtener un número mayor que cero” es un evento seguro.
II. El evento “obtener un número mayor que seis” es un evento improbable.
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
Con base en la siguiente información responda las preguntas 61, 62 y 63:
El siguiente diagrama ilustra los gustos y preferencias de personas por la práctica del fútbol, el atletismo y
el baloncesto.
61) Si del total de personas se elige una al azar, entonces, la probabilidad de que esta practique fútbol y
baloncesto, es:
A)
B)
C)
D)
2
1
6
1
3
5
6
1
2
82
0
5
41
30
41
35
41
140
62) Si del total de personas se elige una al azar, entonces, la probabilidad de que esta practique dos de
esos deportes, es:
A)
B)
C)
D)
63) Si del total de personas se elige una al azar, entonces, la probabilidad de que esta practique solo
atletismo o solo baloncesto, es:
A)
B)
C)
D)
64) Considere un dado de caras, de modo que, cada una de ellas tiene impreso un número del uno al
seis (no se repite ningún número) y donde todas las caras tienen la misma probabilidad de
obtenerse. Con base en la información anterior, considere las siguientes proposiciones:
I. Al lanzar una vez ese dado, la probabilidad de obtener un número mayor que uno, es igual que la
probabilidad del complemento del evento "obtener el número uno".
II. Al lanzar una vez ese dado, la probabilidad de obtener un número impar mayor que dos, es igual a
la suma de las probabilidades de obtener el tres, más la probabilidad de obtener el cinco.
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
5
41
6
41
13
36
17
10
3
41
18
41
21
41
23
41
6
141
Con base en el siguiente contexto, responda las preguntas 65, 66 y 67:
En un grupo de un colegio vocacional hay hombres y mujeres. Cuatro hombres eligieron la
especialidad de secretariado y los demás contabilidad; mientras que seis mujeres eligieron la
especialidad de secretariado y las demás contabilidad.
65) Si se elige del grupo una persona al azar, entonces, la probabilidad de que sea un hombre o haya
elegido secretariado, es:
A)
B)
C)
D)
66) Si se elige del grupo una persona al azar, entonces, la probabilidad de que sea una mujer de
contabilidad o un hombre de secretariado, es:
A)
B)
C)
D)
67) Con base en el contexto dado, considere las siguientes proposiciones referidas a elegir una persona
al azar:
I. La probabilidad del evento "elegir un hombre o una mujer" es cero.
II. La probabilidad del evento "elegir una mujer de secretariado o de contabilidad" es uno.
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la I
12 20
1
4
3
8
9
16
11
16
3
4
5
16
9
16
3
16
142
68) De acuerdo con los datos de la figura, en la cual se presenta un experimento que consiste en lanzar
(una vez) un dado legal si el evento es: que salga un número par y el evento es: que salga un
número primo, entonces, ¿cuál es el evento ?
A)
B)
C)
D)
69) Si en un experimento de lanzar (una vez) un dado legal el evento es: que salga un número
mayor que , entonces, ¿cuál es el complemento “ ” de ?
A)
B)
C)
D)
70) Considere las siguientes proposiciones:
I. Una empresa realiza una revisión de sus productos y cuando los selecciona tiene dos opciones:
que el producto esté en buen estado o que el producto esté en mal estado.
II. En un grupo de estudiantes se seleccionan aquellos cuya primera letra de su nombre inicia con
“ ” o aquellos cuya primera letra de su apellido inicia con “ ”.
¿En cuáles de las proposiciones anteriores se describen eventos mutuamente excluyentes?
A) En ambas.
B) En ninguna.
C) Solo en la I.
D) Solo en la II.
A B
A B
2
4,6
3,4,5,6
2,3,4,5,6
M
4 cM M
4
5,6
1,2,3
1,2,3,4
C M
143
71) Considere el siguiente contexto y las proposiciones referidas a él:
Los calcetines
A continuación se le presenta una distribución por color de la cantidad de pares de calcetines de
David:
Color de los calcetines Cantidad de pares
Rojos 5
Negros 7
Blancos 8
I. La probabilidad de que David elija al azar un par de calcetines blancos es de .
II. La probabilidad de que David elija al azar un par de calcetines rojos es de .
¿Cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
72) Considere la siguiente información:
En una ciudad, cuando el clima está parcialmente nublado, la probabilidad de que llueva es de .
¿Cuál es la probabilidad de que no llueva cuando el clima está parcialmente nublado en la ciudad?
A)
B)
C)
D)
0,35
0,25
3
7
1
7
2
7
3
7
4
7
144
73) En un experimento de lanzar (una vez) dos dados legales, el evento es:
"Que la suma de las cantidades de los puntos que salen en la cara superior sea menor que "
¿Cuál es la probabilidad de que ocurra el complemento “ ” de ?
A)
B)
C)
D)
Considere el siguiente contexto para responder las preguntas 74, 75 y 76:
Las enfermedades respiratorias
A continuación se que presenta una distribución de la cantidad de pacientes que frecuentan una
clínica, según sexo y padecimiento:
Padecimiento
Sexo Asma Gripe Bronquitis Total
Hombre 7 10 4 21
Mujer 15 8 6 29
Total 22 18 10 50
74) Al elegir al azar un paciente, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre y presente bronquitis?
A)
B)
C)
D)
A
12
cA A
5
6
11
12
33
34
1
36
0,08
0,12
0,14
0,20
145
75) Considere las siguientes proposiciones referentes a eventos al azar:
I. La probabilidad de que un paciente sea mujer o tenga gripe es .
II. La probabilidad de que un paciente sea hombre o tenga asma es de .
¿Cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
76) Al elegir al azar un paciente, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer y padezca asma?
A)
B)
C)
D)
Con base en la siguiente información responda las preguntas 77, 78 y 79:
El siguiente diagrama ilustra la cantidad de personas que asisten a una convención y los idiomas que hablan:
77) Si del total de asistentes se elige una persona al azar, entonces, la probabilidad de que esa persona
hable inglés y español, es:
A)
B)
C)
D)
0,94
0,72
0,30
0,44
0,52
0,58
0
1
3
1
5
8
15
146
78) Si del total de asistentes se elige una persona al azar, entonces, la probabilidad de que esa persona
hable dos de esos idiomas corresponde a:
A)
B)
C)
D)
79) Si del total de asistentes se elige una persona al azar, entonces, la probabilidad de que esa persona
hable sólo francés o solo español, corresponde a:
A)
B)
C)
D)
80) Considere un dado de caras, de modo que, cada una de ellas tiene impreso un número del uno al
seis (no se repite ningún número) y donde todas las caras tienen la misma probabilidad de
obtenerse.
Con base en la información anterior, considere las siguientes proposiciones:
I. Al lanzar una vez ese dado, la probabilidad de obtener un número menor que seis, es igual que la
probabilidad del complemento del evento "obtener el número seis".
II. Al lanzar una vez ese dado, la probabilidad de obtener un número par mayor que tres, es igual a
la suma de las probabilidades de obtener el cuatro, más la probabilidad de obtener el seis.
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
1
6
5
6
3
10
7
10
2
5
7
15
19
30
13
20
6
147
Considere el siguiente contexto para responder las preguntas 81, 82 y 83:
En una ciase de estadística hay hombres y mujeres. Solo cuatro hombres usan el cabello largo
(los demás lo usan corto), mientras que únicamente dos mujeres usan el cabello corto (las demás lo
usan largo).
81) Determine la probabilidad de que una persona elegida al azar sea un hombre o use el cabello corto.
A)
B)
C)
D)
82) Determine la probabilidad de que una persona elegida al azar sea una mujer con el cabello largo o un
hombre con el cabello corto.
A)
B)
C)
D)
83) Con base en el contexto dado, considere las siguientes proposiciones referidas a elegir una persona
al azar:
I. La probabilidad del evento "elegir un hombre o una mujer" es uno.
II. La probabilidad del evento "elegir un hombre con cabello largo" es cero.
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
12 18
1
3
7
15
11
15
1
18
2
5
3
5
4
5
7
9
148
84) Un estudio científico descubrió que la probabilidad de que una persona contraiga cierto virus al estar
en contacto con otra que lo padece es de . ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sana
que está en contacto con una que lo tiene, no se contagie?
A)
B)
C)
D)
Considere la siguiente información referente a los sabores preferidos de dulces de unos estudiantes para
responder las preguntas 85, 86 y 87:
85) Si del total de estudiantes se elige uno al azar, entonces, la probabilidad de que el dulce preferido no
sea solo de mora o solo de menta, es:
A)
B)
C)
D)
86) Si del total de estudiantes se elige uno al azar, entonces, la probabilidad de que el dulce preferido
sea de mora y coco, es:
A)
B)
C)
D)
0,35
0,00
0,35
0,65
1,00
1
9
5
9
7
45
8
45
0
1
1
3
2
9
149
87) Si del total de estudiantes se elige uno al azar, entonces, la probabilidad de que ese estudiante
prefiera dos de los tres tipos de dulce, es:
A)
B)
C)
D)
Considere la siguiente situación para responder las preguntas 88 y 89:
La biblioteca de una escuela realiza un inventario de sus libros, para ello revisa el estado de cada uno
y lo resume en la siguiente tabla:
Nivel
Estado del libro Sétimo Octavo
Excelente 20 17
Bueno 4 11
Regular 3 2
Total 27 30
Con base en la información anterior, la biblioteca recicla los libros en estado regular.
88) ¿Cuál es la probabilidad de que, del total de libros de sétimo, se seleccione al azar un libro y que
éste no sea enviado a reciclar?
A)
B)
C)
D)
1
3
2
3
1
9
5
9
7
9
8
9
1
15
14
15
150
89) ¿Cuál es la probabilidad que, del total de libros de octavo, se seleccione al azar un libro y que esté
en regular o buen estado?
A)
B)
C)
D)
90) Considere un dado con todas sus caras enumeradas del uno al seis, donde cada una de sus caras
tiene la misma probabilidad de obtenerse.
Con base en la información anterior, considere las siguientes proposiciones:
I. Al lanzar una vez el dado, la probabilidad de obtener un “número mayor que seis” es cero.
II. Al lanzar una vez el dado, la probabilidad de obtener un “número par”, es igual a la probabilidad
del complemento del evento “obtener un número impar”.
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
91) Un experimento consiste en sumar los números de la cara superior, de dos dados legales que son
lanzados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea par o la suma sea un número primo?
A)
B)
C)
D)
2
3
8
9
13
30
17
30
1
2
8
9
5
12
11
12
151
Considere el siguiente contexto para responder la pregunta 92:
Escoger un número
Considere el experimento de escoger un número natural del al . Sean los eventos:
A: El número escogido sea par.
B: El número escogido sea múltiplo de cinco.
92) De acuerdo con la información del contexto anterior, con certeza se cumple que:
A)
B)
C)
D)
Considere el siguiente contexto para responder la pregunta 93:
Lanzamiento de dos dados
Se lanzan al aire dos dados legales simultáneamente y se contabiliza la suma de los números de las caras
superiores. Cada dado esta enumerado del al .
93) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números sea ocho?
A)
B)
C)
D) 0,50
1 20
2,4,6,8,10,12,14,16,18,20A B
2,4,6,8,12,14,16,18A B
5,10,15,20A B
10,20A B
1 6
0,08
0,14
0,42
152
Considere la siguiente información para responder los ítems 94, 95 y 96:
Cantidad de estudiantes matriculados en los distintos niveles de un colegio
Nivel Hombres Mujeres
Sétimo 120 150
Octavo 90 120
Noveno 90 90
Décimo 150 120
Undécimo 60 90
TOTAL 510 570
94) Si se elige un estudiante al azar, entonces, ¿cuál es aproximadamente la probabilidad de que el
estudiante sea mujer?
A)
B)
C)
D)
95) Si se elige un estudiante al azar, entonces, ¿cuál es la probabilidad que el estudiante sea de sétimo
año?
R/
96) Si se elige un estudiante al azar, entonces, ¿cuál es aproximadamente la probabilidad de que el
estudiante sea un hombre de octavo año o una mujer de décimo?
A)
B)
C)
D)
0,14
0,47
0,53
0,89
0,03
0,19
0,39
0,80
153
97) Considere la siguiente situación:
Edgar y Diego son aficionados a jugar Tiempos de la Junta de Protección Social. En este tipo de juego,
el que acierte el número entre el y el en cada sorteo, se le pagará veces lo que pagó por el
número. La estrategia de Edgar es comprar todos los números terminados en cinco ( , , ,
etc.), mientras que la estrategia de Diego es comprar todos los números desde el hasta el .
De acuerdo con la información anterior, considere las siguientes proposiciones:
I. Entre Edgar y Diego es más probable que Diego acierte el número.
II. La probabilidad de que alguno de los dos, Edgar o Diego, acierte es .
De ellas, ¿cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
Considere la siguiente información para responder los ítems 98 y 99:
Distribución de una muestra de 400 estudiantes, según "Hábito de ejercicio físico" y "Rendimiento
académico"
Hábito de ejercicio
físico
Rendimiento Académico
Total Con calificaciones mayores o iguales
que 90
Con calificaciones menores
que 90
Hacen ejercicio 160 40 200
No hacen ejercicio 48 152 200
Total 208 192 400
98) Si se selecciona de esta muestra un estudiante en forma aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de que
no haga ejercicio y obtenga calificaciones mayores o iguales que ?
A)
B)
C)
D)
00 99 70
05 15 25
75 99
0,32
90
0,12
0,24
0,38
0,76
154
99) Considere las siguientes afirmaciones:
I. La probabilidad de ser un estudiante con calificaciones mayores o iguales que , es más de tres veces
mayor para los que hacen ejercicios que para los que no lo hacen.
II. La probabilidad entre los estudiantes que no hacen ejercicio, de ser un estudiante con calificaciones
mayores o iguales que es .
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
100) Considere la siguiente situación:
La siguiente figura representa una tómbola de un programa televisivo de concursos y cada cantidad
corresponde a un premio de dinero en efectivo en dólares. El participante hace girar la tómbola y gana
el premio de la casilla señalada por la flecha.
Todas las casillas tienen la misma probabilidad de ser seleccionadas.
De acuerdo con la información anterior, considere las siguientes proposiciones:
I. La probabilidad de ganar el premio de es aproximadamente .
II. Es más probable ganar el premio de que el de .
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
90
90 0,24
$2000 0,08
$500 $300
155
156
157
Undécimo
Funcion Raíz Cuadrada E Inversa
1) Si la función lineal está dada por , entonces la gráfica de la función inversa de es:
A)
B)
C)
D)
f 23
xf x
f
Tema 1 Relaciones y Algebra 11
158
2) Si es la función dada por , entonces, ¿cuál es la representación gráfica de la función
inversa de ?
A)
B)
C)
D)
f 13
2
xf x
f
159
3) Si es la función dada por , entonces el dominio de es:
A)
B)
C)
D)
4) Sea la función dada por . ¿Cuál punto pertenece a la representación gráfica de la
función inversa de ?
A)
B)
C)
D)
Considere la siguiente información para responder las preguntas 5 y 6:
Sea la función biyectiva ; con .
5) ¿Cuál es el dominio de la inversa de ?
A)
B)
C)
D)
6) ¿Cuál es el ámbito de la inversa de ?
A)
B)
C)
D)
f 2 3f x x f
, 2
, 2
2,
2,
f 7 3f x x
f
1,4
2,3
4,1
2, 3
: 1,f P ( ) 1 2f x x
f
0,
2,
2,
1,
f
1,
2,
,1
, 2
160
Considere la siguiente información para responder las preguntas 7 y 8:
Sea una función que posee inversa, tal que, ; con .
7) ¿Cuál es el dominio de la inversa de ?
A)
B)
C)
D)
8) ¿Cuál es el ámbito de la inversa de ?
A)
B)
C)
D)
9) Si es la función dada por , entonces la imagen de es:
A)
B)
C)
D)
Considere las siguientes gráficas de las funciones lineales y para responder las preguntas 10 y 11:
10) La intersección de la gráfica de con el eje de las abscisas corresponde a:
A)
B)
C)
D)
f : 2,f P 2 1f x x
f
0,
2,
2,
1,
f
1,
2,
, 1
, 2
f 2 3 4f x x 6
2
10
22
2 5
f g
f
0,0
3,0
2,0
3,0
161
11) Considere las siguientes proposiciones:
I. Un criterio para la función es .
II. La pendiente de la función es .
¿Cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II
12) Sea la función dada por , la gráfica de su función inversa corresponde a:
A)
B)
C)
D)
f 2
33
f x x
g 1
f 2
35
f x x
162
13) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función f y su representación gráfica tal que:
I.
II. La gráfica de “ ” interseca al eje “ ” en el punto
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
14) Considere las siguientes proposiciones referidas a las funciones y :
I.
II. La inversa de es .
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
5
3
xf x
1r x f x
1F
y
10,
3
1f x x 1g x x
g f x f g x
f g
163
Considere la siguiente información para responder las preguntas 15 y 16:
Sea una función que posee inversa, tal que, ; con
15) ¿Cuál es el dominio de la inversa de ?
A)
B)
C)
D)
16) ¿Cuál es el ámbito de la inversa de ?
A)
B)
C)
D)
17) Considere la siguiente gráfica referida a la función . De acuerdo con la información anterior, un
intervalo del dominio de , donde posee inversa,
corresponde a:
A)
B)
C)
D)
18) Considere la función biyectiva . De las siguientes funciones, ¿cuál corresponde a la
inversa de ?
A)
B)
C)
D)
f : 1,f P 1 2f x x
f
0,
1,
2,
1,
f
1,
2,
, 1
, 2
f
f f
4,0
2,3
4,3
2,0
2 5f x x
f
2 5a x x
2
5
xr x
5 2h x x
5
2
xg x
164
19) Si es una función que posee inversa, entonces, la gráfica de la inversa de “ ” interseca
al eje (ordenadas) en:
A)
B)
C)
D)
20) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función dada por y su gráfica:
I. El dominio de es .
II. Para , no está definida.
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Sola la II.
2f x x f
" "y
0,2
2,0
0, 2
2,0
f 2 1f x x
f 0,
3x f
165
Considere las siguientes gráficas de las funciones lineales y para responder las preguntas 21 y 22:
Gráficas de funciones
21) Considere las siguientes proposiciones:
I. El codominio de la función inversa de f es .
II. El dominio de la función inversa de es .
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
22) Considere las siguientes proposiciones:
I. El ámbito de la inversa de es .
II. La gráfica de la inversa de interseca al eje “ ” en el punto .
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
f g
f , 3
g 4,
g 0,
f y 0,5
166
23) Considere los datos de la gráfica de la función :
Un intervalo del dominio en donde posee inversa es:
A)
B)
C)
D)
Función Exponencial y logarítmica
1) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función dada por :
I. es decreciente.
II. El ámbito de es .
III. El punto pertenece al gráfico de
¿Cuáles de ellas son verdaderas?
A) Todas
B) Solo la I y la II
C) Solo la I y la III
D) Solo la II y la III
f
f
0,3
0,4
3,
4,
f 7
6
x
f x
f
f 0,
0,1 f
167
Valore la siguiente gráfica de una función exponencial de la forma , para responder las
preguntas 2 y 3:
2) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función :
I. El valor de “ ” es .
II. Si , entonces .
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
3) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función :
I. pertenece al gráfico de .
II. La gráfica de es decreciente.
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
f xf x a
f
a 2
0x 0 1f x
f
0,1 f
f
168
4) Considere la siguiente representación tabular de la función exponencial dada por :
0 1 2 3
1 4 16 64
De acuerdo con la información anterior, ¿cuál es el valor de ?
R/
5) Considere la función exponencial dada por información de la función . Con base en la
Información de la función , se puede afirmar que:
A) la gráfica de f es decreciente.
B) interseca al eje “ ” en .
C) interseca al eje “ ” en .
D) interseca al eje “ ” en .
Considere la siguiente gráfica de una función exponencial de la forma , para responder las
preguntas 6 y 7:
f xf x a
x
f x
6f
f 3
4
x
f x
f
x3
,04
y3
0,4
x 1,0
f xf x a
169
6) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función :
I. .
II. es un elemento del gráfico de .
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
7) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función :
I. pertenece al gráfico de .
II. Si , entonces, .
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
8) Considere la siguiente función exponencial y las siguientes proposiciones referidas a ella:
I. es un elemento del gráfico de .
II. La función “ ” es decreciente.
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
f
1a
3,8 f
f
0,1 f
0x 0 1f x
10
9
x
f x
1002,
81
f
f
170
9) Considere las siguientes proposiciones para una función exponencial “ ” definida por .
I. La gráfica “ ” es creciente.
II. La intersección de la gráfica de “ ” con el eje “ ” (ordenadas) es .
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
10) Considere la siguiente representación gráfica de la función logarítmica dada por :
De acuerdo con la información anterior, ¿cuál es el valor de ?
R/
11) Considere la siguiente tabla referente a una función :
1 0
3 1
9 2
27 3
f 3xf x
f
f y 0,1
f 2logf x x
" "n
f
x f x
171
De acuerdo con la información anterior, el criterio de corresponde a:
A)
B)
C)
D)
12) Considere las siguientes proposiciones, referidas a la gráfica de la función logarítmica dada por
:
I. .
II. es creciente.
¿Cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
13) Considere las siguientes proposiciones, referidas a la función , dada por , donde
es un elemento del gráfico de :
I.
II.
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
f
3xf x
3f x x
22f x x
3logf x x
f
logaf x x
0 1a
f
f logaf x x
9, 2 f
0 1a
27 3f
172
14) Considere las siguientes proposiciones, referidas a la función , dada por , donde
es un elemento del gráfico de :
I.
II.
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
15) Considere las siguientes proposiciones, referidas a la función , dada por , donde
es un elemento del gráfico de :
I.
II. es un elemento del gráfico de .
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
16) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función
logarítmica dada por y su gráfica:
I. El codominio de es .
II. La función es decreciente.
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II
f ( ) logaf x x 9, 2
f
0 1a
10
2f
f logaf x x 8,3
f
0 1a
2,1 f
f 7
logf x x
f
f
173
17) La solución de la ecuación es:
A)
B)
C)
D)
18) La expresión es equivalente a:
A)
B)
C)
D)
19) La expresión es equivalente a:
A)
B)
C)
D)
2 35 9x x
1
1,5
3log 9
2log 5 log 9
3log 9 2log 5
log 9
2log 8 log 0.5x x
8log 2
log 8x
log 16x
15log
2
x
2000 200 500log 2logm n m
1000
400log
m
n
1500
200log
m
n
3000 400log m n
1000 200log m n
174
20) Con base en las siguientes proposiciones referidas a la función exponencial dada por ,
con :
I. La inversa de está dada por .
II. La gráfica de interseca el eje de las abscisas (eje ) pero no interseca el eje de las ordenadas
(eje ).
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
21) La solución de la ecuación corresponde a:
A)
B)
C)
D)
22) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función exponencial con , dada por
:
I. La inversa de está dada por .
II. La gráfica de interseca el eje de las ordenadas (eje y) en .
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
f :f
2xf x
f –1
2logf x x
f x
y
13 5x
5log 4
3log 6
5log 3 1
3log 5 1
f :f
0,5x
f x
f 1
0,5logf x x
f 0,1
175
23) Considere la siguiente tabla referente a una función :
De acuerdo con la información anterior, el criterio de corresponde a:
A)
B)
C)
D)
24) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función logarítmica , con
:
I. pertenece al gráfico de .
II. La función inversa de es una función exponencial decreciente.
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
f
f
3xf x
3f x x
22f x x
3logf x x
:f
2
logf x x
8,16 f
f
1 0
3 1
9 2
27 3
x f x
176
Modelos
1) .Considere el siguiente enunciado:
El húmero es un hueso del brazo, que va desde el hombro hasta el codo. La altura " " en centímetros
de una persona masculina adulta, con un húmero de longitud " ", en centímetros, está dada por la
fórmula:
De acuerdo con los datos del enunciado anterior, la longitud del húmero de una persona masculina adulta se
puede calcular mediante la fórmula
A)
B)
C)
D)
Considere el siguiente enunciado para responder los ítems 2 y 3:
La función dada por , permite calcular la altura " ", en metros, que
alcanza un objeto en función del tiempo " ", en segundos, transcurrido desde su lanzamiento.
2) Desde su lanzamiento, ¿aproximadamente cuánto tiempo, en segundos, tarda el objeto en tocar el
suelo?
A)
B)
C)
D)
3) ¿Cuál es aproximadamente, la altura máxima, en metros, que alcanza el objeto?
A)
B)
C)
D)
L
x
2,89 70,64L x
24,44x L
67,75x L
0,35 24,44x L
0,35 70,64x L
h2
( ) 4,9 125 2 0,6h t t t h t
t
37,03
36,08
25,08
18,03
768,26
976,04
1594,99
1823,35
177
4) Considere el siguiente enunciado:
Mariana y Andrea coleccionan revistas. Mariana observó que, si le da una de sus revistas a Andrea,
ambas tendrían la misma cantidad y Andrea se dio cuenta que si le daba una revista a Mariana,
Mariana tendría el doble de revistas de las que a ella le quedarían.
De acuerdo con la información anterior, la cantidad de revistas que tienen entre las dos corresponde a:
A)
B)
C)
D)
5) Considere la siguiente situación:
Jessica redacta un mensaje de texto y un minuto después, lo envía a sus dos mejores amigos. Al
siguiente minuto, sus dos mejores amigos reenvían el mensaje a otras dos personas y estas a su vez
hacen lo mismo después de otro minuto. La cadena de envíos del mensaje continúa creciendo cada
minuto, cuando cada nuevo receptor del mensaje lo reenvía a otras dos personas.
De acuerdo con la información anterior, si " " es la cantidad de receptores del mensaje, después de " "
minutos a partir del instante en que Jessica redactó el mensaje, entonces una ecuación que modela la
situación anterior corresponde a:
A)
B)
C)
D)
6
7
12
13
y x
2xy
2y x
22y x
2logy x
178
Considere el siguiente enunciado para responder los ítems 6 y 7:
La función dada por , permite calcular la altura " ", en metros, que
alcanza un objeto en función del tiempo " ", en segundos, transcurrido desde su lanzamiento.
6) Desde su lanzamiento, ¿aproximadamente cuánto tiempo, en segundos, tarda el objeto en tocar el
suelo?
A)
B)
C)
D)
7) ¿Cuál es aproximadamente, la altura máxima, en metros, que alcanza el objeto?
A)
B)
C)
D)
8) El modelo de Bertalanffy establece que la longitud " ", en centímetros, después de " " años de
vida de un pez barracuda, esta modelada por . Si se utiliza el modelo de
Bertalanffy, la longitud aproximada, en centímetros, de una barracuda al término de 2 años es
aproximadamente:
A)
B)
C)
D)
h2
( ) 4,9 125 2 0,6h t t t h t
t
37,03
36,08
25,08
18,03
768,26
976,04
1594,99
1823,35
L t t
0,23198 197,1 tL t e
41,42
73,61
99,18
119,50
179
9) Considere el siguiente enunciado:
La fórmula de interés compuesto que permite obtener el capital " ", después de " " años de invertir
un capital inicial de , a un interés del y capitalizable continuamente, está dada por
.
De acuerdo con la información anterior, ¿cuántos años se requieren como mínimo, si se desea obtener un
capital superior a ?
A)
B)
C)
D)
10) Considere la siguiente representación gráfica de una función que corresponde a las ganancias
de una empresa, en millones de colones, por la fabricación y venta de " " unidades de un producto:
De acuerdo con la información anterior, el criterio de la función que mejor modelaría las ganancias de la
empresa corresponde a:
A) , con
B) , con y
C) , con
D) , con y
11) Considere la siguiente situación:
Luis es un vendedor de libros y recibe mensualmente un salario base de , más una
bonificación de por cada libro vendido.
De acuerdo con la información anterior, el mejor modelo para representar la relación entre el salario mensual
de Luis y la cantidad de libros que vende, corresponde a una función
A) Lineal.
B) Cuadrática.
C) Logarítmica.
D) Exponencial.
C t
¢500 000 8%
0,08500 000
tC e
¢800 000
5
6
7
8
f f x
x
f x ax b 0a
xf x a 0a 1a
2ax x cf x b 0a
logaf x x 0a 1a
¢400 000
¢8000
180
12) Considere la siguiente información:
En una actividad, el valor de entradas para adulto y para niño es y el valor de entradas
para adulto y para niño es . De acuerdo con la información anterior, si cada entrada para adulto
tiene el mismo valor y cada entrada para niño tiene el mismo valor, entonces el valor, en colones, de una
entrada para niño es:
A)
B)
C)
D)
13) Considere la siguiente información:
Una empresa, proveedora do servicio de telefonía móvil, ha determinado que cuando una noticia es de interés
popular, la cantidad “ ” de mensajes de texto enviados por los usuarios, a los " " minutos después de
dar a conocer la noticia, está dada por .
De acuerdo con la información anterior y tomando en cuenta que el valor mensaje de texto es ; ¿cuánto
dinero, en colones, recibe la empresa a minutos después de dar a conocer una noticia de interés popular?
A)
B)
C)
D)
10 9 ¢51 200 15
17 ¢83 100
1800
2633
2695
3300
m x x
4xm x
¢2,5
10
100
320
419 430
2 621 440
181
14) Considere la siguiente información:
En un estudio, sobre una población inicial de bacterias, se determina que la cantidad “ ” de
bacterias, a las " " horas después de haber iniciado ese estudio, está dada por .
De acuerdo con la información anterior, ¿cuántas horas deben transcurrir, después de iniciado ese estudio,
para que la población sea de bacterias?
A)
B)
C)
D)
15) El ingreso mensual " ", obtenido por vender " " unidades de un producto, está modelado por
. ¿Cuál es el ingreso mensual que se obtiene al vender unidades de ese producto?
A)
B)
C)
D)
16) Considere la siguiente información:
Un juego consiste en lanzar un balón hacia arriba. El balón sigue una trayectoria en la cual la altura que
alcanza cambia mientras transcurre el tiempo: el balón parte del suelo, se eleva hasta alcanzar una altura
máxima y finalmente cae hasta que vuelve a tocar el suelo,
tal y como se ilustra en la figura adjunta. De acuerdo con la
información anterior, si la fuerza de rozamiento del viento es
despreciable, entonces el modelo que mejor se ajusta para
describir la altura que alcanza el balón en función del
tiempo, corresponde a una función:
A) Lineal.
B) Cuadrática.
C) Logarítmica.
D) Exponencial.
600 f t
t 1
2600 3f t
1800
0,5
1,0
1,5
2,0
I x x
260 0,01I x x x 3000
5950
6050
90 000
179 940
182
17) Considere la siguiente información:
Una empresa de entrega de paquetes ofrece un servicio tipo y un servicio tipo , los cuales se cobran
con base en los kilómetros (pueden ser con decimales) que deba recorrer para realizar la entrega del paquete.
El comportamiento del cobro, por tipo de servicio, se muestra con algunos posibles recorridos, en las
siguientes tablas:
Servicio tipo A
Recorrido
(kilómetros)
0 5 10 15 20
Cobro
(colones)
0 50 100 150 200
Servicio tipo B
Recorrido
(kilómetros)
0 5 10 15 20
Cobro
(colones)
0 25 100 225 400
De acuerdo con la información anterior, considere las siguientes proposiciones:
I. El servicio tipo se adapta mejor a un modelo que corresponde a una función lineal.
II. El servicio tipo se adapta mejor a un modelo que corresponde a una función logarítmica.
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
18) Considere la siguiente información:
En una actividad, el valor de entradas para adulto y para niño es y el valor de entradas
para adulto y para niño es .
De acuerdo con la información anterior, si cada entrada para adulto tiene el mismo valor y cada entrada para
niño tiene el mismo valor, entonces el valor, en colones, de una entrada para niño es:
A)
B)
C) 2633
D)
A B
A
B
10 9 ¢51 200 15
17 ¢83 100
1800
2695 3300
183
19) Considere la siguiente información:
Una empresa, proveedora do servicio de telefonía móvil, ha determinado que cuando una noticia es de interés
popular, la cantidad “ ” de mensajes de texto enviados por los usuarios, a los " " minutos después de
dar a conocer la noticia, está dada por . De acuerdo con la información anterior y tomando en
cuenta que el valor mensaje de texto es ; ¿cuánto dinero, en colones, recibe la empresa a minutos
después de dar a conocer una noticia de interés popular?
A)
B)
C)
D)
20) Considere la siguiente información:
En un estudio, sobre una población inicial de bacterias, se determina que la cantidad “ ” de
bacterias, a las " " horas después de haber iniciado ese estudio, está dada por .
De acuerdo con la información anterior, ¿cuántas horas deben transcurrir, después de iniciado ese estudio,
para que la población sea de bacterias?
A)
B)
C)
D)
21) El ingreso mensual " ", obtenido por vender " " unidades de un producto, está modelado por
. ¿Cuál es el ingreso mensual que se obtiene al vender unidades de ese producto?
A)
B)
C)
D)
.
m x x
4xm x
¢2,5 10
100
320
419 430
2 621 440
600 f t
t 1
2600 3f t
1800
0,5
1,0
1,5
2,0
I x x
260 0,01I x x x 3000
5950
6050
90 000
179 940
184
22) Un grupo musical firmó un contrato para vender discos, donde su ingreso “ ” en colones, por
concepto de las ventas “ ”, en colones, corresponde a . ¿De cuánto debe ser la
venta para obtener un ingreso de ?
A)
B)
C)
D)
23) La altura “ ” en metros de un objeto está dada por , donde “ ” es el tiempo en
segundos. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el objeto?
A)
B)
C)
D)
24) Dos empleados de una misma empresa reciben sus salarios según la cantidad de años completos
laborados. El empleado recibe un salario base de y una bonificación por cada anualidad de
. El empleado recibe un salario base de y una bonificación por cada anualidad de
. ¿Cuántos años deben transcurrir para que ambos empleados ganen la misma cantidad de salario?
A)
B)
C)
D)
25) La relación entre el tiempo “ ”, en horas, y el crecimiento de una población “ ” de amebas, está dada
por donde “ ” es la población inicial de amebas. Si se observa una población inicial de
amebas, entonces, ¿cuántas amebas habrá en horas?
A)
B)
C)
D)
I x
x 5 750 000 0,08I x x
¢ 8 740 000
¢239 200
¢6 449 200
¢37 375 000
¢181125 000
h t 210 5h t t t t
1m
4m
5m
6m
A ¢500 000
¢10 000 B ¢600 000
¢5 000
10
12
20
22
t P
2logP
tk
k 6
8
48
96
384
1536
185
Considere la siguiente información para responder las preguntas 26 y 27:
Una agencia de publicidad contrata el servicio de telefonía a dos compañías diferentes. Los costos, en
colones, por minuto de consumo que ofrecen las dos compañías, dependen de la cantidad total de minutos
mensuales consumidos, según se muestran en la siguiente tabla:
Menos de 10 000 minutos de consumo
telefónico al mes
10 000 minutos o más de consumo
telefónico al mes
Empresa A Empresa B Empresa A Empresa B
Costo por minuto 5 8
26) En el mes de enero la agencia ha consumido minutos de llamadas en total, entre los dos servicios
contratados. Si por esta cantidad de minutos tuvo que pagar , entonces, ¿cuántos de esos minutos
corresponden a llamadas consumidas, si se utilizó el servicio de la empresa ?
A)
B)
C)
D)
27) En el mes de febrero el consumo telefónico fue de minutos por el servicio y de minutos
por el servicio . Por ese consumo la agencia tuvo que pagar . Si la suma de los costos por minuto
de los dos servicios contratados es ; entonces, ¿cuál fue el costo, en colones, por minuto de consumo
del servicio de la empresa en ese mes?
A)
B)
C)
D)
x y
9050
¢59 800
A
2150
3200
4200
5150
4400 A 5800
B ¢60 400
¢11,5
B
4
5
7
11
186
Considere la siguiente información para responder los ítems 28 y 29.
En el año , la cantidad de mamíferos de una especie en cierta región fue de individuos. Expertos
han determinado que a partir del año el crecimiento " ” de la población de estos mamíferos, se
puede determinar mediante el criterio ,donde " " es el tiempo en años que han transcurrido
desde el año .
28) ¿En cuál año la población fue de individuos?
A)
B)
C)
D)
29) ¿De cuántos individuos fue la población en el ?
A)
B)
C)
D)
30) Una vendedora recibe diariamente un salario " ”, el cual está compuesto por un monto fijo de
, más una comisión de por cada artículo vendido. Si “ ” representa la cantidad de artículos
vendidos por esa vendedora, entonces, ¿cuál es el criterio de la función que mejor se adapta como modelo
para calcular el salario recibido diariamente por esa vendedora?
A)
B)
C)
D)
2000 500
2000 f t
1
2500 3f t t
2000
1500
2001
2002
2003
2006
2012
1500
13 500
121 500
364 500
S x
¢9598 ¢525 x
525S x x
9598 525S x x
9598 525S x x
230 352 525S x x
187
31) Considere la siguiente información:
El ingreso por las ventas de cierto articulo depende de la cantidad de artículos que se venden. En la siguiente
tabla se muestran algunos ejemplos de la relación que se da entre la venta de cierta cantidad de ese artículo y
el ingreso, en colones, obtenido por esa venta:
Artículos
vendidos 1 2 3 4 5
Ingreso en
colones 600 1200 1800 2400 3000
De acuerdo con la información anterior, la función que mejor se adapta para describir el ingreso “ ”, en
colones, por la venta de “ ” cantidad de artículos, corresponde a una función cuyo criterio es:
A) , con .
B) , con .
C) , con .
D) , con .
32) Considere la siguiente información:
Un modelo que relaciona la temperatura “ ”, en grados Fahrenheit , en función del número de sonidos
que emite una especie de grillos es ; donde " " es el número de sonidos por minuto.
De acuerdo con la información anterior, considere las siguientes proposiciones:
I. El modelo presentado corresponde a una función lineal.
II. La temperatura, en grados Fahrenheit, en un lugar donde se contabilizan sonidos por minuto de un
grillo de esa especie, es .
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
I x
x
xI x a 1a
I x mx 0m
I x mx 0m
xI x a 0 1a
T F
0,21 40,4T N N
50
50,9 F
188
33) Considere la siguiente representación gráfica en la que aparece la secuencia del salto de un delfín:
De acuerdo con la información anterior, la función que mejor se adapta como modelo para describir la altura
con respecto al nivel del agua que alcanza el delfín en su salto, en función del tiempo, corresponde a la
función:
A) Lineal.
B) Cuadrática.
C) Logarítmica.
D) Exponencial.
Con base en la siguiente información, conteste las preguntas 34y 35:
La empresa Omega produce estuches para celulares. El costo de producir cada estuche es de y
cada uno de ellos se vende en .
34) Si en un mes Omega realiza una inversión de en la producción de estuches, entonces,
¿cuántos estuches se produjeron en ese mes?
A)
B)
C)
D)
35) Una función que modela el ingreso de la empresa en términos de la cantidad “ ” de estuches
vendidos corresponde a:
A)
B)
C)
D)
¢400
¢2000
¢4000000
2000
2400
8000
10000
I x x
400I x x
2000I x x
400 2000I x x
2000 400I x x
189
36) La función modela la trayectoria de un objeto lanzado hacia arriba desde el suelo,
donde “ ” es la altura en que se localiza el objeto a los “ ” segundos de haberse lanzado (suponga que el
roce del objeto con el aire es despreciable). ¿Cuántos segundos dura ese objeto desde su lanzamiento hasta
el momento que regresa al suelo?
A)
B)
C)
D)
Con base en la siguiente información, conteste las preguntas 37 y 38:
El recorrido máximo de una motocicleta por litro de combustible es . Además, el tanque tiene
una capacidad de litros y el precio de cada litro es de colones.
37) Si se llena el tanque de la motocicleta (una única vez), entonces, el máximo de kilómetros que se puede
recorrer en dicha motocicleta, corresponde a:
A)
B)
C)
D)
38) Una función que modela el costo " ", en colones, relacionado con los " " litros de combustibles que
consume la motocicleta, corresponde a:
A)
B)
C)
D)
220 – 5h t t t
h t t
2
4
5
15
36 km
10 579
132
136
219
360
l x x
36l x x
579l x x
36 10l x x
579 10l x x
190
39) El precio “ ” de cierto modelo de equipo tecnológico, en dólares , está dado por
, donde “ ” representa los años desde el momento en que el equipo salió al mercado.
Con base en la información anterior, considere las siguientes proposiciones:
I. El precio de un equipo nuevo es de .
II. Para que un equipo tenga un precio inferior a los deben transcurrir más de años de
haber salido al mercado.
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
40) Considere la siguiente información:
Se compraron kilogramos entre clavos y tornillos.
Cada kilogramo de clavos vale , el de tornillos y se pagó un total de .
¿Cuántos kilogramos de tornillos se compraron?
A)
B)
C)
D)
41) El rendimiento de una empresa está modelado por , donde “ ” representa la
cantidad de empleados contratados. ¿Cuántos empleados necesita contratar la empresa para que su
rendimiento sea el máximo?
A)
B)
C)
D)
P $
15 000 0,7t
P t t
$15000
$1200 8
5
¢400 ¢550 ¢2300
1,0
1,5
2,0
4,0
r x 2–2 1000r x x x x
100
250
500
1000
191
42) El precio " ” (en dólares ), de una propiedad está modelada por , donde
" " representa los años desde el momento de su adquisición. Con base en la información anterior, considere
las siguientes proposiciones:
I. El precio de adquisición de la propiedad fue de .
II. A los años exactos de haberse adquirido la propiedad el precio de esta es inferior a .
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
43) Considere la siguiente información:
Entre alimento para perros y alimento para gatos se compró kilogramos.
Cada kilogramo de alimento para perros cuesta , para gatos y se pagó un total de
en estos alimentos.
¿Cuántos kilogramos de alimento para perro se compró?
A)
B)
C)
D)
44) La altura “ ”, en metros, que alcanza un objeto lanzado hacia arriba (el roce con el aire es
despreciable) está dada por , donde “ ” es el tiempo en segundos. ¿Cuál es la altura
máxima, en metros, que alcanza el objeto?
A)
B)
C)
D)
P t $ 85 000 1,09t
P t
t
$92 650
5 $150 000
32
¢1800 ¢2100
¢61 200
12,00
20,00
29,14
34,00
h t
25 30h t t t t
25
30
35
45
192
45) El costo de producción mensual “ ", en dólares, de una fábrica de cañas para pescar está dado por
, donde " " representa la cantidad de cañas producidas . De acuerdo
con el enunciado anterior, considere las siguientes proposiciones:
I. El costo máximo mensual que enfrente la fábrica es de dólares.
II. Los costos de producción decrecen a partir de cañas de pescar producidas al mes.
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
46) Se determina que la ganancia “ ”, en colones, al producir “ ” cantidad de ciertos artículos en una
fábrica, está dada por . ¿Cuántos artículos deben producirse para obtener una ganancia de
?
A)
B)
C)
D)
47) En una fábrica el costo de producir cada par de zapatos es de . Asimismo se incurre en un costo
fijo de producción de diarios. Con base en la información anterior, un criterio que modela el costo
total “ ” de producción diaria, con “ ” representando los pares de zapatos confeccionados en un día es:
A)
B)
C)
D)
c x
22 1200c x x x x 0 600x
300
295
G x x
52 120G x x
¢3000
55
60
65
68
¢2000
¢100000
C x x
2000C x x
2000 100000C x x
2000 50000C x x
100000 2000C x x
193
48) Considere la siguiente información:
Miguel fue a una librería a comprar cuadernos cosidos y cuadernos de resortes. Al llegar a la
caja le dijeron que debía pagar . Como el dinero que llevaba no le alcanzó, compró
cuadernos cosidos y cuadernos de resortes, por lo que pagó .
Considere que los cuadernos poseen las mismas características, según el tipo de cuaderno (cosido
o resortes).
De acuerdo con la información anterior, ¿cuál fue el precio, en colones, de cada cuaderno cosido?
A)
B)
C)
D)
49) Considere la siguiente información y las proposiciones referidas a ella:
La campaña de reciclaje
Durante una campaña de reciclaje, el profesor guía de un grupo de estudiantes dividió al
grupo en dos subgrupos: un grupo , cuyos integrantes debían aportar latas vacías cada
uno, y un grupo , cuyos integrantes debían aportar latas vacías cada uno. Al finalizar la
campaña, entre los estudiantes recolectaron latas vacías.
I. Hay más estudiantes en el grupo que en el grupo .
II. Hay estudiantes en el grupo .
¿Cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
4 4
¢14500 3
5 ¢12000
103,51
1714,28
2500,00
3062,50
42
A 4
B 2
42 128
B A
22 A
194
50) La trayectoria de un balón lanzado hacia arriba está modelada por , donde “ ” es la
altura en metros que alcanza el balón a los “ ” segundos de haberse lanzado (suponga que el roce del aire es
despreciable). ¿Cuántos segundos tardó el balón en alcanzar la altura máxima?
A)
B)
C)
D)
51) Considere el siguiente contexto y las proposiciones referidas a él:
El Precio en el mercado
El precio en el mercado “ ” de un artículo escolar, en colones, está dado por
, donde “ ” representa al tiempo, en meses, después de salir al mercado.
I. El artículo escolar tiene un precio inicial de .
II. Al transcurrir un mes de salir al mercado, el valor del artículo baja .
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
Considere el siguiente contexto para responder las preguntas 52 y 53:
Tania toma una barra de chocolate y la divide en partes iguales. Luego toma esas partes iguales
y divide cada una de ellas en otras partes iguales y así sucesivamente.
52) ¿Cuántos cortes se necesitan para obtener un total de pedazos de chocolate?
A)
B)
C)
D)
215 4,9 h t t t h
t
1,53
3,06
5,74
11,48
P x
3250 0,9x
P x x
¢3250
¢325
2 2
2
16
3
4
8
12
195
53) Considere las siguientes proposiciones:
I. En la quinta división se obtiene un total de pedazos de chocolate.
II. Para obtener pedazos de chocolate hay que dividirlo seis veces.
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
54) Considere el siguiente contexto y las proposiciones referidas a él:
El precio “ ”, en dólares, de un artículo, luego de “ ” cantidad de años de haber sido lanzado al
mercado, está dado por .
I. El precio inicial del artículo es de dólares.
II. Para que el artículo tenga un precio inferior a la mitad del precio original deben transcurrir más
de años después de haber sido lanzado al mercado.
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas. C) Ninguna.
B) Solo la I. D) Solo laII
55) La escala Richter “ ” es usada para medir la magnitud de un terremoto, aplicando la fórmula ,
donde “ ” es la intensidad de un terremoto en decibeles. ¿Cuál es la intensidad, en julios, de un terremoto
que registró una magnitud de en la escala de Richter?
A)
B)
C)
D)
10
64
P x x
0,25512 2
xP x
1024
4
R logR E
E
6,9
69
10
6,9
6,9
10
110
196
56) Considere e\ siguiente contexto y las proposiciones referidas a él:
El crecimiento poblacional «f(x)» de cierto cultivo de bacterias está modelado por , en
donde “ ” representa el tiempo en horas.
I. Al transcurrir horas hay bacterias.
II. Existen bacterias al transcurrir horas.
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
57) Considere el siguiente contexto:
La tarifa en el primer kilómetro recorrido de un taxi de carga es de y por kilómetro
recorrido adicional.
¿Cuál es la función que modela el contexto anterior, donde “ ” representa los kilómetros y además ?
A)
B)
C)
D)
58) La función dada por modela la temperatura en grados Celsius a "x" metros de altura
sobre el nivel del mar. ¿Cuál es la temperatura a una altitud de metros sobre el nivel del mar?
A) C)
B) D)
30 4x
f x
x
4 7680
96 3
¢5000 ¢5750
x 1x
5750f x x
5000f x x
5750 5000f x x
5000 5750f x x
t 1
34100
t x x
3000
3 C 4 C
3 C 4 C
197
59) Considere la siguiente información:
Una ama de casa elabora pasteles para ¡a venta. El costo de producir cada uno de ellos es de y el
precio de venta de cada pastel es de . Si "x" es la cantidad de pasteles producidos y vendidos, y
es la ganancia, entonces, una función que modela la situación anterior corresponde a:
A)
B)
C)
D)
60) En un determinado estudio, se concluye que el crecimiento de un tipo de bacteria está modelado por
, donde " " es la cantidad de bacterias en millones a los "x" días de iniciado el estudio. Con
base en la información anterior, considere las siguientes proposiciones:
I. La población inicial es de un millón de bacterias.
II. A los dos días exactos de iniciado el estudio, la cantidad de esas bacterias se ha incrementado
en millones.
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
61) Considere la siguiente información sobre una atleta que entrenó en el mes de julio corriendo en playa o
en montaña (el día que corrió en playa no corrió en montaña):
En julio realizó entrenamientos en total, entre carreras en playa y en montaña.
Cada recorrido en playa es de , en montaña de y durante los entrenamientos del mes
de julio recorrió un total de .
¿Cuántos kilómetros de montaña corrió la atleta en el mes de julio?
A)
B)
C)
D)
¢125
¢625 g x
125g x x
500g x x
625g x x
625 125g x x
5xp x p x
25
14
3km 5km
58km
29
36
40
44
198
62) El costo " " en miles de dólares por producir "x" unidades de relojes finos está modelado por
¿Cuántos de esos relojes se deben producir para obtener el menor costo posible?
A)
B)
C)
D)
63) La ganancia " " de una empresa, en dólares, por producir "x" unidades de un cierto artículo está
modelada por . ¿Cuál es la máxima ganancia, en dólares, que puede obtener la
empresa?
A)
B)
C)
D)
64) Considere el siguiente contexto:
Una empresa dedicada a realizar instalaciones eléctricas elabora sus presupuestos “ ”, en dólares,
con base al modelo donde “ ” es el número de metros lineales de tendido
eléctrico por instalar.
Si para una tienda se presupuestan dólares, entonces, ¿cuántos metros lineales de tendido eléctrico se
contemplan para el trabajo?
A)
B)
C)
D)
65) Considere el siguiente contexto:
Una empresa adquiere una máquina selladora de bolsas, la cantidad de bolsas “ ”, que se sellan
está dada por , donde “ ” es el tiempo en minutos que utiliza la máquina.
¿Cuántos minutos se requieren para sellar bolsas?
A)
B)
C)
D)
C x
2 30 245C x x x
15
20
30
245
g x
23 1800g x x x
600
5 400
54 900
270 000
P
20 230P m m m
1350
56
79
117
298
B
75B m m m
1500
12
15
20
75
199
66) Considere el siguiente contexto:
El monto “ ” en colones que se debe pagar por viajar en taxi una distancia mayor a un kilómetro está
dada por , en donde “ ” representa la cantidad de kilómetros recorridos.
¿Cuál es el monto, en colones, al pagar por un viaje en taxi de ?
A)
B)
C)
D)
Considere el siguiente contexto para responder las preguntas 67 y 68:
La dueña de una soda define el precio de su platillo más vendido “ ” en colones cada uno. El
costo de producción de dicho platillo es de colones cada uno. La función ganancia “ ” está
dada por la función , donde representa la cantidad de platillos.
67) Si la ganancia del platillo “ ” es colones, entonces, ¿cuántos platillos se vendieron?
A)
B)
C)
D)
68) ¿Cuál es la ganancia, en colones, de vender platillos “ ”?
A)
B)
C)
D)
69) Considere el siguiente contexto:
Los costos de producción “ ” por producir “ ” cantidad de artículos en una empresa, están dados
por la función ; donde está en dólares.
¿Cuál es el costo en dólares, de producir artículos?
A)
B)
C)
D)
C
610 20C k k k
5km
3050
3070
3150
15 250
A 2500
1150 G
1350G x x " "x
A 21 600
9
16
19
22
60 A
69 000
81 000
150 000
219 000
C x
20,1 5 1000C x x x C
300
2500
3000
7500
8500
200
Considere el siguiente contexto para responder la pregunta 70:
Oleaje
Suponga que la velocidad “ ”, en , del viento que genera olas con una altura “ ”, en metros, está
dada por .
70) ¿Cuál es la altura, en metros, de las olas, si la velocidad del viento que las genera es de ?
A)
B)
C)
D)
Considere el siguiente contexto para responder la pregunta 71:
Relación volumen-temperatura
El volumen de varios gases se expande cuando la temperatura es alta y se contrae
cuando la temperatura es baja. Esta relación del volumen “ ” y la temperatura “ ”, es
una relación lineal . En el siguiente cuadro se presentan datos de esta relación:
Volumen del gas
(en centímetros cúbicos)
Temperatura
(en grados Celsius)
71) ¿Cuál es el volumen de un gas cuando este se encuentra a ?
A)
B)
C)
D)
V /km h h
31
5
hV h
12,4 /km h
2,00
4,00
21,83
24,80
v t
f t v
400 30
600 80
120 C
40
200
310
760
201
72) La señora Annette invirtió dólares en dos bancos. El banco paga una tasa de interés anual
del y la tasa de interés anual del banco es de . Si por año recibe dólares, entonces,
¿cuánto invirtió en el Banco ?
A)
B)
C)
D)
Considere el siguiente contexto para responder la pregunta 73:
Modelo matemático de crecimiento micro bacteriano
Las bacterias crecen siguiendo una progresión geométrica en la que el número de bacterias se duplica al cabo
de un tiempo determinado denominado “tiempo de generación”. De esta forma, es posible calcular el número
de bacterias “ ”, al cabo de un número de generaciones « » usando el modelo siguiente: ,
donde representa el número de células en el momento inicial.
73) ¿Cuál sería el número de células en el momento inicial, si tenemos bacterias para la quinta
generación?
A)
B)
C)
D)
80 000 A
9% B 10,5% 7 530
A
22 000
33 000
47 000
58 000
N n 0 2nN N
0N
8000
250
800
16 000
256 000
202
203
Considere la siguiente información para responder los ítems 1, 2 y 3:
Resultados en un periodo de un grupo de undécimo año
Asignatura Media aritmética (Promedio) Desviación estándar
Matemáticas 78,3 7,4
Estudios sociales 85,4 8,0
Español 92,1 8,3
Educación Cívica 94,5 8,6
Lucía es una estudiante del grupo y obtuvo en ese periodo las siguientes calificaciones: en
Matemáticas; en Estudios Sociales; en Español y en Educación Cívica.
1. La asignatura que presentó menor variabilidad relativa corresponde a:
A) Español.
B) Matemáticas.
C) Educación Cívica.
D) Estudios Sociales.
2. Lucía obtuvo mayor rendimiento relativo en la asignatura de:
A) Español.
B) Matemáticas.
C) Educación Cívica.
D) Estudios Sociales.
3. Lucía obtuvo menor rendimiento relativo en la asignatura de:
A) Español.
B) Matemáticas.
C) Educación Cívica.
D) Estudios Sociales.
85,2
87,8 92,0 94,5
Tema 2 Estadistica de 11
204
Considere la siguiente información para responder los ítems 4, 5 y 6:
Datos relacionados con el tiempo, en minutos, que tarda una empresa en la
fabricación, por unidad, de cada producto
Producto Media aritmética (Promedio) Desviación estándar
J 10 4
K 25 5
L 50 9
M 60 10
4. ¿Cuál de los productos presenta mayor variabilidad relativa en el tiempo de fabricación?
A)
B)
C)
D)
5. ¿Cuál de los productos presenta menor variabilidad relativa en el tiempo de fabricación?
A)
B)
C)
D)
6. ¿Cuál es el coeficiente de variación en el tiempo de fabricación de una unidad del producto ?
A)
B)
C)
D)
J
K
L
M
J
K
L
M
K
16,67
18,00
20,00
40,00
205
7. Considere los datos de la siguiente tabla que corresponden a medidas de posición de las estaturas,
en centímetros, de un determinado grupo:
Mínimo
Cuartiles
Máximo
160 165 172 180 188
De acuerdo con la información anterior, considere las siguientes proposiciones:
I. La mayor diferencia de las estaturas es de .
II. El recorrido intercuartílico de las estaturas es de .
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
8. Considere la siguiente información:
Precio, en dólares, por galón de combustible en seis países de América Central al 12 de setiembre del
2016
País Diésel Gasolina Regular Gasolina Súper
A 2,36 2,77 2,90
B 2,28 2,79 2,99
C 2,72 3,23 3,45
D 2,83 3,41 3,49
E 3,00 3,67 3,84
F 2,25 2,65 2,73
Fuente: Adaptado de http://www.centralamericadata.com
1Q 2Q 3Q
28cm
15cm
206
De acuerdo con la información anterior, considere las siguientes proposiciones:
I. La mayor diferencia de los precios de la gasolina regular es más baja que la mayor diferencia de
los precios de la gasolina súper.
II. El precio, en dólares, por galón del diésel en el país es mayor que el promedio de los precios, en
dólares, del diésel en esos seis países de América Central.
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
9. Considere la siguiente información:
Se aplica una misma prueba de diagnóstico en cuatro liceos rurales , , y . La prueba fue aplicada
a una muestra aleatoria de estudiantes en cada liceo y la calificaciones obtenidas por los estudiantes se
muestran en la siguiente tabla:
Liceos rurales Calificaciones obtenidas por los estudiantes
66, 82, 94, 50, 42, 75, 83, 58, 60, 88
40, 46, 52, 52, 59, 61, 67, 68, 74, 95
82, 33, 42, 96, 75, 45, 52, 62, 68, 54
97, 84, 81, 76, 72, 68, 65, 52, 50, 50
De acuerdo con la información anterior, el recorrido de los datos es mayor en el liceo rural:
A)
B)
C)
D)
$0,27
C
J K L M
10
J
K
L
M
J
K
L
M
207
Considere la siguiente información para responder los ítems 10 y 11:
El siguiente diagrama de cajas representa los datos de un estudio acerca del tiempo, en horas, que emplean
los estudiantes de dos grupos y para prepararse antes de una prueba:
10. Considere las siguientes proposiciones:
I. El valor de la mediana de los datos del grupo es mayor que el valor de la mediana de los datos del
grupo .
II. El recorrido intercuartílico de los datos del grupo es mayor que el recorrido intercuartílico de los datos
del grupo .
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
11. Considere las siguientes proposiciones:
I. El recorrido intercuartílico de los datos del grupo es .
II. En el grupo existe al menos un estudiante que invirtió más de cuatro horas para prepararse antes de
la prueba.
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
A B
A
B
A
B
A 1,5
B
208
Considere la siguiente información para responder a los ítems 12 y 13.
La siguiente tabla muestra información relacionada con las calificaciones por asignatura de los estudiantes de
una escuela:
Asignatura Media aritmética Desviación estándar
Matemáticas 65 10
Español 80 5
Estudios Sociales 75 11
Ciencias 78 11
I.José, un estudiante de esa escuela, obtuvo las siguientes calificaciones:
en Matemáticas, en Español, en Estudios Sociales y en Ciencias.
II.Sofía, una estudiante de esa escuela, obtuvo las siguientes calificaciones:
en Matemáticas, en Español, en Estudios Sociales y en Ciencias.
12. Considere las siguientes proposiciones:
I. En Matemáticas el coeficiente de variación es aproximadamente .
II. Las calificaciones en Estudios Sociales, de todos los estudiantes de esa escuela, presentan menor
variabilidad relativa que sus calificaciones en Ciencias.
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la Il.
13. Considere las siguientes proposiciones:
I. En Estudios Sociales lo posición relativa de Sofía es
II. A, considerar las calificaciones de José en las cuatro asignaturas, él obtuvo mejor posición relativa en
Matemáticas.
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
70 81 80 82
95 65 75 85
15,38
75
209
Considere la siguiente información para responder las preguntas 14 y 15:
Las Calderas
Las calderas de una planta de energía de vapor de alta presión tuvieron las siguientes eficiencias en
porcentajes:
90,3 91,6 90,9 90,4 90,3 91,0 87,9 89,4
14. ¿Cuál es aproximadamente la variancia de las eficiencias, en porcentajes, de las calderas?
A)
B)
C)
D)
15. ¿Cuál es el recorrido de las eficiencias, en porcentajes, de las calderas?
A)
B)
C)
D)
Considere el siguiente contexto y responda las siguientes dos preguntas:
La masa media de los niños de una clase es de y su desviación estándar es . La masa
media de las niñas de esa clase es y su desviación estándar es .
16. ¿Cuál es aproximadamente el coeficiente de variación de la masa media de los niños y el de las
niñas, respectivamente?
A) y
B) y
C) y
D) y
1,13
1,24
1,30
1,31
0,90
3,70
90,23
90,35
58,2 kg 3,1 kg
52,3 kg 5,2 kg
5,3% 9,9%
0,53% 0,99%
18,77% 10,08%
55,10% 47,20%
210
17. Considere las siguientes proposiciones:
I. La masa de los niños posee mayor variabilidad que la masa de las niñas.
II. La masa promedio de los niños es mayor que la masa promedio de las niñas.
¿Cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
18. Considere la información referida a la comparación de la distribución de las edades, de los
integrantes de dos grupos de personas cada uno, que están representadas en el siguiente
diagrama:
I. Las edades comprendidas entre el y el
de la población representada en la caja “ ”
están más dispersas que las edades comprendidas
entre el y el de la población representada
en la caja “ ”.
II. El recorrido intercuartílico de a de la
población representada en la caja “ ” es de
años.
¿Cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
20
25%
50% a
25% 50%
b
1Q 3Q
a 12
211
Considere la siguiente información para responder los Ítems 19 y 20: El siguiente diagrama de cajas
representa información de un estudio acerca de la edad, en años, de los profesores de dos colegios:
19. Considere las siguientes proposiciones:
I. En ambos colegios al menos un de sus profesores tienen años o más.
II. El recorrido intercuartílico de las edades de los profesores del colegio es mayor que el de los
profesores del colegio .
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
20. Considere las siguientes proposiciones:
I. Un de los profesores del colegio tiene años o más.
II. Ente los profesores de ambos colegios, el de menor edad es del colegio .
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
50% 30
A
B
25% A 41
B
212
21. Considere la siguiente tabla que muestra información relacionada con las edades, en años, de
estudiantes de undécimo año de dos colegios:
Dato Colegio A Colegio B
Mínimo 14 17
Cuartil 1 15 20
Mediana 16 25
Cuartil 3 17 28
Máximo 19 32
Considere las siguientes proposiciones:
I. El recorrido de las edades de los estudiantes de undécimo año en el colegio es años.
II. El recorrido intercuartílico de las edades de los estudiantes de undécimo año en el colegio es
años.
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
22. Considere la siguiente información:
De una investigación realizada desde el año hasta el año , sobre la estatura promedio obtenida
año a año de las personas de países, se extraen los siguientes datos:
Estatura promedio, en centímetros, de hombres en cuatro países de América
Estatura promedio Costa Rica México Panamá Cuba
Mínimo 157,7 156,7 157,0 159,9
Máximo 168,9 169,0 168,5 172,0
Adaptado de: http://www.bbc.com/mundo
De acuerdo con la información anterior, ¿en cuál país el recorrido de la estatura promedio de los hombres fue
mayor?
A) Cuba.
B) México.
C) Panamá.
D) Costa Rica.
A 2
B 8
1896 1995
200
213
Considere la siguiente información para responder los Ítems 23 y 24:
La siguiente tabla muestra datos relacionados con un estudio sobre las puntuaciones obtenidas por los
estudiantes quienes ocuparon los primeros lugares en las Olimpiadas Internacionales de Matemática, en
julio , julio y julio :
Año Media aritmética Desviación estándar
2014 82,68 5,93
2015 76,28 8,03
2016 69,82 7,84
Un estudiante de Rusia obtuvo puntos en la Olimpiada Internacional de Matemática del .
Un estudiante de Israel obtuvo puntos en la Olimpiada Internacional de Matemática del .
Un estudiante de Costa Rica obtuvo puntos en la Olimpiada Internacional de Matemática del .
23. Considere las siguientes proposiciones:
I. En los datos sobre las puntuaciones obtenidas por los estudiantes quienes ocuparon los primeros
lugares en la Olimpiada Internacional de Matemática del , el coeficiente de variación es
aproximadamente .
II. El coeficiente de variación de las puntuaciones de los estudiantes quienes ocuparon los primeros
lugares de la Olimpiada Internacional de Matemática del es menor que el coeficiente de variación
de las puntuaciones de los estudiantes quienes ocuparon los primeros lugares de la Olimpiada
Internacional de Matemática del .
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
20
2014 2015 2016
76 2014
68 2015
62 2016
20
2014
7,17
20
2016 0,19
20
2015
214
24. Considere las siguientes proposiciones:
I. En los datos sobre las puntuaciones obtenidas por los estudiantes quienes ocuparon los primeros
lugares en la Olimpiada Internacional de Matemática del , la posición relativa del estudiante de Israel fue
aproximadamente .
II. Si consideramos la puntuación del estudiante de Costa Rica y la puntuación del estudiante de Rusia, con
respecto a los estudiantes quienes ocuparon los primeros lugares en sus respectivas Olimpiadas,
entonces el estudiante de Costa Rica fue el que obtuvo la mejor posición relativa.
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
Considere el siguiente contexto para responder las preguntas 25 y 26:
A continuación se muestran las temperaturas máximas en grados Celsius, para doce días del mes de enero
del año en la ciudad de San José:
Temperatura máxima.
25. Considere las siguientes proposiciones referidas a la información anterior:
I. Al determinar el segundo cuartil se observa que un del total de las temperaturas se ubican
entre (inclusive) y (inclusive).
II.Al determinar el primer cuartil se observa que un del total de las temperaturas se ubican entre
(inclusive) y (inclusive).
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
20
2015
0,5
20
2016
24 26 26 27 27 27
28 29 29 30 30 31
50%
28 C 31 C
25%
24 C 26 C
215
26. Considere las siguientes proposiciones referidas a la información anterior:
I. El recorrido de los datos es de .
II. El cuarto cuartil contiene al dato que representa la máxima temperatura .
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
27. Considere la siguiente información referida a la distribución de los puntajes en el campeonato de
fútbol de primera división de Costa Rica en los torneos. Invierno y Verano :
Con base en la información anterior, considere las
siguientes proposiciones:
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
5 C
31 C
2015 2016
I. La diferencia de puntaje entre el
equipo que obtuvo mayor cantidad de
puntos y el que obtuvo menos puntos, es
mayor en el verano que en el invierno
.
II. Si el equipo descendido fue el que
acumuló menos puntos sumando los dos
torneos, entonces, este sumó entre los dos
torneos menos de puntos.
2016
2015
32
216
Considere el siguiente contexto para responder las preguntas 28 y 29:
Una planta envasadora de salsa de tomate utiliza los envases tipo y . Un estudio sobre los
llenados muestran los siguientes resultados:
En los envases tipo , la cantidad promedio de llenado es de onza y la desviación estándar
de onzas.
En los envases tipo , la cantidad promedio de llenado es de onzas y la desviación estándar
de onzas.
28. Con base en la información anterior, considere las siguientes proposiciones:
I. La cantidad promedio de salsa de tomate es mayor en los envases tipo que en los envases
tipo .
II. Las cantidades de salsa de tomate de los envases tipo , en términos absolutos, son más
variables que las cantidades de salsas de tomate de los envases tipo .
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
29. Con base en la información del contexto anterior, considere las siguientes proposiciones:
I. Las diferencias de los coeficientes de variación de las cantidades de salsa de tomate entre los
dos tipos de envases es de .
II. Considerando los coeficientes de variaciones, se tiene que en términos relativos hay mayor
variabilidad con las cantidades de salsa de tomate contenidos en los envases tipo que las
presentes en los envases tipo .
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II
A B
A 1
0,08
B 16
1,04
B
A
B
A
5,5
A
B
217
Considere el siguiente contexto para responder las preguntas 30 y 31:
La siguiente tabla muestra las edades, en años cumplidos, de las jugadoras de una selección de
voleibol durante un campeonato mundial para menores de años. Además, tenga en cuenta que los
campeonatos se realizan cada dos años en el mismo mes:
Edad 12 12 12 14 14 14 15 15 15 16 16 16
30. La diferencia, en años cumplidos, entre la jugadora de mayor edad y la de menor edad, corresponde
a:
A)
B)
C)
D)
31. Considere las siguientes proposiciones referidas al contexto dado:
I. Al determinar la mediana se observa que un del total de las jugadoras tendrán edad para
participar en el próximo campeonato mundial femenino de voleibol para menores de años.
II. Al determinar el primer cuartil se observa que un del total de las jugadoras tendrán edad
para participar en los dos próximos campeonatos mundiales femeninos de voleibol para menores de
años.
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
17
2
3
4
5
50%
17
25%
17
218
32. Considere la siguiente información, referida a la distribución de las edades cumplidas en años de dos
grupos de personas:
Edades de dos grupos de personas
Con base en la información anterior, considere las siguientes proposiciones:
I. La menor edad registrada es de años en ambos grupos de personas.
II. Al menos hay dos personas en el grupo , tal que, una es mayor años que la otra.
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
Considere el siguiente contexto para responder las preguntas 33 y 34:
En una competencia de halterofilia (levantamiento de pesas) se analizan las categorías de
kilogramos en la rama femenina y los kilogramos en la masculina (considere que los dos grupos
tienen la misma cantidad de participantes). Entre ellos, tenemos a José quien levantó y Ana
quien levantó . Asimismo, se sabe que:
La media aritmética (promedio) de los levantamientos fue de en los varones y la
desviación estándar de .
La media aritmética (promedio) de los levantamientos fue de en las damas y la desviación
estándar de .
17
B 10
63
62
280 kg
180 kg
274 kg
20 kg
170 kg
14 kg
219
33. La diferencia entre los coeficientes de variación de los levantamientos de pesas del grupo de las
mujeres y del grupo de los varones, corresponde a:
A)
B)
C)
D)
34. Con base en ¡a información del contexto anterior, considere las siguientes proposiciones:
I. La posición relativa de Ana en su respectiva categoría es .
II. Dadas las cantidades de kilogramos levantados por Ana y José, en términos relativos, ella quedó
mejor posicionada que él en sus respectivas categorías.
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
35. Considere el siguiente contexto y las proposiciones referida a él:
La masa corporal promedio de los varones de una clase es ; con una desviación estándar de
. La masa corporal promedio de las mujeres de la misma clase es de con una
desviación estándar de .
I. Hay mayor dispersión en las masas corporales de las mujeres.
II. La variancia de las masas corporales de los varones es de .
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
0,94%
1,43%
1,55%
1,61%
10
57,3 kg
2,5 kg 53,2 kg
3,7 kg
6,25 kg
220
36. Considere el siguiente contexto y las proposiciones referidas a él:
Los profesores de Educación Física de un colegio, necesitan determinar la cantidad de horas que sus
estudiantes dedican a la práctica de un deporte por semana. Los resultados obtenidos de la muestra
de un grupo de estudiantes de la clase, son los siguientes:
I. Entre el estudiante que practica más deporte y el que menos practica
deporte hay una diferencia de horas.
II. Las horas que dedican los estudiantes a la práctica de un deporte se
dispersan del promedio (media aritmética) en horas.
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
37. Considere la siguiente información referida a la distribución de horas dedicadas a ver televisión,
por semana, en los jóvenes de una comunidad urbana y los jóvenes de una comunidad rural:
Considere las siguientes proposiciones:
I. El mínimo de horas que los jóvenes de
la comunidad urbana dedican a ver
televisión es de horas.
II. El recorrido de las horas que dedican
los jóvenes de la comunidad rural, es
menor que el recorrido de las horas que
dedican los jóvenes de la comunidad
urbana.
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
9
3,89
h
10
ESTUDIANTES HORAS
Juan 13
María 4
Carlos 9
Luisa 11
Pedro 8
Karla 15
PROMEDIO 10
VARIANCIA 15,2
221
38. Considere el siguiente contexto:
A continuación se muestran los tiempos (en minutos) de los primeros cinco atletas en llegar a la meta en una
carrera de , tanto en la categoría masculina como femenina:
Atleta A B C D E Promedio Desviación estándar
Masculino 33,53 34,43 35,16 35,20 35,24 34,73 0,66
Femenino 45,73 45,98 46,70 46,77 47,43 46,58 0,70
Considere las siguientes afirmaciones referidas a la información anterior:
I. Los tiempos de los primeros atletas masculinos tienen menor variabilidad relativa que los
primeros cinco tiempos de las atletas femeninas.
II. La posición relativa del tiempo del atleta masculino en llegar a la meta, es superior que la
posición relativa del tiempo de la atleta femenina en llegar a la meta en sus respectivas categorías.
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
39. Considere el siguiente contexto y las proposiciones referidas a él:
Las variaciones de masa
En un colegio se hizo un estudio sobre la masa, en kilogramos, de los estudiantes de tres grupos
diferentes. A continuación se muestra la información de los tres grupos, así como la masa de un
representante de cada grupo.
Grupo Representante Masa (kg) Desviación estándar Media aritmética
1 Horacio 85 10 80
2 Javier 75 8 68
3 Minor 80 7 70
I. En el grupo de Horacio son más variables las masas que las del grupo de Minor.
II. En el grupo de Javier son menos variables las masas que las del grupo de Horacio.
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
10 km
D
D
222
223
Considere la siguiente representación gráfica para responder a los ítems 1 y 2.
1) Considere las siguientes proposiciones:
I. El punto 3, 5 es homólogo con R con respecto al "eje x".
II. El ABCD y el QRPT presentan simetría axial con respecto al "eje y".
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
2) Con respecto al "eje x", MT es homólogo con:
A) DC
B) PT
C) PR
D) RQ
Tema 3 Geometría
224
3) Considere la siguiente figura, la cual corresponde a un rectángulo:
¿Cuántos ejes de simetría se pueden trazar en total en el polígono anterior?
R/
4) Consideré la siguiente información:
La figura A se obtiene de la figura P a partir de una transformación en el plano, mientras que la figura B
se obtiene de la figura P a partir de otra transformación en el plano.
Cada representa un cuadrado de lado una
unidad.
De acuerdo con la información anterior, las
figuras A y B corresponden respectivamente,
a transformaciones en el plano denominadas:
A) Traslación y reflexión.
B) Rotación y homotecia.
C) Homotecia y reflexión.
D) Traslación y rotación.
225
5) Considere la siguiente representación gráfica:
De acuerdo con la información anterior, si al ABC se le
aplica una reflexión respecto a la recta 2x , entonces la
imagen de C corresponde al punto:
A) 4,1
B) 3,4
C) 1,0
D) 1,4
6) Considere la siguiente figura referente al polígono ABCDE , al que se le aplicó una homotecia de centro
F y razón de homotecia 3k :
De acuerdo con la información anterior, ¿cuál
es la medida de TS ?
A) 24
B) 30
C) 33
D) 25
7) Considere la siguiente figura, referente a un cono circular recto cortado por un plano oblicuo con
respecto a la base y sin cortarla:
De acuerdo con la información anterior, la intersección del plano con el cono
corresponde a una sección plana denominada:
A) Elipse.
B) Parábola.
C) Hipérbola.
D) Circunferencia
226
8) Considere la siguiente figura en la que e es el eje de simetría del ABC y del DFE , y 'e es el eje de
simetría del DEF y del GIH :
De acuerdo con los datos de la figura anterior, considere las siguientes proposiciones:
I. A es homólogo con F , con respecto al eje de simetría.
II. DE es homólogo con GI , con respecto al eje de simetría.
¿Cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
9) Considere el siguiente contexto:
El canal de agua
Daniel tiene que salir de su casa ( R ), llenar un recipiente de agua
y llevarlo a casa de sus abuelos ( A ), como se muestra en la
figura. Tome en cuenta que el canal es el eje de simetría, R y 'R
son puntos homólogos.
De acuerdo con el contexto anterior El canal de agua, ¿cuál es el camino más corto que puede recorrer
Daniel?
A) El que va de R hasta C .
B) El que va de 'R hasta A .
C) El que va de R hasta C y de C hasta A .
D) El que va de R hasta 'R y de 'R hasta C y de C hasta A .
227
10) Considere la siguiente figura:
De acuerdo con los datos de
la figura, el cuadrilátero
EFGH con respecto al
cuadrilátero ABCD
representa una homotecia de
razón:
A) 2k
B) 6k
C) 1
2k
D) 1
3k
11) Considere la siguiente figura:
De acuerdo con los datos de la figura, ¿cuál transformación
representa el ' ' 'A B C con respecto al ABC ?
A) Rotación.
B) Traslación.
C) Homotecia.
D) Reflexión con respecto al eje y .
228
12) Considere la siguiente figura:
Si al ABC se le aplica una traslación de vector 3,4z ,
entonces, ¿cuáles serían las coordenadas de los nuevos
vértices para el ' ' 'A B C después de la traslación?
A) ' 8,2 ; ' 3,4 ; ' 7,6A B C
B) ' 2,8 ; ' 4,3 ; ' 6,7A B C
C) ' 5,12 ; ' 7,7 ; ' 9,11A B C
D) ' 11,6 ; ' 6,8 ; ' 10,10A B C
Considere la siguiente figura, referente a dos polígonos que presentan simetría axial con respecto a la recta "
h ", para responder los ítems 13 y 14:
13) El ángulo homólogo con MNO , con respecto a la recta " h " es:
A) GHI
B) HGF
C) EFG
D) FED
229
14) Considere las siguientes proposiciones:
I. La imagen de H , con respecto a la recta " h ", es N .
II. El segmento homólogo con JR , con respecto a la recta " h ", es AI .
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
15) Considere la siguiente figura, la cual corresponde a un pentágono regular:
¿Cuántos ejes de simetría se pueden trazar en total en el polígono anterior?
R/
16) Considere la siguiente representación gráfica:
Si al polígono AFBCDE se le aplica una traslación de 5 unidades hacia la derecha (horizontalmente) para
obtener el polígono ' ' ' ' ' 'A F B C D E , entonces el punto 'F corresponde a:
A) 1,1
B) 2,3
C) 3,1
D) 4,3
230
17) Considere la siguiente representación gráfica:
Al rectángulo ABCD se le aplica una homotecia con centro en 0,1 y
razón de homotecia 3k y se obtiene el rectángulo ' ' ' 'A B C D .
De acuerdo con la información anterior, ¿cuál es el área del rectángulo
' ' ' 'A B C D ?
A) 6
B) 18
C) 30
D) 54
18) Al aplicarle una reflexión a un triángulo de vértices 1,2A , 2,3B y 1,1C ,con respecto al "eje x", se
obtiene el ' ' 'A B C . ¿Cuál es la representación gráfica del ' ' 'A B C ?
A)
B)
C)
D)
231
19) Considere la siguiente información:
En una ebanistería se fabrican piezas decorativas, a partir de cortes planos, que se realizan a conos circulares
rectos de madera, como se muestran en las siguientes figuras:
En la figura A el corte no es paralelo a la base del cono y en la figura B el corte es paralelo a la generatriz
del cono y corta la base. De acuerdo con la información anterior, considere las siguientes proposiciones:
I. La sección plana que se obtiene al realizar el corte de la figura A corresponde a una elipse.
II. La sección plana que se obtiene al realizar el corte de la figura B corresponde a una parábola,
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
232
20) Considere las siguientes figuras que corresponden a las dos partes obtenidas de un cono, después de
realizarle un corte plano paralelo a la base:
De acuerdo con la información anterior, ¿cuál es la medida de la altura " m ”?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 8
Con base en la siguiente información conteste las preguntas 21 y 22:
La siguiente figura muestra el cuadrilátero ABCD , donde la recta l es el eje de simetría de la figura:
21) Considere las siguientes proposiciones:
I. ABC es congruente con ADC .
II. La preimagen de A es C .
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
233
22) Considere las siguientes proposiciones:
I. B es homólogo de D .
II. AB es homólogo a AD .
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
23) Si se transforma el triángulo ABC cuyos vértices son 1,1A , 1,3B y 2,2C , mediante una
homotecia centrada en el origen de coordenadas y de razón 2K . Entonces, ¿cuáles son las
coordenadas del vértice homólogo de 1,1A ?
A) 2, 2
B) 2,2
C) 4, 4
D) 2, 6
Con base en la siguiente información, conteste las preguntas 24 y 25:
24) Al realizarle una reflexión a ABC a
través del eje de las abscisas (eje x ), las
coordenadas de uno de los nuevos vértices, son:
A) 2, 3
B) 3,3
C) 1,3
D) 2, 1
234
25) Se realiza la traslación de ABC paralelo al eje de las abscisas (eje x ), en 5 unidades hacia la
izquierda. ¿Cuáles son las coordenadas de uno de los nuevos vértices?
A) 3, 3
B) 4, 1
C) 3,2
D) 4,1
Con base en la siguiente información referida a un
cono circular recto, conteste las preguntas 26 y 27:
26) ¿Cuál es la medida de la altura del cono?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
27) ¿Cuál punto representa el vértice del cono?
A) T
B) R
C) Q
D) P
235
Con base en la siguiente información conteste las preguntas 28 y 29:
La siguiente figura muestra el cuadrilátero BCEF , donde la recta l es el eje de simetría de la figura:
28) Considere las siguientes proposiciones:
I. B es homólogo con E .
II. BF es homólogo con AD .
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
29) Considere las siguientes proposiciones:
I. A es homólogo con C .
II. Los cuadriláteros ABCD y AFED son congruente entre sí.
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
30) Si se transforma el triángulo ABC cuyos vértices son 2,1A , 2,5B y 1,1C , mediante una
homotecia centrada en el origen de coordenadas y de razón 3K , entonces, ¿cuáles son las
coordenadas del vértice homólogo con B ?
A) 6,3
B) 6,15
C) 3, 3
D) 6, 15
236
Con base en la siguiente información, conteste las preguntas 31 y 32:
31) Al realizarle una reflexión a RPQ a través del eje
de las abscisas (eje x), las coordenadas de uno de
los nuevos vértices, son
A) 4, 2
B) 4,2
C) 2, 4
D) 4, 2
32) Se realiza la traslación de RPQ paralelo al eje de
las abscisas (eje x), en 2 unidades hacia la derecha. ¿Cuáles son las coordenadas de uno de los
nuevos vértices?
A) 0, 4
B) 2,1
C) 3, 2
D) 4, 2
Con base en la información que se indica en la figura siguiente, referida a un cono circular recto, conteste las
preguntas 33 y 34:
33) ¿Cuál segmento representa la altura del cono?
A) DE
B) BC
C) AC
D) BD
34) La sección plana que resulta de la intersección del cono que
contiene a los puntos G , H y E corresponde a:
A) Elipse.
B) Parábola.
C) Hipérbola.
D) Circunferencia.
237
Considere los datos de la siguiente figura, donde la recta l corresponde al eje de simetría de dicha figura,
para contestar las preguntas 35 y 36:
35) Dos segmentos homólogos entre sí corresponden a:
A) AM y NP
B) RV y AM
C) NP y BC
D) BC y PR
36) Dos puntos homólogos entre sí corresponden a:
A) P y B
B) R y C
C) N y R
D) V y C
Considere los datos de la siguiente figura para responder las preguntas 37 y 38:
37) Considere las siguientes proposiciones:
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
I. El ABC es simétrico al QRP con respecto al eje “
y ”.
II. Si el YZX es simétrico al QRP con respecto al eje
“ x ”, entonces, las coordenadas del punto homólogo de
Z corresponden a 3,5 .
238
38) Considere la recta l como eje de simetría y las siguientes proposiciones:
I. AB y RQ son segmentos homólogos.
II. Las coordenadas del punto homólogo al punto B son 3, 5 .
De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
39) A continuación se presenta la imagen de la superficie de un cono circular recto:
O : centro de
la
circunferencia
de la base
A : centro
del plano
¿Cuál es el nombre de la sección plana que se obtiene al realizar un corte entre un plano y la superficie
cónica, si el corte es oblicuo a la base (sin cortarla) como lo ilustra la figura anterior?
A) Elipse.
B) Parábola.
C) Hipérbola.
D) Circunferencia.
239
Considere los datos de la siguiente figura que representa una homotecia de triángulo ABC desde M , para
responder las preguntas 40 y 41:
40) ¿Cuál es la razón de proporcionalidad “ k del
ABC con respecto al ' ' 'A B C ?
A) 2k
B) 1
2k
C) 2k
D) 1
2k
41) Con base en la información de la transformación del triángulo ABC , se puede afirmar que:
A) 'B es imagen de B .
B) 'A es imagen de C .
C) 'C es homólogo a A .
D) 'B es homólogo a B .
42) Considere los datos de la siguiente figura que representa una homotecia del ABC con respecto al
punto N :
¿Cuál es la razón de proporcionalidad “ k ” del ' ' 'A B C ' con respecto al ABC ?
A) 2
B) 1
2
C) 2
D) 1
2
240
43) Considere la información de la siguiente figura que representa una transformación del cuadrilátero
ABCD con respecto al punto E :
¿Cuál es la transformación que corresponde al cuadrilátero ABCD ?
A) Rotación.
B) Reflexión.
C) Traslación.
D) Homotecia.
44) De acuerdo con los datos de la figura adjunta, ¿cuál es el nombre que recibe la transformación del
triángulo ABC , dada en la imagen con respecto a eje “ x
”?
A) Rotación.
B) Reflexión.
C) Traslación.
D) Homotecia
45) Si la superficie de un cono circular recto se corta con un plano perpendicular al plano de la base, sin
pasar por el vértice del cono, y se obtiene una sección plana con el corte, entonces, ¿qué nombre recibe
esta sección plana?
A) Elipse.
B) Parábola.
C) Hipérbola.
D) Circunferencia.
241
Considere el siguiente contexto para responder las preguntas 46 y 47:
Sombra para lámparas
Al construir una sombra de cartón para una lámpara, primero se diseña un cono circular recto con
cartón y posteriormente se le hace un corte paralelo a la base, dándole así la altura deseada a la
sombra.
46) Andrea quiere elaborar una sombra de cartón, para una lámpara, que tenga 27cm de altura. Para ello
hizo un cono circular recto de 45cm de altura y 9cm de radio en su base. ¿Cuál es la medida, en
centímetros, del radio de la circunferencia producto del corte que se realizó?
A) 3,6
B) 7,2
C) 10,8
D) 12,0
47) Si se tiene un cono circular recto de cartón con una altura de 48cm , para elaborar una sombra para una
lámpara, en la que la medida de los diámetros de sus circunferencias sean 12cm y 16cm
respectivamente, entonces, ¿cuál es la altura, en centímetros, de la sombra?
A) 12
B) 18
C) 36
D) 64
242
Considere el siguiente contexto para responder las preguntas 48 y 49:
La siguiente representación gráfica ¡lustra la superficie de un cono circular recto que fue cortado por un plano
paralelo a la base del cono:
PR : radio de la circunferencia obtenida por el corte.
OQ : radio de la base.
48) Si 6OQ , 3OP y 2PR , entonces, ¿cuál era la altura del cono antes de ser cortado?
A) 4,00
B) 4,50
C) 9,00
D) 12,00
49) Si la medida de la altura del cono circular recto antes de ser cortado era de 18 , 8OP y 12OQ ,
entonces la medida del diámetro de la circunferencia obtenida producto del corte es:
A) 24
B) 30
C) 32
3
D) 40
3
243
50) Considere los datos, de la superficie de un cono circular recto, al cual se I realiza un corte con un plano
paralelo a la base:
C : Centro de la circunferencia obtenida por el corte.
F : Centro de la circunferencia de la base.
3BC
20AF
¿Cuál es aproximadamente la medida del radio de la base del cono si 12CF ?
A) 5,0
B) 7,5
C) 10,0
D) 15,0
51) A continuación se presenta la imagen de la superficie de un cono circular recto. ¿Cuál es el nombre de la
sección plana que se obtiene al realizar un corte oblicuo con respecto a la base del cono y paralelo a la
generatriz (sin pasar por el vértice) y la superficie cónica como lo ilustra la figura anterior?
A) Elipse.
B) Parábola.
C) Hipérbola.
D) Circunferencia
244
Con base en la siguiente información conteste las preguntas 52 y 53:
La siguiente figura muestra el cuadrilátero BDCA , donde la recta l es el eje de simetría de la figura:
52) Considere las siguientes proposiciones:
I. ABD es congruente con ACD .
II. A es homólogo con D .
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
53) Considere las siguientes proposiciones:
I. B es homólogo con C .
II. AB es homólogo con AD .
¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas?
A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I
D) Solo la II
54) Si se transforma el triángulo ABC cuyos vértices son 0,0A , 0,2B y 1,1C , mediante una
homotecia centrada en el origen de coordenadas y de razón 3K , entonces, ¿cuáles son las
coordenadas del vértice homólogo con 1,1C ?
A) 3,3
B) 3,6
C) 3,3
D) 3, 3
245
Con base en la siguiente información, conteste las
preguntas 55 y 56:
55) Al realizarle una reflexión a ABC a través del
eje de las ordenadas (eje y), las coordenadas de la
imagen de " A " corresponden a:
A) 1,1
B) 3,1
C) 2,3
D) 3,1
56) Se realiza la traslación de ABC paralelo al eje de las ordenadas (eje y), en 5 unidades hacia abajo.
¿Cuáles son las coordenadas de uno de los nuevos vértices?
A) 1,1
B) 3, 4
C) 3,2
D) 1, 4
57) Considere la siguiente ilustración, donde la figura de la izquierda es producto de una traslación de la
figura de la derecha. La imagen de A corresponde al punto:
A) 1,1
B) 2,0
C) 3,3
D) 4,2
246
58) Considere la siguiente ilustración de un polígono. El perímetro del polígono anterior es:
A) 24
B) 48
C) 64
D) 128
59) Considere la siguiente ilustración, donde la Figura 2 es producto de una transformación en el plano de la
Figura 1. ¿Cuál es el nombre que recibe
la transformación dada en la ilustración
anterior?
A) Rotación
B) Reflexión
C) Traslación
D) Homotecia
Considere la siguiente información para responder las preguntas 60 y 61:
60) ¿Cuál es el vértice homólogo con F ?
A) B
B) C
C) E
D) H
61) AB es homólogo con:
A) GJ
B) ED
C) CD
D) AF
247
62) ¿Cuál es el nombre que recibe la
transformación dada en la ilustración?
A) Rotación
B) Reflexión
C) Traslación
D) Homotecia
Considere la siguiente figura referida a un cono circular recto, para contestar las preguntas 63 y 64:
63) ¿Cuál segmento representa la altura del cono?
A) AB
B) BC
C) MB
D) MA
64) ¿Cuál punto representa el vértice del cono?
A) B
B) M
C) A
D) C
248
65) Considere la siguiente representación gráfica referente a dos polígonos que son simétricos con respecto
al "eje y". De acuerdo con los datos de la representación gráfica anterior, ¿cuál es el punto homólogo de
A ?
A) ' 5,2A
B) ' 2,5A
C) ' 2, 5A
D) ' 2, 5A
66) Considere las siguientes letras:
¿En cuál de ellas se puede trazar un eje de simetría?
A) F
B) J
C) K
D) M
67) Considere la siguiente representación gráfica:
¿Cuántos ejes de simetría se pueden trazar en total en la figura destacada con gris?
R/
249
68) Considere la siguiente imagen referente a una homotecia de centro O y razón de homotecia 2k :
De acuerdo con la información anterior, ¿cuál es la medida de ' 'D E ?
A) 11
B) 22
C) 33
D) 44
Considere la siguiente información para responder los ítems 69 y 70:
En la siguiente imagen se presentan cinco polígonos denotados con las letras , , , y A B C D P . Los polígonos
, , y A B C D se obtienen de la figura P mediante transformaciones en el plano.
69) Para P , la figura C corresponde a una:
A) Rotación.
B) Reflexión.
C) Traslación.
D) Homotecia.
250
70) ¿Cuál de las figuras corresponde a una homotecia de P ?
A) A
B) B
C) C
D) D
71) Considere las siguientes figuras que representan la intersección entre conos y planos:
De acuerdo con las figuras anteriores, las intersecciones determinan las secciones planas denominadas
A) I. elipse, II. hipérbola y III. parábola.
B) I. elipse, II. parábola y III. hipérbola.
C) I. circunferencia, II. elipse y III. parábola.
D) I. circunferencia, II. hipérbola y III. parábola.
72) Considere las siguientes figuras que corresponden a las partes de un cono después de realizarle un
corte paralelo a la base. De acuerdo con los datos de las figuras anteriores, ¿cuál es la medida en
h "? centímetros de "
A) 20
B) 16
C) 12
D) 10
251
Resumen
252
253
254
255
GUÍA DE EXAMEN DE MATEMÁTICA BACHILLERATO
CIRCULO Y CIRCUNFERENCIA
Ecuación canónica de la circunferencia de un círculo, de radio r y centro C(a, b).
(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2
Ecuación general de la circunferencia
𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
De donde se cumple que:
El centro es: 𝐶 = (−𝐴
2,−𝐵
2)
El radio es: 𝑟 = √𝐴2
4+
𝐵2
4− 𝐶
Si la circunferencia tiene centro en el origen (𝟎, 𝟎)
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2
Posición relativa de puntos con respecto a la circunferencia:
Punto interior si: distancia radio
Punto que pertenece a la circunferencia si: distancia = radio
Punto exterior si: distancia radio
1- Meter el valor de la recta “y” en la ecuación de la circunferencia y resolver operaciones
para que quede una ecuación cuadrática: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 (no viene la fórmula)
2- Calcular con lo anterior el discriminante: ∆= 𝑏2 − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 (no viene la fórmula)
3- Verificar la posición relativa entre una recta y la circunferencia:
si ∆ > 0 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒
Si ∆ = 0 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑒𝑠 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 Si ∆ < 0 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
256
(Las rectas paralelas tienen igual pendiente: m=m y las rectas perpendiculares tienen las
pendientes invertidas y con diferente signo)
Fórmula del Punto Medio de un segmento: (No viene la fórmula)
Traslación de la circunferencia: Lo que cambia es el punto del centro, la medida del radio se
conserva.
POLIGONOS REGULARES
Polígonos Regulares: Todos los lados congruentes y todos
los ángulos congruentes.
257
Fórmulas a utilizar:
-Ley de senos (no viene la fórmula): (se puede acomodar la fracción y usar shift calc 2 =)
Perímetro: Suma de los
lados
Áreas (superficie) de las
figuras geométricas:
Fórmulas que vienen en el examen:
Suma de las medidas de los ángulos internos
Medida del ángulo interno
Medida del ángulo central
Medida del ángulo externo
Número de diagonales
Área de polígonos regulares
Fórmula de Herón (para sacar el área de un triángulo si solo se tiene la medida de los 3
lados
Para áreas de Polígonos No regulares en el plano
cartesiano: Trazar triángulos rectángulos o figuras
geométricas conocidas (cuadrados, rectángulos). Para
triángulos usar 𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
2 y sumar todas las áreas.
258
TRANSFORMACIONNES EN EL PLANO: simetría axial (reflexión), traslación,
rotación y homotecia.
Simetría de reflexión: Puntos simétricos en el plano
respecto a un eje de simetría determinado:
- Si el eje de simetría es el eje “x” o eje de las abscisas, entonces:
Punto original (preimagen) (x, y) tiene su simétrico u homólogo en
(x, -y) (la “x”se conserva igual y se cambia el signo de la “y”.
- Si el eje de simetría es el eje “y” o eje de las ordenadas, entonces:
Punto original (preimagen) (x, y) tiene su simétrico u homólogo en (-x, y) (la “y”se
conserva igual y se cambia el signo de la “x”.
- Si el eje de simetría es la recta y=x, entonces:
Punto original (x, y) tiene su simétrico u homólogo (imagen) en (y, x) (se invierte el par
ordenado).
- Si el eje de simetría es la recta y=-x, entonces:
Punto original (x, y) tiene su simétrico u homólogo (imagen) en (-y, -x) (se invierte el par
ordenado y se cambia el signo de los dos).
- Características: La figura NO cambia de tamaño pero si su dirección.
Rotación: Ángulos positivos (en contra del reloj)
(no viene formulas)
Ángulos negativos (a favor de las manecillas del reloj (anti-horario): usar fórmulas
anteriores pero para -90° se usa la de 270° y para -270° se usa la de 90° las otras
van igual.
Traslación: La figura no cambia de tamaño no si dirección
A(x, y) + �⃗� (𝑥, 𝑦) = 𝐴′(𝑥, 𝑦)
(no viene fórmula)
A’(x, y) – A(x, y) = 𝑣 (𝑥, 𝑦)
259
Homotecia: La figura se amplía o se disminuye
Fórmula para encontrar K:
260
261
Esfera, Cilindro y Cono Fórmulas a usar: Pitágoras (formar un triángulo
rectángulo) Esfera:
Área de la esfera: 4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟2 (viene la fórmula)
Cilindro:
- Secciones planas del cilindro:
(No importa donde sea el corte siempre
se forma un círculo)
Simbología:
r1: radio de la esfera
r2: radio del círculo del corte
262
Cono:
Fórmulas:
Área de basal: 𝝅𝒓𝟐 Área lateral: 𝝅 ∙ 𝒓 ∙ 𝒈
Área total: 𝝅𝒓(𝒓 + 𝒈) (esta viene en el examen) que es lo mismo que:
Área total: 𝝅𝒓𝟐 + 𝝅𝒓𝒈
FUNCIONES -Conjuntos numéricos (3 preguntas):
ℕ = {0,1,2,3,4… } conjunto de los números naturales
D = {𝑎
10𝑛 , 𝑛 ∈ ℕ 𝑦 𝑎 ∈ ℤ} conjunto de los números decimales
ℤ = {…− 4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Conjunto de los números enteros
ℤ− = {…− 4,−3,−2,−1} 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠
ℤ+ = {1, 2, 3, 4… } 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠
ℚ = {𝑎
𝑏 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, 𝑏 ≠ 0}
263
= 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 (𝑠𝑜𝑛 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠
y los que están en forma de fracción: expansión decimal finita y expansión decimal infinita
periódica).
Ι = 𝐸𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠: 𝑒, 𝜋, 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 𝑁𝑂 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎𝑠.
ℝ = ]−∞,+∞[ = 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 ℝ− =] − ∞, 0[ ℝ+ =]0,+∞[ Intervalos reales:
Unión e intersección de conjuntos:
264
- Funciones: Nota:
- En los números reales no existe la división entre 0. - En una raíz cuadrada no puede quedar un resultado negativo a dentro de la raíz.
7- DOMINIO (preimagen): Son las “x”. Son los valores que voy a cambiar en la “x” de la ecuación
para obtener el ámbito (imágenes). Si me lo dan el dominio lo sustituyo en la ecuación y obtengo
el ámbito. Si me dan el ámbito lo sustituyo en “y” uso SHIFT CAL y encuentro el dominio.
8- Si es en una gráfica que me piden el dominio: Se lee de izquierda a derecha solo con valores del
eje “X”. Las flechas ganan. Si la gráfica tiene una flecha la respuesta lleva un infinito. FLECHA QUE
APUNTA A LA IZQUERDA SIGNIFICA −∞. SI LA FLECHA APUNTA HACIA LA DERECHA SIGNIFICA ∞ +
9- AMBITO: Son los resultados “y”. Son los valores o resultado que se obtiene de sustituir el
dominio en la “x”.
Si es en una gráfica que me piden el ámbito: Se lee de abajo hacia arriba solo con valores del eje
“Y”. Las flechas ganan. Si la gráfica tiene una flecha la respuesta lleva un infinito. FLECHA QUE
APUNTA HACIA ABAJO SIGNIFICA −∞. FLECHA QUE APUNTO HACIA ARRIBA SIGNIFICA ∞ +
9- f(x) : SE CAMBIA POR “y”, lo de adentro o sea la “x” se cambia por “x”
10- En cualquier función cuando me piden la intersección con el eje “X” sustituyo en la ecuación la
“y” por 0 y despejo con SHIF CAL queda: (#, 0)
En cualquier función cuando me piden la intersección con el eje “Y” sustituyo en la ecuación la “x”
por 0 y despejo con SHIF CAL queda: (0, #)
11- CRECIENTE O DECRECIENTE DE UNA FUNCIÓN: Se lee de izquierda a derecha solo con valores
de eje “X”. Corchetes van abiertos porque son pedazos de la gráfica y cierran donde termina la
gráfica si no tiene flechas.
12- Cuando me dan números con paréntesis redondo (x, y) son pares ordenados. Si medan
números en corchetes [𝑥, 𝑥[ [𝑦, 𝑦[ son solo “x” ó solo “y”. si medan números entre llaves,
también son de la misma especie.
FUNCIÓN LINEAL:
265
OTRAS COSAS IMPORTANTES:
1- La función lineal siembre la debo ordenar de la forma y=mx+b si esta desordenada.
2- SI es una GRÁFICA saco PARES ORDENADOS (X, Y) y uso MODE 51. EN LA B PONGO UN 1, LA “x”
ES LA PENDIENTE “m” Y LA “Y” ES LA “b”.SI LA GRÁFICA CORTA A LOS EJES LA RELACIÓN ES CON 0.
SI HAY LINEAS -----DISCONTIUAS LA RELACIÓN ES NÚMERO A NÚMERO.
FUNCIÓN LINEAL FUNCIÓN LINEAL
CRECIENTE (“M”POSITIVA) DECRECIENTE (“M”NEGATIVA)
FUNCIÓN LINEAL CONSTANTE
(“M”=0) ECUACIÓN f(x)=# ó y=#
3- Para despejar la “b” b=y-mx
La “b” es el corte con el eje “Y”, o sea es donde toca la línea al eje “y”. El corte con eje “Y” es (0, b)
El corte con eje “X” es (−𝑏
𝑚, 0)
4- El los problemas: distinguir que le dan la “x” o la “y” y qué le piden. Se puede usar SHIFT CAL 2=.
SI le dan CUATRO DATOS SON PARES ORDENADOS HAY QUE USAR MODE 51.
POR EJEMPLO: -Al momento de salir al mercado una lavadora cuesta 200000 y después de tres
años cuesta la mitad: los pares ordenados son (0, 2000000) (3, 100000)
-Una fábrica sin producir ningún artículo tiene gastos fijos de 16000 y produciendo 50 artículos
tiene gastos de producción de 135000: los pares ordenados son (0, 16000) (50, 135000)
SE QUE ME DAN LOS PARES ORDENADOS PORQUE ME PIDEN LA ECUACIÓN.
5- Si me piden en PUNTO DE INTERSECCIÓN ENTRE DOS RECTAS: Igualo las rectas y uso SHIfT CAL,
por ejemplo y=2x+5 y=-5x -4
266
Entonces 2x+5=-5x-4 SHIFT CAL 7
6- Si me dan f(-2)=5 esto también es un par ordenado (-2,5)
7- Rectas paralelas ll: Son dos rectas lineales que tienen la misma pendiente, o sea el mismo valor
a la par de “x”, pero diferente “b”. m=m
8- Rectas perpendiculares: Se le da vuelta a la pendiente y se le cambia el signo.
FUNCIÓN CUADRÁTICA:
A- Para sacar el CRECIENTE O DECRECIENTE (monotonía): 1- Se dibuja la concavidad.
2- Se calcula −𝑏
2∙𝑎
3- Se lee de izquierda a derecha. “a”: positiva B- Para sacar el ÁMBITO: 1- Se dibuja la concavidad. “a” negativa
2- Se calcula −∆
4∙𝑎
3- Se lee de de abajo hacia arriba. C- En los problemas:
1- Leer bien el problema.
267
2- Distinguir quién es la “X” y quien es la “Y” cuál le piden.
3- Solo hay que calcular −𝑏
2∙𝑎 ó
−∆
4∙𝑎 depende de si piden “x” o “y”.
Nota: siempre trate hacer el dibujo de la gráfica no con todos los valores solo es para tener una
idea de cómo está la función.
FUNCIÓN INYECTIVA, CODOMINIO=ÁMBITO Y FUNCIÓN INVERSA:
1- INYECTIVA: Se le conoce como función UNO A UNO. Dos números que meta en la ecuación NO
pueden dar el mismo resultado.
Por ejemplo: En la cuadrática solo es inyectiva si se parte la función de ]-∞, -b/2a[ o ]-b/2a, +∞[
2- SOBREYECTIVA: El codominio igual que el ámbito.
Por ejemplo: Si me dan una cuadrática nada más calculo el ámbito con −∆
4∙𝑎 y veo si es igual al
codominio que me dan.
Si me dan una función lineal: sustituyo los valores del intervalo del domino (Primer intervalo) en
las “x” y veo si es igual al codominio que me dan. Si la función es lineal y definida de R en R es
inyectiva y sobreyectiva.
3- BIYECTIVA: Es cuando la función es inyectiva y sobreyectiva a la vez. Toda función que tiene
inversa es biyectiva, como las lineal, exponencial y logarítmica.
268
4- FUNCIÓN INVERSA: Se llama función inversa de f(x) a otra función que se denota por f-1(x) y
que cumple con la siguiente condición:
Si f(a)=b entonces f-1(b)=a.
a) Hay que recordar que en la inversa se invierte la “x” por la “y” porque todo es al revés de la
función original. Por ejemplo si me dan pares ordenados cambio les doy vuelta para sacar la
ecuación de la inversa y uso MODE 51.
b) En las gráficas si me dan el dominio de la función original busco la ecuación que tenga como
ámbito el intervalo del dominio que me dieron, hay que acordarse se descartan las que parecen
gráficas de cuadráticas completas.
c) Hay que acordarse de que el la inversa cuando es función lineal si la pendiente en la original es
positiva en la inversa también es positiva.
d) Para el criterio de la inversa se cambia f(x) por y en la ecuación y se despeja x utilizando
operaciones inversa
FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARITMICA.
NOTA: Recuerda siempre hacer el bosquejo (dibujo) de la gráfica: esto te ayudará a ubicarte en la
pregunta. HAY QUE APRENDERSE COMO VA LA GRÁFICA DEPENDE DE LA “a”
269
En las ecuaciones exponenciales usa SHIFT CAL 33, o usa sustitución si se pega la calcu
NOTA: Recuerda siempre hacer el bosquejo (dibujo) de la gráfica: esto te ayudará a ubicarte en la pregunta. HAY QUE APRENDERSE COMO VA LA GRÁFICA DEPENDE DE LA “a” En las ecuaciones logarítmicas usa SHIFT CAL 2=, o usa sustitución si se pega la calculadora. En todas las funciones se usa los mismos conceptos de imagen, preimagen, dominio, ámbito y símbolos de siempre.
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD: - Estadística:
Medidas de posición
Media aritmética o promedio: �̅� =𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒕𝒐𝒅𝒐𝒔 𝒍𝒐𝒔 𝒅𝒂𝒕𝒐𝒔
𝒄𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒅𝒂𝒕𝒐𝒔
Media ponderada o promedio ponderado: (cuando es en una tabla con porcentajes)
270
Mediana:
Moda: dato que más se repite o el de mayor frecuencia
Mínimo: Dato de menor valor Máximo: Dato de mayor valor Cuartiles:
Posiciones de los cuartiles4
Nkk xQ donde k=número del cuartil que se quiera y N=número de
datos
Medidas de variabilidad (dispersión) absolutas
Recorrido (rango): Max – Min
Recorrido intercuartílico: Cuartil 3 – Cuartil 1
Varianza y desviación estándar: Poner mode 31, meter los valores y dar AC, luego shift 1 5 3 = (lo
primero que da es la desviación estándar, si lo elevo a la 2 da la varianza)
Medidas de variabilidad (dispersión) relativa
Mide la variabilidad
Mide la posición respecto a
la población
271
PROBABILIDAD
272
Respuestas de los ejercicios propuestos
Décimo año
Geometría analítica
Ítem Respuesta Ítem Respuesta Ítem Respuesta
1 D 26 C 51 A
2 B 27 D 52 A
3 C 28 B 53 A
4 C 29 C 54 C
5 8 30 A 55 A
6 D 31 D 56 C
7 D 32 D 57 B
8 C 33 A 58 B
9 D 34 C 59 C
10 B 35 C 60 D
11 D 36 A 61 C
12 D 37 A 62 D
13 D 38 A 63 A
14 C 39 B 64 D
15 A 40 D 65 D
16 B 41 B 66 D
17 B 42 C 67 D
18 A 43 D 68 D
19 A 44 A 69 C
20 C 45 A 70 90
273
Ítem Respuesta Ítem Respuesta Ítem Respuesta
21 41 46 C 71 B
22 D 47 C 72 D
23 C 48 D 73 B
24 C 49 A
25 C 50 C
Polígonos
Ítem Respuesta Ítem Respuesta Ítem Respuesta
1 B 18 B 35 C
2 C 19 A 36 C
3 C 20 C 37 23,38
4 B 21 D 38 C
5 B 22 C 39 C
6 C 23 A 40 B
7 C 24 D 41 C
8 C 25 D 42 B
9 C 26 B 43 D
10 B 27 A 44 C
11 C 28 C 45 C
12 D 29 D 46 B
13 C 30 C 47 B
14 D 31 B 48 C
15 B 32 B 49 B
274
Ítem Respuesta Ítem Respuesta Ítem Respuesta
16 C 33 D 50 B
17 D 34 12,5 51 A
Visualización espacial
Ítem Respuesta Ítem Respuesta Ítem Respuesta
1 A 11 A 21 C
2 A 12 B 22 B
3 A 13 B 23 A
4 B 14 A 24 D
5 D 15 B 25 D
6 B 16 C 26 B
7 C 17 C 27 B
8 B 18 B 28 C
9 D 19 A 29 B
10 B 20 D 30 A
Conjuntos
Ítem Respuesta Ítem Respuesta Ítem Respuesta
1 A 8 D 15 C
2 C 9 D 16 B
3 10 10 A 17 A
4 C 11 C 18 B
275
Ítem Respuesta Ítem Respuesta Ítem Respuesta
5 C 12 A 19 A
6 D 13 A 20 43
7 B 14 D
Funciones
Ítem Respuesta Ítem Respuesta Ítem Respuesta
1 C 35 A 69 A
2 A 36 B 70 B
3 D 37 B 71 A
4 C 38 D 72 A
5 A 39 D 73 D
6 C 40 D 74 B
7 B 41 A 75 B
8 D 42 C 76 B
9 B 43 C 77 D
10 A 44 C 78 D
11 0 45 C 79 A
12 D 46 C 80 C
13 B 47 C 81 A
14 C 48 B 82 B
15 D 49 C 83 B
16 B 50 C 84 D
17 C 51 C 85 D
276
Ítem Respuesta Ítem Respuesta Ítem Respuesta
18 C 52 D 86 C
19 A 53 C 87 A
20 D 54 A 88 A
21 D 55 A 89 B
22 C 56 A 90 B
23 C 57 C 91 B
24 A 58 A 92 C
25 C 59 A 93 B
26 C 60 B 94 D
27 C 61 C 95 C
28 D 62 C 96 D
29 D 63 D 97 B
30 D 64 A 98 A
31 C 65 C 99 C
32 C 66 D 100 A
33 C 67 B 101 1
34 C 68 C
Estadística y probabilidad
Ítem Respuesta Ítem Respuesta Ítem Respuesta
1 A 35 D 69 D
2 D 36 D 70 C
277
Ítem Respuesta Ítem Respuesta Ítem Respuesta
3 D 37 B 71 D
4 B 38 B 72 D
5 C 39 B 73 D
6 C 40 A 74 A
7 170 41 D 75 D
8 B 42 4 76 A
9 B 43 B 77 A
10 A 44 C 78 A
11 A 45 D 79 C
12 A 46 D 80 A
13 B 47 D 81 B
14 C 48 A 82 C
15 D 49 0,25 83 C
16 D 50 B 84 C
17 D 51 B 85 B
18 B 52 A 86 A
19 C 53 D 87 A
20 C 54 D 88 B
21 B 55 A 89 C
22 B 56 D 90 A
23 D 57 A 91 B
24 B 58 A 92 D
25 A 59 C 93 B
278
Ítem Respuesta Ítem Respuesta Ítem Respuesta
26 B 60 A 94 C
27 C 61 A 95 0,25
28 A 62 A 96 B
29 D 63 B 97 A
30 D 64 C 98 A
31 91 65 C 99 A
32 C 66 C 100 C
33 A 67 D
34 A 68 D
Undécimo año
Funciones raíz cuadrada e inversa
Ítem Respuesta Ítem Respuesta Ítem Respuesta
1 A 9 A 17 D
2 B 10 B 18 D
3 C 11 B 19 C
4 C 12 B 20 D
5 B 13 B 21 B
6 A 14 A 22 D
7 D 15 C 23 A
8 B 16 A
Funciones exponencial y logarítmica
279
Ítem Respuesta Ítem Respuesta Ítem Respuesta
1 D 9 A 17 C
2 D 10 3 18 C
3 A 11 D 19 A
4 4096 12 C 20 C
5 A 13 A 21 D
6 A 14 B 22 A
7 A 15 D 23 D
8 A 16 C 24 B
Modelos
Ítem Respuesta Ítem Respuesta Ítem Respuesta
1 C 26 C 51 A
2 B 27 C 52 B
3 C 28 B 53 D
4 B 29 D 54 D
5 A 30 C 55 C
6 B 31 B 56 C
7 C 32 A 57 C
8 B 33 B 58 C
9 B 34 D 59 B
10 C 35 B 60 C
11 A 36 B 61 C
12 A 37 D 62 A
280
Ítem Respuesta Ítem Respuesta Ítem Respuesta
13 D 38 B 63 D
14 D 39 C 64 A
15 C 40 C 65 C
16 B 41 B 66 B
17 C 42 D 67 B
18 A 43 B 68 B
19 D 44 D 69 D
20 D 45 C 70 B
21 C 46 B 71 D
22 C 47 B 72 D
23 C 48 D 73 D
24 C 49 D
25 D 50 A
Estadística
Ítem Respuesta Ítem Respuesta Ítem Respuesta
1 A 14 A 27 C
2 C 15 B 28 A
3 B 16 A 29 B
4 A 17 D 30 C
5 D 18 D 31 A
6 C 19 C 32 D
7 A 20 A 33 A
281
Ítem Respuesta Ítem Respuesta Ítem Respuesta
8 D 21 A 34 B
9 C 22 B 35 D
10 D 23 C 36 D
11 A 24 D 37 D
12 C 25 A 38 B
13 B 26 D 39 A
Geometría
Ítem Respuesta Ítem Respuesta Ítem Respuesta
1 A 25 D 49 D
2 B 26 B 50 B
3 2 27 D 51 B
4 D 28 B 52 C
5 B 29 D 53 C
6 B 30 D 54 C
7 A 31 B 55 B
8 D 32 A 56 D
9 C 33 D 57 D
10 A 34 A 58 B
11 A 35 A 59 A
12 C 36 D 60 A
13 B 37 A 61 D
14 B 38 B 62 D
282
Ítem Respuesta Ítem Respuesta Ítem Respuesta
15 5 39 A 63 C
16 B 40 A 64 B
17 D 41 D 65 B
18 C 42 D 66 D
19 A 43 A 67 4
20 C 44 B 68 D
21 C 45 C 69 C
22 A 46 A 70 B
23 A 47 C 71 B
24 A 48 A 72 C