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Universidad de Managua
Al más alto nivel
Curso de Programación Lineal
MÉTODO GRÁFICO PARA PROBLEMAS DE
PROGRAMACIÓN LINEAL
Estudiantes:
Facultad de Ciencias Económicas
y Administrativas.
Profesor:
MSc. Julio Rito Vargas Avilés.
III Cuatrimestre 2014
Año académico:
PROBLEMA
En una fábrica de bombillos se producen dos tipos de ellas, los de tipo normal valen 450 córdobas y
los halógenos 600 córdobas. La producción está limitada por el hecho de que no pueden fabricarse
al día más de 400 normales y 300 halógenas ni más de 500 en total. Si se vende en toda la
producción, ¿cuántas de cada clase convendrá producir para obtener la máxima facturación?
SOLUCIÒN:
1. DEFINICIÒN DEL PROBLEMA:
- Objetivo: maximizar facturación
- Restricciones: Se producen dos tipos de bombillos: Normal y Halógenos.
- No se pueden fabricar al día más de 400 normales
- No se puede fabricar al día más de 300 halógenos
- No se puede fabricar al día más de 500 entre ambos tipos.
- Los Normales se venden a C$450 y los halógenos a C$600.
- Para lograr el objetivo requerimos saber. ¿Cuántos bombillos de cada tipo debemos fabricar al dìa?
- Sea X: número de bombillos tipo normal; Y: número de bombillos de tipo halógenos.
PROBLEMA
1. DEFINICIÒN DEL PROBLEMA:
- Expresamos los datos en forma de una tabla:
2. FORMULACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO DEL PROBLEMA.
MAX Z = 450X + 600Y
SUJETO A:
X ≤ 400 Producción de tipo normales por día
Y ≤ 300 Producción de tipo halógenos por día
X + Y ≤ 500 Producción ambos tipos por día
X ≥ 0 Criterio de no negatividad
Y ≥ 0 Criterio de no negatividad
X(normales) Y(halógenos) Restricción
Cantidad/d 1 ≤ 400
Cantidad/d 1 ≤ 300
Cantidad/d 1 1 ≤ 500
Precio/u C$450 C$600
PROBLEMA
3. OBTENER UNA SOLUCIÓN A PARTIR DEL MODELO.
Para construir el modelo solo requerimos de las restricciones, ellas nos darán la región factible o región
convexa donde se encuentran los vértices que nos permitirán encontrar la solución óptima.
(200,300)
X≤400
X+Y≤500
Y≤300
(400,100)
PROBLEMA
3. OBTENER UNA SOLUCIÓN A PARTIR DEL MODELO.
Hemos construido La región factible, puede ver que es una región finita, cerrada, cuyos vértices se detallan a
continuación:
Por lo tanto, hemos encontrado que en uno de los vértices, se encuentra la solución óptima: Esto es en el
vértice (200,300) es decir se requiere producir diario 200 bombillos normales y 300 bombillos halógenos
para obtener un total de C$ 270,000 en facturación, la cual es la máxima.
Vértices Valor Z Máx
(0,0) Z=450*0+600*0=0
(400,0) Z=450*400+600*0=180,000
(400,100) Z=450*400+600*100=240,000
(200,300) Z=450*200+600*300=270,000 C$270,000
(0,300) Z=450*0+600*300=180,000
PROBLEMA
4. PRUEBA DEL MODELO.
Para la prueba del modelo requerimos verificar que la solución obtenida como óptima realmente cumple con
todas las restricciones del modelo.
Sustituimos los valores de X=200 y Y=300 en el modelo
MAX Z = 450*200 + 600*300 =270,000
SUJETO A:
200 ≤ 400 (SE CUMPLE)
300 ≤ 300 (SE CUMPLE)
200 + 300 ≤ 500 (SE CUMPLE)
200 ≥ 0 (SE CUMPLE)
300 ≥ 0 (SE CUMPLE)
Puede ver que el modelo se cumple para todas las restricciones. Por tanto se verifica que la solución
obtenida es la óptima.
PROBLEMA
Un hipermercado necesita como mínimo 16 cajas de langostino, 5 cajas de nécoras
y 20 de percebes. Dos mayoristas, A y B, se ofrecen al hipermercado para satisfacer
sus necesidades, pero sólo venden dicho marisco en contenedores completos. El
mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de langostinos, 1 de nécoras y 2 de
percebes. Por su parte, B envía en cada contenedor 2, 1 y 7 cajas respectivamente.
Cada contenedor que suministra A cuesta 210,000 córdobas, mientras que los del
mayorista B cuestan 300,000 córdobas cada uno. ¿Cuántos contenedores debe
pedir el hipermercado a cada mayorista para satisfacer sus necesidades mínimas
con el menor coste posible?
SOLUCIÒN:
1. DEFINICIÒN DEL PROBLEMA:
- Objetivo: minimizar costos.
- Necesidades mínimas del hipermercado:16 cajas de langostino, 5 cajas de nécoras y 20
cajas de percebes.
- Envío del mayorista A: 8 cajas de langostino, 1 de nécora y 2 de percebes por contenedor.
- Envío del mayorista B: 2 cajas de langostino, 1 de nécora y 7 de percebes por contenedor.
PROBLEMA
1. DEFINICIÒN DEL PROBLEMA:
- Cada contenedor del proveedor A cuesta C$210,000, cada contenedor del proveedor B cuesta C$300,000.
¿Qué cantidad de contenedores debe solicitar de A y de B para suplir sus necesidades al mínimo costo?
Llamaremos X: al número de contenedores del proveedor A; Y: número de contenedores del proveedor B.
Expresamos los datos en forma de una tabla
Conceptos X(Prov. A) Y(Prov. B) Restricción(cajas)
Langostinos 8 2 ≥ 16
Nécoras(cangrejo) 1 1 ≥ 5
Percebes(esponja) 2 7 ≥ 20
Costo/contenedor C$210,000 C$300,000
2. FORMULACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO DEL PROBLEMA.
Ahora procedemos a formular el modelo matemático:
MIN Z = 210,000X + 300,000Y
SUJETO A:
8 X + 2Y ≥ 16 Necesidades de langostino
X + Y ≥ 5 Necesidades de nécoras
2X + 7Y ≥ 20 Necesidades de percebes
X ≥ 0 Criterio de no negatividad
Y ≥ 0 Criterio de no negatividad
3. OBTENER UNA SOLUCIÓN A PARTIR DEL MODELO.
Para construir el modelo solo requerimos de las restricciones, ellas nos darán la región factible
o región convexa donde se encuentran los vértices que nos permitirán encontrar la solución
óptima.
Vértices Valor Z Máx
(0,8) Z=210,000*0+300,000*8=2,400,000
(1,4) Z=210,000*1+300,000*4=1,410,000
(3,2) Z=210,000*3+300,000*2=1,230,000 C$1,230,000
(10,0) Z=210,000*20+300,000*0=2,100,000
Por lo tanto, hemos encontrado que en uno de los vértices, se encuentra la solución
óptima (MÍNIMO): Esto es en el vértice (3,2) es decir se requiere ADQUIRIR 3
contenedores de “A” y 2 contenedores de “B”, para satisfacer las necesidades
mínimas del hipermercado, por a un costo total de C$1,230,000.
Hemos construido La región factible, puede ver que es una región abierta, cuyos
vértices se detallan a continuación:
PROBLEMA
4. PRUEBA DEL MODELO.
Para la prueba del modelo requerimos verificar que la solución obtenida como óptima
realmente cumple con todas las restricciones del modelo.
Sustituimos los valores de X=3 y Y=2 en el modelo
MIN Z = 210,000*3 + 300,000*2=1,230,000
SUJETO A:
8*3 + 2*2 ≥ 16 (SE CUMPLE)
3 + 2 ≥ 5 (SE CUMPLE)
2*3 + 7*2 ≥ 20 (SE CUMPLE)
3 ≥ 0 (SE CUMPLE)
2 ≥ 0 (SE CUMPLE)
Puede ver que el modelo se cumple para todas las restricciones. Por tanto se verifica
que la solución obtenida es la óptima.
PROBLEMA
Los 400 alumnos de un colegio van a ir de excursión. Para ello se contrata el viaje a una empresa que dispone de 8
autobuses con 40 plazas y 10 con 50 plazas, pero sólo se cuenta con 9 conductores para ese día. Dada la diferente
capacidad y calidad, el alquiler de cada autobús de los grandes cuesta 8,000 córdobas y el de cada uno de los
pequeños, 6,000 córdobas ¿Cuántos autobuses de cada clase convendrá alquilar para que el viaje resulte lo más
económico posible?
SOLUCIÒN:
1. DEFINICIÒN DEL PROBLEMA:
- Objetivo: minimizar costos.
- Restricciones:
- Los alumnos participantes son 400.
- Se cuentan con dos tipos de buses:P (pequeño) con capacidad de 40 y G (grandes) con capacidad de 50
- Solo están disponibles 9 choferes para ese día.
- Los buses P se alquilan a C$6,000 y los G a C$8,000.
- Requerimos saber cuantos debemos alquilar de tipo P y cuantos de tipo G, de manera que minimicemos el
costo del traslado de los 400 alumnos?
PROBLEMA
1. DEFINICIÒN DEL PROBLEMA:
- Llamaremos X: al número de buses de tipo P; Y: número de buses de tipo G.
- Expresamos los datos en forma de una tabla
Conceptos X(Bus tipo P) Y(Bus tipo G) Restricción
Alumnos 40 50 = 400 (alumnos)
Choferes 1 1 ≤ 9 (choferes)
Buses tipo P 1 ≤ 8 (buses)
Buses tipo G 1 ≤10 (buses)
Costo/bus C$6,000 C$8,000
2. FORMULACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO DEL PROBLEMA.
Ahora procedemos a formular el modelo matemático:
MIN Z = 6,000X + 8,000Y
SUJETO A:
40 X + 50Y = 400 Alumnos a transportar
X + Y ≤ 9 Choferes disponibles
X ≤ 8 Buses pequeños disponibles
Y ≤ 10 Buses grandes disponibles
X ≥ 0 Criterio de no negatividad
Y ≥ 0 Criterio de no negatividad
3. OBTENER UNA SOLUCIÓN A PARTIR DEL MODELO.
Para construir el modelo solo requerimos de las restricciones, ellas nos darán la región factible
o región convexa donde se encuentran los vértices que nos permitirán encontrar la solución
óptima.
Vértices Valor Z Mínimo
(0,8) Z=6,000*0 + 8000*8=64,000
(5,4) Z=6,000*5 + 8000*4=62,000 C$62,000
Por lo tanto, hemos encontrado que en uno de los vértices, se encuentra la solución
óptima (MÍNIMO): Esto es en el vértice (5,4) es decir se requiere contratar 5 buses
pequeños “P” y 4 buses grandes “G”, para garantizar el transporte a los 400
alumnos a un mínimo costo.
Hemos construido La región factible, puede ver que la región factible se da en en el
segmento de recta 40X + 50Y=400 que va desde (0,8) hasta (5,4).
Por lo solo indicaremos los resultados con variables enteras de los infinitos puntos
que hay en ese segmento.
PROBLEMA
4. PRUEBA DEL MODELO.
Para la prueba del modelo requerimos verificar que la solución obtenida como óptima
realmente cumple con todas las restricciones del modelo.
Sustituimos los valores de X=5 y Y=4 en el modelo
MIN Z = 6,000*5 + 8,000*4=C$62,000
SUJETO A:
40*5 + 50*4 = 400 (SE CUMPLE)
5 + 4 ≤ 9 (SE CUMPLE)
5 ≤ 8 (SE CUMPLE)
4 ≤ 10 (SE CUMPLE)
5 ≥ 0 (SE CUMPLE)
4 ≥ 0 (SE CUMPLE)
Puede ver que el modelo se cumple para todas las restricciones. Por tanto se verifica
que la solución obtenida es la óptima.