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UNIVERSIDAD DE LA AMAZONIA FACULTAD DE INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE EDUCACIÓN A DISTANCIA

PROGRAMA

TECNOLOGÍA EN INFORMATICA Y SISTEMAS

COMPILADO UNIDAD TEMÁTICA

MATEMÁTICAS I

PREPARADO POR CÉSAR AUGUSTO OLMOS ROJAS

Licenciado en Matemáticas y Física Magister en Ciencias de la Educación énfasis

en didáctica de las Matemáticas [email protected]

mailto:[email protected]

Compilación Unidad temática Matemáticas I Página 2

CONTENIDO

pág.

INTRODUCCIÓN ........................................................................................ 6

CAPITULO 1: CONJUNTOS Y PRODUCTO CARTESIANO ........................... 7

1.1 CONCEPTO Y NOTACIÓN DE CONJUNTO .......................................... 7

1.1.1 Subconjuntos ................................................................................... 9

1.1.2 Cardinalidad y tipos de conjuntos ................................................... 10

1.2 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Y DIAGRAMAS DE VENN........ 12

1.2.1 Unión entre Conjuntos ................................................................... 13

1.2.2 Intersección entre conjuntos ........................................................... 14

1.2.3 Diferencia de Conjuntos.................................................................. 15

1.3 PRODUCTO CARTESIANO ................................................................. 19

1.4 RELACIONES EN EL PRODUCTO CARTESIANO ................................ 21

CAPÍTULO 2: RELACIONES Y FUNCIONES .............................................. 22

2.1 RELACIONES..................................................................................... 23

2.2 FUNCIONES Y GRÁFICAS ................................................................. 24

2.2.1 Tipos de funciones .......................................................................... 31

2.2.2 Intervalos ........................................................................................ 36

CAPÍTULO 3: ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA.................................................. 40

3.1 PROPOSICIONES .............................................................................. 40

CAPÍTULO 4: SUCESIONES Y SERIES ..................................................... 45

4.1 CONCEPTO ...................................................................................... 47

4.2 SUCESIÓN DE NÚMEROS REALES .................................................. 49

4.3 PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS ........................... 51

BIBLIOGRAFIA ........................................................................................ 56


LISTA DE FIGURAS

pág.

Figura 1. Representación gráfica A . ................................................... 12

Figura 2. Complemento del conjunto A .................................................... 12

Figura 3. Unión entre conjuntos .............................................................. 13

Figura 4. Unión entre A y B ..................................................................... 14

Figura 5. Intersección entre Ay B ............................................................. 15

Figura 6. Intersección de A y B ................................................................ 15

Figura 7. Diferencia entre A y B ............................................................... 16

Figura 8. Representación Gráfica de Funciones ...................................... 24

Figura 9. Diagrama de Maquina de f ........................................................ 28

Figura 10. Diagrama de flecha de f .......................................................... 28

Figura 11. Dominio y Rango de f .............................................................. 28

Figura 12. Diagrama de maquina ............................................................ 31

Figura 13. Prueba de la Recta Vertical ..................................................... 33

Figura 14. Funciones algebraicas ........................................................... 33

Figura 15. Función Lineal ........................................................................ 34

Figura 16. Máximo y Mínimo .................................................................. 35

Figura 17. Gráfica Función Cuadrática 1 ................................................ 36

Figura 18. Gráfica Función Cuadrática ................................................... 36

Figura 19. Gráfica del intervalo .............................................................. 37

Figura 20. Gráfica del intervalo .............................................................. 37


Figura 21. Ejemplo de sucesión ............................................................... 47

Figura 22. Términos de una sucesión ...................................................... 48

Figura 23. Cuatro primeros términos ...................................................... 48


LISTA DE TABLAS

pág.

Tabla 1. Operaciones de Conjuntos ........................................................ 17

Tabla 2. Dominio y Rango de una Función .............................................. 29

Tabla 3. Formas de Representación ......................................................... 32

Tabla 4. Intervalos ................................................................................... 38

Tabla 5. Conjunción. ............................................................................... 43

Tabla 6. Disyunción ................................................................................. 43

Tabla 7. Negación 1 ................................................................................. 44


INTRODUCCIÓN

La presente compilación está dirigida a los estudiantes del primer semestre

de la tecnología en informática y sistemas de la universidad de la amazo-nia, bajo la modalidad de educación superior a distancia.

Corresponde a la unidad temática matemáticas I, del área de ciencias bá-sicas, la cual está estructurado en cuatro capítulos en los cuales se agru-

pan los contenidos que se han considerados fundamentales para la forma-ción del tecnólogo en informática y sistemas, en el primer capítulo se

aborda la noción de conjunto en matemáticas, al igual que se analizaran diferentes operaciones entre conjuntos como son la unión, intersección,

complemento, entre otras operaciones para lo cual utilizaremos represen-taciones graficas a partir de diagrama de Venn Euler.

En el segundo capítulo se desarrolla algunos aspectos fundamentales de la noción de función en matemáticas, sus diferentes representaciones: gráfi-

ca, verbal, numérica y algebraica, las relaciones entre los elementos de es-tas representaciones, específicamente de las funciones polinomicas linea-

les y cuadráticas. En el tercer y cuatro capitulo se desarrollan contenidos relacionados con

proposiciones, tipos de proposiciones, tablas de verdad y aspectos de las sucesiones y series matemáticas.

En la compilación se aborda una perspectiva funcional de las matemáticas

por lo tanto el interés se centra en la utilidad de los conceptos matemáti-cos para resolver problemas en diferentes contextos, considerando que el conocimiento de las matemáticas contribuye al desarrollo de competencias

fundamentales para el tecnólogo en informática y sistemas.


CAPITULO 1: CONJUNTOS Y PRODUCTO CARTESIANO

OBJETIVO

Resolver problemas a partir de la representación gráfica mediante diagra-

mas de Venn, haciendo uso de las operaciones básicas entre conjuntos. COMPETENCIA

Formular y resolver situaciones problemas del contexto cotidiano, científi-

co y matemático que impliquen la construcción del significado y uso de los conjuntos y sus operaciones, empleando diversas estrategias de solu-

ción, justificando sus procedimientos y resultados. ACTIVIDAD DIAGNÓSTICA

Con el propósito de realizar un diagnóstico sobre el dominio del conoci-

miento matemático tanto conceptual como procedimental, relacionado con las temáticas que se abordarán en el desarrollo del primer capítulo del

curso, a continuación lo invitamos para que resuelva la siguiente actividad diagnóstica:

1. Sean los conjuntos:

⁄

⁄

Hallar: .

2. Definir los elementos del conjunto A = {x | x es un entero positivo im-

par, x < 10}. 3. Un conjunto puede definirse usando tres métodos, descripción con

palabras, método del listado y notación de comprensión. Identifique dos ejemplos de conjuntos de su contexto y defínalos usando estas

tres formas.

1.1 CONCEPTO Y NOTACIÓN DE CONJUNTO

Iniciamos el estudio de este primer capítulo conceptualizando sobre la no-ción de conjunto en el contexto de las matemáticas, de igual forma se

abordaran las diferentes maneras de describir un conjunto y las diferentes operaciones que se establecen entre ellos.


El concepto de conjunto aparece en todas las matemáticas y tiene muchas aplicaciones.

Ejemplo 1.1: El conjunto formado por todos los estudiantes del primer semestre de la tecnología en informática y sistemas de la Universidad de la Amazonia.

En este ejemplo se observa que existe una característica particular rela-

cionada con ser estudiante del primer semestre de la tecnología, por lo cual los estudiantes que cumplen con esta condición constituyen un con-

junto, y cada uno de ellos es un elemento o miembro que pertenece al conjunto.

Para que un conjunto sea útil debe estar bien definido, a partir de una característica particular que permita identificar cuáles son los elementos

que pertenecen al conjunto y cuáles no.

Ejemplo 1.2: El conjunto formado por los números naturales menores que 5.

Los conjuntos se nombran o representan usualmente con letras mayúscu-las, para este caso si se nombra el conjunto con la letra , se pueden defi-

nir sus elementos de la siguiente forma:

Observemos que .

El símbolo (pertenece a), representa la relación fundamental de la teoría

de conjuntos, la relación de pertenencia entre un elemento y un conjunto, por su parte el símbolo indica la no pertenencia de un elemento a un

conjunto como sucede en los dos últimos ejemplos.

De manera general un conjunto se puede definir como:

Definición: Un conjunto es una colección bien definida de objetos,

que se denominan elementos o miembros del conjunto. Las letras ma-

yúsculas A, B, X, Y, . . . , denotan conjuntos y las minúsculas a, b, x,

y, . . . , denotan elementos de conjuntos. Algunos sinónimos de “con-

junto” son “clase”, “colección” y “familia”. (Lipschutz y Lipson, 2009,

p.1)


En las dos definiciones propuestas por los autores se resalta el hecho de

que un conjunto debe estar bien definido para poder establecer, cuales elementos pertenecen o no pertenecen al conjunto.

Miller, Heeren y Hornsby (2013) plantean tres formas para definir un con-junto:

1. Descripción con palabras:

2. método de listado 3. notación de comprensión.

Ejemplo 1.3: Utilizando las tres formas para definir un conjunto

1. Descripción con palabras: El conjunto S de números naturales pares

menores que 10. 2. método de listado: S 3. Notación de comprensión :

⁄

La segunda forma algunos autores la denominan principio de extensión,

por el cual podemos determinar el conjunto enumerando todos sus elemen-tos separándolos con comas y luego se encierran entre llaves. En el tercer caso se sigue el principio de comprensión o abstracción, por el cual es po-

sible determinar un conjunto identificando sus elementos mediante una propiedad común a ellos.

La notación de comprensión para el ejemplo planteado se lee como “el con-

junto de todas las x donde x es un número natural par menor que 10”. La notación de comprensión utiliza la idea algebraica de variable.

1.1.1 Subconjuntos Suponga que todo elemento de un conjunto A también es un elemento de

un conjunto B; es decir, si a A implica que a B. Entonces se dice que A

es un subconjunto de B. También se dice que A está contenido en B o que B contiene a A. Esta relación se escribe

A B o B ⊇ A

Ejemplo 1.4 Considere los conjuntos:

A = {1, 3, 4, 7, 8, 9}, B = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {1, 3}.


Entonces C A y C B, ya que 1 y 3, los elementos de C, también son

miembros de A y B. Pero B A, puesto que algunos elementos de B, por

ejemplo, 2 y 5, A. En forma semejante, A B.

1.1.2 Cardinalidad y tipos de conjuntos Hay conjuntos que tienen un número finito de elementos; se llaman con-

juntos finitos. Un conjunto que no tiene un número finito de elementos se llama un conjunto infinito.

Ejemplo 1.5 Conjunto finito

El conjunto es un conjunto finito, pues tiene un número fini-

to de elementos, cuatro.

El conjunto B de las vocales del alfabeto español y el conjunto D de los días de la semana son conjuntos finitos. En específico, A tiene 5 elementos y D

tiene 7 elementos.

Ejemplo 1.6 Conjunto infinito El conjunto A = {x | x es un número entero positivo} es un conjunto infini-

to, ya que dado cualquier número entero positivo podemos obtener el pró-ximo añadiendo la unidad. Este proceso puede repetirse un número arbi-

trariamente grande de veces; el proceso nunca termina, por tanto, el nú-mero de elementos no es finito.

El concepto de número de elementos de un conjunto finito es de mucha im-

portancia en las aplicaciones de la teoría de conjuntos.

La notación n(S) o | S | denota el número de elementos en un conjunto S,

el cual se conoce como número cardinal, o cardinalidad, del conjunto (En algunos textos se usa #(S) o card (S) en lugar de n(S).) La cardinalidad de

un conjunto finito S es el número entero que representa el número de ele-mentos del conjunto S.

Definición: El número de elementos de un conjunto finito es lo

que se llama la cardinalidad de dicho conjunto. La cardinalidad de un conjunto finito A se denota por: Card (A) o A

Muchos autores usan la expresión #A para indicar dicha cardi-

nalidad. (Zill y Dewar, 2012, p.24)


Así, n(B) = 5, donde B es el conjunto de las vocales del alfabeto español, y n(D) = 7, donde D es el conjunto de días de la semana.

Si hay elementos repetidos en la lista de un conjunto, no se deben

contar más de una vez cuando se determina el número cardinal de un conjunto. Ejemplo 1.7

La cardinalidad del conjunto es 4, ya que A tiene 4 elementos;

por tanto, n(A) = 4.

La cardinalidad del conjunto B= {x | x es un número primo y par} es 1, ya

que hay un solo número primo que es par, el 2; por lo tanto n(B) =1.

ACTIVIDADES DE AUTOAPRENDIZAJE

A continuación se presentan las primeras actividades a desarrollar en el primer momento de autoaprendizaje, específicamente en la fase de com-

prensión, interpretación y conceptualización sobre la información.

1. Explicar con ejemplos en qué casos se debe definir un conjunto por extensión y por comprensión.

2. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son iguales {x, y, z}, {z, y, z, x}, {y,

x, y, z}, {y, z, x, y}?

3. Enumere los elementos de cada conjunto donde N = {1, 2, 3, . . .}

a) A = {x N | 3 < x < 9}

b) B = {x N | x es par, x < 11}

c) C = {x N | 4 + x = 3}

4. Sea A = {2, 3, 4, 5}

a) Demuestre que A no es un subconjunto de B = {x N | x es par}. b) Demuestre que A es un subconjunto propio de C = {1, 2, 3, . . . , 8, 9}.

5. Identificar en su contexto cotidiano tres ejemplos de conjuntos, defi-

nir sus elementos.


1.2 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Y DIAGRAMAS DE VENN Un diagrama de Venn es un gráfico donde los conjuntos se representan con regiones encerradas en un plano. Aquí el conjunto universo U es el

interior de un rectángulo y los otros conjuntos se representan por círculos

dentro del rectángulo. Si A B, entonces el círculo que representa a A está

dentro del círculo que representa a B, como se muestra en la figura 1.

Figura 1. Representación gráfica A .

En teoría de conjuntos también se usan comúnmente los diagramas de Venn, desarrollados por el estudioso de la lógica John Venn (1834-1923). En estos diagramas, el conjunto universal se representa con

un rectángulo, y los conjuntos de interés dentro del conjunto uni-versal se representan con regiones circulares (algunas veces con

óvalos u otras formas).

Figura 2. Complemento del conjunto A

La región sombreada dentro de U y fuera del círculo en la figura 2 se

identifica como A’ (se lee “A prima”). Este conjunto, llamado el comple-mento de A, tiene todos los elementos contenidos en U, pero que no

están contenidos en A.


Ejemplo 1.8

Si el conjunto dado A = {1, 2, 3} y el conjunto universal E contiene todos los números naturales menores a 6, entonces el complemento del conjunto

dado A = {4, 5}.

1.2.1 Unión entre Conjuntos

Aquí “o” se usa en el sentido incluyente de y/o. Así, podemos decir que

los elementos de la unión del conjunto A con el conjunto B son aquéllos que estén o bien en A o en B o en ambos.

En la figura 3 se representa la operación de union entre conjuntos

mediante un diagrama de Venn. Figura 3. Unión entre conjuntos

En la figura se encuentra señalado en verde el conjunto A B

de un Para A del universal U, el de , como A’, es el

de de U que no son A. Es 𝐴′ 𝑥 𝑥 𝑈 𝑦 𝑥 𝐴 (Miller et al., 2013, p.50).

Definición: La unión de dos conjuntos A y B, que se denota por

A B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A

o a B; es decir, A B = {x | x A o x B} (Lipschutz y Lipson, 2009, p.4)


Ejemplo 1.9.

Sean A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7}, C = {2, 3, 8, 9}. Entonces

A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A C = {1, 2, 3, 4, 8, 9}, B C = {2, 3, 4, 5, 6,

7, 8, 9}. Dados los conjuntos A= {a, b, c, d, e} y B = {b, c, f, g, h}, determine el

conjunto A B.

Puesto que en A B deben estar representados tanto los elementos de A

como los de B, tenemos que A B es la unificación de A con B, es decir,

ponemos juntos los elementos de A con los de B:

A B = { a, b, c, d, e, f, g, h}

La situación gráfica del ejemplo anterior es la siguiente:

Figura 4. Unión entre A y B

1.2.2 Intersección entre conjuntos

La intersección de dos conjuntos A y B, que se denota por A ∩ B, es el con-junto de los elementos que pertenecen tanto a A como a B; gráficamente se

representa mediante un diagrama de Venn de la siguiente forma:

Definición: La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto for-

mado por todos los elementos comunes a los dos conjuntos. La inter-sección de A y B se denota por A B, y en lenguaje lógico el conjunto

puede escribirse como:

A B = x x A y x B (Zill y Dewar, 2012, p.30)


Figura 5. Intersección entre Ay B

Ejemplo 1.10 Sean A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7}, C = {2, 3, 8, 9}. Entonces

A ∩ B = {3, 4}, A ∩ C = {2, 3}, B ∩ C = {3}.

Dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B ={2, 3, 5, 7, 9, 11} determine el conjunto intersección de A y B.

Solución Los elementos que están o pertenecen tanto a A como a B

son 2, 3, 5; por tanto

A B = {2, 3, 5}, Gráficamente se puede observar en el siguiente diagrama

de Venn: Figura 6. Intersección de A y B

1.2.3 Diferencia de Conjuntos

Suponga que A = {1, 2, 3,…, 10} y B = {2, 4, 6, 8, 10}. Si se excluyen los elementos de B (o se separan) de A, se obtiene el conjunto C = {1, 3, 5,

7, 9}. El nuevo conjunto C se conoce como la diferencia de los conjuntos A y B.


Definición: Diferencia de conjuntos

La diferencia entre dos conjuntos A y B o el complemento relativo de B

respecto a A es el conjunto que consiste en todos los elementos que perte-necen a A pero no a B. La diferencia entre A y B se representa por A - B.

⁄ (Zill y Dewar, 2012,p.34)

Gráficamente en un diagrama de Venn la diferencia entre dos conjuntos se representa de la siguiente forma:

Figura 7. Diferencia entre A y B

Ejemplo 1.11

Obtenga cada conjunto

Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} , B = {2, 3, 6}, y C = {3, 5, 7}

a) A - B b) B - A

SOLUCIÓN a) Inicie con el conjunto A y excluya todos los elementos que también

se encuentran en el conjunto B. A - B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} – {2, 3, 6} = { 1, 4, 5}

b) Para estar en B - A, un elemento debe estar en el conjunto B y no en el conjunto A. Pero todos los elementos de B también están en A.

Por lo tanto, B - A = 0


Las operaciones más comunes sobre conjuntos se resumen en la tabla

siguiente:

Tabla 1. Operaciones de Conjuntos


A continuación se presentan las segundas actividades a desarrollar en el

primer momento de autoaprendizaje, específicamente en la fase de Con-textualización de lo aprendido.

1. Representar, en cada caso, mediante un diagrama de Venn, los conjun-

tos dados: a) U = {a,b,c,d,e,f}, A = {a,b,c}, B = {a,b} y C = {a,c}. b) U = {a,b,c}, X = {a,b,c}, Y = {a,b} y Z = {b}.

c) U = {r, s, t,u}, R = {r,s,t}, S = {s} y T = {s,t,u}.

2. Consultar sobre la operación entre conjuntos llamada diferencia simé-trica, identificar su definición, su representación gráfica en diagramas de

Venn, plantear dos ejemplos donde se halle la diferencia simétrica de dos conjuntos.


3. Sea U = {1, 2,. . ., 9} el conjunto universo, y sea A = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {5,

6, 7, 8, 9}, E = {2, 4, 6, 8}, B = {4, 5, 6, 7}, D = {1, 3, 5, 7, 9}, F = {1, 5, 9}. Encuentre: a) A B y A ∩ B; b) A C y A ∩ C; c) D F y D ∩ F.

4. En una universidad cada estudiante de humanidades debe acreditar un curso A de matemáticas y un curso B de ciencias. En una muestra de 140

estudiantes de segundo año se observó lo siguiente: 60 acreditaron A, 45 acreditaron B, 20 acreditaron tanto A como B. Use un diagrama de Venn para determinar el número de estudiantes que

acreditaron: a) Por lo menos uno de A y B; b) exactamente uno de A o B; c) ni A ni B.

5. Determine el conjunto potencia P(A) de A = {a, b, c, d}.

6. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son iguales?

A = {x | x2 − 4x + 3 = 0}, C = {x | x N, x < 3}, E = {1, 2}, G = {3, 1},

B = {x | x2 − 3x + 2 = 0}, D = {x | x N, x es impar, x < 5}, F = {1, 2, 1},

H = {1, 1, 3}. 7. Se aplicó una encuesta acerca de 25 automóviles nuevos vendidos en

una agencia para ver qué opciones de equipo: aire acondicionado (A), ra-dio (R) y ventanillas eléctricas (W), ya estaban instaladas. Se encontró lo

siguiente:

15 tenían aire acondicionado (A), 5 tenían A y P, 12 tenían radio (R), 9 tenían A y R, 3 tenían las tres opciones.

11 tenían ventanillas eléctricas (W), 4 tenían R y W, Encuentre el número de automóviles que tenían: a) sólo W; b) sólo A; c)

sólo R; d ) R y W pero no A; e) A y R pero no W; f ) sólo una de las op-ciones; g) por lo menos una opción; h) ninguna de las opciones.

8. De un total de 35 programadores entrevistados para un trabajo, 25 co-nocían Visual Basic, 28 conocían Java y dos no conocían ninguno de estos

dos lenguajes; ¿cuántos conocían ambos lenguajes?

9. Una encuesta entre 100 estudiantes arrojó lo siguiente: • 32 estudian matemática.

• 20 estudian física. • 45 estudian biología. • 15 estudian matemática y biología. • 7 estudian matemática y física. • 10 estudian física y biología. • 30 no estudian ninguna de las tres asignaturas.


a) Encuentre el número de estudiantes que estudian las tres asignaturas.

b) Encuentre el número de estudiantes que cursan una y sólo una de las tres asignaturas.

10. En una encuesta sobre los medios de transporte urbano más comu-nes, a cada persona se le pregunta si el taxi, el autobús o el auto privado

es el medio más usado para ir al trabajo. Se permite más de una respuesta. El resultado de la encuesta es el siguiente:

• 0 personas opinaron a favor del taxi. • 35 personas opinaron a favor del autobús. • 100 personas opinaron a favor del auto privado. • 15 personas opinaron a favor del taxi y del autobús. • 15 personas opinaron a favor del taxi y del auto privado. • 20 personas opinaron a favor del autobús y del carro privado. • 5 personas opinaron a favor de los tres medios de transporte. ¿Cuántas personas respondieron a la encuesta?

11. Obtener el producto cartesiano del conjunto que representa todos los resultados posibles que se obtienen cuando se lanzan dos dados.

1.3 PRODUCTO CARTESIANO Cuando se escribe un conjunto que contiene varios elementos, el or-

den en el cual aparecen los elementos no es relevante. Por ejemplo, {1, 5} = {5, 1}.

Sin embargo, existen muchas situaciones en matemáticas en que,

cuando dos objetos están aparejados, el orden en el cual se escriben los objetos es importante. Esto trae consigo la idea del par ordena-do. Cuando se escriben pares ordenados, se usan paréntesis en lugar

de llaves, las cuales se reservan para la escritura de conjuntos.

Definición : Par ordenado

Un par ordenado de elementos a y b, donde a es el primer elemento y b

es el segundo, se denota por (a, b). En particular, (a, b) = (c, d)

si y sólo si a = c y b = d. Así, (a, b) (b, a), a menos que a = b. Esto con-

trasta con los conjuntos donde el orden de los elementos es irrelevante; por ejemplo, {3, 5} = {5, 3}. (Lipschutz y Lipson, 2009,p.23)

Por lo tanto dos pares ordenados son iguales, siempre y cuando sus pri-

meros y segundos componentes sean iguales.


Un conjunto puede contener pares ordenados como elementos. Si A y

B son conjuntos, entonces cada elemento de A se puede aparejar con cada elemento de B, y los resultados se pueden escribir como pares

ordenados. El conjunto de todos estos pares ordenados se llama producto cartesiano de A y B, y se representa como A * B y se lee “A por B”. El nombre del producto se debe al matemático francés Re-

né Descartes.

Definición: Producto cartesiano

El producto cartesiano de los conjuntos A y B se define como sigue

( ) | a A y b B}. (Miller et al.,2013,p.60)

Ejemplo 1.12

Sean A = {1, 2} y B = {a, b, c}. Entonces

A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)} B × A = {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (a, 2), (b, 2), (c, 2)} También, A × A = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}. Cálculo de productos cartesianos:

Sea A = {1, 5, 9} y B = {6, 7}. Obtenga cada conjunto siguiente. a) A * B b) B * A

SOLUCIÓN a) Se apareja cada elemento de A con cada elemento de B. Se

escriben los resultados como pares ordenados, con el elemen-to de A escrito primero y el elemento de B en segundo lugar.

Se escribe el conjunto. A * B = { ( 1,6), (1,7), (5,6), (5,7), (9,6), (9,7)}

b) Como B está primero, este conjunto consiste en pares ordena-

dos que tienen sus componentes intercambiados cuando se comparan con los del ejercicio anterior.

B * A = { (6,1), (7,1), (6,5), (7,5), (6,9), (7,9)}

El orden en el cual se listan los pares ordenados no es importante. De manera general se observa que A * B B * A, porque no contienen

exactamente los mismos pares ordenados. Sin embargo, cada conjunto posee el mismo número de elementos, para este caso seis.


1.4 RELACIONES EN EL PRODUCTO CARTESIANO

Definición : Relación

Sean A y B conjuntos. Una relación binaria, o simplemente una relación

de A a B, es un subconjunto de A × B. (Lipschutz y Lipson, 2009,p.24)

Suponga que R es una relación de A a B. Entonces R es un conjunto de pa-res ordenados donde el primer elemento proviene de A y el segundo provie-

ne de B. Es decir, para cada par a A y b B, es verdad exactamente una

de las siguientes proposiciones:

i) (a, b) R; entonces se dice “a está relacionado con b”, lo que se escribe a R b. ii) (a, b) R; entonces se dice “a no está relacionado con b.

Si R es una relación del conjunto A en sí mismo; es decir, si R es un sub-

conjunto de A2 = A × A, entonces se dice que R es una relación sobre A.

El dominio de una relación R es el conjunto de todos los primeros elementos de los pares ordenados que pertenecen a R, y el rango es el conjunto de los

segundos elementos.


CAPÍTULO 2: RELACIONES Y FUNCIONES

Objetivos Analizar las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o na-

tural, para determinar o estimar su comportamiento. Interpretar diferentes representaciones de funciones, verbal, grafica, nu-

mérica y algebraica.

Competencias Este capítulo hace énfasis en el desarrollo de las siguientes competencias:

Construir e interpretar diferentes modelos funcionales, a partir de diferentes situaciones de su vida cotidiana y escolar.

Reconocer y describir funciones mediante palabras, fórmulas, tabu-laciones y gráficas.

Criterios de valoración

Modela situaciones de la vida real a través de funciones

Identifica los diferentes tipos de funciones a partir de sus diferentes

representaciones: verbal, gráfica, numérica y algebraica.

Tópicos de estudio

Relaciones

Funciones, definición y tipos

Intervalos

Operaciones

ACTIVIDAD DIAGNÓSTICA

Con el propósito de realizar un diagnóstico sobre el dominio del conoci-miento matemático tanto conceptual como procedimental, relacionado con las temáticas que se abordarán en el desarrollo del segundo capítulo del

curso, a continuación lo invitamos para que resuelva la siguiente actividad diagnóstica:

1. Escribe la siguiente expresión sin paréntesis: − 3/2 (2x − 4 y) 2. Escribe en términos de desigualdad algebraica la siguiente expresión:

x es menor que −1 y mayor que −4.


3. Escribe en términos de desigualdad algebraica el siguiente intervalo

(−∞, 5]. 4. Expresa la desigualdad con escritura de intervalos y realiza la

gráfica correspondiente en la recta numérica: −3 x ≤ 2 5. Escribe la solución de la ecuación: 3 − 2x 0.

6. Escribe la solución de la ecuación: x 2 − 2x − 3 = 0.

7. La población de una ciudad en el año 2000 era de 30,000 perso-

nas, si crece 550 personas por año, escribe un modelo algebraico

para calcular la población en cualquier año posterior al 2000.

2.1 RELACIONES Definición

Se llama relación entre dos conjuntos A y B a la manera ordenada de

asociar o agrupar los elementos de cada uno ellos. Esta asociación puede estar formada por un solo par ordenado, varios o todos los que formen

parte del producto entre A y B. (Jiménez, 2011,p.5)

Un conjunto puede contener pares ordenados como elementos. Si A y B son conjuntos, entonces cada elemento de A se puede aparejar con cada elemento de B, y los resultados se pueden escribir como pares

ordenados.

Es importante recordar la definición de par ordenada que se abordo en el capitulo 1, “Un par ordenado de elementos a y b, donde a es el primer

elemento y b es el segundo, se denota por (a, b)”. El conjunto de todos estos pares ordenados se llama producto cartesiano de A y B, y

se representa como A * B y se lee “A por B”. Ejemplo 2.1

El producto cartesiano que representa todos los resultados posibles que se

obtienen cuando se lanza dos dados, para lo cual se apareja el 1 con cada elemento del conjunto, el 2 con cada elemento del conjunto, y así sucesi-

vamente, obteniendo 36 pares ordenados. Una relación es un conjunto de pares ordenados, por ejemplo, los con-

juntos F = {(1, 2), (-2, 5), (3, -1)} y G = {(-4, 1), (-2, 1), (-2, 0)}, son ambos relaciones. Una clase especial de relación, llamada función, es impor-

tante en matemáticas y sus aplicaciones, a continuación estudiaremos este concepto.


2.2 FUNCIONES Y GRÁFICAS

¿Qué es una función?

Es fundamental para modelar el mundo real, describirlo en términos ma-

temáticos por medio de modelos matemáticos de la vida real, donde se es-tablece la dependencia entre cantidades variables.

Situación N. 1

Un posible procedimiento podría ser utilizar un recipiente con una capaci-

dad de trece litros, el cual contiene inicialmente tres litros de agua, a par-tir del instante en que se inicia el proceso de recolección del agua se ob-serva que cada hora se recogen dos litros de agua.

La noción de función es considerada uno de los conceptos más importantes en las matemáticas, su comprensión es

fundamental para el estudio posterior del cálculo.

Para abordar el estudio del concepto de función, consideramos la siguiente situa-

ción relacionada con la perdida de agua generada por el daño en una llave.

¿Describir un procedimiento para estimar la cantidad de

agua que se pierde en un de-terminado tiempo, por el daño en la llave que genera el go-

teo?

Figura 8. Representación Gráfi-

ca de Funciones


La situación anterior se puede representar de diferentes formas:

Gráfica

Algebraica o analítica

Verbal

numérica

Representación Numérica

Tiempo (t) (horas) Volumen (v) (litros)

0 3

1 5

2 7

2.5 8

3 9

4 11

4.5 12

5 13

Representación Algebraica o analítica

( )

Representación gráfica

Al igual que en la situación N.1, existen diferentes fenómenos físicos donde

una cantidad depende de otra. Por ejemplo, la estatura de una persona de-pende de su edad, la temperatura depende de la fecha, el costo de enviar un

paquete por correo depende de su peso. Usamos el término función para describir esta dependencia de una cantidad con respecto a otra.


Una regla de correspondencia en la cual se describe una cantidad en fun-

ción de otra que asocie, los elementos de un conjunto con los de otro con-junto, relacionando cantidades las cuales se pueden representar por medio

de pares ordenados, se establecen en las siguientes situaciones:

La estatura es una función de la edad.

La temperatura es una función de la fecha.

El costo de enviar un paquete por correo depende de su peso.

El área de un círculo es una función de su radio.

El número de bacterias en un cultivo es función del tiempo.

El precio de una mercancía es una función de la demanda de esa mercancía.

El precio final que se paga por llenar el tanque de gasolina del au-tomóvil está determinado por el número de galones multiplicado

por el precio del galón. Para el caso del área, la regla de correspondencia que describe la forma en

que el área A de un círculo depende de su radio r se puede escribir en notación funcional de la siguiente manera:

A(r) = o bien ( )

Otro ejemplo es la regla de correspondencia natural entre un conjunto de 20 alumnos y un conjunto de 25 pupitres en un salón de clase, cuando

cada uno haya seleccionado y se siente en uno de los que están disponi-bles. Desde el punto de vista de las matemáticas nos interesa un tipo es-

pecial de regla de correspondencia, entre valores, que se llama función.

Definición de Función

Una función de un conjunto X a un conjunto Y es una regla de correspon-dencia que asigna a cada elemento x de X exactamente un elemento y de Y

(Zill y Dewar, 2012,p.200)

En la regla de correspondencia o de dependencia establece una relación entre alumnos y pupitres, suponga que el conjunto de 20 alumnos es el conjunto X, y el conjunto de 25 pupitres es el conjunto Y. Esta correspon-

dencia es una función del conjunto X al conjunto Y, siempre que no haya alumno que se siente en dos pupitres al mismo tiempo La regla de correspondencia o de dependencia se nombran usando letras como como f, g, h,… generalmente se usa la letra f por ser la primera letra

de la palabra función.


Por ejemplo, podemos usar la letra f para representar una regla de la si-

guiente forma:

es la regla de correspondencia “elevar al cuadrado el número” Cuando escribimos f (2) queremos decir “aplicar la regla f al número 2”. La

aplicación de la regla da f (2) = 22 = 4. Del mismo modo, f (3) = 3

2 = 9, f (4) =

42 = 16, y en general f (x) = x

2.

Por lo general consideramos funciones para las cuales los conjuntos A y B

son conjuntos de números reales. El símbolo f (x) se lee “f de x” o “f en x” y se denomina valor de f en x, o la imagen de x bajo f. El conjunto X recibe el nombre de dominio de la función. El rango de f es el conjunto de todos los

valores posibles de f (x) cuando x varía en todo el dominio, es decir,

( ) ⁄

En el caso de la función alumno/ pupitre, el conjunto de alumnos es el dominio y el conjunto de 20 pupitres que realmente estén ocupados por

alumnos es el rango. Observe que el rango de f no necesita ser el conjunto entero Y. El elemento

único y en el rango que corresponde a un elemento seleccionado x en el dominio X se llama valor de la función en x, o la imagen de x, y se escribe

( ). En muchos libros, a x se le llama entrada de la función y a ( ) salida de

la función. Como el valor de y depende de la elección de x, a y se le llama variable dependiente; a x se le llama variable independiente.

Una forma de pensar en la relación de una función es considerar la va-

riable independiente x como la entrada y en la variable dependiente y como salida, lo anterior se relaciona con el funcionamiento de una máqui-na (figura 9). Si x está en el dominio de la función f, entonces cuando x

entra a la máquina, es aceptada como entrada y la máquina produce una salida f (x) de acuerdo con la regla de la función. Así, podemos considerar

el dominio como el conjunto de todas las posibles entradas y el rango co-mo el conjunto de todas las posibles salidas.


Figura 9. Diagrama de Maquina de f

Otra forma de representar una función es por medio de un diagrama de

flecha como en la Figura 10. Cada flecha conecta un elemento de A con un elemento de B. La flecha indica que f(x) está asociada con x, f(a) está aso-ciada con a, y así sucesivamente

Figura 10. Diagrama de flecha de f

En la figura 11 se representa el dominio y rango de una función

Figura 11. Dominio y Rango de f


Dominio y rango de una función

Definición Dominio: Son todos los valores reales que se le pueden asignar a la varia-ble independiente x de una función.

Rango: Es el conjunto de números reales que acepta f(x) conforme x cam-bia en todo su dominio. También se le llama imagen de x bajo f. (Jiménez, 2011,p.10)

Ejemplos: Tabla 2. Dominio y Rango de una Función


Análisis de una función

Una función f está definida por la fórmula f (x) = x2 + 4

a. Exprese verbalmente cómo actúa f sobre la entrada x para producir la

salida f (x). b. Evalúe f (3), f (-2) c. Encuentre el dominio y rango de f.

d. Trace un diagrama de máquina para f.

Solución

a. La fórmula nos dice que f primero eleva al cuadrado la entrada x y luego suma 4 al resultado. Por tanto, f es la función “elevar al cua-drado, luego sumar 4”.

b. Los valores de f se encuentran al sustituir por x en la fórmula f (x) = x2+4.

( )

( ) ( )

c. El dominio de f está formado por todas las posibles entradas para x.

Como podemos evaluar la fórmula f (x) = x2 + 4 para cada número real x, el dominio de f es el conjunto de todos los números reales

El rango de f está formado por todas las posibles salidas de f. Como

x2 ≥ 0 para todos los números reales x, tenemos x2 + 4 ≥ 4, de modo

que por cada salida de f tenemos f (x) ≥ 4.

Entonces, el rango de f es {y 0 y ≥ 4} = [4,∞). d. Un diagrama de máquina para f se ilustra en la Figura 12.


Figura 12. Diagrama de maquina

2.2.1 Tipos de funciones

Para ayudarnos a entender lo que es una función, hemos empleado dia-

gramas de máquina y de flecha.

Formas de representar una función

Podemos describir una función específica en las siguientes cuatro formas:

verbalmente (por descripción en palabras)

algebraicamente (por una fórmula explícita)

visualmente (por una gráfica)

numéricamente (por una tabla de valores) (Stewart, Redlin y Wat-son,2012,p.147)


Tabla 3. Formas de Representación

Una función individual puede estar representada en las cuatro formas, y

con frecuencia es útil pasar de una representación a otra para adquirir más conocimientos sobre la función. No obstante, ciertas funciones se describen

en forma más natural por medio de un método que por los otros.

Prueba de la recta vertical

Definición La gráfica de un conjunto de puntos en un plano de coordenadas es la grá-fica de una función si toda recta vertical cruza la gráfica en un punto co-

mo máximo. (Swokowski y Cole, 2011,p.168)

Así, toda recta vertical cruza la gráfica de una función en un punto como máximo. En consecuencia, la gráfica de una función no puede ser una figura como una circunferencia, en la que una recta vertical puede cruzar

la gráfica en más de un punto.


Las intersecciones con el eje x de la gráfica de una función f son las solu-

ciones de la ecuación f(x) = 0. Estos números se denominan ceros de la función.

Usando la Prueba de la Recta Vertical, vemos que las curvas en las partes (b) y (c) de la Figura 13 representan funciones, mientras que las de las par-

tes (a) y (d) no la representan.

Figura 13. Prueba de la Recta Vertical

Funciones Algebraicas

Definición

Son funciones algebraicas aquellas que resultan de operaciones algebrai-cas como la adición, sustracción, multiplicación, división y extracción de

raíces a partir de polinomios. (Jiménez, 2011,p.23)

Las funciones algebraicas se dividen de la siguiente manera:

Figura 14. Funciones algebraicas


Iniciaremos el estudio con el siguiente tipo de función el cual es uno de los

más elementales en álgebra.

Función lineal Definición

Una función f es una función lineal si f (x) = a x + b, donde x es cual-

quier número real y a y b son constantes. (Swokowski y Cole, 2011,p.171)

La gráfica de f en la definición precedente es la gráfica de y = a x + b, que, por la forma pendiente-ordenada al origen, es una recta con pen-diente a e intersección b con el eje y. Así, la gráfica de una función li-

neal es una recta.

Como f(x) existe para toda x, el dominio de f es . Como se presenta a con-

tinuación: Ejemplo:

f (x) = 2x + 3

(a) Trace la gráfica de f.

(b) Encuentre el dominio y rango de f. (c) Determine dónde f es creciente o es decreciente

Figura 15. Función Lineal


S O LU C I Ó N

(a) Como f(x) tiene la forma a x + b, con a = 2 y b = 3, f es una función lineal. La gráfica de y = 2x + 3 es la recta con pendiente 2 y punto de in-

tersección 3 con el eje y. (b) Vemos de la gráfica que x y y pueden ser cualesquiera números reales, de modo que el dominio y el rango de f son R.

(c) Como la pendiente de a es positiva, la gráfica de f sube cuando x au-menta , esto es, f(x1) < f(x2) siempre que x1 < x2. Así, f es creciente en todo

su dominio.

Por tanto, la gráfica de toda función lineal es una recta no horizontal con pendiente. El dominio de una función constante y de una función lineal es

el conjunto de los números reales.

Función Cuadrática

Definición

Una función ƒ es una función cuadrática si ƒ(x) = ax2 + bx + c,

donde a, b y c son números reales, con a 0. (Miller et al.,2013,p.357)

Cuando b = 0 y c = 0 ocurre la forma más sencilla de una función cuadráti-ca, es decir, f(x) = ax2. Su gráfica es una parábola con el vértice en (0, 0).

Si a 0, entonces la parábola abre hacia arriba y el vértice es un punto mínimo en la gráfica; si a 0, entonces el vértice es un punto máximo y la

concavidad es hacia abajo.

Figura 16. Máximo y Mínimo

La función cuadrática más sencilla está definida por ƒ(x) = x2. Al grafi-car los puntos de la siguiente tabla y dibujar una curva suave a través

de ellos se obtiene la gráfica de la figura 17. Esta gráfica se conoce como parábola. Todas las funciones cuadráticas tienen una gráfica que es

una parábola.


Figura 17. Gráfica Función Cuadrática 1

Ejemplos

Traza la gráfica de la función f ( x)= -2x2+ 2 Solución:

Primero dibujamos la forma estándar y = x2 ; después multiplicamos ca-

da punto de esta curva por 2 para obtener y = 2x2 . Luego reflejamos

ésta en el eje x para tener y = -2x2. Finalmente, desplazamos la última

figura dos unidades hacia arriba para obtener la gráfica y = -2x2 + 2.

Figura 18. Gráfica Función Cuadrática

2.2.2 Intervalos

Definición

Los intervalos son subconjuntos de los números reales que se pueden re-

presentar gráficamente en la recta numérica por un trazo o una semirrec-ta.


Los intervalos son fundamentales para representar el conjunto solución de

una desigualdad como por ejemplo 2 x 5.

A este conjunto de números se le denomina intervalo abierto y se denota por (2, 5). La gráfica (figura 18) del intervalo abierto (2, 5) es el conjunto de

todos los puntos de una recta coordenada que se encuentre, pero no los incluya, entre los puntos correspondientes a x = 2 y x = 5.

Figura 19. Gráfica del intervalo

La gráfica está representada al sombrear una parte apropiada del eje, A

este proceso lo conocemos como trazar la gráfica del intervalo. Los núme-ros 2 y 5 se denominan puntos extremos del intervalo (2, 5). Los parénte-sis en la notación (2, 5) en la figura 18 se usan para indicar que los puntos

extremos del intervalo no están incluidos.

El conjunto de números menores que o iguales a 2 es un ejemplo de un intervalo sobre la recta numérica, la cual se representa en la figura 19.

Figura 20. Gráfica del intervalo

Para representar intervalos, se usa la notación de intervalos. Por ejem-plo, usando esta notación, el intervalo de todos los números menores que

o iguales a 2 se escribe como (-∞, 2]. En la notación de intervalos se usa con frecuencia el símbolo de infinito, ∞. El símbolo de infinito negativo, -∞, no representa un número. Se usa para indicar que el intervalo incluye

todos los números reales menores que 2. Al igual que sobre la recta numé-rica, el corchete indica que 2 es parte de la solución. Siempre se usa un

paréntesis a un lado del símbolo de infinito.

En notación de intervalos, el conjunto de números reales se escribe como (-∞, ∞). En la tabla 4 se muestran ejemplos de escritura de otros conjuntos en notación de intervalos. En estos intervalos, se supone que a b.


Tabla 4. Intervalos


A continuación se presentan las actividades a desarrollar en el segundo

momento de autoaprendizaje, específicamente en la fase de Contextuali-zación de lo aprendido.

Completar

1. Si una función f está dada por la fórmula y = f (x), entonces f (a) es la de f en x = a.

2. Para una función f, el conjunto de todas las posibles entradas se de-nomina de f, y el conjunto de todas las posibles salidas se deno-mina de f.

3. Una función está dada algebraicamente por la fórmula f (x) =

(x - 4)2 + 3. Complete estas otras formas de representar a f:

(a) Verbal: “Restar 4, luego y . (b) Numérica.


4. Representar gráficamente con Geogebra las siguientes funciones, de-terminar el dominio y rango.

f ( x) = x + 4 f ( x) = 2x + 1

f (x) = 2 x 2 – 3

5. Defina función y dé un ejemplo

6. Defina el dominio de una función y dé un ejemplo 7. Determine si la relación es una función, e indique el dominio y el

rango. { (0,0), (1,1), (2, 4), (4, 16)}

8. Traza la gráfica de la función f ( x) x2 2x 3 , utilizar Geogebra

9. Traza la gráfica de la función f ( x) 2x2 4x 1, utilizar Geoge-

bra.

10. Asocia cada una de las siguientes funciones con sus respecti-vas gráfica escribiendo su ecuación debajo de cada curva.


CAPÍTULO 3: ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

Objetivos

Interpretar leyes y principios de lógica proposicional

Aplicar leyes y principios de lógica proposicional en la resolución de problemas.


Plantear y resolver problemas utilizando diferentes representaciones de los objetos matemáticos para interpretar la realidad del contexto.


Identifica traduce y expresa simbólicamente las proposiciones.

Utiliza la inferencia lógica para determinar la validez de los enuncia-dos, aplicando las leyes del algebra proposicional.

Tópicos de estudio

Proposiciones

Algebra de Boole y Esquemas Eléctricos

Números y Sistemas de Numeración Aritmética del Computador

Polinomios

3.1 PROPOSICIONES

Definición

Una proposición es un enunciado u oración declarativa de la cual se pue-de afirmar que es falsa o verdadera, pero no ambas cosas a la vez. (Zill y

Dewar, 2012,p.2)

Por consiguiente, es necesario conocer los casos en que estas expresiones

son VERDADERAS o FALSAS; es decir, conocer el “valor de verdad” de ta-les expresiones.

Valor de verdad

La veracidad o falsedad de una proposición es lo que se llama su valor de verdad. (Zill y Dewar, 2012,p.2)


Ejemplo

La expresión “2+3=5”, que se lee “dos más tres es igual a cinco”, es una

proposición con valor de verdad verdadero, ya que en el sistema numérico decimal (que usa el número 10 como referencia) se conoce con certeza que 2 + 3 = 5.

Una proposición (o declaración) es una afirmación declarativa que es falsa o

verdadera, pero no ambas. Considere, por ejemplo, las seis oraciones si-guientes:

i) El hielo flota en el agua. ii) China está en Europa. iii) 2 + 2 = 4. iv) 2 + 2 = 5. v) ¿A dónde vas?

vi) Haz tu tarea.

Las cuatro primeras son proposiciones; las dos últimas, no. También, i) y iii) son verdaderas, pero ii) y iv) son falsas.

Proposiciones compuestas

Definición

Muchas proposiciones son compuestas; es decir, están compuestas de

subproposiciones y varios conectivos que se analizarán dentro de poco.

Estas proposiciones se denominan proposiciones compuestas. Se dice

que una proposición es primitiva si no es posible separarla en proposi-

ciones más simples; es decir, si no es compuesta. (Lipschutz y Lipson,

2009, p.70)

Ejemplo:

Las dos siguientes proposiciones son compuestas: “Las rosas son rojas y las violetas son azules” y “Juan es inteligente o es-

tudia cada noche” La propiedad fundamental de una proposición compuesta es que su valor

de verdad lo determinan los valores de verdad de sus subproposiciones junto con la forma en que se conectan para formar las proposiciones com-

puestas. En la siguiente sección se estudian algunos de estos conectivos.


Conectivos lógicos

Definición

Los conectivos lógicos son símbolos usados para combinar proposicio-

nes, con lo que se producen otras, llamadas proposiciones compuestas.

(Zill y Dewar, 2012,p.4)

S FUNDAMENTALES

Los conectivos fundamentales son: a) ∼ negación b) ∧ conjunción c) ∨ disyunción inclusiva d) ∨ disyunción exclusiva e) → condicionante f ) ↔ bicondicionante Operaciones lógicas básicas

Las tres operaciones lógicas básicas de conjunción, disyunción y negación que corresponden, respectivamente, a las palabras “y”, “o” y “no” en len-

guaje coloquial.

Conjunción, p ∧ q

Definición

Dos proposiciones arbitrarias se combinan mediante la palabra “y” pa-

ra formar una proposición compuesta que se denomina conjunción de

las proposiciones originales. Se escribe así: p ∧ q, si p y q son verdade-

ras, entonces p ∧ q es verdadera; en otro caso, p ∧ q es falsa (Lipschutz y

Lipson, 2009, p.71)

Puesto que p ∧ q es una proposición, tiene un valor de verdad, que depen-

de sólo de los valores de verdad de p y q.

El valor de verdad de p ∧ q tiene una forma equivalente de definición me-

diante la tabla 4. Ahí, la primera línea es una forma abreviada de decir que si p es verdadera y q es verdadera, entonces p ∧ q es verdadera. La

segunda línea establece que si p es verdadera y q es falsa, entonces p ∧ q

es falsa. Y así en las sucesivas. Observe que hay cuatro líneas corres-pondientes a las cuatro combinaciones posibles de V y F para las dos

subproposiciones p y q. También que p ∧ q es verdadera sólo cuando am-bas son verdaderas.


Tabla 5. Conjunción.

p q p ∧ q

V V V

V F F

F V F

F F F

Disyunción, p ∨ q

Definición

La disyunción inclusiva es la proposición compuesta que resulta de co-nectar dos proposiciones p y q mediante la disyunción inclusiva (∨). Esta

proposición se representa p ∨ q y se lee “p o q”. (Zill y Dewar, 2012,p.6)

Se lee “p o q”, denota la disyunción de p y q. El valor de verdad de p ∨ q sólo

depende de los valores de verdad de p y q.

Ejemplo

Si p: “Está lloviendo” y q: “3 5”, entonces la proposición “Está lloviendo

o 3 5” se expresa p ∨ q.

La característica fundamental de la disyunción inclusiva es que su valor de verdad es falso sólo en el caso en que las dos proposiciones simples que

la forman tengan valor de verdad falso. En todos los otros casos la disyun-ción inclusiva tiene valor de verdad verdadero. La siguiente es la tabla de

verdad de una disyunción inclusiva.

Tabla 6. Disyunción

p q p ∨ q

V V V

V F V

F V V

F F F


Negación, ¬p

Definición

Dada cualquier proposición p, es posible formar otra proposición, deno-

minada negación de p, al escribir “no es verdad que. . .” o “Es falso que. .

.” antes de p o, de ser posible, al insertar en p la palabra “no”. El símbolo

de la negación de p se lee “no p”, se denota por ¬p. (Lipschutz y Lipson,

2009, p.72).

El valor de verdad de ¬p depende del valor de verdad de p, de tal forma

que si p es verdadera, entonces ¬p es falsa; y si p es falsa, entonces ¬p es verdadera.

El valor de verdad de ¬p tiene una forma equivalente de definición por me-dio de la tabla en la figura 6. Así, el valor de verdad de la negación de p

siempre es el opuesto al valor de verdad de p.

Tabla 7. Negación 1

p ∼p

V F

F V


CAPÍTULO 4: SUCESIONES Y SERIES

Objetivos

Reconocer sucesiones y las diferentes formas de expresarlas.

Escribir cualquier término de una sucesión, conocido su término ge-neral, o la ley de recurrencia.

Distinguir una progresión aritmética de una geométrica y calcular sus términos generales.


Construir e interpretar modelos algebraicos para la representación y resolución de situaciones y/o problemas teóricos o prácticos, con-

cernientes a su vida cotidiana y escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad.


Utiliza la noción de sucesión aritmética y geométrica en situaciones

cotidianas.

Describe una sucesión aritmética y geométrica empleando diferentes tipos de expresiones.

Tópicos de estudio

Concepto de sucesión

Sucesión de números reales

Progresiones aritméticas y geométricas ACTIVIDAD DIAGNÓSTICA TERCER MOMENTO DE AUTOAPRENDIZA-

JE

Con el propósito de realizar un diagnóstico sobre el dominio del conoci-miento matemático tanto conceptual como procedimental, relacionado con

las temáticas que se abordarán en el desarrollo del cuarto capítulo del curso, a continuación lo invitamos para que resuelva la siguiente actividad diagnóstica:


Personas Saludos 1 0 2 1 3 4 5 6 7

n

1. Si todos los estudiantes de un salón se saludaran de mano, ¿cuántos

apretones de mano se darían?

Proceder de manera experimental y organizar los datos en la siguiente ta-bla.

Expresemos los datos de la tabla anterior de la siguiente forma:

Encuentre la expresión general que permita determinar el número de sa-ludos de manos para cualquier cantidad de personas.

1. Observa y completa la siguiente sucesión: 1, 1, 2, 3, 5, 8, , , , , …….

¿Qué nombre recibe la sucesión anterior?


4.1 CONCEPTO

Sucesión

Una sucesión es una función f cuyo dominio es el conjunto de números naturales. Los términos de la sucesión son los valores de la función

f(1) , f (2) , f (3 ) , . . . , f (n) , . . .

Por lo general escribimos an en lugar de la notación de función f(n). En

consecuencia, los términos de las sucesión se escriben como

a1, a2, a3, . . . , an, . . .

El número a1 se denomina primer término, a2 se llama segundo tér-

mino y, en general an recibe el nombre de n-ésimo término. (Stewart et al,2012,p.784)

La sucesión es ordenada en el sentido de que hay un primer término a1, un segundo término a2, un cuadragésimo quinto término a45 y si n denota

un entero positivo arbitrario, un n-ésimo término an.

En términos generales, una sucesión es una lista infinita de números. Es frecuente que los números de una sucesión se escriban a1, a2, a3, … Los

puntos quieren decir que la lista continúa hasta el infinito. Un ejemplo sencillo es la sucesión de la figura 20.

Figura 21. Ejemplo de sucesión

Podemos describir el patrón de la sucesión anterior con la siguiente fórmula:

an = 5n


Una forma diferente de describir el modelo, es entender que se pasa de

un número al siguiente sumando 5. Esta forma natural de describir la sucesión está expresada por la fórmula recursiva:

an = an—1 + 5

Iniciando con a1 = 5. Intente sustituyendo n = 1, 2, 3, … en cada una de

estas fórmulas para ver cómo producen los números de la sucesión.

A continuación veamos un ejemplo sencillo de una sucesión:

2, 4, 6, 8, 10, …

Podemos escribir una sucesión en esta forma cuando son evidentes cuáles

son los términos subsiguientes de la sucesión. Esta sucesión está formada por números pares. Para ser más precisos, no obstante, necesitamos espe-

cificar un procedimiento para hallar todos los términos de la sucesión. Esto puede hacerse al dar una fórmula para el n-ésimo término an de la suce-

sión. En este caso,

an = 2n

Figura 22. Términos de una sucesión

Nótese cómo la fórmula an = 2n da todos los términos de la sucesión. Por

ejemplo, sustituyendo 1, 2, 3 y 4 para n dan los primeros cuatro términos

Figura 23. Cuatro primeros términos


Ejemplo:

Enumere los primeros cinco términos de la sucesión dada

an=2 n-1 , n=1,2,3,4,5 Solución: Para hallar los primeros cinco términos, sustituimos n = 1, 2, 3, 4 y 5 en la

fórmula del n-ésimo término. an = 1 ,3 ,5 ,7 ,9

4.2 SUCESIÓN DE NÚMEROS REALES Sucesiones definidas en forma recursiva

El n-ésimo término de una sucesión puede depender de alguno o de todos los términos que lo preceden. Una sucesión definida en esta forma se de-

nomina recursiva.(Stewart et al,2012,p.786)

En vez de dar el término general de una sucesión a1, a2, a2,…, an, an+1,…, podemos definirla usando una regla o fórmula en la que an+1 se expresa

usando los términos anteriores de esta manera se dice que la sucesión es-tá definida en forma recursiva.

Ejemplo: Hallar términos de una sucesión definida en forma recursiva

Encuentre los primeros cuatro términos y el n-ésimo término de la suce-sión infinita definida en forma recursiva de la siguiente forma:

a1 = 3, ak+1 = 2ak para k

S O LU C I Ó N Los primeros cuatro términos son:

a1 = 3

a2 = 2a1 = 2 · 3 = 6

a3 = 2a2 = 2 · 2 · 3 = 22 · 3 = 12

a4 = 2a3 = 2 · 2 · 2 · 3 = 23 · 3 = 24.

Hemos escrito los términos como productos para obtener algún conoci-

miento de la naturaleza del n-ésimo término. Continuando, obtenemos a5 = 24 · 3,

a6 = 25 · 3

y en general, an = 2n- 1 · 3

para todo entero positivo n.


Sucesiones recurrentes. Podemos definir las sucesiones recurrentes como

aquellas en las que un término se expresa en función de términos anteriores. La sucesión de Fibonacci es un claro ejemplo de sucesiones

recurrentes; hasta ahora no ha sido posible encontrar su expresión gene-ral. De manera recurrente podemos expresar esta sucesión como “cada

término se obtiene a partir de la suma de los dos términos anteriores”, así:

Fn Fn 1 Fn 2


A continuación se presentan las actividades a desarrollar en el tercer mo-

mento de autoaprendizaje, específicamente en la fase de comprensión, in-terpretación y conceptualización de lo aprendido.

1. Dada la siguiente figura triangular en la que aparecen una serie de números, examina las relaciones existentes y halla valor del signo

“?”.

2. Hallar los dos términos siguientes de las sucesiones:

a) (2,4,6,8,…)

¿Qué índice corresponde con el valor del término “8” en la primera sucesión? ¿Describa la diferencien entre término e índice?

3. Escribir los cuatro primeros términos de las siguientes sucesiones y representarlos en forma tabular:

n

, n

4. Dada las siguiente regularidades continua con el elementos siguien-te:


5. ¿Cuál de las siguientes sucesiones es una progresión aritmética?

Explica tu respuesta.

an=(2,4,6,8,10,…) bn=(1,2,4,8,16,…)

6. Encuentre los primeros cuatro términos y el octavo término de

la sucesión: a. {12 — 3n}

b.{10 +

}

4.3 PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS Hasta el momento hemos estudiado diferentes tipos de sucesiones, la for-

ma de encontrar su término general o si no es el caso, su fórmula de recu-rrencia. Ahora, estudiaremos en detalle dos tipos especiales de sucesiones

que se definen mediante fórmulas recursivas: Las progresiones aritméticas y las progresiones geométricas.

Progresión aritmética o sucesión aritmética

Definición

Una sucesión aritmética es una sucesión de la forma

a, a + d, a +2d, a +3d, a +4d, . . .

El número a es el primer término, y d es la diferencia común de la suce-sión. El n-esimo término de una sucesión aritmética está dado por

an= a+(n-1) d (Stewart et al,2012,p.795)

El número d se llama diferencia común de la sucesión porque cualesquiera dos términos consecutivos de una sucesión aritmética difieren en d , el nú-

mero d = ak+1 — ak se denomina diferencia común de la sucesión.


Dada una sucesión aritmética, sabemos que ak+1 = ak + d

para todo entero positivo k. Esto nos da una fórmula recursiva para obte-ner términos sucesivos. Empezando con cualquier número real a1, podemos

obtener una sucesión aritmética con diferencia común d simplemente al

sumar d a a1, luego a a1 + d, y así sucesivamente, obteniendo

a1, a1 + d, a1 + 2d, a1 + 3d, a1 + 4d, . . . .

El n-ésimo término an de esta sucesión está dado por la siguiente fórmu-

la.

an = a1 + (n — 1)d

Ejemplo: Hallar un término específico de una sucesión aritmética

Los primeros tres términos de una sucesión aritmética son 20, 16.5 y

13. Encuentre el decimoquinto término. S O LU C I Ó N La diferencia común es

a2 — a1 = 16.5 — 20 = —3.5.

Sustituyendo n = 15, a1 = 20 y d = —3.5 en la fórmula para el n-ésimo tér-

mino de una sucesión aritmética, an = a1 + (n — 1)d nos da

a15 = 20 + (15 — 1)(—3.5) = 20 — 49 = —29.

Progresión geométrica o sucesión geométrica

El segundo tipo especial de sucesión que estudiaremos, la sucesión geométrica, se presenta con frecuencia en aplicaciones de finanzas, creci-

miento poblacional y otros campos de la actividad, y se define de la si-guiente forma:

Definición

Una sucesión geométrica es una sucesión de la forma

a, ar, ar 2, ar 3, ar 4, . . .

El número a es el primer término, y r es la razón común de la suce-sión. El n-esimo término de una sucesión está dado por

an = ar n-1 (Stewart et al,2012,p.800)


Una sucesión geométrica se genera cuando empezamos con un número a

y repetidamente multiplicamos por una constante r fija diferente de cero, el número r recibe el nombre de razón común porque la razón de cualesquier

dos términos consecutivos es r En la sucesión 1, 2, 4, 8,…, cada término después del primero se obtiene

multiplicando el término anterior por el número 2. En este caso, observa-mos que la razón de un término con el término anterior es una constante:

2. Se dice que una sucesión de este tipo es una sucesión geométrica.

Ejemplos

a. Si a = 3 y r = 2, entonces tenemos la sucesión geométrica

3, 3* 2, 3 * 22, 3 * 23,3* 24, . . .

3, 6, 12, 24, 48, . . .

Observe que la razón de cualesquier dos términos consecutivos es r =

El n-ésimo término es an = 3(2)n-1

b. La sucesión

2, -10, 50, -250, 1250, . . .

es una sucesión geométrica con a = 2 y r = —5. Cuando r es negativa, los

términos de la sucesión se alternan en signo. El n-ésimo término es

an = 2(—5)n-1


A continuación se presentan las actividades a desarrollar en el tercer mo-mento de autoaprendizaje, específicamente en la fase de contextualización

de lo aprendido.

1. Seleccionar dos números naturales cualesquiera y construir, empe-

zando con esos números, una sucesión como la de Fibonacci, es de-

cir en la que cada término sea la suma de los dos anteriores. La

suma de los diez primeros términos de tu sucesión será once veces

el séptimo término. Esto sucede en la sucesión de Fibonacci y en

cualquier otra que se construyas de la misma manera.


2. Identifica cuales de las siguientes sucesiones son progresiones arit-

méticas y determina su diferencia.

(a) 5, 7, 9, 11, ………. (b) 1, 4, 9, 16, ……….

(c) 1/2, 3/2, 5/2, ……. (d) 1, 1, 2, 3, 5, 8, ….

(e) 1, 3, 6, 10, ………. (f) 4, 8, 12, 16, 20,…..

3. Propone 3 ejemplos de progresiones aritméticas y calcula su diferen-cia.

4. En una carrera, un hombre avanza en el primer segundo 6m y en

cada segundo posterior avanza 25cm más que en el anterior. ¿Cuán-tos metros avanzó en el octavo segundo? Encuentra una expresión

general para calcular la cantidad de metros que avanza el corredor en cualquier segundo.5.

5. Imaginemos que una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, y a partir de ese momento cada vez engendra otra pareja de conejos, que a su vez (tras llegar a la edad de la fertilidad) engen-

drarán cada mes una pareja de conejos. ¿Cuántos conejos habrá al cabo de 12 meses?

6. Una mujer decide trotar una distancia particular cada semana, de

acuerdo con el siguiente horario: la primera semana trotará 1000 metros por día. Cada semana siguiente trotará 250 metros más por día de lo que trotó la semana anterior. Hallar la distancia que reco-

rrerá por día en la semana número 26 y la semana en la cual trotará 10000 metros por día.

7. En una sucesión aritmética, la diferencia común d es -2 y el sexto termino es 3, Hallar el primer término de la sucesión.

8. Un carpintero desea construir una escalera con nueve barrotes cu-yas longitudes disminuyen de manera uniforme de 24 cm en la base


a 18 cm en la parte superior. De acuerdo con la situación hallar las

longitudes en cm de los siete barrotes intermedios

9. Demuestre que la sucesión dada es aritmética y encuentre la di-ferencia común.

a. —6, —2, 2, . . . , 4n — 10, . . .

10. Completar: Una sucesión geométrica es una sucesión en la que la de términos sucesivos es constante.


BIBLIOGRAFIA

Jiménez, R. (2011). Matemáticas IV. Funciones enfoque por competencias.

Recuperado de http://es.scribd.com/doc/211505526/Matematicas-iv-Funciones-2ed-rene-Jimenez-u-Libros-com

Lipschutz, S., y Lipson, M. (2009).Matemáticas discretas. México D.F, Mé-

xico: McGraw-Hill. Miller, C., Heeren, V., y Hornsby, J. (2013). Matemática: razonamiento y

aplicaciones. México D.F, México: Pearson educación.

Stewart, J., Redlin, L y Watson, S.(2012). Precálculo. Matemáticas para el

cálculo. México D.F, México: Cengage Learning.

Swokowski, E., y Cole, J.(2011). Álgebra y trigonometría con geometría ana-

lítica. México D.F, México: Cengage Learning. Zill, D., y Dewar, J. (2012). Álgebra, trigonometría y geometría analítica.

México D.F, México: McGraw-Hill.

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http://es.scribd.com/doc/211505526/Matematicas-iv-Funciones-2ed-rene-Jimenez-u-Libros-com

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