UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES · Todos ellos han contribuido positivamente a la realizaci´on de este...

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UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES

Facultad de Ciencias Exactas y NaturalesDepartamento de Matematica

Formulas Explıcitas para el Calculo de

Resultantes y Aplicaciones

por: Carlos D’Andrea

Directora de Tesis: Dra. Alicia Dickenstein

Lugar de Trabajo: Departamento de Matematica, FCEyN, UBA

Trabajo de Tesis para optar por el tıtulo de Doctor en Ciencias Matematicas

Marzo 2001

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A la OMA

iii

S. Ite, missa est.

M. Deo gratias.

la Misa

Et pourtant, le resultant ne meritait ni

cet exces d’honneur, ni cette indignite...

J.P. Jouanolou

‘‘It’s funny; cause at the rate

I’m goin when I’m thirty

I’ll be the only person

in the nursin home flirting...’’

Eminem

iv

Agradecimientos

En primer lugar, deseo expresar mi profundo agradecimiento hacia Alicia Dickenstein.

Mi formacion matematica tuvo ademas el aporte y la influencia de muchas personas, conquienes tuve el privilegio de colaborar o discutir: A. Alamrani, M. Almeida, C. Blanco, L.Buse, M. Chardin, D. Cox, F. Cukierman, L. D’Alfonso, P. De Napoli, M. Elkhadi, I. Z.Emiris, J. Fernandez Bonder, M. Grana, P. Haramburu, J. Heintz, G. Jeronimo, B. Haas,T. Krick, F. Krongold, G. Massaccesi, B. Mourrain, J. Pinasco, P. Popescu-Pampu, H.Ratsimbazafy, J. Sabia, M. Sombra, P. Solerno y B. Sturmfels.

Agradezco a todas las personas del Departamento de Matematica de la Facultad de Cien-cias Exactas y Naturales de la UBA, por haber contribuido a crear un ambiente favorablepara mi trabajo. Tambien agradezco al personal del Mathematical Sciences ResearchInstitute, Berkeley, Estados Unidos, del INRIA de Sophia-Antipolis, Francia y del Insti-tuto Joseph Fourier, de Grenoble, Francia, por su hospitalidad durante estadıas que herealizado.

Esta tesis ha sido parcialmente financiada por FOMEC a traves de una beca doctoral,y por la Universidad de Buenos Aires y la Agencia Nacional de Promocion Cientıfica yTecnologica a traves de distintos subsidios de investigacion.

Quiero agradecer a todas las personas que, desde la cotidianeidad, me acompanaron a lolargo de estos anos:

• A mi familia: mama, papa, Ana, Nico, Francisco, Marıa Isabel y tıa Felisa, por suamor, comprension y apoyo incondicional (aunque nunca supieron exactamente quees lo que hago 1).

• Amis amigos, por el apoyo, la companıa, y los muchos (y varias veces vanos) intentosde hacerme recordar que soy una persona.

• A profesores, graduados y alumnos de esta facultad, por las interesantes ensenanzasy la sana camaraderıa compartida.

Todos ellos han contribuido positivamente a la realizacion de este trabajo.

Por ultimo (pero no por ello menos importante), quiero expresar mi mas profunda gratitudy admiracion hacia esa comunidad maravillosa de docentes, padres, alumnos y ex-alumnosque a lo largo y a lo ancho del paıs hacen funcionar la Olimpıada Matematica Argentina.Ellos son los principales culpables de que yo este escribiendo esta memoria, y a todos ellosesta dedicada esta tesis.

1ni lo van a saber :-)

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Formulas Explıcitas para elCalculo de Resultantes y Aplicaciones

Resumen

Presentamos formulas para calcular resultantes ralas como cociente de dos determinantes,que extienden a las formulas de Macaulay clasicas. En el caso homogeneo, presentamosformulas a la Macaulay mas compactas. Mostramos ademas que estas formulas explicitanel unico morfismo no trivial de un complejo cuyo determinante es la resultante. Ademas,se exploran las extensiones a resultantes ralas en dos variables.Como aplicaciones, se obtiene una familia de operadores de proyeccion aplicando perturba-ciones a resultantes ralas, que proveen de un metodo general para calcular todas las raıcesaisladas de sistemas polinomiales, aun ante la presencia de componentes de dimensionpositiva. Tambien, se estudia la validez de la implicitacion de superficies racionales porel metodo de superficies moviles, mostrando relaciones entre resultantes y algunos deter-minantes que se usan en la formulacion del metodo, y consiguiendo extenderlo al case desuperficies no propiamente parametrizadas, en ausencia de puntos base.

Palabras clave: resultante, formulas de Macaulay, determinante de un complejo, resul-tante rala, operadores de proyeccion, implicitacion, metodo de superficies moviles, puntosbase.

Explicit Formulations for theComputation of Resultants and Applications

Abstract

We present formulas for computing sparse resultants as a quotient of two determinants,which extend the classical Macaulay formulas. In the homogeneous case, we presentcompact Macaulay style formulas. We show that these latter make explicit the uniquenon trivial morphism of a complex whose determinant equals the resultant. We alsoexplore the extensions of these formulas to bivariate sparse resultants.As applications, we obtain a family of projection operators applying perturbations onsparse resultants, which yield a general method for computing all isolated roots of poly-nomial systems, even in the presence of excess components or other degenerate inputs.In addition, we study the validity of the implicitization of rational surfaces by the methodof moving surfaces, give some relationships among resultants and some determinantsarising in the formulation of that method, and extend it to the case of not properlyparametrised surfaces without base points.

Keywords: resultant, Macaulay formulas, determinant of a complex, sparse resultant,projection operator, implicitization, method of moving surfaces, base points.

Introduccion

Uno de los problemas principales tanto en el algebra computacional como en la geometrıaalgebraica efectiva es el problema de eliminacion de variables en sistemas de polinomios.Un ejemplo tıpico de esta situacion se presenta cuando uno “triangula” un sistema deecuaciones lineales

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2

......

...am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm

(1)

para llevarlo a un sistema equivalente a (1), pero de la forma

A11x1 + A12x2 + · · · + A1nxn = B1

A22x2 + · · · + A2nxn = B2

. . ....

......

(2)

que, obviamente, es mas facil de resolver. Aquı, lo que se hace es tratar de “eliminar”una variable por cada ecuacion que aparece. En eso consiste la teorıa de la eliminacion:en eliminar una o mas variables de un sistema de ecuaciones polinomiales, reduciendo elproblema dado a uno equivalente pero con menos variables en juego.

Por ejemplo, si estamos interesados en resolvera0 + a1x+ a2x

2 = 0b0 + b1x+ b2x

2 = 0,(3)

con a2 6= 0 6= b2, podemos eliminar la variable x de las ecuaciones y obtener la “trian-gulacion ”

a0 + a1x+ a2x

2 = 0a20b

22 − a0a1b1b2 − 2a0a2b0b2 + a0a2b

21 + a21b0b2 − a1a2b0b1 + a22b

20 = 0.

La expresion que aparece en la segunda fila del sistema triangulado se llama la resultantede (3). Se anula si y solamente si ese sistema tiene una solucion compleja.

La misma idea se puede usar para eliminar x en un sistema de dos ecuaciones genericas:a0 + a1x+ · · ·+ anx

n = 0b0 + b1x+ · · ·+ bmx

m = 0,

1

2

pero los calculos que hay que realizar para “triangular” el sistema son considerables.El problema se complica aun mas cuando uno intenta buscar condiciones sobre un sistemade varios polinomios en varias variables. De manera informal, dado un sistema de n + 1polinomios en n variables

f0(x1, · · · , xn) = 0f1(x1, · · · , xn) = 0

......

...fn(x1, · · · , xn) = 0,

(4)

la “resultante” de f0, · · · , fn sera justamente la condicion en los coeficientes de los poli-nomios fi para que el sistema (4) tenga una solucion.

La teorıa de la eliminacion estudia tecnicas y algoritmos para eliminar variables de unconjunto de ecuaciones polinomiales. La resultante esencialmente elimina n variables deun conjunto de n + 1 polinomios. Ella forma parte de una familia de operadores que sellaman de “proyeccion” ya que, geometricamente, proyectan una variedad de solucionesen un espacio de cierta dimension, sobre uno de dimension menor.

Un problema central en la teorıa de la eliminacion y el proposito de esta memoria es en-contrar formulas explıcitas y relativamente faciles de calcular para resultantes. Asimismotratamos otros problemas relacionados, como el uso de resultantes en los problemas deimplicitacion, y el calculo de operadores de proyeccion.

En lo que sigue, haremos una introduccion a los problemas que consideramos, junto conun resumen de los resultados presentados en esta memoria.

0.1 Formulas para Resultantes Clasicas

Dados n polinomios homogeneos en n variables f1, . . . , fn con coeficientes en un cuerpok y grados d1, . . . , dn respectivamente, la resultante Resd1,...,dn(f1, . . . , fn) es un polinomioirreducible en los coeficientes de f1, . . . , fn, que se anula si y solamente si f1, . . . , fn tieneuna raız en comun en el espacio proyectivo Pn−1 a valores en la clausura algebraica de k.

El estudio de resultantes se remonta a matematicos clasicos como Sylvester, Cayley,Macaulay and Dixon. Su uso como herramienta computacional para eliminacion de va-riables, ası como para el estudio de temas de complejidad de solucion de sistemas polino-miales en la ultima decada, ha renovado el interes en encontrar formulas explıcitas parasu calculo (cf. [AS, Can1, Can2, EM, KPS, Laz, Ren, Roj]).

La complejidad intrınseca del problema de la eliminacion de variables (que incluye elcalculo de resultantes) ha sido estudiada en [HM], quienes han senalado el caracterintrınsecamente exponencial del problema, independientemente del tipo de estructura dedatos utilizada.

Por una formula determinal queremos significar una matriz cuyas entradas sean polinomia-les en los coeficientes de f1, . . . , fn y cuyo determinante sea igual a Resd1,...,dn(f1, . . . , fn).Como estamos interesados en poder calcular la resultante a partir de estas formulas, queda

0.1. FORMULAS PARA RESULTANTES CLASICAS 3

implıcito que los coeficientes de estas matrices se deben poder calcular algorıtmicamentea partir de los coeficientes de f1, . . . , fn, y que todas las entradas no nulas de la matrizdeben tener grado estrictamente menor al grado de la resultante.

En el caso en que d1 = d2 = · · · = dn, todas las formulas determinantales no triviales cono-cidas fueron descriptas por Weyman y Zelevinsky en [WZ]. Esta lista es muy reducida: sid ≥ 2 denota el valor comun de los di, se tiene que hay formulas determinantales para todod solo en el caso de formas binarias (dadas por las bien conocidas matrices de Sylvester),y en tres y cuatro variables. Cuando n = 5, los unicos posibles valores para d son 2 y3; finalmente, para n = 6, solo hay formula determinal para el caso d = 2. Encontramosrestricciones similares para n, d1, . . . , dn generales (ver el lema 3.2).

Por otro lado, dados d1, . . . , dn, llamaremos a tn :=∑n

i=1(di − 1) “el grado crıtico”. Lasformulas clasicas de Macaulay [Mac1] permiten calcular Resd1,...,dn(f1, . . . , fn) como uncociente explıcito de dos determinantes. Estas formulas involucran una matriz de tamanomayor o igual que el numero de monomios en n variables de grado tn+1, y una submatrizde ella.

El trabajo de Macaulay ha sido reescrito y mejorado por Jouanolou en [Jou2], donde sepresenta una formula a la Macaulay para la resultante (es decir, como el cociente entreel determinante de una matriz y un menor de la misma matriz). El tamano de la matrizes exactamente el numero de monomios en n variables de grado tn (cf. [Jou2], Corollaire3.9.7.7). En el mismo trabajo, Jouanolou construye para cualquier grado t ≥ 0, unamatriz cuadrada Mt de tamano

(t+n−1n−1

)+ i(tn − t) cuyo determinante es un multiplo no

trivial de Resd1,...,dn(f1, . . . , fn) (ver el apartado 3.11.19.7 de [Jou2]), donde i(tn−t) denotala dimension del k−espacio vectorial de elementos de grado tn− t que pertenecen al idealgenerado por una sucesion regular de n polinomios de grados d1, . . . , dn respectivamente.

Uno de los resultados que conseguimos en esta memoria, en el capıtulo 1, es una de-scripcion explıcita del factor extrano de la formulacion de Jouanolou, es decir del poli-nomio det(Mt)/Resd1,...,dn(f1, . . . , fn), que nuevamente resulta ser el determinante de unasubmatriz Et de Mt, para cada t. Esto nos permite demostrar nuevas formulas a laMacaulay para la resultante

Resd1,...,dn(f1, . . . , fn) =det(Mt)

det(Et)(5)

en el teorema 1.10. Cuando t > tn, el teorema recupera las formulas clasicas de Macaulay.Si t ≤ tn, el tamano de la matriz Mt es considerablemente menor. En el apartado 1.3presentamos estimaciones para este tamano.

Las ideas que usamos para obtener estos resultados son esencialmente las ideas originalesde Macaulay que aparecen en [Mac1], y que fueron reutilizadas por Jouanolou en [Jou2].Tambien utilizamos el trabajo de Chardin sobre subresultantes homogeneas que aparece en[Cha2, Cha3], donde se introduce una formula a la Macaulay para calcular subresultantes.

En el capıtulo 3, se muestra que los determinantes de matrices de la formaMt son en rea-lidad menores maximales no nulos de una matriz de tamano mas grande que correspondea uno de los morfismos en un complejo de tipo Koszul que en general tiene varios terminos

4

no nulos y cuyo determinante es Resd1,...,dn(f1, . . . , fn) (teorema 3.1). Estos complejos sonconsiderados en [WZ] y en [GKZ2] en el caso en que todos los grados son iguales, y seconstruyen a partir de la sucesion espectral asociada a un “twisting” del complejo deKoszul a nivel de haces.

La contribucion que hemos hecho en este caso es dar expresiones explıcitas para los mor-fismos de este tipo de complejos, en terminos del bezoutiano asociado a f1, . . . , fn paraaquellos valores de t que se encuentran por debajo del grado crıtico, de esta manera,contribuyendo de manera parcial al problema formulado por Weyman y Zelevinsky en[WZ] (ver tambien [GKZ2], 13.1.C). En el caso en que tn −mindi < t < tn, recupera-mos resultados que aparecen en [Jou2], que generalizan la formula de Sylvester para trescuadricas en tres variables.

En el capıtulo 5 mostramos como varias formulas clasicas se pueden obtener como casosespeciales de las formulas determinantales que presentamos aquı. Esto puede verse comouna extension de los resultados ilustrados en [GKZ2] y [WZ]. Tambien mostramos que lasformulas de Dixon para calcular la resultante “afın”, cuya extension se estudia en [EM],pueden considerarse como parte de estas formulas.

Todos los resultados mencionados en este apartado fueron realizados en colaboracion conAlicia Dickenstein, y estan contenidos en [DD].

0.2 Formulas a la Macaulay para Resultantes Ralas

Sean A0, . . . ,An conjuntos finitos de Zn. Consideremos la familia de polinomios

fi (x1, . . . , xn) =∑

a∈Ai

ci,a xa (i = 0, . . . , n) .

La resultante rala ResA(f0, . . . , fn) es un polinomio irreducible en los coeficientes def0, . . . , fn, que se anula siempre y cuando estos polinomios tengan una raız en comunen una compactificacion apropiada del espacio afın asociada a la familia de soportes, queviene a sustituir el rol que tenıa el espacio proyectivo en la version clasica.

La resultante rala hizo su aparicion en la matematica muy recientemente, en el estudio delugares singulares de funciones hipergeometricas ([GKZ1, GKZ2]). Este objeto generalizaa la resultante clasica como se puede ver en el apartado 2.2.4.

El primer metodo efectivo para calcular ResA fue propuesto por Sturmfels en [Stu1]. Masadelante, en [CE1, CE2], Canny y Emiris construyeron generalizaciones de las matricesclasicas de tipo Sylvester que aparecen en (1.7). Estas matrices son cuadradas, condeterminante no nulo y multiplo de ResA(f0, . . . , fn). Esta construccion fue mejoradapor Sturmfels en [Stu2], y de hecho se muestra en [CE2] que se pueden aplicar estasformulas generales al caso homogeneo, y recuperar las formulas clasicas de Macaulay quehemos citado en el apartado anterior.

0.2. FORMULAS A LA MACAULAY PARA RESULTANTES RALAS 5

Una de las cosas que quedaron sin ser estudiadas en el caso general, es la descripcionprecisa del factor extrano que aparece al hacer el cociente

det(matriz de Sylvester)

ResA(f0, . . . , fn).

Durante algun tiempo se conjeturo que debıa ser algun menor de la matriz de Sylvester,pero nunca se pudo encontrar una prueba de ello.

Al respecto, en el capıtulo 7 de [CLO], se puede leer:However, as of this writing, it is not known if a sparse analog of the third bullet exists -there is no known systematic way of writing ResA, or more generally ResA0,···,An(f0, . . . , fn)as a quotient of two determinants.

Y mas adelante, dentro del mismo capıtulo, se encuentra:

One of the major unsolved problems concerning sparse resultants is whether they can berepresented as a quotient of two determinants. In the multipolynomial case, this is trueby Theorem (4.9) of Chapter 3. Does this have a sparse analog? Nobody knows!

Siempre refiriendose al mismo tema, en el apartado V III de la introduccion de [GKZ2]se encuentra la siguiente frase:

Macaulay made another intriguing contribution to the theory by giving an ingenious re-finement of the Cayley method [Mac1]. It would be interesting to put his approach in thegeneral framework of this book.

Sturmfels tambien se refiere a este tema varias veces en sus trabajos. En [Stu2], al finaldel Corolario 3.1, dice:

It is an important open problem to find a more explicit formula for Pω,δ2 in the general

case. Does there exist such a formula in terms of some smaller resultants?

Tambien en la tesis de doctorado de Ioannis Z. Emiris, y en algunos trabajos suyos conotras personas (ver por ejemplo [CE1, CE2, DE1, EM]) se encuentran referencias sobre eltema. La seccion 3.1.4 de [Emi1] comienza ası:

A natural step is to establish a formula for the sparse resultant as the quotient of twodeterminants, in the fashion of Macaulay.

Aquı hay que hacer notar que la construccion de Canny y Emiris tenıa un “candidato” afactor extrano (ver por ejemplo la conjetura 3.1.19 de [Emi1]), que parecıa funcionar encasi todos los casos, pero nunca pudo probarse su veracidad en general.

El resultado central de esta memoria (y tambien la motivacion inicial del autor) es unarespuesta positiva a esta pregunta. En el capıtulo 2, presentamos una generalizacion delas formulas clasicas de Macaulay en el siguiente sentido: damos un algoritmo que producematrices de tipo Sylvester generalizadas, cuyos determinantes son multiplos no nulos deResA(f0, . . . , fn), y mostramos que el factor extrano es nuevamente el determinante deuna submatriz que puede ser descripta explıcitamente.

2Pω,δ es el factor extrano

6

En el apartado 2.2 se trata con polinomios “generalizadamente no mixtos”, que puedenser considerados como la primera generalizacion del caso clasico. El teorema 2.12 es elresultado principal de esa seccion, que dice nuevamente que

det(matriz de Sylvester) = ResA(f0, . . . , fn) det(cierto menor de la matriz)

cuando la familia de polinomios es generalizadamente no mixta. En la seccion siguiente(apartado 2.3), tratamos el caso mas general, y en ese sentido, el teorema 2.29 se puedeconsiderar como una generalizacion del anterior, y ademas una extension del teoremaclasico de Macaulay, como se ve en el apartado 2.2.4.

Los resultados obtenidos en el capıtulo 2 se encuentran en [D2].

0.3 Formulas Involucrando el Jacobiano

Una vez generalizadas las matrices de Macaulay al caso ralo, el paso siguiente es generali-zar las matrices dadas por Jouanolou en [Jou2] para obtener matrices mas pequenas cuyodeterminante sea un multiplo no trivial de ResA(f0, . . . , fn). El obstaculo principal radicaen la no existencia de un “bezoutiano ralo”. Sin embargo, existe una version generalizadade “grado crıtico” y de jacobiano que fue dada por Cox en [Cox1], y subsecuentementeestudiada en [CCD, CD, CDS2].

En este ultimo trabajo, Cattani, Dickenstein y Sturmfels mostraron que la resultante ralase puede obtener como el determinante de un complejo similar a los que aparecen en elcapıtulo 3 y en “grado crıtico”. Mas aun, la resultante rala se puede calcular como elmaximo comun divisor de los menores maximales del ultimo morfismo en este complejo.

Nuestra contribucion en esta direccion reside en un algoritmo que calcula un menor maxi-mal no nulo de este morfismo, y que ademas tiene el mismo grado que la resultante en loscoeficientes de alguno de los polinomios. En el capıtulo 4 abordamos el caso de sistemasde 3 polinomios en 2 variables generalizadamente no mixtos. Esperamos que el metodosea generalizable a dimension arbitraria.

El algoritmo que se describe a lo largo de este capıtulo permite construir matrices maspequenas que las de Canny y Emiris, casi 100% de tipo Sylvester, y el resultado principalen esta direccion es el teorema 4.18, que establece que los determinantes de estas matricesson multiplos no triviales de la resultante rala. No se sabe aun si el factor extrano en estecaso es nuevamente un menor de las matrices que aquı se proponen.

Los resultados del capıtulo 4 fueron realizados en colaboracion con Ioannis Z. Emiris, yestan contenidos en [DE2].

0.4 Aplicaciones

Los dos ultimos capıtulos de esta memoria se ocupan de algunas aplicaciones de la resul-tante multidimensional.

0.4. APLICACIONES 7

0.4.1 Resultantes y Superficies Moviles (capıtulo 6)

Dados cuatro polinomios en dos variables x1(s, t), x2(s, t), x3(s, t) y x4(s, t), si x4 6= 0las ecuaciones

X1 =x1(s, t)

x4(s, t), X2 =

x2(s, t)

x4(s, t), X3 =

x3(s, t)

x4(s, t), (6)

definen una parametrizacion de una superficie racional.

El problema de la implicitacion consiste en encontrar otro polinomio F (X1, X2, X3) talque F (X) = 0 sea la ecuacion de la menor superficie algebraica que contenga a (6).

Un metodo clasico para encontrar esta ecuacion implıcita es eliminar las variables s y tcalculando la resultante de los polinomios

x1(s, t)−X1 x4(s, t), x2(s, t)−X2 x4(s, t), x3(s, t)−X3 x4(s, t). (7)

El problema es cual resultante tomar. Podemos, por ejemplo, considerar los polinomiosxi con grado menor o igual que n, y tomar la resultante clasica. Este caso se suele llamartriangular.

Una situacion muy distinta se presenta si, por ejemplo, consideramos los polinomios xicon grado menor o igual que m en s, y menor o igual que n en t. Aquı podrıamos usar laresultante bihomogenea. Este caso se llama caso de producto tensorial, y la anulacion deesta resultante significa que el sistema tiene una solucion en P1 × P1.

En los dos casos mencionados, la resultante de (7) calcula la ecuacion implıcita de lasuperficie (en realidad calcula una potencia de ella) en ausencia de puntos base, es decircuando no hay un punto (s0, t0) en el espacio proyectivo correspondiente (P2 para el casotriangular, o P1 × P1 para el otro) tal que

x1(s0, t0) = x2(s0, t0) = x3(s0, t0) = x4(s0, t0) = 0.

En [SC], Sederberg y Chen introdujeron una nueva tecnica para calcular la ecuacionimplıcita de (6) que se llama el metodo de las cuadricas moviles. La ventaja de estemetodo es que usa determinantes de matrices mas pequenas que las que se usan en losmetodos clasicos, y ademas pareciera funcionar incluso en la presencia de puntos base.

Un analisis detallado de esta tecnica esta dado en [CGZ], donde se establecen condi-ciones suficientes para la validez de la implicitacion por el metodo de cuadricas movilespara los dos casos mencionados anteriormente: el del producto tensorial y el triangular.En ese trabajo, se demuestra que el metodo funciona en la ausencia de puntos base, ycuando la superficie esta propiamente parametrizada, es decir cuando la parametrizaciones genericamente inyectiva. En el trabajo [CGZ], los autores conjeturaron algunas rela-ciones entre las matrices de coeficientes de planos moviles y cuadricas moviles (definicionesde estos objetos se encontraran en el capıtulo 6)(Conjeturas 6.1 y 6.2 de [CGZ]). La intu-icion que habıa detras de esta conjetura era una relacion similar valida en el caso planar(ver por ejemplo, [ZCG]).

En esta memoria presentamos una relacion general entre las matrices de coeficientes deplanos moviles y superficies moviles de cualquier grado. Como caso particular, cuando

8

el grado es 2, proveemos una demostracion de estas conjeturas en los teoremas 6.10 y6.17. Ademas, en los apartados 6.3 y 6.4.1 demostramos que el metodo de las superficiesmoviles funciona incluso cuando la superficie no esta propiamente parametrizada.

Las tecnicas que aquı se usan son bastante elementales: se factoriza el determinante dela matriz de coeficientes de superficies moviles como producto de matrices mas simples.Esto, junto con la formulacion de la resultante como el determinante de un complejo deKoszul (ver [GKZ2] y el capıtulo 3 de esta memoria), nos permite obtener los resultadosantes mencionados. En particular, damos demostraciones alternativas de los teoremas 4.1y 5.1 de [CGZ]. Adaptando estas tecnicas al caso planar, tambien se pueden producirdemostraciones alternativas de relaciones similares que se dan en [SGD] y en [ZCG].

Los resultados del capıtulo 6, estan contenidos en [D1].

0.4.2 Calculo de operadores de Proyeccion Ralos (capıtulo 7)

Supongamos tener n+ 1 polinomios en n+m variables de la forma siguiente:

fi (y1, . . . , ym, x1, . . . , xn) , i = 0, · · · , n. (8)

Podemos pensar las variables yi como parametros, y eliminar x1, · · · , xn a traves deuna apropiada resultante rala ResA(f0, . . . , fn), o del determinante de la matriz que daun multiplo no nulo de la resultante. Ambas operaciones determinan un operador deproyeccion de un espacio n + m-dimensional a uno de dimension m. Este operador deproyeccion puede ser identicamente cero debido a varias razones:

• la resultante puede ser identicamente cero debido a que los polinomios de (8) noson genericos, usualmente debido a que los coeficientes de los fi pueden dependerde menos parametros,

• la resultante rala se puede anular identicamente debido a que n de esos polinomiosforman un sistema que tienen infinitas soluciones en la compactificacion asociada,formando componentes excesivas,

• Tambien puede ocurrir que la resultante rala sea no nula, pero que el determinante dela matriz resultante sea identicamente cero debido a la anulacion del factor extrano.

Este ultimo punto ha sido estudiado en [CE2], aunque los metodos que se proveen allırequieren de significativos calculos adicionales. Canny, en [Can2] pudo dar una respuestaefectiva a los tres problemas en el caso clasico a traves del polinomio caracterıstico gen-eralizado, o GCP. Hay un trabajo de Rojas en el contexto ralo ([Roj]), pero tambienrequiere de bastantes calculos auxiliares.Nosotros estudiamos el caso ralo haciendo una generalizacion eficiente del GCP de Canny.Lo que presentamos es un simple esquema de perturbacion que se basa en el algoritmode levantamiento de polıtopos (este algoritmo se usa en [CE1, CE2] para calcular lasmatrices a la Sylvester cuyo determinante es un multiplo no trivial de ResA(f0, . . . , fn)), y

0.4. APLICACIONES 9

que nos permite perturbar muy pocos coeficientes para producir operadores de proyeccionralos, definidos por un determinante y tales que, si los coeficientes se especializan, estosoperadores no son identicamente cero pero se anulan sobre las raıces de las componentespropias de la variedad, incluyendo todas las raıces aisladas. Hay que destacar que lasperturbaciones realizadas respetan la estructura rala de los polinomios de tal maneraque la cantidad de terminos de cada polinomio no se incrementa, y la complejidad delalgoritmo sigue siendo esencialmente la misma.

El capıtulo 7 contiene los aportes que hemos hecho sobre este tema. El teorema 7.4 nospermite concentrarnos luego en las matrices a la Sylvester para calcular la resultante, yconstruir a partir de ellas operadores de proyeccion ralos en el apartado 7.2.

Los resultados de este capıtulo fueron realizados en colaboracion con Ioannis Z. Emiris,y estan contenidos en [DE1]

Part I

FORMULAS

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Chapter 1

Formulas a la Macaulay paraResultantes Homogeneas

1.1 Preliminares

En esta seccion, vamos a trabajar con la resultante clasica, homogenea o densa, tal comoaparece en [Mac1, Mac2, vdW, Jou1, Jou2, CLO, GKZ2]. Se dara una definicion de ella,y formulas para su calculo efectivo.Sean d1, . . . , dn enteros positivos. A cada n−upla α ∈ Nn

0 tal que |α| = di, le asociamosuna indeterminada ci,α, i = 1, . . . , n.Sea A el anillo factorial A := Z [aαi

] , y sean x1, . . . , xn indeterminadas sobre A. Conside-remos la familia de polinomios genericos:

fi (x1, . . . , xn) =∑

|α|=di

ci,α xα (i = 1, . . . , n) . (1.1)

Teorema 1.1 [Mac1, Mac2, vdW, Jou1, CLO, GKZ2] Fijados d1, . . . , dn, existe ununico polinomio Resd1,...,dn ∈ A que tiene las siguientes propiedades:

1. Si f1(x), . . . , fn(x) son polinomios homogeneos de grados d1, . . . , dn respectivamente,con coeficientes en un cuerpo cualquiera k, entonces las ecuaciones

fi(x) = 0 i = 1, . . . , n

tienen una solucion no trivial en la clausura algebraica de k si y solamente siResd1,...,dn(f1, . . . , fn) = 0. Aquı, Resd1,...,dn(fi) debe entenderse como el polinomioResd1,...,dn especializado en los coeficientes de la familia fi(x)1≤i≤n, o sea, bajo laespecializacion

A → k

ci,α 7→ coeficiente de xα de fi(x).

2. Resd1,...,dn(xd11 , . . . , x

dnn ) = 1.

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14 CHAPTER 1. FORMULAS A LA MACAULAY (CASO HOMOGENEO)

3. Resd1,...,dn es irreducible, incluso como elemento de A⊗k, donde k denota la clausuraalgebraica de k.

Algunas propiedas del polinomio Resd1,...,dn estan enumeradas en el siguiente

Teorema 1.2 [CLO, Jou1, GKZ2]

1. Fijado j ∈ 1, . . . , n, Resd1,...,dn es homogeneo en las variables cj,α, |α| = dj , degrado d1 . . . dj−1dj+1 . . . dn. El grado total de Resd1,...,dn es

n∑

j=1

d1 . . . dj−1dj+1 . . . dn.

2. Si 1 ≤ i < j ≤ n, entonces

Resd1,...,dn(f1, . . . , fi, . . . , fj, . . . , fn) =(−1)d1...dnResd1,...dj ,...di...,dn(f1, . . . , fj , . . . , fi, . . . , fn).

3. Si fj = f ′j˜f ′′j es un producto de polinomios homogeneos de grados d′j y d

′′j , entonces

Resd1,...,dn(f1, . . . , . . . , fj, . . . , fn) =

Resd1,...d′j ,...,dn(f1, . . . , fj, . . . , fn)Resd1,...d′′j ,...,dn(f1, . . . , f′′j , . . . , fn).

En lo que sigue, vamos a dar algoritmos para calcular la resultante, generalizando la ideadada por Macaulay en [Mac1].Con Su denotaremos el A-modulo libre generado por los monomios en A[x] de grado u. Siu < 0, definimos Su := 0. Tambien definimos los submodulos libres Et,j ⊆ St,j ⊆ St−dj ,para todo j = 1, . . . , n :

St,j := 〈xγ, |γ| = t− dj, γ1 < d1, . . . , γj−1 < dj−1〉 (1.2)

Et,j :=⟨xγ ∈ St,j , existe i 6= j : γi ≥ di

⟩. (1.3)

Notar que Et,n = 0, y St,1 = St−d1 ∀t ∈ N0.Sea ju : Su → (Su)

∗ el isomorfismo asociado con las bases monomiales en Su, y denotare-mos con Tγ := ju(x

γ) los elementos en la base dual.

Convencion 1.3 Todos los modulos que estamos considerando tienen una base mono-mial, o una base dual a la base de monomios. Supondremos que todas estas bases tienenun orden prefijado. Esto nos permitira definir matrices “en las bases monomiales” sinambiguedad.

Convencion 1.4 A lo largo de todo este trabajo, las matrices que representen transfor-maciones lineales seran indexadas de tal forma que las filas estaran en correspondenciacon los elementos de la base del dominio, tal como en [Mac1].

1.1. PRELIMINARES 15

Sea tn := (d1 − 1) + . . . + (dn − 1) el grado crıtico. Introduzcamos otro conjunto de nvariables y1, . . . , yn, y para cada par (i, j), 1 ≤ i, j ≤ n, definamos ∆ij(x, y) como elcociente incremental

fi(y1, . . . , yj−1, xj, . . . , xn)− fi(y1, . . . , yj, xj+1, . . . , xn)

xj − yj. (1.4)

Notar que fi(x)− fi(y) =∑n

j=1∆ij(x, y)(xj − yj). El determinante

∆(x, y) := det(∆ij(x, y))1≤i,j≤n =∑

|γ|≤tn

∆γ (x) .yγ. (1.5)

es un representante del bezoutiano asociado con la familia (1.1) (cf. [BCRS], [Kun], y[Jou2] donde aparecen con el nombre de “Formes de Morley”). Es un polinomio ho-mogeneo en A [x, y] de grado total tn.Sea ψ1,t la transformacion A-lineal

ψ1,t : S∗tn−t → St

Tγ 7→ ∆γ (x) ,(1.6)

donde ∆γ (x) es el polinomio definido en (1.5). Sea ∆t la matriz de ψ1,t en las basesmonomiales.

Consideremos tambien la transformacion lineal de tipo Sylvester:

ψ2,t : St,1 ⊕ · · · ⊕ St,n → St( g1 , . . . , gn ) 7→

∑ni=1 gifi,

(1.7)

y denotemos con Dt su matriz en las bases monomiales. Como es usual, ψ∗2,tn−t denotara

la transformacion dual de (1.7) en grado tn − t.Notemos tambien con

Ψt : (Stn−t)∗ ⊕

(St,1 ⊕ · · · ⊕ St,n

)→ St ⊕

(Stn−t,1 ⊕ · · · ⊕ Stn−t,n

)∗(1.8)

al morfismo de A-modulos definido por

(T , g ) 7→ (ψ1,t(T ) + ψ2,t(g), ψ∗2,tn−t (T )) , (1.9)

y llamemos Mt a la matriz de Ψt en las bases monomiales.Llamaremos Et a la submatriz de Mt cuyas filas estan indexadas por los monomios enEt,1∪ . . .∪Et,n−1, y cuyas columnas estan indexadas por los monomios xγ que pertenecena St para los cuales existen dos ındices diferentes i, j tales que

γi ≥ di, γj ≥ dj.

Hechas estas elecciones, no es dificil ver que Mt y Et (esta ultima cuando exista) sonmatrices cuadradas.


Observacion 1.5 Observar que Et es en realidad una submatriz de Dt. De hecho, Etes la submatriz cuadrada llamada E (t) en [Cha3], y cuyo determinante es denominado∆(n, t) en el Teorema 6 de [Mac1].

Para cada entero t, denotaremos con i(t) a la dimension del k−espacio vectorial formadopor los elementos de grado t del ideal generado por una sucesion regular de n polinomioscon grados d1, . . . , dn. Es conocido que i(t) es independiente del cuerpo k, y de la sucesionregular. Definimos tambien

ρ (t) :=

(t+ n− 1

n− 1

)+ i(tn − t). (1.10)

Lema 1.6 Mt es una matriz cuadrada de tamano ρ(t).

Demostracion. La asignacion que envıa un monomio xm de St,i en xdii xm produce una

inyeccion de la union de las bases monomiales de los St,i en los monomios de grado t que sondivisibles por algun xdii . Es facil ver que la cardinalidad del conjunto de monomios de gradot que no estan en la imagen de esta asignacion es precisamente Hd(t), donde Hd(t) denotala dimension de la parte de grado t del cociente del anillo de polinomios sobre k por elideal generado por una sucesion regular de polinomos homogeneos de grados d1, . . . , dn (cf.[Jou2], 3.9.2). Es mas, usando la asignacion (γ1, . . . , γn) 7→ (d1 − 1− γ1, . . . , dn − 1− γn) ,se sigue que

Hd(t) = Hd(tn − t). (1.11)

Se puede calcular explıcitamente la funcion de Hilbert usando la siguiente formula (cf.[Mac1], section 2):

∏ni=1

(1− Y di

)

(1− Y )n=

∞∑

t=0

Hd(t).Yt. (1.12)

Entonces se tiene la siguiente relacion de rangos:

rk (St,1 ⊕ · · · ⊕ St,n) = rkSt −Hd(t).

Similarmente, se tiene que

rk(Stn−t,1 ⊕ · · · ⊕ Stn−t,n

)∗= rk (Stn−t)

∗ −Hd(tn − t).

De aqui se sigue que Mt es una matriz cuadrada de tamano

rkSt −Hd(tn − t) + rkStn−t.

Como i(tn − t) = rkStn−t −Hd(tn − t), el tamano de Mt es igual a

rkSt + i(tn − t) = ρ(t).

1.2. FORMULAS A LA MACAULAY GENERALIZADAS 17

Observacion 1.7 Ordenando convenientemente las bases monomiales, Mt es la matrizque aparece en [Jou2], 3.11.19.7. En ella se puede reconocer la siguiente estructura:

[∆t

tDtn−t

Dt 0

]. (1.13)

Observacion 1.8 Dado que ψ2,t = 0 si y solamente si t < mindi, se tiene que Ψt =ψ2,t + ψ1,t si t > tn −mindi, y Ψt = ψ2,t si t > tn.

Finalmente, denotaremos con Et la submatriz cuadrada de Mt formada como sigue:

Et =

[∗ tEtn−tEt 0

]. (1.14)

Esta claro por su definicion que det(Et) = ± det(Et) det(Etn−t).

Observacion 1.9 Dualizando la transformacion (1.9) se tiene que, ordenando conve-nientemente sus filas y columnas, y permutando el orden de las variables x1, · · · , xn,

tMt =Mtn−t y tEt = Etn−t.

1.2 Formulas a la Macaulay Generalizadas

La transformacion ψ2,t definida en (1.7), se puede extender a la suma directa de losk−espacios vectoriales de polinomios homogeneos de grados t−d1, . . . , t−dn, de la manerasiguiente:

St−d1 ⊕ · · · ⊕ St−dn → St( g1 , . . . , gn ) 7→

∑ni=1 gifi.

(1.15)

Tambien la transformacion ψ2,tn−t se puede extender a la suma directa de los k−espaciosvectoriales de polinomios homogeneos de grados tn − t− d1, . . . , tn − t− dn, obteniendoseel siguiente morfismo:

(Stn−t)∗ ⊕ (St−d1 ⊕ · · · ⊕ St−dn)

Ψt→ St ⊕ (Stn−t−d1 ⊕ · · · ⊕ Stn−t−dn)∗ . (1.16)

Luego, la matriz Mt de la transformacion Ψt definida en (1.8), se puede ver como unaeleccion de una submatriz cuadrada de la matriz de Ψt en las bases monomiales. Enseguidaveremos que, de hecho, su determinante es un menor no nulo de tamano maximo.La siguiente proposicion sera util en lo que sigue:

Proposicion 1.1 Sea M ′t una matriz cuadrada con coeficientes en A tal que

M ′t :=

[∆t Ft

tFtn−t 0

](1.17)

donde Ft tiene i(t) filas y corresponde a una restriccion de la transformacion (1.15. Lomismo vale para Ftn−t en grado tn − t. Entonces, det(M ′

t) es un multiplo (eventualmentecero) de Resd1,...,dn(f1, . . . , fn).


Demostracion. Sean N :=∑n

i=1#αi ∈ Nn : |αi| = di, y k un cuerpo algebraicamentecerrado. Dado a = (aαi

)|αi|=di, i=1,...,n ∈ kN , denotaremos la especializacion de f1, . . . , fnen a por f1(a)(x), . . . , fn(a)(x) ∈ k[X ].Debido a la irreducibilidad de Resd1,...,dn(f1, . . . , fn), la proposicion estara probada simostramos que, para todo a ∈ kN tal que el sistema de ecuaciones

f1(a)(x) = 0, . . . , fn(a)(x) = 0

tienen una solucion no trivial en kn, el determinante de la matriz especializada M ′t(a) es

igual a 0.Supongamos que (p1, . . . , pn) es una solucion no trivial. Sin perdida de generalidad, pode-mos suponer p1 6= 0. Como las columnas deM ′

t(a) estan indexadas por todos los monomiosde grado t ademas de otros monomios, una de ellas esta asociada a xt1. Reemplacemostodos los elementos de esa columna como sigue:

1. si el elemento pertenece a una fila indexada por un monomio xγ , |γ| = tn − t,reemplazarlo con ∆γ(x);

2. si pertenece a una fila indexada por un monomio xγ ∈ St−di , reemplazarlo porxγ fi(a).

No es difıcil ver que, el determinante de la matriz modificada es igual a xt1 det(M ′t(a)).

Especializando xi 7→ pi, se tiene que el determinante de la matriz modificada sera igual acero si y solo si det(M ′

t(a)) = 0.Para probar esto ultimo, mostraremos que la submatriz de tamano (i(t) + 1) ×

(n+t−1n−1

)

siguiente tiene rango menor o igual que i(t) :[∆γ1(p) . . . ∆γk(p)

Ft(a)

].

Una vez probado esto, junto con una expansion de Laplace del determinante de la matrizmodificada, obtendremos nuestro resultado.Si el bloque [tFt(a)] tiene rango menor que i(t), la afirmacion es verdadera trivialmente.Supongamos que este no es el caso, entonces se tiene que la familia

xγ fi(a)(x), xγ ∈ St−di

es una base de 〈f1(a)(x), . . . , fn(a)(x)〉 ∩ St, y la afirmacion sera demostrada, si vemosque el polinomio

∑|γ|=t∆γ(p)x

γ pertenece al ideal 〈f1(a)(x), . . . , fn(a)(x)〉.

Debido a (1.4) y (1.5), se tiene que

(x1 − y1)∆(x, y) ∈ 〈f1(a)(x), . . . , fn(a)(x), f1(a)(y), . . . , fn(a)(y)〉. (1.18)

Especializamos yi 7→ pi, entonces (1.18) se lee como sigue:

(x1 − p1)tn∑

j=0

∑

|γ|=j

∆γ(p) xγ

∈ 〈f1(a)(x), . . . , fn(a)(x)〉.


Como el ideal generado por fi(x) es un ideal graduado, y dado que p1 6= 0, se tiene que∑|γ|=j ∆γ(p)X

γ ∈ 〈f1(a)(X), . . . , fn(a)(X)〉 para todo j.

Antes de enunciar el proximo teorema, estableceremos la siguiente convencion: si la matrizEt esta indexada por el conjunto vacıo, definimos det (Et) = 1.

Teorema 1.10 Para todo t ≥ 0, det (Mt) 6= 0 y det(Et) 6= 0. Ademas, se tiene la siguienteformula a la Macaulay :

Resd1,...,dn(f1, . . . , fn) = ±det(Mt)

det(Et).

Para la prueba del Teorema 1.10, necesitaremos el siguiente lema auxiliar. Sean Dt y Etlas matrices definidas en la seccion anterior.

Lema 1.11 Sea t ≥ 0, y Λ un anillo que contiene a A. Supongamos tener una matrizcuadrada M con coeficientes en Λ que tiene la siguiente estructura:

M =

[M1 M2

Dt 0

],

donde M1,M2 son matrices rectangulares. Entonces, existe un elemento m ∈ Λ tal que

det (M) = m . det (Et)

Demostracion. Dt es cuadrada si y solamente si t > tn. (cf. [Mac1], Section 3). En estecaso,

det(M) = ± det(M2) det(Dt);

Debido a la formula de Macaulay (cf. [Mac1], Theorem 5), se tiene que el miembro derechoes igual a

± det(M2) det(Et)Resd1,...,dn(f1, . . . , fn),

con lo cual el resultado se sigue facilmente en este caso.Supongamos ahora que 0 ≤ t ≤ tn. Entonces, Dt tiene i(t) filas y i(t) +Hd (t) columnas,y existe una biyeccion entre la familia F de Hd (t) monomios de grado t, y los menoresmaximales mF de Dt. Explıcitamente, mF es el determinante de la submatriz cuadradaformada por todas las columnas indexadas por monomios no pertenecientes a F .Se puede verificar que mF es el determinando denotado con φ∗

F en [Cha3], para calcularla subresultante asociada con la familia xγγ∈F .Usando la formula a la Macaulay para subresultantes (cf. [Cha3]), se tiene que

mF = ± det(Et).∆tF ,

donde ∆tF es la subresultante asociada con la familia F . Es un elemento de A que se

anula bajo una especializacion f1(a)(x), . . . , fn(a)(x) si y solamente si la familia xγγ∈F


no es una base del k−espacio vectorial formado por la parte de grado t del cocientek[X1, . . . , Xn]/〈f1(a)(X), . . . , fn(a)(X)〉 (cf. [Cha2]).Sea mc

F el menor complementario de mF en M (o sea, el determinante de la submatrizcuadrada de M formado evitando todas las filas y columnas indexadas por elementos demF). Haciendo una expansion de Laplace del determinante de M, se tiene que

det (M) =∑

F

sF ·mF ·mcF = det (Et)

(∑

F

sF ·mcF ·∆t

F

)

con sF = ±1. Haciendo m :=∑

F sF ·mcF · ∆t

F ∈ Λ, conseguimos el resultado esperado.

A continuacion, daremos la demostracion del Teorema 1.10.Demostracion. En [Mac1] esta demostrado que det (Et) 6= 0, ∀t ≥ 0. Esto implica quedet (Et) 6= 0. Para probar que det (Et) = det(Et) det(Etn−t) divide a det(Mt), usaremosel siguiente argumento: consideremos el anillo B := Z [bαi

]|αi|=di,i=1,...,n , donde bαison

nuevas variables, y los polinomios

fb,i :=∑

|αi|=di

bαiXαi ∈ B [X1, . . . , Xn] .

Sea Dbtn−t la matriz de la transformacion lineal ψb2,tn−t determinada por la formula (1.7)

pero usando la sucesion fb,1, . . . , fb,n en lugar de f1, . . . , fn. Hacemos Λ := Z [aαi, bαi

], yconsideremos la matriz M(a, b) con coeficientes en Λ dada por

M(a, b) =

[∆t

tDbtn−t

Dt 0

].

Claramente se ve que M(a, a) = Mt, y por el Lema 1.11, tenemos que det (Et) divide adet (M(a, b)) en Λ. Trasponiendo M(a, b) y usando un argumento simetrico, por el mismolema se puede concluir que det

(Ebtn−t

)divide a det (M(a, b)) en Λ, donde Eb

tn−t tiene elsignificado obvio.Como el anillo Λ es un dominio de factorizacion unica, y los elementos det(Et) y det(Eb

tn−t)no tienen factores comunes no triviales en Λ porque dependen de diferentes conjuntos devariables, entonces tenemos que

det (M(a, b)) = P (a, b) det(Et) det(Ebtn−t)

para algun P ∈ Λ.Ahora, especialicemos bαi

7→ aαi. El hecho de que det (Mt) es un multiplo de la resultante

ha sido probado en la Proposicion 1.1 (ver tambien [Jou2], Proposition 3.11.19.21) para0 ≤ t ≤ tn, y en [Mac1] para t > tn. Por otro lado, como Resd1,...,dn(f1, . . . , fn) es irre-ducible y depende de todos los coeficientes de f1, . . . , fn, mientras que tanto det(Et) comodet(Etn−t) no dependen de los coeficientes de fn, podemos concluir que Resd1,...,dn(f1, . . . , fn)divide a p(a, a). Es mas, el proximo lema 1.12 muestra que ambos polinomios tienen elmismo grado. Luego, su cociente es un numero racional λ. Se puede ver que este numeroes igual a ±1, considerando la especializacion Xd1

1 , . . . , Xdnn .


Lema 1.12 Para cada i = 1, . . . , n, grado(aαi )(Mt) , el grado del determinante de Mt en

los coeficientes de fi es igual a

grado(aαi )(Resd1,...,dn(f1, . . . , fn)) + grado(aαi )

(Et) + grado(aαi )(Etn−t)

= d1 . . . di−1 di+1 . . . dn + grado(aαi )(Et) + grado(aαi )

(Etn−t) .

Demostracion. Llamemos Ju(i) := xγ ∈ Su, γi ≥ di, γj < dj ∀j 6= i, donde u toma losvalores t y tn− t. De las definiciones de ψ2,t y Et, se sigue facilmente que, si δt es un menormaximal de Dt,

grado(aαi )(δt)− grado(aαi )

(Et) = #Jt(i).

Haciendo una expansion de Laplace del determinante, se puede ver que det (Mt) se escribecomo

det (Mt) =∑

δt,δtn−t

sδ ·mδ · δt · δtn−t

donde sδ = ±1, δtn−t es un menor maximal de tDtn−t y mδ es un menor de tamano Hd(t)de la matriz ∆t. Como cada coeficiente de ∆t tiene grado 1 en los coeficientes de algunfi, el lema quedara probado, si mostramos que

#Jt(i) + #Jtn−t(i) +Hd(t) = d1 . . . di−1. di+1 . . . dn. (1.19)

Tal como fue observado en la prueba del Lema 1.6, Hd(t) se puede calcular como elcardinal del siguiente conjunto:

Hd,t := xγ ∈ St, γj < dj ∀j, (1.20)

y d1 . . . di−1. di+1 . . . dn es el cardinal de

Γi := xγ11 . . . xγi−1

i−1 xγi+1

i+1 . . . xγnn , γj < dj ∀j.

Para probar (1.19), alcanza con exhibir una biyeccion entre Γi y la union disjunta

Jt(i)⋃

Jtn−t(i)⋃

Hd,t.

En realidad, los conjuntos Jt(i) y Jtn−t(i) y Hd,t son disjuntos dos a dos, excepto cuandot = tn − t. Pero lo que sigue muestra que la biyeccion esta bien definida, aun en ese caso.Sea xγ ∈ Γi, γ = (γ1, . . . , γi−1, γi+1, . . . , γn) con γj < dj ∀j 6= i. Si |γ| ≤ t, entonces hayun unico γi tal que γ := (γ1, . . . , γn) ∈ Nn

0 verifica: |γ| = t. Si γi < di, entonces asignamosa xγ el monomio xγ ∈ Hd,t. Si no fuera asi, le asignamos xγ ∈ Jt(i).Si |γ| > t, sea γ∗ el multiındice

(d1 − 1− γ1, . . . , di−1 − 1− γi−1, di+1 − 1− γi+1, . . . , dn − 1− γn) .

Entonces, |γ∗| < tn − t, y existe un unico γi tal que el multiındice γ definido por

(d1 − 1− γ1, . . . , di−1 − 1− γi−1, γi, di+1 − 1− γi+1, . . . , dn − 1− γn)


tiene grado tn − t. Podemos entonces asignar a xγ el monomio xγ ∈ Jtn−t(i) siempre ycuando γi ≥ di. Supongamos que esto ultimo no ocurre, esto implicarıa que el monomiocon exponente

γ∗ := (γ1, . . . , γi−1, di − 1− γi, γi+1, . . . , dn)

tendrıa grado t contradiciendo el hecho de que |γ| > t.Con estas reglas, es bastante sencillo verificar que se obtiene la biyeccion deseada.

Cambiando el orden de la sucesion (f1, . . . , fn), y aplicando nuevamente el Teorema (1.10),se puede deducir el siguiente

Corolario 1.13 Resd1,...,dn(f1, . . . , fn) = mcdmenores maximales de Ψt.

1.3 Estimacion del tamano de Mt

En la seccion anterior hemos construido, para cada entero t ≥ 0, una matrizMt de tamanoρ(t), cuyo determinante es un multiplo no trivial de Resd1,...,dn(f1, . . . , fn), y cuyo factorextrano es un menor de este determinante. En esta seccion estudiaremos cual es la matrizde menor tamano que se puede conseguir.Podemos escribir a ρ como

ρ(t) =

(n+ t− 1

n− 1

)+

(n+ tn − t− 1

n− 1

)−Hd(tn − t).

Claramente,(n+t−1n−1

)+(n+tn−t−1

n−1

)es la restriccion de un polinomio φ(t) en una variable

real t. Este polinomio es simetrico con respecto a tn2

(o sea, φ( tn2+ t) = φ( tn

2− t) para

todo t). Es mas, φ alcanza su mınimo en el intervalo [0, tn] , en el punto t = tn2. Dado que

ρ(t) = φ(t)−Hd(t) = φ(tn − t)−Hd(tn − t) = ρ(tn − t), (1.21)

para estudiar el comportamiento de ρ, necesitamos entender como varıa Hd(t) respectode t.Notaremos con [x] a la parte entera del numero real x. Notar que cuando tn es impar,ρ([tn2

]) = ρ(

[tn2

]+ 1).

Proposicion 1.2 Hd(t) es una funcion decreciente sobre los puntos enteros del intervalo[0,[tn2

]].

Demostracion. Vamos a probar este resultado haciendo induccion sobre n. Si n = 1, laafirmacion es evidente dado que t1 = d − 1 y Hd(t) = 1, ∀t = 0, . . . , d − 1. Supongamosentonces que la afirmacion es verdadera para n variables, y hagamos

d := (d1, . . . , dn+1) ∈ Nn+10 ,

d := (d1, . . . , dn).

1.3. ESTIMACION DEL TAMANO DE MT 23

Sea t < t + 1 ≤[ tn+1

2

]. Queremos ver que ϕ(t) := Hd(t + 1) − Hd(t) es no negativa.

Teniendo en cuenta la expresion (1.20) se tiene que, para todo t ∈ N0, Hd(t) es igual a lacardinalidad del conjunto

γ ∈ Nn+10 : |γ| = t, 0 ≤ γi ≤ di − 1, i = 1, . . . , n+ 1.

Luego, se puede calcular de la siguiente manera:

dn+1−1∑

j=0

#γ ∈ Nn0 : |γ| = t− j, 0 ≤ γi ≤ di − 1, i = 1, . . . , n,

lo cual da la igualdad Hd(t) =∑dn+1−1

j=0 Hd(t− j). De aquı se sigue que

ϕ(t) = Hd(t+ 1)−Hd(t+ 1− dn+1).

Si t+1 ≤[tn2

], deducimos que ϕ(t) ≥ 0 por la hipotesis inductiva. Supongamos entonces

que [tn2

]< t+ 1 ≤

[tn+1

2

].

Como Hd(t+ 1) = Hd(tn − (t+ 1)) = Hd(tn − t− 1), es suficiente verificar lo siguiente

tn − t− 1 ≥ t + 1− dn+1

tn − t− 1 ≤[tn2

],

lo cual es inmediato. Luego, el resultado se sigue nuevamente usando la hipotesis induc-tiva.

Corolario 1.14 El tamano de la matriz Mt es minimal sobre N0 cuando t =[tn2

].

Demostracion. La funcion ρ(t) mide el tamano de esta matriz. Por (1.21), esta funciontiene un mınimo absoluto en el punto

[tn2

]sobre los puntos enteros de [0, tn]. Esto vale

dado que φ allı alcanza su maximo, yHd el mınimo. Si t > tn, tenemos que ρ (t) =(n+t−1n−1

).

Para t en este rango, se puede ver facilmente que

ρ (tn) =

(n+ tn − 1

n− 1

)− 1 < ρ (t) .

Luego, ρ(t) > ρ(tn) ≥ ρ([

tn2

]).

Sean p :=∑n

i=1 di/n el promedio de los grados, y q := p+12p. Notar que excepto en el caso

lineal, que ocurre cuando todos los di son iguales a 1, se tiene que p > 1 y q < 1.

Proposicion 1.3 Supongamos p > 1. El cociente entre los tamanos de la menor matrizMt y la matriz de Macaulay clasica Mtn+1 se puede acotar por

ρ ([tn/2])

ρ (tn + 1)≤ 2 qn−1.


Demostracion. Notar que, cuando tn es par, tn − [tn/2] = [tn/2] y cuando tn es impar,tn − [tn/2] = [tn/2] + 1. En ambos casos,

ρ([tn/2])ρ(tn+1)

≤2 (n+[tn/2]

n−1 )(n+tn

n−1 )= 2 ([tn/2]+n)...([tn/2]+2)

(tn+n)...(tn+2)=

= 2(

[tn/2]+ntn+n

)([tn/2]+n−1tn+n−1

). . .(

[tn/2]+2tn+2

)≤

≤ 2(

[tn/2]+ntn+n

)n−1

.

Como tn = np− n, se tiene que

[tn/2] + n

tn + n≤

np2+ n

2

np=

1

2+

1

2p= q,

que es lo que se querıa probar.

1.4 Bezoutianos y Residuos

En esta seccion vamos a explorar relaciones duales entre bezoutianos y residuos mul-tidimensionales. Esto nos permitira probar una especie de recıproco del Teorema 1.1,que nos dira que, para una familia especializada f1(a)(x), . . . , fn(a)(x) ⊂ k[x] tal queResd1,...,dn (f1(a)(x), . . . , fn(a)(x)) 6= 0, hay una matriz cuadrada M ′

t del tipo (1.17), talque det(M ′

t(a)) 6= 0. Detalles y demostraciones acerca de esta teorıa pueden encontrarseen [BCRS, CDS1, Tsi, Kun].Supongamos que Resd1,...,dn (f1(a)(x), . . . , fn(a)(x)) 6= 0. Esto implica que la variedadalgebraica definida por fi(a)(x) = 0 ⊂ kn consiste del unico punto 0 ∈ kn. Entonces,a cada polinomio h ∈ k[x], se le puede asociar el residuo en 0 ∈ kn de la n−formameromorfa:

ω :=h(y)dy1 ∧ . . . ∧ dynf1(a)(y) . . . fn(a)(y)

.

Esto define un operador k−lineal de k[Y ] en k :

h 7→ R0(h) := res0

(h(y)dy1 ∧ . . . ∧ dynf1(a)(y) . . . fn(a)(y)

).

Usando la formula de Weil, junto con la equivalencia entre los criterios de pertenencialocal y global a ideales de funciones analıticas (cf. [CDS1, Wei]), se tienen los siguientesresultados de dualidad:

1. h(x) = R0 (h(y)∆(x, y)) en el anillo cociente k[x]/I(a).

2. h ∈ I(a) si y solamente si R0(f h) = 0, para todo f ∈ k[x].

3. Si h es un polinomio homogeneo de grado t, t 6= tn, entonces R0(h) = 0.

1.4. BEZOUTIANOS Y RESIDUOS 25

Aplicando estas propiedades a la situacion que estamos estudiando, tenemos que, paracada h(x) ∈ k[x] de grado t,

h(x) = R0

h(y)

∑

|γ|≤tn

∆γ(x)yγ

= R0

h(y)

∑

|γ|=tn−t

∆γ(x)yγ

=

=∑

|γ|=tn−t

R0 (h(y) yγ)∆γ(x).

De aquı se deduce inmediatamente la siguiente afirmacion:La familia ∆γ(x)|γ|=tn−t, (resp. |γ| = t ) genera la parte graduada del cociente en gradot (resp. tn − t).Recordemos tambien que el bezoutiano es un objeto bien definido en el cociente de k[x, y]por el ideal 〈f1(a)(x), . . . , fn(a)(x), f1(a)(y), . . . , fn(a)(y)〉, es decir que, para cada familiade polinomios pi(x, y), qi(x, y) ∈ k[x, y] i = 1, . . . , n, si hacemos

∆(x, y) := ∆(x, y) +n∑

i=1

pi(x, y) fi(a)(x) + qi(x, y) fi(a)(y), (1.22)

usando los resultados de dualidad mencionados anteriormente, se tiene que el polinomio∆(x, y) tiene las mismas propiedades que ∆(x, y).Ahora podemos enunciar el resultado principal de esta seccion.

Teorema 1.15 Si Resd1,...,dn (f1(a)(x), . . . , fn(a)(x)) 6= 0, existe una matriz cuadrada M ′t

como en (1.17) tal que det (M ′t(a)) 6= 0.

Demostracion. El hecho de que Resd1,...,dn (f1(a)(x), . . . , fn(a)(x)) no sea cero, implica quef1(a)(x), . . . , fn(a)(x) es una sucesion regular en k[x]. Luego, las dimensiones de las partesgraduadas del cociente k[X ]/I(a) en grados t y tn− t son i(t) e i(tn− t) respectivamente.Podemos elegir entonces bloques Ft y Ftn−t como en (1.17) de tal manera que Ft(a) yFtn−t(a) tengan rango maximo. Supongamos win perdida de generalidad que los bloques

Ft y Ftn−t son de la forma

[Qt

Rt

]y

[Qtn−t

Rtn−t

]respectivamente, donde Qt(a) y Qtn−t(a)

son matrices cuadradas inversibles de tamano maximo. Vamos a probar que, con estaeleccion de menores, la matriz M ′

t(a) es inversible.Nuestra matriz especializada sera de la forma siguiente:

M ′t(a) =

∆t

Qt(a)Rt(a)

tQtn−t(a)tRtn−t(a) 0

.

Aplicando operaciones lineales en las filas y columnas de M ′t(a), podemos transformarla

de la manera siguiente:

0 0 Qt(a)

0 ∆t Rt(a)tQtn−t(a)

tRtn−t(a) 0

,


donde el bloque [∆t] es cuadrado y de tamano Hd(t).Pero es facil verificar que ∆t corresponde a las coordenadas en grado t de otro bezoutiano∆(x, y) (en el sentido de (1.22)). Esto ocurre puesto que cada operacion lineal aplicadaa M ′

t(a), cuando se la aplica al bloque ∆t, puede interpretarse como una combinacionpolinomial de fi(a)(x) y fi(a)(y) aplicada al bezoutiano ∆(x, y).Usando el hecho de que ∆γ(x)|γ|=t genera el cociente en grado tn − t, se tiene que

det

(0 ∆t

tQtn−t(a)tRtn−t(a)

)6= 0.

De aqui, el resultado se sigue facilmente.

1.5 Ejemplos

Sean n = 3, y (d1, d2, d3) = (1, 1, 2) . Tomemos como polinomios genericos a

f1 = a1x1 + a2x2 + a3x3f2 = b1x1 + b2x2 + b3x3f3 = c1x

21 + c2x

22 + c3x

23 + c4x1x2 + c5x1x3 + c6x2x3

En este caso, t3 = 1. La matrix clasica de Macaulay (en nuestra notacion, M2) es lasiguiente:

a1 0 0 a2 a3 00 a2 0 a1 0 a30 0 a3 0 a1 a20 b2 0 b1 0 b30 0 b3 0 b1 b2c1 c2 c3 c4 c5 c6

Su determinante es igual a −a1Res1,1,2. Aquı puede verificarse facilmente que el factorextrano E es la submatriz de tamano 1× 1 formada por el elemento (2, 4) de la matriz.Por otro lado, si tomamos t = 0, podemos exhibir una formula determinantal para±Res1,1,2. En efecto, el determinante de

M0 =

a1 a2 a3b1 b2 b3

∆(1,0,0) ∆(0,1,0) ∆(0,0,1)

,

es igual a Res1,1,2. Aquı, los ∆γ son los coeficientes del bezoutiano (1.5). Mas precisamente,se tiene

∆(1,0,0) = a1b2c5 − a1b3c4 − b1a2c5 + b1a3c4 + c1a2b3 − c1a3b2∆(0,1,0) = a1b2c6 − a1b3c2 − b1a2c6 + b1a3c2∆(0,0,1) = a1b2c3 − b1a2c3

.

1.6. ALGUNAS FORMULAS MAS GENERALES 27

Tomemos ahora n = 4, y (d1, d2, d3, d4) = (1, 1, 2, 3) . El grado crıtico es, en este caso, 3.La matriz clasica de Macaulay, M4, tiene tamano 35× 35. Como el grado de Res1,1,2,3 esigual a 17, sabemos que su factor extrano debe ser una submatriz de tamano 18 × 18.Veremos mas adelante que una de las matrices de menor tamano posible entre las Mi esM1, de 12× 12 :

M1 =

∆1(2,0,0,0) ∆2

(2,0,0,0) ∆3(2,0,0,0) ∆4

(2,0,0,0) a1 0 0 0 0 0 0 c1∆1

(0,2,0,0) ∆2(0,2,0,0) ∆3

(0,2,0,0) ∆4(0,2,0,0) 0 a2 0 0 b2 0 0 c2

∆1(0,0,2,0) ∆2

(0,0,2,0) ∆3(0,0,2,0) ∆4

(0,0,2,0) 0 0 a3 0 0 b3 0 c3∆1

(0,0,0,2) ∆2(0,0,0,2) ∆3

(0,0,0,2) ∆4(0,0,0,2) 0 0 0 a4 0 0 b4 c4

∆1(1,1,0,0) ∆2

(1,1,0,0) ∆3(1,1,0,0) ∆4

(1,1,0,0) a2 a1 0 0 b1 0 0 c5∆1

(1,0,1,0) ∆2(1,0,1,0) ∆3

(1,0,1,0) ∆4(1,0,1,0) a3 0 a1 0 0 b1 0 c6

∆1(1,0,0,1) ∆2

(1,0,0,1) ∆3(1,0,0,1) ∆4

(1,0,0,1) a4 0 0 a1 0 0 b1 c7∆1

(0,1,1,0) ∆2(0,1,1,0) ∆3

(0,1,1,0) ∆4(0,1,1,0) 0 a3 a2 0 b3 b2 0 c8

∆1(0,1,0,1) ∆2

(0,1,0,1) ∆3(0,1,0,1) ∆4

(0,1,0,1) 0 a4 0 a2 b4 0 b2 c9∆1

(0,0,1,1) ∆2(0,0,1,1) ∆3

(0,0,1,1) ∆4(0,0,1,1) 0 0 a4 a3 0 b4 b3 c10

a1 a2 a3 a4 0 0 0 0 0 0 0 0b1 b2 b3 b4 0 0 0 0 0 0 0 0

dondef1 = a1X1 + a2X2 + a3X3 + a4X4

f2 = b1X1 + b2X2 + b3X3 + b4X4

f3 = c1X21 + c2X

22 + c3X

23 + c4X

24 + c5X1X2 + c6X1X3

+c7X1X4 + c8X2X3 + c9X2X4 + c10X3X4,

y f4 es un polinomio generico de grado 3 en cuatro variables. Ademas, para cada γ, |γ| =2, escribimos

∆γ(X) =4∑

j=1

∆jγXj ,

El determinante de esta matriz es ±a1Res1,1,2,3, y el factor extrano es la submatriz detamano 1× 1 obtenida tomando el elemento en la quinta fila, sexta columna.

1.6 Algunas Formulas mas Generales

1.6.1 Formula de Macaulay Generalizada

Siguiendo las ideas originales de Macaulay, se puede ver que hay cierta flexibilidad enla eleccion de las bases monomiales que definen los conjuntos St,i para obtener otrosmenores maximales no nulos de Ψt, es decir, diferentes matrices cuadradas M ′

t cuyosdeterminantes seran multiplos no nulos de Resd1,...,dn(f1, . . . , fn) con diferentes factoresextranos det(E ′

t), det(E′tn−t), para submatrices cuadradas E ′

t, E′tn−t de M

′t . Ademas de la


eleccion obvia que se consigue permutando los ındices en las variables x1, . . . , xn, otraselecciones se pueden hacer como sigue.Para cada i = 1, . . . , n, hagamos di := (d1, . . . , di−1, di+1, . . . , dn) y definamos Hdi

(t) paracada entero no negativo t usando la siguiente igualdad:

∏j 6=i

(1− Y dj

)

(1− Y )n−1 =

∞∑

t=0

Hdi(t).Y t.

Hagamos tambien, para cada t ∈ N0,

Λt := Xγ ∈ St : γj < dj, j = 1, . . . , n.

Proposicion 1.4 Sea M ′t una submatriz cuadrada de la matriz de Ψt en las bases mono-

miales, de tal manera que el tamano deM ′t es ρ(t). Denotemos sus bloques como en (1.17).

Supongamos que, para cada i = 1, . . . , n, el bloque Ft tiene exactamente Hdi(t − di) de

sus filas correspondientes a fi1 en comun con la matriz Dt definida en(1.7) y, ademas, el

bloque Ftn−t comparte exactamente Hdi(tn − t− di) filas correspondientes a fi con Dtn−t.

Entonces, si det (M ′t) no es identicamente cero, Resd1,...,dn(f1, . . . , fn) se puede calcular

como el cocientedet(M ′

t)

det(E′t), donde E′

t es una matriz que se forma uniendo dos submatrices

E ′t de Ft y E

′tn−t de Ftn−t. E

′t (resp. E

′tn−t) se obtiene omitiendo las filas en comun con

Dt (resp. Dtn−t) y las columnas indexadas por todos los monomios comunes en Dt (resp.Dtn−t) y todos los monomios en Λt (resp. Λtn−t).

Demostracion. Esta situacion esta considerada en [Mac1](Section 6a). Allı se pruebaque, si F ′

t (resp. F ′tn−t) denota la submatriz formada omitiendo en Ft (resp. Ftn−t) las

columnas indexadas por todos los monomios en Λt (resp. Λtn−t), y det(F ′t ) 6= 0 (resp.

det(F ′tn−t) 6= 0), entonces la subresultante asociada con la familia xγ , γ ∈ Λt (resp.

Λtn−t) se puede calcular como el cocientedet(F ′

t )

det(E′t)

(resp.det(F ′

tn−t)

det(E′tn−t)

) En particular, E ′t y

E ′tn−t son submatrices de determinante no nulo.

Se puede usar entonces la misma idea que aparece en [Cha2],[Cha3] para calcular lasubresultante como un cociente de determinantes, observando que la subresultante es enrealidad el determinante de un complejo de Koszul, y que el factor extrano no dependede la familia de monomios cuya subresultante se desea calcular.Por todo esto, podemos concluir que todo menor maximal de Ft (resp. Ftn−t) es unmultiplo de E ′

t (resp. E′tn−t). Luego, existe una version similar del Lema (1.11) con Ft

en lugar de Dt y E′t en lugar de Et. La proposicion queda demostrada, ya que tambien se

tiene una version similar del Teorema (1.10).

1.6.2 Polinomio Caracterıstico Generalizado

Dado un sistema de polinomios no homogeneos en n − 1 variables f1, . . . , fn con gradosrespectivos d1, . . . , dn, agregando una n−esima variable, podemos homogeneizar estos

1que una fila sea correspondiente a fi quiere decir que, en esa columna, los unicos elementos no nulosque pueden aparecer son coeficientes de fi

1.6. ALGUNAS FORMULAS MAS GENERALES 29

polinomios y considerar la resultante asociada con sus respectivas homogeneizacionesf1, . . . , fn. Sin embargo, esta resultante puede anularse identicamente debido a que lafamilia f1, . . . , fn puede tener ceros en el infinito del espacio proyectivo Pn−1 aun cuandono haya raıces afines comunes al sistema

f1,= . . . = fn = 0.

En este caso, podemos extender la construccion realizada por Canny en [Can2] del poli-nomio caracterıstico generalizado(PCG) para la matriz de clasica de Macaulay, Mtn+1, amatrices Mt para cualquier entero no negativo t. De hecho, cuando especializamos fi enxdii para todo i = 1, . . . , n,

∆(x, y) =

d1−1∑

j1=0

· · ·dn−1∑

jn=0

xd1−1−j11 · · ·xdn−1−jn

n yj11 · · · yjnn ,

y Mt tiene una unica entrada no nula en cada fila y cada columna que es igual a 1,ası que det(Mt) = ±1. Si ordenamos las columnas de Mt de tal manera que bajo estaespecializacion sea la matriz identidad, definimos el polinomio Ct(s) como

Ct(s) :=Charpoly (Mt)(s)

Charpoly (Et)(s),

donde Charpoly significa polinomio caracterıstico.Por la observacion previa, tenemos que

Ct(s) = Resd1,...,dn(f1 − s xd11 , . . . , fn − s xdn1 ).

Es mas, esto implica que Ct(s) coincide con el PCG de Canny, C(s), pero para su calculohemos usado matrices de menor tamano. Las consideraciones hechas por Canny acercade como calcular mas eficientemente el PCG tambien pueden aplicarse a este caso.Cerramos esta seccion recordando el Teorema 3.2 de [Can2] que explica por que estanocion es util.

Teorema 1.16 (Canny) Supongamos

f1, . . . , fn ∈ k[u1, . . . , um][X1, . . . , Xn−1]

y sea W una componente de dimension m−1 del conjunto de ceros comunes de f1, . . . , fnen km × Pn−1. Entonces, Ct(s) ∈ k[u1, . . . , um][s]. Escribiendo

Ct(s) =

r∑

j=ℓ

Cjt (u1, . . . , um)t

j ,

con r =∑n

i=1 d1 . . . di−1 · di . . . dn y Cℓt (u1, . . . , um) 6= 0 el coeficiente de menor grado, se

tiene que, dado w ∈ km×Pn−1, sea πu(w) su proyeccion sobre km. Entonces, Cℓt (πu(w)) = 0

para todo w ∈ W.

Chapter 2

Formulas a la Macaulay paraResultantes Ralas

2.1 Preliminares

Comenzaremos este capıtulo revisando algunas definiciones y propiedades de polıtoposconvexos y resultantes ralas . Mas detalles y demostraciones pueden encontrarse en [CLO,EM, GKZ2, Roj, Stu1, Stu2].Sean A0, . . . ,An conjuntos finitos del lattice Zn. Hagamos mi := #(Ai), m :=

∑ni=0mi y

Qi := conv(Ai), i = 0, . . . , n. Por conv(.) entenderemos “capsula convexa” en el espacioeuclıdeo LR := L ⊗ R ⊂ Rn, siendo L el lattice afın generado por

∑ni=0Ai.

Para cualquier subconjunto J ⊂ 0, 1, . . . , n, consideremos el lattice afın generado por∑j∈J Aj, y sea rk(J) el rango de este lattice. Para cada a ∈ Ai, introduciremos un

parametro ci,a. Consideremos la familia de polinomios genericos:

fi (x1, . . . , xn) =∑

a∈Ai

ci,a xa (i = 0, . . . , n) . (2.1)

Sea K un cuerpo algebraicamente cerrado. El vector de coeficientes (ci,a)a∈Aide una tal

familia define un punto en el producto de espacios proyectivos sobreK, Pm0−1K ×. . .×Pmn−1

K .Denotaremos con Z al subconjunto de aquellos sistemas de la forma (2.1) que tienen unasolucion en (K∗)n , donde K∗ denota el toro K \ 0. Con Z denotaremos la clausuraZariski de Z en Pm0−1

K × . . .× Pmn−1K .

Teorema 2.1 [GKZ2, Stu2] La variedad proyectiva Z es irreducible y esta definida sobreQ. Su codimension en P

m0−1K × . . .× Pmn−1

K es igual a

max#(I)− rk(I),

donde I toma valores sobres todos los subconjuntos de 0, 1, . . . , n. La codimension de Zes 1 si y solamente si hay una unica familia Aii∈I tal que

31

32 CHAPTER 2. FORMULAS A LA MACAULAY (CASO RALO)

1. rk(I) = #(I)− 1,

2. rk(J) ≥ #(J), para cada subconjunto propio J de I.

Definicion 2.2 [Stu2] Si I satisface las condiciones 1 y 2 dadas en el teorema previo,entonces la familia Aii∈I se dice esencial .

Notar que si cada Qi es n−dimensional, es de facil verificacion el hecho de que el unicoconjunto que satisface las condiciones 1 y 2 es I = 0, 1, . . . , n, ası que en este caso, Ztiene codimension 1.Hacemos A := (A0,A1, . . . ,An). La resultante rala mixta ResA(f0, . . . , fn) se define comosigue:

• si codim(Z) = 1, entonces ResA(f0, . . . , fn) es el unico polinomio irreducible (salvosigno) en Z[ci,a] que se anula sobre Z.

• Si codim(Z) ≥ 2, entonces ResA(f0, . . . , fn) se define como el polinomio constante1.

Teorema 2.3 [PS, Stu2] Si la familia de soportes A0, . . . ,An es esencial, entoncespara cada i = 0, . . . , n, el grado de ResA(f0, . . . , fn) en los coeficientes de fi es igual alvolumen mixto normalizado

MV(Q0, . . . , Qi−1, Qi+1, . . . , Qn) :=

∑J⊂0,...,i−1,i+1,...,n(−1)#(J)vol

(∑j∈J Qj

)

vol(P),

donde vol(.) quiere decir volumen euclıdeo en el espacio vectorial real LR, y P es unparalelepıpedo fundamental con vertices en el lattice L. Mas en general, si existe un unicosubconjunto Aii∈i que es esencial, la resultante rala mixta coincide con la resultante dela familia fi : i ∈ I, respecto del lattice

∑i∈I Ai.

Ejemplo 2.4 Tomemos A0 = A1 = A2 = (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), y consideremoslos polinomios

f0 = c0,(0,0) + c0,(1,0)x1 + c0,(0,1)x2 + c0,(1,1)x1 x2,f1 = c1,(0,0) + c1,(1,0)x1 + c1,(0,1)x2 + c1,(1,1)x1 x2,f2 = c2,(0,0) + c2,(1,0)x1 + c2,(0,1)x2 + c2,(1,1)x1 x2.

Aquı, los polıtopos de Newton Q0, Q1, Q2 son iguales entre sı, e iguales al cuadrado uni-tario C := [0, 1]× [0, 1], cuyos vertices son precisamente los puntos del soporte comun. Setiene, entonces,

gradocoeficientes de fi (ResA(f0, f1, f2)) = MV(C,C) = 2, i = 0, 1, 2.

2.1. PRELIMINARES 33

En este caso, la resultante rala se puede calcular usando una formula determinantal pre-sentada por Dixon en [Dix]:

ResA(f0, f1, f2) = det

c0,(0,0) c0,(1,0) c0,(0,1) c0,(1,1) 0 0

c1,(0,0) c1,(1,0) c1,(0,1) c1,(1,1) 0 0

c2,(0,0) c2,(1,0) c2,(0,1) c2,(1,1) 0 0

0 c0,(0,0) 0 c0,(0,1) c0,(1,0) c0,(1,1)0 c1,(0,0) 0 c1,(0,1) c1,(1,0) c1,(1,1)0 c2,(0,0) 0 c2,(0,1) c2,(1,0) c2,(1,1)

.

Ejemplo 2.5 Tomemos ahora

A0 = (0, 0), (2, 2), (1, 3),A1 = (0, 0), (2, 0), (1, 2),A2 = (3, 0), (1, 1),

y consideremos la familia de polinomios

f0 = a1 + a2x21 x

22 + a3x1 x

32,

f1 = b1 + b2x21 + b3x1 x

22,

f2 = c1x31 + c2x1 x2.

Usando la formula dada por el Teorema 2.3, se tiene que

MV(Q0, Q1) = 7,MV(Q0, Q2) = 7, MV(Q1, Q2) = 5.

En este caso, la resultante rala es

a51b73c

61c2 + 3a41a2b

22b

53c

41c

32 + 3a31a

22b

42b

33c

2zc

52 − 13a31a2a3b

21b2b

43c

51c

22 − 7a31a

23b1b

32b

33c

41c

32

+6a21a32b

31b2b

33c

41c

32 + a21a

32b

62b3c

72 − a21a

22a3b

21b

32c

31c

42 + 5a21a2a

23b

41b

33c

61c2 − a21a2a

23b1b

52b3c

21c

52

+14a21a33b

31b

22b

23c

51c

22 + a21a

33b

72c1c

62 − 2a1a

42b

31b

32b3c

21c

52 − 5a1a

32a3b

51b

23c

51c

22 + a52b

61b3c

41c

32

+2a1a22a

23b

41b

22b3c

41c

32 − 2a1a2a

33b

31b

42c

31c

42 − 7a1a

43b

51b2b3c

61c2 + a22a

33b

61b2c

51c

22 + a53b

71c

71

Veremos mas adelante, en el apartado 2.2.4, que la resultante de polinomios homogeneospresentada en el capıtulo anterior puede ser interpretada como una resultante rala.

Definiremos las caras de un polıtopo Q ⊂ LR ⊂ Rn, como sigue: sea v un vector de Rn.Hagamos

mQ(v) := minq∈Q

〈q, v〉,

y llamemos

Qv := Q ∩ m ∈ Rn : 〈m, v〉 = mQ(v)

la cara de Q determinada por v. El vector v se llamara un vector normal interior de Qv.Si dim(Qv) = n− 1, entonces Qv se llamara faceta.


2.2 Formulas a la Macaulay para polinomios genera-

lizadamente no mixtos

En esta seccion, construiremos matrices a la Macaulay para el caso en el que todos lospolıtopos Qi son multiplos enteros de un polıtopo fijo P, es decir cuando existen numerosenteros positivos k0, k1, . . . , kn tales que

Qi = conv(Ai) = ki P, i = 0, . . . , n.

Este caso aparece en [CDS2], en el contexto de la geometrıa de variedades toricas. Familiasde polinomios con esta propiedad, se pueden identificar con elementos “homogeneos” enel anillo de coordenadas de una variedad torica proyectiva (en el sentido de [Cox2]), con“grados” α0, . . . , αn, donde cada αi es un divisor Q−amplio (ver [Ful]). Vamos a llamarlospolinomios generalizadamente no mixtos porque, como caso particular, contienen a lasfamilias de polinomios no mixtos, que son aquellos para los cuales todos los soportes Ai

coinciden.Las matrices que se construiran aquı generalizaran las matrices Mt, con t > tn dadas enel capıtulo anterior, que en realidad fueron construidas por primera vez por Macaulay en[Mac1]. En la nueva terminologıa, el caso homogeneo tratado en el capıtulo anterior esen el que todos los conjuntos Ai son multiplos del simplex fundamental

Sn := (q1, . . . , qn) ∈ Rn : 0 ≤ qi ≤ 1,

n∑

i=1

qi ≤ 1.

Advertencia: Es necesario tener en consideracion los soportes, dado que la resultanterala depende directamente de la familia de soportes (A0,A1, . . . ,An) , y esta claro quediferentes soportes pueden dar los mismos polıtopos Q0, . . . , Qn (see [Stu2]).

Observacion 2.6 Es facil ver que, en el caso de polinomios generalizadamente no mixtos,debido al Teorema 2.1, para que la resultante no sea constantemente 1, el polıtopo P debeser n−dimensional. Tambien, esta claro que, en este caso, LR = Rn.

Dados λ ∈ Q≥0 y un δ ∈ Qn generico en el sentido de [CE1, CE2, Stu2], nuestro algoritmoproducira una matriz de tipo Sylvester M cuyas filas y columnas estaran indexadas porlos puntos enteros de

E := ((k0 + k1 + . . .+ kn + λ)P + δ) ∩ L, (2.2)

y cuyo determinante sera un multiplo no nulo de la resultante rala. Identificaremos ademasel factor extrano det(M)/ResA(f0, . . . , fn) como un menor de este determinante.Tal como en [Mac1], el algoritmo sera recursivo sobre la dimension del polıtopo P, y ensus pasos intermedios usara la tecnica de subdivision mixta de Canny y Emiris presentadaen [CE1, CE2, Stu2], y que se detalla en la seccion 7.1.2 de esta memoria.

2.2. POLINOMIOS GENERALIZADAMENTE NO MIXTOS 35

2.2.1 Construccion de la Matriz M.

Dados λ y δ como antes, hagamos Q := λP. Sea V (Q) ⊂ Qn el conjunto de vertices deQ. Observar que estos puntos no necesariamente tienen todas sus coordenadas enteras.Elijamos un vertice b0 ∈ A0, y consideremos las siguientes funciones de levantamiento:

ω0 : A0 → R

b0 7→ 1b 7→ 0 si b 6= b0

ωi : Ai → R

b 7→ 0 ∀b ∈ Ai, i = 1, . . . , n

ω : V (Q) → R

b 7→ 0 ∀b ∈ V (Q).

(2.3)

DefinimosΩ :=

(ωi(b)b∈Ai, i=0,1,...,n, ω(b)b∈V (Q)

)∈ Rm+#V (Q)

y consideramos los polıtopos levantados en Rn+1 :

Qi,Ω := conv(a, ωi(a)) : a ∈ AiQΩ := conv(b, ω(b)) : b ∈ V (Q).

Al proyectar las caras superiores (es decir aquellas que tienen vector normal interiorcon ultima coordenada negativa) de los Qi,Ω (resp. QΩ) obtenemos una descomposicioncoherente mixta ∆i,Ω (resp. ∆Ω) de los polıtopos Qi (resp. Q).Similarmente, al proyectar las caras superiores de la suma de Minkowski

Q0,Ω +Q1,Ω + . . .+Qn,Ω +QΩ,

obtenemos una descomposicion coherente mixta de

Q := Q0 +Q1 + . . .+Qn +Q. (2.4)

Cada celda en esta descomposicion es de la forma

F = F0 + F1 + . . .+ Fn + F,

donde Fi (resp. F ) es una celda en ∆i,Ω, (resp. ∆Ω).Dado que las funciones de levantamiento que usamos en (2.3) son esencialmente triviales,se pueden reconocer las siguientes celdas en ∆1,Ω, . . . ,∆n,Ω,∆Ω :

• Los polıtopos Q1, . . . , Qn, Q, que son la proyeccion de las caras determinada por elvector (0,−1) ∈ Rn × R;

• Para cada v ∈ Rn \ 0, las caras Q1v, . . . , Qnv, Qv, que son la proyeccion de lascaras de los polıtopos Qi × 0, i = 1, · · · , n y Q × 0 determinadas por los vectores(v, α), donde α es un numero negativo cualquiera .


Sobre ∆0,Ω se tiene lo siguiente: la proyeccion de la cara correspondiente a (0,−1) es elconjunto formado por el unico elemento b0. Por otro lado, es facil de verificar que todacelda de dimension n en la descomposicion es la capsula convexa de b0 y una faceta deQ0 que no contiene a este punto. La llamaremos F0,v, donde v denota la normal interiorentera primitiva correspondiente a la faceta.Luego, podemos caracterizar todas las celdas maximales (de dimension n) en la descom-posicion de Q como sigue:

• b0 + Q1 + . . . + Qn + Q. Esta celda se dira primaria .

• F0,v + Q1v + . . . + Qnv + Qv, para algunos v ∈ Rn. Estas seran llamadas celdassecundarias, y estaran asociadas a vectores v ∈ Rn no nulos .

El proximo Lema sera util para lo que sigue despues:

Lema 2.7 Supongamos que dim(F0,v) = n. Entonces, para todo q ∈ Q, si

F0,v ∩ m ∈ LR : 〈m, v〉 = q 6= ∅,

existe un λq ∈ Q≥0 tal que esa interseccion es un polıtopo congruente con λqPv.

Demostracion. Supongamos sin perdida de generalidad que b0 = 0, entonces F0,v serala capsula convexa del origen de LR y un conjunto finito de puntos que llamaremosv1, . . . , vM, todos ellos cumpliendo la propiedad siguiente: 〈vi, v〉 = λv < 0, o sea,perteneciendo a un hiperplano que no pasa por el origen.La interseccion de F0,v con un hiperplano paralelo a Pv sera distinta de vacıo si y solamentesi λv ≤ q ≤ 0. Si esto ocurre, esa interseccion sera la capsula convexa de

q

λvv1, . . . ,

q

λvvM,

que es igual a qλvQ0v =

qλvk0Pv.

La matriz de Sylvester que vamos a construir tendra en cuenta si los puntos estan en undesplazamiento infinitesimal de la celda primaria o no. La primer suposicion que haremossobre δ es que todos los puntos de (Q+ δ) ∩ L pertenezcan al interior del trasladado enδ de alguna celda maximal (primaria o secundaria)

Puntos en la Celda Primaria Trasladada.

Procederemos como en [CE1, CE2, Stu2]: elegimos funciones de levantamiento genericasω1, . . . , ωn, ω con dominios en A1, . . . ,An, V (Q) respectivamente, de manera tal que, alproyectar las caras del revestimiento superior del polıtopo levantado en Rn+1, se produzcauna descomposicion coherente mixta estricta de la suma de Minkowski

Q1 + . . .+Qn +Q.


Esto implica que cada celda n−dimensional F en la descomposicion se escribe como

F1 + F2 + . . .+ Fn + F,

donde Fi es una celda de ∆i,ω, F es una celda de ∆ω y

n = dim(F1) + . . .+ dim(Fn) + dim(F ).

Como consecuencia, se tiene que al menos una de estas dimensiones es igual a 0.El contenido de fila de un punto p ∈ (b0+Q1 + . . .+Qn +Q+ δ)∩L sera un par (i, a)definido como sigue:

• si p − δ − b0 esta en una celda que se escribe como F = F1 + . . . + Fn + F, ydim(Fj) = 0 para algun j ∈ 1, . . . , n, i sera el mayor ındice tal que dim(Fi) = 0,y a el unico punto de la celda Fi (o sea Fi = a).

• Si dim(Fj) > 0 ∀j, (o sea dim(F ) = 0), entonces i := 0 y a := b0.

Diremos que la celda F es mixta de tipo 0 si la ultima condicion se cumple; de otro modo,se llamara no mixta.

Observacion 2.8 Los conceptos de contenido de fila (row content), celdas mixtas y nomixtas (mixed and non-mixed cells) definidos previamente, se usan con un significado bas-tante diferente en [CE1, CE2, Stu2]. Veremos algunas relaciones entre ambos conceptosen el Ejemplo 2.23.

Ahora procederemos a definir los elementos de la matriz M que se encuentren en las filasindexadas por aquellos puntos p en el conjunto

(b0+Q1 + . . .+Qn +Q + δ) ∩ L

como sigue: cualquiera sea p′ ∈ E , el elemento de M indexado por (p, p′) sera igual alcoeficiente de xp

′

en la expansion del polinomio xp−a fi(x) donde (i, a) es el contenido defila de p.

Puntos en las Celdas Secundarias Trasladadas.

Sea v ∈ Rn tal que

Fv = F0,v + Q1v + . . .+ Qnv + Qv (2.5)

es una celda maximal en la descomposicion de Q. Esto implica lo siguiente:

• dim(Pv) = n− 1, Qv = λPv, and Qiv = ki Pv, i = 0, 1, . . . , n.

• dim(F0,v) = n.


Intersecando F0,v + δ con hiperplanos paralelos a Pv, y usando el Lema 2.7, se puede verfacilmente que (Fv + δ) ∩ L se puede escribir como una union disjunta de conjuntos deltipo (

λPv + k1Pv + . . .+ knPv + λPv + δ)∩ L, λ ∈ Q≥0. (2.6)

Aquı es donde interviene el paso recursivo: escribimos (2.6) como

(k1Pv + . . .+ knPv + λvPv + δ) ∩ L, λv ∈ Q≥0 (2.7)

y consideramos la familia de polinomios asociada a la v-faceta

fiv (x1, . . . , xn) =∑

a∈Qiv∩Ai

ci,a xa (i = 1, . . . , n). (2.8)

Como v es un vector entero primitivo, existe una base de Zn como Z-modulo de la formav, v2, · · · , vn. Consideramos la transformacion Z-lineal e inversible:

ξ : Zn → Zn

α v +∑

i≥2 αi vi 7→ (α, α2, · · · , αn).(2.9)

Aplicando esta transformacion a los soportes, se puede ver a la familia (2.8) como unconjunto de n polinomios en n− 1 variables con soporte en un lattice de dimension n− 1.Es mas, debido al hecho de que Qiv = ki Pv, tiene dimension exactamente n − 1, esinmediato verificar que la familia Qiv ∩ Aii=1,...,n. es esencial, lo cual implica que laresultante rala de los polinomios (2.8) no es constantemente 1. La denotaremos como

Resv(f1v, . . . , fnv). (2.10)

Como ahora estamos en una dimension menos, podremos usar la hipotesis inductiva conun poco de cuidado: si llamamos Lv ⊂ L al lattice ortogonal a v, y LA1v+···+Anv

alsublattice de Lv generado por A1v + · · ·+Anv, entonces se tendra que, para cada λv ≥ 0,hay [Lv : LA1v+···+Anv

] matrices cuadradas de la forma Mv,λv indexadas por los puntos de(2.7) cuyos determinantes son multiplos no triviales de (2.10), y cada una de ellas tiene elmismo grado que Resv(f1v, . . . , fnv) en los coeficientes de f1v (f1v hara el papel que tenıaf0 en el paso anterior).Tal como ocurre en la celda primaria , cada una de estas matrices tendra en la filacorrespondiente a un punto p, las coordenadas en la base de monomios de la expansionde xp−a fiv(x) para algun par (a, i). Para definir los elementos que iran en la fila indexadapor p de la matriz M procederemos como antes, el lugar indexado por (p, p′) lo ocuparael coeficiente de xp

′

del polinomio xp−a fi(x).Como estamos usando una construccion recursiva, resta verificar que, en el caso n = 1,este procedimiento construye una matriz de tipo Sylvester para dos polinomios en unavariable ([Syl, Mac1]), lo cual es inmediato (ver el Ejemplo 2.20). Si los soportes generanel lattice afın Z, la matriz estara indexada por un conjunto de monomios del tipo

xa1, xa+11 , . . . , xa+s1 a ∈ Z, s ∈ N.


Observacion 2.9 Observar que, en cada paso de la recursion, necesitaremos imponermas condiciones sobre δ para garantizar que todos los puntos enteros de E se encuentrenen el interior de las celdas trasladadas (de cualquier dimension). Esta claro que estoocurre para un δ generico.

Observacion 2.10 Sea dv el “v-diametro” de la celda Fv que se define como sigue:

dv := maxm∈Fv

〈m, v〉 − minm∈Fv

〈m, v〉. (2.11)

Se puede verificar inmediatamente que, el numero de matrices del tipo Mv,λv es exacta-mente dv [Lv : LA1v+···+Anv

]. Ademas, debido al hecho que F1, F2, . . . , Fn, F son facetasasociadas a v, la diferencia (2.11) se puede calcular tambien como

maxm∈F0

〈m, v〉 − minm∈F0

〈m, v〉. (2.12)

Observacion 2.11 En cada paso de la recursion, los puntos que se encuentran en lasceldas secundarias trasladadas del paso previo se distribuyen en nuevas celdas primarias osecundarias de una dimension menos. La nueva celda primaria se subdivide nuevamenteen celdas mixtas y no mixtas, y ası sucesivamente.Tendremos en cuenta esta informacion, que nos servira para decir que un punto estaraen una celda mixta de tipo i, si pertenece al trasladado de una celda mixta de dimensionn − i. Con esta convencion, se tiene inmediatamente que, si un punto esta en una celdamixta de tipo i, entonces los elementos no nulos de la fila de M indexada por este puntoson coeficientes de fi.Tambien esta claro que, al final de la recursion, todo punto de E tiene asociado un con-tenido de fila.

2.2.2 Formula a la Macaulay Generalizada.

Antes de enunciar el resultado central de esta seccion, notemos que det(M) esta biendefinido salvo signo, dado que no hemos fijado ningun orden entre los elementos de E . Dela misma manera, ResA(f0, . . . , fn) esta bien definida salvo signo, ası que las relacionesque apareceran entre estos objetos van a ser siempre “modulo signo”.

Teorema 2.12 La matriz M es una matriz de tipo Sylvester genericamente no singular.Ademas, se tiene la siguiente formula a la Macaulay:

det (M) = ResA(f0, . . . , fn) det (E) ,

donde E es la submatriz cuadrada de M formada omitiendo todas las filas y columnasindexadas por puntos que se encuentren en celdas mixtas.


Observacion 2.13 Por definicion, se tiene que E no contiene coeficientes de f0, asıque como un corolario inmediato del Teorema 2.12, se tiene que det (M) tiene el mismogrado que ResA(f0, . . . , fn) en los coeficientes de f0. Reemplazando el papel de f0 porel de cualquier otro fi, i = 1, . . . , n, conseguiremos tambien una formula para calcularResA(f0, . . . , fn) como el maximo comun divisior de los determinantes de n + 1 matrices(al respecto, ver [CE1, CE2, EM]).

Demostracion. Antes que nada, probaremos que, dado un punto p ∈ E , si p′ pertenece alsoporte de xp−a fi, (donde (i, a) es el contenido de fila de p ) entonces p′ debe ser tambienun punto de E . Esto dara como resultado que M es una matriz de tipo Sylvester.Veamos las distintas posibilidades que se presentan:

• Si el punto pertenece a la celda primaria trasladada, el mismo argumento dado en[CE1, CE2] (y usado en [Stu2]) se aplica a esta situacion.

• Si el punto pertenece al trasladado de una celda secundaria, digamos Fv, debido a(2.5), el polinomio xp−a fiv tiene su soporte contenido en

F0,v + Q1v + . . .+ Qnv + Qv + δ.

Esto, sumado al hecho de que, en las celdas secundarias, i es siempre mayor que 0,implica que

soporte de(xp−afi

)⊂ F0,v +Q1v + . . .+Qi−1v +Qi +Qi+1v + . . . Qnv +Qv + δ

y este ultimo es un subconjunto de Q + δ. De aquı se sigue inmediatamente laafirmacion.

Una vez que tenemos que M es una matriz de tipo Sylvester, el hecho de que la resultanterala ResA(f0, . . . , fn) divide a det (M) sale usando el siguiente argumento, que es el quese da en [CE1, CE2], y que repetiremos aquı para conveniencia del lector:

Proposicion 2.14 Sean V1 y V2 dos Z[ci,a]-modulos libres con bases de monomios deLaurent xγ1 , xγ2 , · · · , xγs xγ

′1 , xγ

′2 , · · · , xγ

′s respectivamente, y φ : V1 → V2 un mor-

fismo tal que xγi 7→ pi(x) fσi(x) ∈ V2, donde pi(x) es un polinomio, y σi ∈ 0, 1, · · · , n.Entonces, el determinante de φ respecto de las bases monomiales es un multiplo deResA(f0, · · · , fn) (eventualmente cero).

Demostracion. Alcanza con ver que cada vez que los polinomios f0, · · · , fn son especial-izados de tal manera que su resultante se anula, entonces φ considerada como transfor-macion k-lineal, no es sobreyectiva.Supongamos que f0(x), · · · , fn(x) ∈ k[x] tienen un cero comun ψ en el toro k

∗n. Si φ,

fuera sobreyectiva, ciertamente se tendrıa una escritura del tipo

xγ′1 = A0(x)f0(x) + · · ·+ An(x)fn(x).


Especializando ahora ψ en x, se tiene ψγ′1 = 0, una contradiccion. Debido a que la

resultante es la ecuacion que define la clausura de la variedad en el espacio de coeficientesde todos los polinomios que tienen un cero comun en el toro, esto prueba el enunciado.

En nuestro caso, tenemos V1 = V2 = 〈xp, p ∈ E〉, y el morfismo φ manda xp en xp−afi(x),donde (i, a) es el contenido de fila de p. Las observaciones anteriores garantizan que laimagen de φ esta contenida en V2.

En lo que sigue, consideraremos det (M) como un polinomio en Z[ci,a] y probaremos queno es identicamente cero, mostrando que su termino mas alto con respecto a algun ordenmonomial es no nulo. Para ser mas explıcitos, veremos que, dado el vector

ω := (ω0, ω1, . . . , ωn) ∈ Rm, (2.13)

donde los ωi fueron definidos en (2.3),

initω (det (M)) 6= 0. (2.14)

Aquı,

initω(∑

cαaα) :=

∑

〈ω,α0〉=max〈ω,α〉

cα0aα0 .

se llama la “forma inicial” de∑cαa

α. Al escribir det (M) como un polinomio en c0,b0con

coeficientes en Z[ci,a \c0,b0], se tiene que el termino de grado mas alto de este polinomio

es (2.14).Debido al papel especial que f0 ha tenido en la construccion de esta matriz, tendremosque el numero de puntos enteros que se encuentren en el interior de alguna celda mixtade tipo 0 trasladada, es igual a M0 := MV(Q1, . . . , Qn) que es precisamente el grado deResA(f0, . . . , fn) en los coeficientes de f0 ([HS, CE1, CE2, Stu2]). Luego, se tiene que

gradocoeficientes de f0 (ResA(f0, . . . , fn)) = gradocoeficientes de f0 (det(M)) .

Esto, sumado a la manera particular en la que hemos levantado los polıtopos (solo levan-tando el punto b0), implica que

det (M)

ResA(f0, . . . , fn)=

initω (det(M))

initω (ResA(f0, . . . , fn))

=coeficiente de cM0

0,b0en det(M)

coeficiente de cM00,b0

en ResA(f0, . . . , fn).

Para demostrar el teorema, procederemos como en [Mac1], mostrando que el numeradorde esta ultima fraccion es no nulo, y que el cociente es det(E). La demostracion seranuevamente por induccion sobre n.El caso inicial (n = 1) esta completamente contenido en las formulas clasicas dadas en[Mac1]. En el caso general, para calcular initω (det(M)) , procederemos como en [CE1,


CE2, Stu2]: introducimos un parametro t de deformacion, y reemplazamos la familia depolinomios (2.1) por:

fi,ω :=∑

a∈Ai

ci,a tωi(a)xa, i = 0, 1, . . . , n, (2.15)

y consideremos la matriz modificada M(ci,a t

ωi(a)).

Observacion 2.15 En realidad, debido a que los ωi son todos cero excepto uno de ellos,se tiene que,

f0,ω = c0,b0t xb0 +

∑a∈Ai\b0

ci,axa,

fi,ω = fi i ≥ 1.

Luego, initω (det(M)) sera el coeficiente principal del determinante de la matriz M(ci,a tωi(a))

pensada como polinomio en t.

Cualquiera sea p ∈ E , sea h(p) el mayor numero racional tal que

(p− δ, h(p)) ∈ QΩ = Q0,Ω +Q1,Ω + . . .+Qn,Ω +QΩ.

Las siguientes observaciones seran utiles mas adelante:

Lema 2.16 La funcion h verifica lo siguiente:

1. 0 < h(p) ≤ 1, para todo p ∈ E .

2. h(p) = 1 si y solamente si p− δ pertenece a la celda primaria .

3. Si p−δ y q−δ pertenecen ambos a la misma celda secundaria, digamos Fv, entonces

h(p) = h(q) ⇐⇒ 〈p, v〉 = 〈q, v〉.

4. Si p ∈ (Fv + δ) ∩ L, su contenido de fila es (i, a), y v′ 6= µ v, µ > 0, entonces

((p− δ − a, h(p)) + (Qi × 0)) ∩QΩ(v′,l′) = ∅, ∀ l′ ∈ R<0; (2.16)

donde QΩ(v′,l′) ⊂ Rn+1 es la cara de QΩ determinada por (v′, l′).

Demostracion del Lema: Las dos primeras afirmaciones son evidentes. La tercera de ellases consecuencia del hecho siguiente: Fv es la proyeccion de QΩ(v,l), donde l es un numeroreal negativo fijo. Ademas,

p− δ, q − δ ∈ Fv ⇐⇒ (p− δ, h(p)) , (q − δ, h(q)) ∈ QΩ(v,l).

Luego,〈(p− δ, h(p)), (v, l)〉 = 〈(q − δ, h(q)), (v, l)〉,

y de aquı se tiene facilmente la tercer afirmacion.


Por ultimo, notemos con l ∈ R<0 el numero real tal que la faceta QΩ(v,l) se proyectabiyectivamente sobre Fv. Debido a las condiciones de genericidad impuestas sobre δ, setiene que el punto pΩ := (p − δ, h(p)) debe pertenecer al interior relativo de QΩ(v,l). Siv′ = µ v, y l′ = µ l, con µ ≤ 0, es implicarıa que l′ /∈ R<0, lo cual esta fuera de las hipotesis,ası que podemos suponer sin perdida de generalidad que (v′, l′) no es paralelo a (v, l).Entonces, se puede desplazar el punto pΩ dentro de la faceta QΩ(v,l), en la direccion dela proyeccion ortogonal del vector −(v′, l′) sobre el hiperplano 〈x, (v, l)〉 = 0. Pero elargumento de convexidad dado en [CE1, CE2] implica que para todo punto qΩ que seencuentre en la faceta QΩ(v,l), debe ocurrir que

qΩ − (a, 0) +Qi × 0 ⊂ QΩ.

Luego, si (2.16) no fuera cierto, los puntos en comun con la faceta QΩ(v′,l′), despues deeste desplazamiento, ya no perteneceran a QΩ, lo cual es imposible.

Ahora, usaremos el mismo argumento de convexidad dado en [CE1, CE2, Stu2] de la man-era siguiente: para cada p ∈ E , multiplicaremos todos los elementos la fila correspondientea p por th(p)−ωi(a), donde -como es usual- (i, a) denota el contenido de fila de p. Llamemos ala matriz que se obtiene de esta manera M′(t). No es difıcil ver que el coeficiente principalde det(M′(t)) es initω(det(M)).

Proposicion 2.1 Sean 0 < γ1 < γ2 < . . . < γN = 1 los distintos valores que toma h(p)al variar p entre los puntos de E . Entonces, el coeficiente principal de det(M′(t)) (comopolinomio en t) se factoriza como

N∏

j=1

det (Mj) , (2.17)

donde Mj es la submatriz cuadrada de M construida eligiendo todas las filas y columnasindexadas por aquellos puntos p tales que h(p) = γj .Este producto tambien se puede factorizar como sigue:

det(MN )∏

Fv

(det(M1

v) . . .det(Mdvv )), (2.18)

donde la productoria se toma sobre todas las celdas secundarias Fv, y las Miv son matrices

del tipo Mv,λv definidas en el apartado 2.2.1, es decir, una matriz de tipo Sylvester paracalcular la resultante rala asociada a los polinomios (2.8).

Demostracion de la Proposicion: Para calcular el termino de grado mas alto en t dedet(M′(t)), dejaremos en cada columna todos los elementos que tengan la mayor potenciade t que aparezca en esa columna, y reemplazaremos por 0 todos los elementos que notengan esa potencia. Llamaremos a esta matriz mod(M′(t)). Si el determinante de estamatriz no es cero, sera lo que estamos buscando.


Para comenzar, se tiene que, en M′(t), la mayor potencia de t que puede aparecer enla columna indexada por p′ es exactamente h(p′). Luego, en mod(M′(t)), en aquellascolumnas indexadas por aquellos p′ para los cuales h(p′) = γ1 no pueden haber elementosno nulos en aquellas filas indexadas por puntos p tales que h(p) 6= γ1, si no se tendrıah(p) > γ1, con lo cual, la potencia de t que aparece en el lugar (p, p′) de la matriz serıaestrictamente mas grande que γ1, lo cual es imposible.Esto implica quemod(M′(t)), despues de dividirla por alguna potencia de t y reordenar susfilas y columnas de tal manera que los puntos p′ para los cuales h(p′) = γ1 se encuentrenen primer lugar, tiene la siguiente estructura:

(M1 A0 B

). (2.19)

Repitiendo este argumento recursivamente, se tiene que, ordenando convenientemente susfilas y columnas, la estructura de mod(M′(t)) es triangular tal como sigue:

M1 ∗ . . . ∗0 M2 . . . ∗...

.... . . ∗

0 0 . . . MN

,

con lo cual se tiene la primer parte de la proposicion.Para demostrar (2.18), fijemos j < N. Entonces, los puntos p para los cuales h(p) = γj < 1,se encuentran en celdas secundarias trasladadas. Las denotaremos con Fv1+δ, . . .FvM +δ.Ordenamos las filas y columnas de Mj de tal manera que los puntos de Fv1 + δ aparezcanprimero, los puntos de Fv2 + δ inmediatamente despues, y ası sucesivamente.En primer lugar, mostraremos que:

Mj =

M(j,v1) 0 . . . 00 M(j,v2) . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . M(j,vM )

,

donde M(j,vk) denota la submatriz de Mj cuyas filas y columnas estan indexadas porpuntos pertenecientes a la celda Fvk + δ.Para probar esto, consideremos la familia deformada (2.15). En Rn+1 se tiene la relacionsiguiente:

supp(th(p)−ωi(a)xp−afi,ω

)= (p− a, h(p)− ωi(a)) +Qi,Ω ⊂ QΩ + (δ, 0)

donde (i, a) es el contenido de fila de p. Ademas, el punto

(p− a, h(p)− ωi(a)) = (p− a, h(p))

pertenece a la faceta del polıtopo trasladado QΩ+(δ, 0) determinado por un vector normalinterior del tipo (vk, l), l ∈ R<0.


Debido al ultimo item del lema anterior, no puede haber coeficientes no nulos en laexpansion del polinomio

th(p)−ωi(a)xp−afi,ω (2.20)

cuyo multigrado en (x, t) este en contacto con el borde de QΩ + (δ, 0) a menos que corre-spondan a puntos que se encuentren en la faceta determinada por (vk, l). Esto implica que,si el punto (q, s) es un exponente que aparece en la expansion de (2.20) y q no pertenecea la celda secundaria desplazada Fvk + δ, entonces (q, s) debe ser un punto interior deQΩ + (δ, 0), y esto implica que s < h(q).Luego, debido a la observacion hecha al principio de esta demostracion, se tiene que elelemento que ocupa el lugar (p, q) en mod(M′(t)) es cero. Esto da la estructura de Mj

que habıamos anunciado.Ahora, recordando la Observacion 2.10 y usando el tercer ıtem del Lema 2.16, se ve queM(j,vk) es en realidad una matriz del tipo Mvk,λvk

. Es mas, todas las matrices de este tipoaparecen en la productoria, y de aquı el resultado sale directamente.

Ahora retornamos a la demostracion del teorema. La hipotesis inductiva nos dice quedet(Mi

v) 6= 0, ∀v, i, y usando el levantamiento realizado en la celda primaria con lasfunciones ω1, . . . ωn, ω, (ver apartado 2.2.1), se tiene que det(MN) 6= 0. Es mas,

det(MN) = cM0

0,b0det(EN ) 6= 0, (2.21)

donde EN es la submatriz de MN formada por aquellas filas y columnas indexadas porpuntos pertenecientes a celdas no mixtas (see [CE1, CE2]). Esto prueba que det(M) 6= 0.Usando nuevamente hipotesis inductiva, tenemos que cada det(Mi

v) se factoriza comoResA(f1v, . . . , fnv) por un menor det(Eiv) formado eligiendo filas y columnas no mixtas enMi

v. Entonces, se tiene

initω det(M) = cM00,b0

det(EN )∏

Fv

(Res(f1v, . . . , fnv))dv∏

Fv

∏

i

det(Eiv). (2.22)

Eligiendo todas las filas y columnas de M indexadas por puntos pertenecientes a celdasno mixtas, se puede hacer una version similar de la Proposicion 2.1 para la matriz E enlugar de M, y se tendra que E tambien tiene una estructura de bloques que nos permitiraescribir su determinante de la manera siguiente:

det(E) = det(EN)∏

Fv

∏

i

det(Eiv). (2.23)

Para completar la demostracion del teorema, deberemos mostrar que

initω(ResA(f0, . . . , fn)) = cM00,b0

∏

Fv

(Resv(f1v, . . . , fnv))dv .

Para ello, usaremos el Teorema 4.1 de [Stu2], que nos dice que

initω(ResA(f0, . . . , fn)) = ±∏

F

(ResF(f0|F0, . . . , fn|Fn))dF ,


donde F varıa sobre todas las facetas de la descomposicion coherente mixta dada por ωen la suma de Minkowski

Q := Q0 +Q1 + . . .+Qn.

Explıcitamente, tenemos que

F = F0 + . . .+ Fn

con Fi = conv(A′i), A

′i ⊂ Ai,

fi|Fi:=∑

a∈A′

i

ci,a xa,

ResF denota la resultante rala asociada a la familia de soportes (A′0, . . . ,A

′n), y dF es

igual al unico entero tal que (ResF(f0|F0, . . . , fn|Fn))dF tiene grado total

n∑

l=0

MV(F0, . . . , Fl−1, Fl+1, . . . , Fn).

Usando las mismas observaciones que en el apartado 2.2.1, se encontrara que la descom-posicion inducida por ω sobre Q es similar a la que induce sobre Q. Para ser mas precisos,obtendremos una gran celda primaria de la forma b0 + Q1 + . . .+ Qn, y para cada v talque Fv sea una celda secundaria de Q, habra una celda secundaria Fv en Q. Es mas, todacelda maximal en Q es de este tipo.Para la celda primaria de Q, tendremos que

f0|F0 = c0,b0xb0 ,

fi|Fi= fi i = 1, . . . , n,

lo cual implica que el unico conjunto esencial en la familia de soportes (A′0, . . . ,A

′n) es el

formado por el unico elemento b0, ası que, en este caso, ResF(f0|F0, . . . , fn|Fn) = c0,b0.

Un calculo explıcito nos dice ademas que dF = MV(Q1, . . . , Qn) =M0.Tomemos ahora un vector v tal que Fv sea una celda de dimension maxima. Esto diceque f0|F0 tiene un soporte n−dimensional, y que

fi|Fi= fiv i = 1, . . . , n.

Luego, en este caso, el unico conjunto esencial es Ai ∩Qivi=1,...,n, y

ResFv(f0|F0, . . . , fn|Fn) = Resv(f1v, . . . , fnv).

Solo queda por probar que dFvy dv coinciden. Observemos que

MV(F1, . . . , Fn) = MV(Q1v, . . . , Qnv) = 0

debido al hecho de que los soportes estan en un hiperplano, luego la suma de Minkowskide cualquier subconjunto de F1, . . . , Fn no puede tener volumen n-dimensional positivo.


Para calcular los otros numeros incolucrados en la definicion de dFv, vamos a usar la

relacion recursiva que satisface el volumen mixto ([Ber, CLO]):

MVn (F0, F1, . . . , Fl−1, Fl+1, . . . , Fn) =∑v′ aF0(v

′)MV ′n−1 ((F1)v′ , (Fl−1)v′ , (Fl+1)v′ , . . . , (Fn)v′) ,

donde la suma se toma sobre todos los vectores v′ tales que Pv′ es una faceta. Aquı,MV ′

n−1 ((Fi)v′) denota el volumen mixto normalizado con respecto al hiperplano Lv′ ⊂ Lortogonal a v′, y

aF0(v′) := − min

m∈F0

〈m, v′〉.

Como se tenıa que Fi = Qiv, resulta que

MV ′n−1 ((F1)v′ , (Fl−1)v′ , (Fl+1)v′ , . . . , (Fn)v′) = 0,

a menos que v′ = v o v′ = −v. Luego,

MVn (F0, F1, . . . , Fl−1, Fl, . . . , Fn) =(aF0(v) + aF0(−v))MV ′

n−1 ((F1)v, (Fl−1)v, (Fl+1)v . . . , (Fn)v)

y, debido a que

grado(Resv) =1

[Lv : LA1v+···+Anv]

n∑

l=1

MV ′n−1 ((F1)v, (Fl−1)v, (Fl+1)v . . . , (Fn)v),

obtenemos quedFv

= (aF0(v) + aF0(−v)) [Lv : LA1v+···+Anv], (2.24)

y esto es exactamente lo que hemos calculado en la observacion 2.10.

Corolario 2.17 Cualquiera sea i = 0, 1, . . . , n, el numero de puntos que se encuentran enel trasladado de una celda mixta de tipo i es exactamente MV(Q0, . . . , Qi−1, Qi+1, . . . , Qn).

Demostracion. Se tienen las siguientes igualdades

gradocoeficientes defi(det(E)) = #puntos no mixtos de tipo i,gradocoeficientes de fi

(det(M)) = #puntos no mixtos de tipo i+#puntos mixtos de tipo i.

Observacion 2.18 Al comenzar el algoritmo, pedimos que b0 sea un vertice de A0, peroesta condicion no es esencial sino que minimiza el numero de celdas secundarias. Comouna consecuencia inmediata, tenemos queSi la familia fii=0,...,n es esencial, entonces cualquier coeficiente generico ci,a aparece enResA(f0, . . . , fn) con potencia mas alta igual a MV(Q0, . . . , Qi−1, Qi+1, . . . , Qn).


Observacion 2.19 Hemos usado el algoritmo de levantamiento de Canny y Emiris en lasceldas primarias para garantizar la construccion de matrices con determinante no nulo, ycon el mismo grado que la resultante en los coeficientes de algun fi. Se puede ver que elteorema principal vale si uno garantiza un metodo que le permita construir recursivamentematrices de tipo Sylvester cuyo determinante no sea identicamente cero, y que tenga elmismo grado que la resultante rala en los coeficientes de algun fi. Esto fue notado porMacaulay en el caso homogeneo (ver [Mac1], section 6a y apartado 1.6 de esta memoria).

2.2.3 Ejemplos

Ejemplo 2.20 (El Caso Unidimensional) Hagamos

A0 := 0, 2, 4, A1 := 4, 8.

Aquı, el lattice afın L es igual a 2Z, y el polıtopo P es el segmento unitario [0, 1]. Hagamosλ := 5

2, δ := 1

3, y b0 := 0. Entonces, haciendo cuentas, se tiene:

• E = [4 + 13, 14 + 5

6] ∩ 2Z = 6, 8, 10, 12, 14;

• los puntos que se encuentran en la celda primaria trasladada son 6, 8 y 10; los otrospuntos pertenecen a la (unica) celda secundaria trasladada.

• Hay una unica manera de llenar las filas de la matriz M que estan indexadas porpuntos que se encuentran en la celda secundaria desplazada. En este caso, tenemosque

x12 7→ x4 f1 (mixta)x14 7→ x6 f1 (mixta).

• Si bien hay infinitas funciones de levantamiento ω1, ω sobre A1 y V (Q) = 0, 52,

no pueden producir mas que dos tipos de descomposicion coherente mixta estrictadel segmento

[4, 8 +5

2] = Q1 +Q.

Explicitaremos los dos casos:

1.x6 7→ x6 f0 (mixta)x8 7→ x8 f0 (mixta)x10 7→ x2 f1 (no mixta),

que corresponde a los levantamientos que producen la misma particion que

ω1(4, 8) = (0, 1)ω(0, 5

2) = (0, 0);


2.x6 7→ x2 f1 (no mixta)x8 7→ x6 f0 (mixta)x10 7→ x8 f0 (mixta),

que corresponde a los levantamientos que producen la mismo particion que

ω1(4, 8) = (0, 0)ω(0, 5

2) = (0, 1).

Observar que ambos casos dan esencialmente la misma matriz. La unica diferencia es quelas filas estan indexadas con puntos distintos. Tomando

f0 = a+ bx21 + cx41,f1 = dx41 + ex81,

(2.25)

obtenemos la siguiente matriz

M :=

a b c 0 00 a b c 00 d e 0 00 0 d e 00 0 0 d e

.

La submatriz E aquı consiste de la matriz 1× 1 formada por el elemento e que aparece enla fila y columna 3 de M. Expandiendo det(M) por la ultima columna, se tiene que

det(M) = e

a b c 00 a b c0 d e 00 0 d e

,

y entonces se puede ver facilmente que el determinante de la matriz que quedo en ellado derecho de la igualdad corresponde con una resultante de Sylvester clasica para dospolinomios en una variable, que en este caso es la resultante del sistema (2.25).

Observacion 2.21 Esta situacion ocurrira para cualquier sistema de dos polinomios enuna variable, cualquier λ, b0 y cualquier δ generico. El algoritmo producira siempre lamisma matriz de tipo Sylvester dada por Macaulay en [Mac1].

Ejemplo 2.22 Vamos a calcular la resultante del sistema dado en el ejemplo 2.4. To-memos λ := 1, ası que Q sera el cuadrado unitario. Elegiremos como vertice b0 al punto(0, 0). En este caso, L = Z2, la celda primaria es igual a 3 veces [0, 1]× [0, 1], y hay dosceldas secundarias asociadas a los vectores normales interiores (−1, 0) y (0,−1).


Hacemos δ := (23, 12) y obtenemos que E consiste de 16 puntos, nueve de ellos en el

trasladado de la celda primaria . Explıcitamente, tenemos que

E = (a, b) ∈ Z2 : 1 ≤ a, b ≤ 4.

En este caso, los polinomios facetas f1v, f2v se pueden considerar (despues de un cambiolineal de coordenadas) como polinomios en una variable, las filas correspondientes a puntospertenecientes a celdas secundarias trasladadas pueden completarse a la Sylvester, comoen el ejemplo anterior. Para determinar las entradas de las filas indexadas por puntos enla celda primaria , usaremos las siguientes funciones de levantamiento sobre los conjuntos(ordenados)Ai = V (Q) = (0, 0), (1, 0) (0, 1) (1, 1) :

ω1 = (0, 1, 1, 2) ;ω2 = (0, 0, 7, 7) ;ω = (0, 14, 0, 14) .

Observemos que las funciones de levantamiento son restricciones de funciones lineales so-bre R2. Usando cualquier algoritmo que calcule capsulas convexas, como el que se presentaen [Emi4], podremos construir la matriz M, que tendra las siguientes caracterısticas:

fila coeficientes de celda tipo

x1x2 x1x2 f1 primaria no mixtax21x2 x21x2 f0 primaria mixtax31x2 x21x2 f1 primaria no mixtax1x

22 x1x2 f2 primaria no mixta

x21x22 x21x2 f2 primaria no mixta

x31x22 x31x

22 f0 primaria mixta

x1x32 x1x

22 f2 primaria no mixta

x21x32 x1x


x31x32 x21x


x41x32 x31x

22 f1 (−1, 0)− secundaria mixta

x41x22 x31x

22 f2 (−1, 0)− secundaria no mixta

x41x2 x31x2 f2 (−1, 0)− secundaria mixtax1x

42 x1x

32 f2 (0,−1)− secundaria mixta

x21x42 x21x

32 f2 (0,−1)− secundaria no mixta

x31x42 x31x

32 f2 (0,−1)− secundaria no mixta

x41x42 x31x

32 f1 (0,−1)− secundaria mixta

.

Luego, escribiendo fi = ai + bix1 + cix2 + dix1x2 y ordenando los monomios como en la


tabla, obtendremos que

M =

a1 b1 0 c1 d1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 a0 b0 0 c0 d0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 a1 b1 0 c1 d1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0a2 b2 0 c2 d2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 a2 b2 0 c2 d2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 a0 0 0 c0 d0 b0 0 0 0 0 00 0 0 a2 b2 0 c2 d2 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 a2 b2 0 c2 d2 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 a1 b1 0 c1 d1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 a1 0 0 c1 d1 b1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 a2 0 0 c2 d2 b2 0 0 0 0 00 0 a2 0 0 c2 0 0 0 0 d2 b2 0 0 0 00 0 0 0 0 0 a2 b2 0 0 0 0 c2 d2 0 00 0 0 0 0 0 0 a2 b2 0 0 0 0 c2 d2 00 0 0 0 0 0 0 0 a2 b2 0 0 0 0 c2 d20 0 0 0 0 0 0 0 a1 b1 0 0 0 0 c1 d1

y

E =

a1 0 c1 d1 0 0 0 0 0 00 b1 0 c1 0 0 0 0 0 0a2 0 c2 d2 0 0 0 0 0 00 b2 0 c2 0 0 0 0 0 00 0 a2 b2 c2 d2 0 0 0 00 0 0 a2 0 c2 d2 0 0 00 0 0 a1 0 c1 d1 0 0 00 0 0 0 0 0 c2 b2 0 00 0 0 0 0 a2 b2 0 c2 d20 0 0 0 0 0 a2 0 0 c2

.

Con la ayuda de Maple, se puede chequear que

det(M) = ±Resd1,...,dn(f0, f1, fn) det(E),

y que det(E) se factoriza como

−c32(−c1a2 + a1c2)b2(c1d2 − d1c2)(−b2c1 + b1c2).

Tambien podemos verificar en este ejemplo, que el termino principal de det(M) como


polinomio en a0 es el determinante de esta matriz:

a1 b1 0 c1 d1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 a0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 a1 b1 0 c1 d1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0a2 b2 0 c2 d2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 a2 b2 0 c2 d2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 a0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 a2 b2 0 c2 d2 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 a2 b2 0 c2 d2 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 a1 b1 0 c1 d1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 d1 b1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 d2 b2 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 d2 b2 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c2 d2 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c2 d2 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c2 d20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c1 d1

, (2.26)

y podemos reconocer en esta matriz la estructura de bloques que establece la Proposicion2.1. Explıcitamente, tenemos un bloque de 9 × 9 correspondiente a la celda primaria, ydos bloques asociados a las celdas secundarias, de tamanos 3× 3 y 4× 4 respectivamente.Calculando el determinante de (2.26), obtendremos:

−a20c32(−c1a2 + a1c2)b2(−c2d1 + d2c1)

2(b1d2 − b2d1)(c2b1 − c1b2),

y podemos verificar facilmente que

det(E) = c32(−c1a2 + a1c2)b2(−c2d1 + d2c1)(c2b1 − c1b2),

yRes(0,−1)(c1x2 + d1x1x2, c2x2 + d2x1x2) = (−c2d1 + d2c1),Res(−1,0)(b1x1 + d1x1x2, b2x2 + d2x1x2) = (b1d2 − b2d1)

como esperabamos.

Ejemplo 2.23 Queremos calcular la resultante rala de la familia

f0 = a1 + a2x1 + a3x2,f1 = b1 + b2x1 + b3x2 + b4x

21 + b5x1x2 + b6x

22,

f2 = c1 + c2x1 + c3x2 + c4x21 + c5x1x2 + c6x

22+

+c7x31 + c8x

21x2 + c9x1x

22 + c10x

32.

(2.27)

Aquı, Ai = (a, b) ∈ N20 : a + b ≤ i + 1, i = 0, 1, 2, el lattice E es Z2 y los polıtopos Qi

son multiplos enteros del simplex unitario S2. La resultante rala coincide con la resultante


homogenea del capıtulo anterior aplicada a las homogeneizaciones de los fi (ver [CLO,Mac1]).

Para calcular esta resultante, hacemos Q := 0 y b0 := (0, 0). La celda primaria es igual a5S2, y hay una unica celda secundaria, asociada al vector (−1,−1).

Haciendo δ := (ǫ, ǫ), con 1 >> ǫ > 0, tendremos que E tiene 15 elementos, diez de ellosen la celda primaria trasladada. Para producir la descomposicion estricta, usaremos lassiguientes funciones de levantamiento definidas sobre los vertices de Qi, i = 1, 2 ordenadoscomo sigue: (0, 0), (k, 0), (0, k) con k = 2, 3, y extendidos al resto de los puntos delsoporte por linealidad:

ω1 = (1, 0, 1)ω2 = (1, 1, 0).

En este caso, el valor de ω, la funcion de levantamiento sobre el unico vertice de Q, noafecta a la subdivision. Como en el ejemplo previo, la celda secundaria se llenara a laSylvester.

La siguiente tabla muestra como esta conformada la matriz M :

fila coeficientes de celda tipo


x1x42 x1x



x41x2 x1x2 f2 primaria no mixtax51x2 x21x2 f2 (−1,−1)− secundaria mixtax1x

52 x1x

32 f1 (−1,−1)− secundaria mixta

x21x42 x21x


x31x32 x31x2 f1 (−1,−1)− secundaria mixta

x41x22 x1x


x1x2 x1x2 f0 primaria mixtax1x

22 x1x


x21x2 x21x2 f0 primaria mixtax31x2 x31x2 f0 primaria mixtax31x

22 x31x


x21x22 x21x


.


Indexada con el orden de la tabla, obtenemos que M es igual a

b6 0 0 0 0 0 0 0 0 b1 b3 b2 b5 b4 0b3 b6 b5 0 0 0 0 0 0 0 b1 0 b2 0 b40 0 b6 b4 0 0 0 0 0 0 0 b1 b3 b2 b5c6 c10 c9 c7 0 0 0 0 0 c1 c3 c2 c5 c4 c80 0 c6 c4 c7 0 c10 c9 c8 0 0 c1 c3 c2 c5b1 b3 b2 0 0 b6 b5 b4 0 0 0 0 0 0 00 0 b3 0 0 0 b6 b5 b4 0 0 0 b1 0 b20 0 0 b2 b4 0 0 b6 b5 0 0 0 0 b1 b3c3 c6 c5 0 0 c10 c9 c8 c7 0 c1 0 c2 0 c40 0 0 0 0 0 0 0 0 a1 a3 a2 0 0 0a3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a1 0 a2 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a1 a3 a2 00 0 0 a2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a1 a30 0 0 0 0 0 0 a3 a2 0 0 0 0 0 a10 0 a3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a1 0 a2

.

En este caso, el factor extrano det(E) es el determinante de la submatriz formada eligiendolas primeras cuatro filas y columnas de M, y cuyo determinante es igual a

b6 (c7 b26 − b4 b6 c9 + b4 b5 c10).

Observemos que los puntos pertenecientes a celdas no mixtas trasladadas provienen en esteejemplo exclusivamente de la celda primaria , asi que no hay una estructura de bloquessignificante en esta matriz.

Curiosidad: La matriz construida en este ejemplo es exactamente la misma que con-struyeron Canny y Emiris en la ultima seccion de [CE2] (ver tambien la seccion 3.1.4 de[Emi1]) para mostrar que, en los algoritmos que ellos produjeron, el factor extrano nosiempre es el determinante del menor formado eligiendo todas las filas y columnas index-adas por puntos pertenecientes a celdas no mixtas. Por supuesto, ellos trabajan con otradefinicion de celdas mixtas y no mixtas.Para explicitar un poco mas, el algoritmo de Canny y Emiris no es recursivo. En esteejemplo ellos producen esta misma matriz aplicando un levantamiento a los polıtoposQ0, Q1 y Q2 usando las siguientes funciones lineales: l0 := 104x1 + 103x2, l1 := 105x1 yl2 := 102x1 + 10x2. Tomando la tapa inferior de los polıtopos levantados (Qi, li(Qi)), setiene una descomposicion coherente mixta estricta de la suma de Minkowski Q0+Q1+Q2.Usando el mismo δ de este ejemplo, se tiene la misma matriz, pero los puntos que seencuentran en las celdas no mixtas desplazadas estan en correspondencia con los monomios

x1x32, x1x

42, x

21x

32, x

51x2,

y el determinante de la matriz cuyas filas y columnas estan indexadas por estos puntoses b36 c7.


2.2.4 Una Revision de las Formulas Clasicas de Macaulay

En este apartado veremos como las formulas dadas por Macaulay en [Mac1] se puedenrecuperar usando los metodos expuestos en este capıtulo. Vamos a adoptar una notacionmas parecida a la del trabajo original de Macaulay, ası que nuestro marco general serael de n polinomios genericos en n − 1 variables x1, . . . , xn−1 de grados totales menoreso iguales m1, . . . , mn respectivamente. En el lenguaje de los soportes, esto quiere decirque los Ai son multiplos enteros del simplex unitario Sn−1. Denotaremos a los polinomioscomo C1, C2, . . . , Cn. Entonces, se tendra:

supp(Ci) = mi Sn−1.

Observacion 2.24 En realidad, en el trabajo de Macaulay se trabajaba con n polinomioshomogeneos en n variables y se daban formulas para calcular su resultante homogenea,pero la resultante homogenea de estos polinomios coincide con la resultante rala de los Cital como la definimos en el apartado 2.1.

Observacion 2.25 Haciendo tn = (m1−1)+(m2−1)+. . .+(mn−1) y usando el algoritmode Canny y Emiris, es tambien posible construir la matriz clasica de Macaulay Mt parat = tn + 1. Es mas, el factor extrano de la formulacion de Macaulay es exactamente elmenor formado usando todas las filas y columnas indexadas por puntos pertenecientes aceldas no mixtas trasladadas conseguidas con el algoritmo de Canny y Emiris (ver [CE2]y [Emi1]).

En la seccion 3 de [Mac1], para cada t ≥ 0, Macaulay construye una matriz de tipoSylvester cuyo determinante denota como D(n, t). Las filas y columnas de la matriz deMacaulay estan indexadas por los monomios de grado total menor o igual que t. Ademas,para t > tn, se tiene que D(n, t) es un multiplo no trivial de Resd1,...,dn(C1, . . . , Cn), queen ese trabajo recibe el nombre de R(n, t).Al igual que la nuestra, la construccion de Macaulay es recursiva, en el siguiente sentido:sea ν el vector normal interior (−1,−1, . . . ,−1); entonces se tiene que:

C1v, C2v, . . . , Cn−1v. (2.28)

es un sistema de n−1 polinomios homogeneos en las variables x1, . . . , xn−1. Haciendo xn−1

igual a 1, se puede pensar a estos polinomios como un sistema en una variable menos consoporte en

m1 Sn−2, m2 Sn−2, . . . , mn−1 Sn−2.

Luego, D(n− 1, j) sera el determinante de la matriz de Macaulay hecha con las mismasreglas que D(n, j), pero en n− 2 variables, usando los polinomios (2.28).En la seccion 5 de [Mac1], encontramos el siguiente teorema:

D(n, t)

R(n, t)=

mn−1∏

j=0

D(n− 1, t− j)

R(n− 1, t− j)

t−mn∏

k=1

D(n− 1, k), (2.29)


que es la piedra angular del resultado principal de la seccion 6, que dice que R(n, t) sepuede calcular como el cociente de D(n, t) por el menor obtenido omitiendo las filas ycolumnas correspondientes a los monomios reducidos en todas las variables.En ese trabajo, un monomio xα = xα1

1 . . . , xαn−1

n−1 se dice reducido si existe un unico ındice

i ∈ 1, . . . , n tal que xmii divide a xα x

j−|α|n .

Macaulay tambien dio una estructura recursiva para el factor extrano (con su notacion,∆(n, t)) como sigue:

∆(n, t) =mn−1∏

j=0

∆(n− 1, t− j)t−mn∏

k=1

D(n− 1, k) (2.30)

(ver seccion 6 de [Mac1]).Vamos a ver esta construccion a la luz de los resultados presentados en este capıtulo.Para ello, debemos tomar algunas precauciones ya que el determinante de la matriz deMacaulay tiene el mismo grado que la resultante en los coeficientes de Cn, ası que debe-remos modificar nuestro algoritmo de tal manera que el lugar de f0 lo ocupara aquı Cn;similarmente, el lugar de f1 lo ocupara Cn−1, y ası sucesivamente.El polıtopo P en este caso sera el simplex unitario Sn−1. Dado t > tn, para definir Q,hacemos λ := t− tn − 1. Luego, Q sera igual a

(m1 + . . .+mn + λ)Sn−1 = (m1, . . . , mn−1) ∈ Rn−1 : 0 ≤ mi ≤ t + n− 1,

y L = Zn−1. Tomando δ = (ǫ, . . . , ǫ), con 1 >> ǫ > 0, obtenemos que

E = (α1, . . . , αn−1) ∈ Zn−1 : 1 ≤ αi,∑

i

αi ≤ t+ n− 1.

HaciendoE → β ∈ Nn−1

0 :∑βi ≤ t

(α1, . . . , αn−1) 7→ (α1 − 1, . . . , αn−1 − 1),(2.31)

obtenemos una biyeccion entre los puntos de nuestro soporte y los monomios usados porMacaulay para construir su matriz. Elegimos b0 = (0, . . . , 0), y es facil ver que tendremosuna unica celda secundaria, que estara asociada con el vector ν, y cuyo ν−diametro esexactamente mn.Usando funciones de levantamiento ω1, . . . , ωn−1, ω tales como las que se proponen enla seccion 8 de [CE2], y tomando luego el revestimiento (superior o inferior), se puedeobtener una descomposicion estricta de la celda primaria de tal manera que los puntosque se encuentren en las celdas n−mixtas desplazadas esten en correspondencia biyectivacon los monomios reducidos que son divisibles por xmn

n . Funciones de levantamiento conpropiedades similares pueden ser usadas en las etapas recursivas.Comparando las ecuaciones (2.30) y (2.23), se tiene que

mn−1∏

j=0

∆(n− 1, t− j) =∏

Fv

∏

i

det(Eiv).

2.3. FORMULAS A LA MACAULAY: EL CASO GENERAL 57

Luego,

det(EN) =t−mn∏

k=1

D(n− 1, k).

2.3 Formulas a la Macaulay: el Caso General

En esta seccion, vamos a lidiar con el caso mas general de todos, que es asumir que lafamilia Ai0≤i≤n es esencial, sin ninguna otra condicion adicional sobre los soportes.Observar que esta hipotesis implica que ResA(f1, . . . , fn) es no trivial.Como antes, hacemos

Qi = conv(Ai), i = 0, . . . , n,

yQ := Q0 + . . .+Qn.

Se tiene entonces que, como la familia de soportes es esencial, el polıtopo Q debe sern-dimensional. Tambien, esta claro que, en este caso, LR = Rn.Para dar mas generalidad a nuestro algoritmo, consideremos un polıtopo Q con verticesen Qn, arbitrario.Fijamos nuevamente un δ ∈ Qn generico en un sentido que precisaremos enseguida. Comoen la seccion anterior, nuestro algoritmo producira una matriz de tipo Sylvester M cuyasfilas y columnas estaran indexadas por los puntos enteros de

E := (Q0 +Q1 + . . .+Qn +Q+ δ) ∩ L, (2.32)

y cuyo determinante sera un multiplo no nulo de la resultante rala. Identificaremos ademasel factor extrano det(M)/ResA(f0, . . . , fn) como un menor de este determinante.Como antes, el algoritmo sera recursivo sobre la dimension del polıtopo Q, y en sus pasosintermedios usara la tecnica de subdivision mixta de Canny y Emiris (ver [CE1, CE2,Stu2]).

2.3.1 Construccion de la Matriz M.

Dados Q y δ como antes, sea V (Q) ⊂ Qn el conjunto de vertices de Q.Elijamos un vertice b0 ∈ A0, y consideremos las siguientes funciones de levantamiento:

ω0 : A0 → R

b0 7→ 1b 7→ 0 si b 6= b0

ωi : Ai → R

b 7→ 0 ∀b ∈ Ai, i = 1, . . . , n

ω : V (Q) → R

b 7→ 0 ∀b ∈ V (Q).

(2.33)


DefinimosΩ :=

(ωi(b)b∈Ai, i=0,1,...,n, ω(b)b∈V (Q)

)∈ Rm+#V (Q)

y consideramos los polıtopos levantados en Rn+1 :

Qi,Ω := conv(a, ωi(a)) : a ∈ AiQΩ := conv(b, ω(b)) : b ∈ V (Q).

Al proyectar las caras superiores (es decir aquellas que tienen vector normal interiorcon ultima coordenada negativa) de los Qi,Ω (resp. QΩ) obtenemos una descomposicioncoherente mixta ∆i,Ω (resp. ∆Ω) de los polıtopos Qi (resp. Q).Similarmente, al proyectar las caras superiores de la suma de Minkowski

Q0,Ω +Q1,Ω + . . .+Qn,Ω +QΩ,

obtenemos una descomposicion coherente mixta de

Q := Q0 +Q1 + . . .+Qn +Q. (2.34)

Cada celda en esta descomposicion es de la forma

F = F0 + F1 + . . .+ Fn + F,

donde Fi (resp. F ) es una celda en ∆i,Ω, (resp. ∆Ω).Dado que las funciones de levantamiento que usamos en (2.3) son esencialmente triviales,se pueden reconocer las siguientes celdas en ∆1,Ω, . . . ,∆n,Ω,∆Ω :

• Los polıtopos Q1, . . . , Qn, Q, que son la proyeccion de las caras determinadas por elvector (0,−1) ∈ Rn × R;

• Para cada v ∈ Rn \ 0, las caras Q1v, . . . , Qnv, Qv, que son la proyeccion de lascaras de QΩ determinadas por los vectores (v, α), donde α es un numero negativo.

Sobre ∆0,Ω se tiene lo siguiente: la proyeccion de la cara correspondiente a (0,−1) esel conjunto formado por el unico elemento b0. Por otro lado, es facil de verificar que,cualquiera sea k ≥ 0, toda celda de dimension k en la descomposicion es, o bien una carade dimension k que contiene a b0, o bien la capsula convexa entre b0 y una cara de Q0

de dimension k − 1 que no contiene a este punto. La llamaremos F0,v, donde v denotaalguna normal interior entera primitiva correspondiente a esa cara.Luego, todas las celdas de la descomposicion de Q son como sigue:

• b0 + Q1 + . . . + Qn + Q. Esta celda se dira primaria . Observar que siempretiene dimension n debido a que la familia Aii=0,1,···,n es esencial.

• F0,v + Q1v + . . .+ Qnv + Qv, para algunos v ∈ Rn. Aquellas que tengan dimensionmaxima, seran llamadas celdas secundarias, y estaran asociadas a vectores v ∈ Rn

no nulos .

Tal como en la seccion anterior, la matriz de Sylvester que vamos a construir tendra encuenta si los puntos estan en un desplazamiento infinitesimal de la celda primaria o no. Laprimer suposicion que haremos sobre δ es que todos los puntos de (Q+ δ)∩L pertenezcanal interior del trasladado en δ de alguna celda maximal (primaria o secundaria)


Puntos en la Celda Primaria Trasladada.

Procederemos exactamente como en la seccion anterior: elegimos funciones de levan-tamiento genericas ω1, . . . , ωn, ω con dominios en A1, . . . ,An, V (Q) respectivamente, demanera tal que produzcan una descomposicion coherente mixta estricta de la suma deMinkowski

Q1 + . . .+Qn +Q

tomando su revestimiento superior. Esto implica que cada celda n−dimensional F en ladescomposicion se escribe como

F1 + F2 + . . .+ Fn + F,

donde Fi es una celda de ∆i,ω, F es una celda de ∆ω y

n = dim(F1) + . . .+ dim(Fn) + dim(F ).

Como consecuencia, se tiene que al menos una de estas dimensiones es igual a 0.El contenido de fila de un punto p ∈ (b0+Q1 + . . .+Qn +Q+ δ)∩L sera un par (i, a)definido como sigue:

• si p − δ − b0 esta en una celda que se escribe como F = F1 + . . . + Fn + F, ydim(Fj) = 0 para algun j ∈ 1, . . . , n, i sera el mayor ındice tal que dim(Fi) = 0,y a el unico punto de la celda Fi (o sea Fi = a).

• Si dim(Fj) > 0 ∀j, (o sea dim(F ) = 0), entonces i := 0 y a := b0.

Diremos que la celda F es mixta de tipo 0 si la ultima condicion se cumple; de otro modo,se llamara no mixta.Ahora procederemos a definir los elementos de la matriz M que se encuentren en las filasindexadas por aquellos puntos p que se encuentren en

(b0+Q1 + . . .+Qn +Q + δ) ∩ L

como sigue: cualquiera sea p′ ∈ E , el elemento de M indexado por (p, p′) sera igual alcoeficiente de xp

′

en la expansion del polinomio xp−a fi(x) donde (i, a) es el contenido defila de p.

Puntos en las Celdas Secundarias Trasladadas.

Aquı aparece la parte diferente, y deberemos usar el paso recursivo. Sea v ∈ Rn tal que

Fv = F0,v + Q1v + . . .+ Qnv + Qv (2.35)

es una celda maximal en la descomposicion de Q. Consideramos la familia de polinomiosasociada a la v-faceta

fiv (x1, . . . , xn) =∑

a∈Qiv∩Ai

ci,a xa (i = 1, . . . , n). (2.36)


Despues de un cambio de coordenadas como en (2.9), esta familia se puede tratar comoun conjunto de n polinomios en n − 1 variables con soporte en un lattice de dimensionn− 1. Lo que no puede afirmarse es que la familia de soportes

Qiv ∩Ai1≤i≤n (2.37)

sea esencial, pero seguro que existe una subfamilia de ındices 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ n,tal que Qij v

∩ Aij es esencial. Tampoco podemos afirmar que sea el unico subcon-junto esencial dentro de la familia (2.37) (esta informacion sera necesaria mas adelante),pero podemos suponer sin perdida de generalidad que hay una subfamilia esencial que esminimal respecto de la inclusion, y es la siguiente:

Qiv ∩ Ai1≤i≤k. (2.38)

Esto dice que la resultante rala de los polinomios f1v, f2v, · · · , fkv respecto de la familiade soportes (2.38) es distinta de uno. La notaremos como

Resv(f1v, . . . , fkv). (2.39)

Entonces, la sumaQ1v +Q2v + · · ·+Qkv (2.40)

esta contenida en una variedad lineal de codimension n−k+1 y, al igual que en la seccionanterior, se puede ver que al intersecar

(F0,v + Q1v + . . .+ Qnv + Qv + δ) ∩ L

con variedades paralelas a (2.40), este conjunto se puede escribir como una union disjuntade familias del tipo

(Q1v + . . .+Qkv + Qv + δ

)∩ LA1v+···+Anv

. (2.41)

donde Qv es un polıtopo con vertices en Qn, contenido en un hiperplano paralelo a (2.40).Consideramos la familia

fiv (x1, . . . , xn)1≤i≤k. (2.42)

Ahora que bajamos la dimension, podemos usar la hipotesis inductiva y construir, paracada subfamilia (2.41), una matriz cuadrada Mv,Q indexada por todos los puntos de (2.41)cuyo determinante sera un multiplo no trivial de la resultante en (2.39), y con el mismogrado que Resv(f1v, . . . , fkv) en los coeficientes de f1v.Tal como ocurre en la celda primaria, cada una de estas matrices tendra en la fila cor-respondiente a un punto p, las coordenadas en la base de monomios de la expansion dexp−a fiv(x) para algun par (a, i). Para definir los elementos que iran en la fila indexadapor p de la matriz M procederemos como antes, el lugar indexado (p, p′) lo ocupara elcoeficiente de xp

′

del polinomio xp−a fi(x).El procedimiento para decidir cuando un punto estara en una celda mixta o no, tambienes diferente en este caso, en parte debido a que hemos elegido un polıtopo Q cualquiera.


Definicion 2.26 Diremos que un vector v es “admisible” si hay una unica subfamiliaesencial dentro de (2.37).

Retomemos la notacion del Teorema 4.1 de [Stu2] que ya hemos visto en la demostraciondel teorema 2.12. Se tiene:

initω(ResA(f0, . . . , fn)) = ±∏

F

(ResF(f0|F0, . . . , fn|Fn))dF ,

donde F varıa sobre todas las facetas de la descomposicion coherente mixta dada por ωen

Q := Q0 +Q1 + . . .+Qn.

Como antes, aquı tambien se tiene

ω := (ω0, ω1, . . . , ωn) ∈ Rm

F = F0 + . . .+ Fn,Fi = conv(A′

i), A′i ⊂ Ai,

fi|Fi:=∑

a∈A′

ici,a x

a,

y ResF denota la resultante rala asociada a la familia de soportes (A′0, . . . ,A

′n), y dF es

igual al unico entero tal que (ResF(f0|F0, . . . , fn|Fn))dF tiene grado total

n∑

l=0

MV(F0, . . . , Fl−1, Fl+1, . . . , Fn).

Observacion 2.27 Observar que ResF 6= 1 si y solamente si F esta asociada a un vectorv admisible.

En esta situacion, podemos “elegir” los puntos mixtos como sigue:

• Si el vector v no es admisible, entonces todos los puntos de (Fv + δ) ∩ L seran nomixtos.

• Si el vector v es admisible, entonces elegimos dFvde las matrices Mv,Q que se con-

siguen al partir la celda Fv+ δ en conjuntos de la forma (2.41). Veremos enseguida,en la proposicion 2.28, que esto es siempre posible.

– Si un punto pertenece a una de las dFvmatrices Mv,Q, y era “mixto” en esa

matriz, entonces sera mixto en la matriz M.

– Los otros puntos de M seran “no mixtos”.

Nuevamente, es facil ver que el caso n = 1, no es otra cosa que un “reencuentro” con lasmatrices clasicas de Sylvester ([Syl, Mac1]).

Proposicion 2.28 Si v es admisible, el numero de conjuntos (2.41) que se forman alpartir la celda Fv + δ es mayor o igual que dFv

.


Demostracion de la Proposicion: Por un lado, se tiene que (Teorema 4.1 de [Stu2]):

initω(ResA(f0, . . . , fn)) = ±∏

F

(ResF(f0|F0, . . . , fn|Fn))dF .

Por el otro, initω(ResA(f0, . . . , fn)) es en realidad la resultante ResA aplicada a la familia

c0,b0xb0 , f1, · · · , fn.

Para obtener una formula mas util de dFv1, usamos la formula 1 dada por Minimair para

calcular ResA(c0,b0xb0 , f1, · · · , fn) (cf. Theorem 1 de [Min]), que en la situacion en la que

nos encontramos se lee ası:

ResA(c0,b0xb0 , f1, · · · , fn) = cM0

0,b0

∏

v

ResA1v,···,Anv(f1v, · · · , fnv)

ev ,

donde el producto se toma sobre todos los vectores normales interiores primitivos de lasfacetas del polıtopo de Newton de A1 + · · ·+An, y

ev = (aF0(v) + aF0(−v)) [Lv : LA1v+···+Anv] e′v, (2.43)

donde

• F0 es la capsula convexa de b0 ∪ A0v,

• aF0 tiene el mismo significado que en la demostracion del teorema 2.12,

• Lv es el sublattice de L ortogonal a v,

• [A : B] denota el ındice del lattice B respecto del lattice A,

• LC es el lattice afın generado por el conjunto C,

• en el caso en que exista una unica subfamilia esencial Ai1 , · · ·Aim de A1v, · · · ,Anv,e′v se define como sigue:

– Hacemos LA1v+···+Anv= LAi1

+···+Aim⊕L′. Sea π la proyeccion sobre el segundo

factor.

– e′v = MV (π(Qiv))i/∈i1,···,im , donde MV(.) denota el volumen mixto normali-zado a L′.

Ahora pasemos a la demostracion de la proposicion. Podemos suponer sin perder gene-ralidad que Q = 0, ya que agregar un polıtopo a la suma no puede hacer decrecer lacantidad de conjuntos de la forma (2.41) en Fv + δ. Tambien supongamos s.p.g. que launica familia esencial es A1, · · · ,Am.

1Observar que estamos dentro de las hipotesis de la formula de Minimair dado que, como A0, · · · ,An

es esencial, entonces el unico subconjunto esencial de la familia b0,A1, · · · ,An es b0.


Tomemos v admisible. Esta claro que entonces ev y dFv coinciden. Siguiendo la con-struccion de la matrizM para el caso generalizadamente no mixto, se tiene que (Fv + δ)∩Lse escribe como una union disjunta de (aF0(v) + aF0(−v)) [Lv : LA1v+···+Anv

] conjuntos dela forma

(Q1v + · · ·+Qnv +Qv) ∩ LA1v+···+Anv,

donde Qv es un polıtopo con vertices racionales y paralelo a Lv. De cada una de estasparticiones se pueden obtener tantos conjuntos de la forma (2.41) como puntos enteroshayan en π(Qm+1v)+ · · ·+π(Qnv)+π(Qv). Esta cantidad es siempre mayor o igual que lacantidad de puntos enteros que hay en π(Qm+1v)+ · · ·+π(Qnv), y este numero es siempremayor o igual que e′v. Esto completa la demostracion.

2.3.2 Formula a la Macaulay Generalizada

El que sigue puede considerarse como el resultado central de este capıtulo, y una extensiondel teorema 2.12:

Teorema 2.29 La matriz M es una matriz de tipo Sylvester genericamente no singular.Ademas, se tiene la siguiente formula a la Macaulay:

det (M) = ResA(f0, . . . , fn) det (E) ,

donde E es la submatriz cuadrada de M formada omitiendo todas las filas y columnasindexadas por puntos que se encuentren en celdas mixtas.

Es facil ver que que E no contiene coeficientes de f0, ası que como corolario inmediatose tiene que det (M) tiene el mismo grado que ResA(f0, . . . , fn) en los coeficientes de f0.Reemplazando el papel de f0 por el de cualquier otro fi, conseguiremos tambien unaformula para calcular ResA(f0, . . . , fn) como el maximo comun divisor de los determi-nantes de n+ 1 matrices resultantes.

Demostracion. La misma demostracion que se hizo en la prueba del teorema 2.12 sepuede aplicar a esta situacion para ver que M es una matriz de Sylvester. De ahı se tieneinmediatamente que ResA(f0, . . . , fn) divide a det (M) usando el argumento usual dadoen la proposicion 2.14.Tal como antes, probaremos que det(M) no es identicamente cero mostrando que sutermino mas alto con respecto a ω es no nulo.Es facil verificar que en este caso tambien se tiene

gradocoeficientes de f0 (ResA(f0, . . . , fn)) = gradocoeficientes de f0 (det(M)) .

Luego,det (M)

ResA(f0, . . . , fn)=

initω (det(M))

initω (ResA(f0, . . . , fn))


=coeficiente de cM0

0,b0en det(M)

coeficiente de cM0

0,b0en ResA(f0, . . . , fn)

.

Veremos que el numerador de esta ultima fraccion es no nulo, y que el cociente es det(E),haciendo induccion en n. El caso inicial ya fue cubierto en la seccion anterior. Supongamosn > 1, e introduzcamos nuevamente un parametro t de deformacion como antes:

f0,ω = c0,b0t xb0 +

∑a∈Ai\b0

ci,axa,

fi,ω = fi i ≥ 1.

Consideramos la matriz modificada M(ci,a t

ωi(a)). Para p ∈ E , sea h(p) el mayor numero

racional tal que

(p− δ, h(p)) ∈ QΩ = Q0,Ω +Q1,Ω + . . .+Qn,Ω +QΩ.

Para cada p ∈ E , multiplicaremos todos los elementos la fila correspondiente a p porth(p)−ωi(a), donde -como es usual- (i, a) denota el contenido de fila de p. Llamemos a lamatriz que se obtiene de esta manera M′(t). No es difıcil ver que el coeficiente principalde det(M′(t)) es initω(det(M)).Los siguientes enunciados se demuestran mutatis mutandis los de la seccion anterior:

Lema 2.30 La funcion h verifica lo siguiente:

1. 0 < h(p) ≤ 1, para todo p ∈ E .

2. h(p) = 1 si y solamente si p− δ pertenece a la celda primaria .

3. Si p−δ y q−δ pertenecen ambos a la misma celda secundaria, digamos Fv, entonces

h(p) = h(q) ⇐⇒ 〈p, v〉 = 〈q, v〉.

4. Si p ∈ (Fv + δ) ∩ L, su contenido de fila es (i, a), y v′ 6= λ v, λ > 0, entonces

((p− δ − a, h(p)) + (Qi,Ω × 0)) ∩ QΩ(v,l′) = ∅, ∀ l′ ∈ R<0; (2.44)

donde QΩ(v,l′) ⊂ Rn+1 es la cara de QΩ determinada por (v, l′).

Proposicion 2.2 Sean 0 < γ1 < γ2 < . . . < γN = 1 los distintos valores que toma h(p)al variar p entre los puntos de E . Entonces, el coeficiente principal de det(M′(t)) (comopolinomio en t) se factoriza como

N∏

j=1

det (Mj) , (2.45)

donde Mj es la submatriz cuadrada de M construida eligiendo todas las filas y columnasindexadas por aquellos puntos p tales que h(p) = γj.Este producto tambien se puede factorizar como sigue:

det(MN)∏

Fv

(det(M1

v) . . .det(Mdvv )), (2.46)

donde


1. la productoria se toma sobre todas las celdas secundarias Fv,

2. dv es el numero de conjuntos de la forma (2.41) que hay (para cada v),

3. las Miv son matrices del tipo Mv,Q definidas despues de (2.42),

Retornando a la demostracion del teorema, por la hipotesis inductiva, det(Miv) 6= 0, ∀v, i

y, por la misma razon de antes,

det(MN) = cM0

0,b0det(EN) 6= 0

donde EN es la submatriz de MN formada por aquellas filas y columnas indexadas porpuntos pertenecientes a celdas no mixtas. Esto dice que det(M) 6= 0, y que

initω det(M) = cM0

0,b0det(EN)

∏

Fv1

(det(M1

v1) . . .det(Mdv1v1 )) ∏

Fv2

(det(M1

v2) . . .det(Mdv2v2 )),

(2.47)donde Fv1 varıa sobre las celdas secundarias asociadas a vectores v1 admisibles, y Fv2

sobre las celdas asociadas a los vectores v2 que no lo son.Ahora, eligiendo todas las filas y columnas de M indexadas por puntos pertenecientes aceldas no mixtas, se puede hacer una version similar de la proposicion 2.1 para la matrizE en lugar de M, y se tendra que E tambien tiene una estructura de bloques que nospermitira escribir su determinante de la manera siguiente:

det(E) = det(EN)∏

Fv1

dFv1∏

i=1

det(Eiv1),∏

i>d ˜Fv1

det(Miv1)∏

Fv2

∏

i

det(Miv2) (2.48)

y de aquı se concluye facilmente la demostracion del teorema, usando la proposicion 2.28.

Corolario 2.31 Cualquiera sea i = 0, 1, . . . , n, el numero de puntos que se encuentran enel trasladado de una celda mixta de tipo i es exactamente MV(Q0, . . . , Qi−1, Qi+1, . . . , Qn).

Corolario 2.32 Si la familia fii=0,...,n es esencial, entonces cualquier coeficiente ci,aaparece en ResA(f0, . . . , fn) con potencia mas alta igual a MV(Q0, . . . , Qi−1, Qi+1, . . . , Qn).

Observacion 2.33 Aquı tambien vale lo comentado en la observacion 2.19: el teoremaprincipal vale si uno garantiza un metodo que le permita construir recursivamente matricesde tipo Sylvester con determinante no nulo y el mismo grado que la resultante rala en loscoeficientes de algun fi.


2.3.3 Ejemplos

Ejemplo 2.34 Calcularemos la resultante del ejemplo 2.5, tomando b0 = (0, 0), Q = 0y δ = (0, 1

3). Los polıgonos Qi son la capsula convexa de los Ai dados en el ejemplo, y

L = Z2.La celda primaria sera Q1 +Q2, y tendremos cuatro celdas secundarias:

vector asociado tipo(2,−1) 2-mixta(−1,−2) 1-mixta(−1,−1) no mixta(−3,−1) 2-mixta.

(2.49)

Para subdividir la celda primaria , hacemos ω1 = (0, 0, 0) y ω2 = (1, 1). Esta subdivisionproduce dos celdas: una copia de Q1, y la unica celda 0-mixta de la subdivision. El conjuntoE en este caso tiene 23 elementos, y asociaremos la unica celda no mixta de (2.49) conf2. Con la ayuda de Maple calculamos la matriz M :

c1 0 0 0 0 0 c2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 c1 0 0 0 0 0 0 c2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 c1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c2 0 0 0 0 00 0 0 c1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c2 0 0 0 00 0 0 0 a1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a3 0 0 a2 0 0 00 0 0 0 0 a1 0 0 0 0 0 a2 0 0 0 0 0 0 0 0 a3 0 00 0 0 0 0 0 a1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a3 0 0 a2 0 00 0 a2 0 0 0 0 a1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a3 00 0 0 0 0 0 0 0 a1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a3 0 0 a2 00 0 0 0 0 0 0 c2 0 c1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c1 0 0 0 0 c2 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c1 0 0 0 0 c2 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c1 0 0 0 0 0 0 c2 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c1 0 0 0 0 0 0 c2 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c1 0 0 0 0 0 0 c2 0b2 0 0 0 b1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b3 0 0 0 0 0 0 00 b2 0 0 0 0 b1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b3 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 b1 0 0 0 0 0 0 0 0 b3 0 b2 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b3 0 b2 0 b10 0 0 0 0 b1 0 0 0 b2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b3 0 0 00 0 0 0 0 0 0 b1 0 0 b2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b3 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b2 0 0 0 b1 0 0 0 0 0 b3 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c1 0 0 c2

.

Su determinante es igual a c41ResA(f0, f1, f2). Aquı, el factor extrano es el primer menorprincipal de tamano 4× 4.

Ejemplo 2.35 Calculemos la resultante del mismo sistema dado en el ejemplo anterior,pero esta vez tomaremos Q como el cuadrado unitario [0, 1] × [0, 1], y δ = (ǫ, 1

3), con


0 < ǫ << 13. El punto inicial b0 seguira siendo (0, 0). La celda primaria ahora sera igual

a Q1 +Q2 +Q, y esta vez tendremos 6 celdas secundarias:

vector asociado tipo(2,−1) 2-mixta(0,−1) no mixta(−1,−2) 1-mixta(−1,−1) no mixta(−3,−1) 2-mixta(−1, 0) no mixta.

Observar que las nuevas celdas secundarias estan asociadas a vectores normales interioresde Q que no definen ninguna faceta en Q0+Q1+Q2. Subdivimos la celda primaria usando

ω1(0, 0) = 1, ω1(1, 2) = 1, ω1(2, 0) = 0,ω2(1, 1) = 1, ω2(3, 0) = 0,ω(0, 0) = 8, ω(1, 0) = 4, ω(0, 1) = 4, ω(1, 1) = 0.

Si asociamos las celdas secundarias no mixtas con f1, la matriz M es de 36 × 36, sudeterminante es igual a c31 b

93 c

32 b

22 veces la resultante. La submatriz E es la siguiente:

b2 0 0 b1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 b2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 c1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 c1 0 0 0 0 c2 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 c1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 b2 b3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 b3 0 0 0 0 b1 0 0 0 0 00 0 b2 0 0 0 0 b3 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 b3 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 c1 0 c2 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c2 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c2 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b3 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 b1 0 0 0 b3 0 0 00 0 0 0 0 0 0 b2 0 0 b1 0 0 0 b3 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b3 00 0 0 0 0 b1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b3

.

Su determinante es el factor extrano, como era de esperarse.

Ejemplo 2.36 Vamos a ver en este ejemplo que la desigualdad establecida por la proposicion2.28 puede ser estricta. Consideremos la siguiente familia esencial:

A0 = (0, 0); (1, 0); (0, 1); (1, 1)A1 = (0, 0); (1, 1)A2 = ((1, 0); (0, 1).


Notaremos a los polinomios genericos con esos soportes como

f0 = a1 + a2x+ a3y + a4xyf1 = b1x+ b2yf2 = c1 + c2xy.

Tomaremos b0 = (0, 0), δ = (ǫ, 13), con 0 < ǫ << 1

3, y Q como el triangulo de vertices

(0, 0), (1, 0) y (1, 1).Entonces, se tiene lo siguiente:

• La celda primaria es Q1 +Q2 +Q;

• Hay cinco celdas secundarias, asociadas a (1,−1), (0,−1), (−1,−1), (−1, 0) y (−1, 1).

• Se tiene que(F(1,−1) + δ

)∩ Z2 consiste de dos puntos, mientras que un calculo

explıcito dice que dF(1,−1)= 1.

En este caso,(F(1,−1) + δ

)∩ Z2 “se parte” en dos celdas, cada una de ellas contiene un

punto, y puede ser elegida como mixta. Si tomamos las funciones ωi, i = 1, 2 constan-temente iguales a 2, y ω constantemente igual a 0 y aplicamos el algoritmo dado en elapartado 2.3.1, se obtendra la siguiente matriz de 13× 13 :

M =

c2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c1 00 c2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c1b2 0 b1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 b1 0 0 0 0 0 0 0 b2 00 0 0 0 b1 0 0 0 b2 0 0 0 00 0 0 0 0 b1 0 0 0 b2 0 0 00 b1 0 0 0 0 b2 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 b2 0 b1 0 0 0c1 0 0 0 0 0 0 0 c2 0 0 0 00 c1 0 0 0 0 0 0 0 c2 0 0 00 b2 0 0 0 0 0 0 0 0 b1 0 0a4 a2 0 0 0 0 a3 0 0 0 0 a1 00 a4 0 a2 0 0 0 0 0 0 0 a3 a1

.

Hemos ordenado las filas y columnas de M de tal manera que los monomios que se en-cuentran en

(F(1,−1) + δ

)∩ Z2 indexan las filas y columnas 7 y 8. Los otros puntos no

mixtos indexan las primeras seis filas y columnas de la matriz.El determinante de M es igual a

b2 c22 b

41ResA(f0, f1, f2)

y es facil verificar que, en este caso, b2c22b

41 se puede obtener o bien tomando el menor

principal de 7 × 7, o bien calculando el menor indexado por los seis primeros monomiosjunto con el que ocupa la posicion ocho.

Chapter 3

La Resultante Homogenea como elDeterminante de un Complejo

En este capıtulo volveremos a considerar una familia de n polinomios homogeneos en nvariables f1, . . . , fn, genericos y de grados d1, · · · , dn respectivamente, tal como en (1.1).Consideraremos ademas complejos de Weyman, como los que aparecen en [WZ, GKZ2],y haremos explıcitos los morfismos en estos complejos, los cual nos daran expresionespolinomiales para la resultante homogenea via formulas determinantales en los casos quese describiran en el Lema 3.2.Vamos a considerar un complejo que es un “acoplamiento” entre el complejo de KoszulK•(t; f1, . . . , fn) asociado con f1, . . . , fn en grado t y el dual del complejo de KoszulK•(tn − t, f1, . . . , fn)

∗ asociado con f1, . . . , fn en grado tn − t. Este complejo provienede una sucesion espectral derivada del complejo de Koszul de haces en Pn−1 asociadocon f1, . . . , fn tensorizado con OPn−1(t). Haremos explıcito en terminos del bezoutiano elmorfismo de conexion ∂0 (ver (1.9) debajo) producido por obstrucciones cohomologicas.De hecho, la unica contribucion no trivial esta dada en terminos del morfismo ψ1,t definidoen (1.6).Para ser mas precisos, con K•(t; f1, . . . , fn) denotaremos el complejo

0 −→ K(t)−nδ−(n−1)−→ . . .

δ−1−→ K(t)−1 δ0−→ K(t)0 , (3.1)

dondeK(t)−j = ⊕

i1<...<ijSt−di1−...−dij

y δ−j son los morfismos de Koszul usuales.Similarmente, sea K•(tn − t; f1, . . . , fn)

∗ el complejo

K(tn − t)0δ∗0−→ K(tn − t)1

δ∗1−→ . . .δ∗n−→ K(tn − t)n , (3.2)

dondeK(tn − t)j = ⊕

i1<...<ijS∗tn−t−di1−...−dij

69

70 CHAPTER 3. RESULTANTES Y DETERMINANTES DE COMPLEJOS

y δ∗j son los duales de los morfismos de Koszul usuales. Notar que, de hecho, K(tn−t)n = 0

para todo t ≥ 0.Definimos entonces C•(t; f1, . . . , fn) como el siguiente complejo doble:

0 −→ C−n ∂−(n−1)−→ . . .

∂−1−→ C−1 ∂0−→ C0 ∂1−→ . . .

∂n−1−→ Cn−1 −→ 0 , (3.3)

donde

C−j = K(t)−j, j = 2, . . . , nCj = K(tn − t)j+1, j = 1, . . . , n− 1C−1 = K(tn − t)0 ⊕K(t)−1

C0 = K(t)0 ⊕K(tn − t)1

(3.4)

y los morfismos estan definidos por

∂−j = δ−j, j = 2, . . . , n− 1∂j = δ∗j , j = 2, . . . , n− 1∂−1 = 0⊕ δ−1

∂0 = (ψ1,t + δ0)⊕ δ∗0∂1 = 0 + δ∗1

(3.5)

Mas precisamente, ∂0(T, (g1, . . . , gn)) = (ψ1,t(T ) + δ0(g1, . . . , gn), δ∗0(T )) y

∂1(h, (T1, . . . , Tn)) = δ∗1(T1, . . . , Tn). Observar que ∂0 es precisamente la transformacionΨt definida en (1.16).Para cualquier especializacion de los coeficientes en (3.3), obtenemos un complejo de k-espacios vectoriales. Sea D el determinante del complejo de A-modulos (3.3) con respectoa las bases de monomios de losA-modulos Cℓ (la definicion de determinante de un complejopuede verse con toda generalidad en [GKZ2], Appendix A]. Un caso particular es explicadocon mas detalle en el apartado 6.2.2 de esta memoria ). Este determinante es un elementodel cuerpo de fracciones de A.El proximo enunciado, es el resultado principal de este capıtulo.

Teorema 3.1 El complejo (3.3) es genericamente exacto, y para cada especializacion delos coeficientes, sera exacto si y solamente si la resultante no se anula. Para cada enteropositivo t se tiene que

D = Resd1,...,dn(f1, . . . , fn). (3.6)

Mas aun, D es igual al maximo comun divisor de todos los menores maximales de lamatriz que representa el morfismo de A-modulos ∂0 en las bases monomiales.

Demostracion. El hecho de que Resd1,...,dn(f1, . . . , fn) es el maximo comun divisor de todoslos menores maximales de la matriz que representa ∂0 ha sido probado en el corolario 1.13.Para t > tn, obtenemos el complejo de Koszul en grado t, y luego el complejo especializadoen el punto a ∈ kN es exacto si y solamente si f1(a), . . . , fn(a) es una sucesion regular, esdecir si y solamente si la resultante no se anula. El hecho de que el determinante de estecomplejo es la resultante es una idea de Cayley, que ha sido debidamente demostrado en[De], [GKZ2] y [Cha1].

71

Supongamos 0 ≤ t ≤ tn. Como δ0 δ−1 = δ∗1 δ∗0 = 0, es facil ver que (3.3) es un complejo.

Para cualquier eleccion de polinomios homogeneosf1(a), . . . , fn(a) ∈ k[x] de grados d1, . . . , dnrespectivamente, tal que su resultante no se anule, los complejos de Koszul especializa-dos (3.1) y (3.2) seran exactos. Denotaremos modulos y morfismos especializados comoK(t)1(a), δ0(a), etc.Luego, dim Im(δ0(a)) es igual a i(t) = dim < f1(a), . . . , fn(a) >t . Similarmente, se tieneque dim(ker(δ∗0(a)) = i(tn − t). Entonces,

dim ker(∂0(a)) ≥ dim Im(∂−1(a)) = dim Im(δ−1(a)) =

= dimker(δ0(a)) = dimK(t)−1(a)− i(t).

Por otro lado, debido al Teorema (1.15), hay una matriz cuadrada M ′t(a) de tamano ρ(t),

que es no singular. Esto se corresponde con la eleccion de un menor de ∂0(a), e implicaque

dim ker(∂0(a)) ≤ dimC−1(a)− ρ(t) =

= dimK(t)−1(a) + dimK(tn − t)0(a)− ρ(t) =

= ImK(t)−1(a) + dimStn−t(a)− ρ(t) =

= dimK(t)−1(a)− i(t).

Ası que dim Im(∂−1(a)) = dimKer(∂0(a)) y el complejo es exacto a nivel −1.De una manera similar, se puede verificar que el complejo es exacto a nivel 0, y se obtieneque (3.3) es exacto.Recıprocamente, supongamos que Resd1,...,dn(f1(a), . . . , fn(a)) = 0. Entonces, aun cuandolos complejos especializados (3.1) y (3.2) fueran exactos, la Proposicion (1.1) nos dice queno hay posibilidad alguna de encontrar un menor maximal no nulo de ∂0(a), ası que (3.3)no puede ser exacto.Para calcular el determinante del complejo, haremos elecciones adecuadas de subconjuntosde monomios en cada termino del complejo, comenzando con los ındices que definen Mt

y extendiendonos tanto hacia la derecha como hacia la izquierda. Se tendra entonces que

D =detMt

p1 · p2,

donde p1 (resp. p2) es un producto alternado de menores de los morfismos que aparecena la izquierda (resp. a la derecha ).Tomando en cuenta (3.1) y (3.2), se sigue de [Cha3] that

p1 = det(Et), p2 = det(Etn−t)

y, por el Teorema 1.10, tendremos que

D = Resd1,...,dn(f1, . . . , fn)det(Et)

det(Et) det(Etn−t)= Resd1,...,dn(f1, . . . , fn),


lo cual implica (3.6), como se querıa demostrar.

Caracterizaremos ahora aquellas n + 1-uplas n, d1, . . . , dn para las cuales se obtiene unaformula determinantal.

Lema 3.2 Supongamos d1 ≤ d2 ≤ . . . ≤ dn. El determinante del complejo resultanteprovee una formula determinantal para Resd1,...,dn(f1, . . . , fn) si y solamente si la siguienteinecuacion se verifica

d3 + . . .+ dn − n < d1 + d2 − 1. (3.7)

Es mas, cuando (3.7) ocurre, hay una formula determinantal dada por el complejo resul-tante para cada t tal que

d3 + . . .+ dn − n < t < d1 + d2. (3.8)

Observacion 3.3 Cuando todos los di son iguales a d, (3.7) queda

(n− 2)d < 2d+ n− 1,

lo cual ocurre para cualquier d si n ≤ 4, para d = 1, 2, 3 si n = 5, para d = 1, 2 si n = 6,y nunca ocurre si n > 7 a menos que d = 1.

Demostracion. El determinante del complejo resultante provee una formula determinantalpara Resd1,...,dn(f1, . . . , fn) precisamente cuando C−2 = C1 = 0. Esto es equivalente a lasinecuaciones

t < d1 + d2

y

tn − t = d1 + . . . dn − n− t < d1 + d2,

de las cuales el lema se demuestra facilmente. Hemos hecho decrecer la expresion de laderecha de (3.7) en una unidad para permitir que un numero natural t satisfaga (3.8).

Corolario 3.4 Para todo n ≥ 7 el complejo provee una formula determinantal solamentecuando d1 = d2 = d3 = 1 y n − 3 ≤ d4 + . . . + dn < n, lo cual fuerza a que todos los disean 1 o, a lo mas, todos ellos iguales a 1 excepto uno o dos iguales a 2, o todos igualesa 1 excepto uno igual a 3.

La prueba del corolario es inmediata de la inecuacion (3.7). Es interesante notar que, siuna formula determinantal para n, d1, · · · , dn existe, tendremos una formula determinantalpara t = [tn/2], como muestra el proximo corolario.

Proposicion 3.1 Si (d1, · · · , dn) cumple con las hipotesis del lema 3.2, entonces

det(M[tn/2]

)= ±Resd1,...,dn(f1, . . . , fn).

73

Demostracion. Para probar que M[tn/2] es determinantal, tendremos que chequear que

d3 + . . .+ dn − n <

[tn2

]< d1 + d2. (3.9)

Debido al Lema 3.2, como hay una formula determinantal, entonces se verifica la in-ecuacion (3.7), y de allı es inmediato verificar que

d3 + . . .+ dn − n <tn2< d1 + d2.

Para ver que tambien se tiene (3.9), alcanza con chequear que

d3 + . . .+ dn − n+ 1/2 6=tn2

=d1 + . . .+ dn − n

2.

Pero si las dos primeras expresiones fueran iguales, se tendrıa d3+. . .+dn = d1+d2+n−1,lo cual es una contradiccion.

En la tabla siguiente, hemos calculado algunos valores de ρ([

tn2

])y ρ (tn + 1) (el tamano

de las matrices clasicas de Macaulay) para distintos valores de n, d1, . . . , dn.

n (d1, . . . , dn) ρ([

tn2

])ρ (tn + 1)

2 (10, 70) 70 802 (150, 200) 200 3503 (1, 1, 2) 3 63 (1, 2, 5) 14 283 (2, 2, 6) 21 454 (1, 1, 2, 3)) 12 354 (2, 2, 5, 5) 94 3644 (2, 3, 4, 5) 90 3645 (4, 4, 4, 4, 4) 670 48457 (2, 3, 3, 3, 3, 3, 3) 2373 3876010 (3, 3, . . . , 3) 175803 1430715020 (2, 2, . . . , 2) 39875264 131282408400

.

De todos modos, hay que notar que cuanto menor es la matriz Mt, mayor es el numero

de coeficientes del bezoutiano que tiene entre sus entradas.

Chapter 4

Formulas Jacobianas para calcular laResultante (n=2)

En este capıtulo vamos a exhibir formulas para calcular la resultante al estilo de Cannyy Emiris (es decir, matrices cuadradas cuyo determinante es un multiplo no nulo dela resultante y que tiene el grado correcto en los coeficientes de algun fi), usando laformulacion jacobiana dada en [CDS2]. Allı, ellos consideran sistemas generalizadamenteno mixtos, y definen matrices cuyo determinante es un multiplo de la resultante, y queson casi de tipo Sylvester, con la excepcion de una fila que contiene las coordenadas deljacobiano torico.Este trabajo esta hecho para el caso en que n = 2, es decir cuando hay tres polıgonos en elplano. Sea A = (A0,A1,A2), donde Ai ⊂ Z2 es un conjunto finito, y ademas, conv(Ai) =kiP, siendo P un polıgono con vertices en Z2, y ki un entero positivo. Consideremos elsiguiente sistema de polinomios de Laurent genericos en las variables x = (x1, x2) :

fi(x) =∑

a∈Ai

cia xa, cia 6= 0, i = 0, 1, 2,

Sea Qi = ki P el polıgono de Newton de fi. Supondremos que P tiene area positiva, y quela union de los Ai genera afinmente al lattice Z2.Queremos calcular la resultante rala ResA(f0, f1, f2). Para ello, vamos a construir unamatriz usando el algoritmo de la subdivision mixta de Canny y Emiris (cf. [CE2]), queperturba la suma de Minkowski Q = Q0+Q1+Q2 agregandole δ y asociando a cada puntoentero en E = (Q + δ) ∩ Z2 un monomio multiplo de algun fi. Modificando un poco estealgoritmo, produciremos un menor maximal del complejo que se describe en [CDS2] paracalcular la resultante. Esta matriz estara indexada por los puntos enteros del interior delpolıgono Q.

4.1 Jacobianos Toricos y Resultantes

En esta seccion revisaremos, para el caso de 3 polinomios en dos variables, algunos re-sultados que aparecen en [CDS2] en un contexto mas general. Sea F := int(Q) ∩ Z2,

75

76 CHAPTER 4. FORMULAS JACOBIANAS

Q−i :=∑

j 6=iQj , i = 0, 1, 2 y Fi := int(Q−i) ∩ Z2, donde int(·) quiere decir “interior”respecto de la topologıa euclıdea.

Proposicion 4.1 [CDS2, prop. 1.2] Consideremos el sistema f = (f0, f1, f2) con lossoportes cumpliendo A0 = A1 = A2, de cardinal |A0|. El jacobiano torico del sistematiene soporte en F y es igual a

J(f) := det

f0 f1 f2x1

∂f0∂x1

x1∂f1∂x1

x1∂f2∂x1

x2∂f0∂x2

x2∂f1∂x2

x2∂f2∂x2

.

Cuando Qi = kiP , el jacobiano torico se construye en [CDS2] via una P -homogenizacion.Para evitar ese proceso, presentamos el siguiente algoritmo valido en general (es decir,para n arbitrario):

• Sea P un polıtopo n−dimensional con vertices en Zn, dado por las siguientesecuaciones:

P := m ∈ Rn : 〈m, ηi〉 ≥ −bi, i = 1, · · · , s,

donde los vectores ηi son los vectores normales interiores primitivos relativos a lasfacetas de P.

• Sean k0, k1, · · · , kn enteros positivos, y

Ai = ki P ∩ Zn.

• Sean f0, f1, · · · , fn polinomios genericos tales que supp(fi) = Ai, es decir

fi =∑

a∈Ai

ci,a xa.

• Requerimos que P sea un polıtopo simplicial (siempre ocurre si n = 2.)1

Algoritmo:

1. Elegir un vertice p ∈ P. Debido al hecho de que P es simplicial, se tendra que hayn facetas cuya interseccion es el vertice p. Supongamos sin perdida de generalidadque las normales interiores a estas facetas son η1, · · · , ηn. Denotaremos a las facetascomo F1, · · · , Fn respectivamente.

2. Para cada i = 0, 1, · · · , n, y cada j = 1, · · · , n− 1, hacer:

Aji :=

((∩jt=1kiFt

)\ kiFj+1

)∩ Zn. (4.1)

Ademas, sea Ani := ki p. Observar que Aj

i ⊂ ki Fj , ∀j y, si j 6= j′, Aji ∩Aj′

i = ∅.

1En realidad, alcanza con que P tenga un vertice simplicial, como se ve en el algoritmo.

4.1. JACOBIANOS TORICOS Y RESULTANTES 77

3. Sea f ji :=∑

a∈Ajici,ax

a.

4. Calcular

∆0 (x) := det

f0 f1 · · · fnf 10 f 1

1 · · · f 1n

...... · · ·

...fn0 fn1 · · · fnn

.

Proposicion 4.2 ∆0 (x) tiene su soporte contenido en F , es decir en

((k0 + k1 + · · ·+ kn)P ) ∩ Zn,

y corresponde salvo signo a una restriccion al toro del polinomio homogeneo ∆σ, tal comose lo define en el Teorema 1 de [CD]. En este contexto, σ es el cono dual de dimensionn cuyas aristas son los “rayos” η1, · · · , ηn.

Observacion 4.1 En realidad, el polinomio ∆σ esta bien definido modulo el ideal ho-mogeneo 〈F0, F1, · · · , Fn〉, donde Fi denota la P−homogeneizacion de los fi, ası que loque estamos calculando es en realidad un representante de esta clase. Por otro lado, noes cierto que ∆σ sea igual al jacobiano torico J, pero es bien sabido que

±

(n∏

j=0

kj

)n! vol(P )∆σ = J mod 〈F0, F1, · · · , Fn〉

(cf. [CD, DD]). Ası que el polinomio ∆σ tiene las mismas propiedades dualizantes que J.

Demostracion. Esta claro que ∆0 tiene su soporte contenido en

Q := ((k0 + k1 + · · ·+ kn)P ) ∩ Zn.

Para ver que su soporte es disjunto con el borde de la suma de Minkowski, sea ν ∈ Rn\0,y consideremos el ν−borde de Q. Si queremos “alcanzar” el ν-borde en una suma de laforma

p0 + p1 + . . . ,+pn, pi ∈ kiP,

todo pi debe pertenecer al ν-borde de kiP. Pero es facil ver que, para cualquier ν 6= 0,hay un j ∈ 1, 2, · · · , n tal que Aj

i es disjunto del ν−borde de kiP.Para probar la segunda parte de la afirmacion, sea f ∗

i := fi −∑n

j=1 fji . Claramente

∆0(x) = det

f ∗0 f ∗

1 · · · f ∗n

f 10 f 1

1 · · · f 1n

...... · · ·

...fn0 fn1 · · · fnn

.


Comparemos este determinante con la construccion del elemento ∆σ de [CD]: por mediode una homogeneizacion torica, introducimos nuevas variables X1, . . . , Xs, y traducimoslos polinomios fi a polinomios Fi que se pueden escribir de la manera siguiente:2

Fi = A0i

∏

j>n

Xi +n∑

j=1

AijXj .

Entonces, ∆σ = det(Aij)0≤i,j≤n.Para j = 1, . . . , n si un monomio Xα aparece en la expansion de Fi, y es un multiplo deXj, entonces su deshomogeneizacion no pertenece al ηj−borde del polıtopo ki P, que esigual a ki Fj . Volviendo a nuestra descomposicion

fi = f ∗i + f 1

i + . . . ,+fni ,

tenemos que

1. Cada f ∗i tiene soporte disjunto con kiF1;

2. Cualquiera sea j = 1, . . . , n− 1, f ji tiene su soporte disjunto con kiFj+1;

3. fni = ci,kipxkip tiene su soporte disjunto con cualquier faceta distinta de las n

primeras.

Esto, sumado al hecho de que la homogeneizacion torica preserva la estructura de losmonomios (es decir, manda un monomio en las coordenadas x en un monomio en lascoordenadas X, y que esta transformacion es inyectiva), demuestra el resultado.

Ejemplo 4.2 Consideremos

f0 = a0 + b0x1 + c0x2 + d0x1x2f1 = a1 + b1x1 + c1x2 + d1x1x2f2 = a2 + b2x1 + c2x2 + d2x1x2.

Aquı estamos en el caso A0 = A1 = A2 = (0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1), k0 = k1 = k2 = 1, yel jacobiano torico se puede calcular como

det

f0 f1 f2x1

∂f0∂x1

x1∂f1∂x1

x1∂f2∂x1

x2∂f0∂x2

x2∂f1∂x2

x1∂f2∂x2

,

que es igual a

det

f0 f1 f2b0x1 + d0x1x2 b1x1 + d1x1x2 b2x1 + d2x1x2c0x2 + d0x1x2 c1x2 + d1x1x2 c2x2 + d2x1x2

.

2esta claro que esta manera de escribirlos no es unica.

4.2. EL CASO N = 2. 79

Elegimos b = (0, 0) y η1 = (0, 1), η2 = (1, 0). Entonces, tenemos que

A1i = (1, 0)A2

i = (0, 0), i = 0, 1, 2,

y el algoritmo calcula

det

f0 f1 f2b0x1 b1x1 b2x1a0 a1 a2

que tiene un soporte mas pequeno.

4.2 El caso n = 2.

Cuando n = 2, el algoritmo se convierte en la siguiente receta:

• Elegir un vertice p ∈ P, obviamente habra dos lados cuya interseccion es igual a p.Sean e1 y e2 esos lados.

• Para i = 0, 1, 2, notamos con A1i el conjunto de puntos enteros que se encuentran

en ki e1, con excepcion de kip. A2i sera igual a kip.

Definicion 4.3 Llamaremos a

G(f) := det

f0 f1 f2f 10 f 1

1 f 12

f 20 f 2

1 f 22

el jacobiano torico discreto.

Debido a la proposicion 4.2, se tiene que G(f) es una restriccion al toro de ∆σ, donde σes el cono de dimension 2 generado por las normales interiores a e1 y e2.La fila especial de nuestra matriz contendra entre sus coeficientes la expansion monomialde G(f). De hecho, el soporte de G(f) es estrictamente mas chico que F .Sean SFi

el Z[c]-modulo libre generado por los monomios xa, a ∈ Fi, y SQiel modulo

libre generado por los monomios que se encuentran en int(Qi) ∩ Z2. Consideremos elsiguiente complejo de Koszul de modulos:

0 → SQ0 ⊕ SQ1 ⊕ SQ2

ψ→ SF0 ⊕ SF1 ⊕ SF2 ⊕ Z[c]

φ→ SF → 0, (4.2)

dondeψ (p0, p1, p2) = (p1 f2 + p2 f1, p0 f2 − p2 f0,−p0 f1 − p1 f0, 0) ,

yφ (g0, g1, g2, λ) = g0 f0 + g1 f1 + g2 f2 + λ J(f).

Se puede verificar facilmente que φ esta bien definida, pero no siempre es genericamentebiyectiva.


Proposicion 4.3 [CDS2, Prop. 2.1 & Thm. 2.2] El complejo (4.2) es genericamenteexacto, y despues de una especializacion de los coeficientes en un cuerpo k seguira siendoexacto (como complejo de k- espacios vectoriales), si y solamente si ResA(f0, f1, f2) 6= 0.En consecuencia, φ es genericamente suryectiva, y todo menor maximal de la matriz querepresenta a φ en las bases monomiales es un multiplo de la resultante rala. Debida alas condiciones impuestas sobre los soportes, se tiene que ResA(f0, f1, f2) es el maximocomun divisor de estos menores maximales.

El objetivo aquı sera construir un menor maximal no nulo de la matriz de φ en las basesmonomiales sin calcular todo el complejo. Esto nos permitira obtener un multiplo notrivial de la resultante. La tecnica que vamos a usar producira un determinante con elmismo grado en los coeficientes de f0 que la resultante. Reemplazando el ındice 0 por losotros dos ındices i = 1, 2, tendremos una manera inmediata de obtener ResA como el mcdde a lo mas 3 determinantes, lo cual es un avance respecto de la construccion de [CDS2]que obtiene la resultante como el mcd de tantos determinantes como menores maximalesde la matriz de φ.La proposicion nos dice que la matriz de φ siempre tiene al menos tantas filas comocolumnas.

4.3 Construccion de la Matriz Resultante

Vamos a usar funciones de levantamiento sobre los vertices de los polıgonos tal comoen la seccion anterior. Sean Vi ⊂ Q2 el conjunto de vertices de Qi, y ω = (ω0, ω1, ω2)la funcion de levantamiento, con ωi ∈ Qmi , donde mi es el cardinal de Vi, es decir lacantidad de vertices de Qi. Todo punto a ∈ Vi se levanta a aωi

= (a, ωi(a)) ∈ Q3, quelo denotaremos simplemente aω. Consideremos los polıgonos levantados Qi,ω, la capsulaconvexa de aωi

, a ∈ Vi, y su suma de Minkowski

Qω := Q0,ω +Q1,ω +Q2,ω ⊂ R3.

Tomando el revestimiento inferior de Qω, obtenemos una descomposicion poliedrica mixtacoherente ∆ω de la suma de Minkowski Q := Q0 + Q1 + Q2, a traves de la proyeccionR3 → R2 de Qω: Si el vector ω es suficientemente generico ([Stu2, CE2]), entonces lasubdivision es estricta, es decir, cada faceta en el revestimiento inferior es de la forma

Fω = F0,ω + F1,ω + F2,ω : (4.3)

dim(F0,ω) + dim(F1,ω) + dim(F2,ω) = 2,

donde Fi,ω es una cara de Qi,ω. La proyeccion de Fi,ω en Qi define un polıgono Fi en elplano con vertices en Vi (eventualmente un segmento o un punto). Si solamente conside-ramos este polıgono, el levantamiento de Fi a Fi,ω resulta lineal.Por una cuestion de dimension, si la descomposicion es estricta, uno de los sumandosde (4.3) debe ser de dimension cero. Es mas, esa suma al ser evaluada en un puntopω ∈ Fω, minimiza la funcion de levantamiento de cualquier suma de 3 puntos en Qi,ω

4.4. ALGORITMO DE LEVANTAMIENTO 81

cuyo resultado sea igual a pω; por eso se la llama a veces suma optima. La celda F (laproyeccion de Fω), se llamara mixta de tipo i o i-mixta si dimFi = 0, dimFj = 1, j 6= i.Sea ∆ω la subdivision de Q inducida por el revestimiento inferior de la suma de Minkowskilevantada.Procediendo como en [CE2], elegiremos un vector pequeno δ ∈ Q2 y consideraremosZ2∩(δ +Q). Vamos a definir la preimagen de cada punto en este ultimo conjunto como elpunto que se encuentra en la misma vertical, justo en la interseccion con el revestimientoinferior de la suma de Minkowski de los polıgonos levantados, despues de trasladarlosusando el vector δ. Este vector deberıa ser lo suficientemente pequeno de tal manera quetodo punto entero perturbado de Q se desplace a alguna de las celdas maximales quelimiten con este punto. Asumamos que δ es suficientemente generico, y que no es paraleloa ningun lado de Q. Esto nos permitira calcular F , el interior de la suma de Minkowskide los polıgonos, como Z2 ∩ (δ +Q) ∩ (−δ +Q) .

Definicion 4.4 El contenido de fila RC(F ) de una celda de ∆ω es un par (i, a) quesatisface: si Fω = F0,ω+F1,ω+F2,ω es la unica faceta sobre el revestimiento inferior de Qω

que se proyecta sobre F, entonces i es el ındice mas grande tal que dim(Fi) = 0, Fi = a.Tambien definimos el contenido de fila de los puntos p ∈ F : p ∈ F + δ de la manerasiguiente: RC(p) = RC(F ).

Las filas y columnas de la matriz que vamos a construir estaran indexadas por puntosenteros, tal como en [CE2].

4.4 Algoritmo de Levantamiento

En el resto de este capıtulo supondremos que los polıgonos de Newton son identicos, peroes facil ver que los argumentos valen trivialmente para multiplos de un polıgono fijo.

• Elegir el vector δ ∈ Q2 suficientemente generico y pequeno, con los requerimientosespecificados antes, y un vertice b tal que que el segmento (b, b+δ) este estrictamentecontenido en todos los Qi.

Tanto Q1 como Q2 seran partidos en varias celdas cada uno. Los lados extremales en ladireccion de δ (que son aquellos cuya normal exterior forma un angulo positivo con δ)conformaran el δ-borde. Denotaremos a los lados del δ-borde como e1, . . . , eg siguiendo elsentido de las agujas del reloj, aquı g es el numero de tales lados. Una celda de Q1 incluiraunicamente a e1 entre esos lados, y se denotara C0; las otras celdas de Q1 que involucrenel δ-borde se denotaran Ci e incluiran los lados ei, ei+1, donde i ≥ 2 es un numero par.La ultima celda incluira los lados eg−1, eg o solamente eg dependiendo de si g es impar opar. En total, se tendran ⌈(g + 1)/2⌉ celdas Ci en Q1.Cada celda de Q2 que incluye a los lados ei, ei+1 se denota Ci, donde ahora i es impar,mientras que la ultima puede puede incluir o no eg dependiendo de si g es impar o no. Entotal, hay ⌈g/2⌉ celdas Ci en Q2. Llamaremos ai a los vertices de los lados pertenecientesal δ-borde, donde i = 1, . . . , g. Los lados ei son los segmentos ai−1, ai. Casi todas lasceldas Ci excepto quiza C0 y Cg forman un cuadrilatero con vertices b, ai−1, ai, ai+1.


Lema 4.5 Los vertices en el δ-borde de Q1 + Q2 (resp. Q) son de la forma 2ai (3ai).Cualquier otro punto sobre el δ-borde de la forma ai + aj (al + ai + aj) debe satisfaceri, j = ρ, ρ+ 1 (l, i, j = ρ, ρ+ 1), para algun ρ ∈ N.

Antes de presentar el algoritmo de levantamiento, veamos primero la intuicion que haydetras de el. Primero, queremos que Q0 se levante mucho mas “empinadamente” quelos otros polıgonos, de manera tal que siempre contribuya con b a la suma optimal delrevestimiento inferior, tal como se hace en [Emi3]. Los polıgonosQ1 y Q2 seran partidos enal menos g+1 celdas, cada una de ellas levantada linealmente, definiendo un levantamientosobre los vertices b, ai−1, ai, para i = 1, . . . g.

• Para Q1, Q2 y cualquier valor de i ≥ 0, definimos

ω1(b) := ω2(b) := 0, ω1(a2i+1) := ω2(a2i) := 1,ω1(a0) := 2, ωγ(ag) := 2,

(4.4)

donde γ = (g mod 2)+1. Los ai vertices deQ1, Q2 que no se mencionan en la formulaanterior, son levantados linealmente respecto de la celda en la que se encuentran.

Notaremos con b0 (resp. bg) a cualquier vertice que pueda haber entre b y a0 (resp.ag) y que no sea extremal en la direccion de δ. Si γ′ = (γ mod 2) + 1, entonceslevantaremos todos los vertices de la forma b0 (resp. bg) de Q2 (resp. Qγ′) a unacelda C ′

1 (resp. C ′g). Lo haremos dando valores muy altos a estos vertices, de una

manera a ser precisada en la demostracion del lema 4.11.

Notar que los vertices b0 (resp. bg) de Q1 (resp. Qγ) pertenecen a C0 (resp. Cg). El bordede la celda C ′

1 (resp. C ′g) incluye a b y a a0 (resp. ag). A los lados de Q1, Q2 que sean

bordes de celdas y que contengan al vertice b los llamaremos b-lados.

Lema 4.6 ω1(a2i) > 1 y ω2(a2i+1) > 1 para todos los posibles valores i ≥ 0. Ademas,existen (y son unicas) celdas Ci, Ci+1 en Q1, Q2 respectivamente, tal que ǫ, la pendientede δ, se encuentra entre las pendientes de los b-lados que definen cada celda.

Demostracion. La primer afirmacion sale por convexidad y por la definicion del levan-tamiento . Lo segundo sale por el primer paso del algoritmo delineado en esta seccion.

Definicion 4.7 A las celdas de Q1, Q2 que contienen a b+δ, las notaremos como Ck1 , Ck2,respectivamente.

Notar que |k1 − k2| = 1.

• Para Q0, definimos el levantamiento ω0 de la siguiente manera:

ω0(b) = −M, ω0(ak) =M,

4.5. SUBDIVISION MIXTA 83

donde M ≫ 1 es suficientemente grande (se puede tener una estimacion deter-minıstica acerca de cuan grande debe serM si uno sigue con cuidado la demostraciondel lema 4.14) y ak es el vertice del δ-borde de Q0 mas cercano a la semirrecta b+ρδ,ρ > 0. Claramente, k ∈ k1, k2. Si el numero de vertices de Q0 es considerable,ω0 define 2 celdas, limitadas por el segmento (b, ω0(b)), (akω0(ak)) y la condicion deque los vectores normales interiores, al proyectarse con R2, minimicen el productointerno sobre los polıgonos Qi exactamente en los puntos ak1 y ak2 respectivamente.

Para construir estas normales se puede, por ejemplo, marcar un punto c dentro delpolıgono Qi tal que su proyeccion ortogonal sobre (ak1, ak2) y sus dos lados adyacentescaiga sobre los lados respectivos. Entonces, se pueden tomar como normales interiores(c− ak1, λ1) y (c− ak2, λ2), con λi > 0.

Lema 4.8 [Emi3] La funcion de levantamiento ω0 garantiza que, si RC(p) = (0, p0),entonces p0 = b.

Debido a la definicion de ω, la subdivision poliedrica inducida sobre Q1 (resp. Q2) contieneal menos las celdas C0, C2, . . . (C1, C3 . . .). En lo que sigue, normalizaremos los vectores3-dimensionales que son normales interiores de alguna cara, fijando su ultima coordenadaigual a 1.

Definicion 4.9 Sea Vi,ω ∈ R3 el vector normal interior normalizado correspondiente a lacelda levantada Ci,ω en Q1,ω (resp. Q2,ω) si i es par (resp. impar).

Sea Vi,ω = (v1, v2, 1), entonces, si λ := ω1(ai) > 1 por ejemplo, se tendra que

ai−1 − b 1ai − b λai+1 − b 1

v1v21

=

000

, (4.5)

donde las entradas de la izquierda de la matriz son vectores de tamano 1×2. En la seccionsiguiente, escribiremos las sumas con el orden que indica el polıgono al cual el sumandopertenece, donde el sumando que ocupa el lugar i viene de Qi, i = 0, 1, 2 o i = 1, 2dependiendo del contexto.

4.5 Subdivision Mixta

En esta seccion estableceremos las propiedades del levantamiento que hemos definido enla seccion anterior, y veremos que es apropiada para el fin que nos hemos propuesto.

Lema 4.10 La subdivision ∆ω contiene celdas que no son mixtas, cada una de ellas escopia de uno de los Ci, donde i = 1, . . . , g − 1, sobre el δ-borde de b+Q1 +Q2.


Demostracion. Supongamos sin perdida de generalidad que i es un numero par en elintervalo 1, . . . , g− 1 (el caso para numeros impares en este intervalo es similar). En el δ-borde de Qj, ωj(ai+p) ≥ 1 y vale la igualdad si y solamente si p es impar (resp. par), j = 1(resp. j = 2) y ω1(ai+1) = ω2(ai) = ω1(ai−1) = 1, ω1(ai) := λ, ω2(ai+1), ω2(ai−1) > 1,por el lema 4.6. Como los puntos ai−1 + ai, ai + ai y ai+1 + ai pertenecen al δ-bordede Q1 + Q2, ellos deben ser la suma de dos puntos del δ-borde de Qj , j = 1, 2. En elrevestimiento inferior L(Q1,ω +Q2,ω), la menor altura que pueden tener estos puntos es

ω1(ai−1) + ω2(ai) = 1 + 1,ω1(ai) + ω2(ai) = λ+ 1,ω1(ai+1) + ω2(ai) = 1 + 1;

lo cual implica que los puntos

(b+ ai−1 + ai,−M + 2) , (b+ ai + ai,−M + 1 + λ) , (b+ ai+1 + ai,−M + 2)

pertenecen a L(Qω), donde la notacion (·, ·) indica un vector de Q3, con primer compo-nente igual a un vector de Q2. Al ser multiplicados por el vector Vi,ω de (4.5), los 3 puntosdan el mismo valor, que es el producto interno 〈(2b+ai,−M +1), Vi,ω〉. De aquı podemosdeducir que estos puntos se encuentran en un plano con normal Vi,ω, y que su capsulaconvexa se proyecta sobre b+ Ci + ai.Todavıa debemos ver que la celda levantada es una faceta de L(Qω), es decir que minimizael producto interno contra Vi,ω sobre el conjunto de todos los vertices de bω0 +Q1,ω+Q2,ω.Entre todos los vertices del levantamiento de Q1, este producto interno se minimiza enlos vertices del levantamiento de Ci por definicion, ası que solo resta probar la siguienteafirmacion:

〈(ai, 1), Vi,ω〉 < 〈(a′, ω2(a′)), Vi,ω〉 ∀a′ ∈ V2 \ ai,

donde hemos hecho (b, 0) = (0, 0, 0), sin perdida de generalidad. Sea Vi,ω = (v1, v2, 1) =(v, 1), entonces (4.5) se transforma en

〈ai−1, v〉+ 1 = 〈ai+1, v〉+ 1 = 〈ai, v〉+ λ = 0.

Luego,〈ai−1, v〉+ ω2(ai−1) > 0,〈ai+1, v〉+ ω2(ai+1) > 0,

〈(ai, 1), Vi,ω〉 = 〈ai, v〉+ 1 < 0.(4.6)

Si a′ = b = (0, 0) o a′ ∈ ai−1, ai+1 la afirmacion es trivial, debido a (4.6). Definamos lossemiespacios abiertos H+ := x ∈ Q3 : 〈x, Vi,ω〉 > 0 y H− := x ∈ Q3 : 〈x, Vi,ω〉 < 0,que son disjuntos y convexos. Tambien consideremos el cono F := r(ai−1, ω2(ai−1)) +s(ai+1, ω2(ai+1)), r, s > 0, que esta completamente contenido en H+ por (4.6). Supon-gamos que (a′, ω(a′)) pertenece a H− para a′ ∈ V2 \ b, ai, ai−1, ai+1. Como (ai, 1) ∈ H−

by (4.6), entonces el segmento S de (a′, ω2(a′)), (ai, 1) debe estar totalmente contenido

en H−. Para obtener una contradiccion, debemos verificar que S ∩ F 6= ∅. Esto se al-canza considerando que F divide Q2,ω en dos poliedros convexos. El poliedro “de abajo”


contiene ai,ω, mientras que el “de arriba” contiene a′ por convexidad. De hecho, la con-vexidad implica que a′ se encuentra entre los hiperplanos determinados por bω, ai,ω, ai−1,ω

(el levantamiento de Ci−1) y bω, ai,ω, ai+1,ω (el levantamiento de Ci+1), luego S intersectael triangulo definido por bω, ai−1,ω, ai+1,ω.

Lema 4.11 La subdivision ∆ω contiene celdas no mixtas, que son copias de cada Ci parai = 0, g, sobre el δ-borde de b+Q1 +Q2.

Demostracion. Analizaremos el caso i = 0 porque i = g se puede tratar de manera similar.Sea ω1(a0) := λ0 = 2. Por definicion 4.9, V0,ω = (v, 1) con v ∈ Q2 normal a C0,ω, luego,∀a′ ∈ (V1 ∩ C0) \ b, a0, a1,

a0 − b λ0a1 − b 1a′ − b ω1(a

′)

[v1

]=

000

. (4.7)

Entonces es suficiente con probar la siguiente afirmacion:

〈(a0, 1), V0,ω〉 < 〈(a′, ω2(a′)), V0,ω〉, ∀a′ ∈ V2 \ a0.

Sin perdida de generalidad, hagamos b = 0 y consideremos la posibilidad de que un verticea′ = b0 ∈ V2∩C

′1 exista entre b y a0. Recordar que b0 se definio en la seccion 4.4. Usando el

hecho de que b0 ∈ V1 ∩C0, se puede calcular ω1(b0) usando (4.7). Entonces, la afirmacionse reduce a

−λ0 + 1 < −ω1(b0) + ω2(b0) ⇔ ω2(b0) > ω1(b0)− λ0 + 1 = ω1(b0)− 1.

Esto ocurre para ω2(b0) suficientemente grande. Para una mayor facilidad en la exposicion, en lo que sigue supondremos que δ ∈ Q2

>0 concoordenadas δ1 ≫ δ2 que cumplan ǫ = δ2

δ1∈ (0, 1).

Lema 4.12 Hay un unico punto p tal que RC(p) = (0, b) sobre el borde de b+Q1 +Q2.

Demostracion. Todos los puntos del δ-borde de b+Q1+Q2 son desplazados dentro de unacopia de alguna celda Ci a menos que se encuentren justo en la interseccion de dos de talesceldas, o sea en Ci∩Ci+1, i ∈ 0, . . . , g−1. Los puntos para los cuales ocurre esto son deltipo b+ai+1+ai. Vamos a distinguir tres casos. Llamaremos a las pendientes de los b-ladosde la celda Ci como σi−1, σi+1, los de la celda Ci+1 seran σi, σi+2, y por las hipotesis sobreδ inmediatamente antes del enunciado de este lema, vale que σi−1 > σi > σi+1 > σi+2.

1. σi > ǫ > σi+1: El punto se encuentra entre las dos celdas que denominamos Ck1 yCk2. Este es el punto p que estamos buscando.

2. ǫ > σi: las dos pendientes de Ci+1 son menores que ǫ y b+ai+1+ai−δ ∈ b+ai+1+Ci+1

ya que ai − δ ∈ Ci+1;


3. σi+1 > ǫ: las dos pendientes de Ci son mayores que ǫ, luego b+ai+1+ai−δ ∈ b+Ci+aiya que ai+1 − δ ∈ Ci;

La misma discusion se puede hacer con los puntos a0 + a0, ag + ag, obteniendo resultadosanalogos. Si hubiera puntos de la forma b0 o bg (definidos en la seccion 4.4), entoncesb0 + a0 y bg + ag (o ag + bg) serın puntos del borde de b+Q1 +Q2 pero no pertenecientesal δ-borde. Juntando toda la informacion que tienen los lemas anteriores, se tiene el siguiente

Teorema 4.13 La descomposicion ∆ω contiene celdas no mixtas que son copias de cadaCi sobre el δ-borde de b+Q1+Q2. Ademas, existe un unico punto p tal que RC(p) = (0, b)sobre el δ-borde de b+Q1 +Q2.

Lema 4.14 La descomposicion ∆ω contiene, sobre el δ-borde de Q, dos celdas no mixtasque son copias de las celdas de dimension maxima de Q0. Cada una de estas celdascontiene los vertices 3ak1 y 3ak2. El resto de las celdas que cubre a Q \ (b+Q1 +Q2) sonmixtas de tipo 1 o 2.

Demostracion. Que hay dos celdas no mixtas del tamano de las celdas de Q0 sale por lamanera especial en que hemos levantado Q0. De ahı tambien se desprende el hecho de quelos puntos 3aki son vertices de estas celdas, k = 1, 2.La ultima parte sale notando que las celdas mixtas de tipo 1 y 2 deben estar contenidasen Q \ (b+ Q1 + Q2), ya que cualquier celda de b+ Q1 + Q2 es de la forma b + F1 + F2,luego no puede ser mixta de tipo i > 0. Por otro lado, el area cubierta por celdas mixttasde tipo i es igual a MV(Qj , Qk), j 6= i 6= k, y se tiene que

vol (Q \ (Q1 +Q2)) = MV(Q0, Q1) +MV(Q0, Q2) + vol(Q0).

Lema 4.15 Supongamos que p ∈ F es tal que p se encuentre en la celda F0+F1+F2+ δ,y dim(F0) = 0, y p no es el punto p del teorema 4.13. Si RC(p) = (i, a) entonces(p− a+Qi) ∩ Z2 ⊂ F .

Demostracion. Supongamos primero que existe i > 0 tal que Fi es un punto. Debido acomo levantamos Q0, se tiene que F0 = b, luego F0 + F1 + F2 = b + pi + Fj, donde pi esun vertice del polıgono Qi (i 6= j), y RC(p) = (i, pi). Ası que

p ∈ F0+F1+F2+δ ⊂ b+pi+Qj+δ ⇒ p−pi+Qi ⊂ b+Q1+Q2+δ ⊂ int(Q0+Q1+Q2).

La ultima contencion sale debido a que b+δ ∈ int(Q0) (uno de los requerimientos pedidosen la seccion 4.4).Supongamos ahora que p se encuentra en una celda mixta de tipo 0, o sea que RC(p) =(0, b). Debido al teorema 4.13, solo debemos tener en cuenta los puntos enteros que seencuentren en p ∈ int(b+Q1 +Q2) = b+ int(Q1 +Q2). Pero ahi vale lo siguiente:

p− b+Q0 ⊂ b+ int(Q1 +Q2)− b+Q0,

y el conjunto de la derecha es igual a Q0 + int(Q1 +Q2) = int(Q0 +Q1 +Q2).


Lema 4.16 Cualquiera sea p ∈ F , con excepcion del unico punto p del teorema 4.13,si p pertenece a la celda F0 + F1 + F2 + δ, con dim(F0) > 0, y RC(p) = (i, a), entonces(p− a+Qi) ∩ Z2 ⊂ F .

Demostracion. Notar que siendo p un punto con coordenadas enteras, debido al hecho deque δ es suficientemente pequeno, debe cumplirse que p ∈ F0 + F1 + F2 (posiblemente psea un punto del δ−borde de esta celda).Afirmamos que F1+F2 esta contenido en el borde de Q1+Q2. Esto ocurre por el hecho dehaber levantado suficientemente el polıtopo Q0. Supongamos sin perdida de generalidadque RC(p) = (2, a). Luego, p = p0 + p1 + a, donde pi ∈ Qi. Si no fuera cierto que(p − a + Q2) ∩ Z2 esta contenido en F , entonces esa traslacion de Q2 debe intersecar elδ-borde de Q ya que ciertamente esta contenido en E (ver, por ejemplo, [CE2]). Sea h unpunto en esa interseccion, entonces

∃p2 ∈ Q2 : h = p− a+ p2 = (p0 + p1 + a)− a + p2 = p0 + p1 + p2.

Notar que h ∈ E \F implica que h es un punto en algun segmento de la forma (3aj, 3aj+1),para algun j.Ahora afirmamos que cada pi debe pertenecer al segmento (aj , aj+1), con lo cual se obtieneque tanto F0 como F1 intersecan el δ-borde de Q0 y Q1 respectivamente.Si F0 fuera alguna de las celdas de dimension 2, digamos la que contiene ak1 , entoncespor el lema 4.14, F1 = F2 = ai, donde i ∈ k1, k2. Pero entonces la segunda afirmacionque hemos hecho a lo largo de esta demostracion implica que p0 ∈ ai−1, ai, ai+1 con locual p 6∈ F , una contradiccion. Supongamos ahora que F0 tiene dimension 1. Como F2

es un punto, entonces F1 tiene que tener dimension 1, y no ser paralelo a F0 (es decir,que la celda F0 + F1 + F2 + δ es 2-mixta). Pero entonces se tendra que F1 = (aj, aj+1) ya ∈ aj , aj+1 (de otro modo, F1 + F2 no estarıa contenido en el borde de Q1 +Q2 comoestablece la primer afirmacion). Siendo ademas p0 un punto del segmento (aj , aj+1), seconcluye nuevamente que p pertenece al borde de Q, lo cual es una contradiccion. Juntando todos estos lemas, ahora tenemos el siguiente resultado, que nos permitiraconstruir la matriz resultante.

Teorema 4.17 Cualquiera sea p ∈ F \ p, si RC(p) = (i, a) entonces

(p− a+Qi) ∩ Z2 ⊂ F .

Construiremos ahora la matriz M, de tamano |F| × |F|, cuyas filas y columnas estaranindexadas por los puntos p ∈ F , tal como en el capıtulo 2.

• Si p ∈ F \ p entonces, cualquiera sea p′ ∈ F , el elemento de M indexado por(p, p′) sera igual al coeficiente de xp

′

en la expansion del polinomio xp−a fi(x) dondeRC(p) = (i, a).

• El elemento (p, p′) sera igual al coeficiente de xp′

del jacobiano torico dicreto G(f)definido en la proposicion 4.3.


Ahora podemos enunciar el resultado principal de este capıtulo.

Teorema 4.18det(M) = ResA(f0, f1, f2) pM,

donde pM no depende de los coeficientes de f0.

Demostracion. El teorema 4.17 nos dice que M es en realidad un menor de la matrizasociada a la ultima flecha del complejo 4.2. El hecho de que el determinante de M esun multiplo de la resultante se sigue de [CDS2]. Como ademas este determinante tiene elmismo grado que la resultante en los coeficientes de f0 (esto sale de ver que el numero defilas donde aparecen terminos que involucran a f0 es exactamente MV(Q1, Q2), que es elgrado de la resultante en los coeficientes de este polinomio).Para ver que el determinante no es identicamente cero, usaremos el mismo argumentode convexidad dado [CE1, CE2, Stu2] especializando previamente algunos coeficientes acero, y usando la estructura de G(f) con un poco de cuidado. Para ello, conviene observarprimero que G(f) esta bien definido modulo el ideal homogeneo, ası que alcanza con verque el determinante es distinto de cero para una eleccion especıfica de G(f). Para haceresta eleccion, escribimos p = b+ ai + ai+1, esto sale del lemma 4.12. Tomamos entonces:A1i := ei \ ai y A2

i := ai, y con estos soportes calculamos G(f).Sea V (P ) el conjunto de vertices del polıgono P. Se tiene que V (P ) ⊂ Ai, i = 0, 1, 2.Hacemos la siguiente especializacion:

f0 := c0bxb

f1 :=∑

a∈V (P ) c1axa

f2 :=∑

a∈V (P ) c2axa.

Bajo esta especializacion, se tiene que G(f) = c0bci1aici2ai+1xp. Llamando M′(f) a la

matriz que resulta de eliminar las filas y columnas indexadas por p en M(f), se tieneque init−ω(det(M(f))) sera igual a c0bci1aici2ai+1

por el producto de los elementos que se

encuentran en la diagonal de M′(f), que son siempre coeficientes que corresponden a losvertices de P si el polinomio a cuyo soporte contribuyen es f1 o f2, o bien es c0b (ver[CE1, CE2]). En todos los casos, son distintos de cero. Por lo tanto, init−ω(det(M(f)))no es cero, luego det(M) 6= 0, que es lo que se querıa demostrar

Corolario 4.19 El factor extrano pM es un polinomio de contenido 1.

Demostracion. La demostracion del teorema anterior nos dice que

init−ω(det(M(f))) = ±cMV(Q1,Q2)0b

∏

i>0

cαiaia .

Por otro lado, se tiene que

init−ω(ResA(f0, f1), f2) = ±cMV(Q1,Q2)0b

∏

i>0

cα′

iaia

con 0 ≤ α′ia ≤ αia. Esto puede verse, por ejemplo, construyendo la matriz de Canny

y Emiris para este caso, con esta eleccion de ω y δ, y usando los resultados de [Stu2].Calculando init−ω(pM(f)), se sigue el resultado facilmente.

4.6. EJEMPLOS 89

4.6 Ejemplos

Ejemplo 4.20 Vamos a calcular la resultante de la familia de polinomios dada en elejemplo 2.4. Se tiene

f0 = c0,(0,0) + c0,(1,0)x1 + c0,(0,1)x2 + c0,(1,1)x1 x2,f1 = c1,(0,0) + c1,(1,0)x1 + c1,(0,1)x2 + c1,(1,1)x1 x2,f2 = c2,(0,0) + c2,(1,0)x1 + c2,(0,1)x2 + c2,(1,1)x1 x2.

Tomamos δ = (ǫ, ǫ − ǫ0), con 0 < ǫ0 << ǫ, y b = (0, 0). El levantamiento (4.4) produceuna particion de Q1 en dos triangulos cuyo lado comun es el segmento (0, 0)(1, 1); el otrocuadrado, Q2, no se divide bajo el levantamiento.

En este ejemplo no importa cual sera el levantamiento que se de a Q0 ya que no haypuntos enteros fuera de b+Q1 +Q2 + δ. El conjunto F consiste de los puntos

(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2).

Si escribimos G(f) = ∆(1,1)x1x2 +∆(1,2)x1x22 +∆(2,1)x

21x2 +∆(2,2)x

21x

22, resulta

M =

c0,(0,0) c0,(1,0) c0,(0,1) c0,(1,1)∆(1,1) ∆(1,2) ∆(2,1) ∆(2,2)

c2,(0,0) c2,(1,0) c2,(0,1) c2,(1,1)c1,(0,0) c1,(1,0) c1,(0,1) c1,(1,1)

,

y det(M) = ±ResA(f0, f1, f2).

Ejemplo 4.21 Queremos calcular la resultante del sistema

f0 = a0 + a1x1 + a2y2 + a3x21x2 + a4x

21x

22 + a5x1x

22

f1 = b0 + b1x1 + b2y2 + b3x21x2 + b4x

21x

22 + b5x1x

22

f2 = c0 + c1x1 + c2y2 + c3x21x2 + c4x

21x

22 + c5x1x

22.

En este caso, el polıgono de Newton de cada polinomio es la capsula convexa de los puntos

(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2).

El interior de la suma de Minkowski tiene 19 puntos enteros. Tomando δ = (23, 13),


b = (0, 0) y ω0(1, 0) = ω0(0, 1) = 1, se tiene que M es igual a

b4 b5 0 b3 0 b0 b2 0 0 0 b1 0 0 0 0 0 0 0 00 b4 b5 0 b3 b1 0 b2 0 0 0 b0 0 0 0 0 0 0 00 c4 c5 0 c3 c1 0 c2 0 0 0 c0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 b4 b5 b2 0 0 0 b3 0 0 b1 b0 0 0 0 0 00 0 0 0 b4 0 b5 0 0 0 b3 b2 0 b1 b0 0 0 0 00 0 0 0 0 b4 0 0 0 0 0 b5 0 b3 0 b2 0 b1 b00 0 0 0 c4 0 c5 0 0 0 c3 c2 0 c1 c0 0 0 0 00 0 0 0 0 b3 b4 b5 b2 0 0 0 0 0 b1 b0 0 0 00 0 0 0 0 c3 c4 c5 c2 0 0 0 0 0 c1 c0 0 0 00 0 0 c4 c5 c2 0 0 0 c3 0 0 c1 c0 0 0 0 0 0* * * * * * * * * * * * * * * * * * *0 0 0 0 0 c4 0 0 0 0 0 c5 0 c3 0 c2 0 c1 c00 0 0 0 0 c5 0 0 0 0 c4 0 c3 0 c2 0 c1 c0 00 0 0 a4 a5 a2 0 0 0 a3 0 0 a1 a0 0 0 0 0 00 0 0 0 a4 0 a5 0 0 0 a3 a2 0 a1 a0 0 0 0 00 0 0 0 0 a3 a4 a5 a2 0 0 0 0 0 a1 a0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 b4 b5 0 0 b2 0 0 b0 0 00 0 0 0 0 a5 0 0 0 0 a4 0 a3 0 a2 0 a1 a0 00 0 0 0 0 a4 0 0 0 0 0 a5 0 a3 0 a2 0 a1 a0

.

En la fila de * van los coeficientes del jacobiano (o el jacobiano discreto). Calculando conMaple, obtenemos que

det(M) = b4(−c5b4 + b5c4)ResA(f0, f1, f2).

Chapter 5

Formulas clasicas vistas en estecontexto

5.1 Polinomios en una Variable

Sean f1(x) =∑d1

j=0 ajxj y f2(x) =

∑d2j=0 bjx

j polinomios genericos en una variable (o sushomogeneizados en dos variables) de grados d1 ≤ d2. En este caso, la inecuacion (3.8) severifica para todo t = 0, . . . , d1+d2−1 y tendremos una formula determinantal para todot entre 0 y tn +1. Aquı, t2 = d1 + d2 − 2. Cuando t = d1 + d2 − 1 = t2 +1 recuperamos laformula de Sylvester clasica.Supongamos ahora d1 = d2 = d, y escribimos

f1(x)f2(y)− f1(y)f2(x)

x− y=

d∑

i,j=0

cijxiyj.

Entonces, la formula de Bezout clasica para la resultante entre f1 y f2 dice que

Resd,d(f1, f2) = det(cij).

Es facil ver que podemos obtener precisamente esta formulacion si tomamos t = d − 1.Para otros valores de t, obtendremos formulas que interpolan entre Sylvester y Bezout,como en [GKZ2], Ch.12, aun en el caso d1 6= d2. Se puede verificar inmediatamente quela menor de todas estas matrices tiene tamano d2.Supongamos, por ejemplo, que d1 = 1, d2 = 2. En este caso, [t2/2] = [1/2] = 0, y M0

es una matriz de 2 × 2 que representa una transformacion entre S∗1 y S0 ⊕ S∗

0 , cuyodeterminante es igual a la resultante

Res1,2(f1, f2) = a21b0 − a0a1b1 + b2a20.

Si escribimos f1(x) = 0x2 + a1x + a0 y usamos la formula de Bezout clasica para d = 2,tambien obtendremos una matriz de 2 × 2, pero cuyo determinante sera igual a b2 ·Res1,2(f1, f2). El exponente 1 en b2 es precisamente la diferencia d2 − d1.

91

92 CHAPTER 5. FORMULAS CLASICAS

5.2 Formulas de Sylvester para tres Cuadricas

Supongamos n = 3, y d1 = d2 = d3 = 2. Sea J el jacobiano de los polinomios f1, f2, f3.Una formula muy bonita debida a Sylvester dice que Res2,2,2(f1, f2, f3) se puede obtenercomo la 1/512 parte del determinante de la matriz de tamano 6×6 cuyas columnas estanindexadas por los monomios en 3 variables de grado 2 y en cuyas filas se encuentran lasexpansiones, en esta base monomial, de f1, f2, f3,

∂J∂x1, ∂J∂x2

y ∂J∂x3

(ver [CLO] y las referenciasque se citan allı).

En este caso, [t3/2] = [3/2] = 1, y debido al Lema 3.2, tenemos una formula determinantalen este grado, dado que 2− 3 < 1 < 4. De las ecuaciones de Euler

2fi(x) =

3∑

j=1

xj∂fi(x)

∂xj,

podemos escribir

2 (fi(x)− fi(y)) =∑3

j=1

(xj

∂fi(x)∂xj

− yj∂fi(y)∂yj

)

=∑3

j=1 (xj − yj)∂fi(x)∂xj

+ yj

(∂fi(x)∂xj

− ∂fi(y)∂yj

)

=∑3

j=1

((xj − yj)

∂fi(x)∂xj

+ yj∑3

l=1∂2fi(x)∂xj∂xl

(xl − yl)).

Debido a (1.22), podemos calcular el bezoutiano usando

∆ij(x, y) :=1

2

(∂fi(x)

∂xj+

3∑

l=1

∂2fi(x)

∂xl∂xjyl

).

Con esta formulacion, no es difıcil ver que se puede recuperar la formula de Sylvester enla igualdad Res2,2,2(f1, f2, f3) = detM1.

5.3 Formulaciones con el Jacobiano

Podemos reemplazar ∆0 por J en la formula de Macaulay (Theorem 1.10) para t = tn, ytendremos el siguiente resultado:

Teorema 5.1 Consideremos la submatriz Mtn que se extrae de la matriz de δ0 en las basesmonomiales, eligiendo las mismas filas y columnas que Mtn . Entonces, det(Mtn) 6= 0, yse tiene la siguiente formula a la Macaulay:

d1 . . . dnResd1,...,dn(f1, . . . , fn) =det(Mtn)

det(Etn).

5.4. FORMULAS DE DIXON 93

5.4 Formulas de Dixon

En esta seccion revisaremos las formulas clasicas formuladas por Dixon para calcular laresultante de tres polinomios afines en dos variables de grado d. Haremos un cambio enla notacion: los polinomios genericos a considerar (que tienen monomios de grados a lomas d en dos variables (x1, x2)) se denotaran con f1, f2, f3 y denotaremos con F1, F2, F3

sus respectivas homogeneizaciones en tres variables (con variable de homogeneizacion x3).Dixon (cf. [Dix]) propuso la siguiente formula determinantal para calcular la resultanteResd,d,d(f1, f2, f3) = Resd,d,d(F1, F2, F3):Sea Bez(x1, x2, y1, y2) el polinomio obtenido al dividir por (x1 − y1)(x2 − y2) el siguientedeterminante :

det

f1(x1, x2) f2(x1, x2) f3(x1, x2)f1(y1, x2) f2(y1, x2) f3(y1, x2)f1(y1, y2) f2(y1, y2) f3(y1, y2).

Notar que, haciendo operaciones en las filas de la matriz, se tiene que Bez(x1, x2, y1, y2)es igual al determinante de la matriz

det

∆11 ∆21 ∆31

∆12 ∆22 ∆32

f1(y1, y2) f2(y1, y2) f3(y1, y2),

donde los elementos ∆ij se definen como en (1.4). Escribimos

Bez(x1, x2, y1, y2) =∑

|β|≤2d−2

Bβ(x1, x2)yβ11 y

β22 .

Hacemos A := Z[a], donde a denota una indeterminada por cada coeficiente de f1, f2, f3.Sea S el modulo libre sobre A con base B dada por todos los monomios en dos variablesde grado menor o igual que d − 2, que tiene un isomorfismo obvio con el A-modulo libreS ′ con base B′ dada por todos los monomios en tres variables de grado igual a d− 2. Labase de monomios del espacio de polinomios en dos variables de grado menor o igual que2d− 2 se denotara C.Sea M la matriz cuadrada de tamano 2d2 − d cuyas columnas estan indexadas por C ycuyas filas contienen, consecutivamente, la expansion en la base C de m · f1, de m · f2, yde m · f3, donde m varıa en los tres casos sobre la base B, y finalmente, la expansion enla base C de todos los elementos Bβ , |β| ≤ d− 1. La formula de Dixon dice que

Resd,d,d(f1, f2, f3) = ± detM.

En este caso, d1 = d2 = d3 = d y n = 3, ası que (3.7) vale, y por (3.8) se tiene que hayuna formula determinantal para cada t tal que d− 3 < t < 2d. Una posibilidad es tomart = 2d− 2. Luego, t3 − t = d− 1 < d, lo cual implica que < F1, F2, F3 >t3−t= 0. Ademas,t− d = d− 2 < d y, por lo tanto, St,i = S ′, para todo i = 1, 2, 3.Sea ∆(x1, x2, x3, y1, y2, y3) =

∑|γ|≤3d−3∆γ(x)y

γ el bezoutiano asociado con los polinomios

homogeneos F1, F2, F3. Sabemos que Resd,d,d(F1, F2, F3) = ± detM2d−2. En este caso,


M2d−2 es una matriz cuadrada del mismo tamano que M , y es obvio que sus primeras3d(d− 1)/2 primeras filas coinciden (si las columnas estan ordenadas convenientemente).De acuerdo con (1.6), las ultimas (d + 1)d/2 filas de Md−2 contienen la expansion en labase B′ de todos los elementos ∆γ , |γ| = d− 1.

Proposicion 5.1 La matriz “afın” M y la matriz “homogenea” M2d−2 coinciden.

Demostracion. Denotemos con P (x1, x2, x3, y1, y2, t) al polinomio homogeneo de grado3d−2 en 6 variables que se obtiene al dividir por (x1−y1)(x2−y2) el siguiente determinante

det

∆1,1(F ) ∆2,1(F ) ∆3,1(F )∆1,2(F ) ∆2,2(F ) ∆3,2(F )

F1(y1, y2, t) F2(y1, y2, t) F3(y1, y2, t)

,

donde∆i,1(F ) := Fi(x1, x2, x3)− Fi(y1, x2, x3), i = 1, 2, 3

y∆i,2(F ) := Fi(y1, x2, x3)− Fi(y1, y2, x3), i = 1, 2, 3.

Como(x3 − y3)∆(x, y) = P (x1, x2, x3, y1, y2, x3)− P (x1, x2, x3, y1, y2, y3), (5.1)

y estamos buscando elementos de Bez(x1, x2, y1, y2) con grado menor o igual que d− 1 enlas variables y1, y2, al ser degy (P (x1, x2, x3, y1, y2, y3)) ≥ d se tiene que, combinando laigualdad dada en (5.1), para cada 1 ≤ j ≤ d− 1 :

x3∑

|γ|=j

∆γ(x)yγ − y3

∑

|γ|=j−1

∆γ(x)yγ (5.2)

es igual a la parte de grado j en las variables yi de P (x1, x2, x3, y1, y2, x3) que, como nodepende de y3, resulta ser igual a

x3∑

γ1+γ2=j

∆(γ1,γ2,0)(x)yγ11 y

γ22 , (5.3)

Luego, el coeficiente de yγ11 yγ22 de P (x1, x2, x3, y1, y2, y3) sera

x3∆(γ1,γ2,0)(x1, x2, x3). (5.4)

Ademas, usando recursivamente (5.2) se tiene que, para cada par de enteros no negativosγ, γ tal que γ = γ + (0, 0, k), |γ| = j :

xk3∆γ(x) = ∆γ(x). (5.5)

Por otro lado, desarrollando el determinante que define a P por la tercer fila, se observaque degy1,y2,t (P (x1, x2, x3, y1, y2, t)) ≥ d. Escribiendo

P (x1, x2, x3, y1, y2, t) =∑

β0+β1+β2≤3d−2

cβ0,β1,β2(x1, x2, x3)tβ0yβ11 y

β22

5.4. FORMULAS DE DIXON 95

se tendra que, si β1 + β2 ≤ d− 1, entonces cβ0,β1,β2 6= 0 implica β0 ≥ d− β1 − β2.Fijamos β = (β1, β2) tal que |β| ≤ d− 1, y consideramos

∑β0≥0 cβ0,β1,β2(x1, x2, x3)t

β0 = td−β1−β2∑

β0≥0 cβ0,β1,β2(x1, x2, x3)tβ0+β1+β2−d =

= td−β1−β2Pβ(x1, x2, x3, t).(5.6)

De las propiedades de P, se deducen las siguientes:

• Pβ(x1, x2, x3, t) es homogeneo de grado 2d− 2;

• Pβ(x1, x2, x3, 0) 6= 0;

• Pβ(x1, x2, 1, 1) = Bβ(x1, x2).

Todo esto dice que Pβ(x1, x2, x3, x3) es la homogeneizacion de Bβ(x1, x2) a grado 2d− 2.Hacemos t = x3 en (5.6), y comparamos con (5.4). Queda la siguiente igualdad:

x3∆(β1,β2,0)(x1, x2, x3) = xd−β1−β23 Pβ(x1, x2, x3, x3),

y usando (5.5) se concluye la demostracion.

Part II

APLICACIONES

97

Chapter 6

Implicitacion de Curvas y SuperficiesRacionales

En este capıtulo, vamos a demostrar algunas relaciones entre la resultante y los menoresmaximales que aparecen en la formulacion del metodo de las superficies moviles, obte-niendo como consecuencia demostraciones alternativas a las de [CGZ]. Ademas, se exten-dera la validez del metodo al caso de superficies impropiamente parametrizadas.

6.1 Superficies Moviles

Comenzaremos revisando algunas nociones basicas que son usadas en el “metodo deconicas y cuadricas moviles” que fue formulado en [CGZ, SC, ZCG].Sea K un cuerpo. Una d-superficie es una ecuacion implıcita homogenea en las variablesX1, X2, X3 y X4 de grado d :

∑

|γ|=d

cγXγ = 0, cγ ∈ K.

Una d-superficie movil de bigrado (σ1, σ2) es una familia de d-superficies parametrizadaspor s, u, t y v como sigue:

σ1∑

i=0

σ2∑

j=0

∑

|γ|=d

Aijγ Xγ

si uσ1−i tj vσ2−j = 0, Aijγ ∈ K. (6.1)

Para cada valor fijo de los parametros, la ecuacion (6.1) es una ecuacion implıcita degrado d en K3.De manera similar de define una d-superficie movil de grado σ como:

∑

i+j≤σ

∑

|γ|=d

Aijγ Xγ

si tj uσ−i−j = 0, Aijγ ∈ K. (6.2)

99

100 CHAPTER 6. IMPLICITACION DE CURVAS Y SUPERFICIES RACIONALES

En ambos casos, una 1-superficie movil se llamara “plano movil”. Si d = 2, se llamara“cuadrica movil” ([CGZ]).Dada una familia de cuatro polinomios bihomogeneos (resp. homogeneos) xi(s, u; v, t)(resp. xi(s, t, u)) de bigrado (m,n) (resp. grado n) con coeficientes en K, la d-superficie

movil 6.1) (resp.(6.2) ) se dice que sigue a la superficie racional(x1x4, x2x4, x3x4

)si

σ1∑

i=0

σ2∑

j=0

∑

|γ|=d

Aijγ xγ

si uσ1−i tj vσ2−j = 0

resp.

∑

i+j≤σ

∑

|γ|=d

Aijγ xγ

si tj uσ−i−j = 0.

Para calcular elK-espacio vectorial de las d-superficies moviles de un bigrado (resp. grado)fijo que siguen a la superficie racional, igualamos a cero los coeficientes de los monomiossα uσ1−α tβ vσ2−β (resp. sα tβ uσ−α−β) que aparecen en la ecuacion implıcita, y resolvemosel sistema lineal de ecuaciones en las indeterminadas Aijγ .

Ejemplo 6.1 Consideremos la siguiente familia de polinomios homogeneos:

x1 = s3

x2 = t3,x3 = u3,x4 = s3 + t3 + u3.

(6.3)

La superficie parametrica que ellos definen esta contenida en el hiperplano

X1 +X2 +X3 −X4 = 0

que es un plano movil de grado 0. Notar que existe un plano movil de grado cero si ysolamente si la superficie esta contenida en un plano. En este caso, este es el unicoplano que contiene a (6.3), ası que es el unico elemento de una base del espacio de planosmoviles de grado 0.La siguiente es una familia de generadores del espacio de las cuadricas moviles de gradocero:

X1 (X1 +X2 +X3 −X4) = 0,X2 (X1 +X2 +X3 −X4) = 0,X3 (X1 +X2 +X3 −X4) = 0,X4 (X1 +X2 +X3 −X4) = 0.

6.1. SUPERFICIES MOVILES 101

Ejemplo 6.2

Este ejemplo aparece en [CGZ]. Hagamos

x1 = s t+ u v,x2 = s v,x3 = u t,x4 = s v + u t+ u v,

y σ1 = σ2 = 1. Una base del espacio de los planos moviles de bigrado (1, 1) que siguen lasuperficie parametrica esta dado por :

(X4 −X1 −X2 −X3) u v + s v X3 = 0,(X4 −X1 − 2X2 −X3) u v + s v(X4 −X2) = 0.

Con la ayuda de Maple, hemos encontrado la siguiente base de 24 cuadricas moviles conel mismo bigrado.

X1X4 u v −X21 s v −X2

1 u v −X21 u t+X1X2 s t+

+X1X3 s t+X1X3 s v = 0,X2X3 u v −X1X3 s v +X2X3 s t = 0,X2X4 u v −X1X4 s v +X2X4 s t = 0,

X3X4 u v −X21 u t−X1X3 u t−X2X4 s t+ 3X2X3 s t−

−2X1X3 s v ++X1X3 s t+X3X4 s v +X22 s t+X2

3 s t = 0,X2

2 u t−X2X4 s t+X2X3 s t+X22 s t = 0,

X23 u t−X2X3 s t+X1X3 s v − 2X2

3 s t+X3X4 s v−−X1X3 s u t+ 2X1X3 u t+X2

1 u t−X24 u t = 0,

X1X2 u t−X1X3 s = 0,X1X4 u t−X1X3 s v +X1X3 s t−X1X3 u t−X2

1 u t = 0,X2X3 u t+X2X4 s t− 2X2X3 s u t+X1X3 s v−

−X22 s t−X3X4 s v = 0,

X2X4 u t−X3X4 s v = 0,X3X4 u t−X2

4 u t+X21 u t+X1X3 u t−X1X3 s t−

−X22 s t−X2

3 s t+ 2X1X3 s v − 3X2X3 s t+X2X4 s t = 0,X2

2 s v −X21 s v +X1X4 s v −X2X4 s v +X1X2 s t−

−2X22 s t−X1X3 s v −X2X3 s t+X2X4 s t = 0,

X23 s v +X2X4 s t− 2X2X3 s t+X1X3 s v −X2

2 s t−−X3X4 s v = 0,

X24 s v −X1X4 s v −X2X4 s v −X3X4 s v +X2X4 s t = 0,

X1X2 s v +X21 s v −X1X4 s v −X1X2 s t+X1X3 s v = 0,X2X3 s v −X2X4 s t+X2X3 s t+X2

2 s t = 0,


X24 s t− 3X2X3 s t+X1X3 s v −X2

3 s t−X22 s t−

−2X3X4 s v = 0,X1X4 s t−X1X3 s v −X1X3 s t−X1X2 s t = 0,

X3X4 s t−X3X4 s v −X22 s t−X2

3 s t+X1X3 s v−−3X2X3 s t+X2X4 s t = 0,

X22 u v +X2

1 s v −X1X4 s v −X1X2 s t+X1X3 s v++X2

2 s t = 0,X2

3 u v +X23 s t−X1X3 u t = 0,

X24 u v −X2

1 u v −X21 s v −X1X4 s v − 2X2

1 u t−−X1X3 u t+X1X2 s t+ 2X1X3 s t+ 2X3X4 s v +X2

2 s t++X2

3 s t−X1X3 s v + 3X2X3 s t = 0,X1X2 u v −X2

1 s v +X1X2 s t = 0,X1X3 −X2

1 u t+X1X3 s t = 0.

6.2 El Caso Bihomogeneo

6.2.1 Notacion

Sean x1, x2, x3 y x4 cuatro polinomios bihomogeneos genericos en dos variables de bigrado(m,n), es decir

xi (s, u; t, v) =

m∑

j=0

n∑

k=0

cijk sj um−j tk vn−k i = 1, . . . , 4.

Definimos K := Q(cijk), y notamos con Sk,l al espacio de polinomios de bigrado (k, l) concoeficientes en K.

Sea φ la transformacion K-lineal:

φ : Sm−1,n−14 → S2m−1,2n−1

(p1, p2, p3, p4) 7→∑4

i=1 pi xi.(6.4)

Para ser consistentes con la notacion de [CGZ], notaremos con MP a la traspuesta 1 dela matriz de φ en las bases monomiales. Es una matriz cuadrada, de tamano 4mn.

Observacion 6.3 Con las definiciones establecidas en la seccion anterior, no es difıcilde ver que MP es la matriz de coeficientes del sistema lineal generado por los planos

moviles de bigrado (m−1, n−1) que siguen a la superficie racional dada por(x1x4, x2x4, x3x4

).

1Debido a la Convencion 1.4, para mantener una coherencia con [CGZ], la mayorıa de las matrices eneste capıtulo seran las traspuestas de las matrices asociadas a una transformacion lineal.

6.2. EL CASO BIHOMOGENEO 103

Sea d un entero positivo, y hagamos

Γ := γ ∈ Z≥04 : |γ| = d.

Consideremos la transformacion lineal

Ψd : Sm−1,n−1Γ → S(d+1)m−1,(d+1)n−1

que a cada familia (pγ)γ∈Γ le asigna el polinomio

∑

γ∈Γ

pγxγ . (6.5)

Sea MQd la traspuesta de la matriz de Ψd en las bases monomiales Tambien definimos

Γ0 := γ ∈ Z≥04 : |γ| = d, γ4 ≤ 1.

Su cardinal es (d+1)2. Consideramos la transformacion ψd, la restriccion de Ψd a Sm−1,n−1Γ0 .

Denotamos con MSd la traspuesta de la matriz de ψd en las bases monomiales. Es unamatriz cuadrada de tamano (d+ 1)2mn.

Observacion 6.4 Si d = 1, entonces ψd = φ y MS1 = MP. Para d = 2, las matricesMQ2 y MS2 se llaman MQ y MQw respectivamente en [CGZ].

Observacion 6.5 Es inmediato verificar que MSd es un menor maximal de MQd. Esmas, ker(MQd) es el K espacio vectorial de las d-superficies moviles de bigrado (m −1, n− 1) que siguen a la superficie racional.

Consideremos el subconjunto Γ1 de Γ0 definido por los γ para los cuales se verifica queγ1 = 0. Sea

ρd : Sm−1,n−1Γ1 ⊕ Sdm−1,dn−1 → S(d+1)m−1,(d+1)n−1 (6.6)

la transformacion lineal que envıa el par ((pγ)γ∈Γ1 , q) en

∑

γ∈Γ1

pγxγ + q x1. (6.7)

Denotaremos con MT d a la traspuesta de la matriz de ρd en las bases monomiales. Esuna matriz cuadrada del mismo tamano que MSd.

6.2.2 Calculo de Resultantes usando Complejos de Koszul

Revisaremos brevemente el algoritmo para calcular el determinante de una sucesion exactacorta de espacios vectoriales ([GKZ2], Appendix A), ya que sera necesario en lo que sigue.Consideremos el siguiente complejo exacto:

0 −→ Ad0−→ B

d1−→ C −→ 0 . (6.8)


Sean a1, . . . , ap, b1, . . . , bq, c1, . . . , cr bases en A, B, C respectivamente (p+r = q).En este caso, el determinante del complejo con respecto a estas bases es igual al coeficientede proporcionalidad

b1 ∧ . . . ∧ bqd0(a1) ∧ . . . ∧ d0(ap) ∧ c1 ∧ . . . ∧ cr

(6.9)

donde c1, . . . cr ∈ B satisfacen: d1(ci) = ci.Se puede calcular explıcitamente (6.9) de la manera siguiente:

1. Calcular las matrices D0 y D1, traspuestas de las matrices asociadas a las transfor-maciones lineales d0 y d1 respectivamente, en las bases dadas.

2. SeaD1 la submatriz deD1 que se forma eligiendo todas las filas (son r) y las primerasr columnas. Denotemos con D0 a la submatriz de D0 formada por las ultimas pfilas y todas las columnas (que tambien son p).

3. Se tiene que det(D0) 6= 0 ⇐⇒ det(D1) 6= 0 ([GKZ2]). Si este es el caso, entonces

det(complejo) =det(D1)

det(D0)(6.10)

4. Si det(D0) = det(D1) = 0, entonces otro menor maximal se puede elegir en D0 comosigue: sea I = i1, . . . , ir un subconjunto ordenado de r enteros elegidos dentro delconjunto 1, . . . , q. Sea D0,I , (resp. D1,I) la submatriz de D0 (resp. D1) obtenidaeligiendo todas las columnas (resp. filas) y las filas (resp. columnas) indexadas por1, . . . , q \ I (resp. I).

Cambiemos el orden en la base de B de tal manera que los ultimos r elementos seanlos indexados por I. Usando la Proposicion 9 de [[GKZ2], Appendix 10] se tiene que

det(D0,I) . det(complejo) = (−1)σ . det(D1,I), (6.11)

donde σ es la paridad de la permutacion

i1, . . . , ir, 1, 2, . . . , i1 − 1, i1 + 1, . . . , ir − 1, ir + 1, . . . , q.

Recordemos la definicion de Resm,n(f1, f2, f3), la resultante bihomogenea de tres poli-nomios genericos de bigrado (m,n) ([Dix, GKZ2]): es un polinomio irreducible en loscoeficientes de los fi que se anula al especializar los coeficientes en un cuerpo k si y sola-mente si el sistema especializado fi = 0 tiene una solucion en in P1

k× P1

k. Aquı, k denota

la clausura algebraica de k.El determinante de un complejo puede servirnos para calcular potencias de Resm,n(x1, x2, x3)de la manera siguiente: consideremos el siguiente complejo de K-espacios vectoriales:

0 −→ Sm−1,n−12 ⊕ S(d−1)m−1,(d−1)n−1

ψ0−→ Sdm−1,dn−1

2 ⊕ S2m−1,2n−1ψ1−→

−→S(d+1)m−1,(d+1)n−1 → 0,(6.12)


donde ψ1 y ψ0 son los morfismos de Koszul

ψ1(p, q, r) := p x1 + q x2 + r xd−13 ; (6.13)

ψ0 (p, q, r) :=(q xd−1

3 + r x2, p xd−13 − r x1,−p x2 − q x1

). (6.14)

Proposicion 6.1 El complejo (6.12) es exacto, y si los coeficientes son especializadosen un cuerpo k, continuara siendo exacto (como un complejo de k-espacios vectoria-les) si y solamente si la resultante bihomogenea de los polinomios especializados no seanula. El determinante del complejo con respecto a las bases monomiales es igual a±Resm,n(x1, x2, x3)

d−1.

Demostracion. Tomemos un polinomio y3(s, u; t, v) que sea bihomogeneo generico y debigrado ((d− 1)m, (d− 1)n) y modifiquemos el complejo reemplazando xd−1

3 por y3 en(6.13) y (6.14).Debido a que ahora los polinomios x1, x2 e y3 son bihomogeneos, pero ya no tienenel mismo grado, no se puede calcular la resultante bihomogeneo entre ellos. Pero sepuede calcular la resultante mixta asociada a la familia (x1, x2, y3) (ver [GKZ2], Chapter3). Es un polinomio irreducible en los coeficientes de x1, x2, y3 que se anula bajo unaespecializacion de estos si y solamente si los polinomios especializados tienen una raız enP1 × P1.Para calcular esta resultante, podemos aplicar el metodo de Cayley que se describe en elCapıtulo 3 de [GKZ2]. Sea F(d1, d2) el fibrado lineal sobre X := P1

k× P1

kcuyas secciones

son funciones homogeneas de grado d1 en las coordenadas (s : u) y de grado d2 en lascoordenadas (t : v) sobre cada P1

k.

Hacemos L1 = L2 = F(m,n) y L3 = F((d − 1)m, (d − 1)n). Cada Li es muy amplio, ypodemos considerar polinomios de bigrado (m,n) con coeficientes en k como elementosde H0(X,Li), i = 1, 2, y polinomios de bigrado ((d− 1)m, (d− 1)n) como pertenecientesa H0(X,L3).Se tiene entonces que cada especializacion de (x1, x2, y3) define una seccion s del fibradoE := L1 ⊕ L2 ⊕ L3. Si hacemos M := F((d + 1)m− 1, (d + 1)n − 1), y consideramos elcomplejo C•

−(L1,L2,L3|M) que se define en el Capıtulo 3 de [GKZ2], se puede ver quelo que se tiene es en realidad el complejo modificado (6.12). Es mas, con esa eleccionde M, el complejo resulta estable (es decir, no tiene cohomologıa no trivial para gradomayor que cero), ası que valen para este complejo la Proposicion 4.1 y el Teorema 4.2del Capıtulo 3 de [GKZ2], con lo cual, resulta que el complejo sera exacto si y solamentesi la resultante mixta de los polinomios especializados (x1, x2, y3) es no nula. Ademas,se tiene que el determinante del complejo con respecto a las bases monomiales es igual a±Res(x1, x2, y3).Para recuperar el complejo original, especializamos y3 en x

d−13 . Teniendo en cuenta que la

anulacion del determinante de un complejo significa que deja de ser exacto ([GKZ2],Appendix A), esto implica que el determinante de (6.12) debe ser una potencia deResm,n(x1, x2, x3).


Comparando los grados de la resultante bihomogenea y de la resultante mixta en loscoeficientes de x3 e y3 respectivamente (ver [CLO, GKZ2]), tendremos que el determinantedel complejo (6.12) sera igual a

±Res(x1, x2, y3)|y3=xd−13

= ±Resm,n(x1, x2, x3)d−1.

Usando la receta dada mas arriba, podemos calcular±Resm,n(x1, x2, x3)d−1 con el siguiente

algoritmo:

1. Calcular las matrices correspondientes a los mapas lineales ψ0 y ψ1 con respecto alas bases monomiales;

2. Elegir un menor no nulo maximal m1,I en la traspuesta de la matriz correspondientea ψ1, donde I es un conjunto de (d + 1)2mn columnas correspondientes a vectoresen la base monomial de ⊕2

i=1Sdm−1,dn−1 ⊕ S2m−1,2n−1.

3. Calcular m0,I , el menor maximal en la traspuesta de la matriz que representa ψ0,que consiste de todas las filas no indexadas por I.

4. Se tiene que m0,I 6= 0. Calcularm1,I

m0,I. Este cociente es igual al determinante del

complejo, o sea la potencia (d− 1) de la resultante.

Observacion 6.6 Cualquiera sea el conjunto de ındices I, se tiene la siguiente igualdad:

m1,I = ±Resm,n(x1, x2, x3)d−1m0,I . (6.15)

Observacion 6.7 Recordemos que la resultante esta definida salvo signo. Por convencion,estableceremos que

det(complejo) = Resm,n(x1, x2, x3)d−1.

Luego, usando (6.11), la formula (6.15) dice que:

m1,I = (−1)σ Resm,n(x1, x2, x3)d−1m0,I . (6.16)

6.2.3 La Relacion entre det(MSd) y det(MP )

Para probar el resultado principal de esta seccion, necesitaremos el proximo lema auxiliar.

Lema 6.8

± det(MT d) = det(MP )dResm,n(x1, x2, x3)d(d−1)/2.


Demostracion. La prueba sera haciendo induccion en d. Para d = 1, esta claro que ρ1 yφ coinciden, ası que el resultado es inmediato.Supongamos entonces que d ≥ 2. El morfismo ρd puede factorizarse como sigue:

Sm−1,n−1Γ1 ⊕ Sdm−1,dn−1

ψ2→Sdm−1,dn−1

2 ⊕ S2m−1,2n−1ψ1→S(d+1)m−1,(d+1)n−1 (6.17)

donde ψ1 es el morfismo definido en (6.12) y

ψ2 (pγ, q) =

(q,∑

γ2≥1

pγxγ2−12 xγ33 x

γ44 , p(0,0,d,0)x3 + p(0,0,d−1,1)x4

). (6.18)

Denotemos con Mi a la traspuesta de la matriz asociada a ψi en las bases monomiales,i = 1, 2. Estas no son matrices cuadradas (sus tamanos son (d + 1)2mn × (2d2 + 4)mny (2d2 + 4)mn × (d + 1)2mn respectivamente), pero aplicando la formula de Cauchy-Binet (ver por ejemplo [HJ]), se tiene la siguiente relacion entre sus menores maximalesy det(MT d) :

det(MT d) =∑

I

det(M1,I) det(M2,I), (6.19)

donde la suma se realiza sobre todas las familias de numeros naturales

I = (i1, . . . , i(d+1)2mn)

que verifican 1 ≤ i1 ≤ . . . ≤ i(d+1)2mn ≤ (2d2 + 4)mn, y M1,I (resp. M2,I) es la submatrizcuadrada de M1 (resp. M2) que se forma eligiendo las (d + 1)2mn columnas (resp. filas)indexadas por I.

Observacion 6.9 Notar que M1 es la traspuesta de la matriz asociada a ψ1 en las basesmonomiales y, para cada I, con la notacion del algoritmo descripto en la seccion anteriorse tiene que det(M1,I) = m1,I .

Usando la observacion 6.6 y la formula (6.19), se tiene

det(MT d) = (Resm,n(x1, x2, x3))d−1∑

I

(−1)σ det(M2,I)m0,I . (6.20)

Un calculo explıcito de la matriz de M2 nos dice que tiene la siguiente estructura:

M2 =

I 0 00 B1 00 0 B2

, (6.21)

donde B1 y B2 tienen tamanos d2mn × (2d − 1)mn y 4mn × 2mn respectivamente, e I

denota la matriz identidad de tamano d2mn.


Sea M0 la traspuesta de la matriz asociada a ψ0. Esta matriz tiene (2d2 + 4)mn filas y((d−1)2+2)mn columnas. Consideremos M := [M2,M0] , sera cuadrada, con la siguienteestructura:

M =

I 0 0 0 q xd−13 r x2

0 B1 0 p xd−13 0 −r x1

0 0 B2 −p x2 −q x1 0

; (6.22)

donde[p xd−1

3

]denota la traspuesta de la matriz asociada a la transformacion lineal

Sm−1,n−1 → Sdm−1,dn−1 que a cada p le asigna p xd−13 , y los otros bloques tienen el mismo

significado.Se puede chequear que [B2,−p x2,−q x1] es una matriz cuadrada. Es mas,

det([Q,−p x2,−q x1]) = ± det(MP ).

De la misma manera, se tiene que

det([B1,−r x1]) = ± det(MT d−1).

Luego, el determinante de M es igual a ± det(MT d−1) det(MP ), y usando la hipotesisinductiva, se tiene la siguiente igualdad:

det(M) = ± (Resm,n(x1, x2, x3))(d−1)(d−2)/2 det(MP )d. (6.23)

Este determinante tambien se puede calcular como una suma de productos de menoresmaximales de M2 por sus menores complementarios en M. Esto es exactamente la sumaque aparece en (6.20), es decir

det(M) =∑

I

(−1)σ det(M2,I)m0,I . (6.24)

Reemplazando (6.23) en (6.20), se concluye con la demostracion.

Teorema 6.10

± det(MSd) = det(MP )(d+1)d/2 Resm,n(x1, x2, x3)(d+1)d(d−1)/6.

Demostracion. Como en el Lema, la demostracion sera haciendo induccion sobre d. Parad = 1, se tiene que ψ1 = φ, ası ası que el enunciado es inmediato.Tomemos entonces d ≥ 2, y factoricemos ψd como sigue:

Sm−1,n−1Γ0

ψ2−→ (Sdm−1,dn−1)

2 ⊕ S2m−1,2n−1ψ1−→S(d+1)m−1,(d+1)n−1 (6.25)

donde

ψ2 (pγ) =

(∑

γ1≥1

pγxγ

x1,∑

γ∈Γ1,γ2≥1

pγxγ

x2, p(0,0,d,0)x3 + p(0,0,d−1,1)x4

). (6.26)


Sea M2 la traspuesta de la matriz asociada a ψ2 en las bases monomiales. La formula deCauchy-Binet nos da la siguiente expresion:

det(MSd) =∑

I

det(M1,I) det(M2,I), (6.27)

donde, al igual que antes, el conjunto de ındices I varıa sobre todas las familias de enteros(i1, . . . , i(d+1)2mn) que verifican 1 ≤ i1 ≤ . . . ≤ i(d+1)2mn ≤ (2d2 + 4)mn, y M1,I (resp.

M2,I) tienen el mismo significado que en (6.19).Procediendo de una manera similar a la demostracion del Lema, se tiene

det(MSd) = (Resm,n(x1, x2, x3))d−1∑

I

(−1)σ det(M2,I)m0,I . (6.28)

Si ahora juntamos M2 con la matrizM0, obtendremos una matriz cuadrada con la siguienteestructura:

M :=

MSd−1 0 0 0 q xd−1

3 r x20 B1 0 p xd−1

3 0 −r x10 0 B2 −p x2 −q x1 0

. (6.29)

Aquı, B1 y B2 son exactamente los mismos bloques que aparecen en (6.21), y ahora setiene que el bloque [P, r x1] es la matriz MT d−1.Usando la hipotesis inductiva y el Lema previo, se tienen las siguientes igualdades:

det(M) = ± det(MSd−1) det(MT d−1) det(MP ) =

= ± (Resm,n(x1, x2, x3))(d−1)(d−2)(d+3)/6 det(MP )d(d+1)/2.

Por otro lado, calculando el determinante de M como suma de productos de menoresmaximales de M2 por los menores complementarios en M, aparece la sumatoria de (6.28).Reemplazandola con el ultimo display, se concluye la demostracion.

Corolario 6.11 (Conjetura (6.1) de [CGZ])

det(MS2) = det(MP )3 Resm,n(x1, x2, x3).

Corolario 6.12 (Demostracion general del Teorema 4.1 de [CGZ])Dados cuatro polinomios bihomogeneos x1, x2, x3 y x4 de bigrado (m,n) y coeficientes

en C. Si Resm,n(x1, x2, x3) 6= 0, entonces det( ˜MSd) = 0 implica det(MP ) = 0.

Con M queremos notar a la matrizM especializada en los coeficientes de xi. En el lenguajede las superficies moviles, el Teorema 6.10 se lee de la manera siguiente:

Si Resm,n(x1, x2, x3) 6= 0, y no hay planos moviles de bigrado (m−1, n−1) que siguen a lasuperficie racional, entonces el C-espacio vectorial de d-superficies de bigrado (m−1, n−1)

que siguen a la superficie racional tiene dimension igual a (d+1)d(d−1)6

mn.


6.3 La Validez del Metodo de Cuadricas Moviles si

la Superficie no esta Propiamente Parametrizada

En esta seccion, vamos a discutir la validez del metodo de implicitacion usando cuadricasmoviles sin puntos base, sin requerimientos adicionales sobre la parametrizacion de lasuperficie. El resultado principal sera una extension del Teorema 4.2 de [CGZ], lo cualnos permitira extender la validez del metodo al caso en el cual la parametrizacion no esgenericamente uno a uno. Como vamos a trabajar con cuadricas, especializaremos el d dela seccion en 2, y como siempre K sera Q(cijk). Si det(MS2) 6= 0, entonces ker(MQ2) tienedimension mn. Supongamos sin perdida de generalidad que MQ2 = [MS2, R] , donde Res una submatriz de MQ2 de tamano 9mn×mn.En [CGZ] (Demostracion del Teorema 4.2 ), se considera una base muy particular delnucleo de MQ2 ( es decir, una matriz T de tamano 10mn×mn tal que MQ2 ·T = 0) quetiene la forma siguiente:

T :=

[TI

];

aquı, I es la matriz identidad de orden mn.Si resolvemos la ecuacion lineal MQ · T = 0, obtendremos

T =

[−MS2−1

· RI

].

La matriz T tiene sus filas indexadas por los monomios

si tjxγ , 0 ≤ i ≤ m− 1, 0 ≤ j ≤ n− 1, |γ| = 2,

y las ultimas mn filas corresponden a los monomios

si tjx24, 0 ≤ i ≤ m− 1, 0 ≤ j ≤ n− 1.

Consideremos T, la matriz que resulta de reordenar las filas de T ordenando los monomiosque indexan sus filas de la manera siguiente:

x21, x22, x

23, x

24, x1 x2, x1 x3, x1 x4, x2 x3, x2 x4, x3 x4,

s (x21, x22, x

23, x

24, x1 x2, x1 x3, x1 x4, x2 x3, x2 x4, x3 x4) ,

s t (x21, x22, x

23, x

24, x1 x2, x1 x3, x1 x4, x2 x3, x2 x4, x3 x4) ,

s t2 (x21, x22, x

23, x

24, x1 x2, x1 x3, x1 x4, x2 x3, x2 x4, x3 x4) ,

s t3 (x21, x22, x

23, x

24, x1 x2, x1 x3, x1 x4, x2 x3, x2 x4, x3 x4) ,

. . .

(6.30)

La tercer fila de T, por ejemplo, esta indexada por el monomio x23; la fila numero onceesta indexada por s x21.Sean X1, X2, X3 y X4 indeterminadas sobre K. Consideremos el siguiente vector enZ [X1, X2, X3, X4]

10 :

C :=(X2

1 , X22 , X

23 , X

24 , X1X2, X1X3, X1X4, X2X3, X2X4, X3X4

). (6.31)

6.3. CUADRICAS MOVILES Y PARAMETRIZACION DE SUPERFICIES 111

Sea M ∈ Z[X1, X2, X3, X4]mn×10mn la matriz que se define como sigue:

M :=

C C C . . . C0 C C . . . C0 0 C . . . C

. . .0 0 0 . . . C

.

Recordemos la construccion hecha en la demostracion del Teorema 4.2 de [CGZ] para cal-cular la ecuacion implıcita de la superficie parametrica: cada columna Tα,β de T contienelas coordenadas en la base monomial de una cuadrica movil de bigrado (m,n) que siguea la superficie. Definimos Tα,β como sigue:

Tα,β =∑

i≤m−1, j≤n−1

T α,βi,j si tj ,

dondeT α,βi,j =

∑

|γ|=2

aγi,jxγ .

Hacemos T α,βi,j :=∑

|γ|=2 aγi,jX

γ, y consideramos la matriz cuadrada

T :=[T α,βi,j

]∈ K[X1, X2, X3, X4]

mn×mn,

donde sus filas estan indexadas por (i, j) y sus columnas por (α, β).

Observacion 6.13 T es la matriz que se llama M en la demostracion del Teorema 4.2de [CGZ].

Proposicion 6.2 det(T)= ± det (M · T) .

Demostracion. Sea R :=M ·T. Calculando explıcitamente la ultima fila de M ·T, debidoal orden que impusimos a las filas de T en (6.30), se obtiene:

[T α,βm−1,n−1

]α,β

,

que coincide exactamente con una de las filas en T .De la misma manera, se puede verificar que la fila anteultima de R es la siguiente

[T α,βm−1,n−2 + T α,βm−1,n−1

]α,β

,

ası que, substrayendo de ella la ultima fila, se obtiene otra fila de T .Una situacion similar ocurre en todas las filas. Esto implica que la matriz R se puedetransformar en la matriz T aplicando operaciones en sus filas que no cambian el determi-nante.

La siguiente Proposicion sera util en lo que sigue.


Proposicion 6.3 Sea

P (X1, X2, X3) := Resm,n (x1 −X1 x4, x2 −X2 x4, x3 −X3 x4)

Entonces, P (X) es un polinomio irreducible en K[X1, X2, X3] y su grado en las variablesXi es igual a mn.

Demostracion. El hecho de que el grado de P en Xi es mn se puede verificar facilmentecon la matriz de Dixon ([Dix]).Sea Z := Z[cijk, X1, X2, X3]. Supongamos que P = A(c,X) . B(c,X), donde A,B ∈ Z. Elpolinomio P es homogeneo en las variables ciij, lo cual implica que tanto A como B debenserlo.Especializando Xi 7→ 0, se tendra que

Resm,n(x1, x2, x3) = A(c, 0) . B(c, 0).

Pero el miembro de la izquierda es irreducible, ası que alguno de los factores debe tenergrado 0 en las variables cijk, supongamos s.p.g. que es B. Entonces se tiene la siguientefactorizacion

P = A(c,X) . B(X),

donde B ∈ Z[X1, X2, X3]. Pero si gradoXB ≥ 1, entonces la variedad (B = 0) 6= ∅ en C3.Por otro lado, es conocido el hecho de que, para una familia de polinomios bihomogeneosxi(s, u; t, v) que no tienen puntos base, la ecuacion

Resm,n (x1 −X1 x4, x2 −X2 x4, x3 −X3 x4) = 0

es una potencia de la ecuacion implıcita de la superficie racional definida por(x1x4, x2x4, x3x4

)

(ver, por ejemplo, el comentario al final del Ejemplo 3 de [CGZ]). Si B tuviera un conjuntode ceros no vacıo, querrıa decir que toda superficie parametrica racional de bigrado (m,n)sin puntos base pasa por los ceros de B, lo cual es claramente imposible.

Corolario 6.14 Sea P h(X1, X2, X3, X4) el homogeneizado de P en grado mn. Entonces,P h es irreducible en Z[cijk, X1, X2, X3, X4].

Ahora podemos presentar el resultado principal de esta seccion:

Teorema 6.15

det(M · T) =P h

Resm,n(x1, x2, x3).

Demostracion. Comenzaremos demostrando que el cociente entre det(M · T) y P h es unelemento de K. Notar que hay un entero positivo z tal que

R′

:= det(MS)z . det(M · T) ∈ Z[cijk, X1, X2, X3, X4]

(esto se debe al hecho de que en la construccion de T se necesita la inversa MS.)

6.3. CUADRICAS MOVILES Y PARAMETRIZACION DE SUPERFICIES 113

Hacemos R′′

:= det(MS) .R′

. Tanto R′′

como P h son homogeneos en X, y del mismogrado, mn, ası que alcanzara con ver que uno de ellos es un multiplo del otro.Supongamos que las variables han sido especializadas:

(cijk, X

)7→(cijk, X

)

con las siguientes condiciones:

1. det(MS) 6= 0, donde MS es la matriz MS bajo la especializacion c 7→ c.

2. P h(cijk, X) se anula.

Esto quiere decir que el punto proyectivo(X1 : X2 : X3 : X4

)pertenece a la superficie

racional definida por(x1x4, x2x4, x3x4

).

Usando queMS 6= 0 se puede aplicar la demostracion del Teorema 4.2 de [CGZ], y resulta

que, si(X1 : X2 : X3 : X4

)pertenece a la superficie racional, el determinante de T se

anula. La proposicion 6.2 implica que, en consecuencia, R′′

debe anularse. Luego,

(P h = 0

)⊂(R

′′

= 0)

si det(MS) 6= 0.

Si det(MS) = 0, la inclusion se da trivialmente. Entonces, usando el Nullstellensatz deHilbert, se puede concluir que una potencia de R

′′

debe ser un multiplo de P h. Como P h

es irreducible, R′′

debe ser un multiplo de P h, ası que

det(M · T) = c . P h,

con c ∈ K como se habıa afirmado al principio.Para calcular c, hacemos la siguiente sustitucion:

X1, X2, X3 7→ 0, X4 7→ 1.

Entonces, se tendra queP h 7→ Resm,n(x1, x2, x3)

T 7→ Imn

si las columnas de T estan ordenadas convenientemente (ver la demostracion del Teorema4.2 de [CGZ]). Luego, c es igual a ± 1

Resm,n(x1,x2,x3)

Corolario 6.16 Dada la familia de polinomios xi(s, u; t, v) ∈ C[s, u, t, v], 1 ≤ i ≤ 4,bihomogeneos de bigrado (m,n). Supongamos que la superficie

(x1x4,x2x4,x3x4

)

no tiene puntos base, y que no hay planos moviles de bigrado (m−1, n−1) que siguen a lasuperficie. Entonces, el metodo de cuadricas moviles calcula una potencia de la ecuacionimplıcita de la superficie.


Demostracion. Se puede suponer sin perdida de generalidad que Resm,n(x1, x2, x3) 6= 0

(cf. [CGZ]). El metodo calcula en realidad det(T ) = ± det(M · T) que es igual a una

constante no nula por P h, debido al Teorema 6.10. Pero P h se anula si y solamente elpunto proyectivo (X1, X2, X3, X4) pertenece a la superficie implıcita. Esto, junto con elhecho de que la ecuacion implıcita de una superficie parametrica es siempre irreducible,completa la demostracion.

6.4 El Caso homogeneo

Para el caso homogeneo, se tienen resultados similares. Ya que los enunciados formalesson esencialmente los mismos, vamos a usar la misma notacion que en la Seccion 6.2esperando que esto no cause confusion al lector.Sean

xi (s, t, u) =∑

j+k≤n

cijk sj tk un−j−k i = 1, . . . , 4

cuatro polinomios genericos en tres variables, homogeneos de grado n.Hacemos, tal como antes, K := Q(cijk), y sea Sl el espacio de polinomios homogeneos entres variables de grado l, con coeficientes en K.Consideremos ahora

φ : Sn−14 → S2n−1

(p1, p2, p3, p4) 7→∑4

i=1 pi xi,(6.32)

y sea MP la traspuesta de la matriz asociada a φ en las bases monomiales.Esta matriz tiene tamano (2n2+n)×(2n2+2n). Para obtener una submatriz cuadrada deella, sea I ⊂ (j, k) : j + k ≤ n donde |I| = n. Definimos MPI sacando las n columnasde MP que corresponden a

si tj un−i−j x4, (i, j) ∈ I.

Como en la Seccion 6.2, MPI es una submatriz cuadrada maximal de la matriz de coefi-cientes de un sistema de planos moviles de grado n−1 que siguen a la superficie racional.Sean Γ y Γ0 como antes, y consideremos las transformaciones

Ψd : Sn−1Γ → S(d+1)n−1

que asigna a cada (pγ)γ∈Γ la expresion∑

γ∈Γ pγxγ , y

ψd : Sn−1Γ0 → S(d+1)n−1,

su restriccion. SeanMQd yMSd las traspuestas de las matrices asociadas a Ψd y ψd en las

bases monomiales, respectivamente. MSd tiene tamano ((d+1)n+1)(d+1)n2

× (d+1)2n(n+1)2

. Paraobtener una submatriz cuadrada de ella, removemos todas las columnas correspondientesa si tj un−i−j xγ, (i, j) ∈ I, γ4 = 1, y definimos MSdI como la submatriz remanente,asociada a la transformacion lineal

ψdI : SΓ0\Γ4

n−1,I ⊕ Sn−1Γ4 → S(d+1)n−1 (6.33)

6.4. EL CASO HOMOGENEO 115

donde Sn−1,I es el K-espacio vectorial generado por por los monomios cuyos exponentesno pertenecen a I, y Γ4 es el conjunto de todos los multiındices γ ∈ Γ0 tales que γ4 = 0.Tambien se puede considerar aMSdI como una submatriz cuadrada maximal de una matrizde coeficientes de d-superficies moviles de grado n− 1 que siguen a la superficie racional.Sea Resn,n,n(f1, f2, f3), la resultante homogenea asociada con una terna de polinomiosgenericos de grado n (ver el primer capıtulo). En esta situacion, se tiene un resultadosimilar al de la seccion anterior:

Teorema 6.17

det(MSdI) = ± det(MPI)(d+1)d(d−1)/6 (Resn(x1, x2, x3))

(d+1)d/2 .

Demostracion. La demostracion sale aplicando mutatis mutandis la construccion hechaen la Seccion 6.2. Consideremos el siguiente complejo de Koszul:

0 −→ Sn−12 ⊕ S(d−1)n−1

ψ0−→ Sdn−1

2 ⊕ S2n−1ψ1−→ S(d+1)n−1 −→ 0 . (6.34)

Aquı, ψ1 y ψ0 se definen con (6.13) y (6.14) respectivamente. Se tendra una version similara la Proposicion 6.1, aplicando la misma tecnica usada allı para relacionar el determinantede un complejo con la resultante (en este caso homogenea) ([Cha1, De]).

Proposicion 6.4 El complejo (6.34) es exacto, y bajo una especializacion de los coefi-cientes x1, x2, x3 seguira siendo exacto si y solamente si Resn,n,n(x1, x2, x3) 6= 0. El deter-minante del complejo respecto de las bases monomiales es igual a ±Resn,n,n(x1, x2, x3)

d−1.

Se puede factorizar ψdI como sigue:

SΓ0\Γ4

n−1,I ⊕ Sn−1Γ4

ψ2−→ Sdn−1

2 ⊕ S2n−1ψ1−→ S(d+1)n−1, (6.35)

donde ψ2 se define como en (6.26).Para aplicar aquı la demostracion del Teorema (6.10), se necesita una version “homogenea”del Lema (6.8). Sea

ρd : Sn−1Γ1 ⊕ Sdn−1 → S(d+1)n−1

la transformacion lineal definida como en (6.7), y sea MT dI la traspuesta de la matrizasociada a la restriccion de ρd a

(SΓ1\Γ4

n−1,I ⊕ Sn−1Γ1∩Γ4

)⊕ Sdn−1

en las bases monomiales. Es una matriz cuadrada del mismo tamano que MSdI . Se tieneentonces la siguiente igualdad:

Lema 6.18± det(MT dI ) = det(MPI)

dResn,n,n(x1, x2, x3)d(d−1)/2.

Ahora sı, la misma demostracion que se hizo para el Teorema (6.10) en el caso biho-mogeneo, se puede aplicar al caso homogeneo, y se tiene el resultado esperado.


Corolario 6.19 (Conjectura (6.2) de [CGZ])

det(MS2I) = det(MPI)

3Resn,n,n(x1, x2, x3).

Corolario 6.20 (Version General del Teorema 5.1 de [CGZ])Si Resn,n,n(x1, x2, x3) 6= 0, entonces det(MSdI) = 0 implica det(MPI) = 0.

El Teorema 6.17 tiene la siguiente interpretacion en el lenguaje de las superficies moviles:Si Resn,n,n(x1, x2, x3) 6= 0, y hay exactamente n planos moviles de grado n−1 linealmenteindependientes que siguen a la superficie racional, entonces el C-espacio vectorial de d-superficies moviles de grado n − 1 que siguen a la superficie racional, tiene dimensionigual a n(d+1)d(dn+d+5−n)

12.

Demostracion. El hecho de que hayan n planos moviles linealmente independientes degrado n− 1 implica que MP tiene rango maximo. El Lema 5.2 de [CGZ] dice que existeun conjunto de ındices I, |I| = n, para el cual MPI es una matriz no singular.

6.4.1 El Metodo de Cuadricas Moviles cuando la Superficie no

esta Propiamente Parametrizada

En este apartado, veremos que resultados analogos a la Seccion 6.3 se pueden dar en elcaso homogeneo. El resultado principal sera una generalizacion del Teorema 5.2 de [CGZ],que extiende la validez del metodo al caso en que la parametrizacion no es genericamenteuno a uno.Esta generalizacion no sale directamente aplicando las mismas herramientas que en el casobihomogeneo ya que, a diferencia de ese caso, aquı el metodo combina planos moviles concuadricas moviles.Como antes, haremos d = 2, y supongamos que I esta fijo. Si det(MS2

I) 6= 0, el nucleo deMQ2, es decir, el espacio de cuadricas moviles que siguen a la superficie, tendra dimensionigual a n2+7n

2.

Tal como en la Seccion 6.3, supongamos queMQ2 = [MS2I , RI ] , donde RI tiene

n(n+1)2

+3ncolumnas.En la demostracion del Teorema 5.2 de [CGZ], se eligen (n2 − n)/2 vectores linealmenteindependiente de una base del nucleo de MQ2 considerando una matriz T de tamano(5n+ 5n2)× (n2 − n)/2 tal que MQ2 · T = 0 con la siguiente estructura:

T :=

T0I

.

Aquı, 0 es un bloque de 4n filas indexado por los monomios si tj xai xb4, (i, j) ∈ I, b ≥ 1,

e I denota la matriz identidad de tamano (n2 − n)/2, indexada por si tj x24 (i, j) /∈ I.

6.4. EL CASO HOMOGENEO 117

Con esta estructura, se puede chequear que

T =

−MS2I−1

· RI

0I

,

donde RI denota un bloque de RI .Debido al Teorema 6.17, el hecho de que det(MS2

I) 6= 0 implica que MP 2I es una matriz

no singular, ası que se pueden encontrar n− 1 planos moviles que siguen a la superficie,linealmente independientes, al resolver el sistema MP · T ′ = 0, donde MP = [MPI , R

′]y

T ′ =

[−MPI

−1 · R′

I

].

Tal como en la seccion anterior, sea T la matriz que se construye reordenando las filas deT con el orden definido en (6.30).Consideremos ademas el siguiente orden:

x1, x2, x3, x4,s (x1, x2, x3, x4) ,s t (x1, x2, x3, x4) ,s t2 (x1, x2, x3, x4) ,

. . .

y sea T′ la matriz que se consigue reordenando las filas de T ′ con ese orden.Sean C ∈ Z [X1, X2, X3, X4]

10 el vector definido en (6.31), y C ′ := (X1, X2, X3, X4).Consideremos ademas las matrices M ∈ Z[X1, X2, X3, X4]

n(n+1)/2×10n(n+1)/2 yM ′ ∈ Z[X1, X2, X3, X4]

n(n+1)/2×4n(n+1)/2 definidas como sigue:

M :=

C C C . . . C0 C C . . . C0 0 C . . . C

. . .

0 0 0 . . . C

,

M ′ :=

C ′ C ′ . . . C ′

0 C ′ . . . C ′

. . .0 0 . . . C ′

.

Sea T la matriz cuadrada de tamano n(n + 1)/2 construida en la demostracion del Teo-rema 5.2 de [CGZ] recolectando todos los coeficientes de estos planos moviles y cuadricasmoviles. La siguiente Proposicion se puede demostrar con las mismas argumentacioneshechas en la Proposicion 6.2:


Proposicion 6.5

det(T)= ± det ([M · T , M ′ · T′]) .

Analogamente, se pueden formular y probar versiones homogeneas de la Proposicion 6.3,el Corolario 6.14 y el Teorema 6.15. Esto conduce a la siguiente proposicion:

Proposicion 6.6 Supongamos que la superficie

(x1x4,x2x4,x3x4

)

no tiene puntos base, y que hay exactamente n planos moviles de grado n−1 que la siguen.Entonces, el metodo de cuadricas moviles calcula una potencia de la ecuacion implıcitade la superficie.

Chapter 7

Calculo de Operadores de Proyeccion

7.1 Operadores de Proyeccion Ralos

7.1.1 Perturbaciones Lineales

Sea A = (A0, . . . ,An), donde Ai ⊂ Zn es un conjunto finito. Supondremos que la unionde estos conjuntos genera el lattice afın Zn. Consideramos un sistema de polinomios deLaurent genericos en n variables x = (x1, . . . , xn) de la manera siguiente:

fi(x) =∑

a∈Ai

cia xa, cia 6= 0, i = 0, 1, . . . , n, (7.1)

Supongamos que tenemos una familia p := (p0(x) . . . , pn(x)) de polinomios de Laurenttales que supp(pi) ⊂ Ai, y

ResA(p0, . . . , pn) 6= 0.

Definicion 7.1 El polinomio caracterıstico generalizado torico asociado con la familia(p0, . . . , pn) (p-GCP) es:

Cp(t) := ResA (f0 − t.p0, . . . , fn − t.pn)

Proposicion 7.1 Cp(t) es un polinomio en t de grado r := grado(ResA(f0, · · ·fn)) (enparticular, no es identicamente cero). Su coeficiente principal es ResA(p0, . . . , pn).

Demostracion. Debido a las homogeneidades de la resultante rala, se tiene que

Cp(t) = ResA(t(1tf0 − p0), . . . , t(

1tfn − pn)

)

= trResA(1tf0 − p0, . . . ,

1tfn − pn

).

Para verificar que

ResA

(1

tf0 − p0, . . . ,

1

tfn − pn

)6= 0,

hacemos y := 1t, y se tiene que ResA (y.f0 − p0, . . . , y.fn − pn) 6= 0 porque al evaluar

en y = 0, se obtiene ResA(p0, . . . , pn) 6= 0. Este es precisamente el coeficiente de tr delpolinomio Cp(t).

119

120 CHAPTER 7. CALCULO DE OPERADORES DE PROYECCION

Ejemplo 7.2 Cuando Ai = x ∈ Nn : x1 + . . . + xn ≤ dn, si hacemos p0 = 1 ypi := xdii , i = 1, . . . , n. Entonces, ResA(1, x

d11 , . . . , x

dnn ) = 1, y Cp(t) es el polinomio

caracterıstico generalizado construido en [Can2].

La u-resultante del sistema f1, . . . , fn es la resultante de estos polinomios respecto de sussoportes, junto con f0 := u0 + u1x1 + · · · + unxn, donde u0, u1, . . . , un son parametrosy A0 = 0, e1, . . . , en. Esta tecnica reduce el problema de encontrar las soluciones delsistema formado por las n ecuaciones a la factorizacion de un determinante [CLO, KL].En esta situacion, podemos relajar significantemente el requerimiento original de queResA(p0, . . . , pn) 6= 0:

Proposicion 7.2 Consideremos la construccion de la u-resultante. Supongamos queResA(f0, p1, . . . , pn) 6= 0. Si hacemos p0 := 0 en la Definicion 7.1, entonces Cp(t) re-sulta ser un polinomio t de grado grado(ResA(f1, . . . , fn))−MV(f1, . . . , fn) (en particularno es identicamente cero). Su coeficiente principal es ResA(f0, p1, . . . , pn).

Demostracion. La demostracion de la Proposicion 7.1 se puede adaptar a este caso, dondeal hacer y := 0 hay que considerar ResA(f0, p1, . . . , pn), que sera no nulo a menos que losparametros ui se especialicen de tal manera que el sistema f0 = p1 = · · · = pn = 0 tengauna solucion.

Ejemplo 7.3 Elijamos p1, . . . , pn con soporte en la familia (A1, . . . ,An) , hacemos p0 := 0y f0 :=

∑a∈A0

ua xa, donde los ua son parametros. Mutatis mutandis la demostracion

de la proposicion previa, se tiene que Cp(t) 6≡ 0 si ResA(f0, p1, . . . , pn) 6= 0 (cf. [MainThm 2.4(1)]Roj). Cuando el sistema pi = 0 tiene finitas soluciones en la compactificaciontorica dada por sus soportes, el polinomio Cp(t) se llama Toric Generalized CharacteristicPolynomial en [Roj].

El proximo teorema establece la propiedad principal de polinomios de la forma Cp(t), y nospermite considerarlos como una generalizacion del clasico GCP cuyas propiedades estancaracterizadas en el teorema 1.16. Comenzamos con n+1 polinomios fi (y1, . . . , ym, x1, . . . , xn)con soporte (vistos como polinomios en Z[y1, · · · , ym]

[x±11 , . . . , x±1

n

]) contenido en Ai.

Sea Z el conjunto algebraico V (f0, . . . , fn) ⊂ Cm × T . Aquı, T es la variedad toricaasociada a la suma de Minkowski de los polıtopos de Newton respectivos. Como T es laclausura de una parametrizacion monomial en un espacio proyectivo PN para algunN ∈ N

[GKZ2], podemos suponer sin perdida de generalidad que Z es una variedad algebraicaen Cm × PN .

Teorema 7.4 Sea W una componente propia de Z, es decir que la dimension de W esm−1. Sea Cp(y1, . . . , ym)(t) el p-GCP de la definicion 7.1. Ordenando Cp(t) en potenciasde t, sea Cp,k(y1, . . . , ym) su coeficiente de menor grado en t distinto de cero, donde k esel exponente de t que acompana a Cp,k. Denotamos la proyeccion sobre las coordenadas yicon πy : C

m × T → Cm. Entonces Cp,k (πy(s)) = 0, para todo s ∈ W.

7.1. OPERADORES DE PROYECCION RALOS 121

Demostracion. Hagamos fi := fi − t.pi, donde t es un nuevo parametro. ConsideremosZ ′ := V (f0, . . . , fn) ⊂ Cm+1 × T . Dado que fi y fi son identicos cuando t = 0, lainterseccion de Z ′ con la hipersuperficie t = 0 es exactamente Z × 0.Debido a las hipotesis hechas sobre la sucesion de soportes A0, . . . ,An al comienzo, lavariedad torica T tiene dimension exactamente n (cf. [Stu2]), y usando la inmersion de Ten PN , se tendra una version torica del lema de la dimension ([Mum, cor. 3.14] o [Can2,lem. 3.1]). Esto implica que cada componente de Z ′ tendra dimension al menos m, o seaque la componente W ′ que contiene a W × 0 debe ser de dimension al menos m.Todo punto de W ′ tiene un entorno m-dimensional cuya interseccion con t = 0 es(m−1)-dimensional, ası que para cada s ∈ W×0 hay una sucesion (sj) ⊂W ′\(W×0)que converge a s. Sea πt la proyeccion sobre la coordenada t. Se tendra πt(sj)

k 6= 0porque hemos elegido nuestros sj con ultima coordenada distinta de cero. Entonces,Cp(πy(q))(πt(q)) = 0 para cualquier punto q ∈ Z ′, y por lo tanto Cp(πy(sj))(πt(sj)) = 0para todo j. Dividiendo este polinomio por πt(sj)

k, obtendremos

Cp,k(πy(sj)) +∑

i>k

(πt(sj))i−kCp,i(πy(sj)) = 0.

Cp,i es un polinomio en las coordenadas de sj, es decir una funcion continua de ellas, y seanula para cualquier sj → s. Luego, tambien es cero en s. Dado que πt(s) = 0, la sumapara i > k se anula, y el teorema queda demostrado.

Definicion 7.5 El coeficiente Cp,k de grado mınimo en t de el p-GCP Cp(t) dado en ladefinicion 7.1 se llama operador de proyeccion. Es un polinomio no nulo en los parametrosy (en general los coeficientes del polinomio), que se anula cuando hay una solucion delsistema especializado (7.1) en alguna componente propia.

7.1.2 Subdivisiones Mixtas y Sistemas con Resultante no Nula

Revisaremos aquı el metodo de las subdivisiones mixtas para calcular la resultante ralacomo un determinante. Esta discusion nos permitira construir una familia de polinomiosralos (p0, . . . , pn) con resultante no nula.Seami := # (Ai) , y hagamosm :=

∑ni=0mi. Para cada ω := (ω0, . . . , ωn) ∈ Rm, ωi ∈ Rmi,

initω(ResA), el termino inicial de ResA(f1, . . . , fn) es un polinomio en los coeficientes def1, . . . , fn (en general, un monomio) [Stu2]. Elegimos un vector ω := (ω0, . . . , ωn) , en elcual cada ωi : Ai → Q, i = 0, . . . , n. Imponemos sobre ω la siguiente condicion:

ωi(a) > 0 para todo a ∈ Ai, i = 0, . . . , n, (7.2)

y supongamos, tal como en [CE2], que ωi es la restriccion de una funcion afın (en lamayorıa de los casos supondremos que es lineal).Consideramos los polıtopos levantados Qi,ω, que son la capsula convexa de

(a, ωi(a)) : a ∈ Ai ⊂ Rn+1,


junto con su suma de Minkowski Qω := Q0,ω + . . . + Qn,ω. Tomando el revestimientosuperior de Qω, obtenemos una descomposicion poliedrica coherente ∆ω de la suma deMinkowski Q := Q0 + . . . + Qn usando la proyeccion natural Rn+1 → Rn de Qω. Esmas, esta proyeccion, restringida al revestimiento superior de Qω, se transforma en unabiyeccion. Supongamos que nuestro ω es suficientemente generico ([CE2, Stu2, Emi3]),entonces tenemos una descomposicion coherente mixta estricta, es decir que cada facetadel revestimiento superior es de la forma

Fω = F0,ω + . . .+ Fn,ω (7.3)

donde Fi,ω es una cara de Qi,ω y n = dim(F0) + . . .+dim(Fn). Esto implica que al menosun sumando tiene dimension cero, o sea que es un vertice. La celda F, (la proyeccion deFω) se dice mixta de tipo i o i-mixta si dimFi = 0, y dimFj > 0, j 6= i. Vamos a usar laconstruccion matricial que se basa en la subdivision mixta que induce ∆ω. Procediendocomo en [CE2], fijamos un vector δ ∈ Qn, y hacemos E := Zn ∩ (δ +Q) . Trabajaremoscon la siguiente

Definicion 7.6 El contenido de fila RC(F ) = (i, a) de una celda F de ∆ω sera un par(i, a) que satisface: si Fω = F0,ω + . . . + Fn,ω es la faceta del revestimiento superior deQω que se proyecta sobre F, sea i el mayor ındice para el cual dim(Fi) = 0, Fi = a.Definimos ademas el contenido de fila de los puntos p ∈ F : p + δ ∈ E como RC(p) =RC(F ).

Para i = 0, . . . , n, hacemos:

Bi := a ∈ Ai : RC(p) = (i, a), p ∈ E.

Ahora definiremos una familia de polinomios con resultante no nula.

Definicion 7.7 Sea λ ∈ C∗ un parametro. Hacemos

pλ,i :=∑

a∈Bi

λωi(a)xa.

La proxima proposicion nos asegura que pλ := (pλ,0, . . . , pλ,n) tiene resultante no nulapara casi todo λ.

Proposicion 7.3 Para todo λ ∈ C∗, excepto finitos valores, se tiene que ResA(pλ) 6= 0.

Demostracion. La forma inicial de ResA(f1, . . . , fn) con respecto a ω es igual al monomio

±n∏

i=0

∏

F i−mixta

cvol(F )iaF

donde F = F0 + . . .+ aF+ . . .+ Fn y vol denota volumen euclıdeo [Stu2, thm 2.1].

7.2. CONSTRUCCION DE LA MATRIZ RESULTANTE 123

Expandiendo ResA(∑

a∈Biλωi(a)xa) como polinomio en λ y usando la condicion (7.2), se

puede verificar facilmanente que su coeficiente principal es ±1, con exponente

n∑

i=0

∑

i−mixedF

ωi(aF ) vol(F ) > 0

luego, ResA(pλ) es un polinomio no nulo en λ ası que fuera de su conjunto (finito) deraıces, ResA(pλ) 6= 0. Hay una condicion determinıstica que garantiza la validez de un λ dado, que es calcularla resultante de pλ.

7.2 Construccion de la Matriz Resultante

En esta seccion mostraremos metodos eficientes para calcular el GCP como determinante(no nulo) de matrices resultantes.Por ejemplo, construyamos la matriz cuadrada Mω,δ := (mp,p′)p,p′∈E donde mp,p′ = cia′ siRC(p) = (i, a) y p − a + a′ = p′. El determinante de esta matriz es genericamente unmultiplo no nulo de ResA [CE2]. Su grado en los coeficientes de fi sera igual al numerode filas que contienen los coeficientes de este polinomio. Por la manera en que hemosdefinido la funcion RC(·), tendremos que el grado del determinante en los coeficientes def0 es gradof0ResA = MV(f1, . . . , fn).

Teorema 7.8 Sea pλ,i tal como en la definicion 7.7. Entonces, para cualquier familiaf0, . . . , fn ∈ C[x1, x

−11 , · · · , xn, x

−1n ] y casi cualquier λ ∈ C∗, se tiene que

detMω,δ (f0 − t.pλ,0, f1 − t.pλ,1, . . . , fn − t.pλ,n)

es un polinomio en t de grado #E (en particular no nulo). Este determinante es igual aCpλ(t) multiplicado por un polinomio en t que no depende de los coeficientes de f0 ni depλ,0, donde Cpλ(t) es el pλ-GCP.

Demostracion. Cualquiera sea el punto q ∈ Q, sea qω su unica preimagen en el reves-timiento superior de Qω. Denotamos con h(q) ∈ R≥0 la distancia (o altura) entre qω y q.Para cualquier vertice a ∈ Qi, h(a) = ωi(a). Tomamos la fila indexada por p en la matrizMω,δ = (mp,q)p,q∈E , donde RC(p) = (i, a), sea θ(p) := h(p)− h(a) y definamos

Mθ := (mθp,q)p,q∈E ,

dondemθp,q := mp,q (fi − t.pλ,i)λ

θ(p). Afirmamos que para cada columna q deMθ, la mayorpotencia de λ que multiplica a t aparece en el elemento de la diagonal. Por construccion,asumiendo RC(q) = (j, b),

mθqq = cjbλ

θ(q) − tλωj(b)+θ(q)

luego, la potencia de λ que multiplica a t tiene exponente igual a h(q). Consideremos otroelemento de la misma columna, digamos mθ

pq en la fila indexada por p, donde suponemos


RC(p) = (i, a): es de la forma cia′λθ(p) + tλωj(a′)+θ(p) o simplemente cia′λ

θ(p). Este ultimono depende de t ası que nos concentraremos en el anterior: su grado en λ es igual ah(a′) + h(p) − h(a), donde a′ + p − a = q. Luego qω y a′ω + pω − aω estan en la mismavertical en Rn+1, pero solamente qω puede estar en el revestimiento superior de Qω por[CE2, lem. 5.5]. Luego, h(q) > h(a′) + h(p)− h(a) y nuestra afirmacion esta demostrada.Es ahora claro que el producto de los terminos principales de los coeficientes de la diagonalde Mθ tiene grado

∑p∈E h(p) en λ, grado #E en t, y coeficiente ±1. Es mas, si RC(p) =

(i, a), detMθ(λ) = detMω,δ(λ)∏

p∈E λh(p)−ωi(a) lo que demuestra la primer parte del

teorema.Debido a [CE2, CLO, Emi3], det(Mω,δ) es un multiplo no nulo de la resultante rala,y contiene el mismo numero de filas indexadas por f0 que la resultante. La segundaafirmacion del teorema se demuestra observando que, para todos los valores de λ fuera deun conjunto finito, Cpλ(t) 6= 0 por las proposiciones 7.3 y 7.1. Cuando f0 = u0 + u1x1 + · · · + unxn con todos los ui indeterminados, cualquier pertur-bacion se puede “absorber” con estas indeterminadas haciendo ui 7→ ui − tλω0(ai) para elcorrespondiente ai. Esto demuestra lo siguiente:

Corolario 7.9 En el caso de la u-resultante de (f1, . . . , fn), f0 se puede tomar sin per-turbar, y el teorema previo vale mutatis mutandis.

Una construccion obvia de pλ consiste en tomar valores aleatorios de λ ∈ C∗. Es posibleevitar valores aleatorios reemplazando t · pλ,i en la perturbacion en lugar de pt,i, si todaslas potencias de λ son positivas. El problema es que, al reemplazar el valor λ por elparametro de perturbacion t, esta construccion hace crecer, en general, el grado de laperturbacion en la matriz resultante, y la complejidad del calculo del polinomio.

Corolario 7.10 Si alguna pequena probabilidad de error es aceptable, entonces los poli-nomios pλ,i no tienen que depender de λ y sus coeficientes se pueden tomar completamentealeatorios. La probabilidad de que esta eleccion sea incorrecta es igual a la probabilidadde que el vector de coeficientes se encuentre en la superficie definida por la anulacion deldeterminante de la matriz de perturbacion.

Sea φ el coeficiente de grado mas bajo en t de detMω,δ(t). Entonces φ es un multiplode Cp,k. Es un polinomio en las indeterminadas ui en el caso de la u-resultante. Porotro lado, si hemos “ocultado” alguna variable xi en el espacio de coeficientes (tal comoen [CLO, Emi3]), φ es un polinomio en xi. Recordar que la variedad del sistema f tienedimension positiva si y solamente la resultante se anula identicamente. Debido al teorema7.4, se tiene que:

Corolario 7.11 El grado de φ en la variable oculta o, en el caso de la u-resultante, encada indeterminada xi, acota el numero de raıces aisladas del sistema especializado.

Podemos delinear entonces el siguiente algoritmo:

7.3. CODIGO Y EXPERIMENTOS 125

1. Construir una matriz resultante usando cualquier algoritmo de los dados en [CE2,Emi3], o en el capıtulo 2 de esta memoria. Si el determinante no es cero, entoncesno hay necesidad de proceder con una perturbacion.

2. Construir los conjuntos Bi y definir los polinomios pλ con coeficientes que son o bienaleatorios (cor. 7.10), o determinısticos.

3. Calcular la matriz perturbada y el coeficiente de grado mas bajo φ de este determi-nante. Por el corolario 7.11, el grado de φ en cualquier ui o en la variable oculta xiacota el numero de raıces aislada

4. En el caso de la u-resultante, la factorizacion de φ(u) contiene todas las raıcesaisladas. De otro modo, si hemos ocultado xi, el conjunto de ceros de φ(xi) contienelas coordenadas i-esimas de todas las raıces aisladas

Observacion 7.12 Si usamos el algoritmo dado en el capıtulo 2 de esta memoria paraconstruir la matriz de Sylvester cuyo determinante es multiplo de la resultante, entoncesse puede verificar facilmente que el p-GCP se puede calcular como un cociente de deter-minantes. En otras palabras, el factor extrano en detMω,δ(fi− t.pλ,i) es el determinantede la submatriz Mnm

ω,δ (fi − t.pλ,i) formada eligiendo aquellas filas y columnas indexadaspor puntos que se encuentren en celdas no mixtas. Esto se puede usar para facilitar elcalculo de la resultante rala de un sistema particular cuando el determinante de la matrizMω,δ es identicamente cero, calculando el primer coeficiente no nulo del p-GCP, tal comoen [Can2].

7.3 Codigo y Experimentos

La perturbacion ha sido implementada enMaple por Ioannis Emiris, y se puede encontraren la siguiente direccion:

www.inria.fr/saga/emiris/soft alg.html

Debajo reportamos aplicaciones especıficas.

Ejemplo 7.13 Consideremos el sistema que aparece en [Stu2, exam. 2.1]:

f0 = α1 + α2x21 x

22 + α3x1 x

32,

f1 = β1 + β2x21 + β3x1 x

22,

f2 = γ1x31 + γ2x1 x2.

Hacemos δ := (0,−1/3), y usamos las siguientes funciones de levantamiento afın:

ω1(a, b) = −a/2− b/4 + 1,ω2(a, b) = 3a− 5b+ 7,ω3(a, b) = 0;


esto producepλ,0 = λ+ x1 x

32,

pλ,1 = λ13x21,pλ,2 = x31 + x1 x2.

Un calculo explıcito muestra que ResA (pλ) = ±λ93. Si tomamos pλ,1 = x21, tendrıamosResA(pλ) = ±λ2. Esta claro que λ = 1 es una buena eleccion, y produce una buenaperturbacion. Tambien podrıamos haber evitado usar λ y, en lugar de ello, perturbar cont2 + tx1 x

32, tx

21, tx

31 + tx1 x2.

Consideremos ahora la especializacion

α1 = β3 = −2, α2 = α3 = γ1 = −γ2 = 1, β1 = u, β2 = 2− u.

El determinante detM(t) es un multiplo escalar de la resultante del sistema perturbado.Calculando explıcitamente la resultante, se ve que el coeficiente constante es cero, y pode-mos concluir que para todo u, la resultante se anulara, ası que la variedad de ceros delsistema tiene dimension positiva. De hecho, contiene la recta (1, 1, u) ≃ C. El coeficientelineal φ(u) tiene la informacion de las 6 proyecciones de las raıces aisladas del sistemasobre el eje u.

Ejemplo 7.14 Consideremos el sistema que aparece en [CE2]:

f0 = c11 + c12x1 x2 + c13x21 x2 + c14x1,

f1 = c21x2 + c22x21 x

22 + c23x

21 x2 + c24x1,

f2 = c31 + c32x2 + c33x1 x2 + c34x1.

Haciendo δ := (−3/8,−1/8), L ≥ l2 > l ≫ 0, y usando las siguientes funciones delevantamiento:

ω0 = (L− l)x1 + (L− l2)x2,ω1 = (L+ l2)x1 + (L+ 1)x2,ω2 = (L− 1)x1 + (L+ l)x2,

tendremos quepλ,0 = 1,

pλ,1 = λ4L+2l2+2x21 x22 + λ3L+2l2+1x21 x2,

pλ,2 = λL+lx2 + λ2L+l−1x1 x2 + λL−1x1;

y

±ResA (pλ) = λ16L+3l2+2 − 2 λ17L+4l2+l+2 + λ18L+5l2+2l.

Observar que λ = 1 es un cero de este polinomio, ası que hay que tomar algun otro valor,por ejemplo λ = 1/b donde b es un entero par. Por supuesto que cualquier valor aleatorioserıa valido con muy alta probabilidad.En el caso especial

f0 = 1 + x1 x2 + x21 x2 + x1,f2 = 1 + x2 + x1 x2 + x1,

7.3. CODIGO Y EXPERIMENTOS 127

la resultante se anula identicamente debido a que la variedad V (f0, f1) tiene dimensionpositiva (esta formada por la union del punto aislado (1,−1) y la recta −1 × C). ConL = 10 y l = 3, se tiene que el coeficiente de t2 en el determinante perturbado es

φ = −(c22c23)(c24 − c21 + c22 − c23)(c24 + c21 − c22 + c23),

y podemos recuperar en los ultimos dos factores el valor de f1 en el cero aislado (1,−1) yel punto (−1,−1) en la componente de dimension positiva.

Ejemplo 7.15 Este ejemplo es considerado en [Roj, sect. 3.2]. Al sistema

1 + 2x− 2x2y − 5xy + x2 + 3x3y = 0,2 + 6x− 6x2y − 11xy + 4x2 + 5x3y = 0,

le agregamos f0 := u1x + u2y + u0, que no necesita ser perturbado por el corolario 7.9.Usamos la funcion spares para construir una matriz de 16 × 16 llamada Mut en losparametros u0, u1, u2, t. El numero de filas por polinomio es, respectivamente, 4, 6, 6,mientras que los volumenes mixtos de los subsistemas 2× 2 son todos iguales a 4.

Mut := spares ([f0,f1,f2], [x,y]):

Dut := det(Mut): # in u0,u1,u2,t

degree (Dut,t); # 12

ldg := ldegree(Dut,t); # 1

phi := primpart(coeff(Dut,t,ldg)):

factor(phi);

Para algunos ω y δ, hemos usado

pλ,1 := −3x2 + x3y,pλ,2 := 2 + 5x2.

El determinante perturbado tiene grado en t igual a 12, y el primer coeficiente no nulo tienegrado 1. φ(ui) produce dos factores, correspondientes a las soluciones aisladas (1/7, 7/4)y (1, 1):

(49 u2 + 4 u1 + 28 u0 ) (u2 + u1 + u0 ) .

Otros dos factores dan puntos sobre la recta −1 × C de soluciones, pero los puntosespecıficos son muy sensibles a la eleccion de ω y δ. Por ejemplo, una tal eleccion produce:

(−u0 + u1 ) (27 u2 + 40 u1 − 40 u0 ) .

En su trabajo, Rojas obtiene una matriz de tamano 17 × 17 cuyo determinante tienegrado 8 y de tal manera que el termino de menor grado es nuevamente lineal en t, aunquedistinto del nuestro.


Ejemplo 7.16 En la implementacion del algoritmo “roadmap” de Canny para el prob-lema del movimiento del robot (cf. [HP]), hay que tratar con varios sistemas degenerados.Examinemos un sistema de 3 × 3 donde, ocultando x3, obtenemos polinomios densos degrados 3, 2, 1:

f0 = 54x13 − 21.6x1

2x2 − 69.12x1x22 + 41.472x2

3 + (50.625 + 75.45x3)x12+

+ (−92.25 + 32.88x3)x1x2 + (−74.592x3 + 41.4)x22+

+(131.25 + 19.04x32 − 168x3)x1 + (−405 + 25.728x3

2 + 126.4x3) x2++(−108.8 x3

2 + 3.75 x3 + 234.375),f1 = −37.725 x1

2 − 16.44 x1x2 + 37.296 x22 + (−38.08x3 + 84)x1+

+ (−63.2− 51.456x3) x2 + (2.304x32 + 217.6x3 − 301.875),

f2 = 15 x1 − 12 x2 + 16 x3.

Nuestra funcion spares produce una perturbacion optima a una matriz singular de tamano14 × 14 cuyas entradas son polinomios en x3. En este caso, detMω,δ(t) es de grado 14y el coeficiente de menor grado tiene grado 2, lo cual provee una cota para el numerode soluciones afines. En este caso, la cota de Bezout y la de Bernstein coinciden y soniguales a 6. Nosotros obtenemos

φ(x3) =

(x3 −

1434

625

)(x3 −

12815703325

21336

),

la primer solucion corresponde a la unica solucion aislada del sistema, mientras que lasegunda es espurea.

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134 BIBLIOGRAPHY

Contents

Introduccion 1

0.1 Formulas para Resultantes Clasicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

0.2 Formulas a la Macaulay para Resultantes Ralas . . . . . . . . . . . . . . . 4

0.3 Formulas Involucrando el Jacobiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

0.4 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

0.4.1 Resultantes y Superficies Moviles (capıtulo 6) . . . . . . . . . . . . 7

0.4.2 Calculo de operadores de Proyeccion Ralos (capıtulo 7) . . . . . . . 8

I FORMULAS 11

1 Formulas a la Macaulay (caso Homogeneo) 13

1.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Formulas a la Macaulay Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3 Estimacion del tamano de Mt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4 Bezoutianos y Residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.6 Algunas Formulas mas Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.6.1 Formula de Macaulay Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.6.2 Polinomio Caracterıstico Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 Formulas a la Macaulay (caso ralo) 31

2.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2 Polinomios Generalizadamente no Mixtos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.1 Construccion de la Matriz M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.2 Formula a la Macaulay Generalizada. . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2.3 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.2.4 Una Revision de las Formulas Clasicas de Macaulay . . . . . . . . . 55

2.3 Formulas a la Macaulay: el Caso General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.3.1 Construccion de la Matriz M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.3.2 Formula a la Macaulay Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.3.3 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

135

136 CONTENTS

3 Resultantes y Determinantes de Complejos 69

4 Formulas Jacobianas 754.1 Jacobianos Toricos y Resultantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.2 El caso n = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.3 Construccion de la Matriz Resultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.4 Algoritmo de Levantamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.5 Subdivision Mixta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.6 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5 Formulas Clasicas 915.1 Polinomios en una Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.2 Formulas de Sylvester para tres Cuadricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.3 Formulaciones con el Jacobiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.4 Formulas de Dixon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

II APLICACIONES 97

6 Implicitacion de Curvas y Superficies Racionales 996.1 Superficies Moviles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.2 El Caso Bihomogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.2.1 Notacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.2.2 Calculo de Resultantes usando Complejos de Koszul . . . . . . . . 1036.2.3 La Relacion entre det(MSd) y det(MP ) . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.3 Cuadricas Moviles y Parametrizacion de Superficies . . . . . . . . . . . . . 1106.4 El Caso homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.4.1 El Metodo de Cuadricas Moviles cuando la Superficie no esta Pro-piamente Parametrizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

7 Calculo de Operadores de Proyeccion 1197.1 Operadores de Proyeccion Ralos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

7.1.1 Perturbaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197.1.2 Subdivisiones Mixtas y Sistemas con Resultante no Nula . . . . . . 121

7.2 Construccion de la Matriz Resultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.3 Codigo y Experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Index

p-GCP, 119–121, 125v-faceta, 38, 59v−diametro, 39

admisible, 61, 63, 65aleatorio, 124–126algoritmo, 2, 5, 6, 8, 9, 14, 34, 47–50, 54–57,

68, 75, 76, 79, 81, 82, 103, 106, 107,124, 125, 128

anillo cociente, 24–26

Bezout, 91, 128base dual, 14bases monomiales, 14–17, 27, 28, 40, 70, 80,

92, 102, 103, 105–107, 109, 114, 115bezoutiano, 4, 6, 15, 24–26, 69, 73, 92, 93bigrado, 99–105, 109, 111–113

calculo, 2, 8, 29, 46, 68, 103, 107, 124–126calculo efectivo, 13capsula convexa, 31, 36, 50, 58, 62, 66, 80,

84, 89, 121cara, 33, 35, 36, 42, 58, 64, 80, 83, 122Cayley, 2, 5, 70, 105celda mixta, 37, 39, 41, 47, 54, 56, 59, 60,

63, 65, 66, 68, 81, 86, 87, 122celda no mixta, 37, 39, 45, 54, 55, 59, 65–67,

85, 86, 125celda primaria, 36, 38–40, 42, 45, 46, 48–50,

52–54, 56, 58–60, 64, 66–68celda secundaria, 36, 37, 39, 40, 42–50, 52,

53, 56, 58, 59, 64–68Charpoly, 29clausura algebraica, 2, 13, 14, 104clausura Zariski, 31coeficiente, 13, 17, 19–21, 26, 28, 29, 31, 32,

37–43, 45, 47, 48, 56, 59, 60, 63–

65, 70, 73, 75, 79, 80, 87, 88, 90, 93,94, 100, 102, 104–106, 109, 114, 115,117, 119–121, 123–128

complejo, v, 3, 4, 6, 69–72, 75, 80, 88, 103–106, 115

complejo de Koszul, 3, 4, 8, 28, 69–71, 79,103, 115

componentes excesivas, 8computacional, algebra, 1

contenido de fila, 37, 39–44, 59, 64, 81, 122convexidad, 43, 82, 85, 88

convexo, polıtopo, 31criterio local-global, 24

cuadricas moviles, 7, 99–101, 110, 113, 116–118

cuerpo algebraicamente cerrado, 18, 31

deformacion, 42, 64descomposicion coherente, 122

descomposicion coherente mixta, 35, 46, 48,58, 61, 80, 122

descomposicion coherente mixta estricta, 36,48, 54, 59, 122

determinıstico, 83, 123, 125determinantal, formula, 3, 4, 26, 33, 69, 72,

73, 91–93determinante, v, 2–9, 15–22, 26–28, 34, 38,

40, 42, 43, 45, 48, 49, 52, 54–57, 60,63, 65–68, 75, 78, 80, 88, 91–94, 108,109, 111, 113, 115, 120, 121, 123–127

determinante de un complejo, v, 6, 8, 28,69–72, 104–106, 115

Dixon, 2, 4, 33, 93dualidad, 24, 25

137

138 INDEX

ecuacion, 1, 2, 7, 13, 18, 41, 56, 76, 92, 99,100, 110, 112, 120

ecuacion implıcita, 7, 99, 100, 111–114, 118eliminacion, 1, 2Euler, 92

faceta, 33, 36, 39, 43–47, 50, 61, 62, 67, 76,78, 80, 81, 84, 122

factor extrano, 3, 5, 6, 8, 22, 26–28, 34, 54–57, 66, 67, 88, 125

familia esencial, 32, 38, 46, 47, 57, 60–62,65, 67

forma inicial, 41–43, 45, 61–65, 88, 121, 122forma meromorfa, 24funciones analıticas, 24

grado, 13–29, 32, 34, 38, 40, 41, 43, 46, 48,55, 56, 60, 61, 63, 65, 69–71, 75, 80,88, 91–95, 99, 100, 105, 106, 112–116, 118–121, 123–125, 127, 128

grado crıtico, 3, 4, 6, 15, 27

hiperplano, 36, 38, 43, 46, 47, 60, 85, 100

ideal, 3, 16, 18, 19, 24, 25, 77, 88implicitacion, v, 2, 7, 110independencia lineal, 116, 117inecuacion, 72, 73, 91interior relativo, 43irreducible, 14, 20, 31, 32, 104, 105, 112–114isomorfismo, 3, 6, 14, 93

jacobiano, 6, 75–79, 87, 90, 92jacobiano torico, 75–78jacobiano torico discreto, 79, 87, 90

lattice, 31, 32, 38, 48, 52, 60, 62, 75, 119levantamiento, 35, 36, 45, 48–50, 53, 54, 56–

59, 80–85, 89, 125, 126

Macaulay, v, 2–6, 13, 14, 17, 19, 23, 26, 27,29, 31, 34, 39, 48, 49, 55–57, 63, 73,92

Macaulay, formulas clasicas de, v, 3–5, 41Macaulay, matriz clasica de, 41

Macaulay, matriz clasica de, 4, 23, 26, 27,29, 61, 73

matriz, 2–9, 14–29, 34, 36–45, 48–50, 52–61,63–68, 70, 71, 73, 75, 79–81, 83, 87,88, 91–94, 102–104, 106–117, 122–125, 127, 128

matriz identidad, 29, 107, 110, 116menor (de una matriz), 3, 5, 6, 17, 19–22,

25, 27–29, 34, 45, 54–57, 66, 68, 70,71, 73, 75, 80, 84, 85, 88, 99, 103,104, 106–109

Minkowski, 35, 36, 46, 54, 58, 59, 77, 80, 81,89, 120, 122

monomio reducido, 56morfismo, v, 4, 15, 17, 40, 41, 69–71, 105,

107multigrado, 45

Newton, polıgono de, 75, 80, 81, 89Newton, polıtopo de, 32, 62, 120

operador de proyeccion, v, 2, 8, 9, 119, 121

parametro, 31, 42, 64, 99, 120–122, 124, 127paralelepıpedo fundamental, 32parte graduada, 25PCG, 29pendiente, 82, 85, 86perturbaciones, v, 9, 119planos moviles, 7, 100–102, 109, 113, 114,

116–118polıgono, 66, 75, 80–83, 86, 88, 89polıtopo, 8, 31–36, 41, 44, 48, 52, 54, 56–58,

60, 62, 63, 76, 78, 87, 120, 121polinomio, v, 1–4, 6–9, 13–18, 20, 22, 24–

29, 31–34, 37, 38, 40–43, 45, 49, 50,52, 55, 59, 60, 64, 68, 69, 71, 75–78, 87–89, 91–94, 100, 102–105, 109,112–115, 119–128

polinomio bihomogeneo, 100, 102, 105, 109,112, 113, 115, 116

polinomio caracterıstico, 29polinomio caracterıstico generalizado, 8, 28,

29, 120

INDEX 139

polinomio caracterıstico generalizado torico,119

polinomio de Laurent, 40, 75, 119polinomio especializado, 13, 40polinomio generico, 8, 13, 26, 27, 31, 34, 39,

55, 68, 69, 75, 76, 91, 93, 102, 104,105, 114, 115, 119, 122

polinomio homogeneo, 2, 13–17, 24, 29, 33,34, 55, 69, 71, 77, 93–95, 100, 112–116

preimagen, 81, 123proyeccion, v, 29, 35, 36, 42, 43, 58, 62, 80,

81, 83, 120–122, 126proyectivo, espacio, 29, 31, 120proyectivo, punto, 113, 114puntos base, v, 7, 110, 112, 113, 118

raız o cero, v, 2, 4, 9, 29, 105, 123–126residuo, 24resultante, 14resultante bihomogenea, 7, 104–106resultante homogenea, 3, 4, 7, 13, 49, 53,

55, 69, 115, 118resultante rala, v, 4, 6, 8, 9, 31, 33, 34, 38,

40, 43, 46, 48, 52, 55, 57, 60, 61, 65,75, 80, 119, 121, 124, 125

resultante rala mixta, 32

semiespacio, 84subdivision mixta, 34, 57, 75, 83, 121, 122subdivision poliedrica, 53, 66, 80, 81, 83, 85submatriz, 3, 5, 15–20, 26–28, 39, 43–45, 49,

54, 63–65, 67, 92, 104, 107, 110, 114,115, 125

subresultante, 3, 19, 28sucesion regular, 3, 16, 25, 70suma de Minkowski, 35, 36, 46, 54, 58, 59,

75, 77, 80, 81, 89, 120, 122superficies moviles, v, 7, 8, 99, 100, 103, 109,

116superficies propiamente parametrizadas, v,

7, 8, 99superficies racionales, v, 7, 100, 102, 103,

109, 112–116

Sylvester, 2–6, 8, 9, 34, 36, 38–40, 43, 48–50, 53, 55, 57, 58, 61, 63, 65, 75, 91,92, 125

triangulacion, 1, 2, 44

vertice, 32, 35, 47, 49, 53, 57, 60, 63, 68, 75,76, 79–86, 88, 122, 123

variedad algebraica, 2, 9, 24, 41, 60, 112,120, 124, 126, 127

variedad proyectiva, 31variedad torica, 34, 120, 121vector normal, 33, 35, 36, 44, 49, 55, 58, 62,

67, 76, 81, 83–85volumen euclıdeo, 32, 122volumen mixto, 32, 47, 62volumen mixto normalizado, 32, 47, 62

Weil, formula de, 24

UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES · Todos ellos han contribuido positivamente a la realizaci´on de este...

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