UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID D epartamento de Fundamentos del Análisis Económico I...
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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de Fundamentos del Análisis Económico I
Introducción a la teoría de juegos
Rafael Salas abril de 2010
Teoría de Juegos
Interacción estratégica entre un reducido número de agentes
Separación del comportamiento competitivoInterdependencia entre sus accionesEjemplo: dupolio, oligopolio, negociación, etc.Aplicaciones fuera de la economía: política, deportes, vidacotidiana
Veamos qué es un juego, qué tipos de juegos existen y cómo se resuelven
Teoría de Juegos
Es una manera formal de tratar situaciones donde aparecen:
Más de un agente o jugadorInteracción entre ellosEstrategia: los agentes son conscientes de elloRacionalidad: los agente persiguen su mejor acción
Veamos sus elementos...
Elementos del juego:
QUIÉN juega. Cuántos jugadores existen
QUÉ juegan. El conjunto de estrategias o acciones posibles
CUÁNDO juegan. Si es simultáneo (estático) o secuencial (dinámico)
QUÉ CONOCEN cuando juegan
CUÁNTO ganan o pierden con sus acciones y las de los otros
Representación del juego:
Forma normal o estratégica:
Se determinan los jugadores, sus estrategias y los pagos de cada jugador para combinación de estrategias
Ejemplo 1: dilema de los presos...
Ejemplo 1: dilema de los presos
En forma estratégica.
Idea de mejor respuesta
.
JUG 2
JUG 1-1
A B
A
B
-1 0
-9
0
-9
-6
-6
Ejemplo 1: dilema de los presos
Mejores respuestas de 1:
.
JUG 2
JUG 1-1
A B
A
B
-1 0
-9
0
-9
-6
-6
Ejemplo 1: dilema de los presos
Mejores respuestas de 1 y de 2:
Este es un juego con estrategias discretas. Véamos un caso con estrategias contínuas...
.
JUG 2
JUG 1-1
A B
A
B
-1 0
-9
0
-9
-6
-6
Ejemplo 2: El modelo de Cournot
QUIÉN juega: Dos empresas, que producen bien homogéneo
P=a-YY=Y1 + Y2
Ci(Yi)=cYi
QUÉ juegan: Cúantas cantidades producen
CUÁNDO juegan. Es una decisión simultánea (estática)
Ejemplo 2: El modelo de Cournot
QUÉ CONOCEN: Al ser un juego simultáneo no conocen las acciones de los otros cuando juegan (información imperfecta).
Si conocen que son racionales (conocimiento de dominio público). Los pagos de ambos...
CUÁNTO ganan o pierden: sus beneficios dependen de las estrategias de los dos (existe interdependencia):
Bi=P(Y)Yi-cYi
Ejemplo 2: El modelo de Cournot
MEJOR RESPUESTA:
MRi=Yi=(a-c-Yj)/2
Concepto de equilibrio:
EQUILIBRIO DE NASH (EN):
Todos los agentes realizan sus mejores respuestas con respecto a las estrategias de los otros
Esas mejores respuestas son compatibles entre sí
Una forma de verlo en la representación normal: observar las celdas donde los pagos están subrayados. Ejemplo 1...
Ejemplo 1: dilema de los presos
Mejores respuestas de 1 y de 2 en rojo:
(B,B) es un equilibrio de Nash con pagos (-6,-6)
.
JUG 2
JUG 1-1
A B
A
B
-1 0
-9
0
-9
-6
-6
Interpretación del EN:
Dado que es un juego simultáneo, ningún jugador sabe realmente lo que el resto va a mover. El EN requiere:
Todos los agentes realizan sus mejores respuestas con respecto a cualquier conjetura, creencia o expectativa sobre las estrategias de los otros
Esas conjeturas resultan ser las correctas en equilibrio
Propiedades del EN:
Dado que los agentes realizan sus mejores respuestas, ningún agente tiene incentivos a desviarse unilateralmente en equilibrio (es una propiedad deseable de la solución de equilibrio)
En el caso de que los jugadores pudieran comunicarse antes del juego: sólo el EN es un acuerdo auto-sostenible. En el caso de llegar a otros acuerdo diferentes, éstos corren el riesgo de ser incumplidos, dado el incentivo que existe a desviarse
Una ventaja: El EN siempre existe, bajo condiciones relativamente amplias
Modelo de Cournot
Dos empresas que producen producto homogéneo, compiten en cantidades a la Cournot. La demanda agregada es P=a-Y, donde Y=Y1+Y2 y los costes Ci=c Yi.
El equilibrio de Cournot es el EN de este juego simultáneo en el que las dos empresas deciden sobre Yi
.
Solución del modelo de Cournot
Solución al sistema simultáneo:
MR1=Y1=((a-c)-Y2)/2
MR2=Y2=((a-c)-Y1)/2
Es: Yi=(a-c)/3, i=1,2
Solución subóptima...
Incentivos a formar un cartel
Solución subóptima, puesto que pueden aumentar los beneficios las dos empresas actuando como un monopolio:
Yi=(a-c)/4, i=1,2
Sin embargo, si llegan e ese acuerdo, existen incentivos a desviarse:
Si Y1=(a-c)/4, MR2= Y2=3(a-c)/8
Es algo parecido al dilema de los presos.
Modelo de Cournot con N empresas
Solución al sistema:
MRi=Yi=((a-c)-Yj)/2, ji, i
Si hay simetría: Yi=Y1= Y2=···= YN
Lo que implicaYi=(a-c)/N+1
Solución del monoplio si N=1, Y=(a-c)/2, y de la competencia perfecta si N (Y=a-c)
Práctica
(1) Modelo de Cournot:
Dos empresas que producen producto homogéneo, compiten en cantidades a la Cournot. La demanda agregada es P=100-X, donde X=X1+X2 y los costes Ci=10 Xi.
Calcula el equilibrio de CournotVerifica los incentivos a formar un Cartel (colusión en un monopolio)Verifica los incentivos a romper ese Cartel (de formarse)Compara la situación con la competitiva
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Práctica
(2) Modelo de Cournot:
Dos empresas que producen producto homogéneo, compiten en cantidades a la Cournot. La demanda agregada es P=100-0,5X, donde X=X1+X2 y los costes C1=5 X1 y C2=0,5 X2
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Calcula el equilibrio de CournotCalcula la solución de colusión en un monopolioCompreba el aumento de beneficiosCompara con la situación competitiva
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Introducción a la teoría de juegos
Rafael Salas abril de 2010