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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE GUERRERO

UNIDAD ACADÉMICA DE INGENIERÍA

PROGRAMA EDUCATIVO: ING. TOPÓGRAFO GEODESTA ACADEMIA DE TOPOGRAFÍA

APUNTES DE

ASTRONOMÍA DE POSICIÓN II

MARTÍN ZÚÑIGA GUTIERREZ

Agosto 2012

Misión de la Unidad Académica

Formación Integral de profesionales de la Ingeniería altamente competitivos en

el mercado laboral, capaces de incidir con visión humanística y alto compromiso social, en el desarrollo regional y nacional, fomentando su

formación permanente y su habilidad para el análisis científico y el desarrollo tecnológico.

Visión de la Unidad Académica

Lograr que la Unidad Académica de Ingeniería consolide su liderazgo académico

en el área tecnológica en la región y hacer de esta institución la mejor de la Universidad Autónoma de Guerrero, y una de las mejores a nivel nacional y que con acciones de mejora continúa, convertirla en una institución altamente

capacitada y competitiva y que en un futuro cercano se pueda insertar eficazmente en el mundo globalizado, logrando la acreditación de sus diferentes Programas Educativos.

Misión del Programa Educativo de Ingeniero Topógrafo Geodesta

Formación integral de profesionales con profundos conocimientos de la Topografía y Geodesia, competitivos en el campo laboral, con participación

amplia en la solución de la problemática de la Ingeniería, con visión humanista y compromiso social, para el desarrollo regional y nacional; comprometido en

su actualización y capacitación permanente, con habilidad para la medición tradicional digitalizada, utilizando el equipo de vanguardia, apegados a la normatividad vigente en la materia.

Visión del Programa Educativo de Ingeniero Topógrafo Geodesta

El programa educativo de Ingeniero Topógrafo Geodesta será de calidad académica, líder en la región para las diferentes Líneas de Generación y

Aplicación del Conocimiento de la Ingeniería Topográfica y Geodésica; una verdadera opción para los jóvenes que deseen ser profesionales con capacidad para planear, proyectar y ejecutar los trabajos de medición, geoposicionamiento

y sistemas de información geográfica; buscando el mejor aprovechamiento de los recursos y la conservación del medio ambiente, en beneficio de la sociedad, coadyuvando así al desarrollo del estado y del país.

Su planta docente contará con el perfil académico adecuado, de tal manera que

se garantice el óptimo desempeño de la relación enseñanza aprendizaje y así lograr la permanencia del estudiante y a la vez una excelente eficiencia terminal.

Tener los Departamentos de Control Escolar, Topografía, Educación Continua,

así como los laboratorios de Geoprocesamiento y Percepción Remota, de Hidráulica, de Cómputo de Licenciatura y de Cómputo Avanzado y la Biblioteca, con el equipamiento necesario y tecnología de vanguardia.

Objetivos del curso

El estudiante aplica los distintos métodos para la corrección del reloj, así como el desarrollo de sus habilidades para la práctica y cálculos en la aplicación de los métodos de observación astronómica, con una actitud de responsabilidad y

trabajo en equipo.

Usa los métodos gráficos y astronómicos, así como las habilidades y destrezas

para la práctica y cálculo de la longitud geográfica de un lugar.

Utiliza los variados métodos de observación astronómica y habilidades para la

práctica y cálculos en la determinación de la latitud geográfica de un lugar.

Conoce y aplica los diferentes métodos astronómicos para la obtención del

azimut verdadero de cualquier línea, con una actitud de responsabilidad y trabajo en equipo.

ÍNDICE

PRIMERA UNIDAD I. DETERMINACIÓN DE LA HORA 1.1 Generalidades 1.2 Corrección de la hora mediante señales emitidas por radio 1.3 Corrección de la hora por comparación del reloj con otro patrón 1.4 Métodos astronómicos

1.4.1 Triángulo astronómico 1.4.2 Método de alturas del sol 1.4.3 Método de alturas iguales del sol 1.4.4 Método de distancias zenitales del sol

1.5 Determinación de la hora por medio de la estrella polar 1.5.1 Angulo horario de la polar 1.5.2 Determinación del estado del reloj

1.6 P r á c t i c a s

1 2 3 4 4 4 8

10 10 12 15

SEGUNDA UNIDAD

2. DETERMINACIÓN DE LA LONGITUD GEOGRÁFICA 2.1 Generalidades 2.2 Determinación de la longitud mediante la transmisión de señales horarias por

radio 2.2.1 Relación entre longitud y hora

2.3 Método gráfico 2.4 Métodos astronómicos

2.4.1 Observaciones al sol 2.4.2 Observaciones a la estrella polar y circumpolares


17 17 18 18 19 19 25

TERCERA UNIDAD 3. DETERMINACIÓN DE LA LATITUD GEOGRÁFICA DE UN LUGAR

3.1 Generalidades 3.2 Método gráfico y expedito

3.3 Cálculo de la latitud por observaciones al sol 3.3.1 Dos posiciones del sol 3.3.2 El sol en cualquier posición

3.4 Por observaciones a la polar 3.4.1 En cualquier posición 3.4.2 En su culminación por el meridiano del lugar


29 30

31 31 34 38 38 39

CUARTA UNIDAD 4. DETERMINACIÓN DEL AZIMUT ASTRONÓMICO DE UNA LÍNEA

4.1 Generalidades 4.2 Por observaciones al sol

4.2.1 Distancias zenitales del sol 4.2.2 Sol en dos posiciones

4.3 Por observaciones a la estrella polar 4.3.1 En función del ángulo horario


42 43 43 48 52 52

B i b l i o g r a f í a

Apuntes de Astronomía de Posición II

“Es detestable esa avaricia espiritual que tienen los que sabiendo algo, no procuran la transmisión de esos conocimientos”

MIGUEL DE UNAMUNO

Introducción

La elaboración de estos apuntes, es con el propósito de apoyar a los estudiantes que cursan la Unidad de Aprendizaje de Astronomía de Posición II del Programa Educativo de Ingeniero Topógrafo Geodesta, que se imparte en esta Unidad Académica de Ingeniería dependiente de la Universidad Autónoma de Guerrero, esperando con esto una motivación adicional en el estudio de los principios teóricos y prácticos para la solución de los problemas que resuelve la Astronomía de Posición, en la determinación de las coordenadas geográficas de

un punto y la orientación verdadera de una línea, siendo esta una Unidad de Aprendizaje fundamental en la formación del Ingeniero Topógrafo Geodesta; generando así los elementos para enfrentar como estudiante y profesionista

integro el uso de la nueva tecnología topográfica.

En ningún momento se pretende que este material sea un trabajo terminado, ya que el propósito fundamental es mejorarlo con las aportaciones y críticas tanto de los profesores como de los estudiantes, logrando tal vez en un

momento de mi trabajo como profesor, la culminación en una obra literaria de envergadura en el estudio de la Ingeniería Topográfica.

Ing. Martín Zúñiga Gutierrez

PROFESOR


ASTRONOMÍA DE POSICIÓN II PRIMERA UNIDAD 1. DETERMINACIÓN DE LA HORA 1.1 GENERALIDADES

La hora en la República Mexicana se rige generalmente por los siguientes husos

horarios, la hora del meridiano 75º, 90º, 105º y 120º.

La hora del meridiano 75º, comprende todo el territorio nacional, salvo lo correspondiente a la hora de los meridianos 90º, 105º y 120º.

La hora del meridiano 90º, comprende los Estados de Baja California Sur, Chihuahua,

Nayarit y Sinaloa.

La hora del meridiano 105º, comprende el Estado de Baja California.

Estas horas se regirán del primer domingo de mayo al ultimo domingo de septiembre de

cada año, salvo en el caso de la hora del meridiano 105º, que será del primer domingo de abril

al ultimo domingo de octubre.

Fuera de este periodo, regirán los husos horarios siguientes:

La hora del meridiano 90º, comprende todo el territorio nacional, salvo lo

correspondiente a la hora de los meridianos 105º y 120º.

La hora del meridiano 105º, comprenderá los Estados de Baja California Sur,

Chihuahua, Nayarit y Sinaloa.

La hora del meridiano 120º, comprenderá el Estado de Baja California.

Para el Estado de Sonora, regirá la hora del meridiano 105º, durante todo el año.

En la Astronomía de Posición, es muy importante que en los trabajos realizados, y sobre

todo en las observaciones astronómicas, contar con la hora correcta en ese momento del lugar,

pues de esto depende en gran parte tener resultados precisos.


El procedimiento para determinar la hora del lugar, consiste en calcular la corrección

del reloj, t, para un momento dado, pues es una casualidad que el reloj marque la hora exacta para ese lugar, pues casi siempre se encuentra con pocos minutos de adelanto o atraso.

1.2 CORRECCIÓN DE LA HORA MEDIANTE SEÑALES EMITIDAS POR RADIO

Si se dispone de un radio receptor de onda corta y lo sintonizamos en la frecuencia

adecuada, de tal manera que logremos escuchar señales de estaciones radiodifusoras, que se

encargan de dar la hora cada cierto horario, con respecto al Meridiano 90º W.G., o bien otra

estación que marque la hora mundial, es decir la hora del Meridiano de Greenwich, y si disponemos de cronometro (reloj) que marque la hora local de ese momento, podemos hacer la

comparación para calcular la corrección t, conociendo la longitud del lugar con respecto al meridiano 90º W.G.

Así pues;

HORA CIVIL LOCAL = HORA MERIDIANO 90º

Donde: (+), para lugares al Este del M90º

(-), para lugares al Oeste del M90º

La diferencia entre la hora civil local y la hora del reloj será el “estado del reloj” o, t.

t = HORA CIVIL LOCAL – HORA DEL RELOJ

A continuación, se enlistan algunas Estaciones Nacionales e Internacionales:

* XEQK 1350 KHz XEQKFM 91.3 MHz WWV 10000 MHz

XBA 6976.8 KHz WWV 2500 MHz WWV 15000 MHz

XETT 9555 KHz WWV 5000 MHz WWV 20000 MHz

* Estación del Observatorio Astronómico Nacional.

Ej. Determine la hora civil local y el estado del reloj, con los datos siguientes:

Longitud del lugar: 0h 45m 02s W de Greenwich El reloj marca las 11h 15m 15s en el momento en que el observador escucha la señal de las 12h.

Sol.

Hora del Meridiano 90º = 12h 00m 00s

Longitud del lugar = - 0h 45m 02s W de G. () HORA RELOJ LOCAL = 11h 14m 58s HORA DEL RELOJ = 11h 15m 15s

Estado del reloj = 17s ; Adelantado

Ej.

Calcular la hora, en tiempo del centro, del paso superior del sol verdadero por el meridiano

de Chilpancingo, Gro., el día 4 de septiembre del 2007. DATOS:

Longitud de Chilpancingo, Gro. = 99º 30’ 03’’ Ecuación del Tiempo: 4/SEP/2007 E = -00m 13s.1 [ E = Hp – 12h ] 5/SEP/2007 E = -00m 33s.2


Sol.

Longitud de Chilpancingo, Gro. = 6h 38m 00s.2

Longitud Meridiano 90º W.G. = 6h 00m 00s

38m 00s.2

E4 - 00m 13s.1 E5 - 00m 33s.2

Dif. 20s.1

El cambio en la ecuación del tiempo, en 24h, es de 20s, luego su variación horaria, por

diferencia de longitud es:

530.24

(0.63339)20.1 SS

Ecuación del tiempo, 4/SEP/02; E = - 00m 13s.1

Corrección por = 0s.53

E, a la Hora del paso del Sol, Chilpancingo = - 00m 13s.63

Luego:

Hora, en tiempo del centro, del paso del Sol por el M90º W.G. = 12h 00m 00s

Corrección por = + 38m 00s.20

Ecuación del tiempo a la hora del paso del Sol por el Meridiano de Chilpancingo =

- 00m 13s.63

Hora, en Tiempo del Centro, del paso del Sol por el Meridiano de

Chilpancingo, Gro. =

12h 37m 46s.57

1.3 CORRECCIÓN DE LA HORA POR COMPARACIÓN DEL RELOJ CON OTRO PATRÓN

Para esto, pueden considerarse los siguientes casos:

a) La comparación de dos cronómetros de tiempo medio.

b) La comparación de un cronómetro de tiempo medio con uno de tiempo sidéreo.

c) La comparación de dos cronómetros de tiempo sidéreo.

En los tres casos se puede hacer la comparación a vista y oído o bien por un cronógrafo,

que registra gráficamente los lapsos de tiempo de ambos cronómetros.

En el primer caso, consiste en apreciar y anotar la indicación de las manecillas de

ambos cronómetros, que corresponde a un mismo instante. Cuando se tiene alguna práctica

puede hacerse esta operación, teniendo la vista fija en uno de ellos y escuchando el otro. La comparación, se repite n veces para promediar los resultados.

En el segundo caso, se hace uso de un cronógrafo, que se encarga de registrar

gráficamente, las interrupciones de ambos cronómetros cada segundo. En este caso se puede

considerar, la comparación de un cronómetro con las señales emitidas por una estación de radio, cuando estas han sido registradas en una hoja de papel, haciendo la transformación de

tiempo sidéreo a tiempo medio o viceversa.

C OS

OSc

TTT

TTT

).(

).)((

00273791

997226960


Para el tercer caso, cuando la comparación es con dos cronómetros de tiempo sidéreo, se presta para hacerlo a oído; llamada de coincidencias, que proporciona resultados muy

precisos. El método se basa en el mismo principio que el vernier, con la diferencia de que el

oído pueda estimar la coincidencia de dos sonidos.

1.4 MÉTODOS ASTRONÓMICOS

La determinación de la hora, en Astronomía de Posición, consiste en el cálculo del ángulo horario H de un astro, en función de los elementos del Triángulo Astronómico que puedan

obtenerse por medio de la observación.

1.4.1 TRIÁNGULO ASTRONÓMICO

El Triángulo Astronómico está formado por el Polo (P), el Zenit (Z) y el Astro (S), que son

los vértices; los tres lados son la Colatitud (90º- φ), la Distancia Zenital (90º - A) y la

Codeclinación (90º - ). Sus ángulos: el Ángulo Horario (H) que corresponde al Polo, el Azimut (Az) que corresponde al Zenit y el Ángulo Paraláctico (Q) que corresponde al Astro.

La mayoría de los problemas de Astronomía de Posición se resuelven con la solución de

este triángulo, del cual algunos elementos se requieren calcular, partiendo de otros de sus mismos elementos que se miden o se determinan con datos del Anuario.

1.4.2 MÉTODOS DE ALTURAS ABSOLUTAS DEL SOL

Este es el método que más se emplea en trabajos ordinarios, pues los elementos que

resuelven el valor de H (ángulo horario), como son la latitud y la altura del sol, se miden al

minuto de aproximación. Recordando: ÁNGULO HORARIO (H) Es la distancia angular medida en horas y sobre el ecuador a partir del meridiano del

lugar hasta encontrar al meridiano que contiene al astro. Se mide hacia el Oeste de 0 a 24h o de 0 a 360º.

Z

P

90º - δ

S

H

180º - Az

Q 90º - A = z

90º-


El valor de H se obtiene, partiendo de la siguiente ley de los cosenos:

cosH cosδ cossenδ sencosz

Donde:

cosδ cos

senδ sencoszcosH

--------------- (1)

Restando de 1 ambos miembros de (1),

cosδ cos

senδ sencosz1cosH1

Pero: H2

12sencosH1 2 ,

cosδ cos

coszsenδ sencosδ cosH

212sen2

Y: δ)cos(senδ sencosδ cos , entonces:

cosδ cos

coszδ)cos(H

212sen2

Siendo: zδ)(2

1sen zδ)(2

12sencoszδ)cos(

Por lo tanto:

cosδ cos

zδ)(2

1sen zδ)(2

12senH

212sen2

cosδ cos

δ)(z2

1sen zδ)(2

1senH

21sen2

--------------- (2)

Agregando 1 a ambos miembros de (1) y haciendo un desarrollo semejante al anterior, se llega:

cosδ cos

δ)(z2

1cos δ)(z2

1cosH

21cos2

--------------- (3)

δ

P’

P

E

E’

H

H


W E

H (+) H (-)

MLUGAR

Dividiendo la (2) entre la (3),

cosδ cos

δz2

1cos δz2

1cos

cosδ cos

δz2

1sen zδ2

1sen

H2

1cos

H2

1sen

2

2

δz2

1cos δz2

1cos

δz2

1sen δz2

1senH

21tan2

--------------- (4)

Haciendo: 2sδz , 2

δzs

Luego;

δs2δz

2δ2sδδ2sδz

δ2sz

s2δz

22s2sδz

2sδz

cosθθ)cos(

--------------- (5)

La fórmula (4) o (5) nos permite calcular el ángulo horario de una estrella o el Sol,

cuya distancia zenital se ha determinado por la observación para una hora cronométrica T.

Para observaciones al Sol, la hora media corregida, en el instante de la observación, se obtiene:

HORA CIVIL LOCAL = 12 + E H +

Donde:

E: Ecuación del tiempo

H: Angulo horario

: Diferencia de longitud

Y,

Lo que se concluye para H,

(+), para observaciones en la tarde

(-), para observaciones por la mañana

zs2δz

zs22z2szz2sδz

z2sδ

z)cos(s s cos

)sen(s δ)sen(sH

21tan2


Trayectoria

aparente

Trayectoria

aparente

D

primera

I

segunda

I

segunda

D

primera

PROCEDIMIENTO DE CAMPO

Para las observaciones en campo, este método recomienda:

1. Estacionar y nivelar cuidadosamente el Tránsito o Teodolito.

2. En posición directa, observar el Sol tangente a los hilos de la retícula, en cuadrantes

diagonalmente opuestos a la trayectoria aparente del mismo, para que al promediar los

ángulos medidos se obtengan los valores como si se hubieran medido al centro.

3. Invertir el telescopio del aparato y repetir las indicaciones anteriores, tomando la

tangencia en el cuadrante opuesto, al del punto anterior. Procurando que el tiempo que

transcurra entre las dos tangencias no exceda como máximo los 5 minutos.

El Sol, no se debe de observar directamente a través del telescopio, salvo cuando se

cuente con algún aditamento solar, que permita observarlo sin correr ningún riesgo

para el ojo humano. La imagen del sol se proyecta sobre una tarjeta, de preferencia

color blanco al realizar las observaciones.

4. Cada par de tangencias constituye una observación, y para tener seguridad en los

resultados, se recomienda realizar una serie cuando menos de tres observaciones.

Para registrar los datos de campo en forma ordenada se recomienda el siguiente

FORMATO: REGISTRO DE CAMPO DE UNA OBSERVACIÓN ASTRONÓMICA

MÉTODO________________________________LATITUD_____________LONGITUD_______________

LUGAR___________________________________FECHA_______________REFERENCIA___________

OBSERVÓ____________________________________________APARATO_________________________ ESTRELLA_____________TEMPERATURA_____________P. BAROMÉTRICA___________________

EST P.V. POSICIÓN C. HORIZONTAL C. VERTICAL HORA DE OBSERVACIÓN


Práctica No. 1

Realizar la observación Astronómica respectiva.

Ej.

CÁLCULO DEL ESTADO DEL RELOJ (t) POR ALTURAS ABSOLUTAS DEL SOL. Fecha: 18 de Octubre de 2006. Lugar: Edificio 3 UAIngeniería, C.U. Chilpancingo, Gro. φ=17° 32’ 09” λ=99° 29’ 44” Aparato: Wild T2 Aproximación: 01” Temperatura: 27°C Presión Atmosférica: 675.8 mm/hg Observó: Ing. Martín Zúñiga Gutierrez

O B S E R V A C I O N E S HORA ANG. VERT.

D 15h 25m 36s.0 49° 18’ 05”.60 I 15h 27m 34s.0 48° 23’ 40”.50

SUMAS 30h 53m 10s.0 97° 41’ 46”.10 PROMEDIOS 15h 26m 35s.0 48° 50’ 53”.05 = A’

CÁLCULOS:

DISTANCIA ZENITAL REAL Distancia Zenital Aparente Z’= 41° 09’ 06”.95

Refracción R= rt :

r = 60.6” Tan Z’ ; t = 1/(1+0.004 T’) ; = P/762

42”.39

Paralaje P = 8’’.8 sen Z’ 05”.79 Distancia Zenital Real ( Z ´ + R - P ) Z= 41° 09’ 43”.55

CÁLCULO DE LA DECLINACIÓN Promedio general de la hora de observación 15h 26m 35s.0 Hora del paso del sol por el m 90º W. G. - 11h 45m 17s.0

Intervalo en horas = 3h.688333 Variación horaria en declinación (vhδ) (x) 54”.40

Corrección (intervalo x vhδ ) = 03’ 20”.65 Declinación del sol a la Hp M90° (+) = -09° 34’ 31”.30 Declinación del sol a la hora de observación, δ -09° 31’ 10”.65

CÁLCULO DEL ÁNGULO HORARIO FÓRMULA : tan 2 ½ H = sen (S - δ) sen (S - φ) / cos S cos (S-Z)

(S - δ)= 34° 06’ 31”.60 Log sen 9.748782

(S - φ)= 07° 03’ 11”.95 Log sen 9.089173

S= 24° 35’ 20”.95 Colog cos 0.041286 (S - Z)= -16° 34’ 22”.60 Colog cos 0.018427

2 log tan ½ H - 1.102332

log tan ½ H -0.551166

tan ½ H 0.281083

½ H 15° 41’ 59”.1

ÁNGULO HORARIO DEL ASTRO H = 31° 23’ 58”.2 H =(+) 2h 05m 35s.88

Hora del paso del sol por el m 90º W. G. 11h 45m 17s.0 Diferencia de longitud Δλ 37m 58s.93

+ 01 hora por horario económico 01h HORA CIVIL LOCAL 15h 28m 52s.01

∆T = Hora civil local – Hora promedio de la observación 02m 17s.01

Por lo tanto el reloj está atrasado con 02m 17s.01

1.4.3 MÉTODO DE ALTURAS IGUALES DEL SOL


Este método consiste en observar el Sol a la misma altura, antes y después del medio

día. Para esto, entre las 8h y 11h se dirige el telescopio del aparato al Sol, anotando las horas en

los instantes en que el borde superior sea tangente a uno de los hilos horizontales de la

retícula, esperando a que el otro borde sea tangente al mismo hilo. Esta operación se repite para todos los hilos de la retícula, sin hacer variar la altura del telescopio.

Después del medio día se espera la entrada del sol al campo del telescopio; y se vuelve a

observar la tangencia de los bordes del Sol en la misma forma que en la mañana. Se pueden

realizar varias series de observaciones para diferentes alturas.

La corrección del reloj por este método se obtiene:

)T'(T2

1Pc

Donde:

c: Corrección del reloj

P: Hora del paso del Sol verdadero por el meridiano )12( E

T: Promedio de horas de observación de la mañana

T’: Promedio de las horas de observación de la tarde

También podemos hacer:

)T'(T2

1E12c

Siendo:

E: Ecuación del tiempo

El formato del REGISTRO DE CAMPO que se recomienda, es:

MÉTODO ALTURAS IGUALES DEL SOL OBSERVÓ C. Y. CASTILLO AVILA . LUGAR CU Ingeniería Edif. 1 Chilpo. Gro. FECHA 17/Sept./2007 APARATO WILD T2 .

ANTES DEL MEDIO DÍA DESPUÉS DEL MEDIO DÍA

HILO BORDE

SUPERIOR

BORDE INFERIOR BORDE SUPERIOR BORDE INFERIOR

SUP. 11h 17m 09s 11h 14m 50s 15h 50m 10s 15h 52m 20s

MED. 11h 18m 27s 11h 16m 10s 15h 17m 50s 15h 51m 02s

INF. 11h 19m 47s 11h 17m 25s 15h 47m 45s 15h 49m 55s

PROMEDIOS 11h 17m 18s 15h 50m 00.33s

PROMEDIO 13h 33m 39s.17

- 1h Por horario económico - 01h

Promedio 12h 33m 39s.17

Hora del paso del sol por el M90 W.G. 11h 55m 14s.90

diferencia 38m 24s.27

Diferencia de longitud Δλ 37m 58s.93

Estado del reloj, ∆T 25s.34

Nota: Este ∆T es solo aproximada, pues la influencia del cambio de declinación del sol en sus

dos posiciones, hace aumentar la este valor. Por lo tanto, para determinaciones no muy

precisas, con el promedio de las horas de observación, es suficiente.


Práctica No. 2 Realizar la observación Astronómica respectiva.

1.4.4 MÉTODO DE DISTANCIAS ZENITALES DEL SOL

Este método es el más utilizado, es semejante al método de alturas absolutas del Sol, la

diferencia radica en que en este, se toman distancias zenitales en lugar de alturas, que para el

caso da lo mismo.

Se emplea para trabajos ordinarios y consiste en observar el Sol en un momento

cualquiera. El tiempo más apropiado para la observación es de 8 a 10 de la mañana o de 14 a

16 horas de la tarde. Se toma la hora y la lectura de la distancia zenital (circulo vertical) al

momento de la observación.

Con estos datos y los tomados del Anuario Astronómico Nacional, como la Declinación y

la Latitud del Lugar, se procede a calcular el Ángulo Horario del Sol (H), aplicando la formula:

δ)(z 21cos δ)(z 2

1cos

δ)(z 21sen δ)(z 2

1senH2

1tan

Donde:

z: distancia zenital [ Az º90 ]

: latitud del lugar

: declinación del Sol

Posteriormente se calcula la Hora civil local en el instante que se hizo la observación,

teniendo:

Siendo T, el estado del reloj:

El formato del REGISTRO DE CAMPO, es semejante al del método anterior; ahora, es

claro que cuando se trata de corregir la hora, no es necesario tener definida una línea ya que

solamente se necesita un punto.

Práctica No. 3


1.5 DETERMINACIÓN DE LA HORA POR MEDIO DE LA ESTRELLA POLAR Si un polo se pudiera ver como un punto definido en el cielo, marcado por una estrella,

una orientación solo necesitaría de una simple observación. Como ningún polo esta definido así, las observaciones deben realizarse a las estrellas, de preferencia a las circumpolares o

cerca al Polo, cuyos radios de rotación y posiciones en tiempos dados se indican en el Anuario

Astronómico Nacional.

Si la distancia polar de una estrella es menor que la latitud de la posición del observador, esa estrella nunca se ocultaría; es decir, el astro nunca se moverá debajo del plano

T = HORA CIVIL LOCAL – HORA DEL RELOJ

HORA CIVIL LOCAL = 12h + E H + λ


Horizonte

EST.

H

POLAR Meridiano local

CÍRCULO DE

DECLINACIÓN

A

OSA MAYOR

Apuntadoras

POLARIS

CASIOPEA

PN

Dubhe

Apuntadoras

Merak

del horizonte y siempre será visible por las noches. Estas estrellas se llaman

CIRCUMPOLARES.

La estrella brillante más cercana al Polo es la ESTRELLA POLAR que forma parte de la constelación de la Osa Menor, llamada también “el Pequeño Cazo”.

La ESTRELLA POLAR se identifica hallando primero la constelación de la Osa Mayor (o

el “Gran Cazo”). Las dos estrellas más alejadas del mango del “cazo” reciben el nombre de apuntadoras de la Polar (Dubhe y Merak). La Polar es la siguiente estrella más brillante a lo

largo de la línea que pasa por las Apuntadoras de la Osa Mayor, y también está sobre la línea

definida por la estrella extrema del mango del Gran Cazo y la estrella más a la izquierda de

Casiopea, cuando se mira ésta como una W.


MERIDIANO DEL LUGAR

P

T

E

E’ ángulo horario H

POLARIS

circulo horario

1.5.1 ÁNGULO HORARIO DE LA POLAR El ÁNGULO HORARIO DE LA POLAR, como el de cualquier astro, es el ÁNGULO que

forma el círculo horario del astro con el meridiano del lugar.

En general, lo que se requiere es conocer el ángulo horario de una estrella (POLAR) en el

momento que se realicen las observaciones, para la solución de los problemas de Astronomía de

Posición.

El ángulo horario de la Polar se calcula aplicando la formula:

Donde:

H: ángulo horario de la Polar, en horas siderales,

T: hora de la observación, expresada en Hora del Centro, Hp: hora del paso de la Polar por el meridiano 90º W.G.,

: diferencia de longitud.

T - (Hp ), está dado en horas solares medias y como 6 horas solares medias equivalen a 6 horas 1 minuto siderales, para que el ángulo horario resulte en horas siderales

habrá que agregarle un minuto por cada 6 horas solares medias, por lo tanto el resultado de6

1

[T - (HP )] en la fórmula anterior, se toma como minutos.

Si se usa la hora local T’, entonces:

Si el ángulo horario resulta negativo significa que la Polar esta al oriente del meridiano;

para tener su valor positivo se debe calcular la hora del paso de la Polar por el meridiano para el día anterior y sumarle 24 horas a la hora de observación.

H = T- (Hp ) + 6

1 [T - (Hp )]

H = T’ - Hp + 61 (T’ - Hp)


W __ 6

POLAR

Meridiano del lugar

H

0 24

12

18 __ E

H

PROCEDIMIENTO DE CAMPO.

Para las observaciones de campo con la ESTRELLA POLAR, se recomienda:

1. Centrar y nivelar el Teodolito o la Estación Total, en el punto a referenciar,

2. Se ponen en coincidencia los ceros del limbo horizontal y su vernier (micrómetro) y con

el movimiento general se dirige el anteojo a visar el otro extremo de la línea, fijando

dicho movimiento,

3. Se suelta el movimiento particular y se visa la Polar; suponemos que se han preparado

los elementos para la observación; y cuando está perfectamente en el centro, se toma la hora aproximada al minuto, se leen los ángulos vertical y horizontal. Se recomienda

iluminar la retícula, ya que generalmente las observaciones a la Polar se realizan por las

noches,

4. Se da rápidamente vuelta de campana, quedando el anteojo en posición inversa, visando otra vez la estrella Polar; se vuelve a tomar la hora, el ángulo vertical y el ángulo

horizontal,

5. Se visa de nuevo la señal con el anteojo en posición inversa, comprobando que la

observación fue bien hecha, dado que el círculo horizontal deberá marcar 180º.

Se procura que entre la posición directa e inversa no halla un lapso de tiempo de más de

tres minutos, y para tener mayor seguridad en los resultados, se recomiendan hacer cuando

menos tres series de observaciones.

PREPARACIÓN DE LA OBSERVACIÓN.

Para las observaciones a las Estrellas (Polar), es recomendable preparar los elementos

necesarios, ya que de esta manera, será más sencillo ubicarlas y seguirlas en el campo del

anteojo del instrumento, con relación al tiempo y al movimiento denotado en el limbo

horizontal. Ej.

Con los siguientes datos de la Polar, analizar su comportamiento para un momento dado

de la observación.


32’ POLAR

RETÍCULA

PN

P

A = - P

POLAR

PASO SUPERIOR

HORIZONTE

6h

Fecha: 25/Septiembre/2007 Del Anuario 2007, página 169:

= 2h 41m 23s ……………Ascensión recta

= 89º 17’ 47.”6 P = 0º 42’ 12.”4 ……………Distancia Polar

De los datos, podemos obtener la siguiente relación:

6h ______ 42’ 12.”40

1h ______ 7’ 02”.07

6m ______ 42”.21 recomendando este tiempo, como máximo entre la observación directa e inversa

PROBLEMA

Determinar la hora en que la Estrella Polar pasa por el meridiano de Chilpancingo, Gro., el día 7 de Octubre del 2007.

Datos:

Del Anuario,

= 2h 41m 38s

= 89º 17’ 51.”5 = 17º 33’ 10”

= 99º 30’ 03”

Sol.

Sabemos que: Ts = H + y como se requiere la Hora del paso por el meridiano local, Chilpancingo, en este momento el

ángulo Horario es igual a cero, o sea:

H = 0

Por lo tanto:

Ts =

coordenadas


POLAR

HORIZONTE

MERIDIANO LOCAL

CHILPO. GRO.

CULMINACIÓN INFERIOR

CULMINACIÓN SUPERIOR

MÁXIMA

ELONGACIÓN PN

TS

E W 90 -

CIRCULO DE

DECLINACIÓN

Entonces:

Ts = = 2h 41m 38s Calculando el Tc local;

2696)Δλ)(0.9972T(TT OSc

luego:

HORA DEL PASO POR

CHILPANCINGO, GRO.

REGISTRO DE CAMPO

Para las anotaciones de los datos de campo en forma ordenada, se recomienda el formato:

MÉTODO_____________________________________ LUGAR _________________________________

OBSERVÓ_____________________________ANOTÓ____________________ FECHA _____________

LATITUD__________________LONGITUD__________________P_______________T_______________

SERIE EST P.V. C. VERTICAL C. HORIZONTAL HORA DE OBS.

1

D

I

Señal

Polar

Polar

Señal

1.5.2. DETERMINACIÓN DEL ESTADO DEL RELOJ.

Este se determina de la misma manera que los métodos de observaciones al Sol, o sea:

Donde la Hora Civil Local se obtiene: Ej.

Calcular el ángulo horario de la Estrella POLAR, en la Ciudad de Chilpancingo, Gro. El

punto está ubicado en la Unidad Académica de Ingeniería, de la UAGro en Ciudad Universitaria.

Ts = 2h 41m 38s

-To = 1h 02m 02s.8

+ = 38m 00s.2

2h 17m 35s.4 Tc = 2h 17m 12s.51

T = HORA CIVIL LOCAL – HORA DEL RELOJ

HORA CIVIL LOCAL=H –a+Δl


DATOS:

MÉTODO La Polar, en cualquier momento LUGAR Chilpancingo, Gro. Cd. Univers.

OBSERVÓ M. Zúñiga G. ANOTÓ M. Z. G. FECHA 19/Noviembre/1989

LATITUD 17º 33’ 10” LONGITUD 99º 30’ 03” P 655.7 mm/Hg T 20º.7


1

D

I

Señal

Polar

Polar

Señal

72º 01’ 11”.35

72º 00’ 15”.65

19h 09m 01s.5

19h 15m 17s.0

PROMEDIOS 72° 00’ 43”.5 19h 12m 09s.25

Del Anuario 1989,

Sol.

HORA PROMEDIO DE OBSERVACIÓN 19h 12m 09s.25

DIFERENCIA DE LONGITUD 38m 00s.20

T (HORA DEL CENTRO) 19h 50m 09s.45

Hp (HORA DEL PASO M 90º W.G.) 22h 27m 00s.00

+ 38m 00s.20

Hp + 23h 05m 00s.20

T- (Hp + ) - 3h 14m 50s.75

+ 24h

20h 45m 09s.25

6

1 [ T - (Hp )] 3m 27s.52

ÁNGULO HORARIO DE LA POLAR H 20h 48m 37s.17

ASCENSIÓN RECTA DE LA POLAR - 2h 21m 04s.30

HORA DEL M 90° W.G. 18h 27m 33s.17

DIFERENCIA DE LONGITUD 38m 00s.20 HORA CIVIL LOCAL 19h 05m 33s.37

HORA PROMEDIO DE OBSERVACIÓN 19h 12m 09s.25 ESTADO DEL RELOJ ∆T 06m 35s.88

Ahora, aplicando la hora local para obtener el ángulo horario;

T’ 19h 12m 09s.25

Hp 22h 27m 00s.00

- 3h 14m 50s.75

T’ - Hp 20h 45m 09s.25

61 ( T’ - Hp )

3m 27s.52

H 20h 48m 37s.17

Otra forma de calcular el ángulo Horario, H;

Ts = H + ;

DECLINACIÓN DE LA POLAR A SU PASO POR

EL MERIDIANO 90 W. G.

+ 89º 13’ 11”.7

ASCENSIÓN RECTA DE LA POLAR 2h 21m 04s.3

H = Ts -


Nota:

Se deja al estudiante, la obtención del ángulo Horario por este procedimiento.

Práctica No. 4



Z

LONGITUD

PN

PS

W E CHILPO.

LATITUD

MERIDIANO

CHILPO

MERIDIANO

90º W. G. MERIDIANO

DE GREENWICH

99º 30’ 03’’

O

: DIFERENCIA DE LONGITUDES

MERIDIANO DE

GREENWICH

90º

SEGUNDA UNIDAD

2. DETERMINACIÓN DE LA LONGITUD GEOGRÁFICA 2.1 GENERALIDADES

La LONGITUD GEOGRÁFICA de un lugar situado en la superficie terrestre, es el

ángulo que forman el meridiano del lugar y el meridiano de origen o de Greenwich, se designa

como , y puede medirse en tiempo de 0h a 24h o también en arco de 0º a 360º, hacia el oeste.

Además, se llama DIFERENCIA DE LONGITUD, al ángulo que forman dos meridianos

terrestres que pasan por lugares distintos, medidos en tiempo o en unidades de arco.

La dirección de la plomada libremente suspendida es una perpendicular al plano

horizontal del lugar y es una vertical del lugar. Un plano paralelo al eje de rotación y que

contiene esa vertical del lugar es un meridiano astronómico, y las longitudes medidas con

estos meridianos son las longitudes astronómicas. No todas las verticales cortan al eje de rotación de la Tierra; por lo tanto los meridianos astronómicos no siempre contienen al eje de

rotación de la Tierra.

La LONGITUD que se obtiene directamente de la observación es astronómica, pero la

diferencia entre las longitudes astronómica y geográfica es muy pequeña y apenas llega a 2.3

segundos de ángulo. La vertical del lugar no siempre corta al eje de rotación de la Tierra debido a la desigual distribución de la densidad de los estratos.

La diferencia de tiempos locales, como ya se analizó, se mide en tiempos solar medio y

sidéreo. La DIFERENCIA DE LONGITUDES no es más que la diferencia de tiempos locales en

un instante dado, y se expresa en ángulos o en tiempo.

2.2 DETERMINACIÓN DE LA LONGITUD MEDIANTE LA TRANSMISIÓN DE SEÑALES HORARIAS POR RADIO

Para la determinación de la longitud por este procedimiento, consiste en términos

generales a lo estudiado anteriormente para la determinación de la hora, disponer de un

receptor y sintonizar las frecuencias que nos den señales horarias de tiempo y diferentes

sistemas.


120º ó 8h

15m

0º 30’

5h 0h 02m

120º 30’ 120º W 90º W 0º

5:00 PM

M. LOCAL PACÍFICO

ECUACIÓN

TIEMPO G

MEDIODIA TIEMPO

CIVIL

5:15 PM

11:00 AM 9:00 AM 8:58 AM

9:13 AM TIEMPO

APARENTE MEDIODÍA

MEDIO

SOLAR SOL

APARENTE

17º 51’

17º 40’

17º 30’

99º 40’ 99º 35’ 99º 30’

CHILPO. GRO.

99º 25’ 99º 20’

2.2.1 RELACIÓN ENTRE LONGITUD Y HORA

El tiempo que comúnmente medimos es el civil (sol medio) teniendo como referencia el

Meridiano de Greenwich, aunque para la determinación de la longitud, no es forzoso

compararlo con el tiempo local de Greenwich, sino con el local de algún punto cuya longitud se conoce. Para nuestro caso puede ser el Meridiano 90º, 105º, 115º y 120º, que son los que

rigen en la República Mexicana.

Esta relación se usa para determinar la DIFERENCIA DE LONGITUDES cuando se conoce la diferencia de horas o viceversa.

2.3 MÉTODO GRÁFICO

La determinación de la LONGITUD de un lugar por este método, es quizás el más

práctico y el más rápido para conocer esta coordenada.

Para esto se necesita una Carta Cartográfica en la cual se ubique el lugar cuya LONGITUD desea conocer, esta carta es un mapa detallado, conteniendo información como el

trazado de meridianos y paralelos con las anotaciones de LONGITUD y latitud,

respectivamente.

Como el Sol aparentemente hace una revolución completa (360º) alrededor

de la Tierra en un día solar (24h), y como las longitudes de la Tierra varían de 0º a

360º, se deduce que en una hora el Sol aparentemente recorre,

.º1524

º360deLONGITUD


mM

MM

12 , M

MMm

)( 12

Siendo:

Donde:

: Longitud del lugar

Práctica No. 5 Determinar la longitud por este método.

2.4 MÉTODOS ASTRONÓMICOS

La determinación de la LONGITUD por métodos astronómicos, según la importancia

del punto por situar, se clasifican:

1. Determinaciones de exploración. En estas, se acepta un error probable, máximo de

0s.07 o sea, 01’ de arco. Métodos: Alturas o distancias zenitales del Sol o de

Estrellas, alturas iguales, empleando un Teodolito de 01’ de aproximación

2. Determinaciones semiprecisas. En estas la tolerancia es de 0s.02 o sea 0”.3. Métodos: Alturas iguales de Estrellas y el tiempo tomado con más precisión

3. Determinaciones precisas. La tolerancia es de 0s.007 que corresponde a 0”.1. Métodos: Observación de 4 Estrellas de tiempo; dos al Norte y dos al Sur del Zenit,

Teodolito Wild T2; tiempo con precisión mínima de 0s.005

2.4.1 OBSERVACIONES AL SOL

DISTANCIAS ZENITALES ABSOLUTAS DEL SOL Este método, es el más comúnmente usado para trabajos ordinarios y consiste en

observar el Sol en un momento cualquiera. Se toman en cuenta las indicaciones dadas

anteriormente, para la observación del Astro, en la obtención del T.

Con los datos obtenidos como la Altura (A) o la distancia Zenital (Z), la Declinación ()

y la Latitud del lugar (), se procede a calcular el Angulo Horario, aplicando cualesquiera de las fórmulas:

= M1 +

PROCEDIMIENTO

Con un escalímetro, se mide de meridiano a meridiano, denominando a esa

distancia M, que corresponde a la ubicación de dos meridianos consecutivos, M1 y M2; posteriormente se toma la distancia de M1 (M2) al lugar o punto cuya

LONGITUD se desea conocer, resultando:


M. LOCAL

M 90º W.G.

HO

H

SOL CIRCULO DE DECLINACIÓN

DEL SOL

Por otra parte, se tiene la Hora de Observación en Tiempo del Meridiano 90º W.G., así

que la diferencia de estas dos horas , será la LONGITUD del lugar, con respecto al mismo

Meridiano 90º W.G.

Ó,

A este método, se le conoce también como: DIFERENCIA DE ÁNGULOS HORARIOS.

Una vez determinado el Ángulo Horario Local (A.H.L.) y transformado en horas, se suma o se resta a la hora del paso del Sol por el Meridiano 90º W.G., obteniendo la

Hora de observación en Tiempo Local (A.H.L.)

coscos

zsenzsenHsen 2

12

1

212

coscos

zcoszcosHcos 2

12

1

212

zcoszcos

zsenzsenHtan

21

21

21

21

212

= HORA LOCAL DE OBSERVACIÓN – HORA DE OBSERVACIÓN

= Hl – Ho


Ej.

Con los datos del siguiente REGISTRO DE CAMPO, calcular la LONGITUD del lugar.

MÉTODO Distancias zenitales del Sol LUGAR U.A. de Ing. C. U. Chilpancingo, Gro .

OBSERVÓ M. Zúñiga G. ANOTÓ M. Z. G. FECHA 18/Octubre/2006 . LATITUD 17º 32’ 09” LONGITUD 99º 29’ 44” P 675.8 mm/Hg T 27 °C


1

D

I

Señal

Sol

Sol Señal

49° 18’ 05”.60 48° 23’ 40”.50

15h 25m 36s.0 15h 27m 34s.0

Elaborar el cálculo, de manera conjunta con los estudiantes.

Nota:

El cálculo de la LONGITUD de un lugar por este procedimiento, no se recomienda

cuando dicho valor se requiere con precisión, ya que:

01s de error = 15” = 450 m

Ej. CÁLCULO DE LA LONGITUD DEL LUGAR POR DISTANCIAS ZENITALES DEL SOL. Fecha: 18 de Octubre de 2006. Aparato: WILD T2 Aproximación: 01”

Sol. De los datos del cálculo de la hora y resumiendo, se tiene:

O B S E R V A C I O N E S HORA ANG. VERT.

D 15h 25m 36s.0 49° 18’ 05”.60 I 15h 27m 34s.0 48° 23’ 40”.50

SUMAS 30h 53m 10s.0 97° 41’ 46”.10 PROMEDIOS 15h 26m 35s.0 48° 50’ 53”.05 = A’ Hora correg. 15h 28m 52s.01

CÁLCULOS:


Refracción R= rt :

r = 60.6” Tan Z’ ; t = 1/(1+0.004 T’) ; = P/762

42”.39


CÁLCULO DE LA DECLINACION Promedio general de la hora de observación corregida 15h 28m 52s.01

Hora del paso del sol por el m 90º W. G. - 11h 45m 17s.00 Intervalo en horas = 3h.726392 Variación horaria en declinación (vhδ) (x) 54”.40

Corrección (intervalo x vhδ) = 03’ 22”.72 Declinación del sol a la Hp M90° (+) = -09° 34’ 31”.30

Declinación del sol a la hora de observación, δ -09° 31’ 08”.58


Z

Segunda visual, 20 minutos después

Primera visual

Posición del Sol

Promedio

CALCULO DEL ÁNGULO HORARIO FÓRMULA : tan 2 ½ H = sen (S - δ) sen (S – φ) / cos S cos (S-Z)

(S - δ)= 34° 06’ 30”.57 Log sen 9.748778

(S - φ)= 07° 03’ 12”.99 Log sen 9.089191

S= 24° 35’ 21”.99 Colog cos 0.041287

(S - Z)= -16° 34’ 21”.56 Colog cos 0.018426 2 log tan ½ H - 1.102318

log tan ½ H - 0.551159

tan ½ H 0.281087

½ H 15° 41’ 59”.97

ÁNGULO HORARIO DEL ASTRO H = 31° 23’ 59”.94

H = 2h 05m 36s.0O CÁLCULO DE LA DIFERENCIA DE LONGITUD

H =(+) 2h 05m 36s.0

Hora del paso del sol por el m 90º W. G. ----------------------- 11h 45m 17s.0 ANGULO HORARIO LOCAL AHL 13h 50m 53s.0

+ 01 HORA POR HORARIO ECONÓMICO --------------------- 01h

(-) HORA DE OBSERVACIÓN, CORREGIDA POR ∆T 15h 28m 52s.01 DIFERENCIA DE LONGITUD Δλ 37m 59s.01

Práctica No. 6

Realizar la observación Astronómica respectiva. OBSERVACIÓN DEL SOL EN DOS POSICIONES

Conocido también como el MÉTODO DE EXPLORACIÓN, y consiste en observar al Sol,

en un intervalo de tiempo de 20 a 30 minutos entre dos series consecutivas.

Las recomendaciones para observar el Sol, se han indicado anteriormente, la

diferencia radica en el tiempo de una serie a otra, entre los diferentes métodos de observaciones al Sol.

Ej.

Con los datos del registro de campo, como resultado de observar el SOL EN DOS

POSICIONES, calcula la LONGITUD del Lugar.

MÉTODO Sol en Dos Posiciones LUGAR U.A. de Ing. C. U. Chilpancingo, Gro.

OBSERVÓ M. Zúñiga G. ANOTÓ M. Z. B. FECHA 18/Octubre/2006. LATITUD 17º 32’ 09” LONGITUD 99º 29’ 44” P 675.8 mm/Hg T 27 °C .


SERIE EST P.V. C. VERTICAL (Z’) C. HORIZONTAL HORA DE OBS.

1

D

I

Señal

Sol

Sol

Señal

39º 23’ 31”.50

319º 47’ 15”.00

15h 18m 19s

15h 19m 56s

PROM. 39° 48’ 08”.25 15h 19m 07s.50

2

D

I

Señal Sol

Sol

Señal

43º 16’ 33”.00

315º 45’ 55”.00

15h 39m 13s

15h 41m 27s

PROM. 43° 45’ 19”.00 15h 40m 20s.00

PROMEDIOS C=+2m 14s.19 15h 29m 43s.75

HC 15h 31m 57s.94

CÁLCULO DE LA LONGITUD DEL LUGAR POR OBSERVACIÓN DEL SOL EN DOS POSICIONES.

P R I M E R A O B S E R V A C I Ó N.


Refracción R= rt :

r = 60.6” Tan Z’ ; t = 1/(1+0.004 T’) ; = P/762

40”.41


S E G U N D A O B S E R V A C I Ó N.


Refracción R= rt :

r = 60.6” Tan Z’ ; t = 1/(1+0.004 T’) ; = P/762

46”.44

Paralaje P = 8’’.8 sen Z’ 06”.09 Distancia Zenital Real ( Z ´ + R - P ) Z= 43° 45’ 59”.35 Zm = (Z1 + Z2)/2 41° 47’ 21”.19

CÁLCULO DE LA DECLINACION Promedio general de la hora de observación 15h 31m 57s.94

Hora del paso del sol por el m 90º W. G. - 11h 45m 17s.0 Intervalo en horas = 3h.778039 Variación horaria en declinación (vhδ) (x) 54”.40 Corrección (intervalo x vhδ ) = 03’ 25”.52 Declinación del sol a la Hp M90° (+) = -09° 34’ 31”.30


Nota: El cálculo de la declinación se puede realizar para cada una de las series y después promediar.


CALCULO DEL ÁNGULO HORARIO FÓRMULA : tan 2 ½ H = sen (S - δ) sen (S - φ) / cos S cos (S-Z)

(S - δ)= 34° 25’ 17”.99 Log sen 9.752263

(S - φ)= 07° 22’ 03”.21 Log sen 9.108003

S= 24° 54’ 12”.21 Colog cos 0.042384

(S - Z)= -16° 53’ 08”.98 Colog cos 0.019140 2 log tan ½ H - 1.078210

log tan ½ H -0.539105

tan ½ H 0.288998

½ H 16° 07’ 09”.10

ÁNGULO HORARIO DEL ASTRO H = 32° 14’ 18”.20

H = 02h 08m 57s.21

CÁLCULO DE LA DIFERENCIA DE LONGITUD

H =(+) 02h 08m 57s.21

Hora del paso del sol por el m 90º W. G. ------------------- 11h 45m 17s.00

ANGULO HORARIO LOCAL AHL 13h 54m 14s.21

+ 01 HORA POR HORARIO ECONÓMICO ------------------ 01h

(-) HORA DE OBSERVACIÓN, CORREGIDA POR ∆T 15h 31m 57s.94

DIFERENCIA DE LONGITUD Δλ 37m 43s.73

Nota: Para la determinación de la LONGITUD por este método se recomiendan 3 series por la

mañana y 3 series por la tarde, cuando menos, y lograr así la precisión requerida.


OBSERVACIONDEL SOL EN SU CULMINACIÓN

Un método sencillo para determinar la LONGITUD, es medir la hora precisa cuando el

centro del Sol alcanza su CULMINACIÓN (PASO POR EL MERIDIANO VERDADERO). Esta hora

se usa luego para calcular el Ángulo Horario con respecto al Meridiano de Greenwich. Puesto

que el Ángulo Horario Local es igual a cero cuando el Sol está en el Meridiano, la LONGITUD es igual al Ángulo Horario de Greenwich.

Cuando culmina: = Ángulo horario de Greenwich.

ÁNGULO HORARIO

DE GREENWICH

MERIDIANO LOCAL

P

ÁNGULO HORARIO

LOCAL

(tiempo)

G


POLAR

HORIZONTE

DUBHE

(OSA MAYOR)

MERIDIANO

LOCAL

ÁNGULO HORIZONTAL

A

P.V.

A

EST.

P

D

Este método puede dar LONGITUDES con aproximación de 30”, pero la planeación

debe ser muy precisa, pues un error de 4 segundos ocasiona un error de 01 minuto en la LONGITUD, aproximadamente, (450m); semejante al método anterior.

Observar el Sol en su culminación, es más complicado; por lo general, este método es

más recomendable para las Estrellas, como la POLAR y las CIRCUMPOLARES.


2.4.2 OBSERVACIONES A LA ESTRELLA POLAR Y CIRCUMPOLARES OBSERVACIÓN DE LA POLAR Y UNA ESTRELLA AUXILIAR

Este método es muy práctico y útil. Tiene la ventaja de que no se requiere conocer la

hora ni la latitud del lugar.


P

D

ZP ZD

B

N

M

M’

N’

POLAR

PN

N

DUBHE

S

E W

HORIZONTE

ZENIT

PUNTO GAMMA

(PRIMER PUNTO DE ARIES)

p

D

ECUADOR

p

POLAR

DUBHE

PN

M

M’

90º - D

p

90º - P

P = D - P

De la figura;

Donde:

P: ángulo polar

Y supuestamente:

Valor que no es cierto por el movimiento de las estrellas al momento de realizar la observación.

Entonces, a este valor se le efectuará una corrección por incremento de horas, siendo:

P = (D - P)i

Donde:

i: horas


POLAR

DUBHE

ZENIT

PN

ZP

ZD B

N

N’

M

DUBHE

ZENIT ZENIT

POLAR

PN

PN

HD

HP

M’

Q

N’

N

ZP

Q’

DZA

PZA

90º -

ZD

90º - P

90º - D

90º -

El signo , será aplicado en uno u otro caso, dependiendo de la posición y de la Estrella

que se observe primero, dándonos cuenta de esto, al efectuar los promedios de horas de observación. Ej.

Si suponemos que para una serie los promedios de hora son: 20h 06m 40s ---------------Polar 20h 06m 31s.5 -------------Dubhe

El signo a considerar será el positivo (+), o sea:

P = (D - P)+I Analizando los otros elementos de la figura, se tendrá:

B: DIFERENCIA DE ÁNGULOS HORIZONTALES

Donde:

Hp: Ángulo Horario de la Polar

HD: Ángulo Horario de Dubhe


Para la determinación de los cálculos de la LONGITUD por este método, se realizará de

manera simultánea con la LATITUD y el AZIMUT, que son básicamente los problemas que

debemos resolver en la ASTRONOMÍA DE POSICIÓN. Práctica No. 9 Realizar la observación Astronómica respectiva.


ECUADOR

LATITUD

PN

PS

W

W

E

M 90º W.G.

E

0

LUGAR

ECUADOR

e’

Z

E’

E

H’ H

PN

PS

O

e

TERCERA UNIDAD 3. DETERMINACIÓN DE LA LATITUD GEOGRÁFICA 3.1 GENERALIDADES La LATITUD GEOGRÁFICA o ASTRONÓMICA es el ángulo que forma la vertical del lugar

con el plano del Ecuador, se mide de 0º a 90º hacia el Norte o hacia el Sur. Se designa como .

La LATITUD, también se define como el ángulo que forma la línea de los polos o eje polar,

con el plano del horizonte. Si tomamos la Tierra como un punto y considerándola el centro de la

bóveda celeste, se verá fácilmente que la LATITUD ASTRONÓMICA puede considerarse como la declinación del zenit. “LATITUD GEODÉSICA” es el ángulo que forma la normal al elipsoide con

el ecuador.

Ambas LATITUDES son diferentes y la LATITUD GEODÉSICA, se obtiene mediante cálculo,

partiendo de una posición astronómica. La diferencia entre estas dos “LATITUDES” se llama

“desviación de la vertical” y en gran número de lugares su conocimiento contribuye a la localización del “geoide”, lo que constituye una importante investigación geodésica.


’

MERIDIANO

- ELIPSOIDE -

VERTICAL

P

P’

E E’

P

: Latitud astronómica

’: Latitud geodésica

LUGAR

1

2

Para el desarrollo de este tema, nos concretaremos al estudio de los diferentes métodos

para la determinación de la LATITUD ASTRONÓMICA o LATITUD GEOGRÁFICA, problema que

se resuelve con la Astronomía de Posición.

3.2 MÉTODO GRÁFICO Y EXPEDITO Para la determinación GRÁFICA de la LATITUD se necesita contar con una carta

cartográfica del lugar cuya Latitud se desea conocer, esta carta es un mapa detallado, con una

cuadrícula limitada en los extremos por trazos de LATITUD y Longitud, permitiendo la

ubicación de cualquier punto al interior de la misma.

Práctica No. 10 Obtener la latitud en la Unidad Académica de Ingeniería de la UAG, por este método.

FORMA EXPEDITA

Esta forma de determinación de la LATITUD es aproximada, pero útil ya que se puede

obtener de una manera rápida y sencilla, se necesita una baliza o pedazo de varilla, palo de

escoba, etc., de preferencia que termine en punta, y una cinta métrica.

1lugar


Z

N

E

E’

H’ H

P

P’

S

l

A

m

m

ltanA

Una vez obtenido el valor “A”, se toma del Anuario el valor de la Declinación para el día de la observación. Procediendo a calcular la Latitud por medio de la siguiente fórmula:

DEDUCCIÓN: De la figura;

ºA

:donde

ºPHSPA

ºSP

SE

90

90

90

Práctica No. 11 Realizar la observación Astronómica respectiva. 3.3 CÁLCULO DE LA LATITUD POR OBSERVACIONES AL SOL

La LATITUD, participa en la mayoría de los problemas de la Astronomía de Posición de

aquí la importancia que su determinación sea lo más precisa posible, dicha precisión se logra

realizando Observaciones Astronómicas al Sol o a las Estrellas, o en su defecto realizando un

Sistema de Posicionamiento Global, (GPS), métodos más rápidos y precisos que las

observaciones. Su inconveniente es que el equipo GPS actualmente es muy caro.

3.3.1 DOS POSICIONES DEL SOL

Este método consiste en observar el Sol a una hora conocida, medir su altura y el ángulo horizontal que forma la visual al Sol con una línea de referencia. Para alcanzar los

ºA 90

El procedimiento a seguir es el siguiente:

Se coloca la baliza lo más vertical que sea posible, en el lugar cuyo valor se necesita determinar, se debe seguir la trayectoria de la sombra del Sol en su paso por el meridiano del lugar.

En cuanto esté pasando, se toma la altura de la baliza y la longitud de la

sombra proyectada por dicha baliza; después se calcula el ángulo “A”;


mejores resultados al aplicar este método la diferencia en el círculo horizontal debe ser mínima.

El intervalo de tiempo entre las DOS POSICIONES DEL SOL no debe ser menor de 20 minutos

ni mayor de 30 minutos.

El cálculo de la LATITUD DEL LUGAR se obtiene aplicando las fórmulas:

Donde:

12

m

AA

BcosAcotQ

,

Siendo:

: Declinación del Sol a la hora de observación Am: Altura media, corregida por refracción

Q: Angulo paraláctico

B: Diferencia de lecturas del círculo horizontal, en minutos de arco

También se puede aplicar:

En la cual:

I: Intervalo de tiempo entre las dos observaciones, en minutos de arco

Para obtener la LATITUD con una aproximación de 01’ o 02’ con la segunda fórmula, es

necesario que el intervalo “I” se tome al segundo.

El objeto de observar el Sol dos veces, una con el anteojo en posición directa y otra, con

el anteojo en posición inversa, es el de determinar errores instrumentales, siempre que entre una observación (DIRECTA) y otra (INVERSA) no transcurran más de 5 minutos. Ej. Calcular la LATITUD geográfica, por el MÉTODO DE DOS POSICIONES DEL SOL, de acuerdo a los datos del siguiente registro de campo.

MÉTODO Sol en Dos Posiciones LUGAR U.A. de Ing. C. U. Chilpancingo, Gro.

OBSERVÓ M. Zúñiga G. ANOTÓ M. Z. B. FECHA 01/Diciembre/2006

LATITUD 17º 32’ 09” LONGITUD 99º 29’ 44” P 675.8 mm/Hg T 29 °C


1

D

I

Señal

Sol

Sol

Señal

63º 35’ 05”.40

295º 26’ 34”.00

00° 09’ 53”.00

300° 12’ 26”.00

119° 56’ 15”.90

180° 10’ 02”.00

15h 52m 44s.29

15h 54m 56s.29

PROM. 64° 04’ 15”.70 299° 54’ 23”.45 15h 53m 50s.29

cosQcosA cosδsenA senδsen mm

m2

m AcosI

BsenA senδsen


2

D

I

Señal

Sol

Sol

Señal

68º 55’ 03”.70

290º 11’ 47”.00

00° 08’ 50”.20

303° 47’ 39”.00

123° 26’ 49”.00

180° 09’ 8”.00

16h 19m 48s.31

16h 21m 32s.31

PROM. 69° 21’ 38”.35 303° 28’ 14”.90 16h 20m 40s.31

PROMEDIOS 16h 07m 15s.30

CÁLCULO DE LA LATITUD DEL LUGAR POR OBSERVACIÓN DEL SOL EN DOS POSICIONES.

P R I M E R A O B S E R V A C I Ó N.


Refracción R= rt

r = 60.6” Tan Z’ ; t = 1/(1+0.004 T’) ; = P/762

01’ 39”.05


A= 25° 54’ 13”.16

S E G U N D A O B S E R V A C I Ó N.


Refracción R= rt

r = 60.6” Tan Z’ ; t = 1/(1+0.004 T’) ; = P/762

02’ 07”.86


A= 20° 36’ 22”.03 Am = (A1 + A2)/2 23° 15’ 17”.60

A2 - A1 05° 17’ 51”.13

317’.852167 Diferencia de círculo horizontal B 03° 33’ 51”.45

B’ 213’.8575

CÁLCULO DE LA DECLINACION

Promedio general de la hora de observación 15h 53m 50s.29 16h 20m 40s.31 Hora del paso del sol por el m 90º W. G. - 11h 49m 05s.00 11h 49m 05s.00 Intervalo en horas = 4.079247 4.526475 Variación horaria en declinación (vhδ) (x) - 22”.90 - 22”.90 Corrección (intervalo x vhδ ) = 01’ 33”.41 01’ 43”.66 Declinación del sol a la Hp M90° (+) = -21° 47’ 04”.60 -21° 47’ 04”.60

Declinación del sol a la hora de observación, δ -21° 48’ 38”.01 -21° 48’ 48”.26

δm -21° 48’ 48”.26

CÁLCULO DE Q 12

coscot

AA

ABQ m

B 213’.8575 Cos Am 0.918757

B cos Am 196.4832 A2 – A1 317.8522 Cot Q 0.618159

Q 58° 16’ 38”.43


H’

MERIDIANO DEL

OBSERVADOR

H

Z

N

E’

E

P

P’

A

z

O

CÁLCULO DE LA LATITUD

FÓRMULA: QAsenAsensen mm coscoscos

sen -0.371585

sen Am 0.394822 1er TÉRMINO - 0.146710

cos 0.928399

cos Am 0.918758 cos Q 0.525808

2º TÉRMINO 0.448501

Sen 0.301791

17° 33’ 54”.76


3.3.2 EL SOL EN CUALQUIER POSICIÓN

DETERMINACIÓN DE LA LATITUD A PARTIR DE LA ALTURA DEL SOL DURANTE SU CULMINACIÓN

El método más fácil para calcular la LATITUD es medir la altura del Sol durante su

CULMINACIÓN. Se instala el instrumento un poco antes del mediodía, se sigue al Sol conforme

aumenta su altura hasta que alcanza un máximo, que es cuando éste se encuentra sobre el

meridiano. Se toma la lectura del círculo vertical y la hora en que ocurre, registrando esta

última al minuto, ya que únicamente se necesita para calcular la declinación.

De la figura:

Aº90 ;

Ó,

)º90( A

z


H

Z AZ

P Z = 90º - A

90º -

90º -

Se debe considerar:

Con un instrumento de precisión, la aplicación de este método alcanza aproximaciones

de 30”.

Es necesario conocer previamente, la hora del paso del Sol por el meridiano del lugar de observación, esto es:

, [Ho = Hp + ]


SOL EN CUALQUIER POSICIÓN Este método consiste en la medida de la ALTURA o la DISTANCIA ZENITAL del Sol, así

como la hora correspondiente. Es conveniente observar el Sol en posición directa e inversa,

constituyendo esto una serie que debe repetirse tres veces por lo menos. Si las series se hacen en condiciones diversas de la atmósfera, los resultados serán mejores.

La LATITUD se obtiene aplicando:

Donde:

cosH

tanδtanD

Esta fórmula se deduce:

Por ley de los cosenos;

Aplicando al triángulo astronómico:

δ)cosH)sen(90ºsen(90ºδ))cos(90ºcos(90ºcosz

Donde:

Hcoscoscossensenzcos ------------------- (1)

Sol al Norte del Zenit; º90A

Sol al Sur del Zenit;

Aº90

sAsenbsenccocosbcosccosa

Hp lugar = Hp M90º W.G. +

senδ

senDcoszD)cos(


Para resolver este ecuación, con relación a , se introducen las variables auxiliares,

senδdsenD ; cosH cosδdcosD

Que sustituyendo en (1), resulta:

.dcosDcos.dsenDsencosz

)Dcos(dDcoscossenDsendzcos

Donde:

d

coszD)cos(

Pero,

senδdsenD ; senD

senδd ,

Que sustituyendo;

senδ

coszsenD

senDsenδ

coszD)cos(

También,

cosH cosδ

senδ

dcosD

dsenD ;

cosH

tanδtanD

Para estudiar las mejores condiciones en la determinación de la LATITUD, vamos a

establecer la ecuación que ligue a las variables y z.

Para ello, diferenciando:

cosH cosδ cossenδ sencosz

Con respecto a y z,

cosHcosδdsensenδdcosdzsenz

cosHcosδsensenδcosddzsenz

Luego:

zcosAsenzcosHcosδsensenδcos [Ley del seno coseno]

Donde:

Az: Azimut del Astro en el momento de la observación

Sustituyendo;

)zcosA(senzddzsenz , zz cosA

dz

cosAsenz

dzsenzd

Esta fórmula diferencial, que proporciona la relación de los errores en y z, muestra que un pequeño error en z tiene su menor efecto cuando el Az es igual a cero, esto es, cuando

el Astro se encuentra en el Meridiano. De aquí, que para obtener valores precisos, el método más recomendable es cuando el SOL CULMINA por el meridiano del lugar.

Ej.

Obtener la LATITUD geográfica, observando el SOL EN CUALQUIER POSICIÓN, de acuerdo a los datos del siguiente registro de campo.


MÉTODO Sol en cualquier Posición LUGAR U.A. de Ing. C. U. Chilpancingo, Gro.




1

D I

Señal

Sol Sol

Señal

63º 35’ 05”.40 295º 26’ 34”.00

00° 09’ 53”.00

300° 12’ 26”.00 119° 56’ 15”.90

180° 10’ 02”.00

15h 52m 44s.29

15h 54m 56s.29

PROM. 64° 04’ 15”.70 299° 54’ 23”.45 15h 53m 50s.29

CÁLCULOS:


Refracción R= rt :

r = 60.6” Tan Z’ ; t = 1/(1+0.004 T’) ; = P/762

01’ 39”.05


A= 25° 54’ 13”.16


Promedio general de la hora de observación 15h 53m 50s.29

Hora del paso del sol por el m 90º W. G. - 11h 49m 05s.00

Intervalo en horas = 4.079247

Variación horaria en declinación (vhδ) (x) - 22”.90

Corrección (intervalo x vhδ) = 01’ 33”.41 Declinación del sol a la Hp M90° (+) = -21° 47’ 04”.60


CÁLCULO DEL ÁNGULO HORARIO

Hora civil local, HCL 15h 53m 50s.29

Hora del paso, Hp 11h 49m 05s.00

Diferencia de longitud, Δλ 37m 58s.93 Ángulo horario, H 03h 26m 46s.36

H 51° 41’ 35”.40

CÁLCULO DE D Tan D = tan δ / cos H

tan δ - 0.400185

cos H 0.619873 Tan D - 0.645592

D - 32° 50’ 45”.46

CÁLCULO DE LA LATITUD

cos ( φ- D) = cos Z sen D / sen δ

cos Z 0.436859 sen D - 0.542382

NUMERADOR - 0.236945

sen δ - 0.371539

cos ( φ- D) 0.637738

φ- D 50° 22’ 35”.89

φ 17° 31’ 50”.43 Práctica No. 14 Realizar la observación Astronómica respectiva.


H = 12

P

(-) CORRECCIÓN

(+) CORRECCIÓN

ALTURA DEL

POLO

H = 18 H = 6

H = 0 = 24

H

CORRECCI

ON (-)

CORRECCIÓN (-)

3.4 POR OBSERVACIONES A LA POLAR Ahora, se van a analizar los procedimientos más usuales en la determinación de la LATITUD por observaciones a la Estrella POLAR.

3.4.1 EN CUALQUIER POSICIÓN Este método es muy práctico, porque puede hacerse la observación a la hora que

convenga y consiste en medir su altura o la distancia zenital de la Estrella POLAR.

Para este caso la LATITUD se calcula:

Esta corrección representa la diferencia de alturas de la POLAR y el POLO. Cuando la Estrella está más baja que el Polo (ángulo horario entre 6 y 18 horas), la corrección se suma, y cuando

está más alta (ángulo horario entre 0 y 6, ó 18 y 24 horas), la corrección se resta.

Para el cálculo de la LATITUD, tomando en cuenta la CORRECCIÓN se aplica la

FÓRMULA DE LITROW,

Esta fórmula llega a determinar el valor con aproximación de 5”. Nota: Para obtener el valor de P2, debe transformarse su valor en segundos de arco y posteriormente elevarlo al cuadrado; por lo tanto el resultado del tercer término resultará en segundos de arco.

En la cual:

: Latitud A: Altura de la Polar

P: Distancia polar º90 , en segundos de arco

H: Ángulo Horario

"senAtanHsenPHcosPA 12

1 22

= A + CORRECIÓN


Este último dato, o sea H, se calcula:

Δλ)(HT6

1Δλ)(HTH pp

Ó,

αTH s

Donde:

socs ΔTΔλTTT ; cs T0.0027379ΔT

: coordenada

En este método, también se puede aplicar la fórmula:

cosH

tanδDtan

Fórmula que fue deducida en el método de observación del SOL EN CUALQUIER POSICIÓN. Práctica No. 15 Con los datos, resultados de la observación astronómica, calcula la LATITUD de Chilpancingo, Gro., ubicando el punto en la Unidad Académica de Ingeniería, C.U.

3.4.2 EN SU CULMINACIÓN POR EL MERIDIANO DEL LUGAR La Estrella POLAR en su movimiento circumpolar aparente, pasa dos veces por le meridiano: en su CULMINACIÓN SUPERIOR y en su CULMINACIÓN INFERIOR. En estos momentos coincide con el círculo horario de la Estrella, es decir, H=0.

senδ

senDcoszD)(cos

Este método consiste en medir la altura de la Estrella cuando se encuentra sobre el

Meridiano del observador.


p

POLAR

PASO INFERIOR

PASO SUPERIOR

CULMINACIÓN

SUPERIOR

CULMINACIÓN

INFERIOR

POLO

MERIDIANO

DEL LUGAR

PLANO HORIZONTAL

MERIDIANO DEL LUGAR

A

Z

p

Donde:

p: distancia polar; ºp 90

La LATITUD se calcula:

Siendo:

+, para la culminación o paso inferior,

-, para la culminación o paso superior, A: Altura,

δ90ºp , : Declinación en el momento de la observación.

Para conocer la LATITUD por observación de la Estrella POLAR en su CULMINACIÓN, se ejecutan las operaciones siguientes:

1. Se calcula la hora del paso por el meridiano para instalar previamente el instrumento,

2. Se localiza la Estrella a ojo, o inscribiendo en el circulo vertical del aparato la Latitud

estimada del lugar, 3. Al visar la POLAR, se iluminan los hilos de la retícula, se bisecta la Estrella con el hilo

horizontal, siguiéndola continuamente con el tornillo del movimiento tangencial,

pA


E

M. CHILPO M 90º W. G.

23h 20m 0s.2 22h 22m 00s

38m 0s.2

W

4. Cuando la Estrella camina a lo largo del hilo horizontal durante un periodo de 3 ó 4

minutos, estará prácticamente en su culminación, se toma el valor de la Altura,

5. Se invierte el anteojo y se toma otra lectura para promediar,

6. Se revisa el aparato y en caso de estar desnivelado, se corrige; realizando otro par de

observaciones.

Ej. Determinar la hora de culminación superior de la Estrella POLAR, el día 18 de Noviembre del 2002, en Chilpancingo, Gro.

Sol.

Chilpancingo

Del Anuario:

Práctica No. 16

Realizar la observación astronómica respectiva, integrando una brigada de 2 integrantes como mínimo; tomando cada uno sus respectivas series.

Hora del paso de la POLAR por el Meridiano 90º W.G. 18/Noviembre/2002 ---------------------------------

22h 22m 00s.0

Diferencia de Longitud, Chilpancingo, Gro. ---------- + 38m 00s.2

Hora del paso de la Estrella por el Meridiano de Chilpancingo, Gro. 23h 20m 00s.2

= 99º 30’ 03”

= 17º 33’ 10”


H

’

Sol

Z

z

A

Az

N H

MERIDIANO

DEL LUGAR

N

CUARTA UNIDAD

4. DETERMINACIÓN DEL AZIMUT ASTRONÓMICO DE UNA LÍNEA 4.1 GENERALIDADES La determinación del AZIMUT de una línea es una de las operaciones más importantes

en Geodesia y Topografía. Es indispensable para el cálculo de posiciones geográficas en los que

se basa la construcción de un mapa y, asimismo, para obtener las coordenadas ortogonales de

un levantamiento topográfico.

Las orientaciones astronómicas, sobre todo aquellas que nos permiten conocer el valor

del AZIMUT de una línea, se utilizan principalmente para:

a) Relacionar levantamientos de importancia b) Comprobar los ángulos de poligonales abiertas

c) Determinar declinaciones magnéticas

d) Dar permanencia a las direcciones de linderos

e) Orientar antenas de radio o radar, ejes polares de instrumentos astronómicos y otros

dispositivos semejantes de interés.

DEFINICIÓN

El AZIMUT de una dirección se define como el ángulo diedro formado por el plano

meridiano que pasa por el lugar y el plano vertical que contiene a la dirección dada.

Donde: Az: Azimut del Astro

A: Altura

z: Distancia zenital

Se define también, como el ángulo plano formado por la meridiana y la línea considerada; se mide de 0º a 360º, a partir del Norte, en el sentido de las manecillas del reloj.


En términos generales, la determinación del AZIMUT ASTRONÓMICO de una línea se

puede conocer por observaciones al Sol o a las Estrellas (POLAR), o cualquier otra Estrella

conocida, dependiendo del grado de precisión requerido. Y comprende las operaciones siguientes:

1. Medida del ángulo horizontal entre la línea considerada y la visual al Astro.

2. Cálculo astronómico del Azimut del Astro.

4.2 OBSERVACIONES AL SOL Las determinaciones del AZIMUT por observaciones al Sol son más sencillas, no

requieren identificación de Estrellas, y se hacen de día, pero sus resultados dan menor

precisión.

4.2.1 DISTANCIAS ZENITALES DEL SOL Este es el método más comúnmente empleado para trabajos ordinarios y consiste en

observar el Sol en un momento cualquiera. El tiempo más apropiado para la observación es de

8 a 10 de la mañana ó de 2 a 4 horas de la tarde. En las observaciones hechas en estas horas,

aproximadamente un error de 01’ en Latitud, Declinación o Altura, produce un error de 01’ a 02’ de Azimut.

El Azimut del Astro (Sol) por este método se calcula aplicando las fórmulas:

senzcos

coszsensenδAcos z

-------------------- (1)

senzcos

δz2

1cosδz2

1senA

21sen z

-------------------- (2)

Ó

AzLÍNEA

AzSOL

W

MERIDIANA

ÁNGULO HORIZONTAL

SEÑAL - SOL

LÍNEA

SOL

N

S

A

B

E


W

MAÑANA AzSOL AzSOL

HORIZONTE

N

E

TARDE

senzcos

ncosmsenA

21sen z

2

:

δz2

1n

δz2

1m

--------------- (3)

senzcos

δz2

1senzδ2

1cosA

21cos z

-------------------- (4)

δz2

1senzδ2

1cos

δz2

1cosδz2

1senA

21tan z

-------------------- (5)

Ó

ssenzscos

scosδssenA

21tan z :

2

δzs

-------------- (6)

Las fórmulas de la (2) a la (6) son calculables por medio de logaritmos, pero tienen la desventaja de que cualquier error, o falta de aproximación en el cálculo, estos se duplican al

obtener el Azimut; lo que no sucede al aplicar la fórmula (1).

Estos ángulos que dan las fórmulas, tienen como origen el meridiano y se abren hacia

donde se encuentre el Astro.

Si el Sol se observó en la mañana, su Azimut se contará a partir del Norte hacia el Este, y si se observó por la tarde, después de su paso por el meridiano, el ángulo que

resulte para el Azimut será hacia el Oeste.


W

JUNIO

MARZO

DICIEMBRE

TRÓPICO DE

CANCER

TRÓPICO DE

CAPRICORNIO

SOLSTICIO DE

VERANO

SOLSTICIO DE

INVIERNO

ECUADOR

Az<90º

Az=90º

Az>90º

N

S

E

90º - A = z

Z

P

S

H

Q

Az 90º -

90º -

90º -

90º -

90º - A

Z

P

P’

E’

E

A H

H’ N

H

Q

Az

DEDUCCIÓN DE LAS FÓRMULAS PARA EL CÁLCULO DEL AZIMUT DEL ASTRO.

En el triángulo astronómico;

De la fórmula de la ley de los cosenos;

En función de los elementos del triángulo astronómico, tenemos:

zA)cosA)sen(90ºsen(90ºA))cos(90ºcos(90ºδ)cos(90º

Por trigonometría:

sAsenbsenccocosbcosccosa


senθθ)cos(90º

cosθθ)sen(90º

Donde:

zsenzcosAcoscoszsensenδ

Siendo,

senzcos

coszsensenδcosAz

----------------------------- (1)

Con la fórmula (1) se obtiene el Azimut de un Astro en forma directa.

Si se desea calcular el Azimut del Astro con fórmulas donde se puedan aplicar

logaritmos, es necesario transformar la fórmula (1), para lo cual:

Restando de la unidad ambos miembros de la fórmula (1),

senzcos

coszsensenδ1cosA1 z

Pero, z2

z A2

12sencosA1 ; sustituyendo y realizando operaciones,

senzcos

coszsensenδsenzcosA

212sen z

2

Luego: )zsen(coszsensenzcos ,

senzcos

senδz)sen(A

212sen z

2

También: )Bcos(A2

1B)cos(A2

12sensenBsenA entonces;

senzcos

δz2

1cosδz2

12senA

212sen z

2

Donde:

senzcos

zcoszsenAsen z

2

12

1

212 --------------- (2)

Ahora, agregando la unidad a ambos miembros de la fórmula (1) y haciendo un

desarrollo semejante al anterior, se llega:

senzcos

zcoszsenAcos z

2

12

1

212 --------------- (3)

Si se requiere mayor precisión en el cálculo del Azimut del Astro, relacionamos (2) y (3); resultando:

zcoszsen

zcoszsenAtan z

21

21

21

21

212 --------------- (4)

Haciendo: sz 2 , se llega:

zscosssen

scosssenAtan z

212 --------------- (5)


PROCEDIMIENTO DE CAMPO.

Generalmente las indicaciones de campo, para la determinación del Azimut por este

método, son las mismas que se aplican para la determinación de la Hora, Longitud y Latitud;

con el único agregado del ángulo horizontal de la línea con respecto a la ubicación del Astro (Sol).

Para tener seguridad en la obtención del Azimut de la línea, deben hacerse por lo menos

tres series de observaciones, para que el Azimut finalmente obtenido para la línea, sea el

promedio de los calculados en cada una, es decir, para cada observación debe calcularse el Azimut de la línea, y NO promediar Azimutes el Sol. Si alguno de los Azimutes de la línea difiere más de 03’, debe desecharse y no intervenir en el promedio. Ej.

Calcular el AZIMUT ASTRONÓMICO DE LA LÍNEA, por el método DE DISTANCIAS ZENITALES DEL SOL, de acuerdo a los datos del siguiente registro de campo.

MÉTODO Distancias Zenitales LUGAR U.A. de Ing. C. U. Chilpancingo, Gro .




1

D

I

Señal

Sol

Sol

Señal

68º 55’ 03”.70

290º 11’ 47”.00

00° 08’ 50”.20

303° 47’ 39”.00

123° 26’ 49”.00

180° 09’ 8”.00

16h 19m 48s.31

16h 21m 32s.31

PROM. 69° 21’ 38”.35 303° 28’ 14”.90 16h 20m 40s.31

φ calculada 17° 31’ 50”.43

CÁLCULOS:


Refracción R= rt :

r = 60.6” Tan Z’ ; t = 1/(1+0.004 T’) ; = P/762

02’ 07”.86



Promedio general de la hora de observación 16h 20m 40s.31

Hora del paso del sol por el m 90º W. G. - 11h 49m 05s.00 Intervalo en horas = 4.526475 Variación horaria en declinación (vhδ) (x) - 22”.90

Corrección (intervalo x vhδ ) = 01’ 43”.66 Declinación del sol a la Hp M90° (+) = -21° 47’ 04”.60


CÁLCULO DEL AZIMUT DEL SOL

Fórmula:

zsssen

sssenAz

cos

cos

21tan 2

; sz 2

(s - δ) 54° 22’ 08”.20 Log sen 9.909976 s 32° 33’ 19”.94 Log cos 9.925761

(s - ) 15° 01’ 29”.51 Colog sen 0.586301


(s - z) -36° 50’ 18”.03 Colog cos 0.096731

2 log tan ½ Az 0.518769

Log tan ½ Az 0.259385

tan ½ Az 1.817124

½ Az 61° 10’ 30”.43

AZIMUT DEL SOL, Az 122° 21’ 00”.87

CÁLCULO DEL AZIMUT DE LA LÍNEA

CÍRCULO HORIZONTAL 303° 28’ 14”.90

AZIMUT ASTRONÓMICO DE LA LÍNEA 294° 10’ 44”.23

RUMBO ASTRONÓMICO DE LA LÍNEA N 65° 49’ 15”.77 W

Práctica No. 17

Realizar la observación astronómica respectiva, formando una brigada de 2 integrantes como mínimo; tomando cada uno sus respectivas series. Definir la línea de preferencia en CU, ubicándola en la Unidad Académica de Ingeniería de la UAGro.

4.2.2 SOL EN DOS POSICIONES

Para aplicar este método se ejecutan en el campo las mismas operaciones descritas para

determinar la Latitud y Longitud, observando el Sol dos veces lejos del mediodía, con un

intervalo de unos 20 minutos. Si el intervalo es pequeño influyen mucho los errores en los datos; y si es grande, se presenta el error por curvatura, que consiste en que la posición del Sol

para una altura media entre las dos observadas no corresponde al promedio de lecturas del círculo horizontal. Este error no entra en la determinación de la Latitud; así, que conviene

después de calculada la Latitud, utilizar para el cálculo del Azimut cualquiera de las fórmulas clásicas aplicadas separadamente a cada posición. Si concuerdan los dos resultados con una

diferencia que no exceda 02’, es prueba de que estuvieron bien hechas las operaciones de

campo, caso contrario se deberán repetir las observaciones y el cálculo de la Latitud.

Para calcular el Azimut del Sol por este método se usa la fórmula:

En la cual:

: Declinación del Sol en el momento medio de las dos posiciones Am: Altura media verdadera

Q: Angulo paraláctico

mmz QsenAcotQcscAcostanAcot

N

303° 28’ 14”.90

122° 21’ 00”.87

A

B

Azimut de la línea

Azimut del sol


B2

1

N

M

A

A1

A2

D 2da POSICIÓN

B 1era POSICIÓN

C POSICIÓN MEDIA

“IMAGINARIA”

2

21 AA

Ángulo

horizontal

B

AzAM

AzSOL

El ángulo paraláctico Q, se calcula:

12 AA

AcosBQcot m

Siendo:

B: Ángulo horizontal entre las dos posiciones del Sol

A1, A2: Alturas verdaderas en las dos posiciones

2

AAA 21

m

El ángulo paraláctico Q, en función del intervalo de tiempo (I) entre las dos observaciones:

Icosδ

BcosAcosQ m

Donde:

I = T2 – T1, con aproximación al segundo, en minutos de arco

T1, T2: Tiempos en las dos posiciones

Como el Azimut de la línea AM está ligado con la lectura del limbo cuando se observa la

primera posición B, hay que restar al Azimut calculado de AC la mitad del ángulo B; o en su

defecto considerar el promedio de los ángulos horizontales respectivos.

En el caso de B, podemos aplicar la fórmula:

Donde:

12 AA

AcosBQcot

, en función de la diferencia de alturas

Ó

cosI

AcosBQcos , en función del intervalo de tiempo I, entre las dos observaciones

QsenAcotQcscAcostanBUcot 2

1


Ej.

Calcular el AZIMUT ASTRONÓMICO DE LA LÍNEA, por el MÉTODO DE DOS POSICIONES DEL SOL, de acuerdo a los datos del siguiente registro de campo.

MÉTODO Sol en Dos Posiciones LUGAR U.A. de Ing. C. U. Chilpancingo, Gro. OBSERVÓ M. Zúñiga G. ANOTÓ M. Z. B. FECHA 01/Diciembre/2006



1

D I

Señal

Sol Sol

Señal

63º 35’ 05”.40 295º 26’ 34”.00

00° 09’ 53”.00

300° 12’ 26”.00 119° 56’ 15”.90

180° 10’ 02”.00

15h 52m 44s.29

15h 54m 56s.29

PROM. 64° 04’ 15”.70 299° 54’ 23”.45 15h 53m 50s.29

2

D

I

Señal Sol

Sol

Señal

68º 55’ 03”.70

290º 11’ 47”.00

00° 08’ 50”.20 303° 47’ 39”.00

123° 26’ 49”.00

180° 09’ 8”.00

16h 19m 48s.31

16h 21m 32s.31

PROM. 69° 21’ 38”.35 303° 28’ 14”.90 16h 20m 40s.31

PROMEDIOS 16h 07m 15s.30

CÁLCULOS:

P R I M E R A O B S E R V A C I O N.


Refracción R= rt :

r = 60.6” Tan Z’ ; t = 1/(1+0.004 T’) ; = P/762

01’ 39”.05


A= 25° 54’ 13”.16

S E G U N D A O B S E R V A C I O N.


Refracción R= rt :

r = 60.6” Tan Z’ ; t = 1/(1+0.004 T’) ; = P/762

02’ 07”.86

Paralaje P = 8’’.8 sen Z’ 08”.24 Distancia Zenital Real ( Z ´ + R - P ) Z= 69° 23’ 37”.97 A= 20° 36’ 22”.03 Am = (A1 + A2)/2 23° 15’ 17”.60

A2 - A1 05° 17’ 51”.13

A2 - A1 317’.852167 Diferencia de círculo horizontal B 03° 33’ 51”.45

B’ 213’.8575

I 402.5050


CÁLCULO DE LA DECLINACIÓN

Promedio general de la hora de observación 15h 53m 50s.29 16h 20m 40s.31

Hora del paso del sol por el m 90º W. G. - 11h 49m 05s.00 11h 49m 05s.00

Intervalo en horas = 4.079247 4.526475

Variación horaria en declinación (vhδ) (x) - 22”.90 - 22”.90

Corrección (intervalo x vhδ ) = 01’ 33”.41 01’ 43”.66 Declinación del sol a la Hp M90° (+) = -21° 47’ 04”.60 -21° 47’ 04”.60

Declinación del sol a la hora de observación, δ -21° 48’38”.01 -21° 48’48”.26

δm -21° 48’ 43”.14

CÁLCULO DEL ÁNGULO PARALÁCTICO

Cot Q = B cos Am / A2 – A1 Cos Q = B cos Am / I cos

B cos Am 196’.483187 B cos Am 196’.483187

A2 – A1 317’.852167 I cos 373’.688917

Cot Q 0.618159 Cos Q 0.525793

Q 58° 16’ 38.”43 Q 58° 16’ 41.”97

CÁLCULO DEL AZIMUT DEL SOL

FÓRMULA: mmz QsenAcotecQcosAcostanAcot

Tan -0.400214 -0.400214

Cos Am 0.918758 0.918758

Cosec Q 1.175636 1.175624

1ER TÉRMINO -0.432281 -0.432277

Cot Q 0.618159 0.618135

Sen Am 0.394822 0.394822

2° TÉRMINO 0.244063 0.244053

Cot AZ -0.676344 -0.676330

AZIMUT DEL SOL, Az -55° 55’ 40”.01 -55° 55’ 41”.99

AZIMUT DEL SOL, Az 124° 04’ 19”.99 124° 04’ 18”.01

CÁLCULO DEL AZIMUT DE LA LÍNEA

CÍRCULO HORIZONTAL: SEÑAL -- SOL 301° 41’ 19”.10

AZIMUT DEL SOL, Az 124° 04’ 19”.99

AZIMUT ASTRONÓMICO DE LA LÍNEA 294° 14’ 20”.90

RUMBO ASTRONÓMICO DE LA LÍNEA N 65° 45’ 39”.90 W

N

301° 41’ 19”.10

124° 04’ 19”.99

A

B

Azimut de la línea

Azimut del sol


Práctica No. 18

Realizar la observación astronómica respectiva, formando una brigada de 2 integrantes como mínimo; tomando cada uno sus respectivas series. Definir la línea de preferencia en CU, ubicándola en la Unidad Académica de Ingeniería de la UAGro.

4.3 POR OBSERVACIONES A LA ESTRELLA POLAR Dentro de los métodos que existen para la determinación del Azimut de una línea, los

que resultan de la observación a las Estrellas (POLAR) llegan a alcanzar mayor precisión que

las realizadas al Sol, la desventaja es que se requiere el conocimiento y la identificación de las

mismas, y generalmente se realizan por las noches.

4.3.1 EN FUNCIÓN DEL ÁNGULO HORARIO Como ya se analizó anteriormente, la estrella Polar puede observarse en tres momentos:

Culminación, Elongación y en cualquier momento. Hay momentos y métodos favorables en la

cual puede ser observada, pero generalmente se le observa en CUALQUIER POSICIÓN, siendo

esto lo más conveniente y su Azimut depende esencialmente del ÁNGULO HORARIO.

Del triángulo astronómico de la siguiente figura, por ley de los senos:

Aºsen

Hsen

ºsen

Asen z

9090 , z = 90º - A y sen(90º - ) = cos

Luego;

Si el ángulo horario se obtiene con mucha exactitud, puede aplicarse:

Donde:

Az: Azimut de la Polar H: Ángulo horario

: Declinación

: Latitud del lugar z: Distancia zenital

Hcossentancos

HsenAtan z

senz

cossenHAsen z


90º - A

A

M

N AzLADO Azw

PN

H

HORIZONTE

POLAR

MERIDIANO

LOCAL

, ÁNGULO

HORIZONTAL

Z

P

H

Az

90º -

90º -

PROCEDIMIENTO DE CAMPO

Las operaciones de campo, consisten en medir el ángulo horizontal entre una línea en el

terreno y la Estrella, y también su ángulo vertical, anotando la hora de la observación. Todo

esto debe hacerse en posición directa y posición inversa, para promediar valores y el cálculo del

Azimut de la línea se realice en función de la posición media de la Estrella. Se deben de

realizar cuando menos tres series de observaciones. Práctica No. 19

Realizar la observación astronómica respectiva, formando una brigada de 2 integrantes como mínimo; tomando cada uno sus respectivas series. La línea por orientar debe de ser la misma que se consideró en la observación solar; para efectos de comprobación y comparación de

resultados.


B I B L I O G R A F Í A

BÁSICA

ELEMENTOS DE ASTRONOMÍA DE POSICIÓN. MEDINA PERALTA, MANUEL

EDITORIAL LIMUSA

TOPOGRAFÍA APLICADA. GARCÍA MÁRQUEZ FERNANDO EDITORIAL CONCEPTO 1994

TOPOGRAFÍA MONTES DE OCA, MIGUEL

EDITORIAL ALFAOMEGA 1989

ANUARIO ASTRONÓMICO UNAM. INSTITUTO DE ASTRONOMÍA.

COMPLEMENTARIA TOPOGRAFÍA. TORRES NIETO, ALVARO/VILLATE BONILLA, EDUARDO

4ta. EDICIÓN. EDITORIAL PRENTICE HALL 2001

MÉTODOS TOPOGRÁFICOS TOSCANO, RICARDO

EDIT0RIAL PORRÚA 1982

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