UNIVERSIDAD “ALONSO DE OJEDA” FACULTAD DE … · Tabla de Identidades Trigonométricas ......

Guia de Cálculo II Pág.

Ciudad Ojeda Septiembre 2007 Prof. Pedro R. Guédez

1

UNIVERSIDAD “ALONSO DE OJEDA” FACULTAD DE INGENIERIA

CIUDAD OJEDA - ZULIA

Guia de Cálculo II

EL CÁLCULO DESARROLLA TU MENTE TRANSFORMA TU VIVIR

b

a∫ (Disciplina + Esfuerzo + Consagración)dv = Profesionales Altamente Capacitados



2 CONTENIDO

Antiderivada .................................................................................................................5 Tabla de Integrales........................................................................................................5 Tabla de Derivadas ........................................................................................................6 Tabla de Identidades Trigonométricas ..............................................................................6 Integrales Inmediatas ....................................................................................................7

Ejemplos Ilustrativos............................................................................................7 EJERCICIOS PROPUESTOS ....................................................................................9

Técnicas De Integración ...............................................................................................10 Integración por Sustitución Elemental o Cambio de Variable ..............................................10

EJERCICIOS PROPUESTOS ..................................................................................16 Integración por partes..................................................................................................17

EJERCICIOS PROPUESTOS ..................................................................................22 Integración de Potencias del Seno y el Coseno.................................................................23

EJERCICIOS PROPUESTOS ..................................................................................29 Integración de Potencias de la Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante.........................30

EJERCICIOS PROPUESTOS ..................................................................................37 Integración Por Sustitución Trigonométrica .....................................................................38

EJERCICIOS PROPUESTOS ..................................................................................41 Integrales que contienen ax2+bx+c (Completación de Cuadrados)......................................42

EJERCICIOS PROPUESTOS ..................................................................................42 Integración De Funciones Racionales (Casos I Y II) ..........................................................44

EJERCICIOS PROPUESTOS ..................................................................................44 Integración De Funciones Racionales (Casos III y IV) .......................................................46

EJERCICIOS PROPUESTOS ..................................................................................46 Integral Definida .........................................................................................................48

EJERCICIOS PROPUESTOS ..................................................................................49 Longitud de Arco de una Curva Plana .............................................................................50

EJERCICIOS PROPUESTOS ..................................................................................50 Área bajo una curva.....................................................................................................53 Área entre dos curvas ..................................................................................................53

EJERCICIOS PROPUESTOS ..................................................................................54



3

¿Por qué la resolución de problemas?

El hombre en su quehacer práctico dentro de la sociedad es un “solucionador” de

problemas lo cual lo ubica por encima de los animales más inteligentes del mundo entero y

dentro de su entorno se hace más importante, ser capaz de resolver problemas, que obtener o

acumular y manejar una simple información. El lenguaje matemático se universaliza cada vez

mas, haciéndose más preciso y exacto, y menos propenso a ambigüedades por esto el estudio

de la Matemática nos debe llevar por el camino de la inteligencia y autorrealización hacia un

mundo cada vez mas humano y perfecto.

La presente guía constituye un recurso didáctico para ser utilizado en el aprendizaje del

Cálculo II, aquí se proponen ejercicios que abarcan todos los aspectos considerados como

fundamentales en todo el curso de esta cátedra.

Mi motivación principal al realizar esta guía es ofrecer al estudiante, que cursa su nivel

universitario; una compilación de ejercicios que conforman el background para las asignaturas

Cálculo I, II, III y IV así como también para las todas asignaturas del área numérica. La misma

es producto de la recopilación de ejercicios interesantes a través de la investigación e

integración de textos de diversos autores y sobre todo del mí propio intelecto.

Los propósitos de la esta guía se centran en:

Propiciar la independencia intelectual del educando a través de la resolución de

problemas que le permitan desarrollar sus habilidades para aprender a autorregular

y controlar sus pensamientos y acciones.

Generar situaciones que propicien en el estudiante la adquisición de conocimientos,

habilidades, actitudes y valores relativos al área intelectual, científica, tecnológica y

humanística.

Promover en el educando el desarrollo de la investigación, la creatividad, el auto

aprendizaje, la transferencia de conocimientos habilidades y destrezas y la formación

de valores favorables para el desempeño como estudiante, futuro profesional y

generación de relevo en una sociedad democrática y en un mundo cada vez mas

globalizado.

Propiciar en el estudiante el desarrollo del autoestima e incentivación que estimulen

el aprendizaje efectivo de la Matemática.

Apreciado estudiante para que pueda serte provechoso el contenido de esta guía te

aconsejo resolver paso a paso por lo menos el 80% de los ejercicios propuestos en cada grupo.



4 Los problemas y ejercicios se han distribuido y presentado con una jerarquización en

su nivel de dificultad de resolución de los más sencillos y significativo a lo más complejo e

interesante.

La realización ordenada de los ejercicios presentados en este material auxiliar conlleva al

afianzamiento de los hábitos de estudio no solo en Matemática sino también en todas las

asignaturas. Otro aspecto que considero fundamental en este trabajo es la abundante y variada

cantidad de ejemplos ilustrativos y ejercicios propuestos que se presentan agrupados por

objetivos y/o contenidos.

Estoy plenamente convencido que el uso adecuado de esta guía ayudara de forma

determinante y definitiva a los alumnos a superar las debilidades detectadas en los contenidos

matemáticos fundamentales.

Someto esta versión de la guía al criterio de mis colegas y alumnos con la finalidad de

realizar las modificaciones necesarias y enriquecerla con sus valiosos e importantes aportes a

través de sus criticas constructivas y poder así mejorarla para que pueda llevar por el camino

de la excelencia intelectual y profesional a los alumnos que la utilicen adecuadamente.

Para finalizar quiero expresar mi mas alto nivel de agradecimiento a las autoridades de

la Universidad Alonso de Ojeda, a todo el personal que labora en esta ilustre universidad y a los

estudiantes, por brindarme la excelente oportunidad de realizar una labor dirigida a

engrandecer nuestro país al aportar mi humilde trabajo formando la generación de relevo que

enaltecerá nuestra cultura e idiosincrasia.

Pedro R. Guédez L

Prof. de Matemática



5 Antiderivada Definición: Antiderivada Una función F(x) se llama antiderivada de una función f(x), en un intervalo I, si F’(x) = f(x),∀ valor de x en el intervalo I Ejm. F(x) = 4x3 + x2 + 5 ⇒ f’(x) = 12x2 + 2x G(x) = 4x3 + x2 - 8 ⇒ g’(x) = 12x2 + 2x A(x) = 4x3 + x2 + C ⇒ h’(x) = 12x2 + 2x Teorema: Si F y G son dos funciones tales que f’(x) = g’(x) x I ∀ ∈ entonces C∃ tq F(X) =

G(X) + C ∀ x ∈ I Definición: Antidiferenciación es el procedimiento por medio del cual se determinan todas las antiderivadas de una función dada. El símbolo ∫ denota la operación de antidiferenciación y se escribe:

C)x(Fdx )x(F +=∫

Dos propiedades básicas de la antidiferenciación.

1.- dx )x(fadx )x(af ∫∫ =

2.- [ ] dx (x)f dx (x)f dx (x)f dx (x) f (x)f (x)f n21n21 ∫∫∫∫ +…++=+…++

Tabla de Integrales

1. ∫∫ −= vduuvdvu ; Integración por Partes 2. C)u(Tandu)u(Sec2 +=∫

3. Cudu +=∫ 4. C)u(Cotdu)u(Csc2 +−=∫

5. Ckukdu +=∫ Donde k es una constante 6. C)u(Secdu)u(Tan)u(Sec +=∫

7. C1n

uduu

1nn +

+=

+

∫ ; para n ≠ -1 8. C)u(Cscdu)u(Cot)u(Csc +−=∫

9. CuLnudu

+=∫ 10. Cauau

Lna21

au

du22

++−

=−∫ ; ( u2 > a2 )

11. Cedue uu +=∫ 11. Cauau

Lna21

ua

du22

+−+

=−∫ ; ( a2 > u2 )

13. CaLn

adua

uu +=∫ ; donde a>0 y a ≠ 1 14. C

au

arcSenua

du22

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=−

∫ ; donde a>0

15. C)u(Cosdu)u(Sen +−=∫ 16. Cau

arcSeca1

auu

du22

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=−

∫ ; donde a>0

17. C)u(Sendu)u(Cos +=∫ 18. Cau

arcTana1

ua

du22

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=+∫

19. C)u(SecLndu)u(Tan +=∫ 20. CauuLnau

du 22

22+±+=

±∫



6

21. C)u(SenLndu)u(Cot +=∫ 22. Cu)u(Tandu)u(Tan2 +−=∫

23. C)u(Tan)u(SecLndu)u(Sec ++=∫ 24. ( ) Cu)u(Cotdu)u(Cot2 ++−=∫

25. C)u(Cot)u(CscLndu)u(Csc +−=∫

26. Cau

arcSen2a

ua2u

duua2

2222 +⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−=−∫

27. CauuLn2a

au2u

duau 222

2222 +±+±±=±∫

Tabla de Derivadas

1. uDnu)u(D x1nn

x−= 2. uD u Cos )u Sen(D xx = 3. 2

xx

u1

uD )u arcSen(D

−=

4. vDuD)vu(D xxx +=+ 5. uD u Sen- )u Cos(D xx = 6. 2

xx

u1

uD - )u arcCos(D

−=

7. uvDvuD)uv(D xxx += 8. uD uSec )u Tan(D x2

x = 9. 2x

xu1

uD )u arcTan(D

+=

10. 2xx

xv

vuDuvD)

vu

(D−

= 11. uD uCsc )u Cot(D x2

x −= 12. 2x

xu1

uD- )u arcCot(D

+=

13. uDe)e(D xuu

x = 14. uD Cot u Csc )u Csc(D xx −= 15. 1uu

uD )u arcSec(D

2

xx

−=

16. uD Ln(a) a)(aD xuu

x = 17. uD u Tanu Sec )u Sec(D xx = 18. 1uu

uD - )u arcCsc(D

2

xx

−=

19. uuD

Ln(u)D xx =

Tabla de Identidades Trigonométricas

1. 1)x(Sen)x(Cos 22 =+ 2. )x(Sen)x(Cos)x2(Cos 22 −=

3. )x(Tan1)x(Sec 22 += 4. (x) Cos)x(Cos )x(Sen)x(Sen =−−=−

5. )x(Cot1)x(Csc 22 += 6. (x) Cot)x(Cot )x(Tan)x(Tan −=−−=−

7. 1)x(Csc)x(Sen = 8. (x) Csc)x(Csc )x(Sec)x(Sec −=−−=−

9. 1)x(Sec)x(Cos = 10. coh

)(Csc hco

)(Sen =θ=θ

11. 1)x(Cot)x(Tan = 12. cah

)(Sec hca

)(Cos =θ=θ

13. )x(Cos)x(Sen

)x(Tan = 14. coca

)(Cot caco

)(Tan =θ=θ

h = Hipotenusa co = Cateto Opuesto ca = Cateto Adyacente

θ

h co

ca



7

15. )x(Sen)x(Cos

)x(Cot = 16. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]x nm Cosx nm Cos21

nx Sen mx Sen +−−=

17. [ ])x2(Cos121

)x(Sen2 −= 18. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]x nm Cosx nm Cos

21

nx Cos mx Cos −++=

19. [ ])x2(Cos121

)x(Cos2 += 20. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]x nm Senx nm Sen21

nx Cos mx Sen −++=

21. )x(Cos)x(Sen2)x2(Sen = 22. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]x nm Senx nm Sen21

nx Sen mx Cos −−+=

Integrales Inmediatas Ejemplos Ilustrativos

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular ∫ dxx3 4

∫ dxx3 4

Cx53

C14

x3

dxx3

5

14

4

+=

++

⋅=

=

+

∫

Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular ∫ dxx

13

∫ dxx

13

Cx2

1

C2

x

C13

x

dxx

2

2

13

3

+−

=

+−

=

++−

=

=

−

+−

−∫

Ejemplo Ilustrativo 3 Calcular ∫ dxx x22 3 23

∫ dxx x22 3 23

23 3

113

22 x x dx

22 x dx

= ⋅

=

∫∫

111

3

143

22 xC

111

3

22 xC

143

+⋅

= ++

⋅= +



8 14

3

143

66x C

1433

x C7

= ⋅ +

= ⋅ +

Ejemplo Ilustrativo 4 Calcula ∫ −+ dx)x8x32(x2 322

∫ −+ dx)x8x32(x2 322

Cx38

x56

x34

Cx6

16x

56

x34

C15

x1614

x612

x4

dxx16dxx6dxx4

dx)x16x6x4(

653

653

151412

542

542

+⋅−⋅+⋅=

+⋅−⋅+⋅=

++⋅

−+

⋅+

+⋅

=

−+=

−+=

+++

∫ ∫∫∫

Ejemplo Ilustrativo 5 Calcula dy y

)1y2y( 24

∫−+

dy y

)1y2y( 24

∫−+

Cy25y4

9y2

C1y2

5y22

9y2

C

21

y

25y2

29

y

C1

21

y

123y2

127y

dyydyy2dyy

dyyy2y

dyyy2y

dyy

1

y

y2

y

y

212

52

9

21

25

29

21

25

29

121

123

127

21

23

27

21

23

27

212/122/14

21

21

2

21

4

+−+=

+−⋅

+=

+−+=

++

−−

+

⋅+

+=

−+=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−+=

+−

++

−

−

−−−

∫ ∫ ∫

∫

∫

∫

Ejemplo Ilustrativo 6 Calcula 3Sen(t) - 2Cos(t) dt⎡ ⎤⎣ ⎦∫

[ ]∫ dt 2Cos(t) - 3Sen(t)

C)t(sen2)tcos(3

dt Cos(t)2 - Sen(t)dt3

+−−=

= ∫ ∫



9 Ejemplo Ilustrativo 7 Calcula [ ]∫ + θθθθ d)(Sec2)(Cot )( Csc 2

[ ]∫ + θθθθ d)(Sec2)(Cot )( Csc 2

)(Tan2)( Csc

d)(Sec2d)(Cot )( Csc 2

θθ

θθθθθ

+−=

+= ∫∫

Ejemplo Ilustrativo 8 Calcula ∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+ dx)x(Cot 3

(x) Cot3

∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+ dx)x(Cot 3

(x) Cot3 [ ]

( )( ))x(sen)xsec(Ln3

)x(senLn)xsec(Ln3

C)x(senLn3)xsec(Ln3

dx)x(Cot3dx)x(Tan3

dx)x(Cot 3)x(Tan3

⋅=

+=

++=

+=

+=

∫∫∫

Ejemplo Ilustrativo 9 Calcula ⎛ ⎞

− +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ x x

2

32 e 4 dx

Cos (x)

⎛ ⎞− +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ x x

2

32 e 4 dx

Cos (x) ( )= − +

= − +

= − + +

∫∫ ∫ ∫

2 x x

2 x x

xx

3Sec (x) 2 e 4 dx

3 Sec (x)dx 2 e dx 4 dx

43Tan(x) 2e C

Ln4

EJERCICIOS PROPUESTOS

Integral Respuesta Integral Respuesta

1. ∫ dxx3 2 Cx3 + 2. ∫ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+ dx3x5x 23

Cx3x3

10x

52 2

32

5+−+

3. ∫ dxX

13

Cx21 2 +− − 4. dy7y∫ C

7Ln7y

+

5. ∫ 3 x

dx Cx

23 3

2+ 6. ( )dy 3y2y 23∫ − Cy

43

y31 46 ++

7. ∫ dxx3 32

Cx59 3

5+ 8. ( )( ) φφ−φ∫ d)(Tan3Cot2 C)(Cos)(SenLn 32 +φφ

9. ∫ x

dx Cx2 + 10. ∫ )x(Sen

dx2

C)x(Cot +−

11. ∫ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

dyy3y5 412 Cy4y

35 4

33 +− 12. ∫ )u(Cos

du C)u(Tan)u(SecLn ++

13. ∫−

dxX

x2x4 2

Cx4x2 2 +− 14. ∫ )t(Cosdt)t(Sen

C)t(SecLn +

15. ∫ dxax C3axx2

+ 16. ( ) dx1x2x2

∫ + C481

2x

x34

x2

34 +−++



10

17. ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− dx

X

22x

2

2

CX2

6x3

++ 18. ∫+−

dxX

5x6x3

CxLn5x63x3

++−

19. ∫ tdt

CtLn + 20. ∫ θθθ d)(Cos)(Sec3 C)(Tan +θ

21. dyey∫ Cey + 22. ∫ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++ dx5X

3

x

223

Cx5x3

x

12

++−−

23. ∫ dxx3 4 Cx53 5 + 24. ( )dt tt23 2∫ +− Ct

31

tt3 32 ++−

25. ∫ duu5 23

Cu2 25

+ 26. ( )dx1xx +∫ Cx32

x52 2

32

5++

27. dxx103 2∫ Cx6 35

+ 28. ∫ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ − duuu 23

Cu21

u52 22

5+−

29. dxxx6 32∫ Cx59 3

10+ 30. dx

x

1x

33∫ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ Cx

23

x43 3

23

4++

31. dx e e 6 x23 x2∫ Cex + 32. ( )dx xx4 23∫ + Cx31

x 34 ++

33. ( )dx 5x4x6x4 23∫ +−− Cx5x2x2x 234 ++−−

34. ∫−+

dxx

4x4x2

Cx8x38

x52 2

12

32

5+−+

35. ( ) ( )[ ]dttCos2t Sen3∫ − C)t(Sen2)t(Cos3 +−−

36. ( )( ) θθ−θ∫ d)(Tan3Cot2 22 C)(Tan3)(Cot2 +θ+θ−θ−

37. ( ) ( )( )dt)t(TantSec5tCsc3 2∫ − ( ) C)t(Sec5)t(Cot3 ++−

Técnicas De Integración. Integración por Sustitución Elemental o Cambio de Variable Ejemplos Ilustrativos

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular dyy413∫ −

dyy413∫ − ( ) dyy41 31

∫ −= (A)

Cambio de variable

Sea 1-4y=u⇒ -4dy = du 4

dudy

−=⇒

Sustituyendo u y dy en (A) tenemos 13

13

duu

41

u du4

= ⋅−

=−

∫

∫



11 43

43

1 uC

443

3u C

16

= +−

−= +

Volviendo a la variable original “y” Quitando el cambio de variable

( )

( ) Cy4116

3

Cy41163

3 4

34

+−−

=

+−−

=

Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular ∫ dx 1) - (x x 1032

∫ dx 1) - (x x 1032 ∫= dxx1) - (x 2103 (1)

Cambio de variable

Sea 1 -x3 = v ⇒ 3x2dx = dv 3dv

dxx2 =⇒

Sustituyendo v y dv en (1) se tiene

C11v

3dv

v

11

10

+=

= ∫

Quitando el cambio de variable

C11

)1x(

C11v

113

11

+−

=

+=

Ejemplo Ilustrativo 3 Calcular ∫+

ds13s

s2

∫+

ds13s

s2

( )∫

+=

21

2 13s

sds

Haciendo 3s2+1 = x 6dx

sdsdxsds6 =⇒=⇒

12

12

dx6

x1 dx6 x

=

=

∫

∫



12 12

11

2

1x dx

6

1 xC

16 12

−

− +

=

= ⋅ +− +

∫

12

12

1 xC

162

1x C

3

= ⋅ +

= +

Volviendo a la variable original

( )C13s

31

C 13s31

2

21

2

++=

++=

Ejemplo Ilustrativo 4 Calcular θθ∫ d)(4 Cos

θθ∫ d)(4 Cos θθ∫= d)Cos(4

Hacemos 4θ =t4dt

ddtd4 =⇒=⇒ θθ

C )t(Sen41

dt)Cos(t41

4dt

)Cos(t

+=

=

=

∫∫

Ejemplo Ilustrativo 5 Calcular ∫ +dx

Cos(x)) (1

(x) 4Sen2

∫ +dx

Cos(x)) (1

(x) 4Sen2

∫ +=

2Cos(x)) (1

dx (x) Sen4

Hacemos 1+Cos(x) = u ⇒ Sen(x) dx = du

CCos(x) 1

4

Cu4

C1

u4

duu4

u

du4

1

2

2

++−

=

+−

=

+−

⋅=

=

=

−

−∫∫



13 Ejemplo Ilustrativo 6 Calcular ∫ + dx (2x)) Cot 2x) (Tan( 2

Desarrollando el producto notable 2(2x)) Cot 2x) (Tan( + se tiene 2(2x)) Cot 2x) (Tan( +

(2x)Csc(2x)Sec

22-(2x)Csc(2x)Sec

1-(2x)Csc21-(2x)Sec

(2x)Cot 12 (2x)Tan

(2x)Cot Cot(2x) 2Tan(2x) (2x)Tan

22

22

22

22

22

+=

++=

++=

+⋅+=

+⋅+=

Asi la integral original se transforma en

∫ + dx (2x)) Cot 2x) (Tan( 2 ∫ += dx (2x)) Csc 2x) ((Sec 22

Si cambiamos 2x por θ se tiene

2x = 2d

dxddx2θθθ =⇒=⇒

∫ +=2d

))( Csc )((Sec 22 θθθ

[ ]( ) C)(Cot)(Tan

21

d ))( Csc )d((Sec21 22

+−=

+= ∫ ∫θθ

θθθθ

Quitando el cambio se tiene finalmente

( ) C)x2(Cot)x2(Tan21

+−

Ejemplo Ilustrativo 7 Calcular ∫x

x

e -Sen(x) dx

e +Cos(x)

Cambio de variable: Sea ( )⇒x xe +Cos(x) = r e -Sen(x) dx = dr que al sustituir en la integral original se obtiene:

∫x

x

e -Sen(x) dx

e +Cos(x) = = + = +∫ xdr

Ln r C Ln e +Cos(x) Cr

Ejemplo Ilustrativo 8 Calcular ⋅

∫2

2

x Ln(x +1) dx

x +1

Cambio de variable:

Sea ⇒ = ⇒ =22 2

2x x dvLn(x +1) = v dx dv dx

2x +1 x +1 sustituyendo en la integral

original se obtiene: ⋅

∫2

2

x Ln(x +1) dx

x +1

22

xLn(x +1) dx

x +1dv

v2

= ⋅

= ⋅

∫

∫



14

2

1v dv

21 v

C2 2

= ⋅

= ⋅ +

∫

( )221x +1 C

4= ⋅ +

Ejemplo Ilustrativo 8 Calcular ∫arcSen(x)

2

e +x dx

1-x

La integral original se puede expresar como sigue:

∫arcSen(x)

2

e +x dx

1-x

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

= +

∫

∫ ∫

arcSen(x)

2 2

arcSen(x)

2 2

I1 I2

e x+ dx

1-x 1-x

e xdx dx

1-x 1-x

Resolviendo esta dos integrales por separado se obtiene:

= ∫arcSen(x)

2

eI1 dx

1-xpara I1 el cambio de variable será:

= ⇒ =− 2

dxarcSen(x) u du

1 x, por lo cual

=

= ⋅

= ⋅

= +

= +

∫

∫

∫

arcSen(x)

2

arcSen(x)

2

u

u1

arcSen(x)1

eI1 dx

1-xdx

I1 e1-x

I1 e du

I1 e C

I1 e C

= ∫ 2

xI2 dx

1-xpara I2 el cambio de variable será:

= ⇒ = ⇒−

2 dv1-x v -2xdx dv xdx=

2, asi tenemos que

2

2

xI2 dx

1-x1

I2 xdx1-x

=

= ⋅

∫

∫

12

1 dvI2

2v1 1

I2 dv2 v

= ⋅−

= ⋅−

∫

∫



15 -1

21I2 v dv

2

1I2

2

= ⋅−

=−

∫12v

1

2

2C+

12

2

2

22

I2 v C

I2 v C

I2 1-x C

= − +

= − +

= − +

La integral original es la suma de I1 e I2:

= +∫arcSen(x)

2

e +x dx I1 I2

1-x

= + − +

= − + +

= − +

arcSen(x) 21 2

arcSen(x) 21 2

arcSen(x) 2

e C 1-x C

e 1-x C C

e 1-x C

Ejemplo Ilustrativo 9 Calcular ( )123 2x 2 x dx−∫

La integral original se puede expresar como sigue:

( )123 2x 2 x dx−∫

( )122 2x 2 x xdx= −∫ Haciendo el cambio de variable:

( )

( )

( )

2

2 2

12

12 13

1312

13 14

13

12-x =u -2xdx=du xdx=- du

2

Como 2-x =u x =2-u

que al sustituir en la integral original se obtiene:1

2 u u du21

2u u du21

2 u du u du21 2 1

u u C2 13 14

1 1u 28 13u C

2 1821

364

⇒ ⇒

⇒

= − −

= − −

⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= − − +⎢ ⎥⎣ ⎦

= − ⋅ − +

= −

∫

∫

∫ ∫

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

132 2

132 2

132 2

2-x 28 13(2-x ) C

12-x 28 26 13x C

3641

2-x 2 13x C364

− +

= − − + +

= − + +



16 EJERCICIOS PROPUESTOS


1. ∫ − dyy41 ( ) Cy4161

23

+−− 2. ∫ +dx

e3

ex2

x2

Ce3Ln21 x2 ++

3. ∫ − dxx263 ( ) Cx2683

34

+−− 4. ∫⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

3 2

43

1

r

dr2r

C2r53

53

1+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

5. ∫ − dx9xx 2 ( ) C9x31 2

32 +− 6. ∫ dxx)

31

Sen( C3x

3Cos- +⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

7. ∫ − dxx4x3 2 ( ) Cx4 23

2 +−− 8. ∫ dx)Sen(x6x 32 C)(x2Cos- 3 +

9. ( )∫ + dx1x2x62 ( )72 1x2

281

+ 10. ∫ dt)tCos(4t21 2 ( ) Ct4Sen

161 2 +

11. ( )∫+

32 1x

xdx

( )C

1x4

122+

+

− 12. ∫ dr)(rSecr 322 ( ) CrTan

31 3 +

13. ( )∫ − dxx49x5 3 22 ( ) Cx4983 3

52 +−− 14. ∫ θθ d)(2Csc2 C)Cot(2

21

- +θ

15. ( )∫ +− dx4x4x 34

2 ( ) C2x113

311

+− 16. ∫ − dx)x2(Cos2Sen(2x) [ ] C)x2(Cos231

23

+−

17. ∫ − dx5x3x 54 ( ) C5x3452 35 +− 18. dx)x(Cose )x(Sen∫ Ce )x(Sen +

19. ( )∫−

54

3

y21

dyy ( )44y2132

1

− 20. ( ) ( )∫ dy3y Cot 3y yCsc 22 ( ) C3y Csc

61

- 2 +

21. ∫− 4x1

xdx2 C)x(arcSen 2 + 22. ( )∫ + dxSen(x)2 Cos(x) 5 [ ] C)x(Sen2

61 6 ++

23. ∫ − dx4x33 ( ) C4x341

34

+− 24. ∫− )x(Tan9)x(Cos

dx22

C3

)x(TanarcSen +⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

25. 2x

dxx31

1∫ + Cx31

122

3

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+− 26. ∫ + 2))x(Cos1(

dx )x(Sen4 C

)x(Cos14

++

27. ( )( )∫

++

+323

2

1x2x

dxx8x6 ( )

C1x2x

1223+

++− 28. dx

x1

x1Cos∫ +

+ Cx1sen2 ++

29. ( )∫ + dxx3x 541

3 ( ) ( ) C12x53x1354 34

53 +−+

30. ( )∫ − 7r1

rdr2 ( )( ) Cr11r6

156 6 +−− −

31. ( )( )∫

−

+

32

y3

dy3y ( )( ) Cy321y

43

31

+−+−

32. ∫ + 3t

tdt ( )( ) C3t6t

32

21

++−



17

33. ∫ − dxxx23 2 ( )( ) Cx236x6x5351

232 +−++−

34. ( )∫ − dxx2x1223 ( )( ) Cx22x13

3641 1322 +−+−

Integración por partes. Entre las aplicaciones mas importantes del método de integración por parte se encuentra la integración de :

a) Diferenciales que contienen productos. b) Diferenciales que contienen logaritmos c) Diferenciales que contienen Funciones Trigonométricas Inversas

Si u y v son funciones de la misma variable independiente se tiene que ∫udv = uv - ∫ vdu la cual es llamada fórmula de integración por partes. Esta fórmula expresa la ∫udv en términos de otra integral ∫vdu la cual es mas fácil de evaluar. Para evaluar cualquier integral por este método se debe elegir un cambio para u y dv, por lo general es recomendable que el dv sea el factor más complicado del integando. Otra recomendación es la siguiente regla para la elección de u L = Logarítmica. I = Trigonométrica Inversa A = Algebraica T = Trigonométrica Directa E = Exponencial Ejemplos Ilustrativos:

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 2

ln xdx

x∫

Tomando en cuenta la regla (L)IATE se hace u Ln(x)

dxdu

x

=

=

2

2

2

1

dxdv

xdx

dvx

dv x dx

v x1

vx

−

−

=

=

=

= −

= −

∫ ∫

∫ ∫

Sustituyendo en la fórmula de integración por partes se tiene:

2

ln xdx

x∫

2

1 1 dxLn(x)

x x xLn(x) dx

observe que esta integral se resolvio al iniciox x

Ln(x) 1C

x x1

1 Ln(x) Cx

− −= ⋅ − ⋅

−= +

−= + +

= − +⎡ ⎤⎣ ⎦

∫

∫



18

Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular ∫ dx Senx x

Tomando en cuenta la regla LI(A)TE se hace

dxduxu=

=

)x(Cosv

dx)x(Sendv

dx)x(Sendv

−=

=

=

∫ ∫

Sustituyendo en la formula de integración por partes se tiene:

∫ dx Senx x

C)x(Sen)x(Cos

dx)x(Cos)x(Cos

duvvu

++−=

−−−=

⋅−⋅=

∫∫

Ejemplo Ilustrativo 3 Calcular ∫ dx Cosx ex

Siguiendo la regla LIA(T)E para seleccionar el cambio para u se tiene que la primera prioridad es Trigonométrica por lo que:

dx)x(Sendu)x(Cosu

−==

x

x

x

ev

dxedv

dxedv

=

=

=

∫ ∫


xe C os(x) dx⋅∫

)A(dx)x(Sene)x(Cose

dx)x(Sene)x(Cose

duvvu

xx

xx

∫∫

∫

⋅+⋅=

⋅−−⋅=

⋅−⋅=

Para resolver la integral ∫ ⋅ dx)x(Senex usamos también la técnica de

integración por partes, para lo cual aplicamos la regla LIA(T)E

dx)x(Cosud

)x(Senu

=

=

x

x

x

ev

dxevd

dxevd

=

=

=

∫ ∫

Por lo cual

)B(dx)x(Cose)x(Senedx Sen(x) e

udvvudx Sen(x) e

xxx

x

∫∫∫∫

⋅−⋅=

⋅−⋅=

Sustituyendo la expresión (B) en la expresión (A)se tiene: x x x x

x x x x

e C os(x) dx e Cos(x) e Sen(x) e Cos(x)dx

e C os(x) dx e Cos(x)dx e Cos(x) e Sen(x)

= ⋅ + ⋅ − ⋅

+ ⋅ = ⋅ + ⋅

∫ ∫∫ ∫



19 x x x

x x12

2 e Cos(x)dx e Cos(x) e Sen(x)

e Cos(x)dx e Cos(x) Sen(x) C

⋅ = ⋅ + ⋅

⋅ = ⋅ + +⎡ ⎤⎣ ⎦

∫∫

Ejemplo Ilustrativo 4 Calcular ∫ dxx-1

x2

3

∫ dxx-1

x2

3

Observe que:

∫⋅

= dxx-1

xx2

2

Utilizando la regla LI(A)TE para seleccionar el cambio tiene que la primera prioridad es Algebraica por lo que:

xdx2duxu 2

==

∫ ∫

−=

−=

)A(

2

2

x1

xdxdv

x1

xdxdv

Para resolver la integral (A) se hace el cambio de variable

xdx2

dtdtxdx2tx1 2 =

−⇒=⇒=−

Por lo que:

2212

1

21

2x1tt

21

t21

dtt21

t2

dt

x1

xdx−−=−=−=⋅

−=

−=−=

−∫ ∫∫

−

Lo cual se simplifica en:

2

2x1

x1

xdx−−=

−∫

Asi la expresión (A) quedara como: 2x1v −−= Quedando la integral original al aplicar la formula de integración por partes como sigue:

∫ dxx-1

x2

3

)B(

222

222

xdx2x1x1x

xdx2x1x1x

duvvu

∫∫

∫

⋅−+−−=

⋅−−−−−=

⋅−⋅=

La integral (B) será resuelta en forma análoga a la integral (A) por un cambio de variable siendo w=1-x2 ⇒ dw=-2xdx así

( )3223

223

212 x1

32

)x1(32

w32

dwwdwwxdx2x1 −⋅−=−⋅−=⋅−=−=−=− ∫ ∫∫

Volviendo a la expresión (B) se tiene:

∫ dxx-1

x2

3

2 2 2

u v v du

x 1 x 1 x 2xdx

= ⋅ − ⋅

= − − − − − ⋅

∫∫



20 2 2 2

(B)

x 1 x 1 x 2xdx= − − + − ⋅∫

( )

( )

( )

32 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

2x 1 x 1 x C

32

1 x x 1 x C3

2 21 x x x C

3 3

1 21 x x C

3 3

11 x x 2 C

3

= − − − ⋅ − +

⎡ ⎤= − − ⋅ + − +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= − − ⋅ + − +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= − − ⋅ + +⎢ ⎥⎣ ⎦

= − − ⋅ + +

Ejemplo Ilustrativo 5 Calcular ∫ xarctg(x)dx

Siguiendo la regla L(I)ATE se tiene que el cambio mas indicado para u es Trigonométrica inversa por lo que: =

2

u arctg(x)dx

du=x +1

=

=

∫ ∫2

dv xdx

dv= xdx

1v x

2

Luego la integral original al aplicar la formula de integración por partes quedará como sigue:

∫ xarctg(x)dx = ⋅ − ⋅

= − ⋅+

= −++ −

= −+

⎡ ⎤⎛ ⎞+ −= − +⎢ ⎥⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤−⎛ ⎞= − +⎢ ⎥⎜ ⎟+⎝ ⎠⎣ ⎦⎡= − +⎢ +⎣

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫ ∫

22

2

22

2

22

2

22

2 2

22

22

u v v du

1 1 xx arctg(x) dx

2 2 x 11 1 x

x arctg(x) dx2 2 x 11 1 x 1 1

x arctg(x) dx2 2 x 1

1 x 1 1x arctg(x) dx

2 x 1 x 1

1 1x arctg(x) 1 dx

2 x 1

1 1x arctg(x) dx dx

2 x 1⎤⎥⎦

⎡ ⎤= − + +⎣ ⎦21

x arctg(x) x arctg(x) C2

Ejemplo Ilustrativo 6 Calcular 2x Sen (3x)dx⋅∫



21 2x Sen (3x)dx⋅∫ ( )x 1 2 1 C os(6x) dx

1x xC os(6x) dx

2

⎡ ⎤= −⎣ ⎦

= −⎡ ⎤⎣ ⎦

∫

∫

2

I1

1xdx xC os(6x)dx

21 1

xdx xC os(6x)dx2 2x 1

xC os(6x)dx4 2

⎡ ⎤= −⎣ ⎦

= −

= −

∫ ∫

∫ ∫

∫

La integral I1 se resuelve usando el metodo de integración por partes Siguiendo la regla LI(A)TE se tiene que el cambio mas indicado para u es Trigonométrica inversa por lo que: u xdu=dx=

dv C os(6x)dx

dv C os(6x)dx

6x = z 6dx = dz

dz dx =

6dz

dv C os(z)6

1dv C os(z)dz

6v = Sen(z)

1v Sen(6x)

6

=

=

=

=

=

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

Resolviendo la integral I1 al aplicar la formula de integración por partes quedará

como sigue:

I1

1I1 xC os(6x)dx

2

xSen(6x)1 1I1 Sen(6x)dx

2 6 6

=

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

∫

1I1 xSen(6x) Sen(6x)dx

12 6x = r 6dx = dr

dr dx =

6

⎡ ⎤= −⎣ ⎦∫

1 drI1 xSen(6x) Sen(r)

12 6⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦∫



22 1 1

I1 xSen(6x) Sen(r)dr12 72

= − ∫

1 1I1 xSen(6x) Sen(6x)dr

12 721 1

I1 xSen(6x) Cos(6x)12 72

= −

= +

∫

2x Sen (3x)dx⋅∫ 2

I1

2

2

2

x 1xC os(6x)dx

4 2

x 1 1xSen(6x) Cos(6x) C

4 12 72

x 1 1xSen(6x) Cos(6x) C

4 12 721

18x 6xSen(6x) Cos(6x) C72

= −

⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥⎣ ⎦

= − − +

⎡ ⎤= − − +⎣ ⎦

∫



1. ∫ dxxe x3 C31

xe31 x3 +⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ − 2. ∫ dxxLn C1)- x (Ln x +

3. ∫ dx x Sen x C x Cos x - x Sen + 4. ( )∫ +dx

1x

xe2

x

C1x

ex

++

5. ∫ dxx

xLn2

( ) C1xLnx1

++− 6. ∫−

dxx1

x2

3

( )( ) cx-12x31 2

122 ++−

7. ∫ dxex x2 ( ) C2 2x- xe 2x ++ 8. ∫ − dxex2x3 ( ) C1xe

21 2x2

++− −

9. ∫ − dxex x2 ( ) C2x2xe 2x +++− −

10. ∫ dx 3x Sen x 2 C6x Cos 721

- 12

6x Sen x-x

41 2 +

11. ∫ dy y Sec y 2 C y CosLn y Tany ++

12. ∫ dx x) Ln(Cos x Sen ( ) C x CosLn-1 x Cos +

13. ∫ dx x Cos ex ( ) C x Senx Cose21 x ++

14. ∫ dx 2x

Sen x C 2x

Cos 2x - 2x

4Sen +

15. ( )∫ dxxLn2

C2xx Ln 2x- xLn x 2 ++

16. ∫ dx x Csc x 2 Cx SenLn x Cot x- ++



23

17. ∫ dx x arcTan x ( )[ ] Cxx arcTan1x21 2 +−+

18. ( )dxxLn Sen∫ ( ) ( )[ ] CxLn CosxLn Sen2x

+−

19. ( )dxxLn Cos∫ ( ) ( )[ ] CxLn CosxLn Sen2x

++

20. ( ) dx 1x2 Cos x∫ + ( ) ( ) C12x Cos41

12x Sen2x

++++

21. ∫ dx x Tanx Sec x Cx Tanx SecLn -x Sec x ++

22. ∫ dx x Cos x2 Cx 2Sen- x Cos 2x x Sen x2 ++

23. dx x Csc 3∫ ( ) CCtgxCscxLnCscxCtgx21

+−+−

24. dxx1

arcTanx x2

2

∫ + ( ) Cx arcTan

21

x1Ln21

x arcTanxx arcTan 22 +++−−

Integración de Potencias del Seno y el Coseno Caso 1 n nSen (u)du ó Cos (u)du∫ ∫ ; donde n es un entero Impar

Se descompone n en (n – 1) y 1 ;para el exponente par (n–1) se usa la fórmula Sen2(x) = 1–Cos2(x) ó Cos2(x) = 1–Sen2(x) y la función trigonométrica elevada al exponente 1 se agrupa con el diferencial.

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular ∫ 5Sen (x) dx

∫ 5Sen (x) dx

Observe que:

( )

( )

= ⋅

⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦

⇒ ⇒

= − ⋅

= − ⋅

= − + −

= − + − +

∫∫

∫∫∫ ∫ ∫

22

22

22

2 4

2 4

3 5

Sen (x) Sen(x) dx

1-Cos (x) Sen(x) dx

Hagamos el siguiente cambio de variable Sea Cos(x)=u -Sen(x)dx = du Sen(x)dx = -du

1-u du

(1-2u -u ) du

du 2 u du u du

2 1u u u C

3 5Volviendo

= − + − +3 5

a la variable inicial x tenemos2 1

Cos (x) Cos (x) Cos (x) C3 5

Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular ∫ 3Cos (3x) dx

∫ 3Cos (3x) dx

Observe que: 2

2

Cos (3x) Cos(3x) dx

1-Sen (3x) Cos(3x) dx

= ⋅

⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦

∫∫



24

( )2

2

3

3

Hagamos el siguiente cambio de variable dv

Sea Sen(3x)=v 3Cos(3x)dx = dv Cos(3x)dx = 3

dv1-v

31

dv v dv31 v

v C3 3

Volviendo a la variable inicial x tenemos

1 1Sen(3x) Sen (x) C

3 3

⇒ ⇒

= ⋅

⎡ ⎤= −⎣ ⎦

⎡ ⎤= − +⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

∫ ∫

Caso 2 n nSen (u)du ó Cos (u)du ∫ ∫ donde n es un entero par

Se usan la fórmulas: 2Sen (x) = ½ 1 - Cos(2x)⋅ ⎡ ⎤⎣ ⎦ 2Cos (x) = ½ 1 + Cos(2x)⋅ ⎡ ⎤⎣ ⎦

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular ∫ 2 xCos ( ) dx

2

∫ 2 xCos ( ) dx

2

( )

( )

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

=

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

∫

∫

∫ ∫

11+Cos(x) dx

2

11+Cos(x) dx

21

dx+ Cos(x)dx 2

( )

( )

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

=

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

= ⎡ ⎤⎣ ⎦

∫

∫

∫ ∫

11+Cos(x) dx

2

11+Cos(x) dx

21

dx+ Cos(x)dx 21

x+Sen(x) +C 2

Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular ∫ 4Sen (3x) dx

∫ 4Sen (3x) dx

( )

22

2

Sen (3x) dx

11-Cos(6x) dx

2

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

∫

( )211-Cos(6x) dx (A)

4d

Sea 6x= 6dx=d dx= sustituyendo en (A) se tiene6

=

θθ ⇒ θ ⇒

∫



25

( )

( )

2

2

1 d1-Cos( ) (A)

4 61

1-2Cos( )+Cos ( ) d24

θ= θ

= θ θ θ

∫

∫

21d -2 Cos( )d + Cos ( )d

241 1

d -2 Cos( )d + 1+Cos(2 ) d24 2

1 1 1d -2 Cos( )d + d Cos(2 )d

24 2 2

Sea 2 = 2d =d d

1 1d -2 Cos( )d +

24

⎡ ⎤= θ θ θ θ θ⎣ ⎦

⎡ ⎤= θ θ θ θ θ⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥= θ θ θ θ + θ θ⎢ ⎥⎣ ⎦

θ α ⇒ θ α ⇒ θ

= θ θ θ

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

1 dd Cos( )

2 2 2

1 1 1d -2 Cos( )d + d Cos( )d

24 2 4

1 3 1d -2 Cos( )d Cos( )d

24 2 4

1 3 1-2Sen( )+ Sen( ) C

24 2 4

Quitando la variable

1 3 1-2Sen( )+ Sen(2 ) C

24 2 4

Quitando

α⎡ ⎤θ + α⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= θ θ θ θ + α α⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= θ θ θ + α α⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= θ θ α +⎢ ⎥⎣ ⎦

α

⎡ ⎤= θ θ θ +⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

la variable

1 3 16x-2Sen(6x)+ Sen(2 6x) C

24 2 4

θ

⎡ ⎤= ⋅ +⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦

= +⎡ ⎤⎣ ⎦

1 19x-2Sen(6x)+ Sen(12x) C

24 4

136x-8Sen(6x)+Sen(12x) C

48

Caso 3 n mSen (x) Cos (x)dx;⋅∫ donde al menos uno de los exponentes es impar (m ó n) es impar

La solucion a este metodo es similar al metodo utilizado en el Caso 1

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular ∫ 4 3Cos (x)Sen (x) dx

∫ 4 3Cos (x)Sen (x) dx

4 2

4 2

Cos (x)Sen (x)Sen(x)dx

Cos (x) (1-Cos (x)) Sen(x)dx

=

= ⋅ ⋅

∫∫

4 2

Haciendo Cos(x)=u Sen(x)dx=du Sen(x)dx=-du

u (1-u ) du

⇒ − ⇒

= − ⋅∫

4 6

4 6

(u -u ) du

u du u du

= − ⋅

= − +

∫∫ ∫



26 5 7

5 7

u uC Quitando el cambio se tiene

5 71 1=- Cos (x) Cos (x) C5 7

= − + +

+ +

Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular ∫ 5 4Cos (x)Sen (x) dx

∫ 5 4Cos (x)Sen (x) dx

( )( )

=

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⎣ ⎦⇒

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

=

=

= − +

= − +

∫∫∫

∫∫∫∫ ∫ ∫

4 4

24 2

24 2

24 2

4 2 4

4 6 8

4 6 8

5 7 9

Sen (x)Cos (x)Cos(x)dx

Sen (x) Cos (x) Cos(x)dx

Sen (x) 1-Sen (x) Cos(x)dx

Haciendo Sen(x)=u Cos(x)dx=du

u 1-u du

u 1-2u +u du

u -2u +u du

u du 2 u du u du

u 2u uC

5 7 9Quitando el

+ +5 7

cambio se tiene1 1=- Cos (x) Cos (x) C5 7

Ejemplo Ilustrativo 3 Calcular Sen(5x) Cos(2x)dx⋅∫

Usando la fórmula Sen(mx) Cos(nx) = ½ Sen (m-n) x + ½ Sen (m+n) x⋅ ⋅ ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ se tiene que: Sen(5x) Cos(2x)⋅ = ½ Sen (5-2) x + ½ Sen (5+2) x

= ½ Sen(3x) + ½ Sen(7x)

⋅ ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Asi la integral original se convierte en:



27 Sen(5x) Cos(2x)dx⋅∫

= ½ Sen(3x) + ½ Sen(7x) dx

= ½ Sen(3x)dx + ½ Sen(7x)dx

Cambiando variables 3x=u 7x=v3dx=du 7dx=dv

du dvdx= dx=

3 7du dv

= ½ Sen(u) + ½ Sen(v)3 7

1 1= Sen(u)du+ Sen(v)dv

6 141 1

Cos(u) Cos(v) C6 14

⎡ ⎤⎣ ⎦

= − − +

= −

∫∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

1 1Cos(3x) Cos(7x) C

6 141

7Cos(3x) 3Cos(7x) C42

− +

= − + +⎡ ⎤⎣ ⎦

Caso 4 n mSen (x).Cos (x)dx∫ donde m y n son numeros pares

La solucion a este metodo es similar al metodo utilizado en el Caso 2

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 2 2Sen (x) Cos (x)dx⋅∫

2 2Sen (x) Cos (x)dx⋅∫

2

2

1-Cos(2x) 1+Cos(2x)dx

2 2

11-Cos(2x) 1+Cos(2x) dx

41

1-Cos (2x) dx41

Sen (2x)dx4

1-Cos(4x)1dx

4 2

11-Cos(4x) dx

81

dx- Cos(4x)dx8

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

=

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

= ⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫ ∫

Para la segunda integral usamos el cambio 4x u4dx du

dudx

4

==

=



28 1 du

dx- Cos(u)8 4

1 1dx- Cos(u)du

8 32

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

=

∫ ∫

∫ ∫

1 1x Sen(u) C

8 321 1

x Sen(4x) C8 321

4x Sen(4x) C32

= − +

= − +

= − +⎡ ⎤⎣ ⎦

Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular 4 2Sen (x) Cos (x)dx⋅∫

4 2Sen (x) Cos (x)dx⋅∫ 2

2

2

2 2 3

2 3

1-Cos(2x) 1+Cos(2x)dx

2 2

11-Cos(2x) 1+Cos(2x) dx

81

1-2Cos(2x)+Cos (2x) 1+Cos(2x) dx81

1+Cos(2x)-2Cos(2x)-2Cos (2x)+Cos (2x)+Cos (2x) dx81

1-Cos(2x)-Cos (2x) Cos (2x8

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⋅ ⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

= +

∫

∫

∫

∫

( )

2 2

2

) dx

11-Cos(2x)-Cos (2x) Cos (2x) Cos(2x) dx

81+Cos(4x)1

1-Cos(2x)- 1 Sen (2x) Cos(2x) dx8 2

11-Cos(2x)

8

⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡ ⎤= + ⋅⎣ ⎦

⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎣ ⎦

=

∫

∫

∫Cos(4x)1

- Cos(2x)2 2− + 2

2

2

2

Sen (2x) Cos(2x) dx

Cos(4x)1 1Sen (2x) Cos(2x) dx

8 2 2

Cos(4x)1 1dx dx Sen (2x) Cos(2x)dx

8 2 2

1 1 1dx Cos(4x)dx Sen (2x) Cos(2x)dx

16 16 8

⎡ ⎤− ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= − − ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= − − ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

= − − ⋅

∫

∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

Usemos los siguientes cambios de variable

4x u4dx du

dudx

4

==

=

Sen(2x) v2Cos(2x)dx dv

dvCos(2x)dx

2

==

=

2

2

1 1 du 1 dvdx Cos(u) v

16 16 4 8 21 1 1

dx Cos(u)du v dv16 64 16

= − − ⋅

= − −

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

3

3

1 1 1 vx Sen(u) C

16 64 16 31 1 1

x Sen(4x) Sen (2x) C16 64 48

= − − +

= − − +



29 31

12x 3Sen(4x) 4Sen (2x) C192

⎡ ⎤= − − +⎣ ⎦


Integral Respuesta

1. dx x Cos x Sen4∫ C x Sen51 5 +

2. dx 4x Sen 4xCos3∫ C 4x Cos161 4 +−

3. dx 2x

Cos2∫ ( ) C x Senx21

++

4. dx xSen2∫ C 2

2x Sen-x

21

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

5. dx xSen3∫ C x Cos- x Cos31 3 +

6. dx x Cos x Sen 32∫ C x Sen51

- x Sen31 53 +

7. dx 3x Sen 4x Cos∫ C x Sen - 7x Sen71

21

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

8. dy 5y Cos 3y Sen∫ C 8y Cos41

2y Cos41

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

9. dt 3t Cos t3 Sen 22∫ C 12t Sen121

-t81

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

10. dt2t Sen

2t Cos4∫ C 2t Csc

61 3 +−

11. dx x Cos

x Sen2

3

∫ C x Secx Cos ++

12. ( ) dt 2t Sen- 3t Sen2

∫ C 6t Sen121

- 5t Sen51

4t Sen81

- t Sent ++−

13. dx x Cos x Sen 25∫ C x Cos71

- x Cos32

x Cos31 753 ++−

14. dy ySen6∫ C 4y Sen643

2y Sen481

2y Sen41

y165 3 +++−

15. dx xCos4∫ C 4x Sen321

2x Sen41

x83

+++

16. dz zSen4∫ C 4z Sen321

2z Sen41

z83

++−

17. ( ) dt t Cos t Sen2

2∫ + C 4t Sen321

t Sen 32

t87 3 +++

18. ( ) dt y Sen- 22

∫ C 2y Sen41

-y 4Cosy29

++

19. dx 3x Sen

3xCos3

3

∫ C 3x Sen41

- 3x Sen21 3

83

2+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛



30

20. dx xSen4∫ C 4x Sen321

2x Sen41

x83

++−

Integración de Potencias de la Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante

Caso1 n nTg (u)du ó Ctg (u)du∫ ∫ donde n es un entero positivo

Se desarrolla:

n (n-2) 2

n (n-2) 2

Tg (u) = Tg (u) Tg (u)

Tg (u) = Tg (u) Sec (u) - 1

Se usa el cambio de variable Tg(u) = z

⋅

⎡ ⎤⋅ ⎣ ⎦ ó

n (n -2) 2

n (n-2) 2

Ctg (u) = Ctg (u) Ctg (u)

Ctg (u) = Ctg (u) Csc (u) - 1

Se usa el cambio de variable Ctg(u) = z

⋅

⎡ ⎤⋅ ⎣ ⎦

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 4Tg (x)dx∫

4Tg (x)dx∫

( )

2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

2

Tg (x)Tg (x)dx

Tg (x) Sec (x)-1 dx

Tg (x) Sec (x)-Tg (x) dx

Tg (x) Sec (x)- Sec (x)-1 dx

Tg (x) Sec (x)-Sec (x)+1 dx

Tg (x) Sec (x)dx- Sec (x)dx+ dx

Siendo Tg(x)=u Sec (x)dx=du

u du- S

=

⎡ ⎤= ⋅ ⎣ ⎦⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦

= ⋅

⇒

=

∫∫∫∫∫∫ ∫ ∫

2

3

3

ec (x)dx+ dx

uTg(x) x C

31

Tg (x)-Tg(x)+x+C3

= − + +

=

∫ ∫ ∫

Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular 3Ctg (x)dx∫

3Ctg (x)dx∫ 2

2

2

2

2 2

2

2

Ctg(x) Ctg (x)dx

Ctg(x) Csc (x)-1 dx

Ctg(x) Csc (x)-Ctg(x) dx

Ctg(x) Csc (x)dx- Ctg(x)dx

Siendo Ctg(x)=u Csc (x)dx=du Csc (x)dx=-du

udu- Ctg(x)dx

uLn Sen(x) C

21

Ctg (x)-Ln Sen(x)2

= ⋅

⎡ ⎤= ⋅ ⎣ ⎦⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦

= ⋅

⇒ − ⇒

= −

= − − +⎡ ⎤⎣ ⎦

= ⎡ ⎤⎣

∫∫∫∫ ∫

∫ ∫

+C⎦



31 Caso 2 ( ) ( )n nSec u du ó Csc u du∫ ∫ donde n es un entero positivo par

Se desarrolla:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

n-2n 2

(n-2)/2n 2 2

Sec u = Sec u Sec u

Sec u = Tg u +1 Sec u

⋅

⎡ ⎤ ⋅⎣ ⎦ ó

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

n-2n 2

(n -2)/2n 2 2

Csc u = Csc u Csc u

Csc u = Ctg u + 1 . Csc u

⋅

⎡ ⎤⎣ ⎦

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 4Sec (2x)dx∫

4Sec (2x)dx∫ 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2

2

3

Sec (2x) Sec (2x)dx

Sec (2x) Tg (2x)+1 dx

Tg (2x) Sec (2x)+Sec (2x) dx

Tg (2x) Sec (2x)dx+ Sec (2x)dx

duSiendo Tg(2x)=u 2 Sec (2x)dx=du Sec (2x)dx=

2du du

u +2 2

1 1u du+ du

2 21 1

u u C6 21

Tg6

= ⋅

⎡ ⎤= ⋅ ⎣ ⎦⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦

= ⋅

⇒ ⋅ ⇒

=

=

= + +

=

∫∫∫∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

3 1(2x) Tg(2x) C

2+ +

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 6 xCsc dx

3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫

6 xCsc dx

3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫ 4 2

2

2 2

4 2 2

4 2 2 2 2

x xCsc Csc dx

3 3

x xCtg +1 Csc dx

3 3

x x xCtg 2Ctg 1 Csc dx

3 3 3

x x x x xCtg Csc 2Ctg Csc Csc

3 3 3 3 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫

∫

∫

4 2 2 2 2

2 2

4 2

5 3

5 3

dx

x x x x xCtg Csc dx 2 Ctg Csc dx Csc dx

3 3 3 3 3

x 1 x xSiendo Ctg =u Csc dx=du Csc dx=-3du

3 3 3 3

3 u du 6 u du 3 du

3 6u u 3u C

5 33 x 6 x

Ctg Ctg5 3 3 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ − ⋅ ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= − − −

−= − − +

− ⎛ ⎞ ⎛= −⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

x3Ctg C

3⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠



32 Caso 3 ( ) ( )n nSec u du ó Csc u du∫ ∫ donde n es un entero positivo impar

En este caso se usa la Integración por Partes Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular ( )3Sec x dx∫

Tomando en cuenta la regla LIA(T)E se hace

u Sec(x)du Sec(x) Tg(x)dx== ⋅

2

2

dv Sec (x)dx

dv Sec (x)dx

v Tg(x)

=

=

=∫ ∫


( )

3

3 2

3 2

3 3

3 3

Sec (x)dx Sec(x) Tg(x) Tg(x) Sec(x) Tg(x)dx

Sec (x)dx Sec(x) Tg(x) Tg (x) Sec(x)dx

Sec (x)dx Sec(x) Tg(x) Sec (x) 1 Sec(x) dx

Sec (x)dx Sec(x) Tg(x) Sec (x) dx Sec(x)dx

Sec (x)dx Sec(x) Tg(x) Sec

= ⋅ − ⋅ ⋅

= ⋅ − ⋅

= ⋅ − − ⋅

= ⋅ − −

= ⋅ −

∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫

3 3

3

3

(x) dx Ln Sec(x) Tg(x) C

Sec (x)dx Sec (x) dx Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) C

2 Sec (x) dx Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) C

1Sec (x) dx Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) C

2

− + +

+ = ⋅ − + +

= ⋅ − + +

⎡ ⎤= ⋅ − + +⎣ ⎦

∫∫ ∫∫

∫

Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular ( )5Csc x dx∫

Tomando en cuenta la regla LIA(T)E se hace

3

2

3

u Csc (x)

du 3Csc (x) Csc(x) Ctg(x)dx

du 3Csc (x) Ctg(x)dx

=

= − ⋅ ⋅

= − ⋅

2

2

dv Csc (x)dx

dv Csc (x)dx

v Ctg(x)

=

=

= −∫ ∫

Sustituyendo en la formula de integración por partes se tiene: ( )5Csc x dx∫

3 3 2

I1

Ctg(x)Csc (x) 3 Csc (x) Ctg (x)dx (A)= − − ⋅∫

Resolviendo I1 tenemos:

( )( )

3 2

3 2

5 3

5 3

I2

I1 Csc (x) Ctg (x)dx

I1 Csc (x) Csc (x) 1 dx

I1 Csc (x) Csc (x) dx

I1 Csc (x)dx Csc (x)dx (B)

= ⋅

= ⋅ −

= −

= −

∫∫∫∫ ∫

Observe que la primera integral es nuestra integral original y la I2 se resuelve por este mismo caso i.e. por integración por partes con el siguiente cambio de variale



33 u Csc(x)

du Csc(x) Ctg(x)dx

=

= − ⋅

2

2

dv Csc (x)dx

dv Csc (x)dx

v Ctg(x)

=

=

= −

∫ ∫

Por lo tanto I2 quedara como sigue

( )

3 2

3 2

3 3

3 3

3

Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Csc(x) Ctg (x)dx

Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Csc(x) Csc (x) 1 dx

Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Csc (x)dx Csc(x)dx

Csc (x)dx Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Csc(x)dx

2 Csc (x)dx Csc(x)

= − ⋅ − ⋅

= − ⋅ − ⋅ −

= − ⋅ − +

+ = − ⋅ +

= − ⋅

∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫

3

Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)

1Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)

2

+ −

⎡ ⎤= − ⋅ + −⎣ ⎦∫

Al sustituir esta integral en I1 en la expresión (B) se obtiene: 5 1

I1 Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)2

⎡ ⎤= − − ⋅ + −⎣ ⎦∫

Sustituye I1 en la expresión (A) obtenemos:

( )

( )

( )

5 3 3 2

I1

5 3 5

5 3 5

Csc x dx Ctg(x)Csc (x) 3 Csc (x) Ctg (x)dx (A)

1Csc x dx Ctg(x)Csc (x) 3 Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)

2

3 3Csc x dx Ctg(x)Csc (x) 3 Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x)

2 2

= − − ⋅

⎡ ⎤⎡ ⎤= − − − − ⋅ + −⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

= − − − ⋅ +

∫ ∫

∫ ∫

∫

( )5 5 3

5 3

5 3

Ctg(x)

3 3Csc x dx 3 Csc (x)dx Ctg(x)Csc (x) Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)

2 23 3

4 Csc (x)dx Ctg(x)Csc (x) Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)2 2

1 3 3Csc (x)dx Ctg(x)Csc (x) Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)

4 2 2

−

+ = − − ⋅ + −

= − − ⋅ + −

⎡= − − ⋅ + −⎣

∫

∫ ∫

∫

∫

5 3

C

1Csc (x)dx 2Ctg(x)Csc (x) 3Csc(x) Ctg(x) 3Ln Csc(x) Ctg(x) C

8

⎤ +⎢ ⎥⎦

⎡ ⎤= − − ⋅ + − +⎣ ⎦∫

Caso 4 ( ) ( ) ( ) ( )m n m nTg u Sec u du ó Ctg u Csc u du⋅ ⋅∫ ∫ donde n es un entero positivo par

Se desarrolla: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

n (n-2) 2

n (n-2) 2

Sec u = Sec u Sec u

Sec u = Sec u 1+Tg u

⋅

⎡ ⎤⋅ ⎣ ⎦ ó

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

n (n-2) 2

n (n-2) 2

Csc u = Csc u Csc u

Csc u = Csc u 1+Ctg u

⋅

⎡ ⎤⋅ ⎣ ⎦

Ejemplos Ilustrativos: 1.- ∫tg5xsec6x dx 2.- ∫ctg4ycsc4y dy

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular ( )4 4Tg (x)Sec x dx∫

( )4 4Tg (x)Sec x dx∫

( ) ( )( ) ( )

4 2 2

4 2 2

Tg (x) Sec x Sec x dx

Tg (x) Tg (x)+1 Sec x dx

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

∫∫



34 ( )

2

4 2

Sea v=Tg(x) dv=Sec (x)dx

v v +1 dv

⇒

= ⋅ ⋅∫

( )6 4

6 4

v +v dv

= v dv v dv

= ⋅ ⋅

+

∫∫ ∫

7 5

7 5

1 1= v + v C

7 51 1

= Tg (x)+ Tg (x) C7 5

+

+

Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular ( )5 6Ctg (x) Csc x dx⋅∫

( )5 6Ctg (x) Csc x dx⋅∫

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )

25 2 2

25 2 2

2 2

25 2

5 4 2

9 7 5

9 7 5

10 8 6

10 8

Ctg (x) Csc x Csc x dx

Ctg (x) Ctg (x)+1 Csc x dx

Sea v=Ctg(x) dv=-Csc (x)dx dv=Csc (x)dx

v v +1 dv

v v +2v 1 dv

v +2v v dv

= v dv 2 v dv v dv

1 1 1= v + v + v C

10 4 61 1 1

= Ctg (x)+ Ctg (x)+ C10 4 6

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

⇒ ⇒ −

= − ⋅ ⋅

= ⋅ + ⋅

= + ⋅

+ +

+

∫∫

∫∫∫∫ ∫ ∫

6tg (x) C+

Caso 5 ( ) ( ) ( ) ( )m n m nTg u Sec u du ó Ctg u Csc u du ⋅ ⋅∫ ∫ donde n es un entero positivo impar

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular ( )5 5Ctg (x) Csc x dx⋅∫

( )5 5Ctg (x) Csc x dx⋅∫

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

4 4

22 4

4 2 4

4 2 4

8 6 4

8

C tg (x) Csc x Ctg(x) Csc x dx

Csc (x) 1 Csc x C tg(x) Csc x dx

Csc (x) 2Csc (x) 1 Csc x Ctg(x) Csc x dx

Sea v=Csc(x) dv=-Csc(x) C tg(x)dx dv=Ctg(x) Csc(x)dx

v 2v 1 v dv

v -2v v dv

=- v dv

= ⋅ ⋅ ⋅

⎡ ⎤= − ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦⎡ ⎤= − + ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦

⇒ ⋅ ⇒ − ⋅

= − + ⋅ ⋅ −

= − + ⋅

∫∫∫

∫∫∫ 6 4

9 7 5

9 7 5

2 v dv v dv

1 2 1= v + v v C

9 7 51 2 1

= Csc (x)+ Csc (x) Csc (x) C9 7 5

+ −

− − +

− − +

∫ ∫



35 Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular ( )5 7Tg (x) Sec x dx⋅∫

( )5 7Tg (x) Sec x dx⋅∫

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

4 6

22 6

4 2 6

4 2 6

10 8 6

10 8 6

11 9

Tg (x) Sec x Tg(x) Sec x dx

Sec (x) 1 Sec x Tg(x) Sec x dx

Sec (x) 2Sec (x) 1 Sec x Tg(x) Sec x dx

Sea =Sec(x) d =Sec(x) Tg(x)dx

2 1 d

-2 d

= d 2 d d

1 2 1=

11 9

= ⋅ ⋅ ⋅

⎡ ⎤= − ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦⎡ ⎤= − + ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦θ ⇒ θ ⋅

= θ − θ + ⋅ θ ⋅ θ

= θ θ + θ ⋅ θ

θ θ − θ θ + θ θ

θ − θ +

∫∫∫

∫∫∫ ∫ ∫

7

10 9 7

C7

1 2 1= Sec (x)- Sec (x)+ Sec (x) C

11 9 7

θ +

+

Caso 6 ( ) ( ) ( ) ( )m n m nTg u Sec u du ó Ctg u Csc u du∫ ∫ donde m es un entero positivo par y n es

un entero positivo impar. El integrando se puede expresar en términos de potencias impares de la secante o la cosecante y luego se aplica integración por partes como en el Caso 3

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular ( )2 3Tg (x) Sec x dx⋅∫

( )2 3Tg (x) Sec x dx⋅∫

( )( )

( )

2 3

2 3

5 3

5 3

I1 I2

Tg (x) Sec x dx

Sec (x) 1 Sec x dx

Sec (x) Sec x dx

Sec (x)dx Sec (x)dx (A)

= ⋅

⎡ ⎤= − ⋅⎣ ⎦⎡ ⎤= − ⋅⎣ ⎦

= −

∫∫∫∫ ∫

I2 fue resuelta en el ejemplo ilustrativo 1 del caso 3 y cuyo resultado es: 3 1

Sec (x)dx Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) (B)2⎡ ⎤= ⋅ − +⎣ ⎦∫

Debemos resolver ahora I1 5Sec (x)dx∫ la que se resuelve por integración

por partes Tomando en cuenta la regla LIA(T)E se hace

3

2

3

u Sec (x)

du 3Sec (x) Sec(x) Tg(x)dx

du 3Sec (x) Tg(x)dx

=

= ⋅ ⋅

= ⋅

2

2

dv Sec (x)dx

dv Sec (x)dx

v Tg(x)

=

=

=∫ ∫

Sustituyendo en la fórmula de integración por partes se tiene:

5 3 2 3Sec (x)dx Tg(x) Sec (x) 3 Tg (x)Sec (x)dx (C)= ⋅ −∫ ∫

Resolviendo 2 3Tg (x)Sec (x)dx∫



36

( )2 3 2 3

2 3 5 3

2 3 5 3

Tg (x)Sec (x)dx Sec (x) 1 Sec (x)dx

Tg (x)Sec (x)dx Sec (x) Sec (x) dx

Tg (x)Sec (x)dx Sec (x)dx Sec (x)dx (D)

= − ⋅

⎡ ⎤= −⎣ ⎦

= −

∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫

Sustituyendo (D) en (C) tenemos

( )

( )

5 3 5 3

5 3 5 3

5 3 3

5 3 3

Sec (x)dx Tg(x) Sec (x) 3 Sec (x)dx Sec (x)dx

Sec (x)dx Tg(x) Sec (x) 3 Sec (x)dx 3 Sec (x)dx

4 Sec (x)dx Tg(x) Sec (x) 3 Sec (x)dx

1Sec (x)dx Tg(x) Sec (x) 3 Sec (x)dx (E)

4

= ⋅ − −

= ⋅ − +

= ⋅ +

= ⋅ +

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫

∫ ∫

Sustituyendo (B) en (E) tenemos

5 31 3Sec (x)dx Tg(x) Sec (x) Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) (F)

4 2⎛ ⎞⎡ ⎤= ⋅ + ⋅ − +⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠∫

seguidamente ya para concluir sutituimos (B) y (F) en (A) ( )2 3Tg (x) Sec x dx⋅∫ 31 3

Tg(x) Sec (x) Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x)4 2⎛ ⎞⎡ ⎤= ⋅ + ⋅ − + −⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠

1

Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x)2⎡ ⎤⋅ − +⎣ ⎦

31 3 3 1Tg(x) Sec (x) Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) Sec(x) Tg(x)

4 8 8 2= ⋅ + ⋅ − + − ⋅

1

Ln Sec(x) Tg(x)2

+ +

31 1 1Tg(x) Sec (x) Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) C

4 8 8= ⋅ − ⋅ + + +

312 Tg(x) Sec (x) Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) C

8⎡ ⎤= ⋅ ⋅ − ⋅ + + +⎣ ⎦

( )2 3 31Tg (x) Sec x dx 2 Tg(x) Sec (x) Sec(x) Tg(x) Ln Sec(x) Tg(x) C

8⎡ ⎤⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ + + +⎣ ⎦∫

Ejemplo Ilustrativo 2 Calcular 2Ctg (x) Csc(x)dx⋅∫

2Ctg (x) Csc(x)dx⋅∫

2

3

I1 I2

Csc (x) 1 Csc(x)dx

Csc (x)dx Csc(x)dx

⎡ ⎤= − ⋅⎣ ⎦

= −

∫∫ ∫

I1 se resolvio dentro del ejemplo ilustrativo 2 del caso 3 de este apartado por favor vease linea (B) y siguientes para ver que su resultado es:

3 1Csc (x)dx Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)

2⎡ ⎤= − ⋅ + −⎣ ⎦∫

I2 es una integral directa definida en el formulario de integrales como la número 25 por lo cual nuestra integral original quedará como sigue

1Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)

2⎡ ⎤= − ⋅ + − − −⎣ ⎦



37 1 1

Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x)2 21 1

Csc(x) Ctg(x) Ln Csc(x) Ctg(x) C2 2

= − ⋅ + − − −

= − ⋅ − − +


Integral Respuesta

1. ∫ dx x Tan3 C x CosLn x Tan21 2 ++ 2. ∫

+2u

Sec1

du

C 4u

2Tan - u +

3. dx 2x Cot x 22∫ C x21

- 2x Cot41 22 +− 4. ∫ dx

x Tan

x Sec4

3

C x Csc31 3 +−

5. dx 2x Csc 2x Cot3∫ C 2x Csc61

- 2x Csc21 3 + 6. dw

w Cos

w Sen4

2

∫ C w Tan31 3 +

7. dt t Cot3∫ C t SenLn- t Cot21 2 +− 8. dy

y Sen

y Cos 6

4

∫ C y Cot51

- 5 +

9. dx 4x

Csc4∫ C 4x

4Cot- 4x

Cot34 3 +− 10. ∫ dx 5x Tan2 C x- 5x Tan

51

+

11. ∫ dx x Sec4 C x Tanx Tan31 3 ++

12. ∫ dz z Sec z Tan 25

3 C z Sec52

-z Sec92 2

52

9+

13. ∫ dx x Sec x Tan 46 C x Tan91

x Tan71 97 ++

14. ( )∫ + dx 2x Cot 2x Tan 2 ( ) C 2x Cot2x Tan21

+−

15. ( )∫ + dx 2x Cot2x Cot 42 C 2x Cot61 3 +−

16. dw w Cos

1- w Sen 22∫ C w Tan-w 2Sec +

17. 2x Cos 2x Sen

dx 42∫ C 2x Cot

21

-2x Tan61

2x Tan 3 ++

18. dx 3x Csc 3x Cot 42∫ C 3x Cot151

- 3x Cot91 53 +−

19. ( )∫ dx e Tane x4x C ee Tane Tan31 xxx3 ++−

20. ∫ dx 3x Tan5 C x3 Sec Ln31

3x Tan61

-3x Tan121 24 ++

21. ( ) ( )

∫ dx x

xLnSec xLnTan 63

( ) ( ) ( ) CxLnTan81

xLnTan31

xLnTan41 864 +++

22. ∫ dx 3x Tan6 C x-3x Tan31

3x Tan91

-3x Tan151 25 ++



38

23. ∫ dy 3y Tan4 Cxx Tan-x Tan31 3 ++

24. dx x Csc3∫ Cx Cot -x CscLn21

x Cot x Csc21

++−

25. dx x Cos

xSen

211

23

∫ C x Tan92

x Tan52 2

92

5++

Integración Por Sustitución Trigonométrica

Se usa para resolver integrales con expresiones que contienen 22 ua − , 22 ua + , 22 au − 22 ua − , 22 ua + , 22 au − , el método mas corto para integrar dichas expresiones es efectuar un

cambio de variable trigonométrico como se indica a continuación.

Para 22 ua − se hace u = a senθ para lo que 22 ua − = a cos θ

Para 22 ua − se hace u = a senθ para lo que 22 ua − = a2 cos2 θ

Para 22 ua + se hace u = a tgθ para lo que 22 ua + = a sec θ

Para 22 ua + se hace u = a tgθ para lo que 22 ua + = a2 sec2 θ

Para 22 au − se hace u = a secθ para lo que 22 au − = a tg θ

Para 22 au − se hace u = a secθ para lo que 22 au − = a2 tg2 θ

Ejemplos Ilustrativos: 1.- ∫− 49x4

dx2

2.- ∫ + 22 1) (4x

8dx

Ejemplo Ilustrativo 1 Calcular 2 2

dx

x a−∫

2 2

dx

x a−∫

( )

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

Sea x aS ec( ) dx aS ec( )T an( )d

Como x aS ec( ) x a S ec ( )aS ec( )T an( )d

a Sec ( ) a

aS ec( )T an( )d

a Sec ( ) 1

aS ec( )T an( )d

a Tan ( )

a

= θ ⇒ = θ θ θ

= θ ⇒ = θθ θ θ

=θ −

θ θ θ=

⋅ θ −

θ θ θ=

⋅ θ

=

∫

∫

∫

S ec( )T an( )θ θ d

a

θ

T an( )θ

S ec( )d

L n S ec( ) T an( ) C

= θ θ

= θ + θ +

∫

∫

Para volver a la variable inicial trabajamos con nuestro cambio de variable



39

h xS ec( )

ca aθ = =

2 2x aT an( )

a−

θ = y como x

S ec ( )a

θ =

Así nuestra integral original quedara como:

2 2

2 2

2 2

2 2

L n S ec( ) T an( )

x x aL n C

a a

x x aL n C

a

L n x x a L n a C

L n x x a k donde k= L n a C

= θ + θ

+= + +

+ += +

= + + − +

= + + + − +

2 2

2 2

dxL n x x a k

x a= + + +

−∫


8dx4x 1+∫

2

8dx4x 1+∫

( )22 2Observemos que 4x 1 2x 1+ = +

dzSea 2x=z 2dx=dz dx

2⇒ ⇒ = asi nuestra integral original queda

2 2

2 2

2 2

8dx(2x) 1

dz8

2z 1

dz4

z 1

=+

=+

=+

∫

∫

∫

Haciendo el cambio de variable 2z Tg( ) dz Sec ( )d= β ⇒ = β β

θCa=a

h = x ( ) ( )( )

2 22

22 2

2 2

h Co Ca

x Co a

Co x a

= +

= +

= −

Co



40 2

2

2

Sec ( )d4

Tg ( ) 1

Sec ( )4

β β=

β +

β=

∫

2

d

Sec ( )

β

β

4 d= β

∫

∫

4 C= β + Para volver a la variable inicial trabajamos con nuestro cambio de variable

1

1

Tg( ) z Tg (z)y como z=2x entonces

Tg (2x)

−

−

β = ⇒ β =

β =

Así nuestra integral original quedara como: 14Tg (2x) C−= +

12

8dx4Tg (2x) C

4x 1−= +

+∫


2

3 xdx

x−

⋅∫

2

2

3 xdx

x−

⋅∫

( )

( )

2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Se hace x 3Sen( ) dx 3Cos( )d

Como x 3Sen( ) x 3S en ( )

3 3S en ( ) 3Cos( )d

3S en ( )

3 1 S en ( ) 3Cos( )d

3S en ( )

3 1 S en ( ) 3Cos( )d

3S en ( )

3 C os ( ) 3Cos( )d

3S en ( )

3 3 C os ( ) Cos( )d

3S en

= α ⇒ = α α

= α ⇒ = α

− α ⋅ α α=

α

− α ⋅ α α=

α

⋅ − α ⋅ α α=

α

⋅ α ⋅ α α=

α

⋅ α ⋅ α α=

∫

∫

∫

∫

( )2

2

( )

3

α

=

∫

C os( ) Cos( )d

3

⋅ α ⋅ α α

( )

2

2

2

2

2

2

S en ( )

C os ( ) dS en ( )

Ctg ( ) d

Csc ( ) 1 d

Csc ( ) d d

Ctg( ) C

α

α ⋅ α=

α

= α ⋅ α

= α − ⋅ α

= α ⋅ α − α

= − α − α +

∫

∫

∫∫∫ ∫



41 Para volver a la variable inicial trabajamos con nuestro cambio de variable

c o xS en( )

h 3α = =

2ca 3 xCos( )

h 3

−α = = y como

xS en( )

3α =

23 x

3Cos( )Ctg( )

Sen( )

−

αα = =

α x

3

23 xx−

= y 1 xSen

3− ⎛ ⎞

α = ⎜ ⎟⎝ ⎠

Así nuestra integral original quedará como:

21

Ctg( ) C

3 x xSen C

x 3−

= − α − α +

⎛ ⎞−= − − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 2

12

3 x 3 x xdx Sen C

xx 3− ⎛ ⎞− −

⋅ = − − +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫



1. ∫− 22 x4x

dx ( )

Cx4x4 2

12

+−

− 2. ∫+ 4xx

dx2

C4x2

xLn

21

2+

++

3. ∫− 2x25x

dx C

x

x25-5Ln

5

1 2

+−

4. ( )∫− 2

32

2

xTan4

dx x Sec C

xTan44

x Tan2

+−

5. ∫− 22 ax

dx CaxxLn 22 +−+ 6. ∫

+ 2x4

xdx Cx4 2 ++

7. ( )∫+

22

2

4x

dxx ( ) C

4x2

x

2

xarcTan

4

12

++

−

8. ∫− 2x41

dx Cx2 arcSen

2

1+

α Ca

h = 3 Co=x

( ) ( )

( ) ( )

2 22

2 2 2

2

h Co Ca

3 x Ca

Ca 3 x

= +

= +

= −



42

9. ∫+ 2xx4

dx Cxx42xLn 2 ++++ 10. ( )∫

−− 23

2xx45

dx C

xx459

2x2

+−−

+

11. ( )∫++ 2

3xx2

x

7e8e

dxe ( )

C7e8e9

4exx2

x

+++

+− 12. ( )∫

− 23

2 9x4

dx ( ) C9x4x

91 2

12 +−−

−

13. ∫+ 22 xax

dx C

xaa

xLn

a

122

+++

14. ∫+− x2x3

dx2

C2

1x arcSen +

−

15. ( )

∫−

+dx

x4

1x2

C2x

arcSenx4 2 +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−− 16. ∫

− 22 ax x

dx C

a

x arcSec

a

1+

17. ∫− 2x52

dx C2

5x arcSen5

1+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ 18. ( )∫

− 23

22 xa

dx C

xaa

x222

+−

19. ∫− θCos2

θd θSen2

C2

θ Cos arcCos +⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 20. ∫

−dx

x25

x6

2

C5

x arcSen

3

1 3

+

21. ( )∫ + 2x94

dx C

x94

x3Ln

4

12

++

22. ∫− 22 x5 x

dx C

x5x5 2

+−

−

23. ∫+ 2x9 x

dx C

3x9x

Ln2

+++

24. ∫− 4wLnw

wdwLn2

3

( ) C4wLnwLn831 22 +−+

25. ∫+ 25tt

dt24

CtLn5

2525tLn

5

1 4 +−−+

26. ∫−

dxx

x4 2

Cx4x

x4-2Ln2 2

2

+−+−

27. dx x9

x2

2

∫−

C3

x arcSen

2

9x9 x

2

1 2 +⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−−

28. ∫− 9x x

dx23

C3x

arcSec541

x8

9x

2

2

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−

Integrales que contienen ax2+bx+c (Completación de Cuadrados)

1.- 2

xdx

x 4x 8+ +∫ 2.-

x

2x x 3/2

e dx

(e + 8e + 7)∫ 3.- 2

(y 1)dy

5 12y 9y

+

+ −∫




43


1. ∫− 2x41

dx Cx2 arcSen

2

1+ 2. ∫

− 2x94

dx C

2

x3 arcSen

3

1+

3. ∫− 2xx2

dx ( ) C1x arcSen +− 4.

( )∫

−+ 2xx28

dx x-1 Cxx28 2 +−+

5. ∫+ 16x9

dx2

C4

x3 arcTan

12

1+ 6. ∫

− 16x x4

dx2

C4

x arcSec

16

1+

7. ∫++ 2x4x4

dx2

( ) C1x2 arcTan2

1++ 8. ∫

− 2x52

dx Cx

210

arcSen55

+

9. ∫+− 5x2x

dx2

C2

1x arcTan

2

1+

− 10. ∫

− 4r916

dr r C

4

3r arcSen

6

1 2

+

11. ( )∫+ x x1

dx Cx arcTan2 + 12. ∫

+ x2

x

e7

dxe C

7

e arcTan

7

1 x

+

13. ∫+− 2 xx

dx2

C7

1x2 arcTan

7

2+

− 14. ∫

−+ 2xx215

dx C

4

x-1 arcCos +

15. ∫− θSen4

θd θ Cos2

Cθ Sen2

θ Sen2Ln

4

1+

−+

16. ∫+ x2

x

e1

dxe ( ) Ce arcTan x +

17. ( )

∫++

+

5x4x4

dx 32x2

C2

1x arcTan

2

15x4x4Ln

4

1 2 +⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++++

18. ∫++ 5x4x

dx x2

( ) C2x arcTan25x4x4Ln2

1 2 ++−++

19. ∫+− 5x2x

dx x2

C5x2x1xLn5x2x 22 ++−+−++−

20. ( )

∫−

+2xx2

dx 1x ( ) Cxx21x arcSen 2 2 +−−−

21. ( )

∫+− 3x4x

dx 1-x2

C3x4x2xLn3x4x 22 ++−+−++−

23. ∫++ 5x4x

dx x2

C5x4x2xLn25x4x 22 +++++−++

24. ∫−+ 2xx45

dx x Cxx45

3

2xarcSen2 2 +−+−

−

25. ∫−− 2xx23

dx x Cxx23

2

x1 arcCos 2 +−−−

+

26. ( )

∫−−

+2xx24

dx x2 Cxx24

5

x1 arcSen 2 +−−−

+



44

27. ( )

∫+−

+

4x6x2

dx 1x2

C2x3x23

xLn22

52

2x3x 22

++−+−++−

28. ∫−− 8x2x

dx2

C8x2x1xLn 2 +−−+−

Integración De Funciones Racionales (Casos I Y II) Una función racional es aquella cuyo numerador y denominador son funciones racionales (la variable no está afectada por exponentes negativos o fraccionarios). Si el grado del numerador es igual o mayor al del denominador, (Fracción Impropia) esta fracción puede reducirse a una expresión mixta dividiendo el numerador entre el denominador. Por ejemplo

1 2x x

35x 3-x x

1 2x x

3x X2

22

34

++

+++=

++

+

Donde el último término de la derecha es una fracción reducida a su más simple expresión (Fracción Propia), es fácil observar que x2 + x – 3 se puede integrar inmediatamente; por lo que nuestro estudio se centrará en las fracciones propias. Caso I Los factores del denominador son todos de primer grado (lineales) y ninguno se repite.

Ejemplos Ilustrativos: ∫ −+

+dx

x2xx

3x223

Caso II Los factores del denominador son todos de primer grado (lineales) y algunos se repiten

Ejemplos Ilustrativos:: ∫ −+−

+dx

xx3x3x

1x234

3


Integral Respuesta

Integral Respuesta

1. ∫ − 4x

dx2

C2x2x

Ln41

++−

2. ( )

∫ −−

−

x2xx

dx 2x423

( )

C1x

x2xLn

2

2

++

−

3. ∫ + 23 x3x

dx C

x31

x3x

Ln91

+−+

4. ( )∫ −

−

xx

dx 3x53

2

( ) 1xx CLn 23 −

5. ( )∫ −

−

4x

dx 2x52

( ) ( )32 2x2x CLn +− 6. ( )

∫ −+ 4w7w2

dw 11-4w2

( )

1w24w C

Ln3

−+

7. ∫ −−

−+dx

x2xx

4xx223

2

( )

C1x2xx

Ln2

++−

8. ( )∫ −

−−

xx4

dx 1x2x63

2

( )

1x21x2x C

Ln41 34

−+

9. ( )∫ + 21xx

dx C

1xx

Ln1x

1+

++

+ 10.

( )( ) ( )∫ −−

−2x 1x

dx 1x2

( )C

1x2x

Ln3

+−−



45

11. ∫ −+dx

5x4x

x2

( ) ( )C1x5xLn61 5 −+ 12. ∫ −−

dx3x2x

x2

C1xLn41

3xLn 43

+++−

13. ∫ ++ 2e3e

dtett2

t

Ce2

e1Ln

t

t

++

+ 14. ∫ −+

+

5x4x

dx)1x(2

C1xLn41

3xLn 43

+++−

15. 2 Cos Cos

d Sen 2∫ −β+β

ββ C Cos1 Cos2

Ln31

+β−β+ 16. ∫ ++ 1x2x

dxx2

2

C1x

11xLn2x +

+−+−

17. ∫ +++ 15 23x 9xx

dxx23

( ))1x(5)(x

C3x Ln

81

5

6

+++ 18.

( )( ) ( )∫ −−

−2x 1x

dx 1x2 ( )

2

3

1)-(x

C2x Ln

−

19. ( ) ( )∫ ++ 1x 1x

dx 2

( )CxarcTan

21

1x

1x Ln

41

2

2

+++

+

20. ∫ ++

+dx

x3x8x4

3x423

( ) ( )

Cx

3x2 1x2 Ln

21

2+

++−

21. ∫ −

++dx

xx4

1x2x43

23

( ) ( )

Cx

1x2 1x2 Ln

21

x2

2

+−+

+

22. ( )( ) ( )∫ +−

+2

2

1x 1x

dx x5x3 ( ) ( ) C

1x1

1x 1x Ln 2 ++

−−+

23. ( )∫ + 22 1xx

dx C

1x1

x1

x1x

Ln 2 ++

−−+

24. ( )∫ −dz

1z

z3

2

( ) ( )C

1z2

11z

21zLn

2+

−−

−−−

25. ( )( ) ( )∫ ++

−−2

2

1x 3x2

dx 7x3x C3x2Ln

21

1xLn 1x

3++−++

+

26. ( )∫ +

−23

4

y2y

dy 8y Cy2yLn2

y4

y22y 2

2

++++−

27. ∫ −

−+dx

x4x

8xx3

45

( )

( )C

2x

2x xLnx4

2x

3x

3

5223

++

−+++

28. ∫ −−+ 2xx2x

dx423

( )( )

C2xLn3

16

1x

1x Ln

61

x22x

3

2

++++

−+−

29. ( ) ( )∫ −− 21x 2x

dx C

1x2x

Ln1x

1+

−−

+−

30. ∫ +−

−

x4x4x

dx)8x(23

Cx

2xLn2

2x3

+−

+−

31. ( )∫ +

+31xx

2)dx(3x C

1xx

Ln2)1x(2

3x42

++

++

+

32. ( ) ( )∫ ++ 22

2

4x2x

dx x C

2x4x

Ln28x6x

12x52

+++

+++

+−

33. ( )∫−

+dz

4z

13z22

( ) ( ) C

2z2z

Ln321

2z167

2z165

+−+

+−

−+



46

34. ∫ +−+

+−−+dx

3x5xx

17x4x5x3x23

234

C3x2xLn1x

3x2x

21 22 +−+−

−−+

35. ∫ ++−−

+++−dx

4x4x11x6x9

17x52x30x24234

23

( ) ( ) ( ) C1x

32x33

11x2x3Ln 23

2+

−−

+−−+−

Integración De Funciones Racionales (Casos III y IV) Caso III Los factores del denominador son lineales y/o cuadráticos y ninguno de los factores cuadráticos se repite.

Ejemplos Ilustrativos: ∫ + x4x

4dx3

Caso IV Los factores del denominador son lineales y/o cuadráticos y algunos de los factores cuadráticos se repiten

Ejemplos Ilustrativos:( )

( )∫+

++22

3

1x

dx3 x 2x


Integral Respuesta

Integral Respuesta

1. ∫ + xx2

dx3

1x2

x CLn

21

2

2

+ 2.

( )∫ +

+

x3x

dx 6x43

2

( ) C3xx Ln 22 ++

3. ( ) ( )∫ ++ 22 1x 1x

dx x2 C x arcTan

1x1

+++

4. ∫ + 24 zz

dz C z arcTan

z1

+−−

5. ( )( ) ( )∫ +−

−−

4t 2t

dt 8t8t22

2

C2t4t

Ln 22

+−+

6. ( )∫ + 1xx

dx 2

C 1x

xLn

2+

+

7. ∫ ++

+++dz

2y3y

2y2yy224

23

C y arcTan2yLn 2 +++ 8. ∫ − 1x

dxx 3

5

( )[ ] C1xLnx31 33 +−+

9. ( ) ( )∫ +−−dx

5x2x 1x

3-3x-x22

2

( )

( ) C2

1xarcTan

21

1x5x2x

Ln2

32

+−

+−+−

10. ∫ ++ 8x6x

dx 6)-x(24

3

( )

C2

xarcTan

2

32x

arcTan23

2x

4xLn

2

2

−++

+

11. ∫ + 1x

dx 3

( )

C3

1x2arcTan

3

1

1x-x

1xLn

61

2

2

+−

++

+

12. ∫ +++ 4x4xx

7)dx-3x (23

( )( )

C2x

arcTan21

1x

4xLn

2

2

+++

+

13. ∫ ++ xxx

dx 23

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

++ 3

1x2 arcTan

3

1

1xx

x CLn

21

2

2



47

14. ( )( ) ( )∫ ++

++

1t 1t2

dt 1tt2

2

( ) ( ) C t arcTan32

1t2 1tLn101 32 ++++

15. ∫ ++

+−dx

xx2x

2xx235

2

( )1x2

x-x arcTan

21

1x

x CLn

22

2

+−

+

16. ∫ + 1x

dx 44

Cx1

x2arcTan2

1x2x

1x2xLn

2

122

2

+−

++−

++

17. ( )∫+

−+dx

2x

1xx22

3

( ) C2

xarcTan

24

12xLn

)2x(4

x2 21

22

+−+++

−

18. ( ) ( )∫

+−

−dx

1x 1x

8x4222

2

( ) ( )

( )CxarcTan

1x

1xLn

1x 1x

1x32

2

2

2

+++

−+

+−

−

19. ( ) ( )∫+−−

2222 1xx xx

dx C

)1xx(3

1x2

3

1x2 arcTan

33

10x

1x Ln

2+

+−

−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

−

20. ∫ −1x16

dx4

C x2 arcTan41

1x21x2

Ln81

+−+−

21. ( )∫+

22 9z4

18dz C

9z4

z32z

arcTan61

2+

++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

22. ∫ −1x

dx 44

C x arcTan 21x1x

Ln +−+−

23. ∫ −

−+dx

1x27

1x2x3

2

C3

1x6 arcTan

39

51x3Ln

812

1x3x9Ln1625 2 +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++−−++

24. ( ) ( )∫ +−−+

dx4x 3x2

10xx2

2

C 2x

arcTan 3x24x

Ln21 2

++−+

25. ( )∫+

22

5

4t

dt t ( ) C

4t

84tLn4

2t

22

2

++

−+−

26. ( )( )∫

+

+22

3

1x

dx 3xx ( ) C

1x

11xLn

21

22 +

+−+

27. ∫ +

−dx

x9x4

18x3

C 3x2

arcTan 61

x

9x4Ln

2

2

+++

28. ( )∫+

22

4

1x

dxx C

)1x(2

x x arcTan

23

x2

++

+−

29. ( )∫+

22 1x

dx C x arcTan

1x

121

2+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+

+

30. ∫ +−

−+−dz

5z2z

10z15zz52

23

( ) C5z2z8

1547z-2

1-z arcTan

1665

5z2zLn25

22 +

+−

++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−+−

31. ( )∫ +

+dx

xTan1

xSec 1xSec3

22

C3

1x Tan 2 arcTan

3

2x Tan1Ln

21

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −++



48

32. ( )

∫ −+−

+

1xxx

dx xx23

2

C x arcTan1xLn ++−

33. ∫ +

−−+dz

y9y

9y9y9y3

235

( ) C 9yLn3y 42

3

++−

34. ( )∫+

++dx

2x x

8x2x422

2

C2

xarcTan

42

2x

xLn

4x2

x2

2

2+−

++

+

35. ( )∫+

+dx

2x

x4x32

35

C)2x(Ln21

)2x(

1 222 +++

+

36. ∫ +++

++dz

)2z2z)(2z(

2z3z22

2

C 1)(z arcTan2zLn2 ++−+

Integral Definida Se lee integral de f(x) desde a hasta b Cuando has hallado el valor de la integral se dice que has evaluado la integral Sea f(x) una función definida en el intervalo [a,b], entonces la integral definida de f(x) de a y b

denotada por dx)x(fb

a∫ esta dado por: dx)x(fb

a∫ = [F(x) + C] = F(b) – F(a)

Propiedades de la integral definida

1) 0dx)x(fa

a=∫

2) ∫∫ −=a

b

b

adx)x(fdx)x(f

3) ∫∫ =b

a

b

adx)x(fkdx)x(kf

4) teck )ab(kdxkb

a=∀−=∫

5) [ ] dx (x)f dx (x)f dx (x)f dx (x) f (x)f (x)fb

an

b

a2

b

a1

b

an21 ∫∫∫∫ ±…±±=±…±±

Integrando

dx)x(fb

a∫

Signo de la Integral

Limite superior de Integración

Limite inferior de Integración

Diferencial, x es la variable de integración



49

6) bca tq c dx f(x) dx f(x) dx f(x)b

c

c

a

b

a<<∀+= ∫∫∫

7) )ab(máxfdx)x(f)ab(mínfb

a−≤≤− ∫ siendo el mínf y máx. el mínimo y el máximo relativo

de la función f en el intervalo [a,b]

8) a) [ ]ba, x g(x) f(x) si dx)x(g dx)x(f b

a

b

a∈∀≥≥ ∫∫

b) [ ]ba, x 0 f(x) si 0dx)x(f b

a∈∀≥≥∫

Ejemplos Ilustrativos: 1.- ( )∫ +5

1

232 dx1xx 2.- ( )∫π

+0

2dx4xcos


Integral Respuesta

Integral Respuesta

1. ∫3

3dx 0 17. ∫

−

r

0 22 xr

dx r

2rπ

2. ( )∫ +2

1dx 5x2 8 18. ∫ −

1

0 x23

dx 13 −

3. ( )∫ +−1

0

2 dx 3x2x 7/3 19. ∫ +

2

0

3

1xdxx

8/3 - Ln 3

4. ( )∫− +1

1

2 dx 1x 8/3 20. ( )∫ −a

0

2dxxa 6

a2

5. ∫ +2

0dx 1x4 13/3 21. ( )∫

π++

0dx 1x 3Cosx 2Sen π+4

6. ∫π

0dx x Sen 2 22. ∫ +

4

0

2

1xdxx

5,6094

7. ∫π

0dx x Cos 0 23. ∫

1

0 x3e

dx 0,3167

8. ∫π

π2

42

dx x Sen

x Cos 12 − 24. ( )∫

πθθ+

02

1d 2Cos2 4

9. ∫π6

0 2dx

2x Cos

2x Sen 1/2 25. ∫

π2

0

33 dx xCos xSen 1/12

10. ( )∫ +

1

0 31x2

dx 2/9 26. ∫

π4

0

4 dx xSec 4/3

11. ( )( )∫− +−2

1dx 32x1x -3/2 27. ∫

2

1dx x Ln 1

e2

Ln2 +

12. ( )∫π

+0

2 dx 4x Cos π233

28. ∫1

0

xdxe e-1

13. ∫− ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−

2

1

2 dx 2x5x21

0 29. ∫− −a

a

22 dx xa 2a2π

14. ( )∫ −a

0

32 dx xxa 4a2

30. ∫ +

a

0 22 xa

dx

a4π



50

15. ∫e

0 xdx

1 31. ∫− −

9

1 2 9x

dx 5 Ln

121−

16. ∫ +

3

2 2t1

tdt2 Ln 2 32. ( )∫ +

1

0 2

x

dx1x

xe ( )2e

21

−

Longitud de Arco de una Curva Plana Def. Sea f(x) una función continua en el intervalo [a , b]. En base a la gráfica de la función y = f(x) la cual se muestra en la figura adjunta podemos establecer el arco de la función dada como la porción de la curva desde el punto A=(a ,f(a)) hasta el punto B=(b ,f(b)), al cual podemos asignar un número real como su longitud denotado por L que puede ser calculado por la fórmula Análogamente para una curva dada por x = f(y) la longitud de arco entre c y d estara dada por: Ejemplos Ilustrativos:

1.- Calcular la longitud de área de la curva x21

6x

y3

+= en el intervalo [1/2 , 2]

Resp. 33/16 u.c.

2.- Calcular la longitud de área de la curva x) Ln(cos y = entre x = 0 y 4

xπ

=

Resp. Ln(√2 + 1) – ln – 1 ≈ 0,8819 u.c. EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Calcular la longitud del segmento de la recta y = 3x desde el punto (1 , 3) al punto (1 , 6)

Resp. .c.u10 2.- Calcular la longitud del segmento de la recta 4x + 9y = 36 desde el punto (-2 , 2) al

punto (4 , 0) Resp. .c.u97 3.- Encuentre la longitud de arco de la curva 9y2 = 4x3 desde el origen hasta el punto

(3 , 32 ) Resp. .c.u314

4.- Hallar la longitud de arco de la curva 8y = x4 + 2x-2 desde el punto donde x = 1 hasta el

punto donde x = 2 Resp. .c.u1633

••

Y=f(x)

a b

y

x

A=(a ,f(a)) B=(b ,f(b))

[ ] dx)x('f1Lb

a

2∫ +=

[ ] dy)y('f1Ld

c

2∫ +=



51 5.- Hallar la longitud de arco de la curva y3 = 8x2 desde el punto (1 , 2) hasta el punto

(27 , 18) Resp. .c.u)12597(271 2

3−

6.- Calcule la longitud de arco de la curva 23

2 )2x(31

y += desde el punto donde x = 0 hasta

el punto donde x = 3 Resp. 12 u. c.

7.- Obtenga la longitud de arco de la curva )1x3(x31

y −= desde el punto donde x = 1 hasta

el punto donde x = 4 Resp. .c.u322

8.- Hallar la longitud de arco de la curva 1xy 32

32

=+ desde el punto donde x = 1/8 hasta el


9.- Hallar la longitud de arco de la curva 1bx

ay 3

23

2

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ en el primer cuadrante desde el

punto donde x= a81 hasta el punto donde x= a Resp. .c.u

)ba(8

)b3a(a822

23

223

−+−

10.- Hallar la longitud de arco de la curva 22 )3x(xy9 −= en el primer cuadrante desde el

punto donde x = 1 hasta el punto donde x = 3 Resp. .c.u34

32 −

11.- Hallar la longitud de arco total de la Hipocicloide 323

23

2

abx

ay

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ Resp. 6a u.c.

12.- Hallar la longitud de arco de la curva y = Ln(x) entre los limites x = 3 y x = 8

Resp. .c.u23

Ln21

1 +

13.- Calcular la longitud de arco de la curva y = 1-Ln[cos(x)] entre los limites x = 0 , 4

xπ

=

Resp. .c.u83

TanLn ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ π

14.- Hallar la longitud de arco de la curva 23

xy = desde el punto (0 , 0) hasta el punto (4 , 8)

Resp. ( ) .c.u11010278

−

15.- Hallar la longitud de arco de la curva x41

3x

y3

+= desde el punto donde x = 1 hasta el



4

y8

14y

x += desde el punto donde y = 1 hasta el

punto donde y = 2 Resp. .c.u32123

17.- Hallar la longitud de arco de la curva 32 x4)1y( =+ desde el punto donde x = 0 hasta el

punto donde x = 1 Resp. ( ) .c.u11010274

−

18.- Hallar la longitud de arco de la curva y3 = x2 desde el punto (0 , 0) hasta el punto (8 , 4) Resp. 9,07 u.c.

19.- Hallar la longitud de arco de la parábola semicúbica x3 = ay2 desde el origen hasta la



52

ordenada x = 5a Resp. .c.u27

a335

20.- Calcular la longitud de arco de la curva x21

6x

y3

+= desde el punto de abscisa x = 1

hasta el punto de abscisa x = 3 Resp. .c.u314

21.- Hallar la longitud de arco de la parabola y2 = 2px desde el vértice hasta un extremo del

lado recto. Resp. .c.u)21(Ln2p

22p

++

22.- Calcular la longitud de arco de la curva y2 = x3 desde el punto donde x = 0 hasta el punto

donde x = 5/9 Resp. .c.u2719

23.- Calcular la longitud de arco de la parábola 6y = x2 desde el origen hasta el punto (4 , 8/3) Resp. 4,98 u.c.

24.- Determinar la longitud de arco de la curva y = Ln[Sec(x)] desde el origen hasta el punto

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ πLn2 ,

3 Resp. .c.u)32(Ln +

25.- Hallar la longitud del arco de la hipérbola x2 – y2 = 9 comprendido entre los puntos (3 , 0) y (5 , 4) Resp. 4,56 u.c.

26.- Hallar la longitud de arco de la parábola y = 4x - x2 que está por encima del eje de las x Resp. 9,29 u.c.


xy = desde el punto donde x = -1 hasta el punto

donde x = 8 Resp. ( ) .c.u5,10.c.u1610801313271

≈−+

28.- Demostrar que la longitud de una circunferencia de radio r es .c.ur2 π


xy = desde el punto (1 , 1) hasta el punto (8 , 4)

Resp. .c.u6,7.c.u1340271 2

32

3≈⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −


23

xx31

y −= desde el punto donde x = 1 hasta el


31.- Hallar la longitud de arco de la curva 1x23

y 23

+= en el intervalo [0,1]


5

x6

110x

y += en el intervalo [1,2]


eey

xx −+= en el intervalo [0,2]


y 23



y 23

−= en el intervalo [0,4]

36.- Hallar la longitud de arco de la curva y21

4y

x4



833

4xx

43

y −= desde el punto donde x = 1 hasta el

punto donde x = 8



53


1xxx

31

y 23

++++= desde el punto donde x = 0

hasta el punto donde x = 2 Área bajo una curva Def. Sea R la región acatada por la curva y = f(x) el eje x y las rectas verticales x = a , x = b. Entonces la medida del área de la región R está dado por: Ejemplos Ilustrativos: 1.- Hallar el área acotada por la parábola y – 1 = x2 y la recta x = 3 2.- Hallar el área del circulo x2 + y2 = 9 Resp. .c.u9 2π 3.- Hallar el área acotada por la curva y = (x – 1)3 y las rectas x = -1 , x = 5 Resp. 60 u2.c. Área entre dos curvas Sea f y g dos funciones continuas en el intervalo [a,b] y f(x) ≥ g(x) a lo largo de [a,b] entonces el área de la región entre las curvas y = f(x) y y = g(x) desde x=a, hasta x = b esta dada por: Ejemplos Ilustrativos: En los siguientes ejercicios calcular el área de la región acotada por las curvas dadas: 1.- y = 3 – x2 ; y = x+1 Resp. 9/2 u2.c. 2.- y = x2 – 4 ; y = -x2 – 2x y la recta x= -3 Resp. 38/3 u2.c.

R

2

dx

Y=f(x)

a b

y

x

(x ,f(x))

∫=b

adx)x(fA

dx

y

R

Y=f(x)

a b x

(x ,f(x))

(x ,g(x))

Y=g(x)

[ ]∫ −=b

adx)x(g)x(fA

f(x)

g(x)

f(x)-g(x)

2

2



54 Área de una Región en Coordenadas Cartesianas

EJERCICIOS PROPUESTOS En los siguientes ejercicios calcule el área acotada por las curvas dadas

Curvas Resp.

Curvas Resp.

1. x eje ;x-4 y 2= cu232 2 2.

01yx0;1yx2

=+−=+− cu

61 2

3. 4x 0;x ;x y 3 === cu64 2 4. 19 1x y ; 13x y +=+= cu23 2

5. 3 x 1; x ; x-4 y 2 === cu322 2 6. -2 y 0;x ;y2 x 23 === cu

512 2

7. 3 x 0; x ; x-9 y 2 === cu18 2 8. 21 2yx ; xy2 +== cu29 2

9. 3x;2x x; eje 1;x x y 2 ==++= cu659 2 10. -xy ; x-2 y 2 == cu

29 2

11. 3x;3x x; eje x;2 3xx y 23 =−=++= cu54 2 12. 23 2yx ; xy2 +== cu 6 2

13. x eje 12;-x x y 2 += cu6

343 2 14. 3x 1;-x y2 == cu338 2

15. bx ;ax x; eje ;kxy 2 === cuab

Lnk 22 16. 1x y ;x-3 y 2 +== cu29 2

17. 32x;3 x x; eje ; x Sen y π=π== cu1 2 18. 3x y ; x y == cu125 2

19. 0 y 4x;xy 2 =−= cu232 2 20. -8 y 0;4yx2 ==++ cu

332 2

21. 33xy 1;x2 x y 2 +=++= cu29 2 22. 043y-x ;x y 23 =+= cu

1027 2

23. 1x;1x 1;-x y ;x y 2 =−=== cu37 2 24.

x4x2y

2x;3xx y2

23

+=

++= cu

1237 2

25. -4 y y;- x2 == cu332 2 26. 22 y-6 x ; 2- y x == cu

364 2

27. 0y 0; x ; x Sen-x Cos y === ( ) cu12 2− 28. 0y ;x2y x; y =−== cu1 2

29. x3x2xy

9x;-3x-2x y23

23

−−=

= cu

12253 2 30.

Sólidos de Revolución Es un sólido que se obtiene al girar una región en un plano alrededor de una recta en el plano llamada eje de revolución, la cual toca la frontera de la región, o no corta la región en un punto Ejemplos: 1.- Si la región limitada por una semicircunferencia y su diámetro se hace girar sobre si mismo se genera una esfera (Fig. No. 1).



55 2.- Si la región acotada por un triángulo rectángulo se hace girar sobre uno de sus catetos se genera un cono recto circular (Fig. No.2). Volumen de un sólido de Revolución. Método del Disco Este método se usa cuando el eje de revolución es una frontera de la región que se hace girar y el rectángulo auxiliar es perpendicular al eje de revolución. Definición: Sea f una función continua en el intervalo [a,b] y f(x) ≥ 0 ∈∀x [a,b]. Si denotamos por S el solidó de revolución obtenido el girar alrededor del eje x la región limitada por la curva y =f(x) el eje x y las rectas verticales x=a ∧ x=b y si el volumen del solido de revolución S lo denotamos por V unidades cúbicas entonces: 1.- Hallar el volumen del solidó de revolución generado al girar alrededor del eje x la región acotada por la curva f(x) = x3 eje x y la recta x = 2 Sol. V=128π /7 U3C 2.- Encuentre por integración el volumen de un cono recto circular de altura h y base b.

Fig. No.2

y

x=a

Y=f(x)

Y=f(x)=r

dx x=b

dx

Eje de revolución

x

dx [f(x)] V 2∫π=

Eje de Revolución Horizontal

dy [f(y)] V 2∫π=

Eje de Revolución Vertical

Fig. No.1



56 3.- Determine el volumen del sólido de revolución generado si la región limitada por un arco de la senoide es girada alrededor del eje x Sol. V=π2 /2 U3C EJERCICIOS PROPUESTOS En los ejercicios del 1 al 8 hallar el volumen del sólido de revolución que se genera cuando la región indicada en la figura adjunta a la derecha, es girada sobre el eje dado. 1.- La región R1 girada alrededor del eje X Sol. 64π U3 C. 2.- La región R1 girada alrededor de la recta x=4 Sol. 1024 π /35 U3 C. 3.- La región R1 girada alrededor de la recta y=8 Sol. 704 π/5 U3 C. 4.- La región R1 girada alrededor del eje Y Sol. 512 π/7 U3 C. 5.- La región R2 girada alrededor del eje X Sol. 192 π U3 C. 6.- La región R2 girada alrededor de la recta x=4 Sol. 3456 π /35 U3 C. 7.- La región R2 girada alrededor de la recta y=8 Sol.576 π/5 U3 C. 8.- La región R2 girada alrededor del eje Y Sol. 384 π/7 U3 C.

En los ejercicios del 9 al 14 hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al girar alrededor del eje X la superficie limitada por las curvas dadas. 9.- /7128 Sol. 2x ;0 y y; x3 π===

10.- 332 41

Sol. x ;0 y ;x ay aa π===

11.- Una arcada de y = Cos(2x) 2 41

Sol. π

12.- )1( 21

Sol. 5x ;0x ; 0 y ; e y 10x- −−==== eπ

13.- π48 Sol. 144y 16 9x 22 =+

14.- )1( 41

Sol. 1x ; 0 y ; xe y 2x −=== eπ

En los ejercicios del 9 al 14 hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al girar alrededor del eje Y la superficie limitada por las curvas dadas. 15.- /564 Sol. 2x ;0 y y; x3 π===

16.- π 732

Sol. 2x ;0 y ;x 2y 32 ===

17.- π Sol.2 0x ; 0 y ; e y x === 18.- π64 Sol. 144y 16 9x 22 =+

Esta información ha sido Producida Recopilada y Transcrita por: Pedro R. Guédez y Carmen L. Guédez

Se prohíbe su reproducción total o parcial con fines comerciales o de lucro

32 xy =

( )8 , 4

R1

R2

A

B

C

O

( )0 , 4

( )8 , 0



57 Bibliografía

Louis Leithold, El Cálculo con Geometría Analítica, Editorial Harla, México 1986

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Robert T. Smith y Roland B. Minton Cálculo Volumen I Mc Graw Hill, España 2002

N Piskunov, Cálculo Diferencial e Integral Editorial Limusa, México 2001

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Elbridge P. Vance An Introduction To Modern Mathematics Fondo Educativo

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Saturnino L Salas y Einar Hile Calculus de una y varias variables con Geometría

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