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UNIVERSIDAD DE SEVILLA

Departamento de Matemática Aplicada II

VALORES

PARA JUEGOS SOBRE

ESTRUCTURAS COMBINATORIAS

Andrés Jiménez Losada

Tesis Doctoral

Memoria presentada por Andrés Jiménez Losada

para optar al grado de Doctor en Ciencias Matemáticas por la

Universidad de Sevilla.

Vo Bo de los Directores:

Fdo: J. Mario Bilbao Arrese Fdo: Esperanza Lebrón Rueda

Sevilla, Noviembre de 1998

Quiero hacer constar mi más sincero agradecimiento a todos los profesores

del Departamento de Matemática Aplicada II por el ánimo y apoyo recibidos

y, especialmente, al Grupo de Investigación de Teoría de Juegos. Así mismo,

y sobre todo, destacar la labor de los directores de esta memoria, J.Mario

Bilbao Arrese y Esperanza Lebrón Rueda.

A mi mujer e hija

Índice

Introducción 3

1 Juegos sobre Estructuras Combinatorias 17

1.1 Conjuntos Parcialmente Ordenados . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2 Juegos sobre Sistemas de Coaliciones . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3 Geometrías Convexas y Antimatroides . . . . . . . . . . . . . 27

1.4 Matroides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2 Valores Clásicos sobre Geometrías y Antimatroides 43

2.1 Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2 El Valor de Shapley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3 El Índice de Banzhaf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.4 El Valor de Tijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3 Un Modelo para Juegos sobre Matroides 75

3.1 El Modelo Secuencial de Cooperación . . . . . . . . . . . . . . 75

3.2 In�uencia de las coaliciones y el Juego Rango . . . . . . . . . 81

4 Valores sobre Matroides 93

4.1 Valores �-Ponderados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.2 Valores de Grupo Estáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.3 Valores de Grupo Dinámicos y Estáticos Relativos . . . . . . . 119

1

2 ÍNDICE

5 Valores de Shapley para Matroides 145

5.1 Valores Estáticos de Shapley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5.2 Valores Dinámicos de Shapley . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Referencias 181

Introducción

Los fundamentos de la teoría de juegos se deben a John von Neumann [56],

quien en 1928 demostró el teorema del minimax. Esta teoría matemática

quedó establecida con el tratado de von Neumann y Oskar Morgenstern,

Theory of Games and Economic Behaviour [57], publicado en 1944. En este

libro, se introdujo el concepto de juego cooperativo como una situación en

la que varios agentes (llamados jugadores) persiguen alcanzar un objetivo

común y los bene�cios (o costes) de la cooperación tienen que ser divididos,

diferenciándose de los denominados juegos no cooperativos, basados en el

hecho de analizar las estrategias posibles que puede realizar cada jugador.

Inicialmente, en la noción de juego cooperativo, se presuponía que los

jugadores tienen una medida común de la utilidad (dinero), que puede ser

libremente transferida entre ellos. Esta idea, que conduce a la noción de juego

cooperativo de utilidad transferible, fue más tarde extendida por Aumann al

considerar juegos donde no necesariamente se cumple esta premisa (juegos de

utilidad no transferible). En la actualidad la teoría de juegos cooperativos se

aplica en distintas áreas de conocimiento como pueden ser la Investigación

Operativa, Teoría de Decisión, Ciencias Políticas y Económicas, Derecho y

Localización.

El trabajo de investigación que se presenta se enmarca en la primera

clase de juegos cooperativos. En esta introducción se expondrán aquellos

conceptos y resultados de esta teoría que han de ser utilizados a lo largo de

la misma. Por otra parte, se realizará un breve recorrido histórico por el

3

4 Introducción

discurrir de las investigaciones en el campo de la cooperación parcial, con el

objetivo de señalar el punto de partida de esta tesis. Además, se incluye un

sumario de los contenidos de los diferentes capítulos.

Un juego cooperativo de utilidad transferible, o juego en forma de función

característica, es un par (N; v) donde N = f1; : : : ; ng es un conjunto �nito

cuyos elementos se denominan jugadores y, v : 2N �! R una aplicación sobre

el conjunto de los subconjuntos de N tal que v (;) = 0: Cada subconjunto

S de N es una coalición y v (S) el valor de la coalición S en el juego. Es

habitual identi�car, siempre que no haya lugar a confusión, cada juego (N; v)

con la función v, denominada función característica del juego. La clase de

juegos cooperativos con conjunto de jugadores N se denotará � (N).

Las diferentes propiedades que puede tener la función característica v

de un juego cooperativo (N; v) dan lugar a distintos tipos de juegos. Un

juego v es monótono si para cualesquiera coaliciones S; T 2 2N ; S � T;

se veri�ca v (S) � v (T ). Si, además, v sólo toma valores en el conjunto

f0; 1g ; entonces el juego es simple. En un juego simple, una coalición S es

ganadora si v (S) = 1; en otro caso, es perdedora. Una clase importante de

juegos simples, por su utilización en el estudio de sistemas de representación

electoral, son los juegos de votación ponderada. En ellos, se supone que cada

jugador i tiene un número de votos !i; por lo que cada coalición S dispone

en total de ! (S) =P

i2S !i votos: Así, se de�ne la función característica de

un juego de votación ponderada en la forma

v : 2N �! R; v (S) =

(1; si ! (S) � q

0; en otro caso,

donde q > ! (N) =2; representa la cuota que ha de alcanzar una coalición

para ser ganadora.

Se dice que v es un juego superaditivo si v (S [ T ) � v (S) + v (T ) ; para

toda S; T � N con S \T = ;: Una clase especial de juegos superaditivos son

la llamados juegos convexos, introducidos por Shapley. Un juego v se dice

Introducción 5

que es convexo cuando la función v es supermodular, esto es,

v (S [ T ) + v (S \ T ) � v (S) + v (T ) ; para todo S; T � N:

Las nociones de juego subaditivo y submodular se obtienen de las anteriores

al invertir en ellas el sentido de las desigualdades.

El conjunto de juegos � (N) es un espacio vectorial de dimensión 2n � 1;

respecto de las operaciones habituales de suma y producto por un escalar.

Dos de sus bases más simples son las formadas por los juegos de unanimidad

y por los juegos de identidad. Dada una coalición no vacía S, el juego de

unanimidad �S y el juego de identidad �S están de�nidos por:

�S (T ) =

(1; si T � S

0; en otro caso; �S (T ) =

(1; si T = S

0; en otro caso.

Uno de los principales tópicos tratados en la teoría de juegos cooperativos

es, dado un juego v; estudiar cómo se puede repartir el bene�cio de la coo-

peración v (N) entre los jugadores si la gran coalición N se forma. Por ello,

en el sentido más amplio, se llama solución o concepto de solución sobre una

colección no vacía G de juegos, G � � (N) ; a toda aplicación que asocia

a cada juego v de dicha colección un conjunto (v) de vectores x 2 RN :

Cada vector x 2 RN se denomina distribución o vector de pagos ya que la

coordenada xi representa el pago al jugador i, y una propiedad exigible a

todo concepto de solución es que éste asocie a cada juego v un conjunto de

vectores con la propiedad de e�ciencia:P

i2N xi = v (N) : En particular, se

denomina valor a toda solución que asocia a cada juego un único vector de

pagos. Por otra parte, los valores de�nidos sobre la clase de juegos simples

se denominan índices, siendo éstos de gran utilidad en la teoría de decisiones

y en sistemas de votación.

El valor más conocido es el valor de Shapley, introducido por Lloyd Sha-

pley [47] en 1953. El valor de Shapley � (v) 2 RN de un juego v 2 � (N)

es una media ponderada de las contribuciones marginales de los jugadores a

6 Introducción

las distintas coaliciones. En concreto, el valor de Shapley de v está de�nido

mediante la siguiente expresión

�i (v) =X

S�Nnfig

(n� s� 1)!s!

n![v (S [ fig)� v (S)] ; para todo i 2 N;

donde s = jSj.

Otra manera de introducir el valor de Shapley se basa en el siguiente

modelo. Se supone que los jugadores entran en una habitación de uno en

uno siguiendo un orden aleatorio �: Entonces, se admite que cada jugador i

obtiene como ganancia la diferencia entre el valor de la coalición Si (�) que

ya estaba formada y el de la nueva Si (�) [ fig que se forma con su incorpo-

ración. Finalmente, se ofrece a cada jugador la media de sus contribuciones

marginales correspondientes a todos los posibles órdenes del conjunto N de

jugadores. Esto es,

�i (v) =1

n!

X�2

[v (Si (�) [ fig)� v (Si (�))] ; para todo i 2 N

donde es el conjunto de todas las ordenaciones posibles de N:

Shapley justi�có su elección indicando requisitos que debería cumplir una

solución razonable y demostrando que, el valor de Shapley, es el único valor

sobre � (N) que veri�ca los siguientes axiomas:

Axioma de linealidad. Si v,w 2 � (N) ; entonces

� (�v + �w) = �� (v) + �� (w) ; para todo �; � 2 R.

Axioma del jugador dummy. Si i 2 N es un jugador dummy en un juego

v 2 � (N) ; es decir, v (S [ fig) � v (S) = v (fig) para todo S � N n fig ;

entonces

�i (v) = v (fig) :

Axioma de e�ciencia. Para todo v 2 � (N) ;Xi2N

�i (v) = v (N)

Introducción 7

Axioma de simetría. Para cada permutación � del conjunto N;

��i (�v) = �i (v) ; para todo i 2 N;

donde �v es el juego de�nido por �v (�S) = v (S) ; para todo S � N .

Una recopilación de los numerosos estudios que sobre el valor de Shapley

se han hecho desde su invención, se encuentra en el libro en honor de Shapley,

The Shapley Value, editado por Alvin E. Roth en 1988, y con la participación

de numerosos autores. Varios capítulos de dicho libro se utilizan como refe-

rencia en este trabajo.

En 1954, Shapley y Martin Shubik [49], proponen aplicar el valor de

Shapley a la clase de juegos simples. El resultado, conocido como índice

de Shapley-Shubik, tiene como �nalidad medir la in�uencia de los votantes

en los sistemas de votación. Dicho índice está caracterizado por veri�car

los axiomas de e�ciencia, jugador dummy, simetría y transferencia. Este

último indica que las componentes del índice de Shapley-Shubik son funciones

modulares sobre el retículo de juegos simples.

Otra forma de analizar cómo el voto de un jugador afecta al resultado

�nal de una votación, fue introducida por el abogado John F. Banzahf III [4]

en 1965. El índice de Banzhaf de un jugador i cuenta el número de veces en

que dicho jugador es un votante swing (convierte a una coalición perdedora S

en otra S [ fig ganadora). La versión más utilizada es el índice normalizado

que, en términos de contribuciones marginales, se expresa en la forma

�i (v) =X

S�Nnfig

1

� (v)[v (S [ fig)� v (S)] ; para todo i 2 N;

donde � (v) es el número total de swings que se producen en el juego v.

Posteriormente Dubey y Shapley [17], en 1979, ofrecen una versión pro-

babilística del índice de Banzhaf tomando, en este caso, la probabilidad de

producción de un swing. Este nuevo concepto es capaz de diferenciar juegos

con distintas capacidades de construcción de swings pero con los mismos

8 Introducción

índices normalizados. La formulación del índice de Banzhaf probabilístico es

�i (v) =X

S�Nnfig

1

2n�1[v (S [ fig)� v (S)] ; para todo i 2 N:

Los axiomas que caracterizan al índice probabilístico son los mismos que

se toman para el índice de Shapley-Shubik pero, sustituyendo la e�ciencia

tradicional por un reparto del número total de probabilidades de swing en el

juego, llamado axioma de totalidad.

Stra�n [52] ofrece un análisis de las diferencias y similitudes entre los

índices de Shapley-Shubik y Banzhaf. Sus observaciones sugieren cómo adap-

tar estos métodos para construir nuevos índices para situaciones particulares.

Weber [59], en 1988, agrupa los valores que veri�can los axiomas más

habituales desde el punto de vista individual en los denominados valores

probabilísticos: El valor de Shapley y la versión probabilística del valor de

Banzhaf, considerados como valores individuales, pertenecen a la clase de

valores probabilísticos. En dicho trabajo, se examina paso a paso cómo in-

tervienen los axiomas lógicos individuales en la formulación de dichos valores.

También se introducen axiomas que persiguen la construcción de valores de

grupo, teniendo como referencia la formación natural del valor de Shapley.

Otro grupo de valores de más reciente creación son los valores de compro-

miso, donde no se desea dar a los jugadores una esperanza de pago sino

conseguir un compromiso entre ellos para el reparto real de la cantidad

disponible. Destaca el valor de Tijs creado por Tijs [53] en 1981 y desa-

rrollado por Driessen y Tijs [16], Tijs y Otten [54], entre otros. Dado un

juego v 2 � (N) ; se construyen los vectores M (v) y m (v) como aquéllos de

coordenadas

Mi (v) = v (N)� v (N n fig) ;

mi (v) = maxfS�N :i2Sg

24v (S)� Xj2Snfig

Mj (v)

35 ;

Introducción 9

para todo i 2 N: Entonces, trabajando en la clase de juegos quasiequili-

brados�tales que m (v) �M (v) y

Pi2N mi (v) � v (N) �

Pi2N Mi (v)

�, el

valor de Tijs para un juego v, denotado por � (v) ; es el único vector del

segmento de extremos m (v) y M (v) que veri�ca la propiedad de e�ciencia.

Aunque las soluciones de conjunto (aquéllas que ofrecen más de un vec-

tor de pago para cada juego) no son objeto de estudio en este trabajo, se

introduce seguidamente el concepto de core, por utilizarse en el desarrollo

del capítulo tercero. El core de un juego v, cuando éste es submodular, es el

conjunto

Core (v) =

(x 2 R

N :Xi2N

xi = v (N) ;Xi2S

xi � v (S) ; 8S � N

):

Un estudio bastante completo de esta noción, introducida por Gillies en 1953,

y su relación con otras soluciones puede verse en Driessen [15].

Del modelo inicial de juego cooperativo anteriormente expuesto, donde se

supone que cada subgrupo de jugadores puede unirse formando una coalición,

se ha ido evolucionando a modelos más generales que puedan contemplar

di�cultades en la cooperación. En opinión de Harsanyi y Selten [24], existen

importantes clases de juegos intermedios entre la cooperación total y la no

cooperación.

Una de las primeras aproximaciones al problema de la cooperación par-

cial es el modelo de Aumann y Maschler [2] sobre juegos con estructura de

coalición. Se entiende por estructura de coalición toda partición en coali-

ciones, B = fB1; : : : ; Bkg ; del conjunto N de jugadores; y, en dichos juegos,

se supone que sólo los jugadores de una misma coalición de la estructura

pueden coaligarse. Posteriormente Aumann y Dréze [1] introducen axiomáti-

camente el concepto de valor de un juego restringido por una estructura de

coalición.

El estudio de valores para estructuras de coalición se ha desarrollado

en numerosos trabajos como los de Owen [45], Hart y Kurtz [26], Levy y

10 Introducción

Mc Lean [33], Winter [63], [64] y Mc Lean [35]. Todos ellos consideran la

estructura de coalición dada de forma exógena, mientras que los trabajos de

Shenoy [50], Hart y Kurtz [25], Kurtz [32] se plantean la formación endógena

de coaliciones.

Puesto que las estructuras de coalición sólo explican modelos transitivos

y disjuntos en la relación entre jugadores, Myerson [37] en 1977 propone un

nuevo punto de vista para modelar la cooperación parcial. Dado un juego

(N; v) ; se considera asociado a él un grafo G cuyo conjunto de vértices es N y

cuyo conjunto de aristas no ordenadas E determina las relaciones bilaterales

entre los jugadores. Entonces, se dice que una coalición es factible si dados

dos elementos cualesquiera de la misma, existe un camino en el grafo que

los relaciona y que está completamente incluido en dicha coalición. Pasa

así a representarse un juego mediante una terna (N; v;G) donde G es el

grafo de cooperación. La existencia de coaliciones factibles y de otras que no

lo son obliga a que la función característica del juego (N; v) tenga que ser

modi�cada. La función característica del juego restringido por el grafo de

cooperación se de�ne mediante

vG (S) =X

T2�(S)

v (T ) ;

siendo � (S) la partición de S en componentes conexas del subgrafo inducido

por la coalición S. A la terna (N; v;G) se le llama situación de comunicación.

El valor de Myerson de la situación de comunicación (N; v;G) ; denotado

por � (N; v;G) ; es el valor de Shapley para el juego�N; vG

�restringido por

el grafo, es decir, � (N; v;G) = ��N; vG

�:

Numerosos trabajos han continuado esta línea de investigación planteada

por Myerson. Entre ellos cabe citar los de Owen [46], van den Nouweland

y Borm [40], Carreras [13] y van den Nouweland [39]. Por otra parte, la

formación endógena de coaliciones en situaciones de comunicación ha sido

estudiada por Aumann y Myerson [3]. Recientemente, otros modelos que

guardan una estrecha relación con el planteado inicialmente por Myerson, en

Introducción 11

tanto que las relaciones entre los jugadores se modela mediante un grafo no

dirigido, son analizados por Bergantiños, Carreras y García Jurado [5], Calvo

y Lasaga [12].

En 1980, el propio Myerson [38] plantea la necesidad de extender su mo-

delo a hipergrafos de comunicación. La idea que apunta, y que recogen van

den Nouweland, Borm y Tijs [41], es que se debería tender a considerar un

marco más amplio aún de cooperación. Conectando con esta idea, Bilbao [7]

y López [34], en 1996, comienzan a desarrollar modelos de cooperación parcial

basados en los denominados sistemas de coaliciones factibles y sistemas de

partición, que pretenden generalizar las situaciones de comunicación. Los

sistemas de coaliciones factibles son colecciones F de subconjuntos de N que

contienen al vacío y a las coaliciones unitarias. Los sistemas de partición son

casos particulares de los anteriores, donde es necesario que cualquier coalición

pueda expresarse mediante unión disjunta de coaliciones factibles maximales

contenidas en ella.

Al considerar una terna (N; v;F) en la que (N; v) es un juego de utilidad

transferible y (N;F) es un sistema de coaliciones factibles o un sistema de

partición, los correspondientes juegos restringidos por el sistema F están

de�nidos, para toda S � N; de la siguiente forma:

evF (S) = maxnX

v (Si) : fSig 2 PF (S)o;

vF (S) =XSi2�S

v (Si) ;

donde PF (S) es el conjunto de las posibles particiones de S en coaliciones

factibles, y �S constituye la partición de S en coaliciones factibles maximales

contenidas en S:

Éste y otros trabajos, como los de Faigle [21], Faigle y Kern [22] y Kuipers

[31], abren una nueva línea de investigación en la que se pone de mani�esto

el interés de de�nir la función característica de un juego sólo sobre las coa-

liciones que se consideren factibles. En esta dirección se encuentran los tra-

bajos de Bilbao [8] y Bilbao y Edelman [9], los cuales introducen una nueva

12 Introducción

estructura combinatoria en la teoría de juegos, las denominadas geometrías

convexas, y estudian el valor de Shapley para juegos de�nidos sobre éstas.

Una geometría convexa se de�ne como un operador clausura que veri�ca una

propiedad de anticambio equivalente a la propiedad �nita de Minkowski-

Krein-Milman. En esta misma línea, Jiménez [28] analiza juegos sobre espa-

cios de clausura, entre los que se encuentran las geometrías convexas como

un caso particular, estudiando diferentes conceptos de solución para estos

juegos y, en especial, la clase de los juegos simples. Un espacio de clausura

es un sistema de coaliciones donde la intersección es una operación cerrada.

También, dentro de este contexto de cooperación parcial, Bilbao, Lebrón y

Jiménez [11] obtienen una caracterización axiomática del valor de Shapley

para juegos sobre geometrías convexas como conclusión de un análisis de los

valores probabilísticos.

El trabajo que se presenta continúa esta última línea de investigación,

y tiene por objetivo el estudio de valores en determinadas estructuras com-

binatorias. Se pueden apreciar dos grandes bloques en cuanto al desarrollo

de los tópicos que se tratan. Por un lado, se prosigue la línea iniciada por

Bilbao [8] sobre juegos de�nidos en geometrías convexas, extendiendo a dicha

estructura los valores de Banzhaf y Tijs. Además, se abarca el estudio de los

juegos de�nidos sobre antimatroides, considerando la estrecha relación entre

ambas nociones. En el otro bloque, constituido por los tres últimos capítulos

de esta memoria, se introduce otro modelo de cooperación parcial en el que

las relaciones entre los jugadores vienen determinadas por un matroide. Esto

lleva a considerar dos versiones de un mismo modelo de juegos, para cada

uno de los cuales se proponen diferentes soluciones.

A continuación se detalla el contenido de los cinco capítulos de que consta

esta memoria.

En el capítulo primero, se modela la cooperación parcial de�niendo la

función característica del juego sólo sobre las coaliciones factibles. Una fa-

milia de coaliciones factibles o sistema de coaliciones no tendrá, en este caso,

Introducción 13

ninguna restricción salvo la propiedad técnica de contener al vacío. Cualquier

sistema de coaliciones se puede considerar como un conjunto parcialmente or-

denado y, de ahí, que la primera sección del capítulo se dedique a recordar

aquellas nociones de interés sobre los conjuntos parcialmente ordenados. En

la segunda sección, tras introducir formalmente el concepto de juego de uti-

lidad transferible sobre un sistema de coaliciones, se estudia la estructura

de espacio vectorial del conjunto de estos juegos y, en particular, se analiza

la clase de juegos simples. Se consideran, en las dos últimas secciones, tres

tipos concretos de sistemas de coaliciones. Aquéllos que tienen estructura

de geometría convexa o de antimatroide son introducidos en la sección ter-

cera. En ella se exponen las propiedades fundamentales de estos sistemas

de coaliciones, comentadas en términos de juegos, y se observa la estrecha

relación entre ellos. Otra visión diferente de cómo puede venir determinada

la cooperación entre los jugadores, la ofrece la estructura de matroide, cuyos

conceptos más relevantes se tratan en la última sección del capítulo.

El capítulo segundo, titulado Valores Clásicos sobre Geometrías y Anti-

matroides, está dedicado al estudio de los valores de Shapley, Banzhaf y Tijs

en dichos sistemas de coaliciones. En el desarrollo de este capítulo se utiliza

como herramienta fundamental, el isomor�smo existente entre los conjuntos

de juegos sobre geometrías y antimatroides, que se considera en la sección

primera. La posibilidad de asociar a cada juego de�nido sobre una geometría

convexa otro de�nido sobre su antimatroide dual, permite relacionar los di-

ferentes valores en ambas estructuras. En la segunda sección, teniendo como

referencia la caracterización axiomática del valor de Shapley dada por Bil-

bao [8] para geometrías convexas, se introduce el correspondiente valor en

antimatroides. La sección tercera se dedica a de�nir el índice de Banzhaf

en ambas estructuras, observando, nuevamente, la importancia del operador

dual. Por último, en la cuarta sección se comienza extendiendo el valor de

Tijs a la estructura de antimatroide, considerando antimatroides coatómicos.

Este tipo de antimatroides ofrecen la posibilidad de trasladar de forma au-

tomática la construcción original de dicho valor y, en ellos, se consigue una

14 Introducción

de las habituales caracterizaciones sobre la clase de juegos quasiequilibrados.

Por otro lado, la dualidad entre los antimatroides coatómicos y geometrías

convexas atómicas, da pie a proponer un valor de Tijs para este último tipo

de estructura.

Comienza en el capítulo tercero la parte dedicada a juegos sobre ma-

troides. Este capítulo establece, en la primera sección, un modelo según

el cual se pueden desarrollar juegos de�nidos sobre un sistema donde no es

factible la gran coalición y además, a diferencia de las estructuras de coalición,

las coaliciones maximales no son disjuntas. Se contempla que en el discurrir

de un juego se dan dos posibilidades: o bien los jugadores se unen determi-

nando una única coalición factible maximal, o bien se van organizando en

coaliciones factibles que ocasionan una partición del conjunto de jugadores.

En la segunda y última sección se introduce el concepto de in�uencia. La

noción de in�uencia de una coalición pretende re�ejar la capacidad que tiene

cada coalición de in�uir en la dinámica del juego. Se comprueba que su

de�nición avala esta idea cuando se estudia su relación con el core de un

juego vinculado a la estructura y generado por un elemento clásico del ma-

troide, su función rango.

En el capítulo cuarto, siguiendo el trabajo de Weber [59], se profundiza

sobre los axiomas exigibles a un valor para juegos sobre matroides pensa-

dos bajo el modelo del capítulo anterior. La primera sección examina los

axiomas desde el punto de vista individual, investigando su aportación a la

formulación del valor. Este estudio individual puede servir para los dos tipos

de juegos que se tratan, tanto para juegos estáticos como dinámicos, y desem-

boca en una familia de valores denominados valores �-ponderados. Cuando

se exigen axiomas de grupo hay que tener en cuenta la diferencia entre ambos

tipos de juegos. En la segunda sección se estudian la denominada propiedad

del rango y los conceptos de valor e�ciente, básico y de orden aleatorio como

axiomas de grupo válidos para un juego estático. Se determinan, para �-

nalizar la sección, qué características tienen aquellos valores que satisfacen

todas las propiedades enunciadas anteriormente, de�niendo una familia de

Introducción 15

valores de grupo. La última sección del capítulo hace lo propio con un juego

dinámico, exigiendo la propiedad de ponderación unitaria y los conceptos

de valor e�ciente, básico y de orden aleatorio en el sentido dinámico. Tam-

bién se construyen valores de grupo que veri�can estas condiciones. En el

transcurso del estudio de los valores dinámicos surgen determinados valores

cuya aplicación es sobre juegos estáticos, a pesar de veri�car la propiedad de

ponderación unitaria. Estos últimos valores se denominarán valores relativos.

El capítulo quinto se dedica al valor de Shapley para juegos sobre ma-

troides. Se tiene como referencia el concepto de poder jerárquico introducido

por Faigle y Kern [22], que utilizan para determinar el valor de Shapley en

las estructuras de precedencia. En la primera sección se de�nen valores de

Shapley desde el punto de vista estático y se obtiene una caracterización de

éstos. Se destaca el caso particular donde todas las coaliciones maximales son

equiprobables. Por último, los valores dinámicos de Shapley son examinados

en la segunda sección de forma paralela a lo realizado con los estáticos.

16 Introducción

Capítulo 1

Juegos sobre Estructuras

Combinatorias

En la introducción de esta memoria se ha planteado la necesidad de seguir

estudiando juegos cooperativos de utilidad transferible en situaciones en las

que la cooperación pueda estar sujeta a ciertas restricciones, ya que en al-

gunas aplicaciones se presentan casos intermedios entre la cooperación total

y la no cooperación. Por esta razón, se proponen aquí unos modelos en los

que las relaciones entre los jugadores están determinadas por una estructura

combinatoria (de geometría convexa, antimatroide o matroide) que expresa

reglas lógicas de comunicación entre los jugadores.

En el caso más general, la cooperación estaría modelada mediante una

familia cualquiera F de subconjuntos del conjunto �nito de jugadores N:

Así, un juego de utilidad transferible se de�nirá como una aplicación sobre

el conjunto F mediante la cual se determinan los valores que las distintas

coaliciones pueden obtener en dicho juego. En el estudio de estos juegos, son

determinantes las características de la familia F ; y, por ello, en el sentido

más amplio, serán necesarias las notaciones y propiedades de dicha familia

como conjunto parcialmente ordenado respecto de la inclusión.

En consecuencia, la primera sección de este capítulo está dedicada a pre-

sentar los conceptos, de�niciones y resultados relativos a conjuntos parcial-

17

18 Capítulo 1. Juegos sobre Estructuras Combinatorias

mente ordenados que se utilizarán en esta memoria. Se seguirá para ello el

texto de Stanley [51].

En la segunda sección se de�ne formalmente el concepto de juego de utili-

dad transferible sobre una familia de subconjuntos del conjunto de jugadores,

y se estudian sus principales propiedades estructurales. Finalmente, en las

dos últimas secciones, se introducen las estructuras combinatorias objeto de

este trabajo, y se interpretan las nociones de interés en términos de juegos.

1.1 Conjuntos Parcialmente Ordenados

Un conjunto parcialmente ordenado es un par (P;�) donde P es un con-

junto y � una relación binaria en P que satisface las propiedades re�exiva,

antisimétrica y transitiva.

Siendo P un conjunto parcialmente ordenado mediante una relación de

orden �, pueden considerarse las siguientes nociones. Se dice que b1 2 P es

último elemento de P si x � b1 para todo x 2 P . Análogamente, se dice queb0 2 P es primer elemento de P si b0 � x para todo x 2 P .

Dados x; y 2 P; con x � y; se denomina intervalo [x; y] al conjunto

[x; y] = fz 2 P : x � z � yg :

Un conjunto parcialmente ordenado (P;�) es localmente �nito si cualquiera

de sus intervalos es un conjunto �nito.

Dos elementos x; y 2 P son comparables si x � y o bien y � x; en otro

caso, x e y son incomparables. Una cadena C de P es un subconjunto no

vacío de P en el que dos elementos cualesquiera son siempre comparables.

Se dice que una cadena C de P es una cadena maximal de P cuando no

existe otra cadena de P que la contenga. La longitud l (C) de una cadena

�nita C es l (C) = jCj � 1: Se denotará por c ([x; y]) al número de cadenas

maximales que hay en el intervalo [x; y] cuando éste se considera ordenado

1.1 Conjuntos Parcialmente Ordenados 19

por el orden inducido por (P;�). En particular, si P tiene primer elementob0; y x 2 P; entonces c (x) representará el número de cadenas maximales del

intervalohb0; xi.

Se dice que un subconjunto I de P es un ideal del orden de P cuando,

para todo x 2 I; se veri�ca que si y � x entonces y 2 I. En particular,

cuando x 2 P; el conjunto

hxi = fy 2 P : y � xg ;

se denomina ideal principal del orden generado por x:

Dados dos elementos distintos x; y 2 P; se dice que y cubre a x cuando

el intervalo [x; y] = fx; yg. Cuando P tiene primer y último elemento, los

átomos de P son los x 2 P que cubren a b0; los coátomos de P son los y 2 P

tales que b1 cubre a y:

Se conoce como diagrama de Hasse, de un conjunto parcialmente orde-

nado y �nito P , a un grafo cuyos vértices son los elementos de P y las aristas

vienen determinadas por la relación de cubrir.

Una cota superior de un subconjunto X; de un conjunto parcialmente

ordenado P; es un elemento a 2 P tal que x � a para todo x 2 X: Si a es

una cota superior de X para la cual el resto de cotas superiores y de X sa-

tisfacen a � y; entonces a se llama supremo de X. Análogamente se de�nen

los conceptos de cota inferior e ín�mo de X. Si en un conjunto parcial-

mente ordenado (P;�) existen el supremo y el ín�mo de cualquier pareja de

elementos de P , entonces se dice que (P;�) es un retículo. Usualmente, se

denota

a ^ b = inf fa; bg ; a _ b = sup fa; bg :

Un retículo P es completo si cualquier subconjunto suyo no vacío tiene

supremo e ín�mo en P . Se dice que un retículo P es distributivo si veri-

�ca

x _ (y ^ z) = (x _ y) ^ (x _ z) ;


x ^ (y _ z) = (x ^ y) _ (x ^ z) ;

para cualesquiera x; y; z 2 P: Por otro lado, un retículo (P;�), con elementosb0 y b1, es complementado si para todo x 2 P existe y 2 P tal que x ^ y = b0y x _ y = b1. Un retículo distributivo �nito complementado se denomina

álgebra de Boole (en este caso se utilizará esta de�nición, aunque el concepto

de álgebra de Boole implica una estructura más amplia que la de retículo).

Sea P un conjunto parcialmente ordenado localmente �nito y K un cuerpo

de característica nula (normalmente R ó C ). Se dice que

f : P � P �! K

es una función de incidencia de P sobre K si f (x; y) = 0 cuando x 6� y.

Esta de�nición implica que una función de incidencia es nula sobre pares

que no constituyen intervalos de P: El conjunto de funciones de incidencia

de P sobre K se denotará por I (P; K ). Este conjunto tiene estructura de

espacio vectorial con las operaciones de suma de funciones y producto por un

escalar. Además, puede de�nirse una segunda operación interna denominada

producto o convolución de la siguiente forma

(f � g) (x; y) =X

fz:x�z�yg

f (x; z) g (z; y)

para (x; y) 2 P �P . El elemento neutro de la convolución es la función delta

de Kronecker

� (x; y) =

(1; si x = y

0; si x 6= y:

El conjunto I (P; K ) junto con las operaciones suma, producto por escalar

y convolución constituye un álgebra sobre el cuerpo K llamado álgebra de

incidencias.

Una función particular de I (P; K ) es la función zeta �, de�nida por

� (x; y) =

(1; si x � y

0; en otro caso.

1.1 Conjuntos Parcialmente Ordenados 21

Dado un conjunto �nitoN; y considerando el conjunto parcialmente ordenado�2N ;�

�; la función zeta � de 2N sobre R permite de�nir, �jado cualquier

subconjunto no vacío S 2 2N ; una nueva función

�S : 2N �! R, �S (T ) = � (S; T ) =

(1; si S � T

0; en otro caso.

Obsérvese que la función �S es un juego de unanimidad. Esta forma de

interpretar los juegos de unanimidad es utilizada por Faigle y Kern [22].

Una función de incidencia f 2 I (P; K ) tiene inversa para la convolución

si y sólo si f (x; x) 6= 0; para todo x 2 P . Por ello, la función zeta � posee

inversa a la que se denomina función de Möbius de P y se simboliza por �.

El cálculo de � se puede realizar mediante la siguiente fórmula recurrente

� (x; y) =

8<: 1; si x = y

�P

fz2P :x�z<yg

� (x; z) ; si x < y:

Usando la función de Möbius se obtiene el resultado fundamental de la

fórmula de inversión de Möbius. Dicho resultado establece que si P es un

conjunto parcialmente ordenado en donde cualquier ideal principal del orden

es �nito y si f; g : P �! C , entonces para todo x 2 P :

g (x) =Xy�x

f (y)() f(x) =Xy�x

� (y; x) g (y) :

En el caso particular de un álgebra de Boole P = 2N , con N un conjunto

�nito; la función de Möbius se escribe como � (S; T ) = (�1)jT j�jSj, para

S � T � N . Así, la fórmula de inversión de Möbius implica

g (T ) =XS�T

f (S)() f(T ) =XS�T

(�1)jT j�jSj g (S) :


1.2 Juegos sobre Sistemas de Coaliciones

Se denominará sistema de coaliciones a todo par (N;F) ; donde N es un

conjunto �nito y F es una familia de subconjuntos de N tal que ; 2 F : Dado

un sistema de coaliciones (N;F) ; los elementos de F se llamarán coaliciones

factibles.

De�nición 1.1 Un juego de utilidad transferible es una terna (N;F ; v) ;

donde (N;F) es un sistema de coaliciones y v : F �! R es una aplicación

tal que v (;) = 0. La aplicación v se denomina función característica del

juego.

A lo largo de todo este trabajo se supondrá, salvo indicación expresa, que

al hablar de juegos de utilidad transferible (N;F ; v) ; el sistema de coaliciones

(N;F) es tal que N = f1; : : : ; ng y además se veri�ca la propiedad adicional

N = [S2FS, por lo que el conjunto N queda determinado por F . Por

ello, con frecuencia se entenderá el sistema (N;F) como la familia F . Los

elementos de N se denominarán jugadores. Se identi�cará el juego (N;F ; v)

con la función v y se dirá que v es un juego de�nido sobre el sistema F .

Se denotará por � (F) el conjunto de todos los juegos de�nidos sobre el

sistema F . Se pueden de�nir sobre el conjunto � (F) las operaciones suma y

producto por un escalar de la forma habitual: para todo S 2 F , v; w 2 � (F)

y � 2 R

(v + w) (S) = v (S) + w (S) ;

(�v) (S) = �v (S) :

Estas operaciones dotan al conjunto � (F) de estructura de espacio vecto-

rial y, al igual que en la teoría de juegos cooperativos, los juegos de unani-

midad y los juegos de identidad, que se introducen a continuación, determi-

nan dos bases de dicho espacio.

1.2 Juegos sobre Sistemas de Coaliciones 23

Para cualquier coalición no vacía T 2 F , el correspondiente juego de

unanimidad, que se representa por �T ; está de�nido como �T : F ! R

�T (S) =

(1; si T � S

0; en otro caso,

para cada coalición S 2 F .

El juego de identidad �T : F ! R está de�nido por

�T (S) =

(1; si T = S

0; en otro caso,

para cada coalición S 2 F .

Proposición 1.2 La dimensión del espacio vectorial � (F) es jFj � 1; y las

familias de juegos f�T : T 2 F ; T 6= ;g y f�T : T 2 F ; T 6= ;g son dos bases

de dicho espacio.

Demostración: Es sencillo comprobar que los juegos de identidad son li-

nealmente independientes y que

v =X

fT2F :T 6=;g

v (T ) �T ; 8v 2 � (F) : (1.1)

Para probar que los juegos de unanimidad también forman una base del

mismo espacio, basta ahora comprobar que son linealmente independientes o

bien que constituyen un sistema generador de � (F) : Aunque la primera de

esas comprobaciones es más sencilla, se realizará la segunda debido a que el

resultado obtenido será utilizado posteriormente.

Cada juego de unanimidad �T se puede expresar en la forma

�T =X

fS2F :S�Tg

�S; (1.2)

y utilizando la función y fórmula de inversión de Möbius (ver sección ante-

rior), en el conjunto parcialmente ordenado (F ;�) se tiene

�T =X

fS2F :S�Tg

� (T; S) �S: (1.3)


Así, sin más que usar (1.1) e intercambiar los sumatorios

v =X

fS2F :S 6=;g

�v (S) �S; 8v 2 � (F) ; (1.4)

donde los coe�cientes son

�v (S) =X

fT2F :T 6=;;T�Sg

� (T; S) v (T ) : (1.5)

2

Las coordenadas de un juego v de�nido sobre el sistema F en la base

formada por los juegos de unanimidad, esto es, los escalares �v (S) para

S 2 F , se denominan coe�cientes de Harsanyi.

A continuación se introducen algunos tipos particulares de juegos, cuyas

de�niciones son extensiones naturales de las ya existentes en juegos coopera-

tivos clásicos.

Un juego v 2 � (F) es monótono si para cualesquiera coaliciones S; T 2 F

T � S; se veri�ca v (T ) � v (S). Se designará por �m (F) el subconjunto de

� (F) formado por los juegos monótonos. Dicho conjunto no constituye un

subespacio vectorial de � (F) : Se dice que �m (F) tiene estructura de cono,

en el sentido de que la operación suma es interna y el producto por escalares

no negativos es una ley de composición externa.

Un juego v 2 � (F) es simple si es monótono y v(S) 2 f0; 1g para toda

coalición S 2 F : En un juego simple, las coaliciones S tales que v (S) = 1

se denominan coaliciones ganadoras, y las restantes son llamadas coaliciones

perdedoras. Se denotará por �s (F) el conjunto de los juegos simples.

Un juego v 2 � (F) es débilmente superaditivo si para cualesquiera coali-

ciones S; T 2 F con S [ T 2 F y S \ T = ;, se veri�ca

v (S [ T ) � v (S) + v (T ) :

1.2 Juegos sobre Sistemas de Coaliciones 25

A continuación se probará que el conjunto de juegos simples �s (F) es un

retículo. En efecto, si en dicho conjunto se considera la relación binaria �

tal que, para cualesquiera v,w 2 �s (F) ; se tiene

v � w () v (S) � w (S) para todo S 2 F ,

entonces (�s (F) ;�) es un conjunto parcialmente ordenado. Por otro lado,

para cualesquiera v,w 2 �s (F) ; el ín�mo y el supremo de dichos juegos son,

respectivamente, los juegos v ^ w, v _ w tales que

(v ^ w) (S) = min fv (S) ; w (S)g ;

(v _ w) (S) = max fv (S) ; w (S)g ;

para toda coalición S 2 F . Además, en el retículo �s (F) ; los juegos^1 y

^0

son aquéllos donde^1 (S) = 1 y

^0 (S) = 0, para toda coalición factible no

vacía.

Proposición 1.3 El conjunto de juegos simples �s (F) es un retículo dis-

tributivo. Además, �s (F) es un álgebra de Boole si, y sólo si, las coaliciones

no vacías de F son maximales en el conjunto parcialmente ordenado (F ;�).

Demostración: Sean v; w; z juegos simples. Nótese que las siguientes tablas

Tabla 1 v _ (w ^ z)

v(S) < w(S) < z(S) w

w(S) < v(S) < z(S) v

w(S) < z(S) < v(S) v

Tabla 2 v _ w v _ z (v _ w) ^ (v _ z)

v(S) < w(S) < z(S) w z w

w(S) < v(S) < z(S) v z v

w(S) < z(S) < v(S) v v v


implican la igualdad

v _ (w ^ z) = (v _ w) ^ (v _ z) :

La ecuación dual se obtiene de forma similar. Por tanto, el retículo es dis-

tributivo.

Obsérvese ahora que si v; w 2 � (F) son juegos tales que sólo toman

valores en el conjunto f0; 1g ; entonces si además veri�can

v _ w = b1; v ^ w = b0;debe suceder que las coaliciones factibles ganadoras de v son perdedoras para

w y las perdedoras, no vacías, para v son ganadoras para w.

Supóngase que existe una coalición no vacía R 2 F , tal que R no es

maximal en (F ;�) ; esto es, existe T 2 F tal que R � T: En esta situación,

se puede considerar un juego v 2 �s (F) tal que v (R) = 0 y v (T ) = 1; y,

según lo dicho anteriormente, todo juego w 2 � (F) que veri�que v_w = b1 yv ^ w = b0; no es monótono (ya que w (R) = 1 y w (T ) = 0): Por tanto, para

que �s (F) sea un álgebra de Boole es condición necesaria que toda coalición

no vacía de F sea maximal (F ;�) : Además, es inmediato que dicha condición

es su�ciente. 2

Para �nalizar esta sección, se introducen los conceptos que permitirán

construir soluciones para juegos sobre sistemas de coaliciones.

Sea (N;F) un sistema de coaliciones. Un valor para el jugador i; i 2 N;

sobre � (F) es una función

i : � (F) �! R

que asigna a cada juego v de�nido sobre F un número real. El número i (v)

asociado a un juego v se interpreta como el valor que dicho juego tiene para

el jugador i (por ejemplo, la ganancia que el jugador espera obtener por

participar en dicho juego).

Un valor para el conjunto de jugadores o valor de grupo sobre � (F) es

una función

: � (F) �! RN

1.3 Geometrías Convexas y Antimatroides 27

que asocia a cada juego v un vector (v) = (1 (v) ; : : : ;n (v)). Este vector

representa el valor que tiene el juego dado para cada uno de los jugadores.

1.3 Geometrías Convexas y Antimatroides

Los antimatroides fueron introducidos por Diworth [14] en 1940 como ejem-

plos particulares de retículos semimodulares. Desde entonces, varios autores

han llegado al concepto de antimatroide como abstracciones de diversas situa-

ciones combinatorias. Un estudio sistemático de dichas estructuras, basado

en la abstracción de la convexidad, fue realizado por Edelman y Jamison, de-

sembocando en 1970 con el establecimiento por Jamison [27] de una estrecha

relación entre la convexidad y la existencia de un operador clausura con una

determinada propiedad de anticambio. En 1980, Edelman [18] prueba que

esta relación era inducida por los denominados retículos meet-distributivos

o geometrías convexas. En la teoría de juegos, Bilbao [7] introduce, en 1998,

las geometrías convexas.

Los resultados sobre geometrías convexas y antimatroides que se exponen

en esta sección se han extraído de los trabajos de Edelman y Jamison [20], y

el capítulo dedicado a ambas estructuras de Korte, Lovász y Schrader [30].

De�nición 1.4 Una geometría convexa es un sistema de coaliciones (N;L)

que satisface las siguientes propiedades:

(G1) Si S; T 2 L; entonces S \ T 2 L,

(G2) Si S 2 L y S 6= N , existe j 2 N n S tal que S [ fjg 2 L.

Considérense el conjunto de juegos � (L) sobre una geometría convexa.

La propiedad (G1) implica que la intersección de coaliciones factibles es tam-

bién factible, pues los jugadores se ponen de acuerdo sobre un per�l de coo-

peración. En el modelo de estructuras de conferencias de Myerson [38], dos


jugadores están conectados si ellos pueden coordinarse mediante conferencias

separadas con algunos miembros comunes que sirven de intermediarios. En

una geometría convexa, las coaliciones de intermediarios están en la estruc-

tura de cooperación. La propiedad (G2) indica un método de formación de

coaliciones mediante la anexión individual de jugadores.

Las coaliciones factibles de una geometría convexa (N;L) ; que se identi-

�cará con la familia L, se denominarán convexos siguiendo la nomenclatura

de Bilbao [7].

A continuación, se muestran algunos ejemplos de geometrías convexas

que aparecen en la literatura de juegos. El primero ha sido utilizado por

Edelman [19] para el estudio de índices de poder en juegos de votación.

Ejemplo 1.5 Si en el conjunto N = f1; 2; : : : ; ng se considera el orden na-

tural de sus elementos, la familia Ln formada por el conjunto vacío y los

intervalos

[i; j] = fi; i+ 1; : : : ; j � 1; jg ; para 1 � i � j � n;

de (N;�) ; es una geometría convexa.

Ejemplo 1.6 Una situación de comunicación es una terna (N; v;G) ; donde

(N; v) es un juego cooperativo y G = (N;A) es un grafo. Considérese el par

(N;L), donde

L = fS � N : (S;A(S)) es un subgrafo conexo de Gg :

En estas condiciones, Edelman y Jaminson [20], establecen que G = (N;A)

es un grafo bloque conexo (véase Harary [23]) si y sólo si (N;L) es una

geometría convexa. Nótese que los grafos bloques son denominados grafos

ciclos completos por van den Nouweland y Borm [40].


Las cadenas maximales de una geometría convexa tienen un papel re-

levante en el estudio de valores en dichas estructuras, como se verá en el

siguiente capítulo. Edelman y Jamison [20] prueban que toda cadena maxi-

mal de una geometría convexa (N;L) contiene n+ 1 conjuntos convexos

; = S0 � S1 � � � � � Sn�1 � Sn = N ,

donde el cardinal jSkj = k, para todo k = 0; 1; : : : ; n. En consecuencia,

las situaciones de jerarquía de Moulin y Shenker [36], donde se usan pagos

que incrementan los costos de acuerdo con una ordenación de N , pueden ser

modeladas por geometrías convexas.

El operador clausura de una geometría convexa (N;L) es la aplicación

� : 2N ! 2N , de�nida por

A =\

fS2L : S�Ag

S, para todo A � N:

Dicho operador veri�ca las propiedades propias de un operador clausura: (1)

A � A; (2) A = A;(3) si A � B; entonces A � B, y la propiedad adicional

; = ;: Además, satisface la denominada propiedad anticambio de Steinitz-

MacLane: Dados dos elementos i; j 2 N; i 6= j; y siendo A � N;

si i; j =2 A y j 2 A [ fig, entonces i =2 A [ fjg;

que caracteriza a los operadores clausura propios de geometrías convexas.

Obsérvese que, según la de�nición de dicha función, la clausura de cualquier

subconjunto de N es un elemento de la familia L.

Para un subconjunto A � N cualquiera, un elemento i 2 A es un punto

extremal de A si i =2 An fig. En particular, un jugador i de S 2 L es un

punto extremo de S si S n fig 2 L. El conjunto de puntos extremales de

una coalición convexa S es denotado por ex(S). Utilizando este concepto,

la segunda propiedad de la de�nición de una geometría convexa puede ser

sustituida por:

(G2') Para todo convexo A � N se veri�ca que A = ex (A).


Por ello, se puede a�rmar que toda coalición factible no vacía de una

geometría convexa tiene al menos un punto extremal. Este hecho permite

utilizar un procedimiento de eliminación (conocido como proceso shelling)

que es posible interpretar en términos de juegos. Empezando con la gran

coalición N; se puede eliminar de ella uno de sus puntos extremales, y seguir

eliminando sucesivamente un punto extremal de cada una de las coaliciones

factibles que se obtienen hasta que se llega �nalmente al conjunto vacío.

Naturalmente, en general, habrá más de una forma de hacer esto, pero todas

ellas permiten determinar a los jugadores lo que ocurriría si ellos abandonaran

la gran coalición.

La idea anterior permite también relacionar la estructura de antimatroide

con los juegos. Basta considerar que los jugadores eliminados, en cada uno

de los procesos anteriores, se agrupen formando sucesivas coaliciones. En

concreto, supóngase que si en un proceso de eliminación los jugadores se van

eliminando según el orden i1; i2; :::; in; entonces éstos se organicen formando

las coaliciones fi1g ; fi1; i2g ; ..., fi1; i2; :::; ing : La conclusión es que la nueva

estructura de coaliciones determina un antimatroide.

De�nición 1.7 Un antimatroide es un sistema de coaliciones (N;A) que

veri�ca:

(A1) Si S; T 2 A; entonces S [ T 2 A,

(A2) Si S 2 A y S 6= N , existe j 2 N n S tal que S [ fjg 2 A.

Los siguientes ejemplos de antimatroides se pueden encontrar en Korte,

Lóvasz y Schrader [30].

Ejemplo 1.8 Sea G = (V;A) un grafo conexo no dirigido y r 2 V uno de

sus vértices. Los conjuntos de aristas de subgrafos conexos que contienen a

r; junto con el vacío, constituyen el denominado antimatroide de búsqueda

por aristas del grafo.


Ejemplo 1.9 Sea G = (V;A) un grafo conexo no dirigido y r 2 V uno de sus

vértices. Se de�ne el antimatroide de búsqueda por vértices de dicho grafo,

(V n frg ;A) ; como aquél cuyos conjuntos factibles son los S � V n frg tales

que, en el subgrafo inducido por S [ frg ; todo vértice x 2 S [ frg puede ser

conectado con r mediante un camino.

Dado un antimatroide (N;A) ; la función de�nida sobre 2N y que asocia,

a cada subconjunto A de N; el conjunto

int (A) =[

fS2A : S�Ag

S,

se denomina operador interior. Las propiedades que de�nen este operador

interior son: (1) int (A) � A, (2) int (int (A)) = int (A), (3) Si A � B;

entonces int (A) � int (B) ; y la propiedad adicional int (N) = N: Además,

satisface la denominada propiedad anticambio de Steinitz-MacLane: Dados

dos elementos i; j 2 N; i 6= j; y siendo A � N;

Si i; j =2 int (A) y j 2 int (A n fig) , entonces i =2 int (A n fjg) :

Obsérvese que, según la de�nición de dicha función, el interior de cualquier

subconjunto de N es un elemento de la familia A.

Sea S una coalición factible de un antimatroide (N;A) : Un elemento

i 2 N n S es un aumentador de la coalición S cuando S [ fig 2 A: El

conjunto de jugadores aumentadores de una coalición factible S se denotará

por au (S) :

El siguiente resultado pone de mani�esto la dualidad existente entre an-

timatroides y geometrías convexas. Sea (N;A) un antimatroide, si se denota

por eA el conjunto de�nido por

eA = fS � N : N n S 2 Ag ;

entonces, se veri�ca el siguiente resultado.


Teorema 1.10 (N;A) es un antimatroide si, y sólo si,�N; eA� es una

geometría convexa.

Obsérvese que las situaciones de precedencia planteadas por Faigle y Kern

[22], constituidas por los ideales principales de un conjunto parcialmente

ordenado N; son un caso de geometría convexa y antimatroide a la vez.

Dado un antimatroide (N;A) y su geometría convexa dual (N;L), de las

de�niciones de jugador aumentador en A y jugador extremal en L, se obtiene

de forma inmediata la siguiente propiedad. Siendo S 2 A, un jugador deNnS

es aumentador de S si, y sólo si, es extremal de N n S: Es decir, si S 2 A,

entonces

au (S) = ex (N n S) : (1.6)

Las funciones de Möbius �L y �A asociadas, repectivamente, a una geome-

tría convexa (N;L) y a un antimatroide (N;A) ; están dadas por las siguientes

expresiones. Para cualesquiera coaliciones factibles S; T , tales que S � T y

jT j = t; jSj = s;

�L (S; T ) =

((�1)t�s ; si T n S � ex (T )

0; en otro caso,

�A (S; T ) =

((�1)t�s ; si T n S � au (S)

0; en otro caso.

La expresión correspondiente a �L se debe a Edelman y Jamison [20], y de

ésta se obtiene la correspondiente a �A teniendo en cuenta la relación (1.6)

existente entre puntos extremales y aumentadores.

Las fórmulas anteriores y la expresión (1.5), permiten obtener los coe�-

cientes de Harsanyi asociados a una coalición factible T;

�Lv (T ) =

XfS2L:S2[Tnex(T );T ]g

(�1)t�s v (S) , (1.7)

1.4 Matroides 33

�Av (T ) =

XfS2A:T2[S;S[au(S)]g

(�1)t�s v (S) ,

para cada juego v de�nido sobre una geometría convexa L o un antimatroide

A.

1.4 Matroides

Los sistemas denominados matroides fueron introducidos por Whitney [61]

en 1935 de�nidos como una abstracción del concepto de independencia li-

neal y de la estructura cíclica de grafos, e independientemente, por van der

Waerden [58] en 1937 como combinación de la independencia lineal y alge-

braica. La teoría de matroides actual tiene su origen en el trabajo de Tutte

[55] de 1959 y cuenta con numerosas aplicaciones como objeto combinatorio

y de optimización. Sus estructuras y algoritmos han proporcionado un buen

soporte para extensiones.

De�nición 1.11 Un matroide es un sistema de coaliciones (N;M) que ve-

ri�ca las siguientes propiedades:

(M1) Si S 2 M y T � S; entonces T 2 M,

(M2) Si S; T 2 M y jSj = jT j + 1; entonces existe i 2 S n T de forma que

T [ fig 2 M.

En la de�nición de juego sobre un matroide se consideran como coali-

ciones factibles los elementos del matroide, lo cual presupone la existencia de

ciertas normas preestablecidas en la cooperación entre los jugadores. Así, si

se piensa que las coaliciones entre jugadores se realizan porque éstos tienen

ciertos intereses comunes, entonces la propiedad (M1) de la de�nición de

matroide establece que es factible también toda posible subcoalición entre

jugadores de cada coalición, ya que cualquier subgrupo tendrá al menos los


mismos intereses comunes que los del grupo. Por otro lado, la propiedad

(M2) re�eja que las diferentes coaliciones se forman regidas por un cierto

proceso secuencial de incorporación individual de jugadores.

A continuación se relacionan los resultados de los que se hará uso en la

memoria concernientes a matroides, los cuales se comentarán en el lenguaje

propio de la teoría de juegos. Las demostraciones se omiten por poderse

consultar en libros como Welsh [60] y Korte, Lovász y Schrader [30]. A partir

de ahora se supondrá que (N;M) es un matroide, y éste se identi�cará con

la familiaM.

Una coalición básica de un matroideM es una coalición B 2 M maximal

respecto a la inclusión: La familia de coaliciones básicas de M se denotará

por B (M), y mediante b (M) el cardinal de este conjunto. La propiedad

(M1) aplicada a una coalición básica B 2 B (M) garantiza que todas sus

subcoaliciones son factibles y, por tanto, son coaliciones factibles las del ál-

gebra de Boole 2B. En particular si N 2 M; entonces el matroide es 2N y se

conoce por matroide libre. Un jugador que pertenezca a todas las coaliciones

básicas de un matroide se dirá que es un jugador istmo.

Las bases de un subconjunto X de N en un matroideM son sus subcon-

juntos maximales en el conjunto parcialmente ordenado (M;�) .

La función rango de un matroideM es la aplicación r : 2N ! Z+ de�nida

por

r (X) = max fjSj : S � X;S 2 Mg ; para todo X 2 2N :

El rango del matroide M, denotado por r (M) ; es el rango del conjunto de

jugadores N: De esta forma, r (M) indica el máximo grado de cooperación

que tienen los jugadores del matroide.

El operador clausura de un matroide M es la función � : 2N ! 2N

de�nida por

� (X) = fi 2 N : r (X [ fig) = r (X)g ; para todo X 2 2N :

1.4 Matroides 35

Dicha función, además de veri�car las propiedades propias de un operador

clausura, satisface la propiedad de intercambio de Steinitz-MacLane: Para

todo X; Y � N; y cualesquiera i; j 2 N se cumple

si j =2 � (X) y j 2 � (X [ fig) entonces i 2 � (X [ fjg) :

Dicha propiedad es la que caracteriza los operadores clausura de los ma-

troides. Obsérvese que, a diferencia con lo que ocurre en geometrías convexas,

la clausura de una coalición cualquiera no necesariamente es una coalición

del matroide.

El último concepto de los matroides que se usará son los circuitos. Los

circuitos de un matroideM son los subconjuntosX deN ,X =2 M, minimales

respecto de la inclusión, es decir, para todo i 2 X se veri�ca queXnfig 2 M.

Se dirá que dos jugadores i; j 2 N son jugadores paralelos en el matroideM, y

se utilizará la notación ikj, si el par fi; jg es un circuito. Por ello, cuando dos

jugadores son paralelos, juntos no pueden formar parte de ninguna coalición

factible.

Los conceptos anteriores permiten obtener diversas caracterizaciones de

los matroides, de entre las que se destacan, por ser útiles en esta memoria,

las siguientes.

Teorema 1.12 Una colección no vacía B de subconjuntos de 2N son las coa-

liciones básicas de un matroide si, y sólo si, satisface la siguiente propiedad

de sustitución: Si B1; B2 2 B y j 2 B1 n B2; entonces existe i 2 B2 n B1 tal

que B1 [ fig n fjg 2 B.

En las condiciones de este teorema, el matroide determinado por la colec-

ción B es

M = fS � N : S � B; para algún B 2 Bg :


Teorema 1.13 Un sistema de coaliciones (N;M) es un matroide si, y sólo

si, satisface la condición (M1) y tiene la siguiente propiedad:

(M2') Para todo X � N , las bases de X tienen el mismo cardinal.

Una consecuencia inmediata del teorema anterior es que todas las coali-

ciones básicas de un matroide tienen el mismo cardinal, y éste coincide con

el rango del matroide.

Teorema 1.14 Una aplicación r : 2N ! Z es la función rango de un ma-

troide si, y sólo si, para toda X; Y � N; veri�ca:

(R1) 0 � r (X) � jXj ;

(R2) Si X � Y; entonces r (X) � r (Y ) ;

(R3) r (X [ Y ) + r (X \ Y ) � r (X) + r (Y ).

Obsérvese que la condición (R1) garantiza que la función rango de un

matroide es un juego cooperativo (N; r), y las condiciones (R2) y (R3) que

el juego es monótono y submodular, respectivamente.

Teorema 1.15 Una función r : 2N ! Z+ es la función rango de un matroide

si, y sólo si, para todo X; Y � N y cualesquiera i; j 2 N; veri�ca:

(R1') r (;) = 0;

(R2') r(X) � r (X [ fig) � r (X) + 1;

(R3') Si r (X [ fig) = r (X [ fjg) = r (X) ; entonces r (X [ fi; jg) = r (X).

1.4 Matroides 37

Bajo las hipótesis de cualquiera de los dos teoremas anteriores, la función

r determina de forma única el matroide

M = fS � N : r (S) = jSjg :

La condición (R3') se suele denominar submodularidad local de la función

rango. De ella se puede deducir que r (� (X)) = r (X) para todo X � N .

Por tanto, la clausura de X es el máximo subconjunto de N que contiene

a X y mantiene su rango. Obsérvese que, si S es una coalición factible; los

jugadores que no están en � (S) son los que pueden unirse a S para dar lugar

a nuevas coaliciones factibles.

Se muestran a continuación algunos ejemplos de matroides de interés para

el desarrollo de la teoría de juegos sobre matroides.

Ejemplo 1.16 El matroide uniforme Ukn está formado por todos los subcon-

juntos de N cuyo cardinal es menor o igual que k;

Ukn =

�S 2 2N : jSj � k

:

La función rango y el operador clausura de este matroide se de�nen, para

cada X � N; por

r (X) = min fk; jXjg ; � (X) =

(X; si jXj < k

N; si jXj � k:

Cuando k 6= n, no hay jugadores istmo. Los circuitos son las coaliciones de

cardinal k+1, y no hay jugadores paralelos salvo que k = 1. En la siguiente

�gura se muestra el matroide uniforme U23 .


Ejemplo 1.17 Dado un grafo no dirigido G = (V;A), donde V es el con-

junto de vértices y A el conjunto de aristas, se de�ne el matroide grá�co

generado por G como el formado por los subconjuntos del conjunto de aristas

A que generan subgrafos acíclicos. El matroide grá�co generado por G se

denotará M (G) : La función rango, para cada X � A; viene dada por

r (X) = jV (X)j � k (X) ;

donde k (X) es el número de componentes conexas que tiene el subgrafo ge-

nerado por las aristas de X. Se sabe que un jugador a 2 A está en la clausura

de una coalición X si es posible formar un circuito que contenga a la arista

a y que esté contenido en X [ fag.

Considerando el grafo de la Figura 1.2, el matroide M (G) es el de la

Figura 1.3.

1.4 Matroides 39

Ejemplo 1.18 Dados dos jugadores i; j 2 N; se de�ne el matroide de oposi-

ción Mn (i k j) como el formado por todos los subconjuntos de N que no

contienen a fi; jg. Esto es, el mayor matroide contenido en 2N ; con i; j

paralelos,

Mn (i k j) = fS � N : fi; jg 6� Sg :

En este matroide los únicos jugadores paralelos son i; j, y los restantes son

itsmos. Su función rango y el operador clausura están dados, para cada

X � N; por

r (X) =

(jXj ; si i ó j =2 X

jXj � 1; si i; j 2 X;� (X) =

8><>:X [ fjg ; si i 2 X; j =2 X

X [ fig ; si j 2 X; i =2 X

X; en otro caso.

Tomando N = f1; 2; 3; 4g ; la siguiente �gura muestra el matroide M4 (1k4).

A continuación se de�nen algunas operaciones sobre matroides, que serán

muy útiles en los capítulos posteriores.

La k-truncación de un matroide M es el matroide dado por la colección

M(k) = fS 2 M : jSj � kg :


La restricción del matroide M a una coalición X � N es el matroide

dado por

MX = fS 2 M : S � Xg :

La eliminación de X en M se de�ne como la restricción del matroide a

la coalición N nX, esto es,

MnX = fS 2 M : S � N nXg :

Por último, la contracción sobre X de M es el matroide de�nido por la

colección

M=X = fS � N nX : S [ T 2 M, para alguna base T de Xg :

Todas estas operaciones sobre matroides originan nuevos matroides. Por

de�nición, se tiene que M=X � MnX. Obsérvese, además, que la elimi-

nación de un jugador en el matroide sobre el que está de�nido un juego, se

puede interpretar como que el jugador se separa del juego dado. Por otro

lado, la contracción sobre un jugador del matroide determina las posibles coa-

liciones a las que el jugador se puede integrar para conjuntamente participar

en el juego.

Cualquier matroide que pueda ser obtenido a partir de otro matroide

M mediante una sucesión de contracciones y eliminaciones se denomina un

menor de M.

Proposición 1.19 Sea (N;M) un matroide, y r su función rango. En-

tonces:

(1) La función rango r0 del matroide k-truncación M(k) está de�nida por

r0 (X) = min fr (X) ; kg ; para todo X 2 2N :

(2) La función rango r0 del matroide restricción sobre Y;MY , está de�nida

por r0 (X) = r (X) ; para todo X 2 2Y :

1.4 Matroides 41

(3) La función rango r0 del matroide contracción sobre Y; M=Y , se de�ne

r0 (X) = r (X [ Y )� r (Y ) ; para todo X 2 2NnY :

Conviene también introducir el concepto de isomor�smo entre matroides.

Dos matroides (N1;M1), (N2;M2) son isomorfos si existe una biyección

� : N1 ! N2 tal que para todo S 2 M1, se veri�ca que f� (i) : i 2 Sg 2 M2:

La función de Möbius � : M�M �! R de un matroide M tiene la

siguiente expresión

� (S; T ) = (�1)t�s ;

para cualesquiera S; T 2 M; S � T; donde jSj = s y jT j = t; pues cualquier

intervalo es un álgebra de Boole. Por tanto, utilizando (1.5), se tiene que

los coe�cientes de Harsanyi de un juego v : M �! R de�nido sobre un

matroide, se pueden expresar en la forma

�Mv (T ) =

XfS2M:S�Tg

(�1)t�s v (S) : (1.8)

Capítulo 2

Valores Clásicos sobre

Geometrías y Antimatroides

En este capítulo se extienden los valores de Shapley, Banzhaf y Tijs a los

sistemas de coaliciones que posean estructura de geometría convexa y an-

timatroide. La dualidad entre dichas estructuras se estudia, en la primera

sección, en el terreno de los juegos, y se generan a partir de las bases de

los juegos de unanimidad y de identidad sobre una geometría convexa, dos

nuevas bases del conjunto de juegos sobre el antimatroide dual. Se dedica

luego una sección a cada uno de los valores mencionados.

En la segunda sección se trata el valor de Shapley. Dicho valor ha sido

estudiado en geometrías convexas por Bilbao [8], y Bilbao, Lebrón y Jiménez

[11]. Bilbao [8] sigue la técnica de Faigle y Kern [22] y, de esa forma, ob-

tiene una caracterización de dicho valor sustituyendo el axioma del poder

jerárquico dado por los anteriores. Por otra parte, Bilbao, Lebrón y Jiménez

consiguen el valor de Shapley en geometrías convexas utilizando los denomi-

nados valores de orden compatible. Aquí se sigue la idea de Bilbao [8] para

extender la noción a antimatroides.

En la tercera sección se introducen los índices de Banzhaf para ambas

estructuras, y se dan caracterizaciones de estos índices siguiendo a Dubey

43

44 Capítulo 2. Valores Clásicos sobre Geometrías y Antimatroides

y Shapley [17]. Los resultados de esta sección están recogidos en Bilbao,

Jiménez y López [10].

Por último, en la línea de los trabajos de Tijs [53], Driessen y Tijs [16]

y Tijs y Otten [54], se extiende el valor de Tijs a juegos de�nidos sobre

antimatroides coatómicos. Dicha extensión permite de�nir también este valor

para geometrías convexas atómicas, utilizando la dualidad.

Tal como se ha indicado, a lo largo de todo este capítulo se trabajará

con una geometría convexa (N;L) o bien con un antimatroide (N;A), por

lo que se considera que el conjunto de jugadores es N aunque no se diga

explícitamente en lo sucesivo.

2.1 Dualidad

En la sección 1.3 del capítulo anterior se puso de mani�esto el carácter dual

de las estructuras geometría convexa y antimatroide. Esta relación va a

permitir construir una dualidad entre los espacios vectoriales de sus juegos.

Sean L una geometría convexa y A su antimatroide dual. Se considera el

siguiente operador entre los espacios vectoriales de juegos de ambas estruc-

turas

F : � (L) �! � (A) ; F (v) = v�; para todo v 2 � (L)

donde v�; que se denominará juego dual de v; es el juego de�nido, para cada

S 2 A, por la expresión

v� (S) = v (N)� v (N n S) :

Puesto que las familias L y A tienen el mismo cardinal , se puede a�rmar

(Proposición 1.2) que los espacios vectoriales � (L) y � (A) son de la misma

dimensión. Es fácil comprobar entonces que F es un isomor�smo para el

que (v�)� = v, cualquiera sea v 2 � (L). Por tanto, utilizando dicho iso-

mor�smo y cualquiera de las bases conocidas del espacio vectorial � (L) es

posible obtener nuevas bases del espacio � (A) :

2.1 Dualidad 45

En la siguiente proposición se obtendrán las bases duales de aquéllas

formadas por los juegos de unanimidad y los juegos de identidad del espacio

vectorial � (L) :

Proposición 2.1 Sea A un antimatroide y L su geometría convexa dual.

Siendo S 2 A una coalición factible distinta de la gran coalición, S 6= N , se

veri�ca:

(1) El dual del juego de unanimidad �NnS 2 � (L) es el juego �S 2 � (A)

tal que, para cada T 2 A,

�S (T ) =

(0; si T � S

1; en otro caso.

(2) Si S 6= ;, el dual del juego de identidad �NnS 2 � (L) es el juego

�S 2 � (A) de�nido, para cada T 2 A, como

�S (T ) =

(�1; si T = S

0; si T 6= S.

Además, el dual del juego �N 2 � (L) es el juego �; 2 � (A) tal que

�; (T ) = 1 para toda coalición T 2 A no vacía.

Demostración: Sea T 2 A. El dual del juego �NnS se de�ne de la siguiente

forma

��NnS (T ) = �NnS (N)� �NnS (N n T ) = 1�

(1; si N n T � N n S

0; en otro caso,

= �S (T ) :

Análogamente, para el juego de indentidad �NnS ; cuando S 6= ;; se tiene

��NnS (T ) = �NnS (N)� �NnS (N n T ) = 0�

(1; si N n T = N n S

0; si N n T 6= N n S;

= �S (T ) :


Por último, si S = ; el dual de �N es el juego

��N (T ) = �N (N)� �N (N n T ) = 1�

(1; si N n T = N

0; si N n T 6= N;

= �; (T ) :

2

Se verá seguidamente que algunas propiedades de los juegos se transmiten

por el operador dual. Con esta �nalidad se extiende, en primer lugar, la

noción de juego cooperativo supermodular al caso de juegos de�nidos sobre

geometrías convexas y antimatroides.

De�nición 2.2 Un juego v 2 � (L) sobre una geometría convexa, se dice

supermodular o convexo si, para cualesquiera S; T 2 L, se veri�ca

v�S [ T

�+ v (S \ T ) � v(S) + v(T ):

Un juego v 2 � (A) sobre un antimatroide, se dice supermodular si, para

cualesquiera S; T 2 L, se veri�ca

v (S [ T ) + v (int (S \ T )) � v(S) + v(T ):

Análogamente se de�nen los juegos submodulares intercambiando la desigual-

dad � por � en los dos casos anteriores.

Proposición 2.3 Sea L una geometría convexa y A su antimatroide dual.

Entonces:

(1) v 2 �m (L) si, y sólo si, v� 2 �m (A).

(2) v 2 �s (L) si, y sólo si, v� 2 �s (A).

(3) v 2 � (L) es un juego supermodular si, y sólo si, v� 2 � (A) es submo-

dular.

2.2 El Valor de Shapley 47

Demostración: Sea v 2 � (L) :

(1) Supóngase que v es monótono. Sean S; T 2 A, S � T: Entonces,

N n T � N n S y se veri�ca que v (N n T ) � v (N n S) : Luego,

v� (S) = v (N)� v (N n S) � v (N)� v (N n T ) = v� (T ) :

(2) Sea v un juego simple. Utilizando el apartado anterior se sabe que el

juego v� es monótono, por lo que sólo falta por probar que dicho juego toma

valores en el conjunto f0; 1g : Ahora bien, esto último se veri�ca puesto que,

por de�nición, se tiene v� (S) = v (N)� v (N n S) ; para todo S 2 A.

(3) Supóngase que v es un juego supermodular. Obsérvese que para todo

X � N se veri�ca N n int (X) = N nX: Entonces, si S; T 2 A, se tiene

v� (S [ T ) + v� (int (S \ T ))

= v(N)� v (N n (S [ T )) + v (N)� v (N n int (S \ T ))

= 2v (N)� v ((N n S) \ (N n T ))� v�(N n S) [ (N n T )

�� 2v (N)� v (N n S)� v (N n T ) = v� (S) + v� (T ) :

2

2.2 El Valor de Shapley

Se expone a continuación la caracterización axiomática del denominado valor

de Shapley para juegos sobre geometrías convexas debida a Bilbao [8] que

se utilizará, en esta sección, para extender la noción de valor de Shapley a

juegos de�nidos sobre antimatroides.

Siendo L una geometría convexa y = (i)i2N un valor de grupo sobre

� (L) ; se consideran los siguientes axiomas.

Axioma de linealidad. Si v1; v2 2 � (L) y �1; �2 2 RN ; entonces

(�1v1 + �2v2) = �1(v1) + �2(v2) :


Se denomina contribución marginal de un jugador i 2 N a una coalición

S 2 L; tal que i 2 ex (S) ; al valor v (S) � v (Sn fig). Un jugador i se dice

dummy en un juego v 2 � (L) si, para cada S 2 L tal que i 2 ex (S), se

veri�ca que

v (S)� v (Sn fig) =

(v (fig) ; si fig 2 L

0; en otro caso.


v 2 � (L) ; entonces

i (v) =

(v (fig) ; si fig 2 L

0; en otro caso.:

Axioma de e�ciencia. Para todo juego v 2 � (L) ; se veri�caXi2N

i (v) = v (N) :

Axioma de L-cadenas. Para cada coalición no vacía S 2 L y cualesquiera

i; j 2 ex (S) ;

c (S n fig)j (�S) = c (S n fjg)i (�S) :

En el contexto anterior, y utilizando entre otros resultados el lema que

se expone a continuación, Bilbao [8] obtiene la caracterización siguiente del

valor de Shapley para juegos sobre geometrías convexas.

Lema 2.4 Sean L una geometría convexa y S 2 L un convexo no vacío.

Siendo i 2 N; se veri�ca: a) Si i =2 ex (S) ; entonces i es un jugador dummy

en el juego de unanimidad �S. b) Si i 2 S n ex (S) ; entonces i es un jugador

dummy en el juego de identidad �S:


Teorema 2.5 Sea L una geometría convexa. Existe un único valor de grupo

�L sobre � (L) que satisface los axiomas de linealidad, jugador dummy, e�-

ciencia y L-cadenas. Además, para todo i 2 N; y cada juego v 2 � (L) ; se

tiene

�Li (v) =

XfS2L:i2ex(S)g

c (S n fig) c ([S;N ])

c (L)[v (S)� v (S n fig)] ;

donde se considera c ([N;N ]) = 1; y c (L) representa el número total de

cadenas maximales de (L;�). Dicho valor se denomina valor de Shapley

para juegos sobre geometrías convexas.

Considérese ahora un antimatroide A, y el conjunto de juegos � (A)

de�nidos sobre él. En este caso, se de�ne la contribución marginal de un ju-

gador i 2 N a una coalición S 2 A; tal que i 2 au (S) ; como el pago exigido

por el jugador para unirse a la coalición S; es decir, v (S [ fig)� v (S). Un

jugador i se dice dummy en un juego v 2 � (A) si, para cada S 2 A tal que

i 2 au (S), se veri�ca que

v (S [ fig)� v (S) =

(v (fig) ; si fig 2 A

0; en otro caso.

Entonces, para un valor de grupo = (i)i2N sobre � (A) ; se introducen

los siguientes axiomas.

Axioma de linealidad. Si v1; v2 2 � (A) y �1; �2 2 RN ; entonces

(�1v1 + �2v2) = �1(v1) + �2(v2) :


v 2 � (A) ; entonces

i (v) =

(v (fig) ; si fig 2 A

0; en otro caso.:


Axioma de e�ciencia. Para todo juego v 2 � (A) ; se veri�caXi2N

i (v) = v (N) :

Axioma de A-cadenas. Para cada coalición S 2 A, S 6= N; y cualesquiera

i; j 2 au (S) ;

c ([S [ fig ; N ])j (�S) = c ([S [ fjg ; N ]) i (�S) :

Obsérvese que en el último axioma se pone de mani�esto, al igual que

en el caso de geometrías convexas, que los jugadores que obtienen contribu-

ciones marginales positivas en un juego �S son aquéllos que se anexionan a

la coalición S inmediatamente después de su formación, por lo que el valor

que se les debe asociar debe ser proporcional al número de órdenes donde eso

ocurre para dicho jugador.

Lema 2.6 Sean A un antimatroide y S 2 A. Siendo i 2 N; se veri�ca:

(a) Si i =2 au (S) ; entonces i es un jugador dummy en el juego �S 2 � (A).

(b) Si i =2 S [ au (S) ; entonces se tiene que el jugador i es un dummy en

el juego �S 2 � (A).

Demostración: Supóngase en lo que sigue que T es una coalición factible

de A tal que i 2 au (T ).

(a) Sea S 6= ;; i =2 au (S) : En estas condiciones, se pueden dar dos casos:

i 2 S; o bien i =2 S [ au (S) :

Si i 2 S; obsérvese que �S (fig) = 0 cuando fig 2 A. Por otro lado,

�S (T [ fig)��S (T ) = 0 porque T � S si, y sólo si, T [fig � S: Por tanto,

i es jugador dummy en el juego �S:

En el caso de que i =2 S [ au (S) (esto es; i =2 S y S [ fig =2 A), es fácil

comprobar que fig =2 A y que T 6� S; razonando por reducción al absurdo.


Entonces se tendría �S (T [ fig) � �S (T ) = 1 � 1 = 0; e igualmente se

comprueba el enunciado.

Nótese �nalmente que el resultado es válido también si S = ;. En efecto,

en este caso, decir que i =2 au (S) signi�ca que fig =2 A. Por tanto también

se tiene que �S (T [ fig) � �S (T ) = 1� 1 = 0; ya que en ese caso debe ser

T 6= ;:

(b) Sea i =2 S [ au (S) : Entonces, como ya se indicó , se veri�ca fig =2 A

y T 6� S: Por tanto, �S (T [ fig) � �S (T ) = 1 � 1 = 0 cuando S = ;; pero

esto también sucede cuando S no es vacía ya que �S (T [ fig) = �S (T ) = 0:

Luego, el jugador i es un jugador dummy en el juego �S: 2

Teorema 2.7 Sea A un antimatroide. Existe un único valor de grupo �A

sobre � (A) que veri�ca los axiomas de linealidad, jugador dummy, e�ciencia

y A-cadenas. Además, para todo i 2 N; y cada juego v 2 � (A) ; se tiene

�Ai (v) =

XfS2A:i2au(S)g

c (S) c ([S [ fig ; N ])

c (A)[v (S [ fig)� v (S)] ;

donde c (A) representa el número de cadenas maximales de (A;�).

Demostración: Sea = (i)i2N un valor de grupo sobre � (A) que veri�ca

los axiomas de linealidad, dummy, e�ciencia y A-cadenas. Se de�ne, para

cada i 2 N; v 2 � (A)

�Ai (v) =

XfS2A:i2au(S)g

i (�S) [v (S [ fig)� v (S)] :

Se probará que, cualquiera que sea i 2 N; se veri�ca i (�T ) = �Ai (�T )

para todo juego �T , con T 2 A; T 6= N . Se distinguirán dos casos.

Sea T 2 A tal que i =2 au (T ) : Por el lema previo y el axioma del jugador

dummy se tiene i (�T ) = 0. Además, como las contribuciones marginales

de i en �T son todas nulas, se obtiene también que �Ai (�T ) = 0.

En el caso contrario, cuando i 2 au (T ) ; se tendría que las contribuciones

marginales de dicho jugador en el juego �T ; para una coalición S 2 A tal


que i 2 au (S) ; valen 1 si S � T; puesto que S [ fig no está contenida en

T; y valen cero en otro caso. Con ello se consigue, teniendo en cuenta la

segunda parte del lema anterior, el axioma del jugador dummy y el axioma

de linealidad,

�Ai (�T ) =

XfS2A:i2au(S);S�Tg

i (�S) =X

fS2A:S�Tg

i (�S)

= i

0@ XfS2A:S�Tg

�S

1A = i (�T ) :

La última igualdad sigue de que, por la Proposición 2.1, �T = ��NnT y que,

con la expresión (1.2), se tiene

�NnT =X

fNnS2L:NnS�NnTg

�NnS ;

lo que implica, por ser F un isomor�smo, que

�T =X

fNnS2L:NnS�NnTg

��NnS =X

fS2A:S�Tg

�S:

Queda así probado que los operadores �A y coinciden sobre un con-

junto de juegos que constituye una base del espacio vectorial � (A) ; y de

ahí que �A = : Para �nalizar la demostración se calculará la familia

fi (�S) : S 2 A; i 2 au (S)g.

Aplicando el axioma de e�ciencia a un juego v 2 � (A) se obtieneXi2N

i (v) =Xi2N

XfS2A:i2au(S)g

i (�S) [v (S [ fig)� v (S)]

=XS2A

24 Xfj2S:Snfjg2Ag

j

��Snfjg

��X

i2au(S)

i (�S)

35 v (S) = v (N) :

Para el juego �; la fórmula implica que

XfS2A:S 6=;g

24 Xfj2S:Snfjg2Ag

j

��Snfjg

��X

i2au(S)

i (�S)

35 = 1;


y ordenando por cardinal las diferencias, comenzando desde N; resulta

Xfj12N :Nnfj1g2Ag

j1

��Nnfj1g

�

+X

fj12N :Nnfj1g2Ag

24 Xfj22Nnfj1g:Nnfj1;j2g2Ag

j2

��Nnfj1;j2g

�� j1

��Nnfj1g

�35+ � � �+

Xi2au(;)

24i (�;)�X

jn�12au(fig)

jn�1

��fig�35 = 1;

donde se observa que los términos se van anulando con el posterior de signo

opuesto, quedando simplemente,Xi2au(;)

i (�;) = 1: (2.1)

Por otro lado, para un juego cualquiera �T con T 2 A, T 6= ;; N se tieneXfj2T :Tnfjg2Ag

j

��Tnj

�=

Xi2au(T )

i (�T ) : (2.2)

Por último, se aplicará el axioma de A-cadenas en las identidades (2.1) y

(2.2).

Para el juego �; y jugadores i; j 2 au (;) ; el axioma de A-cadenas implica

que

c ([fig ; N ]) j (�;) = c ([fjg ; N ]) i (�;) ,

con lo que se obtiene de la ecuación (2.1), eligiendo un jugador i 2 au (;),

i (�;)

c ([fig ; N ])

Xj2au(;)

c ([fjg ; N ]) = 1:

De ahí se llega a

i (�;) =c ([fig ; N ]) c (;)

c (A);


porqueP

j2au(;) c ([fjg ; N ]) = c (A) y c (;) = 1. Se probará ahora que, para

toda coalición factible S del matroide de cardinal s; s < n; se veri�ca

i (�S) =c (S) c ([S [ fig ; N ])

c (A);

suponiendo que la expresión anterior es válida para toda coalición factible de

cardinal menor que s.

En efecto, el axioma de A-cadenas garantiza que, �jado i 2 au (S) ; se

tiene que para todo k 2 au (S)

k (�S) = i (�S)c ([S [ fkg ; N ])

c ([S [ fig ; N ]):

Así, la ecuación (2.2) se escribirá como

i (�S)

c ([S [ fig ; N ])

Xk2au(S)

c ([S [ fkg ; N ]) =c ([S;N ])

c (A)

Xfj2S:Snfjg2Ag

c (S n fjg) ;

y comoX

k2au(S)

c ([S [ fkg ; N ]) = c ([S;N ]),X

fj2S:Snfjg2Ag

c (S n fjg) = c (S) ;

se obtiene la igualdad buscada.

Sustituyendo los coe�cientes fi (�S) : S 2 A; i 2 au (S)g en la expresión

obtenida de i se sigue la formulación del enunciado. 2

De�nición 2.8 Sea A un antimatroide. Se denomina valor de Shapley para

juegos sobre el antimatroide A al único valor de grupo �A : � (A) �! RN

que veri�ca los axiomas de linealidad, dummy, e�ciencia y A-cadenas.

Corolario 2.9 Sea L una geometría convexa y A su antimatroide dual. El

operador dual F : � (L) �! � (A) y los valores de Shapley �L y �A veri�can

que �L = �A � F:


Demostración: Al ser los tres operadores implicados lineales, basta con

demostrar que, para todo juego de unanimidad �S 2 � (L) ; se tiene

�L (�S) = �A (F (�S)) :

Por la Proposición 2.1, el dual de �S es el juego �NnS 2 � (A). El Teorema

2.5 implica

�Li (�S) =

XfT2L:i2ex(T )g

c (T n fig) c ([T;N ])

c (L)[�S (T )� �S (T n fig)]

=X

fT2L:i2ex(T );S�Tg


c (L);

si i 2 ex (S) ; además, por el Lema 2.4 y el axioma del jugador dummy se

tiene �Li (�S) = 0 en otro caso. Mediante el Teorema 2.7 y el Lema 2.6 el

valor de Shapley sobre �NnS es

�Ai

��NnS

�=

XfR2A:i2au(R)g

c (R) c ([R [ fig ; N ])

c (A)

��NnS (R [ fig)� �NnS (R)

�=

XfR2A:i2au(R);R�NnSg

c (R) c ([R [ fig ; N ])

c (A);

si i 2 au (N n S) ; y 0 en otro caso.

Teniendo en cuenta ahora la relación (1.6) existente entre los puntos ex-

tremales de una coalición factible T 2 L y los puntos aumentadores de la

coalición N n T 2 A, es fácil comprobar que existe una aplicación biyec-

tiva que asocia a cada elemento del conjunto fT 2 L : i 2 ex (T ) ; S � Tg

un único elemento de fR 2 A : i 2 au (R) ; R � N n Sg. Además, también

existe una biyección entre las cadenas maximales de (L;�) y las de (A;�) :

En concreto, a una cadena maximal de L descrita mediante un orden aleato-

rio (i1; i2; : : : ; in), le corresponde en el antimatroide dual A la cadena re-

presentada por el orden de jugadores (in; : : : ; i2; i1). Luego c (A) = c (L).

De igual forma se comprueba que el número de cadenas maximales del in-

tervalo [;; T n fig] en L coincide con el de cadenas maximales del intervalo


[(N n T ) [ fig ; N ] en el antimatroide A; lo cual sucede también para las

cadenas maximales del intervalo [T;N ] en L y las de [;; N n T ] en A.

Se obtiene entonces queXfT2L:i2ex(T );S�Tg


c (L)=

XfR2A:i2au(R);R�NnSg

c (R) c ([R [ fig ; N ])

c (A),

y, en consecuencia, el resultado es cierto. 2

2.3 El Índice de Banzhaf

Sean L una geometría convexa y A un antimatroide. Considérense los con-

juntos de juegos simples �s (L) y �s (A).

El índice de Banzhaf para un juego simple se va a de�nir teniendo en

cuenta las veces que un jugador es vital en dicho juego, en el sentido de que

su participación sea la que provoca una coalición ganadora. A diferencia con

lo que sucedía con el valor de Shapley, en su de�nición no se considera el

orden de participación de los jugadores.

De�nición 2.10 Un swing factible (o convexo) de un jugador i en un juego

simple v 2 �s (L) es un par (S; S n fig) tal que S 2 L; i 2 ex(S) y se veri�ca

v(S) = 1; v(S n fig) = 0.

Un swing factible de un jugador i en un juego simple v 2 �s (A) es un

par (T; T [ fig) tal que T 2 A, i 2 au (T ) y se veri�ca v (T [ fig) = 1;

v (T ) = 0.

El número de swings convexos de un jugador i en un juego v 2 �s (L) se

denotará por csi(v), y el número total de swings en v es

cs(v) =Xi2N

csi(v):

Análogamente, el número de swings factibles de i en v 2 �s (A) se represen-

tará por asi (v), y el número total de swings en v es as(v) =P

i2N asi(v).

2.3 El Índice de Banzhaf 57

Es inmediato que el número de swings factibles de un jugador se puede ex-

presar mediante sus contribuciones marginales, como se indica en el siguiente

resultado.

Proposición 2.11 Sean L una geometría convexa y A un antimatroide.

Para todo i 2 N; se veri�ca

(1) Si v 2 �s (L), entonces csi (v) =X

fS2L:i2ex(S)g

[v (S)� v (S n fig)] :

(2) Si v 2 �s (A), entonces asi (v) =X

fT2A:i2au(T )g

[v (T [ fig)� v (T )] :

A continuación se probará que el número de swings convexos de un ju-

gador en un juego simple sobre una geometría convexa, coincide con el de

swings factibles de dicho jugador en el juego dual de�nido sobre el antima-

troide dual.

Proposición 2.12 Sean v un juego simple sobre la geometría convexa L, y

v� su juego dual sobre el antimatroide dual A. Entonces, para todo i 2 N; se

tiene asi(v�) = csi(v):

Demostración: Basta probar que, para todo i 2 N; (S; S [ fig) es un

swing factible de i para el juego v� en el antimatroide A si, y sólo si,

(N n S; (N n S) n fig) es un swing convexo del mismo jugador para el juego

v en L. En efecto,

v� (S [ fig)� v� (S) = v (N)� v (N n (S [ fig))� v (N) + v (N n S)

= v (N n S)� v ((N n S) n fig) .

2

Sea L una geometría convexa. Se de�ne el poder extremal Ei de un jugador

i 2 N; como el cardinal del siguiente conjunto

Ei = jfT 2 L : i 2 ex(T )gj :


Además, se denominará poder extremal de i sobre S 2 L al siguiente número

Ei(S) = jfT 2 L : i 2 ex(T ); S � Tgj .

El cociente Ei(S)=Ei se llamará poder relativo extremal de i sobre S:

Análogamente, en un antimatroide A, se pueden de�nir los correspon-

dientes poderes aumentadores de un jugador i 2 N; como

Xi = jfR 2 A : i 2 au(R)gj ;

Xi(S) = jfR 2 A : i 2 au(R); R � Sgj ,

y su cociente.

Obsérvese que cuando L y A son duales, entonces la aplicación biyectiva

comentada en la demostración del corolario de la sección anterior entre los

conjuntos fT 2 L : i 2 ex (T ) ; S � Tg y fR 2 A : i 2 au (R) ; R � N n Sg per-

mite a�rmar que para una coalición S 2 L;

Xi(N n S) = Ei(S).

En particular, para S = ;; se consigue

Xi = Ei:

Considerando la relación entre los swings convexos de un jugador y el

conjunto de todas las coaliciones convexas donde el jugador es extremal,

es decir, el cociente entre casos favorables de swings convexos sobre casos

posibles, se de�ne el siguente concepto.

De�nición 2.13 Sea L una geometría convexa. Para todo jugador i 2 N;

el número cs0i (v) dado por

cs0i (v) =csi (v)

Ei;


se denomina probabilidad de swing convexo del jugador i 2 N en el juego

v 2 �s (L).

Análogamente, dado un antimatroide A, la probabilidad de swing factible

de un jugador i en el juego v 2 �s (A) es as0i (v) = asi (v) =Xi.

Las sumasXi2N

cs0i (v) yXi2N

as0i (v) ; se denotarán en lo sucesivo por cs0 (v)

y as0 (v), respectivamente.

Obsérvese que la de�nición anterior es una extensión de la análoga dada

por Dubey y Shapley [17] para juegos simples sobre 2N : Evidentemente, por

la Proposición 2.12 y la igualdad Xi = Ei, se tiene que si v 2 �s (L) y v� es

su dual en el antimatroide dual A, entonces as0i (v�) = cs0i (v).

A continuación se va a calcular el número de swings de un jugador para

los juegos de unanimidad sobre una geometría convexa y sus duales.

Proposición 2.14 Sean L una geometría convexa y A su antimatroide dual.

El número de swings convexos del jugador i 2 N en el juego de unanimidad

�S 2 �s (L) es

csi (�S) =

(0; si i =2 ex(S)

Ei(S); si i 2 ex(S):

Además, el número de swings factibles de i 2 N en el juego �S 2 �s (A) es

asi (�S) =

(0; si i =2 au(S)

Xi(S); si i 2 au(S):

Demostración: Por la Proposición 2.11 se tiene que

csi (�S) =X

fT2L:i2ex(T )g

[�S (T )� �S (T n fig)] :

Cuando i =2 ex(S); entonces csi (�S) = 0 ya que el Lema 2.4 asegura

que el jugador i es dummy en �S. En el caso de que i 2 ex(S) se tiene que

�S(T )��S(T nfig) = 1 si y sólo si T 2 L y T � S; por lo que csi (�S) = Ei(S):


Para obtener la expresión del enunciado para asi (�S) basta ahora aplicar

la Proposición 2.12 y las igualdades Xi(S) = Ei(N nS) y au (S) = ex(N nS):

2

De�nición 2.15 Se denomina índice convexo de Banzhaf de un juego simple

v de�nido sobre una geometría convexa L, al vector cuyas componentes son

el número de swings convexos de los diferentes jugadores en el juego dado,

es decir, el vector (csi (v))i2N :

A partir de la de�nición anterior, cabe introducir el concepto de el índice

convexo normalizado de Banzhaf como la aplicación �L : �s(L) �! RN ;

�L(v) =��Li (v)

�i2N

; donde

�Li (v) =csi(v)

cs(v):

Y también, el índice convexo probabilístico de Banzhaf como la aplicación

� 0L : �s(L) �! RN ; � 0L(v) =�� 0L(v)

�i2N

; donde

� 0L(v) =csi(v)

Ei= cs0i(v):

Utilizando la Proposición 2.11, estos índices se pueden expresar de la

siguiente manera:

�Li (v) =X

fS2L:i2ex(S)g

1

cs(v)[v (S)� v (S n fig)] ;

� 0Li (v) =X

fS2L:i2ex(S)g

1

Ei[v (S)� v (S n fig)] :

Nótese que el nombre de índice probabilísitco dado a � 0L(v) se debe a queXfS2L:i2ex(S)g

1

Ei= 1:


Análogamente se de�nen los índices normalizado y probabilístico de Banzhaf

para juegos simples sobre un antimatroide A.

Se utilizará seguidamente que el dual de un juego simple sobre una geome-

tría convexa es también un juego simple sobre el antimatroide dual, para

probar un resultado en el que se pone de mani�esto la relación existente

entre los conceptos anteriores.

Teorema 2.16 Sean L una geometría convexa y A su antimatroide dual. El

operador dual F : � (L) �! � (A) y los índices normalizados y probabilísticos

de Banzhaf veri�can las siguientes relaciones:

�L = �A � F;

� 0L = � 0A � F:

Demostración: Puesto que

�Ai (v) =asi(v)

as(v); � 0Ai (v) = as0i(v);

basta utilizar la Proposición 2.12 y la igualdad as0i (v�) = cs0i (v) para obtener

el resultado. 2

Se estudian ahora axiomas que permitan caracterizar los índices de Banzhaf

en geometrías convexas. En primer lugar, se verá que el índice convexo de

Banzhaf veri�ca la propiedad de transferencia, lo que signi�ca que sus compo-

nentes de�nen aplicaciones modulares sobre el retículo de los juegos simples.

Proposición 2.17 Sea L una geometría convexa. Para todo i 2 N; se veri-

�ca que

csi (v _ w) + csi (v ^ w) = csi (v) + csi (w) ; para todo v; w 2 �s(L):

Demostración: De la tabla siguiente


v w v _ w v ^ w v + w (v _ w) + (v ^ w)

1 1 1 1 2 2

1 0 1 0 1 1

0 1 1 0 1 1

0 0 0 0 0 0

se puede concluir que

(v _ w) + (v ^ w) = v + w:

Ahora bien, utilizando la Proposición 2.11, es inmediato comprobar que

el número de swings convexos de la suma de dos juegos es la suma de los

swings convexos de dichos juegos. 2

Nótese que el índice normalizado de Banzhaf no satisface la propiedad

anterior, debido a que su expresión está dada por un cociente en el que el

denominador depende del juego considerado. Sin embargo, el índice proba-

bilístico no tiene este problema.

Dada una geometría convexa L, y un valor de grupo ' : �(L) �! RN ;

' = ('i)i2N , se consideran los siguientes axiomas.

Un jugador i 2 N se dice que es un jugador nulo en un juego v 2 �s (L)

si, para cada S 2 L tal que i 2 ex (S), se veri�ca que

v (S)� v (Sn fig) = 0:

Axioma del jugador nulo. Si i 2 N es un jugador nulo en v 2 �s (L) ;

entonces 'i (v) = 0:

Axioma de totalidad de swings. Para todo juego v 2 �s (L), se veri�caXi2N

'i(v) = cs(v):

Axioma de poder extremal. Para toda coalición S 2 L; y cualesquiera

i; j 2 ex (S), se tiene

Ei (S)'j (�S) = Ej (S)'i (�S) :


Axioma de transferencia. Si v; w 2 �s(L); entonces

' (v) + ' (w) = ' (v _ w) + ' (v ^ w) :

Ahora se probará que los axiomas anteriores caracterizan al índice convexo

normalizado de Banzhaf.

Teorema 2.18 Sea L una geometría convexa. Existe un único valor de

grupo ' sobre �s(L) que satisface los axiomas del jugador nulo, totalidad

de swings, poder extremal y transferencia. Además, el índice convexo nor-

malizado de Banzhaf �L, veri�ca

�L(v) =1

cs(v)'(v); para todo v 2 �s (L) :

Demostración: Sea S una coalición convexa de L. Si j =2 ex(S); se sabe

que j es un jugador nulo para �S (Lema 2.4); por tanto, como ' veri�ca el

axioma del jugador nulo, se tieneXi2N

'i(�S) =X

j2ex(S)

'j(�S):

Si i 2 ex(S); se tiene S 2 fT 2 L : i 2 ex (T )g y S � S; por tanto

Ei(S) 6= 0: De ahí que tomando también j 2 ex(S); y utilizando el axioma

de poder extremal, se veri�que

'j(�S) =Ej(S)

Ei(S)'i(�S):

Así, mediante el axioma de totalidad de swings, se llega a

cs (�S) =X

j2ex(S)

'j(�S)

=X

j2ex(S)

Ej(S)

Ei(S)'i(�S)

='i(�S)

Ei(S)

Xj2ex(S)

Ej(S):


Por otro lado, como la Proposición 2.14 asegura queXj2ex(S)

Ej(S) = cs(�S) y Ei(S) = csi(�S);

se sigue que 'i(�S) = csi (�S).

Se verá ahora, aplicando el axioma de transferencia, que los valores obteni-

dos de 'i sobre los juegos de unanimidad de�nen de forma única el valor

sobre los demás juegos del conjunto �s (L) : En efecto, si S1; : : : ; Sp son las

coaliciones convexas ganadoras minimales para un juego v 2 �s (L) ; v 6= b0;usando la monotonía de v; se obtiene que

v = �S1 _ �S2 _ : : : _ �Sp:

Luego, por el axioma de transferencia,

' (v) = ' (�S1) + '��S2 _ : : : _ �Sp

�� '

��S1 ^ (�S2 _ : : : _ �Sp)

�:

Nótese que cada juego que aparece en el segundo miembro de esta expresión es

un juego con menos coaliciones convexas ganadoras que v. En particular para

el último juego del segundo miembro se tiene que las coaliciones ganadoras

minimales son S1 [ Sm donde m = 2; : : : ; p. Así, se demuestra por inducción

sobre el número de coaliciones convexas ganadoras minimales que ' (v) está

completamente deteminado por los valores 'i(�S) obtenidos anteriormente,

obteniéndose ' (v) = csi (v). Si v = b0; entonces todos los jugadores son nulos

en v y, por tanto, 'i�b0� = 0.

Finalmente, es inmediato que �L(v) =1

cs(v)'(v). 2

Para llegar a una caracterización del índice convexo probabilístico de

Banzhaf sobre una geometría convexa, es necesario sustituir los axiomas de

totalidad de swings y poder extremal por los siguientes:

Axioma de totalidad de probabilidades de swings. Para todo v 2 �s (L),

se veri�ca Xi2N

'i(v) = cs0(v):


Axioma de poder extremal relativo. Para toda coalición S 2 L; y cua-

lesquiera i; j 2 ex (S), se tiene

Ei (S)

Ei'j (�S) =

Ej (S)

Ej'i (�S) :

El resultado siguiente se obtiene con una demostración similar a la del

Teorema 2.18.

Teorema 2.19 Sea L una geometría convexa. Existe un único valor de

grupo '0 sobre �s(L) que satisface los axiomas del jugador nulo, totalidad de

probabilidades de swings, poder extremal relativo y transferencia. Además, el

índice convexo probabilístico de Banzhaf � 0L, veri�ca

� 0L(v) = '0(v); para todo v 2 �s (L) :

Cuando se trabaja con un antimatroideA se puede igualmente demostrar

resultados similares a los expuestos en la Proposición 2.17 y los Teoremas 2.18

y 2.19, aunque utilizando en este caso el axioma de totalidad sobre el numero

de swings factibles y el axioma de poder aumentador. Este último axioma se

enuncia así: Para toda coalición S 2 A; y cualesquiera i; j 2 au (S), se tiene

Xi (S)'j (�S) = Xj (S)'i (�S) :

En el último resultado de esta sección, se considera la geometría convexa

(N;L2k+1) ; donde N = f1; 2; : : : ; 2k + 1g y L2k+1 es la familia formada por

los subconjuntos de la forma

[i; j] = fi; i + 1; : : : ; j � 1; jg con 1 � i � j � 2k + 1;

y se muestran los índices de Banzhaf para el juego de mayoría simple de�nido

por v : L2k+1 �! R tal que

v (S) =

(1; si jSj � k + 1

0; si jSj � k:


Proposición 2.20 Sea v el juego de mayoría simple sobre la geometría con-

vexa L2k+1: Los índices de Banzhaf, normalizado y probabilístico, (�i (v))i2Ny (� 0i (v))i2N ; son tales que

�i (v) =

(1

2k+2; si i 6= k + 1

1k+1

; si i = k + 1:

� 0i (v) =

(1

2k+1; si i 6= k + 1

22k+1

; si i = k + 1:

para todo i 2 N:

Demostración: La fórmula correspondiente al índice normalizado es debida

a Edelman [19]. Por tanto, se trata aquí de deducir la correspondiente al

índice probabilístico.

Se calculará primero el poder extremal Ei de cada jugador i 2 N . Para

todo j � i; el intervalo [i; j] es una coalición convexa donde i es un jugador

extremal. Así, hay 2k+1� (i� 1) = 2k+2� i posibles coaliciones convexas

de la forma anterior en las que i es extremal. Por otro lado, los intervalos

de la forma [j; i] ; con j < i, de los que hay en total i� 1; también tienen al

jugador i como extremal. Entonces, para todo jugador i; se tiene Ei = 2k+1:

Por otro lado, como el número de swings convexos está dado por

csi (v) =

(1; if i 6= k + 1

2; if i = k + 1;

se llega al resultado del enunciado. 2

2.4 El Valor de Tijs

En esta sección se extiende la noción conocida como valor de Tijs [53] a

juegos de�nidos sobre un antimatroide, para lo que es necesario considerar

en lo sucesivo que A es un antimatroide con la propiedad de ser coatómico;

2.4 El Valor de Tijs 67

esto es, se supondrá que todos los subconjuntos de N de cardinal n� 1 son

coaliciones factibles. Nótese que esto plantea la posiblidad de que todos los

jugadores pueden abandonar individualmente la gran coalición. Dicha exten-

sión permitirá, posteriormente, considerar para juegos sobre una geometría

convexa atómica, el correspondiente valor.

Se denomina vector superior del juego v 2 � (A) al vector Mv 2 RN

cuyas componentes son

Mvi = v (N)� v (N n fig) ; para todo i 2 N:

Nótese que la componente i�ésima de dicho vector es la contribución mar-

ginal del jugador i a la gran coalición, y se puede considerar como la expec-

tativa de pago que tiene dicho jugador. Por tanto, si todos los jugadores de

una coalición no vacía S 2 A recibiesen dicho pago, entonces lo que podría

esperar recibir un jugador i 2 au (S) por su contribución a la coalición S[fig

sería el resto

Rv (S; i) = v (S [ fig)�Mv (S) ;

donde Mv (S) =P

i2SMvi .

Se puede entonces pensar que la menor cantidad esperada por un jugador

que participa en el juego es el mayor de los restos que puede conseguir. Así

se denomina vector inferior del juego v al vector mv 2 RN que tiene por

componentes

mvi = max

fS2A:i2au(S)gfRv (S; i)g para todo i 2 N:

Siguiendo el modelo de Driessen y Tijs [16], se de�ne ahora la función de

desfase, gv : A ! RN , del juego v mediante la expresión

gv (S) =Mv (S)� v (S) ; para todo S 2 A.

Se observa que gv es un juego sobre el antimatroide A, al ser Mv (;) = 0:

La máxima concesión que un jugador i puede hacer en el juego v es

�vi = minfS2A:i2au(S)g

gv (S [ fig) ;


de forma que el vector �v = (�i)i2N se denomina vector de concesiones.

Es fácil comprobar que el vector inferior no es más que la diferencia entre

el vector superior y el de concesiones,

mv =Mv � �v:

La siguiente proposición señala algunas de las propiedades de la función

de desfase y de los vectores que se han de�nido. Se omite la demostración por

no ofrecer variaciones signi�cativas con respecto a la del resultado original

correspondiente. En lo sucesivo se debe entender que todo vector d 2 RN

de�ne un juego d 2 � (A), tal que d (S) =Xi2S

di:

Proposición 2.21 Sea A un antimatroide coatómico. Para todo v 2 � (A),

d 2 RN y � 2 R, se veri�ca:

(1) M�v+d = �Mv + d:

(2) Si S 2 A, i 2 au (S) ; entonces R�v+d (S; i) = �Rv (S; i) +di.

(3) g�v+d (S) = �gv (S) ; para todo S 2 A.

(4) ��v+d = ��v, si � � 0.

(5) m�v+d = �mv + d; si � � 0:

De�nición 2.22 Un juego v 2 � (A) es quasiequilibrado sobre el antima-

troide A, si veri�ca

(a) mv �Mv:

(b) mv (N) � v (N) � Mv (N) :

La clase de juegos quasiequilibrados se denotará por QB (A) :


Mediante la función de desfase o el vector de concesiones se puede también

expresar el conjunto de juegos QB (A).

QB (A) = fv 2 � (A) : �v � 0; mv (N) � v (N) � Mv (N)g

QB (A) = fv 2 � (A) : gv (S) � 0 8S 2 A; gv (N) � �v (N)g (2.3)

La utilización de este tipo de juegos asegura la existencia de un valor en los

siguientes términos.

De�nición 2.23 Sea v 2 QB (A). El � -valor o valor de Tijs de v, es el

vector � (v) 2 RN , tal que, construido en la forma

� (v) = mv + � (Mv �mv) ;

veri�caXi2N

�i (v) = v (N). Es decir,

� (v) =

8<: Mv si gv (N) = 0

Mv �gv (N)

�v (N)�v si gv (N) > 0:

Una caracterización del valor de Tijs para juegos en un antimatroide cuya

demostración es análoga a la realizada para 2N en Driessen [15] se da en el

siguiente resultado.

Teorema 2.24 El � -valor, � : QB (A) �! RN ; es el único valor de grupo

sobre QB (A) que veri�ca las siguientes propiedades:

(1)Xi2N

i (v) = v (N) ; para todo v 2 QB (A) :

(2) i (�v + d) = �i (v) + di; para todo v 2 QB (A) ; d 2 RN ; � > 0:

(3) Para todo v 2 QB (A) tal que �v = 0; (v) es proporcional al vector

superior Mv.


Para poder seguir el proceso anterior de construcción del valor de Tijs

en una geometría convexa L, sería necesario exigir que ésta fuera coatómica.

Pero, en ese caso, L coincidiría con el álgebra de Boole 2N . Este hecho

hace que aquí se utilice otra vía para tal �n. Se considerará que L es una

geometría convexa atómica, y se utilizará el valor de Tijs de�nido para los

juegos quasiequilibrados sobre su antimatroide dual A (que es coatómico).

Una geometría convexa es atómica si contiene todas las coaliciones individ-

uales.

De�nición 2.25 Sea L geometría convexa atómica y A su antimatroide

dual. Se denomina � -valor o valor de Tijs de un juego v 2 � (L) al vec-

tor �L (v) 2 RN dado por

�L (v) = �A (v�) ;

donde �A (v�) es el valor de Tijs del dual del juego v:

El concepto anterior de � -valor en una geometría convexa atómica no

siempre tiene sentido a menos que el juego dual sea quasiequilibrado en el

antimatroide dual. Por ello, en el siguiente resultado, se obtiene una condi-

ción su�ciente, en términos del juego v; bajo la cual se puede asegurar que

su dual v� es quasiequilibrado.

Proposición 2.26 Sea L una geometría convexa atómica y A su antima-

troide dual. Si un juego v 2 � (L) veri�ca las propiedades siguientes:

(1) Para toda T 2 L, T 6= N; se tiene que

v (N)� v(T ) �Xi2NnT

v (fig) ;

(2) El vector x = (xi)i2N cuyas componentes son las mayores contribu-

ciones de cada jugador, xi = maxfS2L:i2ex(S)g [v (S)� v (S n fig)], sa-

tisface Xi2N

xi � v (N) ;


entonces su juego dual v� es quasiequilibrado.

Demostración: Sea v 2 � (L) un juego que veri�ca las propiedades (1) y

(2). Se probará que su juego dual v� es quasiequilibrado usando la expresión

(2.3), es decir, comprobando que gv (S) � 0 8S 2 A; gv (N) � �v (N).

Para todo i 2 N; se tiene

Mv�

i = v� (N)� v� (N n i) = v (N)� [v (N)� v (N n fig)] = v (fig) .

Por tanto, la función de desfase del juego v�; para cada coalición no vacía

S 2 A, está dada por

gv�

(S) =Mv� (S)� v� (S) =Xi2S

v (fig)� v (N) + v (N n S) ;

y veri�ca que gv�(S) � 0; por cumplirse (1).

En particular,

gv�

(N) =Xi2N

v (fig)� v (N) :

Por otra parte,

�v�

(N) =Xi2N

minfS2A:i2au(S)g

[X

j2S[fig

v (fjg)� v (N) + v ((N n S) n fig)

�v (N n S)]

�Xi2N

minfS2A:i2au(S)g

[�v (N n S) + v (fig) + v ((N n S) n fig)]

=Xi2N

�v (fig)� max

fS2A:i2au(S)g[v (N n S)� v ((N n S) n fig)]

�=

Xi2N

�v (fig)� max

fT2L:i2ex(T )g[v (T )� v (T n fig)]

�=

Xi2N

v (fig)� x (N) � gv�

(N) ;

donde en la primera desigualdad se ha usado (1) para T = N n S 2 L, y en

la última se utiliza (2). 2


El siguiente ejemplo pone de mani�esto que la condición dada en la

proposición anterior no es una condición necesaria para que el juego v� sea

quasiequilibrado.

Ejemplo 2.27 Se considera el sistema de coaliciones (N;L), donde el con-

junto de jugadores es N = f1; 2; 3g y

L = f;; f1g ; f2g ; f3g ; f1; 2g ; f2; 3g ; f1; 2; 3gg :

En la Figura 2.1 se representa el diagrama de Hasse de dicha geometría

convexa y en la Figura 2.2 el de su antimatroide dual A. Obsérvese que L

es atómica y que A es coatómico.

Se considera el juego v 2 � (L), dado por

v (f1g) = 4; v (f2g) = 5; v (f3g) = 3;

v (f1; 2g) = 3; v (f2; 3g) = 2; v (N) = 5:

Se comprueba que dicho juego veri�ca la condición (1) de la proposición

anterior, pero no la condición (2) ya que el vector x, en este caso, es x =

(4; 5; 2) : Sin embargo, su juego dual v� es

v� (f1g) = 3; v� (f3g) = 2; v� (f1; 3g) = 0;


v� (f1; 2g) = 2; v� (f2; 3g) = 1; v� (N) = 5;

y puede comprobarse que se trata de un juego quasiequilibrado sobre el an-

timatroide A, puesto que Mv� = (4; 5; 3) y mv� = (3;�2; 2). Entonces, el

valor de Tijs del juego v es �L (v) = (29=9;�4=9; 20=9).

Capítulo 3

Un Modelo para Juegos sobre

Matroides

En este capítulo se plantea un modelo de cooperación por el que se pueden

desarrollar juegos de�nidos sobre un sistema de coaliciones con estructura de

matroide, que no considera las posibles estrategias de los jugadores. Como

ya se indicó en la sección 1.4, en esta estructura la gran coalición puede no

ser factible, y, en ese caso, las coaliciones maximales no son disjuntas. En

la primera sección, se presenta el modelo construido en esta memoria y sus

distintas formas de enfocarse. En la segunda sección, se estudia un valor

asociado a cada coalición y determinado exclusivamente por la estructura.

3.1 El Modelo Secuencial de Cooperación

Al igual que en los juegos cooperativos clásicos, donde se supone que toda

coalición entre los jugadores es posible y que interesa a todos ellos la forma-

ción de la gran coalición, en un juego sobre un matroide M se partirá de la

idea de que a los jugadores les interesa cooperar al máximo de sus posibi-

lidades. En este caso, la estructura de cooperación de�nida por el matroide

establece que, en general, no existe cooperación total entre los jugadores, y

75

76 Capítulo 3. Un Modelo para Juegos sobre Matroides

por ello, se formará una coalición básica del matroide que no es conocida de

antemano por los jugadores. Puede suceder que la única cuestión a diluci-

dar sea qué coalición básica se formará, y que una vez se haya resuelto esta

cuestión, sólo se trate de repartir el bene�cio obtenido por la cooperación

entre los jugadores que la integran. Otra posibilidad, en el desarrollo del

juego (si hay más de un jugador yM no es el matroide libre), es que una vez

que se forme una coalición básica A1, el juego continúe entre los restantes

jugadores. Entonces, si se piensa que las coaliciones factibles vienen aún

determinadas por las del matroide original, se deberá considerar el matroide

MnA1. Nuevamente, los jugadores de N nA1 intentarán cooperar al máximo

de sus posibilidades, y se formará de nuevo una coalición básica del ma-

troide MnA1. Este proceso puede continuar hasta que participen todos los

jugadores iniciales, o bien acabar sin haber participado todos ellos.

El modelo de cooperación en un matroide anteriormente expuesto, se de-

nominarámodelo secuencial, ya que, en cualquier caso, el desarrollo del juego

supone la formación de una secuencia de coaliciones básicas determinadas por

el matroide dado.

Se distinguirán en esta memoria, además, dos tipos de modelo secuencial.

Se llamará modelo estático a aquél que consiste en determinar sólo una coali-

ción básica del matroide dado; y se denominará modelo dinámico aquel en el

que los jugadores se van organizando en varias coaliciones determinadas por

el matroide, de manera que todos los jugadores participan.

Ejemplo 3.1 Tres compañías aéreas que realizan trayectos según la �gura

3.1 intentan establecer una alianza para ampliar su oferta. Las coaliciones

entre compañías que no ofrecen nuevos servicios a sus usuarios no se con-

sideran factibles, dando como resultado el matroide M de la �gura 3.2. El

valor de una coalición es el bene�cio neto que se puede obtener en un cierto

tiempo. El juego se desarrolla según el modelo dinámico, pues una compañía

puede quedarse sola en el mercado, aunque sea su peor posibilidad.

3.1 El Modelo Secuencial de Cooperación 77

En un primer paso se decidirá qué alianza se formaliza, f1; 2g ó f2; 3g.

Supóngase que ocurre A1 = f1; 2g, entonces ambos jugadores se reparten

los bene�cios mediante alguna técnica de juegos cooperativos aplicada al ál-

gebra de Boole 2A1. Por otro lado, la compañía 3 no tiene porqué abandonar

el juego y puede permanecer en el mercado sola. Por tanto continuaría el

juego con el matroide MnA1; formado por la coalición individual f3g y el

vacío, escogiéndose ahora la coalición básica f3g de este nuevo matroide, y

obteniendo 3 en este caso sus bene�cios individuales. Pero el juego también

podría haber discurrido mediante la formación de f2; 3g y la posterior de f1g.

Ejemplo 3.2 Un municipio quiere explotar de forma industrial el terreno

lindante con un lago. Ha recibido 5 solicitudes de empresas en las que se

mani�estan las necesidades mínimas de agua de cada solicitante. Los estu-

dios medioambientales aconsejan que, para evitar la desecación del lago, no

se gaste más de cierta cantidad de agua como media anual. El terreno está

lejano de la población y la empresa solicitante 1 es una empresa de servicios.

Esta circunstancias hacen que el municipio busque los grupos de empresas que

podrían instalarse juntas en el terreno, y escoja una de estas posibilidades.

El siguiente diagrama muestra los posibles bloques de empresas.


El juego se plantea entre las empresas solicitantes para determinar una

coalición factible. El valor de cada coalición es el coste del terreno utilizado y

los impuestos de impacto medioambiental proporcionales al agua gastada por

la coalición. El desarrollo de este juego se enmarca en el modelo estático, en

cuanto que se formará una única coalición, que será la que obtenga el terreno

y explote el agua. Si, por ejemplo, se forma el bloque f1; 2; 5g entonces, las

empresas 3 y 4 deben abandonar el juego, puesto que su instalación en el

terreno podría desecar el lago.

En el modelo secuencial, cada vez que se forme una coalición básica B se

efectúa el reparto de bene�cios que reporta la formación de la coalición en

el juego. Juego, cuya función característica se supondrá que no varía, sino

que sólo se evalúa sobre el álgebra de Boole 2B. Así, en cada paso de la

secuencia, el reparto se puede hacer considerando los conceptos clásicos de

solución para juegos cooperativos. El estudio que se realizará en lo que sigue

tiene como �nalidad responder a las siguientes cuestiones: ¾Cómo puede cada

jugador evaluar si le interesa o no jugar, si no conoce cómo se desarrollará

el juego? Si los jugadores tienen una visión común del discurrir del juego,

¾pueden estimar, a priori, sus bene�cios? ¾Cuál es, a priori, el poder de los

jugadores, para poder establecer sus estrategias?.

3.1 El Modelo Secuencial de Cooperación 79

Estas ideas se formalizarán usando las siguientes nociones y de�niciones.

Se supondrá que el matroide M es tal que M 6= f;g y queS

S2M S = N

donde N = f1; : : : ; ng.

De�nición 3.3 Una secuencia básica de un matroide M es una sucesión

ordenada de coaliciones no vacías (A1; : : : ; Ak) tal que:

(a) La primera coalición A1 2 B (M) ;

(b) Si k � 2; entonces Am 2 B (MnA1n � � � nAm�1) para todo m = 2; :::; k,

(c) El matroide MnA1n � � � nAk = f;g :

El conjunto formado por las secuencias básicas de un matroide M se

denotará por � (M). Por otro lado, se llamará semisecuencia básica del ma-

troide a toda sucesión ordenada (A1; : : : ; Ak) de coaliciones que veri�que las

condiciones (a) y (b) de la de�nición anterior. Así, toda secuencia básica del

matroide M es una semisecuencia básica. La longitud, l (�) ; de una semise-

cuencia � es el número de coaliciones que la forman. Siendo S una coalición

del matroide M, se denotará por �S (M) el conjunto de secuencias bási-

cas � = (A1; : : : ; Ak) tales que S está contenida en alguna coalición Am,

1 � m � k, de �.

Directamente de la de�nición anterior se pueden obtener las siguientes

propiedades. Si � = (A1; : : : ; Ak) es una semisecuencia básica del matroide

M, entonces:

(1) MnA1n � � � nAk es un menor de M.

(2) Am 2 M, para todo m 2 f1; : : : ; kg :

(3) Aq \ Am = ;, para m; q 2 f1; : : : kg ; m 6= q.


(4) Si � es una secuencia básica entonces

k[m=1

Am = N:

En este caso � determina una partición de N en coaliciones factibles

maximales.

De�nición 3.4 SeaM un matroide. Se denominan menores de eliminación

de M a todo menor de M de la forma MnA1n � � � nAk, donde (A1; : : : ; Ak)

es una semisecuencia básica de M. Se entenderá que dos menores de elimi-

nación de M son distintos cuando se obtienen a partir de distintas semise-

cuencias básicas. Además, por conveniencia, se supondrá en lo que resta de

memoria que todo matroide es un menor de eliminación de sí mismo.

En los siguientes ejemplos se muestra, para ciertos matroides, sus secuen-

cias básicas.

Ejemplo 3.5 (a) Sea N = f1; 2; 3; 4; 5g y considérese el matroide U35 . En

este caso hay 10 secuencias básicas, todas ellas de la forma � = (B;NnB),

donde B es cualquier coalición básica. Es decir, todas las secuencias básicas

se pueden expresar como � = (fi1; i2; i3g ; fi4; i5g).

(b) Si N = f1; 2; 3; 4; 5; 6g, el matroide uniforme U36 tiene 20 secuencias

básicas, todas ellas de la forma � = (fi1; i2; i3g ; fi4; i5; i6g). Obsérvese que

las secuencias básicas de este matroide contienen dos coaliciones básicas del

matroide.

(c) Sea N = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8g: El matroide uniforme U38 tiene 560 se-

cuencias básicas de la forma � = (fi1; i2; i3g ; fi4; i5; i6g ; fi7; i8g).

Ejemplo 3.6 Para un matroide de oposición Mn (ikj), sólo existen dos se-

cuencias básicas posibles:

�1 = (Nn fig ; fig) y �2 = (Nn fjg ; fjg) :

3.2 In�uencia de las coaliciones y el Juego Rango 81

Ejemplo 3.7 Sea el matroide M de la �gura 3.3 y denótese las coaliciones

básicas como

B1 = f1; 2; 3g ; B2 = f1; 2; 4g ; B3 = f1; 2; 5g ;

B4 = f1; 3; 4g ; B5 = f1; 4; 5g :

Las secuencias básicas son:

�1 = (B1; f4; 5g) �2 = (B2; f3g ; f5g) �3 = (B2; f5g ; f3g)

�4 = (B3; f3; 4g) �5 = (B4; f2; 5g) �6 = (B5; f2; 3g) :

Obsérvese que no todas las secuencias básicas de un matroide han de tener

la misma longitud.

3.2 In�uencia de las coaliciones y el Juego

Rango

En un juego sobre un matroide, se puede apreciar que entre los jugadores

de las coaliciones básicas hay cooperación total, esto es, si B es una coali-

ción básica del matroide M, entonces 2B � M. Así, cuando el matroide

tiene al menos dos coaliciones básicas, la cooperación, que no es total entre

los jugadores, se puede contemplar estructurada en áreas de cooperación,

determinadas por las coaliciones básicas. La diferencia fundamental entre

esta con�guración de coaliciones y la que en la literatura se conoce como

estructura de coaliciones, es que en el caso de los matroides las áreas de

cooperación no pueden ser disjuntas, debido al axioma (M2). Así, cada ju-

gador puede pertenecer a una o varias áreas de cooperación, y unos jugadores

están presentes en más áreas de cooperación que otros. En otras palabras,

los jugadores tienen distintas capacidades de cooperación en un matroide

M 6= 2N :


Si se denominan áreas de cooperación de un matroideM a sus coaliciones

básicas, se prueba que el número de áreas de cooperación de un matroide

M, b (M), es un invariante Tutte-Grothendieck, (ver [30]), del matroide por

veri�car las siguientes propiedades.

Proposición 3.8 Para cualesquiera (N;M), (N1;M1) y (N2;M2) matroides,

se veri�can las siguientes propiedades:

(1) b (M) = b (M=i) ; si i es istmo en M,

(2) b (M) = b (M=i) + b (Mni) ; si i no es istmo en M,

(3) b (M1) = b (M2) si (N1;M1) y (N2;M2) son isomorfos,

(4) b (M1 �M2) = b (M1) b (M2), donde el matroide suma directa está

formado por todas las uniones de una coalición de M1 y otra de M2.

Teniendo en cuenta que un jugador puede pertenecer a varias áreas de

cooperación del matroide, tiene sentido introducir el concepto de área de in-

�uencia de un jugador, y, en general, la siguiente noción de área de in�uencia

de una coalición factible.

De�nición 3.9 Sea S una coalición factible del matroide M. El conjunto

de áreas de in�uencia de S en el matroide M es el conjunto de coaliciones

básicas que contienen a S, es decir,

BS (M) = fB 2 B (M) : S � Bg :

Se denotará por bS (M) el cardinal de dicho conjunto.

En el caso particular de ser S = fig, se hablará de áreas de in�uencia

del jugador i y, para abreviar, se utilizará la notación Bi (M) en lugar de

Bfig (M) : Es inmediato comprobar el siguiente resultado, referente a las áreas

de in�uencia de un jugador.


Proposición 3.10 Sean i; j 2 N , y M un matroide. Entonces:

(1) Bi (M) = fB [ i : B 2 B (M=i)g y bi (M) = b (M=i),

(2) Bi (M) = B (M), si i es un jugador istmo en M,

(3) Bi (M) \ Bj (M) = ;, si i; j son jugadores paralelos en M.

Denotando por P (M) el conjunto de distribuciones de probabilidad sobre

las áreas de cooperación del matroide M, cada distribución de probabilidad

P 2 P (M) ; P = fP (B) : B 2 B (M)g ; asigna a cada área de cooperación

una probabilidad que se puede interpretar como la posibilidad de que dicha

coalición básica se forme. Considerando que estas distribuciones de proba-

bilidad P 2 P (M) tienen una estrecha relación con el modelo estático de

juegos sobre un matroide, se utilizan a continuación para de�nir la in�uencia

de una coalición.

De�nición 3.11 SeaM un matroide y P 2 P (M) : Se denomina in�uencia

en el sentido estático de la coalición factible S 2 M, según la distribución

de probabilidad P , al número real no negativo, wP (S), dado por la siguiente

expresión

wP (S) =X

B2BS(M)

P (B) :

Además, se llama vector de in�uencias del matroide M, según la dis-

tribución de probabilidad P, al vector wP 2 RN , tal que sus componentes

son

wPi = wP (fig) =

XB2Bi(M)

P (B) ; para todo i 2 N:

En particular, cuando se considera la distribución de probabilidad equi-

tativa; P e 2 P (M) ; tal que P e (B) = 1=b (M) para toda B 2 B (M),


se obtiene el vector de in�uencias equitativo del matroide M, que tiene la

expresión

we =

�bi (M)

b (M)

�i2N

:

La in�uencia equitativa de una coalición S 2 M es

we (S) =bS (M)

b (M):

A continuación se verá, al estudiar la función rango del matroide, que los

vectores de in�uencia son repartos justos del máximo grado de cooperación

que existe en el matroide, determinado por el valor del rango del matroide

r (M).

Como ya se indicó, la función rango de un matroide M es un juego

cooperativo r : 2N �! Z+, monótono y submodular. Esta última propiedad

asegura (ver Driessen [15]) que su core,

Core (r) =

(x 2 R

N :Xi2N

xi = r(N);Xi2S

xi � r(S); para todo S � N

);

es no vacío y, más precisamente, que coincide con la envoltura convexa de los

vectores de contribución marginal.

Dado el juego (N; r), para cada orden � del conjunto de jugadores N ,

se de�ne el vector de contribución marginal z� (r) 2 RN como aquél de

componentes

z�i (v) = v (Xi (�) [ i)� v (Xi (�)) ; para todo i 2 N;

donde Xi (�) es el conjunto de los predecesores del jugador i en el orden �:

Así,

Core (r) = conv�z�(r) : � es un orden de N

:

El siguiente teorema identi�ca los vectores de contribución marginal, y,

por tanto, el core del juego rango. Para su formulación, se de�ne, dado


X � N , el vector eX 2 RN , como aquél cuyas componentes son para todo

i 2 N ,

eXi =

(1; si i 2 X

0; si i =2 X:

Teorema 3.12 Sea r la función rango de un matroide M. Entonces:

Core (r) = conv�eB : B 2 B (M)

:

Demostración: El juego rango r : 2N �! Z+ es submodular, por lo que

Core (r) = conv�z�(r) : � es un orden de N

:

En primer lugar se probará que�z�(r) : � es un orden de N

��eB : B 2 B (M)

:

Para un orden � de N; el vector de contribución marginal z� (r) es e�-

ciente, esto es Xi2N

z�i (r) = r (N) ;

y además, para cada i 2 N , se tiene que z�i (r) 2 f0; 1g, por la propiedad (R3')

del juego rango. Por ello, dicho vector tiene nulas todas sus componentes

salvo r(N) de ellas. Entonces, z� (r) = eX , siendo X =�j 2 N : z�j (r) = 1

:

Se va a probar que X es una coalición básica del matroide. Como eX es un

vector del core, se tieneXi2X

eXi = jXj = r(N) � r(X) y jXj � r (X) :

Entonces, la monotonía del juego rango asegura que r(N) = r(X), y así

se tiene que jXj = r(X): Por tanto, X es una coalición básica.

Para probar ahora la inclusión contraria, sea B una coalición básica del

matroide. Si se considera cualquier orden de los jugadores de B, y a éste se le


añaden los restantes jugadores en cualquier orden, se obtiene un orden �o de

los jugadores de N, tal que z�0 (r) = eB ya que las contribuciones marginales,

en ese orden, de los jugadores de B son iguales a la unidad, mientras que las

de los demás jugadores son cero. 2

Los vectores de Core (r) tienen una estrecha relación con las distribu-

ciones de probabilidad que se pueden construir sobre las áreas de cooperación.

En efecto, a cada distribución de probabilidad P = fP (B) : B 2 B (M)g se

le puede hacer corresponder un vector del core, dado por

wP =X

B2B(M)

P (B)eB;

esto es, el vector de in�uencias asociado a P .

Por otro lado, es evidente que cada expresión de un vector w del core,

w =P

B2B(M) �BeB; determina la distribución f�B : B 2 B (M)g de P (M).

Sin embargo, aunque cada distribución de probabilidad P tiene asociado así

un único vector del core, cada vector w del core tiene asociado, en general,

una familia de distribuciones de probabilidad.

Por tanto, se han denominado vectores de in�uencia de un matroide M

a cada uno de los vectores del core del juego rango del matroide, de ahí

que se diga que dichos vectores determinan un reparto justo de la máxima

capacidad de cooperación entre los jugadores. Obsérvese, además, que dis-

tintas distribuciones pueden de�nir el mismo vector de in�uencia, y, por otro

lado, asignan distintas in�uencias por lo menos a dos coaliciones básicas del

matroide.

Conviene también tener presentes los siguientes casos particulares:

� En el caso clásico de cooperación total entre los jugadores, M = 2N , el

juego rango es la función cardinal y su core es el conjunto formado por el

vector (1; : : : ; 1) 2 RN . Por tanto, éste es el único vector de in�uencias

posible relacionado con la única distribución de probabilidad posible,

P = fP (N) = 1g, sobre las áreas de cooperación.


� Tomar el vector de in�uencias eB0, para B0 2 B (M), es equivalente a

tomar la distribución de probabilidad P 2 P (M) con P (B0) = 1 y

P (B) = 0 para toda B 6= B0. Por tanto, considerar este vector para

un juego sobre el matroide M se interpretará como que el juego se

restringe al área de cooperación B0, por lo que su función característica

sólo se evaluará sobre las coaliciones de 2B0.

El concepto de in�uencia de una coalición, cuando se estudia un juego

sobre un matroide que se desarrolla según el modelo dinámico, no puede ser

el anterior. En el modelo dinámico una coalición puede in�uir en el resultado

sin estar incluida en la coalición básica A1 que origina la secuencia básica

�nal � = (A1; : : : ; Ak) ; porque puede estar incluida en alguna otra de las

coaliciones de dicha secuencia básica. Esto sugiere introducir una nueva

de�nición.

Si se denota por D (M) el conjunto de distribuciones de probabilidad

sobre las secuencias básicas del matroide M, la noción de in�uencia de una

coalición S en el caso del modelo dinámico se de�nirá como la suma de

las probabilidades de las secuencias básicas � = (A1; : : : ; Ak) tales que la

coalición S está contenida en alguna coalición Am de dicha secuencia.

De�nición 3.13 Sea M un matroide y D 2 D (M) una distribución de

probabilidad sobre las secuencias básicas de M: Se denomina in�uencia en

el sentido dinámico de la coalición factible S 2 M, según la distribución de

probabilidad D, al número real no negativo, wD (S), dado por la siguiente

expresión

wD (S) =X

�2�S(M)

D (�) :

Nótese que la in�uencia de las coaliciones unitarias según esta de�nición

es igual a uno, lo cual es lógico puesto que cada uno de los jugadores participa

�nalmente en un juego que se desarrolla según el modelo dinámico.


Sea M un matroide. Para cada menor de eliminación M0 de M que

no esté formado únicamente por el vacío, sea PM0 2 P (M0). En estas

condiciones, a cada secuencia básica � = (A1; A2; : : : ; Ak) del matroide M,

se le puede asociar un número real no negativo D� (�), dado por la siguiente

expresión:

D� (�) = PM (A1)kY

m=2

PMnA1n��nAm�1(Am) :

A continuación, se demostrará que la aplicación D� es una distribución

de probabilidad sobre el conjunto de secuencias básicas del matroide M, y

que toda distribución de probabilidad sobre el conjunto de secuencias básicas

se puede expresar en dicha forma.

Teorema 3.14 Sea M un matroide. Una aplicación D : � (M) �! R

es una distribución de probabilidad sobre � (M) si, y sólo si, existe una

probabilidad PM0 2 P (M0) para cada M0 menor de eliminación de M que

no contenga sólo al vacío, tal que D se puede expresar en la forma

D (�) = PM (A1)kY

m=2

PMnA1n��nAm�1 (Am) ; (3.1)

para toda secuencia básica � = (A1; A2; : : : ; Ak) de M.

Demostración: Si D es una distribución de probabilidad sobre las secuen-

cias básicas de M, se construirá, para M y para cualquier otro menor de

eliminación no vacío M0 de M, una distribución de probabilidad sobre sus

áreas de cooperación. Se de�ne

PM (B) =X

f�2�(M):�=(B;:::)g

D (�) ;

para cada B 2 B (M). Se tiene que PM (B) � 0 y además,XB2B(M)

PM (B) =X

B2B(M)

Xf�2�(M):�=(B;:::)g

D (�) =X

�2�(M)

D (�) = 1:


Si M0 = MnA01n � � � nA

0m es cualquier otro menor de eliminación de M,

se considera la semisecuencia asociada �0 = (A01; : : : ; A

0m) y se de�ne el coe-

�ciente

K (M0) =X

f�2�(M):�=(�0;:::)g

D (�) ;

donde la suma se extiende a todas las secuencias básicas que comienzan con

las coaliciones de la semisecuencia �0: Entonces, para cada coalición básica

B 2 B (M0) se considera

PM0 (B) =1

K (M0)

Xf�2�(M):�=(�0;B;:::)g

D (�) ;

caso de ser K (M0) 6= 0. Si K (M0) = 0 entonces se puede tomar como PM0

cualquier distribución de probabilidad sobre B (M0). Así, es inmediato que

PM0 es una distribución de probabilidad sobre B (M0).

Se prueba ahora que estas distribuciones permiten construir la distribu-

ción D con la fórmula (3.1) del enunciado. Si e� = (A1; : : : ; Ak) es una

secuencia básica entonces se tiene

PM (A1)PMnA1(A2)PMnA1nA2

(A3) � � �PMnA1n��nAk�1(Ak)

=

0@ Xf�2�(M):�=(A1;:::)g

D (�)

1A0@ 1

K (MnA1)

Xf�2�(M):�=(A1;A2;:::)g

D (�)

1A0@ 1

K (MnA1nA2)

Xf�2�(M):�=(A1;A2;A3;:::)g

D (�)

1A � � �

� � �

�1

K (MnA1n � � � nAk�1)D (e�)�

= D (e�) ;donde la última igualdad se sigue de considerar que en el producto anterior

cada factor es el denominador del siguiente por lo que, simpli�cando, se ob-

tiene D (e�). Además, se ha tenido en cuenta que el menor MnA1n � � � nAk�1

es el álgebra de Boole determinada por Ak, de ahí que el sumatorio del último


factor se reduzca al sumando correspondiente a e�: Por otra parte, se ha de

observar que si existiera algún denominador nulo, aunque la primera igualdad

de la fórmula anterior no tendría validez, se obtendría que D (e�) = 0.

Se probará ahora el recíproco, por inducción sobre el número de jugadores

del matroide.

El resultado es trivialmente cierto cuando el matroide sólo tiene un ju-

gador ya que, en ese caso, existe una única secuencia básica y el único menor

de eliminación que no contenga sólo al vacío es el propio matroide. Suponién-

dolo cierto para todo matroide con menos de n jugadores, se demostrará para

los matroides de n jugadores.

Sea M un matroide con n jugadores, y se considerará la aplicación D

sobre � (M) dada por

D (�) = PM (A1)kY

m=2

PMnA1n:::nAm�1(Am) ;

para cada secuencia básica � = (A1; A2; : : : ; Ak) 2 � (M). Se debe observar

que para cada � = (A1; A2; : : : ; Ak) secuencia básica de M, se tiene que

�0 = (A2; : : : ; Ak) es una secuencia básica de MnA1, y viceversa. Además,

por hipótesis de inducción, la función DMnA1: � (MnA1) �! R. tal que

DMnA1(�0) =

kYm=2

PMnA1n��nAm�1 (Am) (3.2)

para toda �0 = (A2; : : : ; Ak) secuencia básica de MnA1, es una distribución

de probabilidad sobre � (MnA1). Por ello, se tiene queX�2�(M)

D (�)

=X

f�2�(M):�=(A1;A2;:::;Ak)g

PM (A1)kY

m=2

PMnA1n��nAm�1(Am)

=X

f�2�(M):�=(A1;�0)g

PM (A1)DMnA1(�0)


=X

A12B(M)

PM (A1)X

�02�(MnA1)

DMnA1(�0) (3.3)

=X

A12B(M)

PM (A1) = 1:

y, por tanto, D es una distribución de probabilidad sobre � (M). En la

expresión anterior, � = (A1; �0) representa a � = (A1; A2; : : : ; Ak) si se tiene

que �0 = (A2; : : : ; Ak) : 2

Se deduce del teorema anterior, que toda distribución de probabilidad

D 2 D (M) origina, para cada coalición básica A1 2 B (M), una distribución

de probabilidad DMnA12 D (MnA1). En efecto, escribiendo D en la forma

(3.1), entonces la expresión (3.2) de�ne la distribución de probabilidad que

se ha denotado DMnA1. Además, se veri�ca que si � = (A1; A2; : : : ; Ak) está

en � (M) ; entonces

D (�) = PM (A1)DMnA1(�0) ; (3.4)

donde �0 = (A2; : : : ; Ak) 2 � (MnA1) :

Obsérvese por último que, como consecuencia de (3.3), se tiene que para

A1 2 B (M) ; Xf�2�(M):�=(A1;:::)g

D (�) = PM (A1) : (3.5)

Capítulo 4

Valores sobre Matroides

En este capítulo y el siguiente se estudiarán los conceptos de solución de-

nominados valores, de�nidos ahora sobre el conjunto de juegos � (M) de un

matroide M. Estos valores se deberán ajustar a la situación de cooperación

determinada por el matroide dado y, por ello, serán introducidos adaptando

los axiomas clásicos utilizados en juegos cooperativos donde no existen res-

tricciones en la cooperación entre los jugadores. La construcción de valores

se hará teniendo en cuenta también el tipo de juegos sobre el que se vayan a

utilizar. Por ello, se tratará de valores estáticos y de valores dinámicos, aten-

diendo a que los juegos considerados se desarrollen según el modelo secuencial

estático o dinámico.

En la primera sección se introducen y caracterizan axiomáticamante los

que se denominarán valores ��ponderados. Estos son valores individuales

que generalizan el concepto de valor probabilístico introducido por Weber,

y que son válidos para juegos que se desarrollen según cualquier modelo se-

cuencial. Las dos últimas secciones del capítulo se dedican, respectivamente,

al estudio de valores de grupo estáticos y valores de grupo dinámicos.

En lo sucesivo se supondrá que N es el conjunto de jugadores determinado

por el matroideM y que, por tanto,M no contiene únicamente el vacío: Por

otra parte, si no hay lugar a confusión, se simpli�carán algunas notaciones.

93

94 Capítulo 4. Valores sobre Matroides

En concreto, siempre que se trabaje con el matroide M, se entenderá que

B = B(M) y BS= BS(M). Los cardinales de dichos conjuntos de coaliciones

se denotarán por b y bS: Además, se escribirá S [ i y S n i en lugar de S [fig

y S n fig, respectivamente.

4.1 Valores �-Ponderados

Los valores probabilísticos fueron de�nidos por Weber [59] como valores in-

dividuales que permiten estimar a cada jugador, por sí solo, las expectativas

que tiene, a priori, al jugar diferentes juegos. Para obtener dicha estimación,

el jugador establece una distribución de probabilidad sobre el conjunto de

coaliciones a las que él se puede unir (mediante la que de�ne las posibili-

dades de hacerlo) y considera sus contribuciones marginales a cada una de

ellas. Entonces, de�ne el valor probabilístico como la media resultante o

valor que espera conseguir en cada juego. Un valor probabilístico i para el

jugador i sobre el conjunto de juegos ��2N�es una función i : �

�2N�! R,

de�nida mediante

i(v) =XS�Nni

piS [v(S [ i)� v(S)] ;

para todo juego v 2 ��2N�, donde fpiS : S � N n ig es una distribución de

probabilidad sobre el conjunto de coaliciones S � N n i:

En el espacio vectorial de los juegos de�nidos sobre un matroide, � (M) ;

las estimaciones que realice cada jugador, dependerán de las posibilidades

que éste estime inicialmente que tiene de formar parte de las coaliciones

que se formarán con en el transcurso del juego. Mientras que en un juego

cooperativo clásico, (N; v) ; se presupone la formación de la gran coalición

N , y , por tanto, la participación de todos los jugadores en el reparto �nal,

en un juego de�nido sobre un matroide no siempre se puede garantizar que

el jugador no quede eliminado. Estas consideraciones se introducen con la

4.1 Valores �-Ponderados 95

de�nición siguiente de valores �-ponderados.

De�nición 4.1 Un valor i; para el jugador i; sobre � (M) es un valor �-

ponderado, con � 2 [0; 1] ; si existe una colección fpiS : S 2 M=ig de números

reales no negativos, veri�candoP

S2M=i

piS = �; de modo que

i(v) =X

S2M=i

piS [v(S [ i)� v(S)] ;

para todo juego v 2 � (M) :

Los valores �-ponderados para � = 1 se denominarán valores probabilísti-

cos. En cualquier caso, la constante � se puede considerar como la probabi-

lidad que el jugador estima que tiene de estar en una de las coaliciones que

se formen al �nalizar las etapas del juego.

A continuación, se obtendrá una caracterización axiomática de los valores

�-ponderados. Se partirá de un valor i para el jugador i, al que se le irán

imponiendo propiedades razonables. En primer lugar, se considerará que el

jugador estima que el valor que obtendrá al participar en el juego v + w es

la suma de los valores que obtendría en los juegos v y w. Igualmente se

supondrá que si un juego es modi�cado por un cambio de escala, el jugador

considera sus valoraciones afectadas en la misma proporción.

Axioma de linealidad. Si v; w 2 � (M) y �; � 2 R, se veri�ca

i (�v + �w) = �i (v) + �i (w) :

Tomando la base de los juegos de identidad en � (M), se obtiene una for-

mulación de los valores individuales que son lineales en el siguiente resultado.


Teorema 4.2 Sea i un valor sobre � (M) que satisface el axioma de linea-

lidad. Entonces, existen unos únicos coe�cientes faiS : S 2 M; S 6= ;g tales

que

i (v) =XS2M

aiSv (S) ;

para todo juego v 2 � (M) :

Demostración: Puesto que el conjunto de juegos f�S : S 2 M; S 6= ;g es

una base del espacio vectorial � (M), y cada juego v 2 � (M) se puede

expresar como combinación lineal de los juegos de unanimidad (1.1), tenemos

que

v =X

fS2M:S 6=;g

v (S) �S:

Entonces

i (v) =X

fS2M:S 6=;g

i (�S) v (S) ;

por la linealidad de i. Por último, es su�ciente tomar aiS = i (�S) ; para

S 2 M, S 6= ;; y ai; un valor cualquiera. 2

En un juego pueden aparecer jugadores que contribuyen siempre con la

misma cantidad en todas las coaliciones, éstos reciben el nombre de jugadores

dummy.

De�nición 4.3 Un jugador i 2 N es dummy en un juego v 2 � (M) si,

para cada T 2 M=i; se veri�ca

v (T [ i)� v (T ) = v (fig) :

Un jugador i 2 N es nulo en un juego v 2 � (M) si, para cada T 2 M=i; se

satisface que v (T [ i)� v (T ) = 0:

El valor que debe esperar un jugador dummy en un juego debe ser el

valor con el que repercute en cualquier coalición, afectado por la posibilidad


de formar parte de las coaliciones �nales. Esta consideración justi�ca el

siguiente axioma.

Axioma del jugador dummy �-modi�cado. Sea � 2 [0; 1] : Si i 2 N es

jugador dummy en un juego v 2 � (M), entonces

i (v) = �v (fig) :

En el caso particular de jugadores nulos, para los que v (fig) = 0; cabe

considerar lógicamente este otro axioma.

Axioma del jugador nulo. Si i es jugador nulo en un juego v 2 � (M),

entonces

i (v) = 0:

Se trata ahora de ver la repercusión de estos axiomas en la expresión de

un valor que veri�ca el axioma de linealidad. Para ello, conviene observar que

hay jugadores dummy y también jugadores nulos en los juegos de unanimidad.

Lema 4.4 Sea M un matroide y, además, i 2 N: Entonces:

(1) Si S 2 Mni es una coalición no vacía, entonces i es jugador nulo en

el juego �S de�nido sobre M.

(2) El jugador i es dummy en el juego de unanimidad �fig de�nido sobre

M.

Demostración: Considérese T 2 M=i.

(1) Sea S 2 Mni una coalición no vacía. En el caso de que T contenga

a S; se tiene �S (T ) = �S (T [ i) = 1: Por otra parte, si T no contiene a S;

se veri�ca �S (T [ i) = �S (T ) = 0: Así, �S (T [ i) � �S (T ) = 0 para todo

T 2 M=i:

(2) Al ser �fig (T [ i) = 1 y �fig (T ) = 0, se obtiene la siguiente igualdad

�fig (T [ i)� �fig (T ) = 1 = �fig (fig) : 2


Teorema 4.5 Sea i un valor individual sobre � (M) que veri�ca el axioma

de linealidad. Entonces:

(1) Si i cumple el axioma del jugador nulo, entonces existe una colección

de constantes fpiS : S 2 M=ig de modo que

i (v) =X

S2M=i

piS [v (S [ i)� v (S)] ; para todo v 2 � (M) :

(2) Si i satisface el axioma del jugador dummy �-modi�cado, entonces la

expresión anterior es cierta, y los coe�cientes veri�canXS2M=i

piS = �:

Demostración: Se tomará i veri�cando el axioma de linealidad.

(1) Sea �i un valor sobre � (M) de�nido, para cada v 2 � (M) ; por

�i (v) =X

S2M=i

piS [v (S [ i)� v (S)] ; con piS = i (�S[i) .

Dado que i y �i son lineales y los juegos de unanimidad son una base

de � (M) ; bastará demostrar que �i (�T ) = i (�T ) ; para cada coalición no

vacía T 2 M: Sea T 2 M, no vacía, se considerarán dos casos.

(a) Si i =2 T , por el lema anterior, es un jugador nulo en el juego �T :

Entonces, i (�T ) = 0; al veri�car i el axioma del jugador nulo. Por otro

lado, como las contribuciones marginales del jugador i en dicho juego �T son

cero, se tiene también que �i (�T ) = 0.

(b) Si i 2 T;

�i (�T ) =X

S2M=i

piS [�T (S [ i)� �T (S)] =X

fS2M:S�Tg

piSni;

pues �T (S) = 0 al ser S 2 M=i. Por otro lado, como i (�S) = piSni; se

obtiene


�i (�T ) =X

fS2M:S�Tg

i (�S) = i

0@ XfS2M:S�Tg

�S

1A = i (�T ) :

(2) Si el valor i satisface el axioma del jugador dummy �-modi�cado, se

puede repetir el mismo razonamiento hecho en el apartado anterior. Además,

en este caso, al ser i un jugador dummy en el juego �fig por el lema ante-

rior, y veri�carse �fig (fig) = 1; se tiene i

��fig�= � , por el axioma del

jugador dummy �-modi�cado. Finalmente, como la contribución marginal

�fig (S [ i)� �fig (S) es 1 sólo para los S 2 M=i; se obtiene

i

��fig�=X

S2M=i

piS = �:

2

Si se considera que en los juegos monótonos la cooperación siempre es

ventajosa, ya que v(S) � v(T ) siempre que las coaliciones factibles veri�quen

S � T , es lógico exigir que el pago que reciba cada jugador al �nal sea no

negativo. Por esta razón, se introduce el siguiente axioma.

Axioma de monotonía. Si v 2 �m (M), entonces i (v) � 0:

En el siguiente teorema se verá cómo repercute el axioma de monotonía

en la expresión de un valor de grupo que veri�ca los axiomas de linealidad y

de jugador nulo.

Teorema 4.6 Sea i es un valor sobre � (M) tal que, para todo v 2 � (M) ;

está dado por

i (v) =X

S2M=i

piS [v (S [ i)� v (S)] :

Entonces, si i veri�ca el axioma de monotonía, todos los coe�cientes piS son

no negativos.


Demostración: Para cada T 2 M=i; se considera el juego monótono

b�T (S) =(

1; si T � S

0; en otro caso.

Entonces, por el axioma de monotonía, i

� b�T� � 0: Además,

i

� b�T� =X

S2M=i

piS

h b�T (S [ i)� b�T (S)i = piT :

Por tanto, todos los coe�cientes de la expresión de i son no negativos.

2

Estos axiomas que se han ido describiendo caracterizan a los valores �-

ponderados. Mediante una simple comprobación y la aplicación de los teo-

remas anteriores se puede enunciar el siguiente resultado.

Teorema 4.7 Un valor i para un jugador i 2 N sobre � (M) es un valor

�-ponderado si, y sólo si, veri�ca los axiomas de linealidad, jugador dummy

��modi�cado y monotonía.

4.2 Valores de Grupo Estáticos

Se han considerado en la sección anterior axiomas para la construcción de

valores individuales. Ahora, se van a estudiar axiomas desde el punto de

vista de grupo, para juegos que se desarrollen según el modelo estático.

Se tendrá en cuenta que, en el modelo estático, se formará �nalmente

una única coalición básica, y que en los valores que se han denominado �-

ponderados la interpretación de � es la probabilidad de participar en el juego

que tiene un jugador. Entonces, al considerar valores de grupo con com-

ponentes �i-ponderadas para cada jugador i es natural tener que exigir que

4.2 Valores de Grupo Estáticos 101

estos valores sean conjuntamente realistas. Por ello, es lógico que ahora cada

jugador considere que su probabilidad �i de participar en el juego sea su

in�uencia en el matroide.

En esta sección, teniendo en cuenta la idea anterior, serán de interés los

valores de grupo = (i)i2N sobre juegos en un matroideM tales que cada

componente i, i 2 N , es un valor �i-ponderado, de modo que (�i)i2N es un

vector de in�uencias (vector del core del juego rango del matroide).

De�nición 4.8 Un valor de grupo = (i)i2N sobre � (M) veri�ca la

propiedad del rango, cuando existe un vector � = (�i)i2N , de modo que

� 2 Core (r) ; tal que cada componente i de es un valor �i-ponderado

sobre � (M) :

En los resultados que siguen, se hará uso de las notaciones que se intro-

ducen a continuación.

SeaM un matroide y v 2 � (M) : Para cualquier matroideM0,M0 �M,

se denotará por vM0 la restricción del juego v sobre M0. Es decir,

vM0 :M0 ! R; vM0 (S) = v (S) ; para cada S 2 M0:

En el caso particular en que M0 coincida con el matroide 2B determinado

por una coalición básica B de M, se escribirá vB en lugar de vM0.

En el lema siguiente se enuncia una propiedad que se utilizará en las

demostraciones de resultados posteriores.

Lema 4.9 Sea M una matroide y sea i 2 N un jugador �jo. Entonces, se

veri�ca la siguiente igualdad de conjuntos

f(S;B) : B 2 Bi; S � B; i =2 Sg = f(S;B) : S 2 M=i; B 2 BS[ig :

Demostración: Es inmediata teniendo en cuenta que para toda coalición

básica B de M, se veri�ca que el álgebra de Boole 2B está contenida en el

matroide M. 2


A continuación, se observará cómo repercute en la expresión de un valor

de grupo la propiedad del rango. Se comprobará que cada valor de grupo con

dicha propiedad es tal que sus componentes son medias ponderadas de valores

probabilísticos sobre las áreas de in�uencia del jugador correspondiente.

Teorema 4.10 SeaM un matroide, con función rango r; y sea = (i)i2Nun valor de grupo sobre � (M). Entonces, son equivalentes las siguientes

a�rmaciones:

(1) veri�ca la propiedad del rango.

(2) Para cada jugador i 2 N; la componente i de se puede expresar en

la forma

i (v) =XB2Bi

Pi (B)Bi (vB); para todo v 2 � (M) ;

donde

(a) Bi es un valor probabilístico sobre �

�2B�, para cada B 2 Bi;

(b) Pi es una distribución de probabilidad sobre el conjunto B de áreas

de cooperación del matroide, de modo que el vector�wPii

�i2N

está

en Core (r). (Nótese que wPii es la componente i-ésima del vector

de in�uencias de�nido por Pi)

Demostración: Sea un valor de grupo sobre � (M) con la propiedad del

rango. Entonces existe � = (�i)i2N un vector de in�uencias del matroide

M, tal que cada componente i de es un valor �i-ponderado. Por ello, i

puede escribirse en la forma

i (v) =X

S2M=i

piS [v (S [ i)� v (S)] ;

con piS � 0 yP

S2M=i piS = �i.


Se de�ne, por cada jugador i 2 N , una distribución de probabilidad Pisobre el conjunto B de las áreas de cooperación del matroide. Sea

Pi (B) =

8><>:P

fS�B:i=2Sg

piSbS[i

; si B 2 Bi

1� �ib� bi

; si B =2 Bi:

Evidentemente Pi (B) � 0, para cada B 2 B, y ademásXB2B

Pi (B) =XB=2Bi

Pi (B) +XB2Bi

Pi (B)

=XB=2Bi

1� �ib� bi

+XB2Bi

XfS�B:i=2Sg

piSbS[i

= 1� �i +X

S2M=i

XB2BS[i

piSbS[i

= 1� �i +X

S2M=i

piS = 1� �i + �i = 1;

donde la tercera igualdad se obtiene de aplicar el lema anterior.

Obsérvese, en primer lugar, que como wPii =

PB2Bi

Pi (B) ; entonces los

últimos cálculos permiten a�rmar que

wPii =

XS2M=i

piS = �i; para todo i 2 N;

y por tanto se veri�ca (b), ya que � 2 Core (r).

Se prueba ahora (a). Sea, para cada i 2 N y cada B 2 Bi; el valor

Bi : �

�2B��! R

N ;

de�nido para todo ev 2 ��2B�por

Bi (ev) = X

fS�B:i=2Sg

piS;B [ev (S [ i)� ev (S)] ;donde los coe�cientes piS;B; cuando Pi (B) 6= 0; son

piS;B =piS

bS[iPi (B):


Si Pi (B) fuera cero, se llamará Bi a cualquier valor probabilístico sobre

��2B�.

Es fácil comprobar que el valor Bi construido, cuando Pi (B) 6= 0, es

probabilístico, ya que

XfS�B:i=2Sg

piS;B =X

fS�B:i=2Sg

piSbS[iPi (B)

=1

Pi (B)

XfS�B:i=2Sg

piSbS[i

= 1:

Para comprobar que i se puede expresar como en el enunciado, se razona

como sigue. Para todo v 2 � (M),

i (v) =X

S2M=i

piS [v (S [ i)� v (S)]

=X

S2M=i

XB2BS[i

piSbS[i

[v (S [ i)� v (S)]

=XB2Bi

XfS�B:i=2Sg

piSbS[i

[v (S [ i)� v (S)]

=XB2Bi

Pi (B)X

fS�B:i=2Sg

piS;B [v (S [ i)� v (S)]

=XB2Bi

Pi (B)Bi (vB) :

Nótese que, en la tercera igualdad, se utiliza el lema anterior y, en la cuarta,

se tiene en cuenta la de�nición de los coe�cientes piS;B. Además, obsérvese que

en caso de que Pi (B) = 0; para algún B 2 Bi; entonces por de�nición de Pise tiene que piS = 0 para toda S � B tal que i =2 S: En este caso, el sumando

correspondiente a dicho B es cero en la tercera igualdad, y puede tomarse

como piS;B cualquier distribución de probabilidad sobre fS � B : i =2 Sg para

que la siguiente igualdad sea cierta.

Para probar la implicación recíproca, suponiendo que se veri�ca (2) se

construye el valor de grupo = (i)i2N : Se probará que veri�ca la

propiedad del rango.

Puesto que para cada i 2 N y cada B 2 Bi; Bi es un valor probabilístico


sobre ��2B�; se tiene, para todo ev 2 �

�2B�; que

Bi (ev) = X

fS�B:i=2Sg

piB;S [ev(S [ i)� ev(S)] ;con piB;S � 0 y

PfS�B:i=2Sg p

iB;S = 1:

Luego,

i (v) =XB2Bi

Pi (B)Bi (vB)

=XB2Bi

Pi (B)X

fS�B:i=2Sg

piB;S [v(S [ i)� v(S)]

=X

S2M=i

XB2BS[i

Pi (B) piB;S

![v(S [ i)� v(S)] ;

donde la tercera igualdad sigue del lema anterior. Si se denota, para cada

i 2 N; S 2 M=i, por qiS el número real no negativo

qiS =X

B2BS[i

Pi (B) piB;S;

se tendrá queXS2M=i

XB2BS[i

Pi (B) piB;S =

XB2Bi

Pi (B)X

fS�B:i=2Sg

piB;S =XB2Bi

Pi (B) = wPii :

Por tanto se ha probado que el valor de�nido anteriormente veri�ca la

propiedad del rango para � =�wPii

�i2N

; teniendo en cuenta (b). 2

Una consecuencia inmediata del teorema anterior es la siguiente. Si, para

todo i 2 N; se construyen valores individuales i sobre � (M), tales que

i (v) =X

B2Bi(M)

P (B)Bi (vB) ; para todo v 2 � (M) ;

siendo Bi un valor probabilístico sobre �

�2B�, para cada B 2 Bi; y P una

distribución de probabilidad sobre B; entonces, el valor de grupo = (i)i2N


veri�ca la propiedad del rango. (Nótese que al tomar la misma distribución

de probabilidad para todos los jugadores se veri�ca trivialmente que el vector�wPii

�i2N

=�wPi

�i2N

está en Core(r))

El razonamiento anterior da pie a introducir un nuevo tipo de valor.

De�nición 4.11 Un valor de grupo = (i)i2N sobre � (M) ; se denomina

valor básico estático si todas sus componentes se puedan expresar en la forma

i (v) =X

B2Bi(M)

P (B)Bi (vB) ; para todo v 2 � (M) ;

siendo Bi un valor probabilístico para el jugador i sobre �

�2B�, para cada

B 2 Bi; y P 2 P (M) una distribución de probabilidad sobre el conjunto

de áreas de cooperación del matroide M. Un valor en estas condiciones se

denota por�;P;

�B�

.

Cuando los valores de grupo B =�Bi

�i2B

sobre ��2B�de la de�nición

anterior se extiende tomando Bi = 0 si i =2 B; entonces los valores básicos

se pueden escribir de una forma sencilla:

=XB2B

P (B)B. (4.1)

De la de�nición anterior y el Teorema 4.10 se obtiene inmediatamente el

siguiente resultado.

Corolario 4.12 Sea M un matroide. Si un valor de grupo sobre � (M)

es básico estático, entonces satisface la propiedad del rango.

En el siguiente ejemplo se muestra que hay valores de grupo que veri�can

la propiedad del rango y que no son valores básicos.


Ejemplo 4.13 Considérese el matroide de oposición M3 (1 k 3) : Se puede

comprobar que

Core(r) = conv f(1; 1; 0) ; (0; 1; 1)g :

Se de�ne el valor de grupo = (1;2;3) ; para cada v 2 � (M) ; como

1 (v) =1

2[v(f1; 2g)� v(f2g)] ;

2 (v) = v(f1; 2g)� v(f1g);

3 (v) =1

2[v(f2; 3g)� v(f2g)]

:

Así, veri�ca la propiedad del rango para el vector de in�uencias equitativo

� = (1=2; 1; 1=2) :

Se verá que no es un valor básico. Si lo fuera, entonces sus componentes

se tendrían que poder expresar en la forma:

1 (v) = P (f1; 2g)�a12 [v (f1; 2g)� v (f2g)] + a1;v (f1g)

�2 (v) = P (f1; 2g)

�a21 [v (f1; 2g)� v (f1g)] + a2;v (f2g)

�+P (f2; 3g)

�b23 [v (f2; 3g)� v (f3g)] + b2;v (f2g)

�3 (v) = P (f2; 3g)

�b32 [v (f2; 3g)� v (f2g)] + b3;v (f3g)

�donde P 2 P (M), y los coe�cientes veri�can las siguientes relaciones

a12 + a1; = 1;

a21 + a2; = 1;

b23 + b2; = 1;

b32 + b3; = 1;

siendo todos no negativos.

Para que ambas expresiones de sean válidas para todo juego v, es nece-

sario que P (f1; 2g) = P (f2; 3g) = 1=2, a12 = b32 = 1, a1; = b3; = 0, lo


que se deduce de las componentes primera y tercera. Por ello, la segunda

componente se debe escribir

2 (v) =1

2

�a21 [v (f1; 2g)� v (f1g)] + a2;v (f2g)

�+1

2

�b23 [v (f2; 3g)� v (f3g)] + b2;v (f2g)

�;

y, entonces, es necesario que (1=2) a21 = 1, lo cual es imposible.

La principal propiedad exigible a un valor de grupo es la e�ciencia. En el

caso clásico, cuando el matroide es el matroide libre 2N ; dicha propiedad es-

tablece que un valor de grupo repartirá el bene�cio v(N) de la única coalición

básica existente. Pero, esta idea necesita ser modi�cada cuando se piensa en

un juego cooperativo sobre un matroide cualquiera, ya que en este caso no

se conoce a priori qué coalición básica se formará. Aquí se seguirá la idea de

e�ciencia introducida por Nowak y Radzik [43], y Bergantiños y Sánchez [6]

en sus trabajos sobre juegos en forma generalizada.

A continuación se introduce el concepto de e�ciencia para valores de grupo

: � (M) �! RN , = (i)i2N , en el caso del modelo estático de juegos.

Axioma de e�ciencia estático. Existe una distribución de probabilidad

P 2 P (M) tal que, para todo juego v 2 � (M) ; se veri�caXi2N

i (v) =XB2B

P (B) v (B) :

Proposición 4.14 Sea un valor de grupo sobre � (M) que satisface el

axioma de e�ciencia estático para la distribución de probabilidad P 2 P (M).

Entonces, se veri�ca:

(1) La distribución P que lo hace e�ciente es única.

(2) Si veri�ca la propiedad del rango para � 2 Core (r), entonces se

tiene que wP = �.


Demostración: (1) Supóngase que es e�ciente para P; P 0 2 P (M). Si

fuera P 6= P 0; entonces existe bB 2 B tal que P� bB� 6= P 0

� bB�. En ese caso,

para el juego de identidad �bB se tendríaX

B2B

P (B) �bB (B) =

XB2B

P 0 (B) �bB (B) ;

lo que implica P� bB� = P 0

� bB� ; en contradicción con lo supuesto.

(2) Si cumple la propiedad del rango para � = (�i)i2N , sus componentes

i veri�can

i(v) =X

S2M=i

piS [v(S [ i)� v(S)] ; para todo v 2 � (M) ,

siendo piS � 0 yP

S2M=i

piS = �i.

Considérese el juego de unanimidad �fjg para un jugador j �jo. Entonces,Xi2N

i(�fjg) =Xi2N

XS2M=i

piS��fjg(S [ i)� �fjg(S)

�=

XS2M=j

pjS = �j;

porque los jugadores distintos de j son nulos y el jugador j es dummy en el

juego �fjg; por el Lema 4.4. Por otro lado,XB2B

P (B) �fjg (B) =XB2Bj

P (B) = wPj :

Por tanto, al ser e�ciente, se tiene wPj = �j, para todo j 2 N: Lo que

signi�ca que wP = �. 2

A continuación, se probará que la propiedad de e�ciencia se transmite de

las áreas de cooperación a todo el matroide, cuando el valor es básico.

Proposición 4.15 Sea�;P;

�B�

un valor de grupo básico estático sobre

� (M), de�nido mediante valores B sobre ��2B�que veri�can el axioma de

e�ciencia (no necesariamente con componentes probabilísticas). Entonces,

veri�ca el axioma de e�ciencia estático con la probabilidad P .


Demostración: Teniendo en cuenta que cada B es e�ciente, se tieneXi2B

Bi (vB) = v (B) ; para todo v 2 � (M) :

Entonces, usando la expresión de como valor básico estático y sumando

en i 2 N; se obtiene fácilmente el resultado:Xi2N

i (v) =Xi2N

XB2Bi

P (B)Bi (vB)

=XB2B

P (B)Xi2B

Bi (vB) =

XB2B

P (B) v (B) :

2

El siguiente resultado da una condición necesaria y su�ciente para que

un valor de grupo, cuyas componentes veri�can los axiomas de linealidad y

jugador nulo, sea e�ciente estático.

Teorema 4.16 Sea M un matroide con operador clausura �. Sea un valor

de grupo = (i)i2N sobre � (M) ; de componentes tales que

i(v) =X

S2M=i

piS [v(S [ i)� v(S)] ; para todo v 2 � (M) :

Entonces, veri�ca el axioma de e�ciencia estático si, y sólo si, existe una

distribución de probabilidad P 2 P (M) para la cual los coe�cientes dados

piS; i 2 N; S 2 M=i, satisfacen las siguientes ecuaciones recurrentesXi2T

piTni =X

j =2�(T )

pjT ; 8T =2 B, T 2 M,

Xi2B

piBni = P (B) ; 8B 2 B.

Demostración: Si veri�ca el axioma de e�ciencia estático, entoncesXi2N

i(v) =Xi2N

XS2M=i

piS [v (S [ i)� v (S)] =XB2B

P (B) v (B) ;


para todo v 2 � (M).

Como todos los jugadores i 2 N participan en alguna coalición, de lo

anterior se obtiene

Xi2N

i(v) =XT2M

24Xi2T

piTni �X

j =2�(T )

pjT

35 v (T ) =XB2B

P (B) v (B) ; (4.2)

donde se ha considerado que dada una coalición T 2 M, un jugador j =2 T

es tal que T [ j 2 M si, y sólo si, j =2 � (T ).

Tomando el juego �B; con B 2 B, la fórmula anterior queda asíXi2B

piBni = P (B) ;

ya que a la coalición B no se puede unir ningún jugador por ser una coalición

básica. Repitiendo el razonamiento anterior con el juego de identidad �T ; con

T 2 M; T =2 B; se obtieneXi2T

piTni �X

j =2�(T )

pjT = 0:

La otra implicación es trivial utilizando la expresión (4.2): 2

Siguiendo la línea de Weber [59], a continuación se de�ne una nueva

familia de valores de grupo, fuertemente relacionada con el concepto de e�-

ciencia, cuyos valores se llamarán valores de orden aleatorio estáticos. Se

plantean valores que tomen un punto de vista común para todos los ju-

gadores atendiendo al orden de incorporación al matroide. Evidentemente,

al seguir tratando juegos estáticos, se considerarán sólo los ordenes posibles

de las coaliciones básicas; es decir, las cadenas maximales del matroide. En

primer lugar, se introducen las notaciones necesarias.

Sea M un matroide. Si B es una coalición básica de M, sea B (M)

el conjunto de cadenas maximales del área de cooperación 2B: Entonces,

el conjunto de cadenas maximales del matroide M es (M) =S

B2B B:


Nótese que cada jugador i 2 N interviene sólo en las cadenas del conjunto

dado por i (M) =S

B2BiB (M); además, para cada cadena maximal � 2

(M) ; existe una única coalición básica B� tal que � 2 B (M). Dada

� 2 i (M) ; se denotará por Si (�) la coalición factible de predecesores de i

en �. Así, se tiene que Si (�) 2 M=i.

Debido a la complejidad de las notaciones, éstas se simpli�carán en esta

sección suprimiendo M en las expresiones de las cadenas maximales.

De�nición 4.17 Se dice que un valor de grupo = (i)i2N sobre � (M) es

un valor de orden aleatorio estático si existe una distribución de probabilidad

q sobre el conjunto de cadenas del matroide, de forma que, para todo juego

v 2 � (M) ; se tiene

i (v) =X�2i

q (�) [v (Si (�) [ i)� v (Si (�))] ; para todo i 2 N:

Los siguientes resultados establecen la relación entre este concepto y los

valores de grupo e�cientes estáticos.

Teorema 4.18 Sea un valor de orden aleatorio estático sobre � (M). En-

tonces, es un valor básico estático de�nido mediante valores de grupo B

sobre ��2B�e�cientes para cada B coalición básica de M.

Demostración: Como es un valor de orden aleatorio estático, existe una

distribución de probabilidad q sobre el conjunto de cadenas del matroide,

tal que, para todo i 2 N , se tiene

i (v) =X�2i

q (�) [v (Si (�) [ i)� v (Si (�))] ; para todo v 2 � (M) :

Luego, el valor satisface

i (v) =XB2Bi

X�2B

q (�) [v (Si (�) [ i)� v (Si (�))]

=XB2Bi

XfS�B;i=2Sg

0@ Xf�2B :Si(�)=Sg

q (�)

1A [v (S [ i)� v (S)] ;


porque cada coalición contenida en Bni pertenece al matroide y es una coali-

ción que precede al jugador i para alguna cadena.

Se considera la distribución de probabilidad P 2 P (M) de�nida como

P (B) =X�2B

q (�) ; para toda B 2 B. (4.3)

Nótese que, XB2B

P (B) =XB2B

X�2B

q (�) =X�2

q (�) = 1;

porque cada cadena pertenece sólo a un conjunto B.

Para cada B 2 B, tal que P (B) 6= 0, se construye el valor de grupo

B =�Bi

�i2B

sobre ��2B�, de componentes

Bi (v) =

XfS�B:i=2Sg

piS;B [v (S [ i)� v (S)] ; para cada i 2 B;

tomando

piS;B =1

P (B)

Xf�2B :Si(�)=Sg

q (�) :

Los valores Bi así de�nidos son probabilísticos porque cada piS;B � 0 yX

fS�B:i=2Sg

piS;B =1

P (B)

XfS�B:i=2Sg

Xf�2B :Si(�)=Sg

q (�)

=1

P (B)

X�2B

q (�) = 1;

debido a que i 2 B.

Bastará probar que se satisfacen las igualdadesXi2B

piBni;B = 1 yXi2S

piSni;B =Xj2BnS

pjS;B; para toda S � B;

para, aplicando el Teorema 4.16 al matroide 2B, concluir que B es e�ciente.

En efecto,Xi2B

piBni;B =1

P (B)

Xi2B

Xf�2B :Si(�)=Bnig

q (�) =1

P (B)

X�2B

q (�) = 1:


Además, si S � B, se tieneXi2S

piSni;B =1

P (B)

Xi2S

Xf�2B :Si(�)=Snig

q (�)

=1

P (B)

Xj2BnS

Xf�2B :Sj(�)=Sg

q (�) =Xj2BnS

pjS;B;

ya que si i 2 S y � es una cadena de B tal que Si (�) = Sni; entonces dicha

cadena es la formada por los conjuntos

; � � � � � Sni � S � S [ j � � � � � B.

Si existe B 2 B con P (B) = 0; se tomará como valor de grupo B sobre

��2B�cualquier valor e�ciente cuyas componentes sean probabilísticas.

Por último, se verá que es un valor básico estático que se puede ex-

presar en la forma (4.1), con la distribución P y los valores B construidos

anteriormente.

i (v) =XB2Bi

XfS�B;i=2Sg

0@ Xf�2B:Si(�)=Sg

q (�)

1A [v (S [ i)� v (S)]

=XB2Bi

P (B)X

fS�B;i=2Sg

1

P (B)

0@ Xf�2B :Si(�)=Sg

q (�)

1A [v (S [ i)� v (S)]

=XB2Bi

P (B)Bi (v) :

Obsérvese que la conclusión anterior es válida incluso cuando P (B) = 0;

ya que en dicho caso se tendría que todos los coe�cientes q (�) ; con � 2 B,

son nulos. 2

Utilizando el Corolario 4.12 y la Proposición 4.15, se pueden extraer unas

consecuencias importantes del teorema anterior. Si es un valor de orden

aleatorio estático sobre � (M), entonces:

a) veri�ca la propiedad del rango,


b) veri�ca el axioma de e�ciencia estático.

Además, de la propia de�nición de valor que satisface la propiedad del

rango, se tiene

c) Todas las componentes de veri�can los axiomas de linealidad y de

jugador nulo.

Nótese que la expresión (4.3), obtenida en la prueba anterior, proporciona

el vector de in�uencias � = (�i)i2N respecto del cual veri�ca la propiedad

del rango

�i =X�2i

q (�) , para todo i 2 N:

Además, las componentes de se pueden escriben como valores �i-

ponderados, de la siguiente forma

i (v) =X�2i

q (�) [v (Si (�) [ i)� v (Si (�))]

=X

S2M=i

24 Xf�2i:Si(�)=Sg

q (�)

35 [v (S [ i)� v (S)] ;

y, por tanto, para cada S 2 M=i; se tomará

piS =X

f�2i:Si(�)=Sg

q (�) : (4.4)

Teorema 4.19 Sea = (i)i2N un valor de grupo sobre � (M) que satisface

el axioma de e�ciencia estático, y cuyas componentes i veri�can los axiomas

de linealidad y jugador nulo. Entonces, es un valor de orden aleatorio

estático.

Demostración: Si cada i veri�ca los axiomas de linealidad y jugador nulo,

el Teorema 4.5 asegura que

i (v) =X

S2M=i

piS [v (S [ i)� v (S)] ;


para cada i 2 N y v 2 � (M) : Por otro lado, como satisface el axioma de

e�ciencia estático, existe P 2 P (M) tal queXi2N

i (v) =XB2B

P (B) v (B) :

Considérese para S 2 M, el número

K (S) =Xj =2�(S)

pjS;

y, además, para cada i 2 N y S 2 M=i, tómese

K (i; S) =

(1

K(S)piS; si K (S) 6= 0

0; si K (S) = 0:

Se de�ne una distribución de probabilidad, q; sobre las cadenas maximales

del matroide M de forma que, para � = (i1; i2; : : : ; ir) 2 ; con r = r (M)

el rango del matroide, se tiene

q (�) = pi1; K (i2; fi1g) � � �K (ir; fi1; i2; : : : ; ir�1g) :

Evidentemente q (�) � 0 y tambiénX�2

q (�) =Xi12N

Xi2 =2�(fi1g)

� � �X

ir =2�(fi1;i2;:::;ir�1g)

q (i1; i2; : : : ; ir)

=Xi12N

pi1;

Xi2 =2�(fi1g)

K (i2; fi1g) � � �X

ir =2�(fi1;i2;:::;ir�1g)

K (ir; fi1; i2; : : : ; ir�1g)

donde la suma de la derecha, por de�nición de los coe�cientes K (i; S) ; es 1 y

lo mismo le ocurre a cada una de las sucesivas sumas de derecha a izquierda,

salvo la primera. Luego X�2

q (�) =Xi2N

pi;:

Para el juego unidad u 2 � (M), dado por u (S) = 1 si S 6= ;; se veri�ca

i (u) =X

S2M=i

piS [u (S [ i)� u (S)] = pi;;


y, por tanto, X�2

q (�) =Xi2N

i (u) :

Entonces, por el axioma de e�cienciaX�2

q (�) =XB2B

P (B)u (B) =XB2B

P (B) = 1:

Con ello queda comprobado que q es una distribución de probabilidad sobre

:

Se probará que la distribución q de�ne a como valor de orden aleatorio

estático. Para un jugador i 2 N y una coalición S 2 M=i, con cardinal

jSj = s, se tiene que la expresiónXf�2i:Si(�)=Sg

q (�) ;

se puede desarrollar de la siguiente forma

piSK (S)

Xis2S

pisSnisK (Snis)

Xis�12Snis

pisSnfis;is�1gK (Sn fis; is�1g)

� � �X

i12Snfi2;:::;isg

pi1;

Xis+2 =2�(SUi)

pis+2S[i

K (S [ i)� � �

Xir =2�(S[fi;is+2;:::;ir�1g)

pirS[fi;is+2;:::;ir�1gK (S [ fi; is+2; : : : ; ir�1g)

:

Pero, por el Teorema 4.16, al ser e�ciente, se tiene

K (S) =Xj =2�(S)

pjS =Xis2S

pisSnis;

y esto mismo ocurre con cada uno de los s + 1 primeros coe�cientes K del

sumatorio anterior. Se puede ir simpli�cando entonces cada denominador

con el numerador que viene a continuación. Los últimos r� s� 2 sumandos

(la parte de abajo de la expresión) son iguales a 1 por de�nición de los

coe�cientes K: Y así se obtieneXf�2i:Si(�)=Sg

q (�) = piS:


Con esto queda probado lo enunciado sin más que considerar la expresión

(4.4). 2

El siguiente teorema, consecuencia inmediata de los resultados anteriores,

proporciona una caracterización de los valores de orden aleatorio estáticos.

Teorema 4.20 Sea = (i)i2N un valor de grupo sobre � (M) : Entonces,

es un valor de orden aleatorio estático si, y sólo si, satisface el axioma de

e�ciencia estático, y sus componentes i veri�can los axiomas de linealidad

y jugador nulo.

En el próximo resultado se obtiene un método para construir valores de

orden aleatorio estáticos.

Teorema 4.21 Un valor de grupo sobre � (M) es de orden aleatorio es-

tático si, y sólo si, es un valor básico estático de�nido mediante valores

B sobre ��2B�de orden aleatorio.

Demostración: Sea un valor de orden aleatorio estático. Entonces, el

Teorema 4.18, permite asegurar que es un valor básico de�nido por valores

e�cientes B, para cada B 2 B, cuyas componentes son probabilísticas. De

este modo, el Teorema 13 de Weber [59] asegura que los B son valores de

orden aleatorio.

Se demostrará ahora la implicación recíproca. Dada P 2 P (M) ; supón-

gase que, para cada i 2 N y cada v 2 � (M),

i (v) =XB2Bi

P (B)X�2B

qB (�) [v (Si (�) [ i)� v (Si (�))] ;

conP

�2BqB (�) = 1; qB (�) � 0. Como los conjuntos de cadenas maximales

son disjuntos en las áreas de in�uencia, entonces

i (v) =X�2i

(P (B�) qB�(�)) [v (Si (�) [ i)� v (Si (�))] :

4.3 Valores de Grupo Dinámicos y Estáticos Relativos 119

Por tanto, considerando para cada � 2 ; el número real positivo

q (�) = P (B�) qB�(�) ;

como se veri�caX�2

q (�) =X�2

P (B�) qB�(�) =

XB2B

"P (B)

X�2B

qB (�)

#= 1;

queda probado que es un valor de orden aleatorio estático. 2

4.3 Valores de Grupo Dinámicos y Estáticos

Relativos

En el caso dinámico las estimaciones individuales realistas deberán suponer

que es un suceso seguro el hecho de pertenecer el jugador a una de las coali-

ciones que se formarán al �nal. Por tanto, interesan en esta sección valores

de grupo = (i)i2N sobre � (M) tales que cada componente i sea un

valor probabilístico. Se dirá en lo sucesivo que estos son los valores de grupo

que veri�can la propiedad de ponderación unitaria.

De�nición 4.22 Un valor de grupo = (i)i2N sobre � (M) se dice que

veri�ca la propiedad de ponderación unitaria, cuando cada una de sus com-

ponentes i sea un valor probabilístico sobre � (M).

En lo sucesivo, un valor que veri�que la de�nición anterior se dirá que

veri�ca la propiedad PU.

A continuación se verá cómo construir valores de grupo con la propiedad

PU, a partir de valores de grupo con la propiedad del rango.

Dado un vector x = (xi)i2N 2 RN y un valor de grupo = (i)i2Nsobre � (M), se de�ne el valor producto x : � (M) �! RN , como aquél de

componentes tales que

(x)i (v) = xii (v) ,


para cada i 2 N y v 2 � (M). Se entiende esta operación como un cambio de

escala individual. Además, si todas las componentes de un vector x = (xi)i2Nson no nulas, se denotará por 1=x al vector (1=xi)i2N .

Proposición 4.23 Sea M un matroide y r su juego rango. Para un valor

de grupo sobre � (M) se veri�can las siguientes propiedades:

(1) Si � 2 Core (r) y satisface la propiedad de ponderación unitaria,

entonces � cumple la propiedad del rango para el vector �.

(2) Si veri�ca la propiedad del rango para � = (�i)i2N ; siendo �i 6= 0

para todo i 2 N; entonces 1� cumple la propiedad de ponderación

unitaria.

Demostración: (1) Si veri�ca la propiedad PU y � = (�i)i2N ; cada

componente de � es tal que, para cada v 2 � (M), se tiene

(�)i (v) =X

S2M=i

�ipiS [v (S [ i)� v (S)] ;

con piS � 0 yP

S2M=i piS = 1. Tomando qiS = �ip

iS; se tiene que qiS � 0

yP

S2M=i qiS = �i: Luego para cada i 2 N , (�)i es �i�ponderado y, por

tanto, � veri�ca la propiedad del rango para �.

De forma similar se comprueba el apartado (2). 2

La proposición anterior junto con el Teorema 4.10 permite obtener una

expresión de los valores que veri�can la propiedad PU, sin más que utilizar

el siguiente razonamiento. Dado un valor con la propiedad PU, y tomando

cualquier vector � 2 Core (r) de componentes no nulas, al ser � un valor

con la propiedad del rango, se tendrá que � se puede expresar como indica

el Teorema 4.10. Haciendo 1�(�) se llega �nalmente a una expresión para

. Obsérvese que la exigencia de que todas las coordenadas sean no nulas

implica la necesidad de que los jugadores no se consideren autoexcluidos de

las coaliciones �nales.


Para de�nir el concepto de e�ciencia para juegos dinámicos sobre un

matroide M, se considerará el conjunto de secuencias básicas � (M) y el

de distribuciones de probabilidad sobre éstas, D (M). Dada una secuencia

básica � 2 � (M) ; � = (A1; : : : ; Ak), para cada juego v 2 � (M) se denotará

por v (�) el número dado por

v (�) = v (A1) + � � �+ v (Ak) :

Axioma de e�ciencia dinámico. Existe D 2 D (M) tal que, para todo

juego v 2 � (M), el valor de grupo = (i)i2N sobre � (M) veri�caXi2N

i (v) =X

�2�(M)

D (�) v (�) :

Se plantea ahora la cuestión de construir valores de grupo que veri�quen

el axioma de e�ciencia dinámico.

Teorema 4.24 Sea = (i)i2N un valor de grupo sobre � (M) cuyas com-

ponentes se expresan, para todo juego v 2 � (M) ; de la forma

i (v) =X

S2M=i

piS [v (S [ i)� v (S)] :

Entonces, veri�ca el axioma de e�ciencia dinámico si, y sólo si, existe

una distribución de probabilidad D sobre el conjunto D (M) de secuencias

básicas, tal que satisfaga las siguientes ecuaciones recurrentesXi2S

piSni �Xj =2�(S)

pjS =X

f�2�(M):�=(A1;:::;S;:::;Ak)g

D (�) ; 8S 2 MnB.

Xi2B

piBni = wD (B) ; 8B 2 B


Demostración: Para el valor de grupo dado, se veri�caXi2N

i (v) =Xi2N

XS2M=i

piS [v (S [ i)� v (S)]

=XS2M

24Xi2S


pjS

35 v (S) :Por tanto, veri�ca el axioma de e�ciencia dinámico si, y sólo si, existe

D 2 D (M) tal que

XS2M

24Xi2S


pjS

35 v (S) = X�2�(M)

D (�) v (�) ;

para todo v 2 � (M). Así, se puede asegurar que veri�ca el axioma de

e�ciencia dinámico si, y sólo si, existe D 2 D (M) tal que la igualdad anterior

se satisface para todo juego de identidad �S, con S 2 M.

Esto es, es condición necesaria y su�ciente que se veri�que:Xi2S


pjS =X

f�2�(M):�=(A1;:::;S;:::;AK)g

D (�) ;

para todo S 2 MnB; yXi2B

piBni =X

f�2�(M):�=(A1;:::;B;:::;AK)g

D (�) = wD (B) ;

para todo B 2 B. 2

En el siguiente ejemplo se construirá un valor de grupo = (i)i2N sobre

� (M) ; cuyas componentes se expresan en la forma

i (v) =1

wPi

XB2Bi(M)

P (B)Bi (vB); para todo v 2 � (M) ; (4.5)

donde P 2 P (M) es una distribución de probabilidad tal que el vector de

in�uencias wP tiene todas sus componentes no nulas, y siendo cada valor

B =�Bi

�i2B

un valor e�ciente sobre ��2B�: Se trata de observar que este

tipo de valores no cumplen, en general, el axioma de e�ciencia dinámico.


Ejemplo 4.25 Sea el matroide M3 (1k3) y sobre él considérese la distribu-

ción equitativa P (f1; 2g) = P (f2; 3g) = 1=2, cuyo vector de in�uencias

asociado es wP = (1=2; 1; 1=2) : Sean �f1;2g y �f2;3g los valores de Shapley

clásicos sobre cada área de cooperación del matroide dado; esto es,

�f1;2g1 (v) =

1

2v (f1g) +

1

2[v (f1; 2g)� v (f2g)] ;

�f1;2g2 (v) =

1

2v (f2g) +

1

2[v (f1; 2g)� v (f1g)] ;

�f2;3g2 (v) =

1

2v (f2g) +

1

2[v (f2; 3g)� v (f3g)] ;

�f2;3g3 (v) =

1

2v (f3g) +

1

2[v (f2; 3g)� v (f2g)] ;

y tómese �f1;2g3 = �

f2;3g1 = 0: Entonces, el valor de grupo 0; de�nido sobre

el conjunto de juegos del matroide de oposición, dado por

0 =1

2

��f1;2g + �f2;3g

�;

utilizando las extensiones de los valores de Shapley, veri�ca el axioma de e�-

ciencia estático (Proposición 4.15). Además satisface la propiedad del rango

(Teorema 4.10). Así, el valor = (1;2;3) tal que

1 =1

wP1

01 = 20

1; 2 =1

wP2

02 = 0

2; 3 =1

wP3

03 = 20

3;

es un valor de grupo que veri�ca la propiedad de ponderación unitaria por la

Proposición 4.23.

Se verá que dicho valor no veri�ca el axioma de e�ciencia dinámico. Sea

el juego de identidad �f2g; entonces

�f1;2g1

��f2g�= �

1

2;�

f1;2g2

��f2g�=

1

2;

�f2;3g3

��f2g�= �

1

2;�

f2;3g2

��f2g�=

1

2;

con lo que

01

��f2g�= 0

3

��f2g�= �

1

4;0

2

��f2g�=

1

2,


y así,

1

��f2g�= 3

��f2g�= �

1

2;2

��f2g�=

1

2,

lo que implica

1

��f2g�+2

��f2g�+3

��f2g�= �

1

2:

Por otro lado, como las secuencias básicas del matroide son �1 = (f1; 2g ; f3g)

y �2 = (f2; 3g ; f1g) ; para toda distribución de probabilidad D sobre � (M),

se tiene

D (�1) �f2g (�1) +D (�2) �f2g (�2) = 0;

pues

�f2g (�1) = �f2g (f1; 2g) + �f2g (f3g) = 0;

�f2g (�2) = �f2g (f2; 3g) + �f2g (f1g) = 0:

Luego no veri�ca el axioma de e�ciencia dinámico porque

1

��f2g�+2

��f2g�+3

��f2g�6= D (�1) �f2g (�1) +D (�2) �f2g (�2) :

Aunque los valores de grupo construidos mediante la expresión (4.5) no

interesan desde el punto de vista dinámico, sí tienen aplicación sobre juegos

estáticos. En realidad, la expresión (4.5) representa un cambio de escala de

un valor tal que, si los valores B tomados sobre las áreas de cooperación son

e�cientes y con componentes probabilísticas, es un valor de orden aleatorio

estático. Al ser el cambio de escala dividir entre la in�uencia, se entiende

como un valor aplicado a juegos estáticos donde los jugadores miden sus

posibilidades respecto de sus áreas de in�uencia y no respecto de todas las

áreas de cooperación.

De�nición 4.26 Un valor de grupo sobre � (M) de�nido por la expresión

(4.5), mediante una distribución de probabilidad P 2 P (M) tal que el vector

de in�uencias wP tiene todas sus componentes no nulas, y siendo cada valor

B sobre ��2B�con componentes probabilísticas, se denomina valor básico

relativo.


Evidentemente, un valor básico relativo veri�ca la propiedad PU. Además,

es fácil comprobar que si en la de�nición de un valor de grupo básico

relativo, se toma los valores B e�cientes, entonces se veri�ca el siguiente

axioma.

Axioma de e�ciencia relativo. Existe una distribución de probabilidad

P 2 P (M), con wPi 6= 0, tal que, para todo juego v 2 � (M), el valor

= (i)i2N sobre � (M) veri�caXi2N

wPi i (v) =

XB2B(M)

P (B) v (B) :

Proposición 4.27 Un valor de grupo = (i)i2N sobre � (M) básico rela-

tivo con componentes i e�cientes veri�ca el axioma de e�ciencia relativa.

Nótese que el axioma de e�ciencia relativa recuerda a la e�ciencia planteada

para los valores de pesos de�nidos inicialmente por Shapley [48] en juegos sim-

ples y planteados como sistemas ponderados por Kalai y Samet [29], Nowak

y Radzik [42] y [43] entre otros. En este caso, los pesos son los de in�uencias

de los distintos jugadores y el valor a repartir la media ponderada. También,

para un valor que veri�ca el axioma de e�ciencia relativa se consiguen ecua-

ciones similares a las obtenidas por Novak y Radzik en [42], como se muestra

en el siguiente resultado. Se omite la demostración al ser inmediata a partir

del Teorema 4.16.

Corolario 4.28 Sea M un matroide y � su operador clausura: Sea un valor

de grupo = (i)i2N sobre � (M) ; cuyas componentes se pueden expresar

en la forma

i (v) =X

S2M=i

piS [v (S [ i)� v (S)] ;

para v 2 � (M). Entonces, veri�ca el axioma de e�ciencia relativo si, y

sólo si, existe un vector � = (�i)i2N de Core (r), de componentes no nulas,


tal que se satisfacen las siguientes ecuaciones recurrentesXi2S

�ipiSni =

Xj =2�(S)

�jpjS; 8S =2 B, S 2 M,

Xi2B

�ipiBni = 1; 8B 2 B.

En la siguiente proposición se da otra formulación alternativa del axioma

de e�ciencia relativo.

Proposición 4.29 Sea = (i)i2N un valor de grupo sobre � (M) : En-

tonces, veri�ca el axioma de e�ciencia relativo si, y sólo si, existe una

distribución de probabilidad P 2 P (M) tal que, para todo v 2 � (M) ; se

tiene XB2B(M)

P (B)Xi2B

i (v) =X

B2B(M)

P (B) v (B) :

Demostración: Basta tener en cuenta que dado wP 2 Core (r), se veri�ca

Xi2N

wPi i (v) =

Xi2N

0@ XB2Bi(M)

P (B)

1Ai (v)

=X

B2B(M)

P (B)Xi2B

i (v) ;

dado que wPi =

PB2Bi(M) P (B), para todo i 2 N; por de�nición. 2

A continuación se introduce un tipo de valor de grupo que, en deter-

minadas condiciones, se verá que cumple la propiedad PU y el axioma de

e�ciencia dinámico. En la siguiente de�nición, para simpli�car notaciones,

el conjunto de menores de eliminación que no contengan sólo el vacío de un

matroide M se denotará por M E (M) :

De�nición 4.30 Se denomina valor básico dinámico, a todo valor de grupo

M

=�M

i

�i2N

sobre � (M) tal que, utilizando


(a) Una colección�M0

: M0de�nido sobre � (M0)

M02M E (M)

de valores

de grupo estáticos,

(b) Una colección fPM0 : PM0 2 P (M0)gM02M E (M) de distribuciones de pro-

babilidad,

el valor M

i (v), para cada i 2 N y cada v 2 � (M), se construye mediante

la fórmula recurrente

M

i (v) =

8><>:Mi (v), si i es istmo en M

Mi (v) +

XB2B(Mni)

PM(B)MnB

i (vMnB); en otro caso,

(4.6)

aplicada a cada M0

i (v), donde M0 2 M E (M) : En tales condiciones, se

utilizará la notación�M;�M0

, fPM0g�:

En el siguiente ejemplo se muestra cómo se aplica la de�nición de valor

básico dinámico sobre un matroide concreto, y se justi�ca dicha de�nición.

Ejemplo 4.31 Sea el matroide M sobre N = f1; 2; 3; 4; 5g de�nido por el

siguiente grá�co,


Se suponen dados valores de grupo M0sobre � (M0) y distribuciones de

probabilidad PM0 2 P (M0) para cada M0 menor de eliminación de M, con-

siderando, en este ejemplo, los mismos valores y probabilidades para todos los

menores de eliminación que tienen las mismas coaliciones. Se describirá el

cálculo de la componente correspondiente al jugador 1 del valor básico sobre

� (M), M

=�M

1 ; : : : ;M

5

�; de�nido por los anteriores valores y proba-

bilidades. Para un juego v 2 � (M), el cálculo de M

1 (v) se realiza mediante

la recurrencia a los matroides del siguiente esquema, usando en cada uno de

ellos el valor M0correspondiente.

Para los matroidesM0 de la última eliminación, descritos en la Figura 4.3, el

jugador 1 es istmo, y por tanto M0

1 (vM0) = M0

1 (vM0). Los valores para el

juego restringido sobre los matroides de la primera eliminación, Figura 4.4,

se calcularán a raíz de los anteriores. Por último, estos valores se utilizan

para hallar M

1 (v).


Así se obtiene que

1 (v) = M1 (vM)

+PM (f2; 3g)�M3

1 (vM3) + PM3

(f4; 5g)M1

1 (vM1)�

+PM (f2; 4g)�M4

1 (vM4) + PM4

(f3; 5g)M1

1 (vM1)�

+PM (f3; 4g)M2

1 (vM2)

+PM (f3; 5g)�M5

1 (vM5) + PM5

(f2; 4g)M1

1 (vM1)�

+PM (f4; 5g)�M6

1 (vM6) + PM6

(f2; 3g)M1

1 (vM1)�;

donde

M1 = Mnf2; 3g n f4; 5g =Mnf2; 4gn f3; 5g


= Mnf3; 5g n f2; 4g =Mnf4; 5g n f2; 3g ;

M2 = Mnf3; 4g ;M3 =Mnf2; 3g ;M4 =Mnf2; 4g ;

M5 = Mnf3; 5g ;M6 =Mnf4; 5g :

Se estudiará ahora el buen comportamiento de los valores de grupo básicos

dinámicos. Recuérdese que la función rango de un menor de eliminación de

M es la de M restringida al álgebra de Boole de�nida por los jugadores

que participan en dicho menor, como indica la Proposición 1.19. Por ello se

denotará siempre de la misma forma tanto la función rango de M como la

de cualquiera de sus menores de eliminación.

Teorema 4.32 Sea M un matroide y r su juego rango. Sea un valor básico

dinámico�M;�M0

; fPM0g�sobre � (M) : Si se veri�ca que, para cada

M0 2 M E (M), existe un vector �M02 Core (r;M0) tal que:

(1) El valor de grupo M0sobre � (M0) satisface la propiedad del rango

para �M0;

(2) La distribución de probabilidad PM0 cumple que wPM0 = �M0,

entonces, M

veri�ca la propiedad PU.

Demostración: Suponiendo que se veri�can las condiciones (1) y (2), se verá

que las componentes M

i de M

son valores probabilísticos sobre � (M) :

Para ello, debido a la construcción recurrente de los valores M

i ; se realizarán

las dos pruebas siguientes.

a) Cuando i es un jugador istmo de M, se veri�ca que M

i es un valor

probabilístico sobre � (M) : En efecto, en este caso se de�ne M

i = Mi :

Entonces, siendo �M =��Mi�i2N

, se veri�ca, por (1), que M

i es un valor

�Mi -ponderado. Pero además, el hecho de ser i istmo asegura que todo vector

de Core(r;M) tiene su componente i-ésima igual a uno.


b) Cuando i no es un jugador istmo en M ocurre que si los valores

MnB

i , para cada B 2 B (Mni) ; son probabilísticos sobre � (MnB), entonces

también lo es M

i :

En estas hipótesis, para cada v 2 � (M) ; se veri�ca

MnB

i

�vMnB

�=

XS2MnB=i

piS;B [v (S [ i)� v (S)] ;

con piS;B � 0 yP

S2MnB=i piS;B = 1: Además, como la componente M

i es

�Mi -ponderada por veri�carse (1), se tiene

Mi (v) =

XS2M=i

piS [v (S [ i)� v (S)] ;

con piS � 0 yP

S2M=i piS = �Mi : Luego,

i (v) = Mi (v) +

XB2B(Mni)

PM (B)MnB

i

�vMnB

�=

XS2M=i

piS [v (S [ i)� v (S)]

+X

B2B(Mni)

XS2MnB=i

PM (B) piS;B [v (S [ i)� v (S)]

=X

S2M=i

0@piS + XfB2B(Mni):S2MnB=ig

PM (B) piS;B

1A [v (S [ i)� v (S)] :

Ahora, de�niendo

qiS = piS +X

fB2Mni:S2MnB=ig

PM (B) piS;B;

para toda S 2 M=i, se terminará comprobando que dichos números no

negativos suman uno.

XS2M=i

qiS =X

S2M=i

0@piS + XfB2B(Mni):S2MnB=ig

PM (B) piS;B

1A


=X

S2M=i

piS +X

S2M=i

XfB2B(Mni):S2MnB=ig

PM (B) piS;B

= �Mi +X

B2B(Mni)

PM (B)

0@ XS2MnB=i

piS;B

1A= �Mi +

XB2B(Mni)

PM (B) = 1;

donde la última igualdad sigue de (2), ya que wPMi = �Mi y entoncesX

B2Mni

PM (B) = 1�X

B2M=i

PM (B) = 1� �Mi :

Finalmente observar que, debido a que todo el razonamiento anterior se

puede aplicar a cada menor de eliminaciónM0 2 M E (M) y que en el último

paso de la recurrencia sólo se da el caso a), se concluye que las componentes

M

i de M

son valores probabilísticos sobre � (M) : 2

Considérese, un valor básico dinámico�M;�M0

; fPM0g�, donde los

valores M' sobre � (M0) son básicos estáticos; expresados cada uno de la

forma (4.3) mediante valoresB =�Bi

�i2B

sobre ��2B�, para toda coalición

B 2 B (M0), y las mismas probabilidades PM0: Entonces, para un jugador i

istmo se obtiene, para todo v 2 � (M)

M

i (v) =X

B2B(M)

PM (B)Bi (vB) ;

y en otro caso,

M

i (v) =X

B2B(M=i)

PM (B [ i)B[ii (vB[i) +

XB2B(Mni)

PM (B)MnB

i

�vMnB

�:

La fórmula del cálculo de se interpreta en dos partes, la contracción y la

eliminación de cada jugador.

El siguiente resultado estudia la transmisión del axioma de e�ciencia para

los valores básicos en el sentido dinámico.


Teorema 4.33 Sea M un matroide. Sea�M;�M0

; fPM0g�

un valor

básico dinámico sobre � (M) veri�cando que, para cada M0 2 M E (M),

el valor M0sobre � (M0) satisface el axioma de e�ciencia estático para la

distribución de probabilidad PM0. Entonces, M

cumple el axioma de e�cien-

cia dinámico para la distribución D 2 D (M) de�nida, para cada secuencia

básica � 2 � (M), � = (A1; : : : ; Ak) ; por

D (�) = PM (A1)kY

m=2

PMnA1n:::nAm�1 (Am)

Demostración: Se demostrará por inducción en el número de jugadores del

matroide.

Si sólo hubiese un jugador en el matroide M, éste sería istmo y M

coincidiría con M. En este caso, el resultado es trivialmente cierto.

Supóngase que el teorema es cierto para matroides con menos de n ju-

gadores. Considérese ahora un matroide M con n jugadores. Usando (4.6),

y denotando por N� el subconjunto de jugadores de N que no son istmos en

M, se obtiene, para cada v 2 � (M),Xi2N

M

i (v) =Xi2N

Mi (v) +

Xi2N�

XB2B(Mni)

PM (B)MnB

i

�vMnB

�=

Xi2N

Mi (v) +

XB2B(M)

Xi2NnB

PM (B)MnB

i

�vMnB

�=

Xi2N

Mi (v) +

XB2B(M)

PM (B)X

i2NnB

MnB

i

�vMnB

�:

Ahora bien, como el valor M veri�ca el axioma de e�ciencia estático para

PM y, por hipótesis de inducción, los MnB

son e�cientes dinámicos para

DMnB, entonces Xi2N

M

i (v) =X

B2B(M)

PM (B) v (B)

+X

B2B(M)

PM (B)X

f�2�(M):�=(B;A2;:::;Ak)g

DMnB (A2; : : : ; Ak) [v (�)� v (B)]

=X

B2B(M)

PM (B) v (B) +X

f�2�(M):�=(A1;:::;Ak)g

D (�) [v (�)� v (A1)] ;


donde para la última igualdad se ha utilizado la expresión (3.4). Además,

por (3.5), se cumple

XB2B(M)

PM (B) v (B) =X

B2B(M)

0@ Xf�2�(M):�=(B;A2;:::;Ak)g

D (�)

1A v (B)

=X

f�2�(M):�=(A1;:::;Ak)g

D (�) v (A1) ;

ya que la suma en B (M) de todas las secuencias que parten de cada coalición

básica es el conjunto de todas las secuencias básicas. Por tanto,Xi2N

i (v;M) =X

f�2�(M):�=(A1;:::;Ak)g

D (�) v (A1)

+X

f�2�(M):�=(A1;:::;Ak)g

D (�) [v (�)� v (A1)]

=X

f�2�(M):�=(A1;:::;Ak)g

D (�) v (�) :

Así se ha probado que es e�ciente dinámico para la probabilidad D. 2

Se pueden de�nir valores de orden aleatorio también en el contexto de

juegos dinámicos.

Sea � = (A1; : : : ; Ak) una secuencia básica del matroide M. Se de-

nomina enlace de cadenas asociado a la secuencia básica �; a toda sucesión

" = (�1; : : : ; �k) tal que �m, m = 1; : : : ; k, es una cadena maximal de Am.

La familia de todos los enlaces de cadenas de un matroide se denotará por

E (M) : Se debe observar que, para cada " = (�1; : : : ; �k) 2 E (M) en-

lace de cadenas, existe entonces una única secuencia básica � = (A1; : : : ; Ak)

veri�cando que �1 2 A1(M) y

�m 2 Am (MnA1n:::nAm�1) para m = 2; : : : ; k :

Dicha secuencia básica � se llamará secuencia asociada a ".

Puesto que las secuencias básicas de un matroide, en general, no tienen

todas la misma longitud, entonces los enlaces de cadenas tampoco están

compuestos del mismo número de cadenas.


Ejemplo 4.34 Dado el matroide M de la Figura 3.3 del Ejemplo 3.2, cuyas

secuencias básicas están construidas en el Ejemplo 3.7, los enlaces de cadena

asociados a las secuencias �1 y �2 son los siguientes.

Para �1 = (f1; 2; 3g ; f4; 5g) ;

"11 = (1; 2; 3; 4; 5) ; "12 = (1; 3; 2; 4; 5) ; "13 = (2; 1; 3; 4; 5) ;

"14 = (2; 3; 1; 4; 5) ; "15 = (3; 1; 2; 4; 5) ; "16 = (3; 2; 1; 4; 5) ;

"17 = (1; 2; 3; 5; 4) ; "18 = (1; 3; 2; 5; 4) ; "19 = (2; 1; 3; 5; 4) ;

"110 = (2; 3; 1; 5; 4) ; "111 = (3; 1; 2; 5; 4) ; "112 = (3; 2; 1; 5; 4) :

Para �2 = (f1; 2; 4g ; f3g ; f5g),

"21 = (1; 2; 4; 3; 5) ; "22 = (1; 4; 2; 3; 5) ; "23 = (2; 1; 4; 3; 5) ;

"24 = (2; 4; 1; 3; 5) ; "25 = (4; 1; 2; 3; 5) ; "26 = (4; 2; 1; 3; 5) :

Con esto se pone de mani�esto que son necesarias 2 cadenas para formar los

enlaces asociados a �1; mientras que para los de �2 se utilizan 3.

Sea i 2 N y " 2 E (M) ; se escribirá como �i h"i la única cadena de "

donde interviene i. La coalición Si (") 2 M es la formada por los predecesores

de i en la cadena �i h"i.

De�nición 4.35 Un valor de grupo = (i)i2N sobre � (M) se dice que es

un valor de orden aleatorio dinámico, si existe una distribución de probabili-

dad Q sobre E (M) de forma que, para todo i 2 N y para todo v 2 � (M) ;

i (v) =X

"2E(M)

Q (") [v (Si (") [ i)� v (Si ("))] :

Teorema 4.36 Sea M

un valor de orden aleatorio dinámico sobre � (M).

Entonces M

es un valor básico dinámico,�M;�M0

; fPM0g�, veri�-

cando que, para cada M0 2 M E (M) :


(1) El valor M0es de orden aleatorio estático.

(2) El valor M0satisface el axioma de e�ciencia estático para la distribu-

ción de probabilidad PM0.

Demostración: Sea M

=�M

i

�i2N

un valor de orden aleatorio dinámico

sobre � (M).

Se trata de encontrar, para cada M0 2 M B (M) de M, una distribución

de probabilidad PM0 2 P (M0) y un valor M0=�M0

i

�i2M0 sobre � (M0)

que veri�que (1) y (2), para los cuales M

se puede construir utilizando (4.6).

Al ser M

un valor de orden aleatorio en el sentido dinámico, existe una

distribución de probabilidad Q sobre E (M) tal que, para todo i 2 N y

v 2 � (M) ;

M

i (v) =X

"2E(M)

Q (") [v (Si (") [ i)� v (Si ("))] : (4.7)

Se de�ne el valor de grupo M =�Mi

�i2N

; para cada v 2 � (M) ; como

Mi (v) =

X�2i(M)

qM (�) [v (Si (�) [ i)� v (Si (�))]

donde qM (�) son los números no negativos,

qM (�) =X

f"2E(M):�1=�g

Q (") .

Mediante la siguiente comprobación se demuestra que qM es una distribu-

ción de probabilidad sobre (M):X�2(M)

qM (�) =X

�2(M)

Xf"2E(M):�1=�g

Q (") =X

"2E(M)

Q (") = 1:

Por tanto, M es un valor de orden aleatorio estático.

Por otro lado, sea la función no negativa PM sobre B (M) de�nida, para

cada B 2 B (M) ; en la forma

PM (B) =X

f"2E(M):�12B(M)g

Q (") :


Se satisface queXB2B(M)

PM (B) =X

B2B(M)

Xf"2E(M):�12B(M)g

Q (") =X

"2E(M)

Q (") = 1;

por lo cual PM 2 P (M).

Como M es un valor de orden aleatorio estático, el Teorema 4.18 asegura

que veri�ca el axioma de e�ciencia estático. Por la expresión (4.3) obtenida

en ese mismo teorema y la Proposición 4.16, se garantiza que M es e�ciente

para la probabilidad PM; observando que, para B 2 B (M), la de�nición de

qM implica

PM (B) =X�2B

qM (�) :

Considérense ahora dos casos.

(a) Sea j istmo en M. En este caso, para todo " 2 E (M) ; la cadena

de participación del jugador j en " es siempre �1, �j h"i = �1. Además, como

cualquier cadena � de (M) contiene a j; dicha cadena � puede ser utilizada

como primer elemento de un enlace de cadenas. Se sigue de (4.7) que

M

j (v) =X

�2(M)

0@ Xf"2E(M):�1=�g

Q (")

1A [v (Sj (�) [ j)� v (Sj (�))]

= Mj (v) :

(b) Sea j no istmo en M. Al separar E (M) en dos subconjuntos

disjuntos, los enlaces donde j participa en la primera cadena y aquéllos donde

no ocurre esto, se obtiene de (4.7) que

M

j (v) =X

�2j(M)

0@ Xf"2E(M):�1=�g

Q (")

1A [v (Sj (�) [ j)�v (Sj (�))]

+X

f"2E(M):�1 =2j(M)g

Q (") [v (Sj (") [ j)� v (Sj ("))]

= Mj (v)

+X

B2B(Mnj)

Xf"2E(M):�12B(M)g

Q (") [v (Sj (") [ j)� v (Sj ("))] :


Para todo B 2 B (Mnj) con PM (B) 6= 0 se denota, para cada "0 2

E (MnB) ;

QMnB ("0) =X

f"2E(M):"=(�1;"0);�12B(M)g

Q (")

PM (B)

donde si "0 = (�2; :::; �k) entonces " = (�1; "0) = (�1; �2; :::; �k). La aplicación

QMnB es una distribución de probabilidad sobre E (MnB) puesto queX"02E(MnB)

QMnB ("0) =X

"02E(MnB)

Xf"2E(M):"=(�1;"0);�12B(M)g

Q (")

PM (B);

=1

PM (B)

Xf"2E(M):�12B(M)g

Q (") = 1;

sin más que observar la de�nición de PM (B). En caso de que PM (B) = 0

se entenderá que QMnB representa una distribución de probabilidad sobre

E (MnB) cualquiera.

Sin más que multiplicar y dividir por PM (B) ; cuando sea posible; la

expresión (4.8) se escribe así

M

j (v) = Mj (v)

+X

B2B(Mnj)

PM (B)X

"02E(MnB)

QMnB ("0) [v (Sj ("0) [ j)� v (Sj ("

0))] ;

donde se ha usado que todo " 2 E (M) se puede pensar como " = (�1; "0)

con "0 2 E (MnB) ; y que, al tenerse j 2 MnB, se veri�ca la igualdad

Sj (") = Sj ("0) :

Dado B 2 B (M) se construye el valor de orden aleatorio dinámico

MnB

=�MnB

i

�i2MnB

sobre cada ev 2 � (MnB) como

MnB

i (ev) = X"02E(MnB)

QMnB ("0) [ev (Si ("0) [ i)� ev (Si ("0))] :Al valor

MnB, por ser de orden aleatorio, se le puede aplicar el método usado

en esta prueba, obteniéndose un valor MnB y una probabilidad PMnB; para


el menor MnB; con las condiciones requeridas. Así, con este método, se

pueden construir los valores M0y las probabilidades PM0 veri�cando las

propiedades (1) y (2), para todo M0 menor de eliminación de M.

Finalmente, por construcción, el valor M

es un valor básico dinámico

correspondiente a la colección de valores�M0

y las probabilidades fPM0g.

2

El siguiente resultado prueba que el recíproco del anterior teorema tam-

bién es cierto.

Teorema 4.37 Sea�M;�M0

; fPM0g�un valor de grupo básico dinámico

sobre � (M), veri�cando que, para cada M0 2 M E (M):

(1) El valor M0es de orden aleatorio estático.

(2) El valor M0satisface el axioma de e�ciencia estático para la distribu-

ción de probabilidad PM0.

Entonces, M

es un valor de orden aleatorio dinámico sobre � (M).

Demostración: Hay que construir, para cada " 2 E (M) ; un número no

negativo Q (") tal que, para todo v 2 � (M)y para i 2 N; se veri�que

i (v) =X

"2E(M)

Q (") [v (Si (") [ i)� v (Si ("))] ;

yP

"2E(M)Q (") = 1:

Se denota por qM0la distribución de probabilidad sobre (M0) que

de�ne a M0como valor de orden aleatorio en el sentido estático, para

M0 2 M B (M) de M. Sea " = (�1; : : : ; �k) un elemento de E (M), se

de�ne

Q (") = qM (�1)kY

m=2

qMnB�1n��nB�m�1 (�m) � 0;


que satisfaceX"2E(M)

Q (") =X

f"2E(M):"=(�1;:::;�k)g

qM (�1)kY

m=2

qMnB�1n��nB�m�1 (�m)

=X

�12(M)

qM (�1)X

�22(MnB�1)

qMnB�1 (�2) � � �

� � �X

�k2(MnB�1n��nB�k�1)

qMnB�1n��nB�k�1 (�k)

= 1; (4.8)

puesto que para una elección de �1; :::; �k�1 el último sumando es 1; ya que

qMnB�1n��nB�k�1 es una probabilidad sobre

�MnB�1n � � � nB�k�1

�. Además,

observando que el último sumando es 1, se comprueba que el anterior también

vale 1, y así sucesivamente se llega a que la suma total es 1. Luego Q es un

distribución de probabilidad sobre E (M).

Para probar que es un de orden aleatorio se utilizará el mismo razo-

namiento seguido en el Teorema 4.32, comenzando por el segundo caso.

Sea i no istmo en M. Se supone que, para todo B 2 B (Mni) ; el valor

MnB

i (ev) se puede escribir como

MnB

i (ev) = X"02E(MnB)

QMnB ("0) [ev (Si ("0) [ i)� ev (Si ("0))] ;con QMnB ("0) = qMnB (�2)

kQm=3

qMnBnB�2n��nB�m�1 (�m) si "0 = (�2; :::; �k) ; yev 2 � (MnB) :

Entonces ocurre que, para todo v 2 � (M) ;

X"2E(M)

Q (") [v (Si (") [ i)� v (Si ("))]

=X

f"2E(M):�12i(M)g

Q (") [v (Si (") [ i)� v (Si ("))]

+X

f"2E(M):�1 =2i(M)g

Q (") [v (Si (") [ i)� v (Si ("))]


= (a1) + (a2) :

En el sumando (a1) se veri�ca que Si (") = Si (�1) y por tanto

(a1) =X

�2i(M)

0@ Xf"2E(M):�1=�g

Q (")

1A [v (Si (�) [ i)� v (Si (�))]

=X

�2i(M)

qM (�) [v (Si (�) [ i)� v (Si (�))]

= Mi (v) ;

donde la igualdadP

f"2E(M):�1=�gQ (") = qM (�) se obtiene realizando la

operación (4.8) para �1 �jo:

El segundo sumando, (a2) ; puede escribirse como

(a2) =X

B2B(Mni)

Xf"2E(M):�12B(M)g

Q (") [v (Si (") [ i)� v (Si ("))] :

Usando que cualquier enlace " = (�1; �2; :::; �k) 2 E (M) con �1 2 B (M) ;

para un B 2 B (Mni), puede describirse como " = (�1; "0) donde "0 =

(�2; :::; �k) 2 E (MnB) ; se sigue que

(a2) =X

B2B(Mni)

X�12B(M)

Xf"=(�1;"0):"02E(MnB)g

Q (") [v (Si (") [ i)� v (Si ("))] :

Sean B 2 B (Mni) y �1 2 B (M). Dado " = (�1; "0) ; como i =2 B; entonces

Si (") = Si ("0) y por de�nición, al ser B�1 = B; se tiene que

Q (") = qM (�1)QMnB ("0) .

Se obtiene entonces que

(a2) =X

B2B(Mni)

0@ X�12B(M)

qM (�1)

1AMnB

i

�vMnB

�:

Al veri�carse (2), la expresión (4.3) del Teorema 4.18 asegura queX�12B(M)

qM (�1) = PM (B) :


Sumando (a1) y (a2) y teniendo en cuenta la expresión (4.6)X"2E(M)

Q (") [v (Si (") [ i)� v (Si ("))]

= Mi (v) +

XB2B(Mni)

PM (B)MnB

i

�vMnB

�= i (v) :

Se �nalizará la demostración suponiendo que el jugador i es istmo en M

y probando que M

i (v) se escribe en la forma deseada. En este caso,

M

i (v) = Mi (v) ; para v 2 � (M) :

Se llegará a la expresión

M

i (v) =X

"2E(M)

QM (") [v (Si (") [ i)� v (Si ("))] ;

con QM (") = qM (�1)kQ

m=2

qMnB�1n��nB�m�1 (�m) si " = (�1; :::; �k), partiendo

del segundo término y operando al igual que en (a1), teniendo en cuenta

que, en este caso, para todos los enlaces el jugador i participa en la primera

cadena. 2

A raíz de los resultados ya obtenidos se pueden enunciar las siguientes

conclusiones.

Corolario 4.38 Sea M

un valor de grupo sobre � (M) : Son equivalentes

las siguientes condiciones:

(1) El valor M

es básico dinámico,�M;�M0

; fPM0g�; satisfaciendo

que, para cadaM0 2 M B (M) deM, el valor M0veri�ca el axioma de

e�ciencia estático para PM0; y sus componentes satisfacen los axiomas

de linealidad y jugador nulo.


(2) El valor M

es de orden aleatorio dinámico.

Demostración: La prueba es inmediata sin más que combinar los Teoremas

4.20, 4.36 y 4.37. 2

Nota 4.39 Si se tiene un juego dinámico con un número �jo de pasos de

eliminación, entonces no necesariamente participan todos los jugadores. En

este caso, el método que se ha estudiado en este capítulo se puede modi�car en

el siguiente sentido. Se construyen, para k pasos, valores mediante fórmulas

similares a las expresiones (4.6), pero �nalizando la recurrencia cuando se

han hecho k eliminaciones o bien anteriormente el jugador es istmo en el

matroide correspondiente. El estudio se debería hacer en ese caso teniendo en

cuenta las distribuciones de probabilidad sobre el conjunto de semisecuencias

de longitud k.

Capítulo 5

Valores de Shapley para

Matroides

En este capítulo se proponen unos axiomas para introducir el valor de Sha-

pley en juegos de�nidos sobre un matroide. Se tratan las dos versiones del

modelo secuencial de cooperación: el modelo estático y el modelo dinámico.

En ambas, el desarrollo es similar. Por un lado, se tiene en cuenta que el

valor de Shapley sobre juegos cooperativos clásicos es el único valor de grupo

que satisface los axiomas de linealidad, dummy, simetría y e�ciencia. Por

otra parte, se recoge la idea introducida por Faigle y Kern [22] de sustituir

el axioma de simetría por otro que ellos, en su trabajo, denominan axioma

de poder jerárquico, en el que se establece la relación que debe existir en-

tre los valores individuales de los jugadores que intervienen en un juego de

unanimidad.

5.1 Valores Estáticos de Shapley

Se consideran en esta sección juegos sobre un matroideM que se desarrollan

según el modelo secuencial estático. Se extiende a este caso la noción de

145

146 Capítulo 5. Valores de Shapley para Matroides

poder jerárquico de un jugador en una coalición, introducida por Faigle y

Kern al tratar estructuras de precedencia. Esto se hace, en primer lugar,

partiendo de dos premisas:

1. Las coaliciones básicas del matroide M se forman siguiendo procesos

secuenciales de incorporación de jugadores. Comenzando con las coaliciones

individuales, los jugadores se van incorporando, uno a uno, hasta formar una

coalición básica. Además, en cada paso, las coaliciones que se formen son

coaliciones factibles en el matroide.

2. Todas las coaliciones básicas del matroide tienen la misma probabilidad

de formación.

Sea M un matroide. Entonces, dada una coalición S 2 M; se de�ne el

poder jerárquico estático heS (i) de un jugador i 2 N en la coalición S como

heS (i) =c (M; S; i)

c (M);

siendo c (M; S; i) el número de cadenas maximales del matroideM que con-

tienen a S; tales que el jugador i es el último en incorporarse a S; y c (M) el

número total de cadenas maximales deM. En particular, se tiene heS (i) = 0

cuando i =2 S:

Proposición 5.1 Sean M un matroide y S 2 M. Entonces, el poder

jerárquico estático de un jugador i 2 S en la coalición S es

heS (i) =we (S)

jSj;

siendo we (S) la in�uencia de la coalición S para la distribución de probabi-

lidad equitativa P e 2 P (M).

Demostración: Sea r el rango del matroideM. Para cada coalición básica

B deM, el número de cadenas maximales del intervalo [;; B] = 2B es r!. Por

tanto, el número c (M) de cadenas maximales del matroide es c (M) = b ( r!) :

5.1 Valores Estáticos de Shapley 147

Análogamente, el número de cadenas maximales que contienen a S es bS (r!) :

Así,

c (M; S; i) =bS (r!)

jSj;

puesto que todos los jugadores de S tienen las mismas posibilidades de in-

corporarse en último lugar a S en dichas cadenas. Por ello,

heS (i) =c (M; S; i)

c (M)=

bSb jSj

=we (S)

jSj;

ya que we (S) = bS=b, como se vió en la sección 3.2. 2

En la proposición anterior, se llega a la conclusión de que el poder jerárqui-

co de un jugador en una coalición es la parte proporcional de la in�uencia

equitativa de la coalición en el matroide. Por ello, como en un matroide no

hay que presuponer que todas las coaliciones básicas tienen la misma proba-

bilidad de formarse, es posible considerar de forma más general el concepto

de poder jerárquico.

De�nición 5.2 Sea P 2 P (M) una distribución de probabilidad sobre el

conjunto de coaliciones básicas del matroide M. El poder jerárquico estático

hPS (i) de un jugador i 2 S en una coalición S 2 M, respecto de la distribu-

ción de probabilidad P , es el número dado por

hPS (i) =wP (S)

jSj:

Además, para un jugador j 2 N n S; hPS (j) = 0:

Según la de�nición anterior, dada una coalición S 2 M, el poder jerárquico

estático cumple las siguientes propiedades:

� El poder jerárquico hPS (i) = 0 para todo i 2 N que sea jugador nulo

en el juego de unanimidad �S, ya que, según el Lema 4.4, los jugadores

nulos de este juego son los que no pertenecen a la coalición S.


� La suma de los poderes jerárquicos de todos los jugadores esXi2N

hPS (i) =Xi2S

wP (S)

jSj= wP (S) =

XB2B

P (B) �S (B) :

� Todos los miembros de la coalición S tienen el mismo poder jerárquico

en S; siendo éste la parte proporcional de la in�uencia de dicha coali-

ción.

Entonces, es lógico introducir los siguientes axiomas para extender el con-

cepto de valor de Shapley a los juegos estáticos de�nidos sobre un matroide.

Sea = (i)i2N un valor de grupo sobre � (M) y sea P 2 P (M)

una distribución de probabilidad sobre el conjunto de coaliciones básicas del

matroide M:

Axioma 1 (Linealidad). Si v1; v2 2 � (M) y �1; �2 2 R, entonces,

(�1v1 + �2v2) = �1(v1) + �2(v2) :

Axioma 2E (Jugador dummy). Para todo juego v 2 � (M) y para todo

i 2 N ; si el jugador i es dummy en v; se tiene

i (v) = wPi v (fig) :

Axioma 3E (E�ciencia). Si v 2 � (M) ; entoncesXi2N

i (v) =XB2B

P (B) v (B) :

Axioma 4E (Poder jerárquico). Para cada coalición no vacía S 2 M y

cualesquiera i; j 2 S;

i (�S) = j (�S) :

Previo al teorema que determina un único valor de grupo para estos a-

xiomas, se necesita introducir el siguiente lema.


Lema 5.3 Sea P 2 P (M) una distribución de probabilidad sobre el con-

junto de coaliciones básicas del matroide M, y r el rango de M: La in�uen-

cia wP (S) de una coalición S 2 M se relaciona con las in�uencias de las

coaliciones factibles de cardinal �jo que la contienen de la siguiente formaXfT2M:T�S;jT j=tg

wP (T ) = wP (S)

�r � s

t� s

�;

con s = jSj. Además,

wP (S) =1

2r�s

XfT2M:T�Sg

wP (T ) :

Demostración: Considérese el conjunto BS de coaliciones básicas que con-

tienen a la coalición S 2 M. Sea B 2 BS y s = jSj : Como el intervalo

[S;B] es un álgebra de Boole, para cada t 2 fs; s+ 1; : : : ; r � 1; rg hay�r�st�s

�coaliciones de cardinal t contenidas en B y que contienen a S.

Dada una coalición T 2 M, tal que S � T , toda área de in�uencia suya

lo es de S; y por tanto, el número de coaliciones básicas de T coincide con el

número de áreas de in�uencia de S que contienen a T . EntoncesXfT2M:T�S;jT j=tg

wP (T ) =X

fT2M:T�S;jT j=tg

XB2BT

P (B)

=XB2BS

P (B)X

fT�B:T�S;jT j=tg

1

=XB2BS

P (B)

�r � s

t� s

�= wP (S)

�r � s

t� s

�:

Por otro lado, obsérvese queXfT2M:T�Sg

wP (T ) =rXt=s

XfT2M:T�S;jT j=tg

wP (T )

=rXt=s

wP (S)

�r � s

t� s

�= wP (S) 2r�s;

puesto quePr

t=s

�r�st�s

�= (1 + 1)r�s : 2


Teorema 5.4 Sea P 2 P (M) una distribución de probabilidad sobre el con-

junto de coaliciones básicas del matroide M. Existe un único valor de grupo

�P =��Pi

�i2N

sobre � (M) satisfaciendo Axioma 1, Axioma 2E, Axioma 3E

y Axioma 4E. Además, para todo v 2 � (M) y para todo i 2 N ,

�Pi (v) =

XS2M=i

wP (S [ i)(r � s� 1)!s!

r![v (S [ i)� v (S)] ;

donde s indica jSj y r es el rango del matroide M.

Demostración: Sea = (i)i2N un valor de grupo sobre � (M) que veri�ca

los axiomas del enunciado. Para cada S 2 M, se considera el juego de

unanimidad �S. Los jugadores i =2 S son jugadores nulos para dicho juego

(Lema 4.4) y, entonces, por el Axioma 2E, se tiene i (�S) = 0 para todo

i 2 N n S. Por otro lado, i (�S) = j (�S) cuando i; j 2 S, por el Axioma

4E. Así, aplicando el Axioma 3E al juego �S se obtieneXi2N

i (�S) =Xi2S

i (�S) = i (�S) jSj = wP (S) :

Luego, para todo i 2 S

i (�S) =wP (S)

jSj= hPS (i) .

Por tanto, al ser el conjunto de juegos de unanimidad una base del espacio

vectorial � (M) ; el Axioma 1 permite asegurar que existe un único valor de

grupo sobre � (M) que satisface los axiomas del enunciado. Sea �P dicho

valor.

Sea v 2 � (M) : Expresando v como combinación lineal de los juegos de

unanimidad, y teniendo en cuenta que �P veri�ca el Axioma 1, para cada

i 2 N , se tiene

�Pi (v) =

XfT2M:T 6=;g

�v (T )�Pi (�T ) =

XfT2M:i2Tg

�v (T )wP (T )

t(5.1)


=X

fT2M:i2Tg

"XS�T

(�1)t�s v (S)

#wP (T )

t

=X

fS2M:S[i2Mg

24 XfT2M:T�S[ig

(�1)t�swP (T )

t

35 v (S) ; (5.2)

donde la tercera igualdad sigue de la expresión (1.8) para los dividendos de

Harsanyi.

Se trata ahora de determinar el coe�ciente de v (S) en la expresión (5.2).

Para ello se distinguen dos casos.

(1) Sea S 2 M, tal que i 2 S: Entonces, para el coe�ciente de v(S) en la

expresión (5.2) se tiene

XfT2M:T�Sg

(�1)t�swP (T )

t=

rXt=s

(�1)t�s1

t

XfT2M:T�S;jT j=tg

wP (T )

= wP (S)rXt=s

�r � s

t� s

�(�1)t�s

1

t

= wP (S)r�sXk=0

(�1)k�r � s

k

�Z 1

0

xk+s�1dx

= wP (S)

Z 1

0

xs�1 (1� x)r�s dx

= wP (S)(r � s)!(s� 1)!

r!;

donde en la segunda igualdad se ha utilizado el Lema 5.3, y en la última se

evalúa la función beta.

(2) Sea S 2 M=i: Ahora, siguiendo un razonamiento análogo al anterior,

el coe�ciente de v(S) en la expresión (5.2) es

XfT2M:T�S[ig

(�1)t�swP (T )

t=

rXt=s+1

(�1)t�s1

t

XfT2M:T�S[i;jT j=tg

wP (T )

= wP (S [ i)rX

t=s+1

�r � s� 1

t� s� 1

�(�1)t�s

1

t


= �wP (S [ i)

Z 1

0

xs (1� x)r�s�1 dx

= �wP (S [ i)(r � s� 1)!s!

r!:

Para terminar la prueba, basta sustituir los coe�cientes calculados en la

expresión (5.2) y utilizar la biyección existente entre las coaliciones factibles

S 2 M=i y aquéllas que contienen al jugador i: Con ello,

�Pi (v) =

XS2M=i

wP (S [ i)(r � s� 1)!s!

r![v (S [ i)� v (S)] :

2


conjunto de coaliciones básicas del matroide M. Se denomina P -valor es-

tático de Shapley al único valor de grupo �P sobre � (M) que veri�ca Axioma

1, Axioma 2E, Axioma 3E y Axioma 4E.

Obsérvese en la demostración del último teorema, que cada componente

�Pi del P -valor estático de Shapley aplicada al juego �S coincide con el poder

jerárquico estático del jugador i en la coalición S; respecto de la distribución

de probabilidad P .

A continuación se probará que el Axioma 4E, incluido en la caracteri-

zación del valor de Shapley, puede ser sustituido por un axioma similar para

los juegos de identidad. Para un valor de grupo = (i)i2N sobre � (M) se

considera el siguiente axioma.

Axioma 4'E (Poder jerárquico). Para toda coalición no vacía S 2 M y


i (�S) = j (�S) :


Probar que este nuevo axioma puede sustituir al Axioma 4E en la deter-

minación del P -valor estático de Shapley es fácil usando la relación que existe

entre los juegos de identidad y los de unanimidad. Sin embargo, se realizará

a continuación una demostración alternativa haciendo uso de los resultados

obtenidos en el capítulo anterior.


junto de coaliciones básicas del matroide M. El P -valor estático de Shapley

es el único valor de grupo sobre � (M) que veri�ca Axioma 1, Axioma 2E,

Axioma 3E y Axioma 4'E.

Demostración: Sea r el rango del matroide M. Sea = (i)i2N un valor

de grupo sobre � (M) que veri�ca los axiomas del enunciado. Entonces,

debido a que satisface el Axioma 1 y el Axioma 2E; el Teorema 4.5 asegura

que, para cada v 2 � (M) y para cada i 2 N; se tiene

i(v) =X

S2M=i

piS [v(S [ i)� v(S)] ;

donde piS = i (�S[i) :

En ese caso, el Axioma 3E y el Teorema 4.15 implican las siguientes

relaciones Xi2S

piSni =Xj =2�(S)

pjS; 8S =2 B, S 2 M, (5.3)

Xi2B

piBni = P (B) ; 8B 2 B. (5.4)

Usando la igualdad piS = i (�S[i) y el Axioma 4'E, se veri�ca que

piSni = pjSnj

cuando S 2 M y además i; j 2 S: Por tanto la ecuación (5.4) se puede

escribir en la forma rpiBni = P (B), y así


piBni =P (B)

r= wP (B)

1! (r � 1)!

r!:

Esto prueba que, para cada B 2 B, el coe�ciente piBni coincide con el

coe�ciente de la contribución marginal v (B)� v (B n i) en la fórmula del P -

valor estático de Shapley. Supóngase ahora que esto mismo ocurre para cada

coalición factible S de cardinal s. Entonces, la demostración acaba cuando

se pruebe que lo anterior también se cumple para las coaliciones de cardinal

s� 1.

En efecto, la ecuación (5.3) para una coalición S 2 M de cardinal s

implica queXi2S

piSni =Xj =2�(S)

pjS =(r � s� 1)!s!

r!

Xfj2N :S2M=jg

wP (S [ j)

=(r � s� 1)!s!

r!wP (S)

�r � s

1

�= wP (S)

(r � s)!s!

r!;

donde la segunda igualdad es debida a la hipótesis de inducción y, en la

tercera, se aplica el Lema 5.3 sobre las coaliciones que contienen a S con

cardinal s+ 1. Además, por el Axioma 4'E, se obtiene �nalmente

spiSni = wP (S)(r � s)!s!

r!:

En de�nitiva,

piSni = wP (S)(r � s)! (s� 1)!

r!:

2

El Teorema 4.20 garantiza que el P -valor estático de Shapley es un valor

de orden aleatorio. Por otro lado, el Teorema 4.21 asegura que entonces es un

valor básico estático. Se verá a continuación que los valores que lo expresan

en la forma (4.1) resultan ser los valores de Shapley correspondientes a las

coaliciones básicas del matroide.



junto de las coaliciones básicas deM: El P -valor estático de Shapley se puede

expresar en la forma

�P =XB2B

P (B) �B;

donde cada �B es el valor de Shapley sobre ��2B�.

Demostración: Sean i 2 N y B 2 Bi una coalición básica que contiene a i.

Se considera el valor de Shapley �B sobre ��2B�. Entonces, para cualquier

juego v 2 � (M) ; se tiene que

�Bi (vB) =

XfS�B:i=2Sg

(r � s� 1)!s!

r![v (S [ i)� v (S)] .

Se debe probar que para todo v 2 � (M) y para todo i 2 N , se veri�ca

�Pi (v) =

XB2Bi

P (B) �Bi (vB) :

En efecto,XB2Bi

P (B)�Bi (vB) =

XB2Bi

P (B)X

fS�B:i=2Sg

(r � s� 1)!s!

r![v (S [ i)� v (S)]

=X

S2M=i

(r � s� 1)!s!

r![v (S [ i)� v (S)]

XB2BS[i

P (B)

=X

S2M=i

wP (S [ i)(r � s� 1)!s!

r![v (S [ i)� v (S)] ;

donde, para intercambiar los sumatorios en la segunda igualdad, se ha usado

el Lema 4.9. 2

Obsérvese que el P -valor estático de Shapley veri�ca la propiedad del

rango para el vector de in�uencias wP . En consecuencia, sus componentes

�Pi ; para cada i 2 N; son valores wP

i -ponderados y, entonces, se satisface

también el axioma de monotonía. Otras propiedades destacables sobre su

comportamiento sobre determinadas clases de juegos, son las siguientes.


Proposición 5.8 Sea P 2 P (M) una distribución de probabilidad sobre el

conjunto de coaliciones básicas del matroide M, y sea r el rango de dicho

matroide. Las siguientes a�rmaciones son ciertas para el P -valor estático de

Shapley:

(1) Si v 2 � (M) es un juego débilmente superaditivo, entonces

�Pi (v) � wP

i v (fig) ; para todo i 2 N .

(2) Si v 2 � (M) es un juego simétrico (esto es, que existe una función

f : f0; 1; : : : ; rg�! R , tal que, para toda coalición S 2 M con cardinal

s; se veri�ca v (S) = f (s)); entonces

�Pi (v) = wP

i

f (r)

r; para todo i 2 N:

Demostración: (1) Sea v 2 � (M) un juego débilmente superaditivo. En-

tonces, si i 2 N y S 2 M=i; se tiene v (S [ i) � v (fig) + v (S). Por tanto

�Pi (v) =

XS2M=i

wP (S [ i)(r � s� 1)!s!

r![v (S [ i)� v (S)]

� v (fig)X

S2M=i

wP (S [ i)(r � s� 1)!s!

r!

= v (fig)r�1Xs=0

(r � s� 1)!s!

r!

XfS2M=i:jSj=sg

wP (S [ i)

= wP (fig) v (fig)r�1Xs=0

(r � s� 1)!s!

r!

�r � 1

s

�

= wPi v (fig)

r�1Xs=0

1

r= wP

i v (fig) ;

donde en el segundo paso se utiliza que las coaliciones deM=i tienen cardinal

menor o igual que r�1; además, la tercera igualdad es consecuencia del Lema

5.3 aplicado a la coalición fig :


(2) Sea v 2 � (M) un juego de simétrico. Entonces, como v (S) = f (s)

para todo S 2 M,

�Pi (v) =

XS2M=i

wP (S [ i)(r � s� 1)!s!

r![f (s+ 1)� f (s)]

=r�1Xs=0

(r � s� 1)!s!

r![f (s+ 1)� f (s)]

XfS2M=i:jSj=sg

wP (S [ i)

= wPi

1

r

r�1Xs=0

[f (s+ 1)� f (s)] = wPi

f (r)

r;

razonando de forma análoga al apartado anterior, y teniendo en cuenta que

f (0) = v (;) = 0. 2

El P -valor estático de Shapley, correspondiente a la distribución de pro-

babilidad equitativa P e, y que se denotará por �e, es objeto del estudio que

sigue a continuación. En primer lugar, obsérvese que usando el Teorema 5.4

y el Teorema 5.7, las componentes �ei de dicho valor se pueden expresar, para

cada juego v 2 � (M), en la forma

�ei (v) =

XS2M=i

bS[i (r � s� 1)!s!

b (r!)[v (S [ i)� v (S)] ; (5.5)

siendo s = jSj :

Proposición 5.9 El valor estático de Shapley �e sobre ��Ukn

�; es tal que

�ei (v) =

XfS�N :i2S;s<kg

(n� s� 1)!s!

n![v (S [ i)� v (S)] ;

para cada i 2 N y para cada v 2 ��Ukn

�:

Demostración: El rango del matroide Ukn es r = k. La in�uencia de una

coalición S 2 Ukn es el número

we (S) =bSb

=

�n�sk�s

��nk

� =(n� s)!k!

(k � s)!n!;


puesto que todas las coaliciones de tamaño k son factibles. Por tanto,

bS[ib

(k � s� 1)!s!

k!=

(n� s� 1)!k!

(k � s� 1)!n!

(k � s� 1)!s!

k!

=(n� s� 1)!s!

n!,

y basta sustituir en (5.5) para obtener la fórmula del enunciado. 2

La fórmula del valor �e obtenida para el matroide uniforme Ukn , no es más

que la k-truncación de la fórmula clásica, y recoge la idea de la de�nición

de dicho matroide. Nótese además que, cuando k = n; esta fórmula es la

conocida para el valor de Shapley en juegos cooperativos sobre 2N :

Sea G = (V;A) un grafo no dirigido con k componentes conexas. Sea T el

conjunto de bosques maximales de G. Para A0 � A; se denotará por GA0 el

subgrafo generado por A0; y por TA0 los elementos de T que continen a GA0:

Proposición 5.10 Sea G = (V;A) un grafo no dirigido con k componentes

conexas. Si v 2 � (M (G)) es un juego sobre el matroide grá�co M (G),

entonces el valor estático de Shapley �e; para cada arista a 2 A, viene dado

por

�ea (v) =

XA02AC(a)

jTA0 j

jTj

(jV j � k � jA0j � 1)! jA0j!

(jV j � k)![v (A0 [ a)� v (A0)]

donde AC (a) = fA0 � A : a =2 A0; GA0[a acíclicog :

Demostración: Basta con tener en cuenta que las coaliciones básicas del

matroide grá�co M (G) de�nido por G son los bosques maximales. Así, la

fórmula sigue de considerar que el rango del matroide es el número de vértices

menos el de componentes conexas (ver ejemplo 1.18). 2


Proposición 5.11 Si v 2 � (Mn (i k j)) es un juego sobre el matroide de

oposición Mn (i k j), entonces el valor estático de Shapley �e es tal que

�ei (v) =

1

2

XfS�N;fi;jg=2Sg

(n� s� 2)!s!

n![v (S [ i)� v (S)] ;

�ej (v) =

1

2

XfS�N;fi;jg=2Sg

(n� s� 2)!s!

n![v (S [ j)� v (S)] ;

y para k 2 N n fi; jg ;

�ek (v) =

1

2

XfS�N;fi;kg=2Sg

(n� s� 2)!s!

n![v (S [ k)� v (S)]

+1

2

XfS�N;fk;jg=2Sg

(n� s� 2)!s!

n![v (S [ k)� v (S)] :

Demostración: El matroide Mn (i k j) tiene rango n� 1 y dos coaliciones

básicas, N n i y N n j. El número de áreas de in�uencia de una coalición

factible S viene dado por

bS =

(2; si i; j =2 S

1; si i 2 S ó j 2 S.

Entonces, basta sustituir los datos anteriores en la expresión (5.5), y tener

en cuenta que en la fórmula de �ek (v) del enunciado aparecen los términos

asociados a coaliciones que no contienen a fi; jg en ambos sumatorios. 2

Para terminar la sección, se introducirá el concepto de P -valor relativo

de Shapley. Recuérdese que se podían encontrar valores para juegos estáticos

bajo una óptica relativa. El signi�cado de este tipo de valores es suponer que

un jugador mide sus posibilidades bajo una escala que sólo tiene en cuenta

sus áreas de in�uencia y no todas las áreas de cooperación.

Sea M un matroide. Si c (M; i) representa el número de cadenas ma-

ximales del matroide M que contienen a un jugador i; entonces el poder

jerárquico relativo del jugador i en una coalición S 2 M es

bheS (i) = c (M; S; i)

c (M; i):


En particular, bheS (i) = 0 cuando i 2 N n S.

Razonando de forma análoga a como se hizo en la Proposición 5.1, se

llega al siguiente resultado.


jerárquico relativo de un jugador i 2 S en la coalición S es

bheS (i) = we (S)

jSjwei

:

siendo we (S) la in�uencia de la coalición S para la distribución de probabi-

lidad equitativa P e 2 P (M), y wei la correspondiente in�uencia del jugador

i.

Generalizando la idea para una distribución de probabilidad cualquiera,

se obtiene el concepto general de poder jerárquico relativo.


conjunto de coaliciones básicas del matroide M, tal que wPj 6= 0 para todo

j 2 N . El poder jerárquico relativo de un jugador i 2 S en una coalición

S 2 M, respecto de la distribución de probabilidad P , es el número dado por

bhPS (i) = wP (S)

jSjwPi

:

Además, para un jugador j 2 N n S; bhPS (j) = 0:

Sea P 2 P (M) una distribución de probabilidad sobre las áreas de coo-

peración del matroide M, tal que wPj 6= 0 para todo j 2 N: Los poderes

jerárquicos relativos veri�can las siguientes propiedades:

� El poder jerárquico relativo bhPS (i) = 0 para todo i 2 N que sea jugador

nulo en el juego de unanimidad �S, ya que, según el Lema 4.4, los

jugadores nulos de este juego son los que no pertenecen a la coalición

S.


� La suma de los poderes jerárquicos relativos de todos los jugadores esXi2N

wPibhPS (i) =X

i2N

hS (i) =1

b

XB2B

�S (B) :

� El poder jerárquico relativo de un jugador en una coalición factible es

inversamente proporcional a su in�uencia.

Se proponen los siguientes axiomas para introducir el P -valor relativo de

Shapley.

Sea = (i)i2N un valor de grupo sobre � (M) y sea P 2 P (M)


matroide M:


(�1v1 + �2v2) = �1(v1) + �2(v2) :

Axioma 2R (Jugador dummy). Para todo juego v 2 � (M) y para todo


i (v) = v (fig) :

Axioma 3R (E�ciencia). Si v 2 � (M) ; entoncesXi2N

wPi i (v) =

XB2B

P (B) v (B) :

Axioma 4R (Poder jerárquico). Para toda coalición no vacía S 2 M y


wPi i (�S) = wP

j j (�S) :


Teorema 5.14 Sea P 2 P (M) una distribución de probabilidad sobre el,

conjunto de coaliciones básicas del matroide M, tal que wPj 6= 0 para todo

j 2 N . Existe un único valor de grupo b�P =�b�P

i

�i2N

sobre � (M) ; que

veri�ca Axioma 1, Axioma 2R, Axioma 3R y Axioma 4R. Además, para todo

v 2 � (M) y para todo i 2 N ,

b�Pi (v) =

XS2M=i

wP (S [ i)

wPi

(r � s� 1)!s!

r![v (S [ i)� v (S)] ;

donde s indica jSj y r es el rango del matroide M.

Demostración: Se trata de probar que el único valor de grupo en las condi-

ciones del enunciado es b�P =1

wP�P :

Pero esto es inmediato. Basta tener en cuenta que si es un valor de

grupo sobre � (M) que satisface los axiomas del enunciado, entonces el valor

wP veri�ca los axiomas del Teorema 5.4. 2


conjunto de coaliciones básicas del matroideM, con wPj 6= 0 para todo j 2 N .

Se denomina P -valor relativo de Shapley al único valor de grupo b�P sobre

� (M) que veri�ca Axioma 1, Axioma 2R, Axioma 3R y Axioma 4R.

Es fácil comprobar el siguiente resultado, análogo al Teorema 5.7.

Teorema 5.16 Sea P 2 P (M) una distribución de probabilidad sobre el

conjunto de las coaliciones básicas de M, con wPj 6= 0 para todo j 2 N: El

P -valor relativo de Shapley b�P =�b�P

i

�i2N

es tal que

b�Pi =

1

wPi

XB2Bi

P (B) �Bi ; para todo i 2 N;

donde cada �B es el valor de Shapley sobre ��2B�.

5.2 Valores Dinámicos de Shapley 163

Denotando por b�e al valor relativo de Shapley correspondiente a la pro-

babilidad equitativa P e 2 P (M), la siguiente proposición proporciona la ex-

presión de dicho valor sobre algunos matroides particulares. Su demostración

se omite por ser inmediata utilizando el teorema anterior.

Proposición 5.17 (1) Si v 2 ��Ukn

�; entonces ;

b�ei (v) =

k

n�ei (v) ; para cada i 2 N:

(2) Si G = (V;A) es un grafo no dirigido y v 2 � (M (G)) ; entonces

b�ea (v) =

jTj

jTaj�ea (v) ; para cada arista a 2 A;

donde T es el conjunto de bosques maximales de G; y Ta los elementos

de T que contienen la arista a:

(3) Si v 2 � (Mn (i k j)) ; entonces

b�ei (v) = �e

i (v) ; b�ej (v) = �e

j (v) ; b�ek (v) =

1

2�ek (v) para k =2 fi; jg :

5.2 Valores Dinámicos de Shapley

En esta sección se siguen los mismos pasos que en la sección anterior. Las

variantes surgen del hecho de trabajar ahora con juegos sobre un matroide

que se rigen por el modelo dinámico. En este caso, se considera que cada

etapa de un juego dinámico puede concebirse como un juego estático.

Sea un matroide M. Se dirá que S 2 M es una coalición istmo en M si

para toda coalición básica B 2 B (M) se veri�ca que S \B 6= ;. Según esta

de�nición, para que una coalición istmo S de M esté contenida en alguna de

las coaliciones de una secuencia básica de dicho matroide, es necesario que


S esté incluida en la primera coalición de la secuencia. Así, al considerar

juegos sobre un matroide que se desarrollen según el modelo dinámico, se

puede a�rmar que las coaliciones istmo sólo se pueden formar en la primera

etapa del juego. La conclusión que sigue de este razonamiento es que, en el

caso dinámico, el poder de los jugadores de una coalición istmo debe coincidir

con el poder estático. Por tanto, se dirá que el poder jerárquico dinámico

he

S (i;M) de un jugador i 2 S en una coalición istmo S de M; es

he

S (i;M) = heS (i;M) ,

donde se utiliza la notación heS (i;M) en lugar de heS (i) para el poder jerárquico

estático del jugador i en S.

Supóngase ahora que S no es una coalición istmo del matroide M. En-

tonces, dada una secuencia básica de dicho matroide, se pueden presentar

tres casos: (a) que S esté contenida en la primera coalición de la secuen-

cia, (b) que alguno, pero no todos, de los jugadores de S pertenezca a la

primera coalición de la secuencia, (c) que ningún jugador de S forme parte

de la primera coalición. Por tanto, al hablar del poder de los jugadores de

la coalición S; se debe considerar lo siguiente. En las coaliciones tipo (a) el

jugador concibe su poder de igual forma que en el caso estático. En las del

tipo (b) considera nulo su poder, puesto que no se forma en ningún momento

la coalición S. Por último, en el caso (c) su poder lo evaluaría en relación al

matroide resultante de la eliminación de la primera coalición básica de la se-

cuencia. En de�nitiva, el poder jerárquico dinámico he

S (i;M) de un jugador

i 2 S en la coalición S vendrá dado por la siguiente fórmula recurrente:

he

S (i;M) = heS (i;M) +1

b (M)

XfB2B(M):B\S=;g

he

S (i;MnB) ;

donde he

S (i;MnB) representa el poder de dicho jugador en la coalición S

para el matroide MnB.

Sea De 2 D (M) la distribución de probabilidad sobre � (M) que a cada


secuencia básica � = (A1; : : : ; Ak) le hace corresponder el número

De (�) =1

b (M)

kYm=2

1

b (MnA1n � � � nAm�1):

Nótese que De se de�ne a partir de las distribuciones equitativas de proba-

bilidad P eM0 2 P (M0) de los menores de eliminación M0 de M, usando la

expresión (3.1).


jerárquico dinámico de un jugador i 2 S en la coalición S es

he

S (i;M) =wDe

(S)

jSj;

donde wDe

(S) es la in�uencia de S en M según la distribución de probabi-

lidad De 2 D (M) :

Demostración: Nótese en primer lugar que, para cada coalición básica

B 2 B (M), se puede construir a partir de la distribución de probabilidad

De otra DeMnB 2 D (MnB) ; usando (3.2).

Sean S 2 M, i 2 S.

(a) Supóngase que la coalición S es istmo en M. En ese caso,

he

S (i;M) = heS (i;M) =wP e

M (S)

jSj;

donde la última igualdad sigue de la Proposición 5.1. Por otro lado, como

wP eM (S) =

XB2BS(M)

P eM (B) ;

y, aplicando (3.5), se tiene

P eM (B) =

Xf�2�(M):�=(B;:::)g

DeM (�) ;


entonces

wP eM (S) = wDe

M (S) .

Téngase en cuenta que, al ser S istmo en M, el conjunto �S (M) coincide

con

f� 2 � (M) : � = (B; : : :) ; B 2 BS (M)g :

Luego queda probada en este caso la fórmula del enunciado.

(b) En el caso en que S no sea una coalición istmo en M; supóngase que

se veri�ca

he

S (i;MnB) =wDe

MnB (S)

jSj;

para cada coalición básica B 2 B (M) tal que B \ S = ;: Entonces,

he

S (i;M) = heS (i;M) +1

b (M)

XfB2B(M):B\S=;g

he

S (i;MnB)

=wP e

M (S)

jSj+

1

b (M)

XfB2B(M):B\S=;g

wDeMnB (S)

jSj

=1

jSj

0@ XB2BS(M)

P eM (B)+

+1

b (M)

XfB2B(M):B\S=;g

X�02�S(MnB)

DeMnB (�0)

1A=

1

jSj

0@ XB2BS(M)

Xf�2�S(M):�=(B;:::)g

De (�)+

+X

fB2B(M):B\S=;g

Xf�2�S(M):�=(B;:::)g

De (�)

1A=

1

jSj

X�2�S(M)

De (�) =wDe

(S)

jSj:

Nótese que para obtener el primer sumando de la cuarta igualdad se ha

utilizado la expresión (3.5). El segundo sumando de la misma igualdad sigue


del hecho de que toda secuencia básica � 2 �S (M) ; donde S no aparezca

en la primera coalición de la secuencia, es de la forma � = (B; �0), con

B 2 B (M) tal que B \ S = ; y �0 2 �S (MnB). Además, en ese paso se ha

usado la expresión (3.4).

Finalmente observar que, debido a la construcción recurrente de he

S (i;M)

y a que todo el razonamiento anterior se puede aplicar a cada menor de

eliminación del matroide dado, se puede concluir que el resultado es cierto.2

A continuación, se va a de�nir el poder jerárquico dinámico para cualquier

distribución de probabilidad D 2 D (M) :

De�nición 5.19 Sea D 2 D (M) una distribución de probabilidad sobre el

conjunto de secuencias básicas del matroideM. El poder jerárquico dinámico

hD

S (i;M) de un jugador i 2 S en una coalición S 2 M, respecto de la

distribución de probabilidad D, es el número dado por

hD

S (i;M) =wD (S)

jSj:

Además, para un jugador j 2 N n S; hD

S (j;M) = 0.

Según la de�nición anterior, dada una coalición S 2 M, el poder jerárquico

dinámico cumple las siguientes propiedades:

� El poder jerárquico hD

S (i;M) = 0 para todo i 2 N que sea jugador nulo

en el juego de unanimidad �S, ya que según el Lema 4.4 los jugadores

nulos de este juego son los que no pertenecen a la coalición S.

� La suma de los poderes jerárquicos de todos los jugadores esXi2N

hD

S (i;M) =Xi2S

wD (S)

jSj= wD (S) =

X�2�S(M)

D (�)

=X

f�2�(M):�=(A1;:::;Ak)g

D (�) [�S (A1) + � � �+ �S (Ak)] :


� Todos los miembros de la coalición S tienen el mismo poder jerárquico

en S; siendo éste la parte proporcional de la in�uencia de dicha coali-

ción.

Entonces, es lógico introducir los siguientes axiomas para extender el con-

cepto de valor de Shapley a los juegos dinámicos de�nidos sobre un matroide.

Sea = (i)i2N un valor de grupo sobre � (M) y sea D 2 D (M)


matroide M:


(�1v1 + �2v2) = �1(v1) + �2(v2) :

Axioma 2D (Jugador dummy). Para todo juego v 2 � (M) y para todo


i (v) = v (fig) :

Axioma 3D (E�ciencia). Si v 2 � (M) ; entoncesXi2N

i (v) =X

�2�(M)

D (�) v (�) :

Axioma 4D (Poder jerárquico). Para toda coalición no vacía S 2 M y


i (�S) = j (�S) :

Lema 5.20 Sea D 2 D (M) una distribución de probabilidad sobre el con-

junto de secuencias básicas del matroide M, tal que

D (�) = PM (A1)kY

m=2

PMnA1n:::nAm�1 (Am) ;


para cada � 2 � (M). Entonces, la in�uencia en el sentido dinámico de

una coalición S 2 M, según la distribución de probabilidad D; se expresa

mediante la recurrencia

wD (S) =

8>><>>:wPM (S) ; si S es istmo

wPM (S) +P

B2B(MnS)

PM (B)wDMnB (S) ; en otro caso,

donde cada DMnB representa la distribución de probabilidad sobre � (MnB)

generada por D según (3.2).

Demostración: Sea S 2 M. En el caso de que S sea istmo en el matroide

M, se tiene que

wD (S) =X

�2�S(M)

D (�)

=X

B2BS(M)

Xf�2�(M):�=(B;:::)g

D (�)

=X

B2BS(M)

PM (B) = wPM (S) ;

sin más que usar (3.5):

Por otro lado, si S no es istmo en M,

wPM (S) +X

B2B(MnS)

PM (B)wDMnB (S)

=X

B2BS(M)

PM (B)

+X

B2B(MnS)

PM (B)X

�02�S(MnB)

DMnB (�0)

=X

f�2�(M):�=(B;:::);B2BS(M)g

D (�)

+X

B2B(MnS)

Xf�=(B;�0):�02�S(MnB)g

PM (B)DMnB (�0)


=X

f�2�(M):�=(B;:::);B2BS(M)g

D (�)

+X

f�2�S(M):�=(B;:::);B2B(MnS)g

D (�)

=X

�2�S(M)

D (�) = wD (S) ;

donde, en el primer sumando de la segunda igualdad se ha utilizado (3.5).

Además, el segundo sumando de la tercera igualdad se obtiene de aplicar

(3.4).

2

Teorema 5.21 Sea D 2 D (M) una distribución de probabilidad sobre el

conjunto de secuencias básicas del matroide M. Existe un único valor de

grupo sobre � (M) satisfaciendo los siguientes axiomas: Axioma 1, Axioma

2D, Axioma 3D y Axioma 4D.

Demostración: Sea = (i)i2N un valor de grupo que satisface los a-

xiomas del enunciado.

Para cada S 2 M; coalición no vacía, considérese el juego de unanimidad

�S. Por el Lema 4.4, los jugadores que no están en S son nulos para el juego

�S, con lo que el Axioma 2D implica que j (�S) = 0 para j 2 N n S. Así,

junto con el Axioma 4D, se puede a�rmar queXj2N

j (�S) =Xj2S

j (�S) = i (�S) jSj ;

donde i es cualquier jugador de S:

Por otro lado, usando el Axioma 3D, se obtieneXj2N

j (�S) =X

�2�(M)

D (�) �S (�)

=X

�2�S(M)

D (�) = wD (S) ;


donde en la segunda igualdad se tiene en cuenta que cada secuencia básica

� determina una partición del conjunto de jugadores.

Por tanto, para cada jugador i 2 S; se tiene que

i (�S) =wD (S)

jSj:

Con ello, al ser los juegos de unanimidad una base del espacio vectorial

� (M) y veri�car el Axioma 1 (linealidad), se puede a�rmar que es único

el valor de grupo que satisface los axiomas del enunciado. 2

De�nición 5.22 Sea D 2 D (M) una distribución de probabilidad sobre

el conjunto de secuencias básicas del matroide M. Se denomina D-valor

dinámico de Shapley al único valor de grupo �D sobre � (M) que veri�ca

Axioma 1, Axioma 2D, Axioma 3D y Axioma 4D.

Teorema 5.23 Sea D 2 D (M) una distribución de probabilidad sobre el

conjunto de secuencias básicas del matroide M, tal que

D (�) = PM (A1)kY

m=2


para cada � 2 � (M). Entonces, el D-valor dinámico de Shapley sobre

� (M), �D =��Di

�i2N

viene dado,para todo v 2 � (M) ; por

�Di (v) =

8>><>>:�PMi (v) ; i istmo en M

�PMi (v) +

PB2B(Mni)

PM (B)�DMnB

i

�vMnB

�; en otro caso,

donde �PMi el P -valor estático de Shapley sobre � (M) ; para cada B 2

B (Mni), DMnB es la distribución de probabilidad generada por D sobre

� (MnB) según (3.2) y �DMnB

i es el DMnB-valor dinámico de Shapley sobre

� (MnB) :


Demostración: Sea v 2 � (M) : Utilizando la expresión (1.4), mediante la

cual el juego v se expresa como combinación lineal de los juegos de unani-

midad, y el hecho de que el valor de Shapley �D veri�ca el Axioma 1 y es

tal que �Di (�S) =

wD(S)jSj ; para todo i 2 N , se obtiene

�Di (v) =

XT2M

�v (T )�Di (�T ) =

XfT2M:i2Tg

�v (T )wD (T )

jT j.

Supóngase que i es un jugador istmo de M. Entonces, como las coa-

liciones del conjunto fT 2 M : i 2 Tg son istmos de M, aplicando el lema

anterior, se sabe que wD (T ) = wPM (T ). Por tanto,

�Di (v) =

XfT2M:i2Tg

�v (T )wPM (T )

jT j= �PM

i (v) ;

sin más que usar la ecuación (5.1) de la prueba del Teorema 5.4, para la

distribución de probabilidad PM.

En el caso de que i no sea un jugador istmo de M, supóngase que la

fórmula del enunciado es cierta para todo menor de eliminaciónMnB, donde

B 2 B (M). En este caso, usando el lema anterior,

�Di (v) =

XfT2M:i2Tg

�v (T )1

jT jwD (T )

=X

fT2M:i2TgT istmo en M

�v (T )1

jT jwPM (T )

+X

fT2M:i2TgT no istmo en M

�v (T )1

jT j

24wPM (T ) +X

B2B(MnT )

PM (B)wDMnB (T )

35=

XfT2M:i2Tg

�v (T )1

jT jwPM (T )

+X

fT2M:i2TgT no istmo en M

XB2B(MnT )

�v (T )1

jT jPM (B)wDMnB (T )


= �PMi (v) +

XB2B(Mni)

PM (B)X

fT2MnB:i2Tg

�v (T )1

jT jwDMnB (T )

= �PMi (v) +

XB2B(Mni)

PM (B)�DMnB

i

�vMnB

�;

donde la cuarta igualdad sigue del intercambio de los sumatorios. En la

última igualdad se ha usado que para los matroides MnB la fórmula es

cierta, así como el hecho de que, para cada B 2 B (Mni) ;

�v (T ) =XS�T

(�1)jT j�jSj v (S) = �vMnB(T ) ; para toda T 2 MnB:

2

Evidentemente, el D-valor dinámico de Shapley veri�ca la propiedad de

ponderación unitaria (PU) y, por tanto, el axioma de monotonía. Otra de

sus propiedades es la siguiente.

Proposición 5.24 Sea D 2 D (M) una distribución de probabilidad sobre el

conjunto de secuencias básicas del matroide M. Si v es un juego débilmente

superaditivo, entonces el D-valor dinámico de Shapley �D veri�ca

�Di (v) � v (fig) ; para todo i 2 N:

Demostración: La distribución de probabilidad D; según el Teorema 3.14,

se puede expresar en la forma

D (�) = PM (A1)kY

m=2


para cada secuencia básica � 2 � (M) :

Para un jugador i 2 N; que sea istmo en el matroide M, se tiene que

�Di (v) = �PM

i (v). Ahora bien, por la Proposición 5.8, el valor de Shapley

�PM veri�ca que �PMi (v) � wPM

i v (fig) : Así, como wPMi = 1 por ser i istmo

en M, se comprueba que el resultado es cierto en este caso.


Cuando i 2 N , no es un jugador istmo en M, supóngase la propiedad

cierta para todo menor de eliminación de M. En este caso, se tiene

�Di (v) = �PM

i (v) +X

B2B(Mni)

PM (B) �DMnB

i

�vMnB

�� wPM

i v (fig) +X

B2B(Mni)

PM (B) v (fig)

= v (fig) ;

donde la desigualdad sigue de aplicar el apartado (1) de la proposición 5.8 y

de hipótesis de recurrencia. La última igualdad es cierta debido a queXB2B(Mni)

PM (B) = 1� wPMi

por de�nición.

Teniendo en cuenta �nalmente la forma recurrente de construir el valor

dinámico de Shapley, dada en el teorema anterior, y que el razonamiento

seguido se puede aplicar a cada menor de eliminación del matroide dado, se

concluye la veracidad de esta proposición. 2

El D-valor dinámico de Shapley correspondiente a la distribución de

probabilidad De 2 D (M) ; se denotará por �De

: Su expresión, para cada

v 2 � (M) ; viene dada por

�De

i (v) =

8>>><>>>:�ei (v) ; si i es istmo de M

�ei (v) +

1b

PB2B(Mni)

�DeMnB

i

�vMnB

�; en otro caso.

A la vista de esta expresión, es fácil comprobar el resultado de la siguiente

proposición. Sólo se considera en ella el matroide de oposición, puesto que

las fórmulas correspondientes al matroide uniforme y al matroide grá�co no

ofrecen ninguna simpli�cación con respecto a la anterior.


Proposición 5.25 Si v 2 � (Mn (i k j)) es un juego sobre el matroide de

oposiciónMn (i k j), entonces las componentes del valor dinámico de Shapley

�De

son

�De

i (v) = �ei (v) +

1

2v (fig) ;

�De

j (v) = �ej (v) +

1

2v (fjg) ;

�De

k (v) = �ek (v) ; si k =2 fi; jg :

Ejemplo 5.26 Se considera la situación del Parlamento Autonómico de An-

dalucía tras las elecciones de 1996. Cuatro partidos políticos obtuvieron re-

presentación parlamentaria, IU-CA(1), PSOE-A(2), PA(3) y PP-A(4). El

número de escaños obtenidos es q1 = 13; q2 = 52; q3 = 4 y q4 = 40, respec-

tivamente. Siendo N = f1; 2; 3; 4g se considera el juego simple v 2 �s (N)

dado por

v (S) =

(1; si

Pi2S qi � 55

0; en otro caso.

Se trata de obtener el valor de Shapley en varios sistemas de coaliciones.

(a) El juego�N; 2N ; v

�representa el juego de mayoría simple desarro-

llado mediante cooperación total, ver Figura 5.1. En este caso las coaliciones

ganadoras son:

W�2N�

= ff1; 2g ; f2; 3g ; f2; 4g ; f1; 2; 3g ; f1; 2; 4g ;

f2; 3; 4g ; f1; 3; 4g ; f1; 2; 3; 4gg:

En las siguientes �guras las coaliciones ganadoras están recuadradas.


Usando la fórmula clásica del valor de Shapley (ver introducción) se ob-

tiene que

�N1 (v) =

2!1!

4!+

1!2!

4!=

4

24;

�N2 (v) = 3

2!1!

4!+ 3

1!2!

4!=

12

24;

�N3 (v) =

2!1!

4!+

1!2!

4!=

4

24;

�N4 (v) =

2!1!

4!+

1!2!

4!=

4

24:

Por lo que �N (v) = (1=6; 1=2:1=6; 1=6) :

(b) Si se tiene en cuenta el orden político unidimensional representado

en la Figura 5.2, entonces el sistema de coaliciones sobre el que se aplica v

es la geometría convexa L = L4 (ver Ejemplo 1.5 y Figura 5.3). En L las

coaliciones ganadoras son

W (L) = ff1; 2g ; f2; 3g ; f1; 2; 3g ; f2; 3; 4g ; f1; 2; 3; 4gg :


Aplicando la fórmula del valor de Shapley enunciada en el Teorema 2.5

se consigue

�L1 (v) =

c (f2g) c (f1; 2g ; N)

c (L)=

1

8;

�L2 (v) =

c (f1g) c (f1; 2g ; N)

c (L)+c (f3g) c (f2; 3g ; N)

c (L)+c (f3; 4g) c (f2; 3; 4g ; N)

c (L)

=1

8+

2

8+

2

8=

5

8;

�L3 (v) =

c (f2g) c (f2; 3g ; N)

c (L)=

2

8;

�L4 (v) = 0:

Con ello �L (v) = (1=8; 5=8; 1=4; 0).


(c) En la anterior legislatura los pactos entre los partidos 1, 3 y 4 fueron

muy habituales, aunque en ningún momento hubo un acuerdo de gobierno.

Por ello, ante una votación en el actual Parlamento, la situación podría mo-

delarse mediante un matroide de oposición entre los partidos más votados, 2

y 4, que tratarían de imponer sus ideas (salvo en casos muy particulares). La

Figura 5.4 describe el sistema de coalicionesM =M4 (2k4). Son coaliciones

ganadoras en este caso

W (M) = ff1; 2g ; f2; 3g ; f1; 2; 3g ; f1; 3; 4gg :

Los valores de Shapley clásicos en cada área de cooperación son:

�f1;2;3g1 (v) =

1!1!

3!=

1

6; �

f1;3;4g1 (v) =

0!2!

3!=

2

6;

�f1;2;3g2 (v) =

1!1!

3!+

1!1!

3!+

0!2!

3!=

4

6;

�f1;2;3g3 (v) =

1!1!

3!=

1

6; �

f1;3;4g3 (v) =

0!2!

3!=

2

6;

�f1;2;3g4 (v) =

0!2!

3!=

2

6:

Si se considera las dos áreas de cooperación equiprobables entonces, por el

Teorema 5.7, el valor equitativo de Shapley es

�e (v) =1

2

�1

6;4

6;1

6; 0

�+

1

2

�2

6; 0;

2

6;2

6

�=

�1

4;1

3;1

4;1

6

�:


Sabiendo los partidos 2 y 4 que sólo juegan en un área de cooperación, en-

tonces el valor equitativo relativo de Shapley es b�e (v) = (1=4; 2=3; 1=4; 1=3) :

Pero, el hecho de que los pactos de 1 con 4 en el anterior Parlamento

hayan fortalecido a 2 mediante votos de 1, así como que 2 y 3 puedan go-

bernar en solitario, puede implicar que sea más posible que las negociaciones

se muevan en el primer área de cooperación. Se concluye que, en este caso no

debieran de ser ambas áreas de cooperación equiprobables, y puede tomarse

la distribución de probabilidad P (f1; 2; 3g) = 3=4 y P (f1; 3; 4g) = 1=4. En-

tonces el P -valor de Shapley es

�P (v) =3

4

�1

6;4

6;1

6; 0

�+

1

4

�2

6; 0;

2

6;2

6

�=

�5

24;1

2;5

24;1

24

�:

El P -valor relativo será en en este caso b�P (v) = (5=24; 2=3; 5=24; 1=3) :

Ejemplo 5.27 Siendo N = f1; 2; 3; 4; 5g se considera el matroide M de la

Figura 3.3. Se toma el juego v 2 � (M) ; planteado bajo el modelo dinámico,

cuyos valores son:

v (fig) = 0; para todo i 2 N;

v (f1; 2g) = v (f1; 3g) = 50;

v (f1; 4g) = v (f1; 5g) = 30;

v (f2; 3g) = 40;

v (f2; 4g) = v (f2; 5g) = 20;

v (f3; 4g) = 30;

v (f4; 5g) = 10;

v (f1; 2; 3g) = 100; v (f1; 2; 4g) = v (f1; 2; 5g) = 80;

v (f1; 3; 4g) = 90; v (f1; 4; 5g) = 70.

Las secuencias básicas del matroide M están estudiadas en el Ejemplo

3.7. El valor de Shapley calculado para la distribución de probabilidad De es

�De

1 (v) =1

5[�

f1;2;3g1 (v) + �

f1;2;4g1 (v) + �

f1;2;5g1 (v)


+�f1;3;4g1 (v) + �

f1;4;5g1 (v)]

=1

5[36:667 + 33:333 + 33:333 + 43:333 + 33:333]

= 36

�De

2 (v) =1

5[�f1;2;3g

2 (v) + �f1;2;4g2 (v) + �f1;2;5g

2 (v)

+�f2;5g1 (v) + �

f2;3g1 (v)]

=1

5[31:667 + 28:333 + 28:333 + 10 + 20]

= 23:667

�De

3 (v) =1

5[�

f1;2;3g3 (v) + �

f1;3;4g3 (v) + �

f3g3 (v)

+�f3;4g3 (v) + �

f2;3g3 (v)]

=1

5[31:667 + 33:333 + 0 + 15 + 20]

= 20

�De

4 (v) =1

5[�

f1;2;4g4 (v) + �

f1;3;4g4 (v) + �

f1;4;5g4 (v)

+�f4;5g4 (v) + �

f3;4g4 (v)]

=1

5[18:333 + 23:333 + 20 + 5 + 15]

= 16:333

�De

5 (v) =1

5[�

f1;2;5g5 (v) + �

f1;4;5g5 (v) + �

f4;5g5 (v)

+�f5g5 (v) + �

f2;5g3 (v)]

=1

5[18:333 + 20 + 5 + 0 + 10]

= 10:667:

Por tanto, las espectativas de pago de los jugadores son:

�De

(v) = (36; 23:667; 20; 16:333; 10:667) :

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