1

UNIVERSIDAD DE LA GUAJIRA – EXTENSION VILLANUEVACALCULO DIFERENCIAL SEMESTRE I – 2014

LIMITESINTRODUCCION AL CALCULO DIFERENCIAL

1. CONCEPTO DE LIMITE

En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo infinitesimal (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertos inducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.

Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante Lim como en lim(an) = a o se representa mediante la flecha (→) como en an → a

Para un mayor rigor matemático se

utiliza la definición épsilon(ε)- delta(δ) de límite, que es más estricta y convierte al límite en una gran herramienta del análisis real. Su definición es la siguiente: "El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".

2

UNIVERSIDAD DE LA GUAJIRA – EXTENSION VILLANUEVACALCULO DIFERENCIAL SEMESTRE I – 2014

LIMITES2. LIMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

El límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x0. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a x0.

Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x2 en el punto x0 = 2.

x f(x) x f(x)

1,9 3,61 2,1 4.41

1,99 3,9601 2,01 4,0401

1,999 3,996001 2,001 4,004001

... ... ... ...

↓ ↓ ↓ ↓

2 4 2 4

Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se acercan a 4.

Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L, cuando x tiende a x0, si fijado un número real positivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε , tal que, para todos los valores de x distintos de x0 que cumplen la condición |x - x0| < δ , se cumple que |f(x) - L| <ε .

3

UNIVERSIDAD DE LA GUAJIRA – EXTENSION VILLANUEVACALCULO DIFERENCIAL SEMESTRE I – 2014

LIMITES3. CALCULO DEL LIMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

El límite de una función en un punto si existe, es único.

En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la derecha cuando x tiende a 2 es 4.

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.

Ejemplo: Calcular el límite de la función g(x)= x2 + 2x -1, en x = 2

Lim x2 + 2x -1 = (2)2 + 2(2) – 1 = 4 + 4 – 1 = 7 X 2

Ejercicios propuestos:

1. Calcular el límite de la función f(x)= x3/3 + 2x2 + 1/4, en x = 1/2

2. Calcular el límite de la función h(x)= 5x4/3 + 2/3x2 + 4, en x = 1/3

4

UNIVERSIDAD DE LA GUAJIRA – EXTENSION VILLANUEVACALCULO DIFERENCIAL SEMESTRE I – 2014

LIMITES4. PROPIEDADES DE LOS LIMITE

Límite de Expresión

Una constante

La función identidad

El producto de una función y una constante

Una suma

Una resta

Un producto

Un cociente

Una potencia

Un logaritmo

El número e

5

UNIVERSIDAD DE LA GUAJIRA – EXTENSION VILLANUEVACALCULO DIFERENCIAL SEMESTRE I – 2014

LIMITES

1. Use la definición del límite de una función para probar que:

a. . b.  .

c. . d.  .

e.  f.